第一篇：(no.1)2013年高中數學教學論文 柯西不等式在解題中的幾點應用 新人教版

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柯西不等式在解題中的幾點應用

摘要：本文利用怎樣運用柯西不等式解題的技巧，介紹了柯西不等式在解等式、不等式、極值、三角問題等方面的應用。

關鍵詞：柯西不等式、技巧、應用

一、引言

人民教育出版社高中《代數》下冊“不等式”一章的習題中有這樣一道題（P、15練習第2題）： 求證：ac+bd?a2?b2*c?d22這題用比較法是很容易證明的，這里用比值的方法來證明。

證明：當a=b=c(或c=d=0)時，顯然成立； 假設a+b?0 且c+dac?bda22222?0,則

ac?bda2?b2*acc2?d2?

2?b2*bdc?d2=a2?c2

cd2?ba22*?d222a2?b222*?d2=a2?b2*cc2?d?ba222?b*c2

?? ???d221?ac??2?2?22?a?bc?d222?1?bd????2??a2?b22c?d??2=1 故ac+bd?ac?bd?ac?bd?a2?b2*c2?d2

(1)式就是著名的柯西不等式的一個簡單特例。

柯西不等式的一般形式為：

對任意的實數a1,a2,?,an及b1,b2,?,bn有

n?n??n2??2???aibi????ai???bi?,?i?1i??i?1??i?1?2

(2)nnn或?i?1aibi??i?1ai*2?bi?12i,(3)其中等號當且僅當a1b1?a2b2???anbn時成立（當bk?0時，認為ak?0,1?k?n).柯西不等式有許多證明方法，這里就不作證明，僅就如何利用柯西不等式解題作一些介紹。

一、柯西不等式在解題中的應用

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1、利用柯西不等式證明恒等式 利用柯西不等式來證明恒等式，主要是利用其取等號的充分必要條件來達到目的，或者是利用柯西不等式進行夾逼的方法獲證。

例、已知a1?b2?b1?a2?1,求證：a2?b2?1。

證明：由柯西不等式，得

a1?b2?b1?a2?a?2?1?a2?2???b2?1?b?2???1

當且僅當b1?a2?1?ba2時，上式取等號，?ab?ab221?a2?1?b，2?1?a2?2??1?b?，?1。于是 a?b22、利用柯西不等式解無理方程（或方程組）用柯西不等式解無理方程，是先把方程的（含有無理式的）運用柯西不等式化為不等式，然后結合原方程把不等式又化成等式，在判定為等式后再利用柯西不等式取等號的特性，得到與原方程同解的且比原方程簡單的無理方程，進而得到簡單的整式方程，從而求得原方程的解。

例：解方程

x2?1x2??x1x1x22?1??21?x?1?22?2?1x?x?1?。

解：?x2???x?1??1?x?1?22

= x?2?1?x?1?2??x?1?

由柯西不等式知

x2?x1x2?1?x?1?2??x?1?2

?x?1x??x?1x即

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x2?1x2?1(x?1)2?(x?1)2?2?,x(x?1)

1?x2?1x12?(x?1)2?1(x?1)2

?2?x(x?1)1x(x?1)2當上式取等號時有x(x?1)?成立，即

x2?x?1?0（無實根）或x?x?1?0，即

x??1?25，經檢驗，原方程的根為

x??1?25

用柯西不等式解方程組，也同樣是利用柯西不等式取等號的條件，從而求得方程組的解。

例：解方程組

x?y?z?9x?w?6x4

2?x(y2?z2?w)?w(y222?w)?4862解：原方程組可化為

x?y?z?9x?w?6(x2

?z)(x22?y2?w)?4862運用柯西不等式得

(x2?y2?z)?2923?27, x?w?22622?18

兩式相乘，得

?x2?y2?z2???x2?w2??486

當且僅當x=y=z=w=3時取等號。故原方程組的解為x=y=z=w=3.3、柯西不等式證明不等式。

很多重要的不等式都可以由柯西不等式導出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常數的巧拆、結構的巧變、巧設數組等，下面略舉一、二說明怎樣利用柯西不等式證明不等式。例：設a,b,c為正數且不相等到，求證：

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2a?b?2b?c?2c?a?9a?b?c

這兩個常數進行巧拆，9=?1?1?1?2分析：我們利用9與2，2?a?b?c???a?b???b?c???c?a?

這樣就給我們利用柯西不等式提供了條件。證明

：?a?11??1?b?c??????a?bb?cc?a????a11??1?b???b?c???c?a???????b?cc?a??a?ba?b???2????????2??1b?c?2????2?c?a??????????1??a?b??c?a?2?????11??b?c??22?????1??c?a??2??? ?a?b?2a?b?b?c?1b?c???c?a????1?1?1??9?2a?b?2b?c?2c?a?9a?b?c? a,b,c各不相等，? 等號不可能成立，從而原不等式成立。

但是我們只要改變一下多項式的形態結?有些問題本身不具備運用柯西不等式的條件，構，認清其內在的結構特征，就可以達到利用柯西不等式解題的目的。下面略舉一例加以說明。

例：設a1?a2???an?an?1,求證：

1a1?a2?1a2?a3???1an?an?1?1an?1?a1?0

分析：這道題初看似乎無法使用柯西不等式，但改變其結構，我們不妨改為證：

?a1??111?an?1?????????1，a2?a3an?an?1??a1?a2證明：為了運用柯西不等式，我們將a1?an?1寫成

a1?an?1??a1?a2???a2?a3?????an?an?1?于是

??a1?n2?111?a2???a2?a3?????an?an?1?????????a?aa2?a3an?an?12?1?1.??? ?用心 愛心 專心 4

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即?111?a1?an?1????????a?aa2?a3an?an?12?11a1?a21a1?a2????1??，??1a2?a31???1an?an?11??1a1?an?11故a2?a3???an?an?1an?1?a1?0.我們進一步觀察柯西不等式，可以發現其特點是：不等式左邊是兩個因式這和，其中每一個因式都是項平方和，右邊是左邊中對立的兩兩乘積之和的平方，證題時，只要能將原題湊成此種形式，就可以引用柯西不等式來證明。

例：求證：x1?x2?證明：?22y1?y2?222?x12?y1???x2?y22?2.?x1?x2?22y1?y22?2?x1?x2?y1?y2?2?2??22??x21?x2?y1?y2

2??22?由柯西不等式得

?x21?x2?y1?y2??x1y1?x2y2222????2

其中等號當且僅當x1?ky1，x2?ky2 時成立。

?????x21?x222??y221?y222??x1y1?x2y2

2?x1?x2??y12y1?y2?2??x21?x22???y?21?y22??2?x?2.1y1?x2y2? ?x1?22??x2?y22?22x1?x2?y1?y2??x1?y1?2?x2?y2其中等號當且僅當x1?ky1，x2?ky2 時成立。

4、用柯西不等式證明條件不等式

n2n2n柯西不等式中有三個因式?ai，?bi，?aibi而一般題目中只有一個或兩個

i?1i?1i?1因式，為了運用柯西不等式，我們需要設法嵌入一個因式（嵌入的因式之和往往是定值），bi 具有廣泛的選擇余地，這也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中諸量ai，任意兩個元素 ai，aj（或bi，bj）的交換，可以得到不同的不等式，因此在證題時根據需要重新安排各量的位置，這種形式上的變更往往會給解題帶來意想不到的方便。這種變換也是運用柯西不等式的一種技巧，下面我們簡單舉例說明怎樣利用上述技巧運用柯西不等式來證明條件不等式。

例：已知a,b?R，a+b=1,x1,x2?R, 求證：?ax1?bx2???bx1?ax2??x1x2

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分析：如果對不等式左端用柯西不等式，就得不到所要證明的結論。若把第二個小括號內的前后項對調一下，情況就不同了。

證明：?ax1?bx2???bx1?ax2? =?ax1?bx2???ax2?bx1? ?a?x1x2?b2x1x2?2

=?a?b?x1x2?x1x2。例、設x1,x2,?,xn?R,求證：

x12?x2?xx3???xxn?xn2x1?x1?x2???xn

（1984年全國高中數學聯賽題）

證明：在不等式的左端嵌乘以因式?x2?x3???xn?x1?，也即嵌以因式

?x1??x2???xn?，由柯西不等式，得 x12x2?xx3???xxn?xn2x1??(x2?x3???xn?x1)

??x1?????x2???????x????2??x3??22222??x??x???????n?1???n???x????x?n?1??????x2???x3?2????xn???2x1?2???xn?xnx1??x1???

?x1????x2?x2?x2x32?x3???xn?1xn???x1?x2???xn?,于是x12x2?xx3???xxn?xn2x1?x1?x2???xn.5、利用柯西不等式求函數的極值

有些極值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當添加上常數項或和為常數的各項，就可以應用柯西不等式來解，這也是運用柯西不等式解題的技巧；而有些極值問題的解決需要反復利用柯西不等式才能達到目的，但在運用過程中，每運用一次前后等號成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會出現錯誤。這多次反復運用柯西不等式的方法也是常用技巧之一。下面略舉例加以說明怎樣利用柯西不等式來求解一些極值問題。

例 設非負實數?1,?2????n滿足?1??2??????n?1,求

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?11??2??????_?n?1??1`??23??????n?n21??1????的最小值。（198

2n?1年西德數學奧林匹克度題）

解：易驗證

?11??2??????+1=

n1?(?1??2?????n)2??1?22??1

同理可得

?11??1??3??????+1=

n22??2,???,?1??2nn?1??????+1=

22??n

令y??11??2??????2_?n?1??1`??23??????n?n21??1????

n?1故y?n?2??1?22??2+????22??n

為了利用柯西不等式，注意到

(2?a1)?(2?a2)?????(2?an)?2n?(a1?a2?????an)?2n?1，12??112??2?(2n?1)(?+????12??n)

=?(2?a1)?(2?a2)?????(2?an)??(12??1?12??2+????12??n)

???2?a1????y?n??2n12?a12?2?a2?2n212?a2n2n?1.?????2?an?12?an????2?n22n?1,y?2n?1?n?1n等號當且公當a1?a2?????an?時成立，從而y有最小值

nn2n?1

例 設x1,x2,???,xn都是正數，n?2,且?xi?1,求證：

i?1nn ?i?1xi1?xi??i?1xi.（1989年全國數學冬令營試題）

n?1證明：令yi?1?xi(i?1,2,???n),由柯西不等式，得

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nnn(?i?1xi)2?n??i?1xi?n, 即 ?i?1xi?n.nnn同理，得(?i?1nyi)2?n??i?1yi?n??i?1(1?xi)?n(n?1)，即 ?yi?i?1n(n?1).又由柯西不等式，得

nn?i?1nyi??i?11yi2n?(?i?14yi?14)2?n

2yi故?i?11yi?n?1n?yin2，?i?1n(n?1)從而

n?i?1xi1?xinn?n??i?11?yiyin??i?11yin??i?1yi ?n(n?1)n

n?1nn?1??i?1xi.?n?16，利用柯西不等式解三角問題。

三角問題包括三角不等式，三角方程。三角極值等到，對于一些三角問題，我們為了給運用柯西不等式創造條件，經常引進一些待定的參數，其值的確定由題設或者由等號成立的充要條件共同確定，也有一些三角極值問題我們可以反復運用柯西不等式進行解決。

例 在?ABC中，求證：

sinA?sinB?5sinC?198?2201(201?3)40

證明：?sinA?sinB?5sinC

?2sin?2cos?2cosA?B2C2C2(coscosA?B22C2?10sinC2)C2cosC2A?B?5sin).(1?5sin當且僅當A=B時等號成立。

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令y?cosx(1?5sinx)(0?x??)2，于是引進參t?0,求

y2cos2x(1?5sinx)2的最值。

由柯西不等式，2y2?cos2x?1?5sinx?2?25cos2x??15?sinx???? =25?cosx??1t2?tsinx?? ?5?cos2?25?x????1?2??t2?2?t2?sinxt?2????5???

?25t2?1cos2x2xt2?t2?sin?.ab??a?b?2又由平均值不等式4,得

2222y2?25t?1?cosx?t?sin2x??t2???2? ?=?25t2?1??t2?1?24t2.（1）

當且僅當cos2x=t2?sin2x時等號成立。例、已知a,b為正常數，且0

3a2?3b2??3a2?3b2??sin2x?cos2x?

??3asinx?3bcosx?2等號成立的當且僅當sinxcosx3a?3b時；

即 x?arctg3ab 時，于是

3a2?3b2?3asinx?3bcosx

再由柯西不等式，得

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3a2?3b2b??a??? cosx??sinxb??a?bcosx?? sinxcosx?? ???3asinx?3?? 6a23sinx2asinx?6bcosxbcosx?2 ???a???b3??.??32等號成立也是當且僅當x?arctgab時。

3???a? 從而y??sinxcosx?ab232?b3?2?.??3?? 于是y?的最小值是?a?sinxcosx?ab232?b3?2?.?? 在許多問題中，如果我們能夠利用柯西不等式去解決，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新。

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第二篇：例說不等式在解幾何題中的應用.doc

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例說不等式在解幾何題中的應用 作者：徐 塌

來源：《發明與創新(學生版)》2006年第08期

第三篇：(no.1)2013年高中數學教學論文 反證法在幾何問題中的應用 新人教版

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反證法在幾何問題中的應用

反證法是一種非常重要的數學方法，它在幾何的應用極為廣泛，在平面幾何、立體幾何、解析幾何都有應用，本文選擇幾個有代表性的應用，舉例加以介紹。

一、證明幾何量之間的關系

例1：已知：四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，EF?12(AB?CD)。

求證：AB//CD。

證明：假設AB不平行于CD。如圖，連結AC，取AC的中點G，連結EG、FG。∵E、F、G分別是AD、BC、AC的中點，∴GE//CD，GE?12CD；GF//AB，GF?12AB。

∵AB不平行于CD，∴GE和GF不共線，GE、GF、EF組成一個三角形。∴GE?GF?EF ① 但GE?GF?12(AB?CD)?EF ②

DEGCF①與②矛盾。AB∴AB//CD

例2：直線PO與平面?相交于O，過點O在平面?內引直線OA、OB、OC，?POA??POB??POC。

求證：PO??。

證明：假設PO不垂直平面?。

作PH??并與平面?相交于H，此時H、O不重合，連結OH。由P作PE?OA于E，PF?OB于F，P根據三垂線定理可知，HE?OA，HF?OB。∵?POA??POB，PO是公共邊，∴Rt?POE?Rt?POF ∴OE?OF

A又OH?OH

E∴Rt?OFH?Rt?OEH

O∴?FOH??EOH HF因此，OH是?AOB的平分線。CBa同理可證，OH是?AOC的平分線。

但是，OB和OC是兩條不重合的直線，OH不可能同時是?AOB和?AOC的平分線，產生矛盾。∴PO??。

例3：已知A、B、C、D是空間的四個點，AB、CD是異面直線。求證：AC和BD是異面直線。

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證明：假設AC和BD不是異面直線，那么AC和BD在同一平面內。

因此，A、C、B、D四點在同一平面內，這樣，AB、CD就分別有兩個點在這個平面內，則AB、CD在這個平面內，即AB和CD不是異面直線。這與已知條件產生矛盾。

所以，AC和BD是異面直線

上面所舉的例子，用直接證法證明都比較困難，尤其是證兩條直線是異面直線，常采用反證法。

二、證明“唯一性”問題

在幾何中需要證明符合某種條件的點、線、面只有一個時，稱為“唯一性”問題。例3：過平面?上的點A的直線a??，求證：a是唯一的。證明：假設a不是唯一的，則過A至少還有一條直線b，b?? ∵a、b是相交直線，∴a、b可以確定一個平面?。設?和?相交于過點A的直線c。∵a??，b??，∴a?c，b?c。

這樣在平面?內，過點A就有兩條直線垂直于c，這與定理產生矛盾。所以，a是唯一的。

例4：試證明：在平面上所有通過點(2,0)的直線中，至少通過兩個有理點（有理點指坐標x、y均為有理數的點）的直線有一條且只有一條。

證明：先證存在性。

因為直線y?0，顯然通過點(2,0)，且直線y?0至少通過兩個有理點，例如它通過(0,0)和(1,0)。這說明滿足條件的直線有一條。

再證唯一性。

假設除了直線y?0外還存在一條直線y?kx?b（k?0或b?0）通過點(2,0)，且該直線通過有理點A(x1,y1)與B(x2,y2)，其中x1、y1、x2、y2均為有理數。

因為直線y?kx?b通過點(2,0)，所以b??2k，于是y?k(x?通過A(x1,y1)與B(x2,y2)兩點，所以y1?k(x1?y?k(x?2)，①

2)，且k?0。又直線2)②

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①－②，得y1?y2?k(x1?x2)。③

因為A、B是兩個不同的點，且k?0，所以x1?x2，y1?y2，由③，得k?y1?y2x1?x2，且k是不等于零的有理數。

由①，得2?x1?y1k。

此式的左邊是無理數，右邊是有理數，出現了矛盾。

所以，平面上通過點(2,0)的直線中，至少通過兩個有理點的直線只有一條。

綜上所述，滿足上述條件的直線有一條且只有一條。

關于唯一性的問題，在幾何中有，在代數、三角等學科中也有。這類題目用直接證法證明相當困難，因此一般情況下都采用間接證法。即用反證法或同一法證明，用反證法證明有時比同一法更方便。

三、證明不可能問題

幾何中有一類問題，要證明某個圖形不可能有某種性質或證明具有某種性質的圖形不存在。它們的結論命題都是以否定形式出現的，若用直接證法證明有一定的困難。而它的否定命題則是某個圖形具有某種性質或具有某種性質的圖形存在，因此，這類問題非常適宜用反證法。

例5：求證：拋物線沒有漸近線。

證明：設拋物線的方程是y?2px(p?0)。

假設拋物有漸近線，漸近線的方程是y?ax?b，易知a、b都不為0。因為漸近線與拋物線相切于無窮遠點，于是方程組

(1)?y2?2px

?(2)?y?ax?b2的兩組解的倒數都是0。

將（2）代入（1），得

ax22?2(ab?p)x?b2?0（3）

設x1、x2是（3）的兩個根，由韋達定理，可知

2(ab?p)a2x1?x2??，x1?x2?ba22

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則1x1?1x2?x1?x2x1x2ab22??2(ab?p)b2?0，（4）

1x1?1x2?1x1x2??0，（5）

由（4）、（5），可推得p?0，這于假設p?0矛盾。

所以，拋物線沒有漸近線。

關于不可能問題是幾何中最常見也是非常重要的一種類型。由于它的結論是以否定形式出現，采用直接證法有困難，所以這類問題一般都使用反證法加以證明。

四、證明“至少存在”或“不多于”問題

在幾何中存在一類很特殊的問題，就是證明具有某種性質的圖形至少有一個或不多于幾個。由于這類問題能找到直接論證的理論根據很少，用直接證法有一定困難。如果采用反證法，添加了否定結論這個新的假設，就可以推出更多的結論，容易使命題獲證。

例6：已知：四邊形ABCD中，對角線AC=BD=1。

求證：四邊形中至少有一條邊不小于

22。

證明：假設四邊形的邊都小于

22，由于四邊形中至少有一個角不是鈍角（這一結論也可用反證法證明），不妨設?A?90，根據余弦定理，得BD∴BD220?AD2?AB2?2AD?AB?cosA，?AD2?AB2，2222即BD?AD2?AB2?()?(2)2?1。

這與已知四邊形BD=1矛盾。所以，四邊形中至少有一條邊不小于

22。

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第四篇：(no.1)2013年高中數學教學論文 構造函數證明不等式

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構造函數證明不等式

函數是高中數學的基礎，是聯系各個數學分支的橋梁和紐帶.在不等式的證明中，我們可根據不等式的結構特點，建立起適當的函數模型，利用函數的單調性、凸性等性質，靈活、巧妙地證明不等式.一、二次函數型：

1.作差構造法.例1.(新教材第二冊（上）（以下同）P16習題1（2）)求證:a?b?c?ab?bc?ca.分析:將a視為變量,考察函數f?a??a??b?c?a?b?bc?c.由于該二次函數的圖象開口向上,且???3?b?c??0,故f?a??0.結論獲證.22

2例2.(教材P31.復習參考題6)設a,b,c為?ABC的三條邊,求證:a?b?c＜2?ab?bc?ca?.2222

222

分析:構造函數f?x??x?2?b?c?x??b?c?.∵f?x?圖象開口向上,對稱軸x?b?c.∴f?x?在???,b?c?上單調遞減.∵a,b,c為?ABC的三條邊,∴b?c＜a＜b?c(不妨設b?c)∴

f

?a??f?b?c?.2

∵f?b?c???b?c??2?b?c??b?c???b?c???4c?b?c??0.∴f?a??0.即結論成立.2.判別式構造法.2222

例3.(教材P27.例1)已知a,b,c,d都是實數,且a?b?1,c?d?1.求證:ac?bd?1.分析：所證結論即是??2?ac?bd????4?a?b

??c

?d

??0.故可構造函數

f

?x???a

?b

?x

?2?ac?bd?x?c?d.2

由于f?x???ax?2acx?c

2???bx?2bdx?d

?

??ax?c???bx?d

?

?0.當且僅當x?

ca

?

db

時取“=”號.又因為f?x?的圖象開口向上,故必有??0.結論成立.2

練習1.(教材P16.練習2)求證:?ac?bd???a?b??c

n

?d

?.n

n

點撥:證法同例3.該題是柯西不等式的特殊情形.其一般形式是:

??

ab??ii???i?1?

n

n

2i

n

?a??

i?

1i?1

?2?2

bi.可構造函數f?x????ai?x?2?aibi?x?

i?1?i?1?

?b

i?1

2i

證之.練習2.(教材P17.習題6)已知a,b是不相等的兩個正數,求證:

?a?b??a?b

3???a?b

?

.用心 愛心 專心

點撥:構造函數f?x???a?b?x?2?a?b

?x?a

?b?a?x?a??b?x?b?證之.22

練習3.(教材P17.習題7)已知a,b都是正數,x,y?R,且a?b?1,求證:

ax?by

??ax?by?.點撥:構造函數f?z???a?b?z?2?ax?by?z?ax?by?a?z?x??b?z?y?證之.練習4.(教材P31.復習參考題5)求證:3?1?a?a

???1?a?a?

.點撥:構造函數f?x??3x?2?1?a?a

?x?1?a

?a??x?1???x?a???x?a?

證之.二、分式函數型:

例4.(教材P12.例2)已知a,b,m都是正數,并且a?b,求證:

分析:構造函數f?x??

x?ax?b

a?mb?m

?ab.x??0,???.由于當x??0,???時，f??x??

b?a

?x?b?

?0.故f?x?在?0,???上是增函數.∵f?x?在x

f

?0處右連續，∴f

?x?在?0,???上是增函數.∵m

?0 ∴

?m??f?0? 即

a?mb?m

?

ab

.例5.(教材P22.例3)已知a?1,b?1,求證:

a?x1?ax

a?b1?ab

?1.分析:構造函數f?x??x???1,1?.由于當x???1,1?時，f??x??

1?a

2?1?ax?

?0.故f?x?在??1,1?上是增函數.∵f?x?在x??1處右連續，在x?1處左連續.∴f?x?在??1,1?上是增函數.∵?1?b?1 ∴f??1??f?b??f?1? ,即?1?

a?b1?ab

?1.ab

a?cb?d

cd

a?b1?ab

?1, 即

例6.(教材P14練習5)已知a,b,c,d都是正數,且bc?ad,求證:

??.a

分析:聯想定比分點坐標公式,a?cb?d

可寫成b

?1?

cd

db.故可構造函數db

a

f

?x??

b

d1?x

?

c

?x,x??0,???.∵當x??0,???時，用心 愛心 專心 2

c

f??x??

d

?

ab

?1?x?

?

bc?adbd?1?x?

?0.∴f?x?在?0,???上是增函數.∵f?x?在x

?0處右連續，∴f?x?在?0,???上是增函數.又∵

cd

db

?0.∴

?d?

f?0??f???limf

?b?x???

?x?.而

f?0??

a?c?d?,f???,limf

x???bbb?d??

a

?x??

.故原不等式成立.ac?a

bc?b

練習5.(教材P14.練習4)已知c?a?b?0,求證:

點撥:構造函數f?x??

xc?x

x??0,c?

?.練習6.(教材P17.習題9)已知?ABC的三邊長分別是a,b,c.且m為正數.求證:

aa?m

?

bb?m

?

cc?m

.xx?m?,x??0,???.易證fcc?m

.而

aa?m

?

bb?m

點撥:構造函數f?x??

f

?x?為增函數.由于

?

aa?b?m

?

ba?b?m

?

a?b?c,故

?a?b??

aa?m

?

f?c?.即b

?

a?ba?b?mc

.a?ba?b?m

.故

有

b?mc?m

練習7.(教材P23.習題4)求證:

分析:構造函數f?x??

三、冪函數型：

a?b1?a?b

?

a?b1?a?b

.x1?x,x??0,???證之.例7.如果a,b都是正數，且a?b,求證：a?b?ab?ab.分析：a?b?ab?ab??a?b

55322

3??a

?b

?.考察函數f?x??x,(n?N)在?0,???上的單調性，顯然f?x?在?0,???上為增函數.n

*

若a?b,則a?b, a?b,所以?a?b

??a??a

?b?b

??0； ??0。

若a?b,則a?b, a?b,所以?a?b

2所以a?b?ab?ab.利用函數的單調性證法可以將上述結論推廣為: 若a、b是正數且a?b,求證：a四、一次函數型：

用心 愛心 專心

m?n

55322

3?b

m?n

?ab?ab.(m,n?N)

mnnm*

例8.設a,b,c??0,1?,求證:a?b?c?ab?bc?ca?1.分析:構造函數f?a???1?b?c?a?b?c?bc?1,a??0,1?.∵f?0??b?c?bc?1??1?c??b?1??0,f?1??1?b?c?b?c?bc?1??bc?0.∴對任意a??0,1?,恒有f?a??0.故原不等式成立.五、三角函數型： 例9.(同例3)

分析:設a?cos?,b?sin?, c?cos?,d?sin?.則ac?bd?cos??cos??sin??sin?

?cos????

?

?1.練習8.設x,y?R,且x?y?1,求證

:?x?2xy?y?點撥:設x?rcos?,y?rsin?.其中r?1.以下略.六、指數函數型:

2例10．已知等差數列?an?和等比數列?bn?，其中a1?b1，a2?b2，0＜a1＜a2，證明當n?3時，an

da

1n?1

.所以，當n?3時，bn?a1q

q?1?

?d?

??a1?1?

?a1???

n?1

?

???dd?11

??a1??n?1?d?an.a1?1?Cn?1???a1?1?Cn?1

???＞ a1a1?????

這兒,我們用二項式定理進行放縮,完成了證明.七、構造函數,利用函數圖象的凸性： 例11.(教材P15.例6)求證3+7<2

5分析:考察函數f(x)=x的圖象,特征是上凸函數.對任意x1,x2??0,???, 且x1?x2,都有：所以,即

212

?f(x1)?f(x2)?

??f?3??f?7???

?f?5?.（3+7）<5.兩條結論:（1用心 愛心 專心

值之和越大.例:6?

7?22?

5?

?

3?

?

2及

a?

a?3?

a?1?

a?2

(2)下凸函數,區間中點相同時,兩端“距離”區間中點越近,兩端點函數值之和越小.練習9.已知:f?x??tanx,x??0,??

??2?

?, 若x1,x2??0,?

?

??2?

? 且x1?x2,試判斷

??f

?x1??

f

?x2???與

?x?x2?

f?1

?的大小，并加以證明（94年高考理科試題變式題）.2??

練習10.已知:f?x??lgx?x?1?,若0?x1?x2,試比較

年高考文科試題).練習11.(教材P23.習題5)求證:lg

A?B2

?

lgA?lgB

??f

?x1??

f

?x2???與

?x?x2?

f?1

?的大小(942??

?AB?0?.以上表明,若能清楚不等式所反映的圖象意義，就會給證明提供思路.八、構造連續函數，應對含離散型變量的不等式問題： 例12．（2001年全國理）已知i,m,n是正整數，且1﹤i≤m＜n.（1）證明nAm＜mAn.（2）證明?1?m?＞?1?n?.n

m

iiii

i?1i?

1分析：（1）nAm＜mAn可化為：

i?1

iiii

Amm

i

i

＜

Ann

i

i

??m，即：

k?0

?k?

i

??n?k?

＜

k?0

mn

i

.構造函數f?x??

??x?k?

k?0

x

i

.（x?i＞1）.i?1

兩邊取對數，得：lnf?x??

?

k?0

ln?x?k??ilnx.當x??i,???時,兩邊求導，得：

f??x?f?x?

i?1

?

?

k?0

1x?k

?

ix

i?1

＞?

k?0

1x

?

ix

?0.由于f?x?＞0，故f??x?＞0.這說明f?x?在?i,???上是增函數.∵f?x?在x?i處右連續.∴

f?x?在?i,???上是增函數.∵i≤m＜n.∴f?m?＜f?n?.Amm

ii

即＜

Ann

i

i

.整理，得：nAm＜mAn.用心 愛心 專心

iiii

（2）不等式?1?m?＞?1?n?兩邊取對數，得：ln?1?m?＞ln?1?n?.n

m

n

m

整理，得：

ln?1?m

m

?

＞

ln?1?n?n

.構造函數g?x??

ln?1?x?x

?x?2?.x

求導，得：g??x??

1?x

?ln?1?x?xx

.當x?2時,可得：0＜

1?x

＜1，ln?1?x??ln3＞1.故g??x?＜0.所以g?x?在?2,???上是減函數.∵g?x?在x?2處右連續.∴g?x?在?2,???上是減函數.∵m＜n，∴ g?m?＞g?n?.即

ln?1?m

m

?

＞

ln?1?n?n

.整理，得：?1?m?＞?1?n?.n

m

注：不等式?1?m?＞?1?n?

n

m

也可化為：?1?m?

1m

＞?1?n?

1n

.這時，可研究函數

h?x???1?x?x?e

ln?1?x?x的單調性證之.n?1

練習12.已知n是正整數且n≥3.求證：n

n

＞?n?1?.n

點撥：不等式n

n?1

＞?n?1?兩邊取自然對數，整理得：

lnnn

＞

ln?n?1?n?1

.構造函數f?x??

lnxx

可證之.lnf?x?

說明:根據所構造函數的結構特點,我們將函數轉化為lnf?x?型或e型,方便了對函數的求導運算.不等式證明的數學模型，除本文介紹的函數模型外，還可建立向量模型、解析幾何模型、方程模型等，請讀者自行研究、總結.作者簡介:陳兵,男,1976年10月26日出生,山東省滕州市人,中教二級, 學士學位.用心 愛心 專心 6

第五篇：高中數學解題方法談：淺談分析法在解題中的應用

88397854.doc

淺談分析法在解題中的應用

分析法是數學中常用到的一種直接證明的方法，從推理的程序上來講，它是一種從未知到已知（從結論到題設）的邏輯推理方法，具體說，就是先假定問題的結論成立，再利用公理、定義、定理和公式，經過正確的、嚴謹的一步步地推理，最后得到一個顯然成立的關系，即已證的命題或題設的已知條件，從而判定問題的結論成立。分析法的應用較廣，通常在幾何、三角、不等式的證明中經常采用。舉例說明。

例1下面是真命題還是假命題，用分析法證明你的結論。命題：若a?b?c且a?b?c?0，則

解：此命題是真命題。

因為a?b?c?0,a?b?c，?a?0,c?0。b?aca2?3。

要證b?ac

a

22?3成立，只要證b?ac?23a，22即證b?ac?3a，也就是證(a?c)?ac?3a，2即證(a?c)(2a?c)?0

因為a?c?0,2a?c?(a?c)?a?b?a?0

所以(a?c)(2a?c)?0成立。

故原不等式成立。

評注：應用分析法證題時，語氣總是假定的，通常的語氣有：“若要證明A，則先證明B；若要證明B，則先證明C，……”或“若要A成立，必先B成立；若要B成立，必先C成立，……”。值得注意的是，在證明過程中從一個命題推到下一個命題時，必須注意它們之間的等效性。

例2求證：當一個圓和一個正方形的周長相等時，圓的面積比正方形的面積大。

證明：設圓正方形的周長為l，則圓的面積為?（因此，本題只須證明：?(l22)?()。2?4l22)，正方形的面積為()。2?4ll

為了證明上式成立，只須證明：

4l2??l4?22?l216，兩邊同乘以正數，得1??

14。

88397854.doc

因此，只須證明4??。因為上式是成立的，所以?(l22)?()。2?4l

這就證明了如果一個圓和一個正方形的周長相等，那么圓的面積比正方形的面積大。例3已知?、??k???

2(k?Z)，且

sin??cos??2sin?①

sin??cos??sin2?② 1?tan2?1?tan

2求證：1?tan2???

2(1?tan2?。)

證明：因為(sin??cos?)2?2sin?cos??1,所以將①、②兩式代入上式，得：4sin2??2sin2??1

1?tan2?2

另一方面，要證?

1?tan2??1?tan，2(1?tan2?)

sin2

1?sin2?1??

cos2?cos2

即證?

sin2，1?sin2??

cos2?2(1??

cos2?)

即證cos2??sin2??1

2(cos2??sin2?)，即證1?2sin2??1

2(1?2sin2?)，即證4sin2??2sin2??1，由于上式與③式相同，于是問題得證。

③