第一篇：(no.1)2013年高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 幾何畫板在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

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幾何畫板在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

當(dāng)今世界日益信息化，信息日益網(wǎng)絡(luò)化。教育信息化正在成為社會信息化的重要組成部分，技術(shù)發(fā)展的趨勢是不言而喻的。以前，我們對數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)教學(xué)的認識總是和黑板粉筆或者紙筆聯(lián)系在一起，人們局限在有限的空間中，能力受到很大的限制。計算機使人腦得以大大的擴展和延伸，同時為數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了廣闊的空間。下面僅就幾何畫板輔助數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題談?wù)剮c思考。

一、問題與思考

1、《幾何畫板》在輔助數(shù)學(xué)教學(xué)中的特點

問題與解決是數(shù)學(xué)的心臟。提出問題并解決問題是數(shù)學(xué)發(fā)展的原動力。由于各種原因，今天的中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，難以體現(xiàn)出“問題與解決”的韻味，也沒有機會讓中學(xué)生接觸豐富的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。問題提出的唐突化，過度的公式化、形式化及解題的模式化，使數(shù)學(xué)失去了原有的魅力。至使部分學(xué)生錯誤地認為數(shù)學(xué)只是符號與公式的組合，難以激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣。而《幾何畫板》的精髓是：動態(tài)地保持了幾何圖形中內(nèi)在的、恒定不變的幾何關(guān)系及幾何規(guī)律。它的最大特點是：讓學(xué)生自己動手按給定的數(shù)學(xué)規(guī)律和關(guān)系來制作圖形（或圖像、表格），從中觀察事物的現(xiàn)象，通過類比和分析提出問題，還可進行實驗來驗證問題的真與假，從而發(fā)現(xiàn)恒定不變的幾何規(guī)律，以及十分豐富的數(shù)學(xué)圖像的內(nèi)在美、對稱美。學(xué)生可以駕駛《幾何畫板》這一葉扁舟，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中漫游，興之所至，或探蹤尋源，或蕩舟而過。這是其它的教學(xué)媒體所辦不到的，也是一般CAI軟件功能所不及的。

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的特點是：具有很強的邏輯性和系統(tǒng)性以及高度的抽象性和概括性。現(xiàn)代教學(xué)媒體GSP（《幾何畫板》的簡稱）能化靜態(tài)為動態(tài)，化抽象為具體，能夠寓趣味性、技巧性和知識性于一體。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，基本上是信息的單向傳輸，即“講、練、評”三位一體的教學(xué)模式，反饋處于不自覺狀態(tài)中，不利于分層次教學(xué)、因材施教，不易激發(fā)學(xué)生的求知欲和興趣。在教學(xué)中通過使用《幾何畫板》，感受到GSP在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著獨特魅力，與傳統(tǒng)教學(xué)手段或一般CAI軟件不能相比的。《幾何畫板》在教學(xué)中的輔助作用

計算機輔助教學(xué)，是隨著計算機技術(shù)的發(fā)展而形成的現(xiàn)代教育技術(shù)。被視為電化教育的最高形式，隨著我國中小學(xué)CAI 的進展，一批好的CAI軟件已進入學(xué)校，最近我校將《幾何畫板》引入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，從中體會到GSP在數(shù)學(xué)教學(xué)中有以下主要作用。

（1）有助于提高課堂效率，增大知識的覆蓋面。能給學(xué)生以更多的操作機會，培養(yǎng)學(xué)生的動手動腦的能力。

（2）有助于提高課堂教學(xué)效果，由于情況的快速反饋，老師的講課時更具有針對性，并能及時調(diào)整教學(xué)內(nèi)容和節(jié)奏。

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（3）有助于培養(yǎng)學(xué)生敏捷思維和觀察問題、分析問題、解決問題的能力。利用現(xiàn)代化的教育手段進行快速訓(xùn)練，有助于個性特長的培養(yǎng)和發(fā)揮。

二、幾何畫板在解析幾何中的應(yīng)用

（一）橢圓的畫法

1、由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程繪制橢圓

2、bx2y2a2?x2，只需確原理：由于橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：2?2?1，可得表達式y(tǒng)??aab定變量x和參數(shù)a、b的值即可。步驟如下：

①建立直角坐標(biāo)系；

②在x軸上取一點C，度量其坐標(biāo)并分離出它的橫坐標(biāo)改名為a，類似地，在y軸上取一點D，度量出它的坐標(biāo)并分離出它的縱坐標(biāo)改名為b；a、b分別是橢圓在x軸、y軸上的截距；

③在x軸上取一點E，度量出點E的坐標(biāo)并分離出它的橫坐標(biāo)改名為x；

④計算y的值，通過 “度量—計算”，得到ba2?x2的值； a⑤繪出x、y的坐標(biāo)點F； ⑥選擇點E、F，執(zhí)行“作圖——軌跡”，得到上半橢圓；⑦最后通過“變換——反射”得到下半橢圓。

2、根據(jù)圓錐曲線的第二定義繪制橢圓 原理：由圓錐曲線的第二定義：平面內(nèi)與一個定點的距離和它到一條直線的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡是圓錐曲線，定點叫做圓錐曲線的焦點，定直線叫做圓錐曲線的準(zhǔn)線。常數(shù)e叫做圓錐曲線的離心率，當(dāng)0?e?1時為橢圓。

①建立直角坐標(biāo)系；

②畫一條射線CD，在射線上畫一點E，使點E在點D的右側(cè)； ③度量CD、CE的長度，計算出

CE的值，該名為e=0.73； CD④在x軸的正半軸畫一點F，畫直線GH，找出直線GH與y軸的交點I，在直線GH上任取一點J，連接線段IJ；

⑤以F為圓心，IJ為半徑畫圓，度量出線段IJ的長度；

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⑥計算出⑦選擇IJIJ的值，如=7.12cm eeIJ=7.12cm，執(zhí)行“圖像——繪制度量值”，使屏幕出現(xiàn)一條與x軸垂直且與y軸eIJ距離等于=7.12cm的直線（虛線m）；

e⑧用“選擇”工具作出直線m與圓F的交點K、L；

⑨用“選擇”工具雙擊y軸，把y軸標(biāo)記成反射鏡面，再選擇直線m，執(zhí)行“變換—反射”，得到直線m關(guān)于y軸對稱的直線m’；

⑩同時選擇點J和點K，執(zhí)行“作圖—軌跡”，屏幕上（第一象限）出現(xiàn)點K的軌跡，類似地，分別選擇點J和點L、點J和點M，點J和點N，作出點L、M、N的軌跡； 移動點E的位置，使離心率0

3、根據(jù)橢圓的參數(shù)方程繪制橢圓

?x?acost原理：橢圓的參數(shù)方程為：?（t為參數(shù)），在坐標(biāo)系中確定參數(shù)t和常量a、y?bsint?b，注意這里的t為弧度，應(yīng)更改參數(shù)為弧度制。

①建立直角坐標(biāo)系；

②在x軸上任取一點C，度量其坐標(biāo)和橫坐標(biāo)，改為a=6.30； ③在y軸上任取一點D，度量其坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，改為b=2.88； ④在屏幕下方畫一圓，在圓上任取一點G，構(gòu)造弧FG，填充扇形EFG； ⑤度量扇形EFG的弧度，該為t=-0.88?弧度；

⑥計算：a*cost=-5.06,改為x=-5.06；b*sint=-1.72,改為y=-1.72； ⑦選擇x=-5.06，y=-1.72，執(zhí)行“圖表—繪制點（x，y）”，畫出點H；

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⑧依次選擇點G、H，執(zhí)行“構(gòu)造—軌跡”，即得到橢圓。

（二）直線與圓錐曲線的交點的幾何構(gòu)造

（三）如圖：直線GE是過平面任意一點G和橢圓上任意一點E，求作直線和橢圓的交點F，在幾何畫板中，不能直接找出直線和橢圓的交點，這里通過幾何的思路找出直線和橢圓交點的一般方法。

幾何構(gòu)造（1）思路分析

先請了解一下橢圓弦的幾何性質(zhì)。如圖：EF是橢圓的弦，其延長線交準(zhǔn)線于P，的延長線交準(zhǔn)線于Q，則F1P平分∠QF1E。

想一想：如果已知P、E、F1,你能否作出點如果您注意到點F是兩條直線的交點，只要

F？ 作EFF1關(guān)于直線QF1的對稱點E?，則直線PE和直線E?F1的交點就是F。我們就用這樣的想法來構(gòu)造直線與橢圓的交點。

（2）操作步驟： ①畫橢圓 ；

②畫直線GE , E為橢圓上一點；

③畫橢圓的準(zhǔn)線 ；度量點A的橫坐標(biāo)，并把度量結(jié)果的標(biāo)簽分別改為a=5.57；度量點B的縱坐標(biāo)，并把度量結(jié)果的標(biāo)簽分別改為b=2.78；計算a2?b2

a2并把度量結(jié)果的標(biāo)簽分別改為c=4.82；再計算，作出橢圓的左準(zhǔn)線；

c④畫直線GE與橢圓的另一交點 ；畫線段F1P，點P是直線GE和準(zhǔn)線的交點→對點E作反射變換（線段F1P）得到E?→畫直線（E?，F(xiàn)1）→畫交點F（直線GE，直線E?F1）

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國中小學(xué)教學(xué)領(lǐng)域，使教學(xué)改革發(fā)生根本的變化。

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第二篇：《幾何畫板》在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

《幾何畫板》

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

《幾何畫板》在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

對于數(shù)學(xué)科學(xué)來說主要是抽象思維和理論思維，這是事實；但從人類數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)的發(fā)展來說，形象思維是最早出現(xiàn)的，并在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)中都起著重要的作用。不難想象，一個沒有得到形象思維培養(yǎng)的人會有很高的抽象思維、理論思維的能力。同樣，一個學(xué)生如果根本不具備數(shù)學(xué)想象力，要把數(shù)學(xué)學(xué)好那也是不可能的。正如前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家A.H.柯爾莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，數(shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化。”因此，隨著計算機多媒體的出現(xiàn)和飛速發(fā)展，在網(wǎng)絡(luò)技術(shù)廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域的同時，也給學(xué)校教育帶來了一場深刻的變革——用計算機輔助教學(xué)，改善人們的認知環(huán)境——越來越受到重視。從國外引進的教育軟件《幾何畫板》以其學(xué)習(xí)入門容易和操作簡單的優(yōu)點及其強大的圖形和圖象功能、方便的動畫功能被國內(nèi)許多數(shù)學(xué)教師看好，并已成為制作中學(xué)數(shù)學(xué)課件的主要創(chuàng)作平臺之一。那么，《幾何畫板》在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有哪些應(yīng)用呢？作為一名高中數(shù)學(xué)教師筆者就此談幾點體會：

一、《幾何畫板》在高中代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

“函數(shù)”是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念，它的概念和思維方法滲透在高中數(shù)學(xué)的各個部分；同時，函數(shù)是以運動變化的觀點對現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的一種刻劃，這又決定了它是對學(xué)生進行素質(zhì)教育的重要材料。就如華羅庚所說：“數(shù)缺形少直觀，形缺數(shù)難入微。”函數(shù)的兩種表達方式——解析式和圖象——之間常常需要對照（如研究函數(shù)的單調(diào)性、討論方程或不等式的解的情況、比較指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系等）。為了解決數(shù)形結(jié)合的問題，在有關(guān)函數(shù)的傳統(tǒng)教學(xué)中多以教師手工繪圖，但手工繪圖有不精確、速度慢的弊端；應(yīng)用幾何畫板快速直觀的顯示及變化功能則可以克服上述弊端，大大提高課堂效率，進而起到事倍功半的效果。

具體說來，可以用《幾何畫板》根據(jù)函數(shù)的解析式快速作出函數(shù)的圖象，并可以在同一個坐標(biāo)系中作出多個函數(shù)的圖

byA象，如在同一個直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x、y=x3和y=x1/2的圖象，比較各圖象的形狀和位

2TO置，歸納冪函數(shù)的性質(zhì)；還可以作出含有若干參數(shù)的函數(shù)圖象，當(dāng)參數(shù)變化時函數(shù)圖象

í?1x也相應(yīng)地變化，如在講函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象時，傳統(tǒng)教學(xué)只能將A、ω、φ代入有限個值，觀察各種情況時的函數(shù)圖象之間的關(guān)系；利用《幾何畫板》則可以以線段b、T的長度和A點到x軸的距離為參數(shù)作圖（如圖1），當(dāng)拖動兩條線段的某一端點（即改變兩條線段的長度）時分別改變?nèi)呛瘮?shù)的首相和周期，拖動點A則改變其振幅，這樣在教學(xué)時既快速靈活，又不失一般性。

《幾何畫板》在高中代數(shù)的其他方面也有很多用途。例如，借助于圖形對不等式的一些性質(zhì)、定理和解法進行直觀分析——由“半徑不小于半弦”證明不等式“a+b≥2ab（a、b∈R+）等；再比如，講解數(shù)列的極限的概念時，作出數(shù)列an=10-n的圖形（即作出一個由離散點組成的函數(shù)圖象），觀察曲線的變化趨勢，并利用《幾何畫板》的制表功能以“項數(shù)、這一項的值、這一項與0的絕對值”列表，幫助學(xué)生直觀地理解這一較難的概念。

二、《幾何畫板》在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用

立體幾何是在學(xué)生已有的平面圖形知識的基礎(chǔ)上討論空間圖形的性質(zhì)；它所用的研究方法是以公理為基礎(chǔ)，直接依據(jù)圖形的點、線、面的關(guān)系來研究圖形的性質(zhì)。從平面圖形到空間圖形，從平面觀念過渡到立體觀念，無疑是認識上的一次飛躍。初學(xué)立體幾何時，大多數(shù)學(xué)生不具備豐富的空間想象的能力及較強的平面與空間圖形的轉(zhuǎn)化能力，主要原因在于人們是依靠對二維平面圖形的直觀來感知和想象三維空間圖形的，而二維平面圖形不可能成為三維空間圖形的真實寫照，平面上繪出的立體圖形受其視角的影響，難于綜觀全局，其空間形式具有很大的抽象性。如兩條互相垂直的直線不一定畫成交角為直角的兩條直線；正方體的各面不能都畫成正方形等。這樣一來，學(xué)生不得不根據(jù)歪曲真象的圖形去想象真實情況，這便給學(xué)生認識立體幾何圖形增加了困難。而應(yīng)用《幾何畫板》將圖形動起來，就可以使圖形中各元素之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系惟妙惟肖，使學(xué)生從各個不同的角度去觀察圖形。這樣，不僅可以幫助學(xué)生理解和接受立體幾何知識，還可以讓學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力得到充分發(fā)揮。

像在講二面角的定義時（如圖2），當(dāng)拖 動點A時，點A所在的半平面也隨之轉(zhuǎn)動，A A 圖2 í?3í?4即改變二面角的大小，圖形的直觀地變動有利于幫助學(xué)生建立空間觀念和空間想象力；在講棱臺的概念時，可以演示由棱錐分割成棱臺的過程（如圖3），更可以讓棱錐和棱臺都轉(zhuǎn)動起來，使學(xué)生在直觀掌握棱臺的定義，并通過棱臺與棱錐的關(guān)系由棱錐的性質(zhì)得出棱臺的性質(zhì)的同時，讓學(xué)生欣賞到數(shù)學(xué)的美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；在講錐體的體積時，可以演示將三棱柱分割成三個體積相等的三棱錐的過程（如圖4），既避免了學(xué)生空洞的想象而難以理解，又鍛煉了學(xué)生用分割幾何體的方法解決問題的能力;在用祖恒原理推導(dǎo)球的體積時，運用動畫Oí?5和軌跡功能作圖5，當(dāng)拖動點O時，平行于桌面的平面截球和柱錐所得截面也相應(yīng)地變動，直觀美麗的畫面在學(xué)生學(xué)得知識的同時，給人以美的感受，創(chuàng)建一個輕松、樂學(xué)的氛圍。

三、《幾何畫板》在平面解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

平面解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，它研究的主要問題，即它的基本思想和基本方法是：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，借助形和數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，求出表示平面曲線的方程，把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)來研究；再通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)，把數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為形來討論。而曲線中各幾何量受各種因素的影響而變化，導(dǎo)致點、線按不同的方式作運動，曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系比較抽象，學(xué)生不易理解，顯而易見，展示幾何圖形變形與運動的整體過程在解析幾何教學(xué)中是非常重要的。這樣，《幾何畫板》又以其極強的運算功能和圖形圖象功能在解析幾何的教與學(xué)中大顯身手。如它能作出各種形式的方程（普通方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程）的曲線；能對動態(tài)的對象進行“追蹤”，并顯示該對象的“軌跡”；能通過拖動某一對象（如點、線）觀察整個圖形的變化來研究兩個或兩個以上曲線的位置關(guān)系。

具體地說，比如在講平行直線系y=x+b或中心直線系y=kx+2時，如圖6所示，分別拖動圖（1）中的點A和圖（2）中的點B時，可以相應(yīng)的看到一組斜率為1的平行直線和過定點（0，2）的一組直線（不包括y軸）。再比如在講橢圓的定義時，可以由

（1）圖6yAOxB2Oxy（2）“到兩定點F1、F2的距離之和為定值的點的軌跡”入手——如圖7，令線段AB的長為“定值”，在線段AB上取一點E，分別以F1為圓心、AE的長為半徑和以F2為圓心、AE的長為半徑作圓，則兩圓的交點軌跡即滿足要求。先讓學(xué)生猜測這樣的點的軌跡是什么圖形，學(xué)生各抒己見之后，老師演示圖7（1），學(xué)生豁然開朗：“原來是橢圓”。這時老師用鼠標(biāo)拖動點B（即改變線段AB的長），使得|AB|=|F1F2|，如圖7（2），滿足條件的點的軌跡變成了一條線段F1F2，學(xué)生開始謹慎起來并認真思索,不難得出圖7（3）（|AB|<|F1F2|時）的情形。經(jīng)過這個過AEBAEBAEBF1F2F1F2F1F2（1）（2）圖7（3）程，學(xué)生不僅能很深刻地掌握橢圓的概念，也鍛煉了其思維的嚴(yán)密性。

綜上所述，使用《幾何畫板》進行數(shù)學(xué)教學(xué)，通過具體的感性的信息呈現(xiàn)，能給學(xué)生留下更為深刻的印象，使學(xué)生不是把數(shù)學(xué)作為單純的知識去理解它，而是能夠更有實感的去把握它。這樣，既能激發(fā)學(xué)生的情感、培養(yǎng)學(xué)生的興趣，又能大大提高課堂效率。

第三篇：《幾何畫板》在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

《幾何畫板》在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

對于數(shù)學(xué)科學(xué)來說主要是抽象思維和理論思維，這是事實；但從人類數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)的發(fā)展來說，形象思維是最早出現(xiàn)的，并在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)中都起著重要的作用。不難想象，一個沒有得到形象思維培養(yǎng)的人會有很高的抽象思維、理論思維的能力。同樣，一個學(xué)生如果根本不具備數(shù)學(xué)想象力，要把數(shù)學(xué)學(xué)好那也是不可能的。正如前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家A.H.柯爾莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，數(shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化。”因此，隨著計算機多媒體的出現(xiàn)和飛速發(fā)展，在網(wǎng)絡(luò)技術(shù)廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域的同時，也給學(xué)校教育帶來了一場深刻的變革——用計算機輔助教學(xué)，改善人們的認知環(huán)境——越來越受到重視。從國外引進的教育軟件《幾何畫板》以其學(xué)習(xí)入門容易和操作簡單的優(yōu)點及其強大的圖形和圖象功能、方便的動畫功能被國內(nèi)許多數(shù)學(xué)教師看好，并已成為制作中學(xué)數(shù)學(xué)課件的主要創(chuàng)作平臺之一。那么，《幾何畫板》在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有哪些應(yīng)用呢？作為一名高中數(shù)學(xué)教師筆者就此談幾點體會：

一、《幾何畫板》在高中代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

“函數(shù)”是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念，它的概念和思維方法滲透在高中數(shù)學(xué)的各個部分；同時，函數(shù)是以運動變化的觀點對現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的一種刻劃，這又決定了它是對學(xué)生進行素質(zhì)教育的重要材料。就如華羅庚所說：“數(shù)缺形少直觀，形缺數(shù)難入微。”函數(shù)的兩種表達方式——解析式和圖象——之間常常需要對照（如研究函數(shù)的單調(diào)性、討論方程或不等式的解的情況、比較指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系等）。為了解決數(shù)形結(jié)合的問題，在有關(guān)函數(shù)的傳統(tǒng)教學(xué)中多以教師手工繪圖，但手工繪圖有不精確、速度慢的弊端；應(yīng)用幾何畫板快速直觀的顯示及變化功能則可以克服上述弊端，大大提高課堂效率，進而起到事倍功半的效果。

具體說來，可以用《幾何畫板》根據(jù)函數(shù)的解析式快速作出函數(shù)的圖象，并可

y以在同一個坐標(biāo)系中作出多個函數(shù)的圖象，如b在2

3A同一個直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x、y=x和Ty=x1/2的圖象，比較各圖象的形狀和位置，歸納

O冪函數(shù)的性質(zhì)；還可以作出含有若干參數(shù)的函數(shù)x圖象，當(dāng)參數(shù)變化時函數(shù)圖象也相應(yīng)地變化，如在講函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象時，傳統(tǒng)教學(xué)í?1只能將A、ω、φ代入有限個值，觀察各種情況時的函數(shù)圖象之間的關(guān)系；利用《幾何畫板》則可以以線段b、T的長度和A點到x軸的距離為參數(shù)作圖（如圖1），當(dāng)拖動兩條線段的某一端點（即改變兩條線段的長度）時分別改變?nèi)呛瘮?shù)的首相和周期，拖動點A則改變其振幅，這樣在教學(xué)時既快速靈活，又不失一般性。

《幾何畫板》在高中代數(shù)的其他方面也有很多用途。例如，借助于圖形對不等式的一些性質(zhì)、定理和解法進行直觀分析——由“半徑不小于半弦”證明不等式“a+b≥2ab（a、b∈R+）等；再比如，講解數(shù)列的極限的概念時，作出數(shù)列an=10-n的圖形（即作出一個由離散點組成的函數(shù)圖象），觀察曲線的變化趨勢，并利用《幾何畫板》的制表功能以“項數(shù)、這一項的值、這一項與0的絕對值”列表，幫助學(xué)生直觀地理解這一較難的概念。

二、《幾何畫板》在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用

立體幾何是在學(xué)生已有的平面圖形知識的基礎(chǔ)上討論空間圖形的性質(zhì)；它所用的研究方法是以公理為基礎(chǔ)，直接依據(jù)圖形的點、線、面的關(guān)系來研究圖形的性質(zhì)。從平面圖形到空間圖形，從平面觀念過渡到立體觀念，無疑是認識上的一次飛躍。初學(xué)立體幾何時，大多數(shù)學(xué)生不具備豐富的空間想象的能力及較強的平面與空間圖形的轉(zhuǎn)化能力，主要原因在于人們是依靠對二維平面圖形的直觀來感知和想象三維空間圖形的，而二維平面圖形不可能成為三維空間圖形的真實寫照，平面上繪出的立體圖形受其視角的影響，難于綜觀全局，其空間形式具有很大的抽象性。如兩條互相垂直的直線不一定畫成交角為直角的兩條直線；正方體的各面不能都畫成正方形等。這樣一來，學(xué)生不得不根據(jù)歪曲真象的圖形去想象真實情況，這便給學(xué)生認識立體幾何圖形增加了困難。而應(yīng)用《幾何畫板》將圖形動起來，就可以使圖形中各元素之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系惟妙惟肖，使學(xué)生從各個不同的角度去觀察圖形。這樣，不僅可以幫助學(xué)生理解和接受立體幾何知識，還可以讓學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力得到充分發(fā)揮。

像在講二面角的定義時（如圖2），當(dāng)拖 動A A 點A時，點A所在的半平面也隨之轉(zhuǎn)動，即改變二面角的大小，圖形的直觀地變動有利于幫助學(xué)

生建

圖2 立空間觀念和í?4í?3空間想象力；在講棱臺的概念時，可以演示由棱錐分割成棱臺的過程（如圖3），更可以讓棱錐和棱臺都轉(zhuǎn)動起來，使學(xué)生在直觀掌握棱臺的定義，并通過棱臺與棱錐的關(guān)系由棱錐的性質(zhì)得出棱臺的性質(zhì)的同時，讓學(xué)生欣賞到數(shù)學(xué)的美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；在講錐體的體積時，可以演示將三棱柱分割成三個體積相等的三棱錐的過程（如圖4），既避免了學(xué)生空洞的想象而難以理解，又鍛煉了學(xué)生用分割幾何體的方法解決問題的能力;在用祖恒原理推導(dǎo)球的體積時，運用動畫和軌跡功能作圖5，當(dāng)拖動點O時，平行于桌面的平面截球和柱錐所得截面也相應(yīng)地變動，直觀美麗的畫面在學(xué)生學(xué)得知識的同時，給人以美的感受，創(chuàng)建一個輕松、樂學(xué)的氛圍。

三、《幾何畫板》在平面解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

平面解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，它研究的主要問Oí?5題，即它的基本思想和基本方法是：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，借助形和數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，求出表示平面曲線的方程，把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)來研究；再通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)，把數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為形來討論。而曲線中各幾何量受各種因素的影響而變化，導(dǎo)致點、線按不同的方式作運動，曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系比較抽象，學(xué)生不易理解，顯而易見，展示幾何圖形變形與運動的整體過程在解析幾何教學(xué)中是非常重要的。這樣，《幾何畫板》又以其極強的運算功能和圖形圖象功能在解析幾何的教與學(xué)中大顯身手。如它能作出各種形式的方程（普通方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程）的曲線；能對動態(tài)的對象進行“追蹤”，并顯示該對象的“軌跡”；能通過拖動某一對象（如點、線）觀察整個圖形的變化來研究兩個或兩個以上曲線的位置關(guān)系。

具體地說，比如在講平行直線系y=x+b或中心直線系y=kx+2時，如圖6所示，分別拖動圖（1）中的點A和圖（2）中

yy的點B時，可以相應(yīng)的看到一組斜率為

1BA的平行直線和過定點（0，2）的一組直2線（不包括y軸）。再比如在講橢圓的OOxx定義時，可以由“到兩定點F1、F2的距離之和為定值的點的軌跡”入手——如（2）（1）圖7，令線段AB的長為“定值”，在線

圖6段AB上取一點E，分別以F1為圓心、AE的長為半徑和以F2為圓心、AE的長為半徑作圓，則兩圓的交點軌跡即滿足要求。先讓學(xué)生猜測這樣的點的軌跡是什么圖形，學(xué)生各抒己見之后，老師演示圖7（1），學(xué)生豁然開朗：“原來是橢圓”。這時老師用鼠標(biāo)拖動點B（即改變線段AB的長），使得|AB|=|F1F2|，如圖7（2），滿足條件的點的軌跡變成了一條線段F1F2，學(xué)生開始謹慎起來并認真思索,不難得出圖7（3）（|AB|<|F1F2|時）的情形。經(jīng)過這個過程，學(xué)生不僅能很深刻地掌握橢圓的概念，也鍛煉了其思維的嚴(yán)密性。

綜上所述，使用《幾何畫板》進行數(shù)學(xué)教學(xué)，通過具體的感性的信息呈現(xiàn)，能給學(xué)生留下更為深刻的印象，使學(xué)生不是把數(shù)學(xué)作為單純的知識去理解它，而是能夠更有實感的去把握它。這樣，既能激發(fā)學(xué)生的情感、培養(yǎng)學(xué)生的興趣，又能大大提高課堂效率。

AEBAEBAEBF1F2F1F2F1F2（1）（2）圖7（3）

第四篇：幾何畫板在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用及其作用

《幾何畫板》在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用舉例

湖南省益陽市南縣一中陳敬波

近年來，如何利用多媒體技術(shù)開發(fā)課件輔助課堂教學(xué)已成為熱門話題，數(shù)學(xué)作為一門獨立的自然科學(xué)，有它自身的特點、體系和規(guī)律。本文結(jié)合作者的實踐經(jīng)驗，就如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用《幾何畫板》及其在教學(xué)活動中的重要作用舉例說明。

1．繪制精確的幾何圖形

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，常利用列表、描點、連線的方式

研究新函數(shù)的圖象，教師總是說，隨著列表精細，描點多，會作出畢真的函數(shù)圖象，然而總是一個遺悍，但幾何畫板的運用，完善了作圖的不足。規(guī)范準(zhǔn)確的幾何圖形往往能

給人以美的享受。作為一名數(shù)學(xué)教育工作者，我們應(yīng)該充

分認識這一點，并要善于運用這個特點來輔助我們的教

學(xué)。《幾何畫板》這個軟件則正好給我們提供了這樣的一

個平臺，它不僅可以準(zhǔn)確地繪制出任意的幾何圖形，而且

還可以在運動的過程中動態(tài)地保持元素之間的幾何關(guān)系。

例如在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)時，我們可以作出指數(shù)函數(shù)的大致圖

形。可發(fā)借用幾何畫板作出精準(zhǔn)的指數(shù)函數(shù)的圖象，于是

還可以改變底數(shù)，可以迅速其他底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的圖象，既可節(jié)約時間，也可把不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)放在一起進行研究，探討出圖象性質(zhì)，于是學(xué)習(xí)知識變成輕松愉快的事兒。

2．研究函數(shù)的圖像及性質(zhì)

函數(shù)的圖像和性質(zhì)在中學(xué)數(shù)學(xué)里既是重點又是難點。如果在教學(xué)中能充分地利用《幾何畫板》來將抽象的內(nèi)容具體化、形象化，那么對于學(xué)生的學(xué)習(xí)無疑是很有幫助的。圖1，是用幾何畫板制作的課件，由圖象很容易得出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并且很容易掌握知識。為了更好地研究函

數(shù)y=Asin(?x+?)的圖像和性質(zhì)，理解

A、?和?的物理意義，可以借助《幾何

畫板》來做演示（如圖2），我們可以

動態(tài)地調(diào)整A的大小，使學(xué)生能很容

易地觀察出它只影響曲線的振幅，而對

曲線的周期和初相都沒有影響，類似地我們再調(diào)整? 和?的大小，以了解它們的作用。這樣，就會使整個內(nèi)容變得非常形象直觀，易于接受，比過去直接用理論來說明或簡單地在黑板上畫幾個草圖來講解的效果要好得多。在學(xué)習(xí)其他的函數(shù)圖像和性質(zhì)時也可以采取類似的方法，從而會使數(shù)學(xué)的課堂也變得豐富多彩起來。

3．探尋點的軌跡

點的軌跡的問題，一直以來都是學(xué)生們比較

難以理解和掌握的問題，大多數(shù)學(xué)生只能在頭腦中簡單地想象或手工地畫出其草圖，而

這樣又不能保證所畫圖像的精確性，尤其是

對初學(xué)者來說，更難以形成自己的知識，達

到熟練應(yīng)用的程度。如果應(yīng)用《幾何畫板》，就可以動態(tài)地描繪出軌跡的形成過程，使學(xué)生能夠更容易地抓住其本質(zhì)進行學(xué)習(xí)。例如，在學(xué)習(xí)橢圓這一部分內(nèi)容時，可以利用《幾何畫板》來演示橢圓的形成過程（如圖3）。在教學(xué)過程中，我們不妨在課堂上一步一步地直接給出該課件的制作過程。通過對這個過程的了解，學(xué)生可以非常容易地知道點M就是到定點F1、F2等于定長的點。當(dāng)點P在圓上不停地運動的時候，點C的軌跡則正好就是橢圓。于是橢圓的形成過程就完全地展現(xiàn)在學(xué)生的面前，這對于他們的形象記憶是很有好處的。當(dāng)然，為了更好地說明問題，我們還可以測算出F1M、F2M以及二者的長度之和，這樣可以使學(xué)生非常方便地觀察出動點M在運動過程中其他的量與量之間的關(guān)系，從而對橢圓的形成過程有進一步的認識。

4．討論方程或不等式的解（集）

“方程”、“函數(shù)”和“不等式”之間存在著一定的相互依存關(guān)系。在學(xué)習(xí)的過程中，我們往往要利用這種關(guān)系，將某些方程或不等式的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題，并最終圖像化。通過函數(shù)圖像中存在的交點及交點的變化情況，揭示問題的內(nèi)在本質(zhì)和參數(shù)的幾何意義，從而使問題簡化。《幾何畫板》在這方面也給我們提供了一個很好的平臺，可以很方便地從圖形的變化中，讓學(xué)生進行感知，去尋求對策，進而運用合理的數(shù)學(xué)運算、推理等方法使問題得到徹底解決。

例1．若直線y?

x?b與曲線y?3?有公共點，求b的取值范圍。曲線方程可化簡為(x?2)2?(y?3)2?4(1?y?3)，即表示圓心

為（2，3）半徑為2的半圓，依據(jù)數(shù)形結(jié)合，當(dāng)直線y?x?b

與此半圓相切時須滿足圓心（2，3）到直線y?x?b距離等于

2，解得b?1?b?1?

因為是下半圓故可得b?1?（舍），當(dāng)直線過（0，3）時，解得b=3,故1?b?3,制作一個幾何畫板的課件，以b為參數(shù),移動直線與曲線相交，學(xué)生很容易得出答案，當(dāng)然要學(xué)生學(xué)會使用數(shù)形結(jié)合的思想方

法。這樣在這個演示實驗的幫助下，使學(xué)生能獲得更加深刻的認識。

通過上面幾個實例解答，闡述了幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的充分應(yīng)用，提高了數(shù)學(xué)教學(xué)效益。“現(xiàn)代技術(shù)的使用將會深刻地影響數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容、方法和目標(biāo)的改變。”在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用《幾何畫板》的作用主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

1.有利于設(shè)置良好的教學(xué)情境.借助于《幾何畫板》，我們不但可以把很多數(shù)學(xué)概念的形成過程充分地“暴露”出來，隨時看到各種情形下的數(shù)量關(guān)系的變化，而且還可以把“形”和“數(shù)”的潛在關(guān)系及其變化動態(tài)的顯現(xiàn)在屏幕上，甚至可以根據(jù)需要對這個過程進行控制，學(xué)生也通過觀察的過程、制作的過程、比較的過程，產(chǎn)生他的經(jīng)驗體系，形成他的認知結(jié)構(gòu)，從而更好地完成整個認知過程。

2.有利于體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想.利用圖形的運動和顯示出來的數(shù)據(jù)，則能充分有效地把圖形與數(shù)值結(jié)合起來，體現(xiàn)了《幾何畫板》在數(shù)形結(jié)合上的優(yōu)勢，這是以往其它任何教學(xué)方式所無法達到的境地。

3.有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.幾何畫板》給學(xué)生提供了一個動態(tài)研究問題的工具，使他們有了創(chuàng)新的機會。

4.有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力.思維能力是能力結(jié)構(gòu)的核心。利用《幾何畫板》的動態(tài)圖形功能，可以即刻改變問題的條件，觀察結(jié)論所發(fā)生的變化，從而啟發(fā)學(xué)生思維，培養(yǎng)思維能力。

總之，《幾何畫板》在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的廣泛應(yīng)用和推廣，不僅帶來了教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)模式的深刻變革，而且使學(xué)生接受知識的被動地位得以改變，真正實現(xiàn)課堂教學(xué)中學(xué)生的主體地位和教師的主導(dǎo)地位，對提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)和教師的教學(xué)能力有著重要作用，同時也對我國的素質(zhì)教育起著重要的推進作用，為國家建設(shè)培養(yǎng)大量高素質(zhì)的綜合型人才。

第五篇：《幾何畫板》在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用及其作用

《幾何畫板》在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用及其作用 內(nèi)容摘要：

近年來，如何利用多媒體技術(shù)開發(fā)課件輔助課堂教學(xué)已成為熱門話題，數(shù)學(xué)作為一門獨立的自然科學(xué)，有它自身的特點、體系和規(guī)律。本文結(jié)合作者的實踐經(jīng)驗，就如何在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用《幾何畫板》及其在教學(xué)活動中的重要作用等幾方面做了系統(tǒng)的闡述和說明。

一、引言

1． 新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用現(xiàn)代信息技術(shù)的要求； 2．

《幾何畫板》軟件簡介；

二、問題的提出

三、可行性研究

四、在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用 1．

繪制精確的幾何圖形； 2．

研究函數(shù)的圖像及性質(zhì)； 3．

探尋點的軌跡；

4．討論方程或不等式的解（集）；

五、在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

1．有利于設(shè)置良好的教學(xué)情境； 2．

有利于體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想； 3．

有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識； 4．

有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力；

六、應(yīng)注意的問題

七、結(jié)束語

一、引言

我國新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)課程的設(shè)計與實施應(yīng)重視運用現(xiàn)代信息技術(shù)，特別要充分考慮計算器、計算機對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，大力開發(fā)并向?qū)W生提供更為豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的強有力工具，致力于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生樂意并有更多的精力投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去。” 《幾何畫板》（原名：The Geometer’s Sketchpad）是由美國Key Curriculum Press公司研制并出版的幾何軟件。它是一個適用于數(shù)學(xué)教學(xué)的軟件平臺，為教師和學(xué)生提供了一個探索幾何圖形內(nèi)在關(guān)系的環(huán)境。它以點、線、圓為基本元素，通過對這些基本元素的變換、構(gòu)造、測算、計算、動畫和跟蹤軌跡等方式，能顯示或構(gòu)造出較為復(fù)雜的圖形。

二、問題的提出

數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，在傳統(tǒng)的認識中，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只不過是一支筆一張紙的純理論性學(xué)習(xí)，既枯燥又乏味，從而使人們逐漸對其產(chǎn)生了厭惡的心理，尤其是在中學(xué)數(shù)學(xué)中，有相當(dāng)一部分的知識是比較抽象難懂的，如不等式解的討論、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、圓錐曲線方程等等，于是在一些學(xué)校中產(chǎn)生了數(shù)學(xué)課教師難教學(xué)生難學(xué)的現(xiàn)象。然而，近年來，隨著計算機和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的飛速發(fā)展，現(xiàn)代信息技術(shù)漸漸地走進了課堂，并越來越多地影響著教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)活動。根據(jù)數(shù)學(xué)這門學(xué)科的特點，《幾何畫板》也正在漸漸地被越來越多的人所認識和應(yīng)用。

三、可行性研究 1．《幾何畫板》軟件對硬件配置要求比較低，即使是在老式的386機器上也可以運行；該軟件體積比較小，最新的4.04版也只不過四、五兆大小，并且不需要其他軟件的支持就可以獨立運行。這樣即使計算機配置不是很好的學(xué)校也可以正常地使用它來進行教學(xué)； 2．《幾何畫板》操作簡單，功能強大。要想學(xué)會《幾何畫板》，并不需要太多的計算機知識，只要具備簡單的運用鼠標(biāo)和鍵盤的技能就可以了，這樣就可以使教師不用再去花費更多的時間來學(xué)習(xí)課件的制作與運用，并且制作出來的課件非常形象直觀，有利于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。另外，課件的修改也非常方便，甚至可以在課堂上直接地對課件進行制作與修改；

四、在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用 1．

繪制精確的幾何圖形

規(guī)范準(zhǔn)確的幾何圖形往往能給人以美的享受。作為一名數(shù)學(xué)教育工作者，我們應(yīng)該充分認識這一點，并要善于運用這個特點來輔助我們的教學(xué)。《幾何畫板》這個軟件則正好給我們提供了這樣的一個平臺，它不僅可以準(zhǔn)確地繪制出任意的幾何圖形，而且還可以在運動的過程中動態(tài)地保持元素之間的幾何關(guān)系。圖1

例如初中的“勾股定理”是幾何中一個非常重要的定理，在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上有著非常重要的地位。在常規(guī)的教學(xué)中，往往是先由教師給出定理，再證明定理，最后舉例應(yīng)用。這樣處理教材的內(nèi)容往往使勾股定理失去了它應(yīng)有的魅力，難以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣。如果在教學(xué)中能把《幾何畫板》引入課堂，并制作成相應(yīng)的課件（如圖1），利用它的拖拉、測算等功能，可以任意地拖動A、B、C三點以改變該直角三角形的大小，讓同學(xué)觀察相應(yīng)地正方形面積的變化有何特點，并試著用自己的語言進行歸納總結(jié)，進而提出勾股定理，有條件的話，可以讓學(xué)生自己動手親自實驗；在同學(xué)觀察實驗的基礎(chǔ)上，教師再利用構(gòu)造圖形的方法對該定理給予證明。這樣能把勾股定理的精華之處一步一步地展現(xiàn)的學(xué)生的面前，讓他們感受其中的規(guī)律，體會其中的艱苦，嘗試成功后的喜悅，從而培養(yǎng)他們學(xué)習(xí)幾何的興趣。

2．研究函數(shù)的圖像及性質(zhì)

函數(shù)的圖像和性質(zhì)在中學(xué)數(shù)學(xué)里既是重點又是難點。如果在教學(xué)中能充分地利用《幾何畫板》來將抽象的內(nèi)容具體化、形象化，那么對于學(xué)生的學(xué)習(xí)無疑是很有幫助的。圖2

例如在高中一年級的三角函數(shù)這一部分內(nèi)容當(dāng)中，為了更好地研究函數(shù) 的圖像和性質(zhì)，理解、和 的物理意義，可以借助《幾何畫板》來做演示（如圖2），我們可以動態(tài)地調(diào)整 的大小，使學(xué)生能很容易地觀察出它只影響曲線的振幅，而對曲線的周期和初相都沒有影響，類似地我們再調(diào)整 和 的大小，以了解它們的作用。

這樣，就會使整個內(nèi)容變得非常形象直觀，易于接受，比過去直接用理論來說明或簡單地在黑板上畫幾個草圖來講解的效果要好得多。在學(xué)習(xí)其他的函數(shù)圖像和性質(zhì)時也可以采取類似的方法，從而會使數(shù)學(xué)的課堂也變得豐富多彩起來。3．

探尋點的軌跡

點的軌跡的問題，一直以來都是學(xué)生們比較難以理解和掌握的問題，大多數(shù)學(xué)生只能在頭腦中簡單地想象或手工地畫出其草圖，而這樣又不能保證所畫圖像的精確性，尤其是對初學(xué)者來說，更難以形成自己的知識，達到熟練應(yīng)用的程度。如果應(yīng)用《幾何畫板》，就可以動態(tài)地描繪出軌跡的形成過程，使學(xué)生能夠更容易地抓住其本質(zhì)進行學(xué)習(xí)。圖3

例如，在學(xué)習(xí)橢圓這一部分內(nèi)容時，可以利用《幾何畫板》來演示橢圓的形成過程（如圖3）。在教學(xué)過程中，我們不妨在課堂上一步一步地直接給出該課件的制作過程。通過對這個過程的了解，學(xué)生可以非常容易地知道點C就是到定點F1、F2等于定長的點。當(dāng)點P在圓上不停地運動的時候，點C的軌跡則正好就是橢圓。于是橢圓的形成過程就完全地展現(xiàn)在學(xué)生的面前，這對于他們的形象記憶是很有好處的。當(dāng)然，為了更好地說明問題，我們還可以測算出F1C、F2C以及二者的長度之和，這樣可以使學(xué)生非常方便地觀察出動點C在運動過程中其他的量與量之間的關(guān)系，從而對橢圓的形成過程有進一步的認識。

圖4

在《幾何畫板》中，橢圓的作法還有很多種，我們可以鼓勵學(xué)生在課下自己動手，試著用其他的方法作出橢圓，以達到舉一反三的目的，這樣在接下來學(xué)習(xí)雙曲線這一部內(nèi)容的時候，就可以讓同學(xué)們自己動手來探索問題了。不僅是圓錐曲線這一部分的內(nèi)容可以用《幾何畫板》來輔助教學(xué)，其它很多有關(guān)點的軌跡的問題都可以有它來幫忙。比如，有這樣一道有趣的題：△ABC的邊BC固定，點A在定圓上運動，判斷它的外心軌跡的形狀。對于這個題目來說，很難直接地判斷出軌跡的形狀，究竟是圓、橢圓、直線還是其他什么形狀呢？如果我們借助《幾何畫板》來研究這個問題，則可以很容易地看出，在一般情況下軌跡的形狀是（如圖4）線段，如果再深入地研究，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)把點B拖入圓內(nèi)時，外心O的軌跡是直線；當(dāng)把點B、C都拖入圓內(nèi)時，外心O的軌跡是兩條射線。后來還發(fā)現(xiàn)即使點B、C在圓上，外心的軌跡也可能是射線，等等。這樣通過對《幾何畫板》的運用，使這個問題得到了很好的解決，比單純地口述或簡單地畫草圖要直觀得多，容易理解得多。

4．討論方程或不等式的解（集）

“方程”、“函數(shù)”和“不等式”之間存在著一定的相互依存關(guān)系。在學(xué)習(xí)的過程中，我們往往要利用這種關(guān)系，將某些方程或不等式的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題，并最終圖像化。通過函數(shù)圖像中存在的交點及交點的變化情況，揭示問題的內(nèi)在本質(zhì)和參數(shù)的幾何意義，從而使問題簡化。《幾何畫板》在這方面也給我們提供了一個很好的平臺，可以很方便地從圖形的變化中，讓學(xué)生進行感知，去尋求對策，進而運用合理的數(shù)學(xué)運算、推理等方法使問題得到徹底解決。例如：討論方程（為參數(shù)）的根的情況，并求出其根。將方程轉(zhuǎn)化為：

將方程重組：

建立函數(shù)：

和

圖5

然后，我們構(gòu)建函數(shù)的圖像，利用函數(shù) 這一動直線的移動變化觀察出函數(shù) 在 這一區(qū)間的交點的個數(shù)（如圖5），得到原方程的根的存在情況。這樣在這個演示實驗的幫助下，使學(xué)生能獲得更加深刻的認識。

類似地，對于下面這個問題也可以這樣處理：方程 有兩個根，其中一個根在（0，1）之間，另一個根在（2，3）之間，求 取值范圍。

我們可以將拆成兩個函數(shù)： 和 再分別進行討論。另一方面，也可以讓直線不動，而讓拋物線運動，即設(shè)函數(shù)，討論其與 軸的交點，從而從多個角度來提示問題的本質(zhì)特征，使學(xué)生對這個知識點的理解能上升到一個新的高度。

五、在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

“現(xiàn)代技術(shù)的使用將會深刻地影響數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容、方法和目標(biāo)的改變。”在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用《幾何畫板》的作用主要體現(xiàn)在以下幾個方面： 1．

有利于設(shè)置良好的教學(xué)情境

由瑞士心理學(xué)家皮亞杰提出的建構(gòu)主義認為：世界是客觀存在的，由于每個人的知識、經(jīng)驗和信念的不同，每個人都有自己對世界獨特的理解。知識并非是主體對客觀現(xiàn)實的、被動的、鏡面式的反映，而是一個主動的建構(gòu)過程。建構(gòu)主義要求學(xué)生在情景交互中直接獲得知識，并建立和構(gòu)造了自己的知識庫。可見，在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)一個良好的教學(xué)情境是相當(dāng)重要的，數(shù)學(xué)教學(xué)也是如此。《幾何畫板》正好提供了一個“數(shù)學(xué)實驗”的環(huán)境，使學(xué)生由過去枯燥乏味的“聽數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)檎嬲摹白鰯?shù)學(xué)”，從而實現(xiàn)由“要我學(xué)”到“我要學(xué)”的過渡。借助于《幾何畫板》，我們不但可以把很多數(shù)學(xué)概念的形成過程充分地“暴露”出來，隨時看到各種情形下的數(shù)量關(guān)系的變化，而且還可以把“形”和“數(shù)”的潛在關(guān)系及其變化動態(tài)的顯現(xiàn)在屏幕上，甚至可以根據(jù)需要對這個過程進行控制，學(xué)生也通過觀察的過程、制作的過程、比較的過程，產(chǎn)生他的經(jīng)驗體系，形成他的認知結(jié)構(gòu)，從而更好地完成整個認知過程。

例如，在教學(xué)橢圓、雙曲線等內(nèi)容的時候，我們就可以借助《幾何畫板》這個工具將原本抽象難懂的內(nèi)容形象化，創(chuàng)造一個愉快的學(xué)習(xí)氛圍，使學(xué)生真正主動地參與到教學(xué)活動中來。它不同于其它繪圖軟件只要繪出圖像就可以了，也不像一般地教學(xué)輔助軟件給出公式就可以自動地繪出圖像，而是要求學(xué)生領(lǐng)會“圓錐曲線”的精髓，緊扣定義，巧妙構(gòu)思，建立數(shù)學(xué)模型，從而真正地做到了動手與動腦相結(jié)合，寓趣味性、技巧性、知識性于一體。2．

有利于體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想 華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微。”這句話不但深刻地揭示了數(shù)學(xué)中數(shù)與形之間的依存關(guān)系，而且還體現(xiàn)了辯證唯物主義的思想。把數(shù)形結(jié)合的思想貫徹于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的始終是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一。《幾何畫板》能夠簡單快捷地畫出各種幾何圖形，而且其中的測算功能迅速地測量出圖形的長度、角度、面積等，并能進行各種復(fù)雜的計算。利用圖形的運動和顯示出來的數(shù)據(jù)，則能充分有效地把圖形與數(shù)值結(jié)合起來，體現(xiàn)了《幾何畫板》在數(shù)形結(jié)合上的優(yōu)勢，這是以往其它任何教學(xué)方式所無法達到的境地。圖6 圖7 圖8

例如：在極坐標(biāo)方程（和 為非零常數(shù)）中，我們知道，當(dāng) 為奇數(shù)時，曲線是 葉玫瑰線（如圖6）；當(dāng) 是偶數(shù)時，曲線是2 葉玫瑰線（如圖7）。那么當(dāng) 既不是奇數(shù)又不是偶數(shù)（如 =4.5）時又是什么樣的呢？這就很難說了，但如果我們利用《幾何畫板》就可以既容易又直觀地做出它的曲線（如圖8）。當(dāng) =4.5時，是“重瓣的玫瑰”呀，數(shù)學(xué)的美感就會立刻展現(xiàn)在我們的眼前，而且我們還可以進一步地做出當(dāng) 為其他一些特殊值時的曲線，使數(shù)與形充分地結(jié)合在一起。

3．有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識

創(chuàng)新是一個民族生存、發(fā)展與進步的靈魂，是民族興旺的動力。它以發(fā)掘人的創(chuàng)新潛能，弘揚人的主體精神，促進人的個性和諧發(fā)展為宗旨，而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重要目的和一條基本原則。《幾何畫板》給學(xué)生提供了一個動態(tài)研究問題的工具，使他們有了創(chuàng)新的機會。圖11 圖10 圖9

例如有這樣一道軌跡問題：如圖9，B是半徑為r的定圓A內(nèi)的一定點，M是圓

A上的一動點，過線段BM的中點E作BM的垂線與半徑AM的交點為P，求P的軌跡。點P的軌跡顯然是一個橢圓，這是因為|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=r（|AB|

4．有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力

思維能力是能力結(jié)構(gòu)的核心。利用《幾何畫板》的動態(tài)圖形功能，可以即刻改變問題的條件，觀察結(jié)論所發(fā)生的變化，從而啟發(fā)學(xué)生思維，培養(yǎng)思維能力。

例如：P是△ABC內(nèi)部任意一點，直線AP、BP、CP分別與BC、CA、AB交于D、E、F，EF交AD于H，試證：。（《數(shù)學(xué)通報》“數(shù)學(xué)問題”欄目的第1167題）

在證明完這道題之后，我們試著將P點拖到△ABC的外部再進行觀察。學(xué)生顯然會發(fā)現(xiàn)屏幕上顯示的 與 的值仍然相等（如圖12）。這也就是說，題設(shè)中的條件“P是△ABC內(nèi)部的任意一點”不是必要條件。接下來我們就可以進一步引導(dǎo)學(xué)生思考：結(jié)論成立的充要條件是什么呢？這時可以讓學(xué)生自由的討論，再進行最后的總結(jié)。這樣就無形當(dāng)中鍛煉了學(xué)生的思維能力。可能一直到最后，學(xué)生也不一定能得出正確的結(jié)論，這時，我們可以適當(dāng)?shù)奶崾荆喊腰cP拖動到使AP平行于BC的位置時，再觀察屏幕。這時 的數(shù)值不見了，這是因為點D在這時是不存在的；再將點P拖動到點A的上方，會發(fā)現(xiàn) 與 的值并不相等，此時結(jié)論也不成立……最后，我們再引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出問題的結(jié)果：過點A作直線BC的平行線AM，只要點P不在直線AM的上方（否則H、P、D三點不都在點A的同旁），也不在直線AB、AC、AM上，點P在其他任何位置結(jié)論都成立。象這樣應(yīng)用啟發(fā)式和討論式的教學(xué)，能激發(fā)學(xué)生獨立思考和創(chuàng)新意識，使他們的思維能力得到發(fā)展。

六、應(yīng)注意的問題 《幾何畫板》引入課堂無論是對于教師的教學(xué)還是對學(xué)生的學(xué)習(xí)都是非常有幫助的，但在應(yīng)用的過程當(dāng)中也應(yīng)注意幾個問題：首先，多媒體技術(shù)在教學(xué)中的應(yīng)用應(yīng)該是以教學(xué)的需要為基準(zhǔn)，它是為教學(xué)服務(wù)的，在教學(xué)中起著輔助的作用，不應(yīng)以多媒體的應(yīng)用為主體而忽略了知識的傳授，更應(yīng)注意避免多媒體在教學(xué)中所起的負面影響。作為現(xiàn)代教育技術(shù)引入課堂的《幾何畫板》也應(yīng)如此，只有恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用才能收到良好的效果；其次，《幾何畫板》確實為教學(xué)提供了很大的方便，但我們在應(yīng)用的時候，要充分地用它來引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)，讓它幫助學(xué)生思考，而不是代替學(xué)生思考，作為教師要給予恰當(dāng)?shù)奶崾荆ㄟ^計算機演示實驗幫助學(xué)生完成思考過程，形成對知識的理解，而不是利用計算機直接地給出結(jié)論，否則會使學(xué)生養(yǎng)成過分依賴的習(xí)慣，挫傷學(xué)生的創(chuàng)造意識和實踐能力。

七、結(jié)束語 總之，《幾何畫板》在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的廣泛應(yīng)用和推廣，不僅帶來了教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)模式的深刻變革，而且使學(xué)生接受知識的被動地位得以改變，真正實現(xiàn)課堂教學(xué)中學(xué)生的主體地位和教師的主導(dǎo)地位，對提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)和教師的教學(xué)能力有著重要作用，同時也對我國的素質(zhì)教育起著重要的推進作用，為國家建設(shè)培養(yǎng)大量高素質(zhì)的綜合型人才。