第一篇：C語言關(guān)于自然數(shù)的和以及自然數(shù)n次方的和
計(jì)算：
（1）1+2+3+4+5+6+7+8=？
（2）1*1+2*2+3*3+4*4+5*5+6*6+7*7+8*8=?
（3）1*1*1+2*2*2+3*3*3+4*4*4+5*5*5+6*6*6+7*7*7+8*8*8=?
程序如下：
#include
模型的推廣：
計(jì)算：
1+2+…+n=?
… …
1*1*1*…1+…+n*n*n*…n=?
程序如下：
#include
第二篇：自然數(shù)的N次方和
自然數(shù)的N次方和
小學(xué)的時(shí)候，那個(gè)著名的高斯的故事深深影響著我們，就是那個(gè)1+2+……+100的那個(gè)故事，盡管這個(gè)故事發(fā)沒發(fā)生過都搞不清楚，就好像蘋果砸牛頓腦袋就砸出一個(gè)萬有引力定律的故事一樣。盡管真假已難知曉，但是我們寧愿他是真的。
我們從高斯的故事知道了下面的公式：
在后面的學(xué)習(xí)中，我們又接觸到了下面的公式：
出于人類思維的本能，我們自然就會想到對于一般的k，下面式子的和的公式：
不過很遺憾，到目前為止，對于這樣的式子是沒有公式的，不過有幸，我們有關(guān)于這個(gè)式子的遞推公式
這個(gè)遞推公式叫阿爾哈曾公式，不用說，肯定就是阿爾哈曾這個(gè)人提出的。如果你對上面的公式有點(diǎn)亂的話，那么下面的阿爾哈曾分割圖就比較明顯說明上面式子的含義：
這個(gè)就是非常好的一個(gè)分割，大長方形的高為n+1，紅色框部分的面積等于大長方形面積減去其余部分面積，這剛好就是我們上面的阿爾哈曾公式。利用他可以來推導(dǎo)其他的次方和公式，正如你們所需要的，只要你想要，只要你不怕累，就一定可以推導(dǎo)出來，比如我們來推導(dǎo)14+24+34+……+n4的求和公式，為了方便，我們設(shè)fk(n)=1k+2k+3k+……+nk,我們就可以根據(jù)這個(gè)而來：
大伙可以根據(jù)上面的遞推公式，或者是那張分割圖，得到自己想要的公式，不過處理過程就有點(diǎn)麻煩。
第三篇：自然數(shù)N次方的尾數(shù)周期變化情況
自然數(shù)N次方的尾數(shù)周期變化情況：
2n是以“4”為周期進(jìn)行變化的，分別為2，4，8，6…… 3n是以“4”為周期進(jìn)行變化的，分別為3，9，7，1…… 7n是以“4”為周期進(jìn)行變化的，分別為7，9，3，1…… 8n是以“4”為周期進(jìn)行變化的，分別為8，4，2，6…… 4n是以“2”為周期進(jìn)行變化的，分別為4，6…… 9n是以“2”為周期進(jìn)行變化的，分別為9，1…… 5n、6n尾數(shù)不變。
【例3】22007+32007+42007+52007+62007+72007+82007+92007的值的個(gè)位數(shù)為是多少？ A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】D。這道題的每個(gè)指數(shù)都很大，而求的是最終值的個(gè)位數(shù)，因此只要根據(jù)自然數(shù)N次方的尾數(shù)周期變化情況就可以判斷。例如，22007是以“4”為周期變化的，于是用2007除以4，可得余3，因此22007=23=8，個(gè)位數(shù)是8。以此類推將后面幾個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)算出來相加即可：原式等價(jià)于23+33+41+5+6+73+83+9，所以最終值的尾數(shù)是4。
順逆水問題常用的公式有：
（1）順?biāo)俣龋╒順）=船速（V船）＋水速（V水）（2）逆水速度（V逆）=船速（V船）－水速（V水）由（1）和（2）公式推導(dǎo)可以得出：
（3）船速（V船）=[順?biāo)俣龋╒順）＋逆水速度（V逆）]÷2（4）水速（V水）=[順?biāo)俣龋╒順）－逆水速度（V逆）]÷2（3）、（4）兩個(gè)公式是順逆水問題中最核心最常用的兩個(gè)公式，同學(xué)應(yīng)該將該公式熟記于心。記憶的時(shí)候可以這么理解：船速一般要大于水速（不然船就無法在逆水中前行），所以船速是“順逆相加除以二”、水速是“順逆相減除以二”。
?一個(gè)公式：工作效率×工作時(shí)間=工作總量
?一個(gè)技巧：設(shè)工作時(shí)間的最小公倍數(shù)為工作總量，再求工作效率 只要牢牢掌握以上兩個(gè)點(diǎn)，工程問題都可以很快解出。我們可以通過幾個(gè)例題來理解這一個(gè)公式和一個(gè)技巧。
【例3】一篇文章，現(xiàn)有甲乙丙三人，如果由甲乙兩人合作翻譯，需要10 小時(shí)完成，如果由乙丙兩人合作翻譯，需要12 小時(shí)完成。現(xiàn)在先由甲丙兩人合作翻譯4 小時(shí)，剩下的再由乙單獨(dú)去翻譯，需要12 小時(shí)才能完成，則這篇文章如果全部由乙單獨(dú)翻譯，要()小時(shí)能夠完成。A.15 B.18 C.20 D.25 【解析】A。第一步，設(shè)工作總量為60，;第二步：求工作效率，甲乙的效率和為6，乙丙的效率和為5，第三步：求解，丙干了12小時(shí)，可以看成與甲、乙分別合干4小時(shí)，又單干4小時(shí)，與甲合干4小時(shí)完成24份工，與乙合干4小時(shí)完成20份工，剩余的16份工由乙4小時(shí)完成，因此乙的效率為4，總的工作時(shí)間為15，選A。
溶液、溶劑、溶質(zhì)和濃度的關(guān)系如下∶
?溶液的質(zhì)量=溶質(zhì)的質(zhì)量+溶劑的質(zhì)量
?濃度=溶質(zhì)質(zhì)量÷溶液質(zhì)量
?溶液質(zhì)量=溶質(zhì)質(zhì)量÷濃度
?溶質(zhì)質(zhì)量=溶液質(zhì)量×濃度
難度較低的溶液問題只要通過以上幾個(gè)公式就可以列方程求解，而對于一些較復(fù)雜的濃度問題，就要通過“十字交叉法”來求解。
十字交叉法是進(jìn)行二組分混合物平均量與組分量的計(jì)算中常用的一種簡便方法。凡是一般的二元一次方程組（Aa +Bb = c(A +B)關(guān)系式）的習(xí)題，均可用十字交叉法。
該法解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出平均值。其解題原理為： Aa＋Bb＝(A＋B)×c 整理變形后可得(a>c>b)
其中c為平均值
十字相乘法使用時(shí)要注意幾點(diǎn)：
第一點(diǎn)：用來解決兩者之間的比例關(guān)系問題。第二點(diǎn)：得出的比例關(guān)系是基數(shù)的比例關(guān)系。
第三點(diǎn)：總均值放中央，對角線上，大數(shù)減小數(shù)，結(jié)果放對角線上。
【例3】把濃度為20%、30%和50%的某溶液混合在一起，得到濃度為36%的濃液50升，已知濃度為30%的溶液用量是濃度為20%的濃液用量的2倍，濃度為30%的溶液用量是多少升（）
A、18 B、8 C、10 D、20 【解析】D。用十字交叉法計(jì)算，假設(shè)2%的溶液為L升，則30%的溶液為2L升，先將20%和30%的酒精混合，混合后的濃度為20%*L+30%*2L/L+2L=4/15 設(shè)50%濃度的溶液為Y升
溶液1：4/15 7/50 50-Y
36% 溶液2：50% 7/75 Y 因此7/50÷7/75=3/2=50-Y/Y，推出Y=20。故選D。
一、概率問題公式
加法原理：m1+m2+……+mn
乘法原理：m1×m2×……×mn 注意：分類用加法，分步用乘法。
二、排列組合公式
注意：有順序用排列，無順序有組合。
第四篇：怎么求1→n→1連續(xù)自然數(shù)的和
怎么求1→n→1連續(xù)自然數(shù)的和
我們要求１＋２＋３＋…＋（ｎ－１）＋ｎ＋（ｎ－１）＋…＋３＋２＋１，有什么簡單的方法嗎？大家來看下面這個(gè)具體例子。
求１＋２＋３＋４＋５＋４＋３＋２＋１
要計(jì)算這個(gè)和一般的方法將其看成兩個(gè)等差數(shù)列，然后根據(jù)本節(jié)中學(xué)到的等差數(shù)列求和公式：Ｓ＝(（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù))/２，求和。
即１＋２＋３＋４＋５＝(（１＋５）×５)/２＝１５,４＋３＋２＋１＝(（４＋１）×４)/２＝１０
把他們相加便得出所求的和為１５＋１０＝２５
要問除了這個(gè)方法求和外，還有什么簡捷的方法嗎？大家仔細(xì)觀察，如果大小搭配，易的：１＋２＋３＋４＋５＋４＋３＋２＋１＝５２＝２５
我們在觀察一例
１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝？
同理可得：１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝７２＝４９
這樣一來我們就德：１＋２＋３＋…＋（ｎ－１）＋ｎ＋（ｎ－１）＋…＋３＋２＋１的和等于中間最大自然數(shù)的平方，即：１＋２＋３＋…＋（ｎ－１）＋ｎ＋（ｎ－１）＋…＋３＋２＋１＝ｎ２
第五篇：關(guān)于自然數(shù)數(shù)列前n項(xiàng)和公式證明
自然數(shù)平方與立方數(shù)列前n項(xiàng)和公式證明
huangjianwxyx
以下公式，尤其是二、三公式的推導(dǎo)體現(xiàn)了遞推消項(xiàng)數(shù)學(xué)思想。
一、證明：Sn=?k=1＋2＋3＋…＋n＝(1+n)n/2證：(略)
二、證明：Sn=?k2=12＋22＋32＋…＋n2＝ [n(n＋1)(2n＋1)]/6
k?1k?1nn
證：?(n＋1)3－n3=(n3＋3n2＋3n＋1)－n3=3n2＋3n＋1，則：
23－13=3×12＋3×1＋1（n從1開始）
33－23=3×22＋3×2＋1
43－33=3×32＋3×3＋1
53－43=3×42＋3×4＋1
63－53=3×52＋3×5＋1
…
(n＋1)3－n3=3×n2＋3×n＋1（至n結(jié)束）
上面左右所有的式子分別相加，得：
(n＋1)3－13=3×[12＋22＋32＋…＋n2]＋3×[1＋2＋3＋…＋n]＋n ?(n＋1)3－1=3Sn＋3×[n(n＋1)/2]＋n
?Sn=12＋22＋32＋…＋n2＝ [n(n＋1)(2n＋1)]/6
三、證明：Sn=?k3=13+23+.....+n3=n2(n+1)2/4=[n(n+1)/2] 2
k?1n
證：?(n+1)4-n4=[(n+1)2+n2][(n+1)2-n2]=(2n2+2n+1)(2n+1)=4n3+6n2+4n+1則：
24-14=4*13+6*12+4*1+1（n從1開始）
34-24=4*23+6*22+4*2+1
44-34=4*33+6*32+4*3+1
...(n+1)4-n4=4*n3+6*n2+4*n+1（至n結(jié)束）
上面左右所有的式子分別相加，得：
(n+1)4-1=4*(13+23+.....+n3)+6*(12＋22＋32＋…＋n2)+4*(1+2+3+...+n)+n?4*(13+23+.....+n3)=(n+1)4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n=[n(n+1)]2
?Sn=13+23+.....+n3=[n(n+1)/2] 2
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