第一篇：柯西不等式的小結(jié)

柯西不等式的小結(jié)

浙江省余姚中學(xué)

徐鵬科

315400 柯西不等式是數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理方程研究中一個(gè)非常重要的不等式，普通高中數(shù)學(xué)新課程把它列入選修內(nèi)容，然而對(duì)于浙江等省份而言，又是高考報(bào)考第一類大學(xué)的加試內(nèi)容。因此對(duì)其作一小結(jié)很有必要，通過(guò)幾年的教學(xué)與實(shí)踐，應(yīng)該說(shuō)把握這塊知識(shí)已不是困難的事。

新課程選修４-５中，施行類比的數(shù)學(xué)思想方法得到的柯西不等式一般形式為：

設(shè)a1,a2,a3,?,an;b1,b2,b3,?,bn是實(shí)數(shù)，則

222222(a12?a2?a3??an)(b12?b2?b3???bn)?(a1b1?a2b2?a3b3???anbn)2

當(dāng)且僅當(dāng)bi?0(i?1,2,3,?,n)或存在一個(gè)實(shí)數(shù)k使ai?kbi(i?1,2,3,?,n)時(shí)等號(hào)成立。課本提供的證時(shí)方法是構(gòu)造函數(shù)f(x)?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2???(anx?bn)2，利用f(x)非負(fù)性來(lái)完成不等式的證明。筆者認(rèn)為，課本從二維向量類比到三維向量后得到了三維形式的柯西不等式，如果再增加從三維向量到n維向量的類比，那么柯西不等式的一般形式也就此可得，這是我們作為教師應(yīng)該想到的地方。在這里必須指出，大多學(xué)生在學(xué)習(xí)柯西不等式時(shí)會(huì)遇到的困難不少，不等式形式的記憶，不等式應(yīng)用的靈活性，會(huì)使學(xué)家生置身于云里霧里。筆者在教學(xué)中為學(xué)生記憶方便，編了如下的順口溜：“大端括號(hào)乘括號(hào)，小端括號(hào)添平方，末平方的平方和，已平方的和串積，莫忘何時(shí)能相等。”實(shí)踐證明，效果是明顯的。

柯西不等式是一個(gè)公式，公式總涉及到應(yīng)用的問(wèn)題，公式的應(yīng)用不外乎“順用”、“逆用”、“變用”這三種用法，下面來(lái)舉例說(shuō)明，由于篇幅有限每道例題只作分析，讀者閱后自證較易。

首先要掌握“順用”，這里指的是從大到小的應(yīng)用 例

1、設(shè)x1,x2,?,xn?R?，且x1?x2???xn?1。

22xnx12x21求證：?????.1?x11?x21?xnn?1分析：根據(jù)柯西不等式的特征和x1?x2???xn?1，要證的不等式可變形為

22xnx12x2(n?1)(左邊第一括號(hào)中的n可看成n個(gè)????)?(x1?x2???xn)2，1?x11?x21?xn1的和，再把余下的1代掉即可得需證不等式，即證：

22xnx12x2[(1?x1)?(1?x2)???(1?xn)](????)?(x1?x2???xn)2，此即

1?x11?x21?xn柯西不等式，顯然成立。

其次要掌握“逆用”，這里指的是從小到大的應(yīng)用。例2 已知 2x?3y?4z?10求x?y?z的最小值.222分析： ?10??2x?3y?4z??2?3?422222?x?y?z?2?2??x2?y2?z2?

100203040,y?,z? 當(dāng)且僅當(dāng)x?時(shí)等號(hào)成立

29292929100222

??x?y?z??

min29本題的解題過(guò)程告訴我們，柯西不等式中的三個(gè)括號(hào)，如果其中兩個(gè)是定值，則必可求出余下一個(gè)括號(hào)的最值。

最后，要把握”變用”，這里指的是對(duì)整個(gè)公式作靈活應(yīng)用，是公式應(yīng)用中的最高層次。例 3 設(shè)實(shí)數(shù) x,y滿足2x2?3y2?5，求A?x?2y的最大值.分析： 顯然，本題解決方向應(yīng)是從小端向大端行進(jìn)，然而，恰當(dāng)配湊常數(shù)是關(guān)鍵。

?A??x?2y???22???2x???222??1111?????3y?????5? ???????623????????2

?A?x?2y?x?2y?330 6例4 已知x,y,z?R?且x?y?z?1

（1）若2x2?3y2?6z2?1求x,y,z的值.（2）若2x2?3y2?tz2?1恒成立，求正數(shù)t的取值范圍.分析： 對(duì)于（1），求x,y,z的值只有兩個(gè)方程，這是一個(gè)三元不定方程，一般不能求出確 定的x,y,z的解，現(xiàn)題目要求這樣做，因此個(gè)中必有特殊情況，特殊情況就在柯西不等式中，2?111??2x2?3y2?6z2??????2x2?3y2?6z2???x?y?z??1

?236?

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x?111,y?,z?時(shí)取到。23622可見(jiàn)題設(shè)的特殊性。確定了未知數(shù)能取的特殊性。

對(duì)于（2），既然2x?3y?tz?1恒成立，除參數(shù)t必然的一個(gè)取值范圍的要求外還 須2x?3y?tz的最小值也應(yīng)該是大于等于1.為此只需柯西不等式從大端到小端的進(jìn)行，又2x2?3y2?tz2?于是2x2?3y2?tz22222?2?111????x?y?z?1，????236????2min?151?6t?1成立，解得t?6

例 5 已知 w?x?y?z?F?16，求F?8?w?x?y?z的最大值.2222分析： 要求出F的最大值，需要建立關(guān)于F的不等式，借助柯西不等式就可以達(dá)到目的.?8?F???w?x?y?z??1?1?1?12222

于是有 5F?16F?0,22?2??w2?x2?y2?z2??4??16?F2?

0?F?165?Fmax?當(dāng)且僅當(dāng)x?y?z?w?6時(shí)取到。5165

例 6 如圖 已知在銳角?ABC中，BC?a,AC?b,AB?c，其內(nèi)一點(diǎn)P向三邊作垂線，垂足為N，M，L，試求BC?CM22?AN的最小值，zND2A并指出此時(shí)P點(diǎn)的位置。

分析： 為了求出題中變量的最小值，首先想到的是把這 個(gè)量用數(shù)學(xué)式子表達(dá)出來(lái)。于是可設(shè)

MyBL?x,CM?y,AN?z

?PB2?x2?PC2?(a?x)2?2222由勾股定理?PC?y?PA?(b?y)?PA2?z2?PB2?(c?z)2?三式相加即得

BxLC

(a?x)2?(b?y)2?(c?z)2?x2?y2?z2

化簡(jiǎn)整理得ax?by?cz?12(a?b2?c2)2(1)

(2)由柯西不等式ax?by?cz?222a2?b2?c2?x2?y2?z2a2?b2?c2有（1）、（2）得到x?y?z?4當(dāng)且僅當(dāng)x?2(3)

abc,y?,z?時(shí)取到。22222a2?b2?c2?BC?CM?AN的最小值為

4此時(shí)P點(diǎn)是銳角三角形ABC的外心。

綜上所述，柯西不等式的教學(xué)既要抓緊基礎(chǔ)知識(shí)的落實(shí)，又要靈活掌握應(yīng)用。在柯西不等式的應(yīng)用中充滿著智慧，對(duì)運(yùn)算能力特別是代數(shù)式的變形技巧和數(shù)字的配湊技巧提出較高的要求，是培養(yǎng)學(xué)生能力的好場(chǎng)所。

第二篇：關(guān)于柯西不等式的證明

關(guān)于柯西不等式的證明

王念

數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 07 級(jí) 指導(dǎo)老師：吳明忠

摘要：研究柯西不等式的多種證明方法，得到一些有用的結(jié)論，并簡(jiǎn)單介紹一些它的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：柯西不等式、數(shù)學(xué)歸納法、二次型正定、歐式空間向量?jī)?nèi)積、詹森不等式，二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。

Cauchy inequality is an important inequality.It has aroused people’s interest and its widespread application.In this paper、quadratic form、European space inner product、and the relation between Cauchy inequality.Wang Ni an

Xxxxxxxxxxx Grade 07 Instructor: Wu Ming Zhong

Abstract: The paper discusses the certifying ways of Cauchy inequality then gets some useful conduction and introduces some appliances.Key words: Cauchy inequality;quadratic form;inner product;Jensen inequality;mathematic Expectation.柯西不等式是大家熟知的一個(gè)重要不等式，它的結(jié)構(gòu)和諧對(duì)稱、以及廣泛的運(yùn)用引起了人們的興趣和討論。本文運(yùn)用高等代數(shù)、微積分的基本內(nèi)容來(lái)證明柯西不等式。柯西不等式的內(nèi)容 1.1

(a1b1?a2b2?....?anbn)2?(a12?a22?....an2)2(b12?b22?....?bn2)2(aibi?R,i?1,2......n)

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2?.....?an?0或bi?kai時(shí)成立（k為常數(shù)，i=1,2…..n）.1.2 設(shè)a1,a2,.....an及b1,b2,.....bn為任意實(shí)數(shù)則不等式(?aibi)?(?a)(?bi2)成2

i?1

i?1

i?1

n

n

n

立，當(dāng)且僅當(dāng)bi?kai（i=1,2…..n）取等號(hào)。1,2這兩種形式就是著名的柯西不

等式。柯西不等式的證明 2.1構(gòu)造二次函數(shù)，證明柯西不等式。(其關(guān)鍵在于利用二次函數(shù)??0時(shí)函數(shù)f(x)?0

f(x)?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2?....?(anx?bn)2

?(a12?a22?....?an2)x2?2(a1b1?a2b2?....?anbn)x ?(b12?b22?....bn2)顯然f(x)?0

又?a12?a22?....ann?0則利用??0可得

??4(a1b1?a2b2?.....?anbn)2?4(a12?a22?....?ann)(b?b2?.....?bn)?0即

n

(a1b1?a2b2?....?anbn)2?(a12?a22?....?an2)(b?b2?....?bn)

當(dāng)且僅當(dāng)aix?bi?0(i?1,2....n)即

aa1a2

??.......?n是等號(hào)成立。b1b2bn

2.2 利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。（關(guān)鍵把握由特殊到一般情況的嚴(yán)密性）

（1）當(dāng)n?1時(shí)左式=?a1b1?右式=?a1b1?

顯然左式=右式 當(dāng)

n?2

時(shí)，右式

??a12?a2??b12?b22???a1b1???a2b2??a22b12?a12b22

??a1b1???a2b2??2a1a2b1b2??a1b2?a2b2??左式

僅當(dāng)即 a2b1?a1b2 即

a1a2

?時(shí)等號(hào)成立 b1b2

故n?1,2時(shí) 不等式成立

（2）假設(shè)n?k?k??,k?2?時(shí)，不等式成立

2k???ak即 ?a1b1?a2b2???akbk???a12?a2??b12?b22???bk2?

當(dāng) bi?kai，k為常數(shù)，i?1,2?n 或a1?a2???ak?0時(shí)等號(hào)成立

??a12?a2?....?ak

設(shè)B?b12?b22?....?bk2

C?a1b1?a2b2?....?akbk

222222則???ak?1????bk?1??????bk?1?ak?1bk?1?Bak?1 22?C2?2Cak?1bk?1?ak?1bk?1??C?ak?1bk?1? 2222?a1?a2???ak?ak?1

???

b?12

b?2??

k

?b2

?k

?b

??a1b1?a2b2???akbk?ak?1bk?1?

當(dāng) bi?kai，k為常數(shù)，i?1,2?n 或a1?a2???ak?0時(shí)等號(hào)成立

即n?k?1時(shí)不等式成立 綜上所述原柯西不等式得證。

2.3 利用基本不等式（均值不等式）進(jìn)行證明（關(guān)鍵在于利用它 “形式”）由于x?y?2xy(x,y?

R)，令x?

y?

?

ai22?ak2

k?1

n

n

?

bi22?bk2

k?1n

(i?1,2.......n)

將N

不等式相加得：

?ab

ii

??aibi?

i?1n

?

?a

i?1

nk?1

n

i

?

?b

i?1nk?1

n

i

?1

2?ak22?bk2

n

n

n

i?1

k?1

即(?aibi)?(?ai)(?bk2)

i?1

原柯西不等式得證。

2.4 利用二次正定型理論進(jìn)行證明（關(guān)鍵在于理解二次型正定的定義）正定二次型定義：R上一個(gè)n元二次型q(x1,x2,....xn)可以看成定義在實(shí)數(shù)域上n個(gè)變量的實(shí)函數(shù)。如果對(duì)于變量x1,x2,....xn的每一組不全為零的值，函數(shù)值

q(x1,x2,....xn)都是正數(shù)，那么就稱q(x1,x2,....xn)是一個(gè)正定二次型。

?(aix1?bix2)?ai2x12?bi2x22?2aibix1x2?0(i?1,2,.....n)

n

n

n

有(?ai)x?(?bi)x2?(2?aibi)x1x2?0

i?1

i?1

i?1

設(shè)二次型 f(x1,x2)?(?ai)x?(?bi)x2?(2?aibi)x1x2?0

i?1

i?1

i?1

nnn

故f為正定必有二次型矩陣

?n2??aii?1

A??n

?

??aibi?i?1

n

?ab?ii?i?1

?正定 n

2?b?i?i?1?

n

n

n

(?ai)(?bi)?(?aibi)2?0

則A?0,即

i?1

i?1

i?1

?(?aibi)2?(?ai2)(?bi2)

i?1

i?1

i?1

nnn

當(dāng)

aa1a2

??.......?n時(shí)等號(hào)成立。b1b2bn

故原不等式成立，及柯西不等式得證。2.5 利用歐式空間中內(nèi)積的性質(zhì)進(jìn)行證明。

定理：在一個(gè)歐式空間里，對(duì)于任意向量?,?，有不等式：

??,??2???,????,??;當(dāng)且僅當(dāng)?與?線性相關(guān)時(shí)，才取等號(hào)。

證 如果?與?線性相關(guān)，那么或者??0，或者??a?，不論哪一種情況都有

??,??2???,????,??.現(xiàn)在設(shè)?與?線性無(wú)關(guān)。那么對(duì)于任意實(shí)數(shù)t來(lái)說(shuō)，t????0，于是

?t???,t?????0,即 t2??,???2t??,????,?????,???0.最后不等式左端是t的一個(gè)二次三項(xiàng)式。由于它對(duì)于t的任意是數(shù)值來(lái)說(shuō)都是正數(shù)，所以它的判別式一定小于零，即

??,??2???,????,???0或??,??2???,????,??.又在Rn里，對(duì)于任意兩個(gè)向量

??(x1,x2,....xn),??(y1,y2,....yn),規(guī)定（必須規(guī)定）??,???x1y1?x2y2?.....?xnyn.容易驗(yàn)證，關(guān)于內(nèi)積的公理被滿足，因而R對(duì)于這樣定義的內(nèi)積來(lái)說(shuō)作成一個(gè)歐式空

n

間.再由不等式??,??2???,????,??;推出對(duì)于任意實(shí)數(shù)a1,a2,....an,b1,b2,....bn,有不等式

(a1b1?....?anbn)2?(a12?....?an2)(b12?....?bn2).即柯西不等式得證。2.6 利用行列式進(jìn)行證明

n

n

n

證 ?(?ai)(?b)?(?aibi)?

i?1

i?1

i?1

?a

i?1ni?1

n

i

?ab

i?1n

2ii?1

n

ii

?ab?b

iin

n

???

i?1j?1

ai2aibi

ajbjbj2

?

1?i?j?n

?

(aibj?ajbi)2?0

若令a?(a1,a2,?an),b?(b1,b2?bn)則可以得到：

(?aibi)?(a)(b)?1?i 即柯西不等式得證。

i?1

i?1

i?1

n

n

n

2.7 利用詹森不等式進(jìn)行證明

考察函數(shù)?(x)?x2,(x?0),??(x)?2x,???(x)?2?0,故?(x)?x2是(0,??)上的凸函數(shù)，詹森（Jensen）不等式

?n

??PkXk?k?1n?

??Pk?k?1

n

n

?2??PkXk??k?1n(其中，P,2,?n),得 k?0,k?1?Pk??

k?1?

n

n

(?PkXk)?(?Pk)(?PKxk2)

k?1

k?1

k?1

nnn

ak22

上式中令Pk?bk,Xk?即（?PkXk)?(?bk)(?ak2)

bkk?1k?1k?1

從而不等式成立。

2.8 利用二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望證明

表格 2

1n1n21n222

E(??)??aibi，E???ai,E???bi

ni?1ni?1ni?1

由E(??)?E?2E?2

1n1n21n22

所以有(?aibi)?(?ai)(?bi)

ni?1ni?1ni?1

即(?aibi)?(?ai)(?bi2)

i?1

i?1

i?1

nnn

則柯西不等式得證。

第三篇：柯西不等式的證明

柯西不等式的證明

二維形式的證明

(a^2+b^2)(c^2+d^2)（a,b,c,d∈R)

=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^

2=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2

=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2

≥(ac+bd)^2，等號(hào)在且僅在ad－bc=0即ad=bc時(shí)成立。

三角形式的證明

√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]

證明： [√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2*√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2)≥a^2+b^2+c^2+d^2+2*|a*c+b*d| 注： | |表示絕對(duì)值。*表示乘

≥a^2+b^2+c^2+d^2-2（a*c+b*d）

=a^2-2*a*c+c^2+b^2-2bd+d^2

=(a-c)^2+(b-d)^2

兩邊開(kāi)根號(hào)即得 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]

一般形式的證明

求證：(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2

證明：

當(dāng)a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0時(shí)，一般形式顯然成立

令A(yù)=∑ai^2 B=∑ai·bi C=∑bi^2

當(dāng)a1，a2，…，an中至少有一個(gè)不為零時(shí)，可知A>0

構(gòu)造二次函數(shù)f(x)=Ax^2+2Bx+C，（請(qǐng)注意，一次項(xiàng)系數(shù)是2B，不是B）展開(kāi)得：f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑(ai·x+bi)^2≥0

故f(x)的判別式△=4B^2－4AC≤0，（請(qǐng)大家注意：一元二次方程ax^2+bx+c=0的判別式確實(shí)是△=b^2-4ac，但是這里的方程Ax^2+2Bx+C = 0已經(jīng)發(fā)生如下替換a = A，b = 2B，c = C，這里面b已經(jīng)換成了2B，因而導(dǎo)致很多網(wǎng)友的誤解。此步若錯(cuò)，柯西不等式就無(wú)法證明了！）移項(xiàng)得AC≥B^2，欲證不等式已得證。

向量形式的證明

令m=(a1, a2, …, an)，n=(b1, b2, …, bn)

m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos=√(a1^2+a2^2+…+an^2)×√(b1^2+b2^2+…+bn^2)×cos

∵cos≤

1∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1^2+a2^2+…+an^2)×√(b1^2+b2^2+…+bn^2)注：“√”表示平方根。

注：以上僅是柯西不等式部分形式的證明。

【柯西不等式的應(yīng)用】 柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時(shí)是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)給予極大的重視。

巧拆常數(shù)證不等式

例：設(shè)a、b、c為正數(shù)且互不相等。求證：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)∵a、b、c 均為正數(shù)

∴為證結(jié)論正確，只需證：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9

而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)

又9=(1+1+1)^2 ∴只需證：

2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)^2=9

又a、b、c互不相等，故等號(hào)成立條件無(wú)法滿足

∴原不等式成立

求某些函數(shù)最值

例：求函數(shù)y=3√(x－5)+4√(9－x)的最大值。(注：“√”表示平方根)

函數(shù)的定義域?yàn)閇5, 9]，y>0

y=3√(x－5)+4√(9－x)≤√(3^2+4^2)×√{ [√(x－5)] ^2 + [√(9－x)] ^2 }=5×2=10函數(shù)僅在4√(x－5)=3√(9－x)，即x=6.44時(shí)取到。

以上只是柯西不等式的部分示例。

更多示例請(qǐng)參考有關(guān)文獻(xiàn)。三角形式證明 :兩邊同時(shí)平方,展開(kāi),消去同樣的項(xiàng),剩余部分再平方,消去同樣的項(xiàng),得一完全平方式,大于或等于0,得證

代數(shù)形式

設(shè)a1，a2，...an及b1，b2，...bn為任意實(shí)數(shù)，則（a1b1+a2b2+...+anbn）①，當(dāng)且僅當(dāng)a1/b1=a2/b2=...=an/bn（規(guī)定ai=0時(shí)，bi=0）時(shí)等號(hào)成立.推廣形式的證明

推廣形式為

(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n(*)

證明如下

記A1=x1+y1+…,A2=x2+y2+…,….由平均值不等式得(1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

=[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

(1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

=[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n), …… 上述m個(gè)不等式疊加得

即即 即1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n

成立.（注：推廣形式即為卡爾松不等式）

(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n，因此,不等式(*)

第四篇：柯西不等式及應(yīng)用含答案

一、柯西不等式：

(?a)?(?b)?(?akbk)2等號(hào)成立的條件是ak??bk(k?1,2,3???n)

2k

2k

k?

1k?1

k?1

nnn

二維柯西不等式：(x1x2?y1y2)2?(x12?y12)(x22?y22)

證明：（用作差法）

(x1?y1)(x2?y2)?(x1x2?y1y2)2?x1y2?x2y1?2x1x2y1y2?(x1y2?x2y1)2?0

2222222

2三維柯西不等式：(x1x2?y1y2?z1z2)2?(x12?y12?z12)(x22?y22?z22)

證明：（構(gòu)造空間向量法）設(shè)m?

(x1,y1,z1),n?(x2,y2,z2)

??，所以：x1x2?y1y2?z1z2?

x1?y1?z1?x2?y2?z2，兩邊平方即可！

222222

n維柯西不等式：(?a)?(?b)?(?akbk)2

2k

2k

k?1

k?1

k?1

n

n

n

等號(hào)成立的條件是

ak??bk(k?1,2,3???n)

證明：（用構(gòu)造函數(shù)法）（1）.當(dāng)b1?b2?????bn?0時(shí)，不等式顯然成立；（2）當(dāng)b1,b2,???bn不全為0時(shí)，構(gòu)造f(x)?（n

n

n

n

?b

k?1

n

k

2)x?2(?akbk)x?(?ak),所以有2

k?1

k?1

nn

f(x)?(?b)x?2(?akbk)x?(?a)??(bkx?ak)2?0對(duì)任意x?R恒成立，因此

k

2k

k?1

k?1

k?1

k?1

??4(?akbk)?4(?a)?(?bk2)?0

2k

k?1

k?1

k?1

nnn

故：（?a

k?1

n

2k)?(?b)?(?akbk)2

2kk?1

k?1

nn

柯西不等式的變式：(?ak)?(?bk)?(?akbk)2

k?1k?1k?1nnn

(?a)?(?b)??akbk 2

k2k

k?1k?1k?1nnn

nak(?akbk)?(?)?(?ak)2等號(hào)成立的條件是當(dāng)且僅當(dāng)b1?b2?????bn

k?1k?1bkk?1

2naka(?)?(?k)2（在柯西不等式中令bk=1，兩邊同時(shí)除以n2即得）

k?1nk?1nnnn

2ak(?)?

k?1bkn(?ak)2k?1nn?b

k?1(等號(hào)成立的條件是ak??bk(k?1,2,3???n)k

二、練習(xí)：

x2y2z

21.已知x,y,z>0，且x?y?z?1，求的最小值； ??y(1?y)z(1?z)x(1?x)

2.已知a,b>0,求證：3111< ??a?2ba?4ba?6b(a?b)(a?7b)

3.已知x?y?z?2且x,y,z>0，求證：1119≥ ??x?yy?zz?x

44.設(shè)a,b,c為正數(shù)且互不相等.求證:2229> ??a?bb?cc?aa?b?c

3111≥ ??a3(b?c)b3(a?c)c3(a?b)25.設(shè)正實(shí)數(shù)a,b,c 滿足abc?1, 求證:

12100 3c

222?a?b?c17.設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c 滿足a?2b?3c?6，求證：3?9?27≥； 36.設(shè)a,b,c為正數(shù), 且a?b?c?1,求證:(a?)?(b?)?(c?)≥221a1b

8.已知x?2y?3z?12, 求證:x?2y?3z≥24；

9.已知a?b?c?1, 求證:a?1?b?2?3c?3?33；

10.若a>b>c，求證：222114 ??a?bb?ca?c

答案：

y(1?y)?y(x?z)?xy?xz

1.證明：由x?y?z?1得：z(1?z)?z(x?y)?zx?yz

x(1?x)?x(y?z)?xy?zx，所以有

x2y2z2x2y2z2

＝，由柯西不等式得：????y(1?y)z(1?z)x(1?x)xy?yzzx?yzxy?zx

x2y2z2

[(xy?yz)?(zx?yz)?(xy?zx)]?(??)?(x?y?z)2 xy?yzzx?yzxy?zx

x2y2z2

所以有：???[(xy?yz)?(zx?yz)?(xy?zx)] xy?yzzx?yzxy?zx

x2y2z2

即：???2(xy?yz?zx)，xy?yzzx?yzxy?zx

又2(xy?yz?zx)?(x?y?z)2?(x2?y2?z2)

x?y?z?xy?yz?zx222x?y?z?1 31x2y2z2

所有：，當(dāng)且僅當(dāng)x?y?z?時(shí)取等號(hào) ???xy?yzzx?yzxy?zx2

32.證明：由柯西不等式可得：

(11121112??)?(1??1??1?)a?2ba?4ba?6ba?2ba?4ba?6b

111??]< 222(a?2b)(a?4b)(a?6b)

（放縮）?(12?12?12)[3[111??](a?b)(a?3b)(a?3b)(a?5b)(a?5b)(a?7b)

?

?3111111(?????)2ba?ba?3ba?3ba?5ba?5ba?7b（裂項(xiàng)相消）36b9311?(?)?2b(a?b)(a?7b)(a?b)(a?7b)2ba?ba?7b

3111< ??a?2ba?4ba?6b(a?b)(a?7b)所以有：

3.證明：由柯西不等式得：

[(x?y)?(y?z)?(z?x)]?（111??)?(1?1?1)2?9，又x?y?z?2x?yy?zz?x3

所以有：11199≥???.x?yy?zz?x2(x?y?z)4

4.證明：與第3題的證法相同，最后說(shuō)明a,b,c為正數(shù)且互不相等,所以不取等號(hào)；

5.證明：由abc?1得：abc?1，所以：2221122221?bc,?ac,2?a2b2 22abc

111??a3(b?c)b3(a?c)c3(a?b)

b2c2a2c2a2b2b2c2a2c2a2b2

??????a(b?c)b(a?c)c(a?b)ab?acab?bcac?bc

b2c2a2c2a2b2

[(ab?ac)?(ab?bc)?(ac?bc)]?(??)?(bc?ac?ab)2 ab?acab?bcac?bc

b2c2a2c2a2b2(bc?ac?ab)2bc?ac?ab3a2b2c2

?????即： ab?acab?bcac?bc2(ab?bc?ac)22

又abc?1，所以：3111≥ ??333a(b?c)b(a?c)c(a?b)2

6.證明：由柯西不等式

111111[1?(a?)?1?(b?)?1?(c?)]2?(12?12?12)?[(a?)2?(b?)2?(c?)2] abcabc

結(jié)合a?b?c?1 ***2所以：(a?)?(b?)?(c?)?[(a?b?c)?(??)]?[1?(??)]abc3abc3abc

1111112又???(a?b?c)(??)?(1?1?1)?9 abcabc

1111211002所以：[1?(??)]?(1?9)? 3abc33

121212100故：(a?)?(b?)?(c?)≥ 3abc

7.證明：

3?a?9?b?27?c＝3?a?3?2b?3?3c?33?a?3?2b?3?3c?33?(a?2b?3c)

又由柯西不等式：

(1?a?2?2b?3?c)2?[12?(2)2?(3)2]?[a2?(2b)2?(3c)2]

即：(a?2b?3c)?6?(a?2b?c)，結(jié)合a?2b?3c?6

所以有：a?2b?3c?6 2222222

即：33

所以：3?(a?2b?3c)?33?6?1 3?a1?9?b?27?c≥ 3

8.證明：由

(1?x?2?2y??z)2?[12?(2)2?()2]?[x2?(2y)2?(z)2]

結(jié)合題目條件即可證出，與第7題一樣；

9.證明：

(1?a?1?1?b?2?1?c?3)2?(12?12?12)?[(a?1)2?(b?2)2?(c?3)2]?3[3(a?b?c)?6]

結(jié)合題目條件就可以證出了！

10.證明：由條件a>b>c得：a?b>0,b?c>0,所以

11?)?(1?1)2＝4 a?bb?c

114所以： ??a?bb?ca?c[(a?b)?(b?c)]?（點(diǎn)評(píng)： 1.（22?ak?1n2k)?(?b)?(?akbk)2中的求和展開(kāi)式為： 2kk?12nnk?1(a1?a2????an)(b1?b2????bn)?(a1b1?a2b2?????anbn)2；

2.二維、三維、n維柯西不等式的證明分別用了作差法、向量法、構(gòu)造函數(shù)法證明，其實(shí)這三種方法也可以相互遷移，尤其是向量法簡(jiǎn)潔明了，值得借鑒；

3.帶條件的三元不等式很常見(jiàn), 用柯西不等式來(lái)證的較多, 要適當(dāng)選擇ak 和bk, 便于運(yùn)用柯西不等式(222?a

k?1n2k)?(?b)?(?akbk)2； 2kk?1k?1nn

4.結(jié)合柯西不等式及變式中的等號(hào)成立的條件，請(qǐng)讀者自行研究以上不等式的取等號(hào)條件。

以上如有錯(cuò)誤之處敬請(qǐng)?jiān)彶⒔o予批評(píng)指正

郵箱zgh9723008@sina.com或qq聯(lián)系：934355819(驗(yàn)證信息填：柯西不等式)

謝謝！

第五篇：利用柯西不等式證明不等式[范文模版]

最值

1.求函數(shù)y?x2?4

x,(x?R?)的最小值。

2.求函數(shù)y?x?4x

2,(x?R?)的最小值。

x?R?且x2?y

3.設(shè)2

?1,求x?y2的最大值

4.設(shè)x,y,z為正實(shí)數(shù),且x+y+z=10,求4x?19

y?z的最小值。

已知：x2

5.4

?y2?1 求：x?y；2x?y的取值范圍。

6.已知：a2

?b2

?1，m2

?n2

?2,求am?bn的取值范圍

7.已知：2x?3y?1 求：x2

?2y2的最小值.8.求函數(shù)y?x?1?2?x的取值范圍。

9.求函數(shù)y?x?1??2x的最大值。

證明不等式

1.求證:a2?b2?c2?ab?bc?ac

2.已知a,b都是正數(shù)，求證：

（1）(1?a?b)(1?a2?b2)?9ab;（2）(a2b?a?b2)(ab2?a2?b)?9a2b2.3.設(shè)a,b,c,d?R，求證：a2?b2?c2?d2?(a?c)2?(b?d)2。

4.已知a2?b2?c2?1,x2?y2?z2?1,求證：ax?by?cz?1.5.已知a,b,c均為正數(shù)，且a?b?c?1，求證：111a?b?c

?9

6.若0????，則1?sin??cos??2.