第一篇：西柯中心小學排球傳統項目總結

西柯中心小學排球傳統項目總結

我校作為排球項目傳統學校，其中體育專職教師1名（排球專業輔導教師2人）。學校加強對學校體育工作的全面領導，努力提高學生排球運動技術和健康水平，逐步形成和發展學校排球特色運動。學校具體做法可以概括為四句話。即：一個重視，二個堅持，三個調動，四個保證。——一個重視

歷年來，學校領導對學校體育工作非常重視，在每學期制定學校工作計劃時，始終將排球傳統運動納入學校工作的重要議事日程，有內容，有要求，有措施，有目標。有關體育工作排球方面的重大事情，不僅學校體育領導小組討論研究，而且放到行政會議上集體討論，作出決議在全校教職工大會上宣傳、貫徹。學校每學期兩次的體育工作會議和領導小組會議形成制度，排球教練的工作協調，及時考慮人選，給予補充和調整；排球經費列為學校總預算的一個重要項目，凡是區、學校各類比賽，總有一個校領導帶隊，其他領導也能親臨現場。——兩個堅持

一、堅持課題研究

排球是學生喜愛的一項體育運動，由于排球運動技術的復雜性，因此它的訓練周期較長，只有通過日常持久的訓練，才能使隊員的基本技術得到全面的提高。根據學校的排球運動經驗，要提高排球基本技術必須進行科學的訓練，就要加強科學研究。學校堅持一至六年級開設排球課教學，列入校本課程，進行研究。讓學生學習基本技術，參與排球運動。

（1）開設排球課的可行性研究，進行場地、器材改革的研究。

（2）排球教學方法改革的探索，進行在游戲中學習、游戲中鞏固，游戲中掌握基本技術的探索。

二、堅持普及提高相結合。

普及與提高是一對互相制約、互相促進的矛盾。多年來，我們較好的擺正了普及與提高的位置。要提高排球技術水平，只有在普及的基礎上提高，學校十分重視排球的普及工作。

1、學校成立排球興趣小組，有隊長，有隊名，定計劃組織訓練。

2、通過一至六年級開設排球課教學，讓全體學生學習排球和基本技術，使他們都參與到排球活動中去。成效較顯著。

同時，學校堅決貫徹“從小打基礎，全面發展”的訓練原則，決不拔苗助長，全面提高運動員的技術、素質。

1、精心選材組隊：通過測試身體素質，了解學生家族情況，對學生的應變能力、靈活程度和性格特點，挑選3—6年級優秀學生組隊，保證我校排球隊的選材，確保訓練隊正常訓練。

2、確保訓練時間：每學期制定詳細的訓練計劃，按照計劃開展訓練。學校領導不定期進行督查，每月進行考核檢查。

3、加強學校間的交流，經常與學區各完小等學校互訪交流，互通信息，加強兄弟學校間的友誼，促進學校排球運動的蓬勃發展。——三個調動

1、體育教師是學校體育工作的具體執行者，充分調動他們的積極性是抓好體育排球和乒乓球傳統運動活動的關鍵。

體育教師從早訓練到課外排球活動的開展，從組織年級組各類比賽到校代表隊的業余訓練，風吹日曬，早出晚歸，十分辛苦，為此學校領導也給予關心。領導經常深入體育組，參加體育教研活動，聽取體育教師的意見和建議，了解排球工作及訓練的情況，研討具體問題，協調各方關系，及時解決困難，對體育排球教師的努力給予肯定和支持，有了成績及時表揚和鼓勵，并給予重獎；按規定發放補貼和服裝費；訂閱體育方面的報刊雜志，對青年教師尤其作到業務上信任、政治上嚴格、生活上關心、工作上幫助。

2、班主任和任課教師是搞好學校體育工作和排球和乒乓球運動不可忽視的一支隊伍，充分調動這支隊伍的積極性是搞好學校排球和乒乓球群體工作和穩定球隊的保證。

重視班主任這支隊伍，使他們能熱心配合和關心學生的體育排球鍛煉和傳統項目的創建。我們把各班學生體育鍛煉、傳統項目的開展情況列入班主任、任課老師工作的考核內容，同評選文明班掛起鉤來；把各班體育運動水平的高低、推薦運動員的多少同獎金掛起鉤來。由于激勵機制的引入，調動了班主任、任課老師的積極性，他們配合體育老師處理好體育鍛煉與文化學習的關系，競賽與教學的關系，少數人與多數學生一起參加活動的關系，有效地推動了學校體育工作和排球傳統項目的健康發展。

3、學生和運動員是學校體育運動的主體，充分調動學生和運動員的積極性，直接關系到體育運動水平的傳統項目水高低。

(1)、我們通過家長學校、運動員家長會、學生座談會，積極做好宣傳教育工作，同時學校領導、教練員和班主任經常做好家長工作，取得家長支持。

（2）我們對運動員不僅狠抓訓練，還十分重視抓思想品德、抓文化學習，運動員因比賽脫了課，學校及時安排老師給他們補課，甚至教練也親自做運動員的學習輔導工作。

(3)、我們還在每學期評選“三好生”、優秀隊員、文明學生時，將體育成績列入評比條件，對排球校代表隊運動員拔尖推薦，促使每個家長既能重視子女的文化學習，又能主動關心子女體育成績的提高。——三個保證

1、經費保證

開展體育工作需要經費的保證，學校在經費十分緊張的情況下，安排對體育實施“傾斜政策”，力爭做到了群體和傳統項目的器材設備基本齊全。經費到位。場地器材配套，為學校體育工作的開展創造了有利的條件。

2、師資保證

要抓好傳統項目的建設，需要有一支團結戰斗、奮發向上，樂于奉獻的體育老師隊伍。為了加強我校排球傳統項目的開展，我校領導在體育教師配備上爭取上級支持，不斷充實體育教師隊伍，他們都有較強的事業心和責任感，他們既能做好體育教學工作，經常開展教研活動，把排球傳統項目的訓練內容滲透到體育課的教學過程中，又熱心抓好校代表隊的訓練。多少個寒去暑來，他們放棄了休息時間，不計報酬，一心撲在學校的體育工作上。體育教研組每學期初制定學校體育工作計劃，目標明確，可操作性強，學校領導及體育領導小組經常檢查計劃實施情況。

兩年來，學校排球和乒乓球隊的思想品質、身體素質、排球水平、學習成績都穩定在一個較高的水平上。10年3月，參加“區中小學生排球賽”獲男子團體第六名，11年3月參加“區中小學生排球賽”獲男子團體第四名。

學校在排球傳統項目建設中，做了一些工作，取得了一些成績。但還有很多工作需要開展。

1、將進一步搞好小學排球活動的普及工作，充分發揮其的作用；

2、加強排球代表隊的訓練與兄弟學校的交流。

3、努力擴大學校排球傳統項目的特色效應，力爭多個體育項目并頭齊驅的發展。

西柯中心中心小學 2011年7月

第二篇：西柯中心小學少先隊新學期寄語

西柯中心小學少先隊新學期寄語

尊敬的老師們，親愛的同學們：

大家早上好！

我是少先隊總輔導員林老師。懷著滿心喜悅的心情，我們又相聚在一起了，送走了炎炎烈日，我們迎來了清爽宜人的秋天，在這收獲的季節，我們開始了新學期的征程。

新的學年，孕育著新的希望和憧憬，我們每一位老師與同學經過暑假的休息與調整之后，又滿懷信心與斗志，站在新學年的起跑線上，為完成新的學習和工作任務作好了充分的準備。在此開學典禮之際，我代表少先隊大隊部給全體少先隊員提出三點要求和期望：

第一：在文明行為方面，要嚴格按照《中學生日常行為規范》和同安區小學生《一日常規》來要求自己，繼續發揚講文明、懂禮儀的好風貌，跟老師和同學交談積極使用文明用語，接受別人的幫助時，別害羞大聲說出“謝謝”，做錯事的時候也別氣餒，勇敢地說出“對不起”，在你希望得到別人的幫助時，記得把“請”字掛在嘴邊，這樣，你一定能成為大家的好朋友的。在和同學的相處中，高年級的哥哥姐姐要愛護低年級的小同學。在課外活動時，上下樓梯主動靠右走，見到校園里的紙屑主動拾起來。在走廊和辦公室不大聲喧嘩，不亂丟瓜皮紙屑，遇到老師主動立正，敬隊禮，向老師問好，爭做文明向上的好學生，把尊師愛校、團結同學真正落實到行動中，做有道德、有修養的人。

第三篇：數學史話-柯西

柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857），十九世紀前半世紀的法國數學家。在大學畢業后當土木工程師，因數學上的成就被推薦為科學院院士，同時任工科大學教授。后來在巴黎大學任教授，一直到逝世。他信仰羅馬天主教，追隨保皇黨，終生堅守氣節。他在學術上成果相當多，他的研究是多方面的。在代數學上，他有行列式論和群論的創始性的功績；在理論物理學、光學、彈性理論等方面，也有顯著的貢獻。他的特長是在分析學方面，他對微積分給出了嚴密的基礎。他還證明了復變函數論的主要定理以及在實變數和復變數的情況下微分方程解的存在定理，這些都是很重要的。他的全集26卷，僅次于歐拉，居第二位。柯西是歷史上有數的大分析學家之一。幼年時在父親的教導下學習數學。拉格朗日、拉普拉斯常和他的父親交往，曾預言柯西日后必成大器。1805年柯西入理工科大學，1816年成為那里的教授。1830年法王查理十世被逐，路易。菲利普稱帝。柯西由于拒絕作效忠宣誓，被革去職位，出走國外。

1838年柯西返回法國，法蘭西學院給他提供了一個要職，但是宣誓的要求仍然成為接納他的障礙。1848年路易。菲利普君主政體被推翻，成立了法蘭西第二共和國，宣誓的規定被廢除，柯西終于成為理工科大學的教授。1852年發生政變，共和國又變成帝國，恢復了宣誓儀式，唯獨柯西和阿拉果（Ｄ.Ａｒａｇｏ 1786－1853 法國物理學家）可以免除。1821年，在拉普拉斯和泊松的鼓勵下，柯西出版了《分析教程》、《無窮小計算講義》、《無窮小計算在幾何中的應用》這幾部劃時代的著作。他給出了分析學一系列基本概念的嚴格定義。柯西的極限定義至今還在普遍使用，連續、導數、微分、積分、無窮級數的和等概念也建立在較為堅實的基礎上。

現今所謂的柯西定義或ε－δ方法是半個世紀后經過維爾斯特拉斯的加工才完成的。柯西時代實數的嚴格理論還未建立起來，因此極限理論也就不可能完成。柯西在1821年提出ε方法（后來又改成δ），即所謂極限概念的算術化，把整個極限過程用一系列不等式來刻畫，使無窮的運算化成一系列不等式的推導。后來維爾斯特拉斯將ε和δ聯系起來，完成了ε－δ方法。

第四篇：傳統項目總結

自2007年10月我校通過湖北省傳統項目學校復評以來，我校緊緊抓住學校的籃球項目特色，大膽開拓，勇于創新。推動了我校體育運動迅猛發展，發現、培養并向高一級學校輸送了一批體育后備人才，豐富了我校學生的校園文化生活，校園內充滿了健康、文明、向上很濃濃的籃球文化氛圍，擴大了學校的影響，打造了學校的體育特色，培養了學生的籃球特長。

一、強化學校管理，注重師資配備，確保辦學質量

一年來，學校領導高度重視體育工作，特別是籃球傳校工作，我們將重點放在籃球項目上。根據我校體育教師的專業特長共配備3-4名籃球專業教練，2位田徑教練。

二、嚴抓學生籃球早鍛煉，大力吸納學生參加豐富多彩的籃球競賽活動。

1、堅持籃球早鍛煉和長跑活動檢查評比制度

堅持每天進行“陽光體育活動”籃球早鍛煉、課間廣播操和長跑活動，由體育教師組織安排好場地，班主任、副班主任參與指導和管理，并配合教導處對各班活動情況和質量進行不定期抽查，按評分標準記錄分數，每次都上墻公布，月底總結在此基礎上把檢查結果與班級評估掛鉤。保證了學生每天一小時的體育活動時間。越來越多的學生在籃球活動中體會到了籃球運動的樂趣和體育的魅力，越來越多的家長更加支持孩子參加學校籃球活動，他們說：孩子們離籃球越近，就離網吧越遠；參加體育活動越多，身上的嬌氣就越少。

2、堅持體育比賽制度

盡最大能力為同學們提供豐富多彩的體育活動內容，今年我校除了舉行如：廣播操比賽、校園集體舞、“陽光體育活動”冬季長跑啟動儀式及高年級長跑活動等賽事外，我們還組織學生開展籃球趣味比賽、高年級班級籃球比賽和兩次田徑運動會，（每年在高年段學生中進行班級籃球比賽，在中、低年級中進行趣味籃球賽，如多人運球接力、多人傳球接力、投籃大賽等）激發學生人人參加籃球活動的興趣，活動參與率在80%以上，今年12月，我們又組織開展了5、6年級學生籃球比賽，比賽歷時3個星期，共有6為體育老師參加了本次籃球裁判工作，在比賽中共有男、女各三個班獲得團體獎，學校組織表彰了一大批在籃球比賽中表現突出的班級和個人。評出體育道德風尚獎兩個班，最佳組織獎三個班，啦啦隊組織獎一個班，共有54人分別獲最有價值球員、最佳得分手、最佳防守球員、籃板王。

3、學校領導不僅重視籃球運動員的培養而且注意籃球運動的普及工作。學校將籃球納入了學校校本課程計劃，在不同年段開展籃球校本課程，是我校辦學特色之一。堅持籃球活動和籃球訓練常規化，每學期舉辦一次校內籃球賽，年年承辦并參加伍家崗區校際間的籃球賽，常年保持有男女兩支校級籃球比賽隊，男女兩支校級籃球梯隊，校隊隊員保持在60人左右，每年舉辦一次校田徑運動會，一次體質測評運動會。

三、上好體育課的基礎上，開設籃球校本課程，培養學生的籃球特長。

我們規定體育教師和其他學科教師一樣，必須認真備課，寫出符號學生實際、切實可行的教案，教導處不定期對體育教師的教案進行檢查，嚴禁無教案上課。同時要求體育教師必須扣緊新課標，有計劃、有步驟地上好體育課，特別是籃球校本課程，堅決克服隨意性，嚴格考勤制度，做到課課點名，保證體育課的出勤人數，明確籃球課學生評價目標，分年級制定了目標與內容。除此之外，我們還從每周的體育課中抽出一節課專門進行籃球課程的教學，在課表上將以“體籃”為縮寫課程名稱進行呈現。每周各班的籃球課程安排的具體時間將遵照同一時間內盡量控制在1--2個班同時上籃球課程，這樣學生就能有充足的活動場地。在組織方法上主要采取教師集中講解、示范，學生分散模仿直觀教學法。學期結束時，學校教導處組織對所有老師的籃球教學進行質量抽查。

四、發展特色項目，建立不同年齡層次的籃球隊，努力培養青少年體育后備人 我校在常年堅持男女兩支校級籃球比賽隊訓練的基礎上，還建立了籃球梯隊和田徑隊，年年參加伍家崗區組織的區籃球賽和田徑運動會，均名列前茅。（1）合理分工，明確責任

我校男女籃球隊，由李群兵、劉海峰和陳宏碧三位老師，田徑隊有向莉莉和朱杰兩位老師負責訓練，在訓練前明確各自的責任，充分調動了他們訓練的積極性，在訓練中進一步提高了運動員的競爭意識，為創造一流成績創造了條件。在次基礎之上，還準備增加一個新老師，充實中、低年級校級籃球梯隊實力。為今后籃球訓練選好、選準苗子。（2）堅持訓練系統化

提高運動員的竟技水平，不是一朝一夕所能辦到的，所以訓練必須要持久，不間斷。為此，我們在訓練上做到了既抓平時，又抓假期。平時，我們利用周一至周五早上7點到8點和下午放學后的兩個小時時間行進訓練，每天訓練時間不少于90多分鐘。使運動員堅持常年訓練，進一步提高了運動成績，同時也培養了運動員的拼搏精神和頑強的毅力。（3）建立健全運動員訓練檔案

我校建立了運動員訓練檔案，將運動員的基本情況、身體素質變化情況、訓練情況和運動成績及學習成績作了詳細記錄，依據這些材料，研究每個運動員思想、訓練、學習現狀，總結經驗，查找不足，研究進一步提高運動員素質的方法和措施。

（4）走出去，請進來，互相學習，共同提高

為了進一步提高運動員的水平，我們經常組織體育教師和運動員走出去或請兄弟學校的籃球隊到學校看一看，參加一些對抗賽，先后我區的隆中路小學、大公橋小學、寶塔河小學進行了友誼賽，每年都與宜昌市體校女子籃球隊切磋，學習他人的經驗和長處，同時發現自身的不足，激發隊員的拼搏精神。通過比賽，檢驗隊伍，總結經驗教訓，進行體育交流，達到了互相學習，共同提高的效果。

五、嚴格實施《國家學生體質健康標準》。

2008年4月至5月，我校開展了國家學生體質健康測評工作，4月組織全校學生進行了體檢，測試體重、身高和肺活量三個項目，接著，又組織召開了全校體質健康測評運動會，另外對在運動會期間測試成績較差的學生進行了二次測試，測試后進行了數據錄入工作，而后我們將最終不合格的學生會進行了統計，與班主任老師一起對他們進行了督促和幫助。全校共1578人，實際參加測試1560人，其中病殘18人，優秀303人，占20%，良好904人，占58%，不及格69人，及格率95.6%。

六、加大投入，不斷改善體育設施和訓練條件

學校現有四塊標準籃球場地，12塊籃板。在每節課中一個班將分配到兩個籃球場，6個籃板，這樣可以保證學生學習的需要。器材方面，要求每位學生人人都要有籃球，我們主要采取學生自帶籃球制度，學校在現有近200個兒童籃球、40個標志桶。另外，為了學生每天所帶的籃球放在教室里不影響室內課教學，每個教室的后面墻壁上都安裝有30個懸掛籃球的不銹鋼鉤子，方便學生放置籃球。

七、加大經費投入，規范資金管理，確保傳校各項工作的正常運轉

加大經費投入，為了努力改善籃球訓練條件，學校決定計劃加大對體育的經費投入，改善硬件設施：

（1）、保證體育訓練、競賽及帶隊教師的補貼經費，校班級體育比賽裁判費、每年的市、區級傳校籃球比賽中隊員的報名費、體檢費、服裝費、食宿費用等預算開支不少于2萬元。做到專款專用。

（2）、配有能夠滿足體育教學、專項訓練和正式比賽要求的器材設施外，我們將盡可能的利用好學校的現有資源，然后在2008年下半年，我們將完成校園籃球文化的建設。另外，在一些空地和墻上我們還計劃安裝一些適合低年級學生使用的籃筐。使我們的校園到處充滿籃球運動的氣息。

八、成績：

2003年在宜昌市籃球傳統項目學校籃球比賽中獲女子組第一名，男子組第二名。2004年在湖北省“萌芽杯”小學生籃球賽中男子隊獲第一名。2004年宜昌市籃球訓練重點學校比賽中男子隊獲第一名。2008年在伍家崗區小學生籃球賽中男隊、女隊均獲第一名。2004、2005、2006、2007連續四年在宜昌市伍家崗區小學生田徑運動會中獲團體總分第一名，2008年獲團體總分第二名。有兩位教師獲宜昌市優秀教練員稱號，培養和輸送了一批體育后備人才，2008年我校學生陶直、方宇、方德林被宜昌市五中以籃球特長生錄取，羅毅、覃開明被宜昌市體校錄取，還有一大批隊員參加了宜昌市體校的業余訓練，如：籃球：文宜、王緒培、游泳：楊子迪、孫佳俊、呂向佳霖、陳杉杉，羽毛球：周楊博文、王穎峰、胡朔源，網球：鄒楊博文、向曉彤、佘王睿、方德林、劉濤等。

回顧總結了2008年傳校工作各方面取得的成績，這成績來之不易，這成績是全體教職工辛勤勞動的碩果，也是學校努力構建和諧校園取得的成果，面向未來，我們充滿信心，有上級領導的關心和支持、全體教職工的共同努力，宜昌市伍家崗區實驗小學的籃球傳統學校的明天會更好。

第五篇：關于柯西不等式的證明

關于柯西不等式的證明

王念

數學與信息學院 數學與應用數學專業 07 級 指導老師：吳明忠

摘要：研究柯西不等式的多種證明方法，得到一些有用的結論，并簡單介紹一些它的應用。

關鍵詞：柯西不等式、數學歸納法、二次型正定、歐式空間向量內積、詹森不等式，二維隨機變量的數學期望。

Cauchy inequality is an important inequality.It has aroused people’s interest and its widespread application.In this paper、quadratic form、European space inner product、and the relation between Cauchy inequality.Wang Ni an

Xxxxxxxxxxx Grade 07 Instructor: Wu Ming Zhong

Abstract: The paper discusses the certifying ways of Cauchy inequality then gets some useful conduction and introduces some appliances.Key words: Cauchy inequality;quadratic form;inner product;Jensen inequality;mathematic Expectation.柯西不等式是大家熟知的一個重要不等式，它的結構和諧對稱、以及廣泛的運用引起了人們的興趣和討論。本文運用高等代數、微積分的基本內容來證明柯西不等式。柯西不等式的內容 1.1

(a1b1?a2b2?....?anbn)2?(a12?a22?....an2)2(b12?b22?....?bn2)2(aibi?R,i?1,2......n)

等號當且僅當a1?a2?.....?an?0或bi?kai時成立（k為常數，i=1,2…..n）.1.2 設a1,a2,.....an及b1,b2,.....bn為任意實數則不等式(?aibi)?(?a)(?bi2)成2

i?1

i?1

i?1

n

n

n

立，當且僅當bi?kai（i=1,2…..n）取等號。1,2這兩種形式就是著名的柯西不

等式。柯西不等式的證明 2.1構造二次函數，證明柯西不等式。(其關鍵在于利用二次函數??0時函數f(x)?0

f(x)?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2?....?(anx?bn)2

?(a12?a22?....?an2)x2?2(a1b1?a2b2?....?anbn)x ?(b12?b22?....bn2)顯然f(x)?0

又?a12?a22?....ann?0則利用??0可得

??4(a1b1?a2b2?.....?anbn)2?4(a12?a22?....?ann)(b?b2?.....?bn)?0即

n

(a1b1?a2b2?....?anbn)2?(a12?a22?....?an2)(b?b2?....?bn)

當且僅當aix?bi?0(i?1,2....n)即

aa1a2

??.......?n是等號成立。b1b2bn

2.2 利用數學歸納法進行證明。（關鍵把握由特殊到一般情況的嚴密性）

（1）當n?1時左式=?a1b1?右式=?a1b1?

顯然左式=右式 當

n?2

時，右式

??a12?a2??b12?b22???a1b1???a2b2??a22b12?a12b22

??a1b1???a2b2??2a1a2b1b2??a1b2?a2b2??左式

僅當即 a2b1?a1b2 即

a1a2

?時等號成立 b1b2

故n?1,2時 不等式成立

（2）假設n?k?k??,k?2?時，不等式成立

2k???ak即 ?a1b1?a2b2???akbk???a12?a2??b12?b22???bk2?

當 bi?kai，k為常數，i?1,2?n 或a1?a2???ak?0時等號成立

??a12?a2?....?ak

設B?b12?b22?....?bk2

C?a1b1?a2b2?....?akbk

222222則???ak?1????bk?1??????bk?1?ak?1bk?1?Bak?1 22?C2?2Cak?1bk?1?ak?1bk?1??C?ak?1bk?1? 2222?a1?a2???ak?ak?1

???

b?12

b?2??

k

?b2

?k

?b

??a1b1?a2b2???akbk?ak?1bk?1?

當 bi?kai，k為常數，i?1,2?n 或a1?a2???ak?0時等號成立

即n?k?1時不等式成立 綜上所述原柯西不等式得證。

2.3 利用基本不等式（均值不等式）進行證明（關鍵在于利用它 “形式”）由于x?y?2xy(x,y?

R)，令x?

y?

?

ai22?ak2

k?1

n

n

?

bi22?bk2

k?1n

(i?1,2.......n)

將N

不等式相加得：

?ab

ii

??aibi?

i?1n

?

?a

i?1

nk?1

n

i

?

?b

i?1nk?1

n

i

?1

2?ak22?bk2

n

n

n

i?1

k?1

即(?aibi)?(?ai)(?bk2)

i?1

原柯西不等式得證。

2.4 利用二次正定型理論進行證明（關鍵在于理解二次型正定的定義）正定二次型定義：R上一個n元二次型q(x1,x2,....xn)可以看成定義在實數域上n個變量的實函數。如果對于變量x1,x2,....xn的每一組不全為零的值，函數值

q(x1,x2,....xn)都是正數，那么就稱q(x1,x2,....xn)是一個正定二次型。

?(aix1?bix2)?ai2x12?bi2x22?2aibix1x2?0(i?1,2,.....n)

n

n

n

有(?ai)x?(?bi)x2?(2?aibi)x1x2?0

i?1

i?1

i?1

設二次型 f(x1,x2)?(?ai)x?(?bi)x2?(2?aibi)x1x2?0

i?1

i?1

i?1

nnn

故f為正定必有二次型矩陣

?n2??aii?1

A??n

?

??aibi?i?1

n

?ab?ii?i?1

?正定 n

2?b?i?i?1?

n

n

n

(?ai)(?bi)?(?aibi)2?0

則A?0,即

i?1

i?1

i?1

?(?aibi)2?(?ai2)(?bi2)

i?1

i?1

i?1

nnn

當

aa1a2

??.......?n時等號成立。b1b2bn

故原不等式成立，及柯西不等式得證。2.5 利用歐式空間中內積的性質進行證明。

定理：在一個歐式空間里，對于任意向量?,?，有不等式：

??,??2???,????,??;當且僅當?與?線性相關時，才取等號。

證 如果?與?線性相關，那么或者??0，或者??a?，不論哪一種情況都有

??,??2???,????,??.現在設?與?線性無關。那么對于任意實數t來說，t????0，于是

?t???,t?????0,即 t2??,???2t??,????,?????,???0.最后不等式左端是t的一個二次三項式。由于它對于t的任意是數值來說都是正數，所以它的判別式一定小于零，即

??,??2???,????,???0或??,??2???,????,??.又在Rn里，對于任意兩個向量

??(x1,x2,....xn),??(y1,y2,....yn),規定（必須規定）??,???x1y1?x2y2?.....?xnyn.容易驗證，關于內積的公理被滿足，因而R對于這樣定義的內積來說作成一個歐式空

n

間.再由不等式??,??2???,????,??;推出對于任意實數a1,a2,....an,b1,b2,....bn,有不等式

(a1b1?....?anbn)2?(a12?....?an2)(b12?....?bn2).即柯西不等式得證。2.6 利用行列式進行證明

n

n

n

證 ?(?ai)(?b)?(?aibi)?

i?1

i?1

i?1

?a

i?1ni?1

n

i

?ab

i?1n

2ii?1

n

ii

?ab?b

iin

n

???

i?1j?1

ai2aibi

ajbjbj2

?

1?i?j?n

?

(aibj?ajbi)2?0

若令a?(a1,a2,?an),b?(b1,b2?bn)則可以得到：

(?aibi)?(a)(b)?1?i 即柯西不等式得證。

i?1

i?1

i?1

n

n

n

2.7 利用詹森不等式進行證明

考察函數?(x)?x2,(x?0),??(x)?2x,???(x)?2?0,故?(x)?x2是(0,??)上的凸函數，詹森（Jensen）不等式

?n

??PkXk?k?1n?

??Pk?k?1

n

n

?2??PkXk??k?1n(其中，P,2,?n),得 k?0,k?1?Pk??

k?1?

n

n

(?PkXk)?(?Pk)(?PKxk2)

k?1

k?1

k?1

nnn

ak22

上式中令Pk?bk,Xk?即（?PkXk)?(?bk)(?ak2)

bkk?1k?1k?1

從而不等式成立。

2.8 利用二維隨機變量的數學期望證明

表格 2

1n1n21n222

E(??)??aibi，E???ai,E???bi

ni?1ni?1ni?1

由E(??)?E?2E?2

1n1n21n22

所以有(?aibi)?(?ai)(?bi)

ni?1ni?1ni?1

即(?aibi)?(?ai)(?bi2)

i?1

i?1

i?1

nnn

則柯西不等式得證。