第一篇：江蘇泰興市高中數(shù)學(xué)第1章解三角形教材分析素材蘇教版5

第1章 解三角形

目標(biāo)定位

1．三角形是最基本的幾何圖形，三角形中的數(shù)量關(guān)系在天文、地理、航海等領(lǐng)域之中有著極其廣泛的應(yīng)用．

學(xué)習(xí)本章之前，已經(jīng)研究過(guò)有關(guān)三角形、三角函數(shù)和解直角三角形、平面向量等知識(shí)，解三角形是在這些知識(shí)的基礎(chǔ)上，對(duì)任意三角形的邊長(zhǎng)和角度關(guān)系作進(jìn)一步的探索研究．通過(guò)研究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長(zhǎng)與角度之間的數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用它們解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題；通過(guò)研究，培養(yǎng)學(xué)生的歸納、猜想、論證能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，同時(shí)讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中感受數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美與和諧美；通過(guò)解決一些實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)既來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活．

2．本章具體的教學(xué)目標(biāo)是：

（1）通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題．

（2）能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量學(xué)、力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)以及幾何計(jì)算等有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題． 教材解讀

1．在教科書(shū)中，將解三角形作為幾何度量問(wèn)題來(lái)處理，突出幾何的作用，為學(xué)生理解數(shù)學(xué)中的量化思想、進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)．

解三角形處理的是三角形中長(zhǎng)度、角度、面積的度量問(wèn)題，長(zhǎng)度、面積是理解積分的基礎(chǔ)，角度是刻畫(huà)方向的，長(zhǎng)度、方向是向量的特征，有了長(zhǎng)度、方向，向量的工具自然就有用武之地．從這一角度看，正弦定理和余弦定理的證明讓學(xué)生經(jīng)歷了運(yùn)用向量工具解決三角形的度量問(wèn)題的過(guò)程，并為學(xué)生運(yùn)用向量工具解決三角形的度量問(wèn)題留有余地，進(jìn)而對(duì)運(yùn)用向量解決幾何度量問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)．

2．在教科書(shū)中，注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用性，體現(xiàn)學(xué)以致用的原則，讓學(xué)生自主體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決問(wèn)題中的作用，提高學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)；注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)部不同分支之間的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，從而提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的整體認(rèn)識(shí)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值．

本章分為“正弦定理”、“余弦定理”、“正弦定理、余弦定理的應(yīng)用”三大節(jié)． 第一節(jié)是“正弦定理”．教材首先由學(xué)生熟悉的直角三角形中的邊角關(guān)系得出正弦定理的形式，猜想對(duì)于任意三角形該結(jié)論也成立，然后引導(dǎo)學(xué)生按不同的思路嘗試證明正弦定理．這一過(guò)程與以往教材的設(shè)計(jì)不同，它有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師引導(dǎo)下的“發(fā)現(xiàn)”過(guò)程，從而培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)探究”能力，體現(xiàn)了由特殊到一般的思維規(guī)律．

第二節(jié)是“余弦定理”．教材通過(guò)向量的數(shù)量積將向量等式化為數(shù)量等式，得出余弦定理，體現(xiàn)了向量方法在解三角形中的作用，也讓學(xué)生進(jìn)一步感受了數(shù)學(xué)的和諧美．

3．在教科書(shū)中，強(qiáng)調(diào)了信息技術(shù)在探索問(wèn)題中的作用，如正弦定理的探索和驗(yàn)證、使用計(jì)算器進(jìn)行近似計(jì)算等，一方面，學(xué)生借助信息技術(shù)手段去探索數(shù)學(xué)規(guī)律，從事一些富有探索性和創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)活動(dòng)，可以培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新精神；另一方面，借助計(jì)算器可以解決計(jì)算量大的問(wèn)題，也可以根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行近似計(jì)算，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣． 教學(xué)方法與教學(xué)建議

1．區(qū)別于以往比較關(guān)注三角形邊角關(guān)系的恒等變換的教學(xué)設(shè)計(jì)，新課程更側(cè)重將解三角形作為幾何度量問(wèn)題來(lái)展開(kāi)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長(zhǎng)與角度之間的數(shù)量關(guān)系，解決簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題．這就要求在新的教學(xué)過(guò)程中，突出幾何的作用和數(shù)學(xué)量化思想，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師引導(dǎo)下的探究過(guò)程、再創(chuàng)造過(guò)程．

對(duì)運(yùn)用正弦定理、余弦定理，應(yīng)側(cè)重運(yùn)用它們解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，不必在恒等變形上進(jìn)行過(guò)于煩瑣的訓(xùn)練．在教學(xué)中應(yīng)為學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題中的作用，感受數(shù)學(xué)與日常生活的其他學(xué)科的聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力創(chuàng)造條件．對(duì)于以往的恒等變形則應(yīng)降低要求．

2．可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試運(yùn)用平面向量解決三角形的度量問(wèn)題．教科書(shū)在安排正弦定理和余弦定理的公式推導(dǎo)時(shí)，都用到了向量的方法．本章在得到正弦定理的猜想后，提出了關(guān)于 正弦定理證明的四條途徑，意在引導(dǎo)學(xué)生嘗試探究，經(jīng)歷證明的過(guò)程，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想，有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力．教學(xué)中，擬結(jié)合學(xué)生具體情況點(diǎn)撥啟發(fā)，靈活安排．

???關(guān)于向量方法探索正弦定理的教學(xué)，可從三角形中最基本的向量關(guān)系式BC=BA+AC入手，提出“如何將這個(gè)向量關(guān)系式轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系式”的問(wèn)題讓學(xué)生討論．學(xué)生容易由“數(shù)量積是實(shí)施向量等式向數(shù)量等式轉(zhuǎn)化的有力工具”想到用“點(diǎn)乘”的方法，至于“點(diǎn)乘”哪?個(gè)向量，可以充分讓學(xué)生嘗試探究．例如，在等式兩邊同時(shí)“點(diǎn)乘”BC，可得a=ccosB+bcosC，這就是射影定理；若等式兩邊同時(shí)平方，即兩邊各自“與自己點(diǎn)乘”，可得a=b+c-2bccosA，這就是余弦定理；如果要想得到兩條邊與它們所對(duì)角之間的關(guān)系，就要讓第三條邊“消失”，?????那就只能在向量關(guān)系式的兩邊同時(shí)“點(diǎn)乘”與BC垂直的向量AD，于是可以得到BA?AD+AC??AD＝0，進(jìn)而再分類(lèi)討論推得正弦定理．這樣，用向量方法證明正弦定理的“瓶頸”就不難解決了．

3．解三角形的內(nèi)容，在教學(xué)形式上可以靈活多樣，不只限于讓學(xué)生接受、記憶、模仿和練習(xí)，而引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，尊重學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位，倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)；課堂教學(xué)應(yīng)運(yùn)用多媒體手段輔助教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生歸納猜想，培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力；課外活動(dòng)應(yīng)針對(duì)正弦定理、余弦定理的實(shí)用性，設(shè)計(jì)一些研究性、開(kāi)放性題材，讓學(xué)生自行探索解決，也可以由學(xué)生在課外自行尋找研究性、應(yīng)用性的題目去做，寫(xiě)出研究或?qū)嶒?yàn)報(bào)告，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和數(shù)學(xué)建模能力，同時(shí)還可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試用向量的方法去解決三角形的度量問(wèn)題．

第二篇：高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教材講義 第七章 解三角形

第七章解三角形

一、基礎(chǔ)知識(shí)

在本章中約定用A，B，C分別表示△ABC的三個(gè)內(nèi)角，a, b, c分別表示它們所對(duì)的各邊長(zhǎng)，p?a?b?c為半周長(zhǎng)。

2abc??1．正弦定理：=2R（R為△ABC外接圓半徑）。sinAsinBsinC

111推論1：△ABC的面積為S△ABC=absinC?bcsinA?casinB.222

推論2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.推論3：在△ABC中，A+B=?，解a滿(mǎn)足ab，則a=A.?sinasin(??a)

1absinC；再證推論2，因?yàn)锽+C=?-A，所2正弦定理可以在外接圓中由定義證明得到，這里不再給出，下證推論。先證推論1，由正弦函數(shù)定義，BC邊上的高為bsinC，所以S△ABC=

以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，兩邊同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再證推

absinasin(??a)??，所以，即sinasin(?-A)=sin(?-a)sinA，sinAsinBsinAsin(??A)

11等價(jià)于?[cos(?-A+a)-cos(?-A-a)]= ?[cos(?-a+A)-cos(?-a-A)]，等價(jià)于22

cos(?-A+a)=cos(?-a+A)，因?yàn)?

b2?c2?a2

2．余弦定理：a=b+c-2bccosA?cosA?，下面用余弦定理證明幾個(gè)常2bc222用的結(jié)論。

（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC邊上任意一點(diǎn)，BD=p，DC=q，則b2p?c2qAD=?pq.（1）p?q2【證明】因?yàn)閏=AB=AD+BD-2AD·BDcos?ADB，222所以c=AD+p-2AD·pcos?ADB.①

222同理b=AD+q-2AD·qcos?ADC，②

因?yàn)?ADB+?ADC=?，所以cos?ADB+cos?ADC=0，所以q×①+p×②得 2222

b2p?c2qqc+pb=(p+q)AD+pq(p+q)，即AD=?pq.p?q22222b2?2c2?a2

注：在（1）式中，若p=q，則為中線(xiàn)長(zhǎng)公式AD?.2

1222122122?22（2）海倫公式：因?yàn)镾?ABC?bcsinA=bc(1-cosA)= bc 44

4?(b2?c2?a2)2?122 22?[(b+c)-a][a-(b-c)]=p(p-a)(p-b)(p-c).?1??22164bc??

這里p?a?b?c.2

用心 愛(ài)心 專(zhuān)心-1-

所以S△ABC=

p(p?a)(p?b)(p?c).二、方法與例題

1．面積法。

例1（共線(xiàn)關(guān)系的張角公式）如圖所示，從O點(diǎn)發(fā)出的三條射線(xiàn)滿(mǎn)足?POQ??,?QOR??，另外OP，OQ，OR的長(zhǎng)分別為u, w, v，這里α，β，α+β∈(0, ?)，則P，Q，R的共線(xiàn)的充要條件是

sin?sin?sin(???)

??.uvw

【證明】P，Q，R共線(xiàn)?SΔPQR?0?S?OPR?S?OPQ?S?ORQ ?

1uvsin(α+β)=uwsinα+vwsinβ 222sin(???)sin?sin????，得證。

wuv

2．正弦定理的應(yīng)用。

例2如圖所示，△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，使得?BPC-?BAC=?CPA-?CBA=?APB-?ACB。求證：AP·BC=BP·CA=CP·AB。

【證明】過(guò)點(diǎn)P作PD?BC，PE?AC，PF?AB，垂足分別為D，E，F(xiàn)，則P，D，C，E；P，E，A，F(xiàn)；P，D，B，F(xiàn)三組四點(diǎn)共圓，所以?EDF=?PDE+?PDF=?PCA+?PBA=?BPC-?BAC。

00

由題設(shè)及?BPC+?CPA+?APB=360可得?BAC+?CBA+?ACB=180。

所以?BPC-?BAC=?CPA-?CBA=?APB-?ACB=60。

00

所以?EDF=60，同理?DEF=60，所以△DEF是正三角形。所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsin?ACB=APsin?BAC=BPsin?ABC，兩邊同時(shí)乘以△ABC的外接圓直徑2R，得CP·BA=AP·BC=BP·AC，得證：

例3如圖所示，△ABC的各邊分別與兩圓⊙O1，⊙O2相切，直線(xiàn)GF與DE交于P，求證：PA?BC。

【證明】延長(zhǎng)PA交GD于M，GMO1AAF

??.MDAO2AE

APAFPAAE

?,?由正弦定理，sin(???1)sin?sin(???2)sin?AEsin?1sin?

??.所以

AFsin?2sin?

GMPMMDPM

?,?另一方面，sin?sin?1sin?sin?2GMsin?2sin?

??所以，MDsin?1sin?GMAF

?所以，所以PA//O1G，MDAE即PA?BC，得證。

因?yàn)镺1G?BC，O2D?BC，所以只需證

3．一個(gè)常用的代換：在△ABC中，記點(diǎn)A，B，C到內(nèi)切圓的切線(xiàn)長(zhǎng)分別為x, y, z，則a=y+z, b=z+x, c=x+y.22

2例4在△ABC中，求證：a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)≤3abc.【證明】令a=y+z, b=z+x, c=x+y，則 abc=(x+y)(y+z)(z+x)

?xy?yz?zx=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

=a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)-2abc.222

所以a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)≤3abc.4．三角換元。

例5設(shè)a, b, c∈R，且abc+a+c=b，試求P?

+

222

3??的最大值。a2?1b2?1c2?1

【解】由題設(shè)b?

a?c，令a=tanα, c=tanγ, b=tanβ, 1?ac

101?10?2

則tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cosγ≤?3?sin????，33?3?

?11022

當(dāng)且僅當(dāng)α+β=，sinγ=，即a=時(shí)，Pmax=.,b?2,c?

3322

41222

例6在△ABC中，若a+b+c=1，求證: a+b+c+4abc<.???22222

【證明】設(shè)a=sinαcosβ, b=cosαcosβ, c=sinβ, β??0,?.?2?

因?yàn)閍, b, c為三邊長(zhǎng)，所以c<, c>|a-b|，???222

從而???0,?，所以sinβ>|cosα·cosβ|.?4?

因?yàn)?=(a+b+c)=a+b+c+2(ab+bc+ca),222

所以a+b+c+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)

22224

=sinβcosβ+sinαcosα·cosβ·cos2β

141=41>4

=

[1-cos2β+(1-cos2α)cosβcos2β] +

224

1424

cos2β(cosβ-cos2αcosβ-cos2β)411442

+cos2β(cosβ-sinβ-cosβ)=.44

1222

所以a+b+c+4abc<.三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題

1．在△ABC中，邊AB為最長(zhǎng)邊，且sinAsinB=

2?

3，則cosAcosB的最大值為_(kāi)_________.42．在△ABC中，若AB=1，BC=2，則?C的取值范圍是__________.3．在△ABC中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+?tanCtanB，則△ABC的面積為_(kāi)_________.4．在△ABC中，3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1，則?C=__________.5．在△ABC中，“a>b”是“sinA>sinB”的__________條件.6．在△ABC中，sinA+cosA>0, tanA-sinA<0，則角A的取值范圍是__________.35，cosB=，則cosC=__________.513

AC

1?”的__________條件.8．在△ABC中，“三邊a, b, c成等差數(shù)列”是“tan?tan

223

7．在△ABC中，sinA=

9．在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，則三角形形狀是__________.10．在△ABC中，tanA·tanB>1，則△ABC為_(kāi)_________角三角形.11．三角形有一個(gè)角是60，夾這個(gè)角的兩邊之比是8：5，內(nèi)切圓的面積是12?，求這個(gè)三角形的面積。

12．已知銳角△ABC的外心為D，過(guò)A，B，D三點(diǎn)作圓，分別與AC，BC相交于M，N兩點(diǎn)。求證：△MNC的外接圓半徑等于△ABD的外接圓半徑。

13．已知△ABC中，sinC=

四、高考水平訓(xùn)練題 1．在△ABC中，若tanA=

sinA?sinB，試判斷其形狀。

cosA?cosB

1, tanB=，且最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為1，則最短邊長(zhǎng)為_(kāi)_________.2

32．已知n∈N+，則以3，5，n為三邊長(zhǎng)的鈍角三角形有________個(gè).+22

23．已知p, q∈R, p+q=1，比較大小：psinA+qsinB__________pqsinC.4．在△ABC中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，則△ABC 為_(kāi)_________角三角形.5．若A為△ABC 的內(nèi)角，比較大小：cot

A

?cotA__________3.8

6．若△ABC滿(mǎn)足acosA=bcosB，則△ABC的形狀為_(kāi)_________.7．滿(mǎn)足A=60，a=6, b=4的三角形有__________個(gè).8．設(shè)?為三角形最小內(nèi)角，且acos

?2?2?2?+sin-cos-asin=a+1，則a的取值范圍是2222

__________.9．A，B，C是一段筆直公路上的三點(diǎn)，分別在塔D的西南方向，正西方向，西偏北30方向，且AB=BC=1km，求塔與公路AC段的最近距離。

10．求方程xy?1?yx?1?xy的實(shí)數(shù)解。11．求證：

17?sin200?.320

五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題

1．在△ABC中，b=ac，則sinB+cosB的取值范圍是____________.sinBcosA?2cosC

?，則△ABC 的形狀為_(kāi)___________.sinCcosA?2cosB

ABC

3．對(duì)任意的△ABC，T?cot?cot?cot-(cotA+cotB+cotC)，則T的最大值為

22．在△ABC中，若____________.4．在△ABC中，sin

A

sinBsinC的最大值為_(kāi)___________.2

5．平面上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，其中A，B為定點(diǎn)，|AB|=3，C，D為動(dòng)點(diǎn)，且

|AD|=|DC|=|BC|=1。記S△ABD=S，S△BCD=T，則S+T的取值范圍是____________.6．在△ABC中，AC=BC，?ACB?80，O為△ABC的一點(diǎn)，?OAB?10，?ABO=30，則?ACO=____________.00

7．在△ABC中，A≥B≥C≥小值為_(kāi)_________.?ABC，則乘積cossincos的最大值為_(kāi)___________，最

2226

C?AA?C

?cos=____________.22

8．在△ABC中，若c-a等于AC邊上的高h(yuǎn)，則sin

9．如圖所示，M，N分別是△ABC外接圓的弧AB，AC中點(diǎn)，P為BC上的動(dòng)點(diǎn)，PM交AB

于Q，PN交AC于R，△ABC的內(nèi)心為I，求證：Q，I，R三點(diǎn)共線(xiàn)。

10．如圖所示，P，Q，R分別是△ABC的邊BC，CA，AB上一點(diǎn)，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。

求證：AB+BC+CA≤2（PQ+QR+RP）。

11．在△ABC外作三個(gè)等腰三角形△BFC，△ADC，△AEB，使BF=FC，CD=DA，AE=EB，?ADC=2?BAC，?AEB=2?ABC，?BFC=2?ACB，并且AF，BD，CE交于一點(diǎn)，試判斷△ABC的形狀。

六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題

1．已知等腰△ABC，AB=AC，一半圓以BC的中點(diǎn)為圓心，且與兩腰AB和AC分別相切于點(diǎn)D和G，EF與半圓相切，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，過(guò)E作AB的垂線(xiàn)，過(guò)F作AC的垂線(xiàn)，兩垂線(xiàn)相交于P，作PQ?BC，Q為垂足。求證：PQ?

EF，此處?=?B。

2sin?

2．設(shè)四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)O，點(diǎn)M和N分別是AD和BC的中點(diǎn)，點(diǎn)H1，H2（不重合）分別是△AOB與△COD的垂心，求證：H1H2?MN。

3．已知△ABC，其中BC上有一點(diǎn)M，且△ABM與△ACM的內(nèi)切圓大小相等，求證：

AM?P(P?a)，此處P?

(a+b+c), a, b, c分別為△ABC對(duì)應(yīng)三邊之長(zhǎng)。

24．已知凸五邊形ABCDE，其中?ABC=?AED=90，?BAC=?EAD，BD與CE交于點(diǎn)O，求證：AO?BE。

5．已知等腰梯形ABCD，G是對(duì)角線(xiàn)BD與AC的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作EF與上、下底平行，點(diǎn)E

和F分別在AB和CD上，求證：?AFB=90的充要條件是AD+BC=CD。

6．AP，AQ，AR，AS是同一個(gè)圓中的四條弦，已知?PAQ=?QAR=?RAS，求證：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。

22222

7．已知一凸四邊形的邊長(zhǎng)依次為a, b, c, d，外接圓半徑為R，如果a+b+c+d=8R，試問(wèn)對(duì)此四邊形有何要求？

8．設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓，BA和CD延長(zhǎng)后交于點(diǎn)R，AD和BC延長(zhǎng)后交于點(diǎn)P，?A，?B，?C指的都是△ABC的內(nèi)角，求證：若AC與BD交于點(diǎn)Q，則

cosAcosCcosB

??.APCRBQ

9．設(shè)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P至BC，CA，AB的垂線(xiàn)分別為PD，PE，PF（D，E，F(xiàn)是垂足），求證：PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD)，并討論等號(hào)成立之條件。

第三篇：江蘇泰興市高中數(shù)學(xué)第2章數(shù)列21數(shù)列蘇教版5

2.1 數(shù)列（1）

教學(xué)目標(biāo)：

1.了解數(shù)列的概念，了解數(shù)列的分類(lèi)，理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，會(huì)用列表法和圖象法表示數(shù)列；

2．理解數(shù)列通項(xiàng)公式的概念，會(huì)根據(jù)通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)，會(huì)根據(jù)簡(jiǎn)單數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．

教學(xué)重點(diǎn)：

1．理解數(shù)列的概念；

2．會(huì)根據(jù)簡(jiǎn)單數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式． 教學(xué)難點(diǎn)：

1．理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)；

2．會(huì)根據(jù)簡(jiǎn)單數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式.教學(xué)方法：

采用啟發(fā)式、討論式以及講練結(jié)合的教學(xué)方法，通過(guò)問(wèn)題激發(fā)學(xué)生求知欲，使學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，以獨(dú)立思考和相互交流的形式，在教師的指導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題．

教學(xué)過(guò)程：

一、問(wèn)題情境 1．情境：

劇場(chǎng)座位： 20，22，24，26，28，．．．（1）彗星出現(xiàn)的年份： 1740，1823，1906，1989，2072，．．．（2）細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù)： 1，2，4，8，16，．．．（3）“一尺之棰” 每日剩下的部分： 1，1111，，．．．（4）24816各年樹(shù)木的枝干數(shù)： 1，1，2，3，5，8，．．．（5）我國(guó)參加6次奧運(yùn)會(huì)獲金牌數(shù)： 15，5，16，16，28，32．（6）2．問(wèn)題：

這些數(shù)字能否調(diào)換順序？順序變了之后所表達(dá)的意思變化了嗎？

二、學(xué)生活動(dòng)

思考問(wèn)題，并理解順序變化對(duì)這列數(shù)字的影響．

三、建構(gòu)數(shù)學(xué)

1．?dāng)?shù)列：按照一定次序排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列．

數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成a1，a2，a3，．．．，an，．．．，簡(jiǎn)記為?an?． 2．項(xiàng)：數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．，a2稱(chēng)為第2項(xiàng)，．．．，an稱(chēng)為第n項(xiàng)． a1稱(chēng)為數(shù)列?an?的第1項(xiàng)（或稱(chēng)為首項(xiàng)）說(shuō)明：數(shù)列的概念和記號(hào)?an?與集合概念和記號(hào)的區(qū)別：（1）數(shù)列中的項(xiàng)是有序的，而集合中的項(xiàng)是無(wú)序的；（2）數(shù)列中的項(xiàng)可以重復(fù)，而集合中的元素不能重復(fù)． 3．有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列．

項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列，項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列叫做無(wú)窮數(shù)列． 4．?dāng)?shù)列是特殊的函數(shù)．

在數(shù)列?an?中，對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n（或n?｛1，2，…,k｝），都有一個(gè)數(shù)an與之對(duì)應(yīng)．因此，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N（或它的有限子集｛1，2，…,k｝）為定義域的函數(shù)

*an?f(n)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值．反過(guò)來(lái)，對(duì)于函數(shù)y?f(x)，如果f(i)（i?1,2,3，…）有意義，那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列

f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…．（強(qiáng)調(diào)有序性）

說(shuō)明：數(shù)列的圖象是一些離散的點(diǎn)． 5．通項(xiàng)公式．

一般地，如果數(shù)列?an?的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示．那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．

四、數(shù)學(xué)運(yùn)用 例2．已知數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式，寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)，并作出它的圖象：

n(?1)n（1）an?；（2）an?．

n?12n

例3．寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：（1）1，3，5，7；（2）2，4，6，8；（3）?1，1，?1；

五、要點(diǎn)歸納與方法小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容： 1．?dāng)?shù)列的概念；

2．求數(shù)列的通項(xiàng)公式的要領(lǐng)．

4）0，2，0，2． 3

（

第四篇：高中數(shù)學(xué) §1.1.3解三角形的進(jìn)一步討論教案 新人教A版必修5

安徽省滁州二中高中數(shù)學(xué)必修5 課題 §1．1．3解三角形的進(jìn)一

步討論

●教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能：掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形；三角形各種類(lèi)型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。

過(guò)程與方法：通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生分析，解答三個(gè)典型例子，使學(xué)生學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用正、余弦定理，三角函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)求解三角形問(wèn)題。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)正、余弦定理，在解三角形問(wèn)題時(shí)溝通了三角形的有關(guān)性質(zhì)和三角函數(shù)的關(guān)系，反映了事物之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉(zhuǎn)化的可能，從而從本質(zhì)上反映了事物之間的內(nèi)在聯(lián)系。●教學(xué)重點(diǎn)

在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形； 三角形各種類(lèi)型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。●教學(xué)難點(diǎn)

正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用。●教學(xué)過(guò)程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 [創(chuàng)設(shè)情景] 思考：在ABC中，已知，，解三角形。

（由學(xué)生閱讀課本第9頁(yè)解答過(guò)程）

從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，在某些條件下會(huì)出現(xiàn)無(wú)解的情形。下面進(jìn)一步來(lái)研究這種情形下解三角形的問(wèn)題。Ⅱ.講授新課 [探索研究] 例1．在ABC中，已知，討論三角形解的情況

分析：先由則

可進(jìn)一步求出B；

從而

才能有且只有一解；否則無(wú)解。1．當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，必須2．當(dāng)A為銳角時(shí)，如果≥，那么只有一解； 如果，那么可以分下面三種情況來(lái)討論：（1）若，則有兩解；（2）若，則只有一解；（3）若，則無(wú)解。（以上解答過(guò)程詳見(jiàn)課本第910頁(yè)）

評(píng)述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，只有當(dāng)A為銳角且

時(shí)，有兩解；其它情況時(shí)則只有一解或無(wú)解。

[隨堂練習(xí)1]（1）在ABC中，已知，，試判斷此三角形的解的情況。

（2）在（3）在ABC中，若ABC中，，，則符合題意的b的值有_____個(gè)。，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。

（答案：（1）有兩解；（2）0；（3）例2．在ABC中，已知分析：由余弦定理可知，），判斷

ABC的類(lèi)型。

（注意：解：∴[隨堂練習(xí)2]

（1）在ABC中，已知（2）已知ABC滿(mǎn)足條件（答案：（1），判斷ABC的類(lèi)型。，判斷ABC的類(lèi)型。

；（2）

ABC是等腰或直角三角形），即。，）

例3．在ABC中，，面積為，求的值

分析：可利用三角形面積定理以及正弦定理

解：由則

得=3，即，從而Ⅲ.課堂練習(xí)（1）在ABC中，若，且此三角形的面積，求角C（2）在ABC中，其三邊分別為a、b、c，且三角形的面積或

；（2）），求角C（答案：（1）Ⅳ.課時(shí)小結(jié)

（1）在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形；（2）三角形各種類(lèi)型的判定方法；

（3）三角形面積定理的應(yīng)用。

Ⅴ.課后作業(yè)（1）在ABC中，已知，，試判斷此三角形的解的情況。

（2）設(shè)x、x+

1、x+2是鈍角三角形的三邊長(zhǎng)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。（3）在ABC中，，判斷

ABC的形狀。的根，（4）三角形的兩邊分別為3cm，5cm,它們所夾的角的余弦為方程求這個(gè)三角形的面積。●板書(shū)設(shè)計(jì) ●授后記

第五篇：2015高中數(shù)學(xué)第一章解三角形復(fù)習(xí)課教案新人教A版必修5

解三角形復(fù)習(xí)課

（一）沅陵七中 黃有圣

2016.12.3 ●教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：1.梳理解三角形的知識(shí)點(diǎn)，及時(shí)查找知識(shí)點(diǎn)的漏洞，建立知識(shí)之間的聯(lián)系，形成知識(shí)體系。

2.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法進(jìn)一步解決有關(guān)三角形的問(wèn)題。

過(guò)程與方法：采用啟發(fā)與嘗試的方法，讓學(xué)生在溫故知新中學(xué)會(huì)正確解三角形，幫助學(xué)生逐步構(gòu)建知識(shí)框架，并通過(guò)練習(xí)、訓(xùn)練來(lái)鞏固深化解三角形實(shí)際問(wèn)題的一般方法。教學(xué)形式要堅(jiān)持引導(dǎo)——討論——?dú)w納，目的不在于讓學(xué)生記住結(jié)論，更多的要養(yǎng)成良好的研究、探索習(xí)慣，讓學(xué)生在具體的實(shí)踐中結(jié)合圖形靈活把握正弦定理和余弦定理的特點(diǎn)，有利地進(jìn)一步突破難點(diǎn)。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識(shí)，加深對(duì)所學(xué)定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學(xué)生在探究中體驗(yàn)愉悅的成功體驗(yàn)

●教學(xué)重點(diǎn)

1.正弦定理，余弦定理的掌握。

2.應(yīng)用正、余弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化問(wèn)題（內(nèi)角和的靈活運(yùn)用）。

●教學(xué)難點(diǎn)

讓學(xué)生轉(zhuǎn)變觀念，由記憶到理解，由解題公式的使用到結(jié)合圖形去解題和校驗(yàn)。●教學(xué)過(guò)程（課件上課）【復(fù)習(xí)導(dǎo)入】 1． 正弦定理: abc???2R（2R可留待學(xué)生練習(xí)中補(bǔ)充）sinAsinBsinC111absinC?bcsinA?acsinB.222 S??余弦定理 ：a2?b2?c2?2bccosA b2?a2?c2?2accosB

c2?a2?b2?2abcosC

222222a2?b2?c2b?c?aa?c?b求角公式：cosA? cosB? cosC?

2ab2bc2ac 2．思考：各公式所能求解的三角形題型？

正弦定理: 已知兩角和一邊、兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他邊角

余弦定理 ：已知兩邊和夾角、已知三邊、兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其它邊角

注意：由公式出發(fā)記憶較為凌亂，解題往往由條件出發(fā)。【合作探究】 5 注：求三角形的邊角時(shí)，應(yīng)注意挖掘隱含的條件上。如第3題的角A只能是銳角這個(gè)隱含條件。【戰(zhàn)高考】

【一題多變】

【歸納小結(jié)】

1． 應(yīng)用正、余弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化問(wèn)題，要注意公式及題目的隱含條件。2． 解三角形問(wèn)題要注意結(jié)合圖形，特別是三角形的相關(guān)性質(zhì)(內(nèi)角和、邊角關(guān)系)3.正確選擇正弦定理和余弦定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

【課后練習(xí)】（難度取舍不同，各班可按實(shí)際情況安排）、在 ?ＡＢＣ中，AC=3,?A?45?,?C?75?,則BC??? A.2,B.3,C.2，D.5.?ＡＢＣ中，a,b,c分別為?A、?B、?C的對(duì)邊，如果 a、b、c成等差數(shù)列，?B=30?，?ABC的面積 3 2，那么b等于??

1３為2?3,D.2?3 2 abc4.在?ABC中，若??,則?ABC是?conAconBconC

A.直角三角形，B.等邊三角形，A.3,C.1?3,B.1?2?C.鈍角三角形，D.等腰直角三角形

9.在?ABC中，已知（a?b?c)(a?b?c)?3ab，且2cosAsinB?sinC,試確定?ABC的形狀

10.tanC?37 在?ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，（）求1cosC

????????5（2）若CA?CB?，且a?b?9，求c2

課后反思：時(shí)間安排上考慮不太周到，知識(shí)梳理時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，尤其是正弦、余弦定理的語(yǔ)言表示要求過(guò)高，課堂上花了太多時(shí)間，解三角形中角的關(guān)系的辨析是關(guān)鍵，尤其是正弦化余弦時(shí)要明確角是否可以為銳角和鈍角。解三角形時(shí)應(yīng)注意正弦定理和余弦定理的選擇，注意轉(zhuǎn)化與化歸。過(guò)后還需加強(qiáng)訓(xùn)練，提升學(xué)生角三角形的能力。