第一篇：九年級數學上冊 1.2 矩形的性質與判定(第1課時)教案 (新版)北師大版
矩形的性質與判定
教學目標
(1)掌握矩形的的定義，理解矩形與平行四邊形的關系。
(2)理解并掌握矩形的性質定理;會用矩形的性質定理進行推導證明;(3)會初步運用矩形的定義、性質來解決有關問題，進一步培養學生的分析能力． 教學重點
矩形性質定理的證明及應用 教學難點
“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的推導及性質定理的運用 教學過程：
一、創設情境，引入新課
師：展示教具（平行四邊形），演示平行四邊形變為菱形的過程.當我們給平行四邊形其他的特殊條件時，是否還會得出其他圖形呢？比如，我們平行四邊形的一個內角變為90度，你發現了什么特殊圖形呢？ 生：長方形.師：原來是大家非常熟悉的圖形，他還有個高大上的名字——矩形.板書課題
師：根據前面大家對菱形，平行四邊形的學習過程，對于矩形，你想從哪些方面認識它呢？ 生：矩形的定義.生：矩形的性質.生：矩形邊、角、對角線的特征.生：矩形的判定.生：……
二、目標展示 師：出示學習目標.生：默讀學習目標.三、自主學習1.自主探究
師：根據下面的自學指導，自主學習課本11至12頁議一議前的內容.1、定義：有 的 叫做矩形.1
2、矩形是平行四邊形嗎？
3、如圖，四邊形ABCD是矩形，試從它的邊，角，對角線，對稱性上寫出性質.（小組討論）
邊：.角：.對角線：.對稱性：.4、先寫出特有的性質，然后獨立思考證明過程，再與課本上的證明相比較.矩形特有的性質是：..處理方式：生自主學習和小組合作相結合，通過自學——猜想——推理三個步驟，掌握矩形的性質.以小組為單位，提出學習過程中的疑問，由其它同學討論答疑.【設計意圖】本環節知識較為簡單，有前面菱形性質的研究經驗，又有比較堅實的三角形全等的知識基礎，此處自學應該沒有障礙，因此，為培養學生的自主學習能力及增大課堂容量，將此處設計為自主學習.師歸納板書：定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.性質：
1、矩形的四個角都是直角.2、矩形的對角線相等.2.自學檢測
生完成導學案上的自學檢測習題，然后借助投影儀展示結果，查缺補漏.3.例題解析
展示課本P13例1：如圖，在矩形ABCD中，兩條對角線相交于點O，∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形對角線的長。
證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴ AC=BD(矩形的對角線相等)OA=OC=11AC，OB=OD=BD，22∴OA=OD ∵∠AOD=120°
∴∠ODA=∠OAD=1(180°-120°)= 30° 2又∵∠DAB=90°(矩形的四個角都是直角)∴BD=2AB=2×2.5=5 處理方式：生獨立完成，自主到黑板上板演，師規范解答過程.此題解法不唯一，教師巡視時注意搜集不同解法進行展示.【設計意圖】 這個例題主要目的是應用矩形的邊和對角線的性質來解決問題.在學過矩形的性質后，如何熟練、靈活的應用矩形的性質解決實際問題，就是關鍵.四、合作探究 1.小組合作探究
師：矩形的對角線都有哪些性質？ 生：相等，且互相平分.師：于是，連接矩形的對角線，我們會發現特殊的三角形：
個 三角形和 個 三角形，針對直角三角形，我提出下列問題，你能解決嗎？試一試.（1）如圖，BO是直角三角形ABC的什么特殊線段？（2）你發現BO與直角三角形ABC的斜邊有怎樣的關系？（3）你能證明你所發現的結論是正確的嗎？（4）試用文字語言敘述這一結論.處理方式：生以小組為單位，討論著四個問題，并試寫出證明過程，派代表在黑板上展示.師：參與小組討論，適時引導，提出疑問.生試講解.師點撥構造矩形的方法，板書定理：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半.∵Rt△ABC中，∠ABC=90° BO為AC邊上的中線（AO=CO）∴BO?AO?CO?2.學習檢測
O 1AC 2生獨立完成導學案上的檢測題.【設計意圖】先從矩形的對角線相關性質推出直角三角形的性質，達到“學數學，用數學”的目的。再通過習題，讓學生掌握“在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一性質，達到學以致用的目的，培養了學生的應用意識。
五、課堂小結
談一談，本節課你有哪些收獲? 生暢談自己的收獲.生：知識上的收獲：（1）矩形定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.（2）矩形的性質（3）直角三角形的性質
解題技巧上的收獲：矩形的一條對角線把矩形分成兩個全等的直角三角形；矩形的兩條對角線把矩形分成兩對全等的等腰三角形。因此，有關矩形的問題往往可化為直角三角或等腰三角形的問題來解決。
【設計意圖】讓學生對學習情況進行小結，主要包括：知識小結和學法小結.通過小結，讓學生梳理學習內容，明確本節課重點知識以及該掌握的解題方法和技巧，使教師及時了解學生對本節課重點知識以及解題方法和技巧的掌握情況，以便答疑補漏。及時的課堂檢測，及時反饋學生學習的效果便于進行課堂教學和優化.六、達標檢測
生獨立完成導學案的達標測試題.七、作業設置 課本P13第1,2,3題
助學P10——P12矩形的性質與判定第一課時
第二篇：九年級數學上冊《1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質與判定(第1課時)》學案
《1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質與判定（第1課時）》
學案
【學習目標】
1、A會證明平行四邊形的性質定理及其相關結論
2、B.能運用平行四邊形的性質定理進行計算與證明
3、C.在進行探索、猜想、證明的過程中，進一步發展推理論證的能力 【學習重、難點】
重點：平行四邊形的性質證明表達格式的邏輯性 完整性 精煉性 難點：分析 綜合 思考的方法 【情境創設】
從上面的幾種特殊四邊形的性質中，你能說說它們之間有什么聯系與區別嗎？ 如圖AB//AB,BC//BC,CA//CA，圖中有______個平行四邊形。
【合作交流】
活動
1、上表中平行四邊形的性質中，你能證明哪些性質？
''
''
''
活動
2、你認為平行四邊形性質中，可以先證明哪一個？為什么?
活動
3、證明定理“平行四邊形對角線互相平分”。
【典題選講】
例1.A.已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，求證：AO=CO，BO=DO
A D41 O
BC
由此證明過程，同時也證明了定理“平行四邊形對邊相等”、“平行四邊形對角相等”，這樣我們可得平行四邊形的三條性質定理：
平行四邊形對邊相等。
平行四邊形對角相等。
平行四邊形對角線互相平分。
例
2、B.證明“夾在兩條平行線之間的平行線段相等”
分析：根據命題先畫出相應圖形，再由命題與所畫圖形寫出已知、求證，最后根據已知條件寫出證明過程。
例
3、C.已知：如圖，□ ABCD中，E、F分別是CD、AB的中點。求證：
AE=CF
【課堂練習】
1、A.已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝8cm，0BC＝10cm，∠C＝120，求BC邊上的高AH的長；
求平行四邊形ABCD的面積D
2.B.若平行四邊形ABCD的兩條對角線AC與BD相交于O，已知AB=8，BC=6，△AOB的周長為18，求△AOD的周長。
3.C.已知：如圖，□ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F.求證：BE=DF.ADBE
體會】 引導學生自我歸納總結：
1、平行四邊形對邊相等，對角相等，鄰角互補，對角線互相平分。
2、是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心。
3、平行線之間的距離處處相等?！緦W習
第三篇：【備課參考】2015秋北師大版九年級數學上冊教案：1-3 正方形的性質與判定(2課時)
1.3 正方形的性質與判定 第1課時
【教學目標】
了解正方形的有關概念，理解并掌握正方形的性 質定理.【教學重難點】
重點:探索正方形的性質定理.難點:掌握正方形的性質的應用方法，把握正方形既是矩形又是菱形這一特性來學習本節課內容.【教學過程】
一、探究導入 【顯示投影片】
顯示內容:展示生活中有關正方形的圖片，幻燈片(多幅).【活動方略】
教師活動:操作投影儀，邊展示圖片，邊提出下面的問題: 1.同學們觀察顯示的圖片后，有什么聯想？正方形四條邊有什么關系？四個角呢？ 正方形是矩形嗎？是菱形嗎？為什么？ 正方形具有哪些性質呢？
學生活動:觀察屏幕上所展示的生活中的正方形圖片.進行聯想.易知：1.正方形四條邊都相等（小學已學過）；正方形四個角都是直角（小學學過).實驗活動：教師拿出矩 形按左圖折疊.然后展開，讓學生發現:只要矩形一組鄰邊相等，這樣的矩形就是正方形；同樣，教師拿出活動菱形框架，運動中讓學生
發現：只要菱形有一個內角為90°，這樣的特殊菱形也是 正方形.教師活動:組織學生聯想正方形還具有哪些性質,板書畫出一個正方形，如下圖:
學生活動：觀察、聯想到它是矩形，所以具有矩形的所有性質；它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性質，歸納如下：
正方形定義:有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.正方形性質：
（1)邊的性質:對邊平行，四條邊都相等.（2)角的性質：四個角都是直角.（3)對角線的性質:兩條對角線互相垂直平分且相 等，每條對角線平分一組對角.(4)對稱性:是軸對稱圖形，有四條對稱軸.【設計意圖】采用合作交流、發現、歸納的方式來解決重點問題，突破難點.二、探究新知
【課堂演練】(投影顯示）
演練題1：如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對角線AC與BD相交于0，MN//AB，且分別與OA、OB相交于M、N.求證：（1)BM=CN；(2)BM⊥CN.分析：本題是證明BM=CN，根據正方形性質，可以證明BM、CN所在ΔBOM與ΔCON是否全等.（2）在（1)的基礎上完成，欲證BM⊥CN.只需證∠5 + ∠CMG= 90°就可以了.【活動方略】
教師活動:操作投影儀.組織學生演練，巡視，關注 “學困生”；等待大部分學生練習做完之后，再請兩位學 生上臺演示，交流.學生活動：課堂演練，相互討論，解決演練題的問題.證明：（1)∵四邊形ABCD是正方形，∴∠COB=∠BOM= 90°，OC=OB.∵MN//AB，∴∠1=∠2, ∠ABO= ∠3，又∵∠1= ∠ABO= 45°，∴∠ 2=∠3，∴OM =ON，∴ΔCON≌ΔBOM，∴BM=CN.(2)由（1)知ΔBOM ≌ΔCON, ∴∠4= ∠5，∵∠4+∠BMO=90°，∴∠5+∠BMC=90° , ∴∠CGM=90°, ∴BM⊥CN.演練題2:如圖，正方形ABCD中，點E在AD邊上，且AE= AD，F為AB的中點，求證: 1ΔCEF是直角三角形.4
分析：本題要證∠EFC= 90°，從已知條件分析可以得到只要利用勾股定理逆定理，就可以解決問題.這 里應用到正方形性質.【活動方略】
教師活動:用投影儀顯示演練題2,組織學生應用正方形和勾股定理逆定理分析，并請同學上講臺分析思路，板演.學生活動:先獨立分析，找到證明思路是利用勾股定理的逆定理解決問題.證明：設AB = 4a，在正方形ABCD中，DC=BC=4a，AF=FB = 2a，AE=a，DE=3a.∵∠B=∠A=∠D=90°，由勾股定理得：
EF2 +CF2=(AE2 +AF2)+(CB2 +BF2)=(a2 + 4a2)+(16a2+4a2)=25a2，CE2=CD2+DE2=(4a)2 +(3a)2=25a2，∴EF2 +CF2=CE2.由勾股定理的逆定理可知ΔCEF是直角三角形.【設計意圖】補充兩道關于正方形性質應用的演練 題，提高學生的應用能力.三、范例點擊
例：已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，矩形
PECF的頂點P在正方形ABCD的對角線BD上,E在BC上，F 在 CD 上，連接 AC、AP、PC、EF，若EC= 4，CF=3,求 PA的長.分析：本題運用矩形對角線相等的性質可得EF=PC，運用正方形的性質可得AP=PC，進而可得AP=EF.因此，只要求出EF的值即可.解：∵四邊形PECF是矩形，∴PC=EF.在 RtΔEFC中，EC=4，CF=3, ∴EF='∵點P在BD 上，∴PA=PC=5.∴PC=5.∵四邊形ABCD是正方形，∴ BD⊥AC且BD平分AC，即BD是AC的垂直平分線.【方法歸納】與矩形對角線有關的計算問題，主要運用矩形的對角線相等和正方形的對角線的性質，借助第三條線段作“媒介”求線段的長.四、五、鞏固練習課堂小結 教材P21隨堂練習本節課應掌握： 正方形的概念：
有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.正方形的性質
正方形的四個角都是直角，四條邊相等.正方形的對角線相等且互相垂直平分.正方形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.六、布置作業
教材P22習題1.7第1、2、3題第2課時
【教學目標】
1.知道正方形的判定方法，會運用平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定條件進行有關的論證和計算.2.經歷探究正方形判定條件的過程，發展學生初步的綜合推理能力，主動探究的學習習慣，逐步掌握說理的基本方法.3.理解特殊的平行四邊形之間的內在聯系，培養學生辯證看問題的觀點.【教學重難點】
重點:掌握正方形的判定條件.難點:合理恰當地利用特殊平行四邊形的判定進行有關的論證和計算.【教學過程】
―、創設情境，引入新課
我們學習了平行四邊形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它們之間有怎樣的包含關系？請填入下圖中.通過填寫讓學生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，還是特殊的平行四邊形；而正方形、矩形、菱形都是平行四邊形；矩形、菱形都是特殊的平行四邊形.1.怎樣判斷一個四邊形是平行四邊形？ 2.怎樣判斷一個四邊形是矩形？ 3.怎樣判斷一個四邊形是菱形？
4.怎樣判斷一個平行四邊形是矩形、菱形？ 議一議:你有什么方法判定一個四邊形是正方形？
二、探究新知
1.探索正方形的判定條件：
學生活動：四人一組進行討論研究，老師巡回其間，進行引導、質疑、解惑，通過分析與討論，師生共同總結出判 定一個四邊形是正方形的基本方法.（1）直接用正方形的定義判定，即先判定一個四邊形是平行四邊形，若這個平行四邊形有一個角是直角，并且有一組鄰邊相等，那么就可以判定這個平行四邊形是正方形；（2）先判定一個四邊形是矩形，再判定這個矩形是 菱形，那么這個四邊形是正方形；（3）先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形是矩 形，那么這個四邊形是正方形.后兩種判定均要用到矩形和菱形的判定定理.矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基礎.這三個方法還可寫成:有一個角是直角，且有一組鄰邊相等的四邊形是正方形；有一組鄰邊相等的矩形是正方形；有一個角是直角的菱形是正方形.上述三種判定條件是判定四邊形是正方形的一般方法，可當作判定定理用，但由于判定平行四邊形、矩
形、菱形的方法各異，所給出的條件各不相同，所以判定一個四邊形是不是正方形的具體條件也相應可作變化，在應用時要仔細辨別后才可以作出判斷.2.正方形判定條件的應用
例1:判斷下列命題是真命題還是假命題？并說明理由.（1）四條邊相等且四個角也相等的四邊形是正方形； ⑵四個角相等且對角線互相垂直的四邊形是正方形；（3）對角線互相垂直平分的四邊形是正方形；（4)對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形；(5)對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.師生共析：
是真命題，因為四條邊相等的四邊形是菱形，又四個角相等，根據四邊形內角和定理知每個角為90°，所以由有一個角是直角的菱形是正方形可以判定此命題是真命題.⑵真命題,由四個角相等可知每個角都是直角，是矩形，由對角線互相垂直可判定這個矩形是菱形，所以根據是既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，可判定其為真.(3)假命題，對角線平分的四邊形是平行四邊形，對角線垂直的四邊形是菱形，所以它不一定是正方形.如下圖①，滿足AO=CO，BO=DO且AC⊥BD但四邊形ABCD不是正方形.（4）假命題，它可能是任意四邊形.如上圖②，AC⊥BD 且AC=BD，但四邊形ABCD不是正方形.（5）真命題.方法一:對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線相等的平行四邊形是矩形，對角線垂直 的平行四邊形是菱形，所以是矩形又是菱形的四邊形是正方形.可判定其為真.方法三：由對角線互相垂直平分可知是菱形，由對角線平分且相等可知是矩形，而既是菱形又是矩形的四邊形就是正方形.總結:通過辨析，掌握判定正方形的各種方法和思路，從題中所給各種不同條件出發，尋找命題成立的判定依據，以便靈活應用.例2:如圖，E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD 上，且∠AFE= 45°，試說明EF=BE+DF.師生共析:要證EF=BE+DF,如果能將DF移到EB延長線或將BE移到FD延長線上，然后就能證明兩線段長度相等。此時可依靠全等三角形來解決.像這種在EB上補上DF或在FD上補上BE的方法叫做補短法.解:將ΔADF旋轉到ΔABC，則ΔADF≌ ΔABG ∴AF=AG，∠ADF=∠ABG,DF=BG，∵∠EAF= 45°且四邊形是正方形，∴∠ADF + ∠BAE=45°, ∴∠GAB + ∠BAE=45°, 即∠GAE=45°，∴ ΔAEF≌ΔAEG(SAS)，∴EF=EG=EB+BG=EB+DF.討論:你能從一張彩色紙中剪出一個正方形嗎? 說出你的做法.你怎么檢驗它是一個正方形呢？小組討論一下.三、范例點擊
例3:如圖，在□ABCD中，對角線AC、BD交于點O，E是BD延長線上的點，且ΔACE是等邊三角形.求證：四邊形ABCD是菱形；
若∠AED = 2∠EAD，求證：四邊形ABCD是正方形.分析:⑴由已知可得BE垂直平分AC,進而可得AB=BC，再用菱形定義可判定.（2)由菱形性質可得∠DAC =∠BAC，由已知得∠AED=30°，∠EAO=60°，∠DAE= 15°，∠DAO=45°，從而得出∠BAD=90°，問題得解.證明：（1)∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OA=OC.又∵ΔACE是等邊三角形，∴EO⊥AC，即 BD⊥AC，∴AB=BC，∴平行四邊形ABCD是菱形.∵ΔACE為等邊三角形，∴∠AEO= ∠OEC= 30〇 , ∠EAC= 60〇.∵∠AED=2∠EAD，∴∠EAD =15°，∴∠DAO= 45°.又∵四邊形ABCD是菱形，∴∠DAO=∠BAO=45°，∴∠DAB = 90°，∴菱形 ABCD為正方形.四、鞏固練習
教材P24隨堂練習
通過練習進一步鞏固正方形的判定方法的應用.五、課堂小結
本節課應掌握：
正方形常用的判定方法歸納為（學生討論歸納后，由教師板書）對角線相等的菱形是正方形.對角線垂直的矩形是正方形.有一個角是直角的菱形是正方形.有一組鄰邊相等的矩形是正方形.六、布置作業 教材P25習題1.8第1、3題.九上數學教案(BS)12
第四篇：九年級數學上冊 21.3 實際問題與一元二次方程(第1課時)教案 (新版)新人教版
21.3實際問題與一元二次方程（1）
【教學目標】
知識與技能：1.能根據具體問題中的數量關系，列出一元二次方程，體會方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型．
2.能根據具體問題的實際意義，檢驗結果是否合理．
過程與方法：經歷將實際問題抽象為代數問題的過程，探索問題中的數量關系，并能運用一元二次方程對之進行描述
情感態度價值觀：通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數學知識應用的價值，提高學生學習數學的興趣，了解數學對促進社會進步和發展人類理性精神的作用．
【教學重難點】
教學重點：列一元二次方程解有關傳播問題的應用題 教學難點：發現傳播問題中的等量關系 【教學過程】
一、復習引入
1、解一元二次方程都是有哪些方法？
2、列一元一次方程解應用題都是有哪些步驟？
①審題；②設未知數；③找相等關系；④列方程；⑤解方程；⑥答
說明：為繼續學習建立一元二次方程的數學模型解實際問題作好鋪墊．
二、探索新知 【探究1】
有一人患了流感，經過兩輪傳染后，有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？
思考：（1）本題中有哪些數量關系？
（2）如何理解“兩輪傳染”？
（3）如何利用已知的數量關系選取未知數并列出方程？
設每輪傳染中平均一個人傳染x個人，那么患流感的這個人在第一輪傳染中傳染了 人；第一輪傳染后，共有 人患了流感；
在第二輪傳染中，傳染源是 人，這些人中每一個人又傳染了 人，那么第二輪傳染了 人，第二輪傳染后，共有 人患流感.（4）根據等量關系列方程并求解
解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則依題意第一輪傳染后有x+1人患了流感，第二輪傳染后有x(1+x)人患了流感.于是可列方程：
1+x+x(1+x)=121 解方程得
x1=10，x2=-12(不合題意舍去)因此每輪傳染中平均一個人傳染了10個人．
(5)為什么要舍去一解？
（6）如果按照這樣的傳播速度，三輪傳染后，有多少人患流感？
說明：使學生通過多種方法解傳播問題，驗證多種方法的正確性；通過解題過程的對比，體會對已知數量關
系的適當變形對解題的影響，豐富解題經驗．
【探究2】
兩年前生產1噸甲種藥品的成本是5000元，生產1噸乙種藥品的成本是6000元，隨著生產技術的進步，現在生產1噸甲種藥品的成本是3000元，生產1噸乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？
思考：（1）怎樣理解下降額和下降率的關系？
（2）若設甲種藥品平均下降率為x，則一年后，甲種藥品的成本下降了 元，此時成本為
元；兩年后，甲種藥品下降了 元，此時成本為 元。（3）對甲種藥品而言根據等量關系列方程并求解、選擇根？
解：設甲種藥品成本的年平均下降率為x，則一年后甲種藥品成本為5000（1-x）元，兩年后甲種藥品成本為5000（1-x）元． 依題意，得5000（1-x）=3000 解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合題意，舍去）
（4）同樣的方法請同學們嘗試計算乙種藥品的平均下降率,并比較哪種藥品成本的平均下降率較大。設乙種藥品成本的平均下降率為y． 則：6000（1-y）=3600 整理，得：（1-y）=0.6 解得：y≈0.225 答：兩種藥品成本的年平均下降率一樣大
（5）思考經過計算，你能得出什么結論？成本下降額較大的藥品，它的下降率一定也較大嗎？應怎樣全面地比較幾個對象的變化狀況？
三、鞏固練習
說明：通過練習加深學生列一元二次方程解應用題的基本思路
四、小結作業
小結：1.列一元二次方程解應用題的步驟：審、設、找、列、解、答。最后要檢驗根是否符合實際意義。
2.用“傳播問題”建立數學模型，并利用它解決一些具體問題．
3.對于變化率問題，若平均增長（降低）率為x，增長（或降低）前的基數是a，增長（或降低）n次后的量是b,則有：a(1?x)?b（常見n=2）
作業：n
第五篇：示范教案(1.2 指數函數及其性質 第2課時)
第2課時
指數函數及其性質(2)導入新課
思路1.復習導入：我們前一節課學習了指數函數的概念和性質,下面我們一起回顧一下指數函數的概念、圖象和性質.如何利用指數函數的圖象和性質來解決一些問題,這就是本堂課要講的主要內容.教師板書課題.思路2.我們在學習指數函數的性質時,利用了指數函數的圖象的特點,并且是用類比和歸納的方法得出,在理論上,我們能否嚴格的證明特別是指數函數的單調性,以便于我們在解題時應用這些性質,本堂課我們要解決這個問題.教師板書課題:指數函數及其性質(2).應用示例
思路1 例1已知指數函數f(x)=a（a＞0且a≠1）的圖象過點（3,π）,求f(0),f(1),f(-3)的值.活動：學生審題,把握題意,教師適時提問,點撥,求值的關鍵是確定a,一般用待定系數法,構建一個方程來處理,函數圖象過已知點,說明點在圖象上,意味著已知點的坐標滿足曲線的方程,轉化為將已知點的坐標代入指數函數f(x)=ax（a＞0且a≠1）求a的值,進而求出f(0),f(1),f(-3)的值,請學生上黑板板書,及時評價.解：因為圖象過點（3,π）, 11x所以f(3)=a3=π,即a=π3,f(x)=(π3)x.再把0,1,3分別代入,得 f(0)=π=1, f(1)=π=π, f(-3)=π-1=.?點評：根據待定系數的多少來確定構建方程的個數是解題的關鍵,這是方程思想的運用.例2用函數單調性的定義證明指數函數的單調性.活動：教師點撥提示定義法判斷函數單調性的步驟,單調性的定義證明函數的單調性,要按規定的格式書寫.證法一：設x1,x2∈R,且x1＜x2,則
xxxxy2－y1=a2－a1=a1（a2-x1－1）.因為a＞1,x2－x1＞0，所以ax2-x1＞1,即ax2-x1－1＞0.又因為a1＞0, 所以y2－y1＞0, 即y1 y2y1x101= aax2x1=a x2?x1.因為a＞1,x2－x1＞0,所以a即y2y1x2?x1＞1, >1,y1 若指數函數y=（2a－1）x是減函數,則a的范圍是多少？ 答案：12x＜a＜1.例3截止到1999年底,我國人口約13億,如果今后能將人口年平均增長率控制在1%,那么經過20年后,我國人口數最多為多少（精確到億）？ 活動：師生共同討論,將實際問題轉化為數學表達式,建立目標函數,常采用特殊到一般的方式,教師引導學生注意題目中自變量的取值范圍,可以先考慮一年一年增長的情況,再從中發現規律,最后解決問題： 1999年底 人口約為13億;經過1年 人口約為13（1+1%）億;經過2年 人口約為13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)億;經過3年 人口約為13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3億;經過x年 人口約為13(1+1%)x億;經過20年 人口約為13(1+1%)20億.解：設今后人口年平均增長率為1%,經過x年后,我國人口數為y億,則 y=13(1+1%)x, 當x=20時,y=13(1+1%)20≈16(億).答：經過20年后,我國人口數最多為16億.點評：類似此題,設原值為N,平均增長率為P,則對于經過時間x后總量y=N(1+p)x,像y=N(1+p)等形如y=ka(k∈R,a＞0且a≠1）的函數稱為指數型函數.思路2 例1求下列函數的定義域、值域： 12xx(1)y=0.4x?1;(2)y=35x?1;(3)y=2+1;(4)y= x 2?22?1xx.解：（1）由x-1≠0得x≠1,所以所求函數定義域為{x|x≠1}.由x≠?得y≠1, 即函數值域為{y|y>0且y≠1}.（2）由5x-1≥0得x≥15,所以所求函數定義域為{x|x≥ 15}.由5x-1≥0得y≥1，所以函數值域為{y|y≥1}.（3）所求函數定義域為R，由2x>0可得2x+1>1.所以函數值域為{y|y>1}.(4)由已知得：函數的定義域是R,且(2x+1)y=2x-2,即(y-1)2x=-y-2.因為y≠1,所以2x=?y?2y?1.又x∈R,所以2x>0,?y?2y?1>0.解之,得-2 x?3≠（12)0=1.又因為y>0,所以值域為(0,1)∪(1,+∞).例2 （1）求函數y=(122)x?2x的單調區間,并證明.22?1x（2）設a是實數,f(x)=a?(x∈R),試證明對于任意a,f(x)為增函數.12活動：（1）這個函數的單調區間由兩個函數決定,指數函數y=（）x與y=x2-2x的復合函數,（2）函數單調性的定義證明函數的單調性,要按規定的格式書寫.1x22?2x2()22y11解法一：設x1 22x2?1?22x1?1= 2(2(2x1x1?2xx2)?1)(22?1).由于指數函數y=2在R上是增函數,且x1 1.函數y=a（a＞1）的圖象是（）|x|xxxx 圖2-1-2-8 分析：當x≥0時,y=a|x|=ax的圖象過（0,1）點,在第一象限,圖象下凸,是增函數.答案：B 2.下列函數中,值域為（0,+∞）的函數是（）A.y=(13x)2-x B.y=1-C.y=0.5- 1D.y=2x+1 2x分析：因為（2－x）∈R,所以y=（［0,+∞);y=2答案：A x213x）2－x∈（0,+∞）;y=1-4∈［0,1］;y=0.5-1∈ x+1∈［2,+∞).3.已知函數f（x）的定義域是（0,1）,那么f（2x）的定義域是（）A.（0,1） B.（x 12,1） C.（－∞,0） D.（0,+∞） x 0分析：由題意得0＜2＜1,即0＜2＜2,所以x＜0,即x∈（－∞,0）.答案：C 4.若集合A={y|y=2x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},則（） A.AB B.AB C.A=B D.A∩B=? 分析：A={y|y＞0},B={y|y≥0},所以AB.答案：A 5.對于函數f(x)定義域中的任意的x1、x2(x1≠x2),有如下的結論: ①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2);③f(x1)?f(x2)x1?x2>0;④f(x1?x22)< f(x1)?f(x2)x1?x2.當f(x)=10x時,上述結論中正確的是.分析:因為f(x)=10,且x1≠x2,所以f(x1+x2)=10x x1?x2=10x1?10x2=f(x1)·f(x2),所以①正確;因為f(x1·x2)=10x?x≠10x?10x=f(x1)+f(x2),②不正確;1212因為f(x)=10是增函數,所以f(x1)-f(x2)與x1-x2同號,所以xx f(x1)?f(x2)x1?x2>0,所以③正確.因為函數f(x)=10圖象如圖2-1-2-9所示是上凹下凸的,可解得④正確.圖2-1-2-9 答案：①③④ 另解：④ 10∵10x1>0,10x2>0,x1≠x2,∴x1x2x1?x2x1?102x2>10x1?10x210∴ x1?102x2>10x1?x2, 即10?102>102∴f(x1)?f(x2)x1?x2>f(x1?x22).拓展提升 在同一坐標系中作出下列函數的圖象,討論它們之間的聯系.(1)①y=3x,②y=3x+1,③y=3x-1;(2)①y=(12x),②y=(12),③y=(x- 112) x+1 .活動：學生動手畫函數圖象,教師點撥,學生沒有思路教師可以提示.學生回憶函數作圖的方法與步驟,按規定作出圖象,特別是關鍵點.答案：如圖2-1-2-10及圖2-1-2-11.圖2-1-2-10圖2-1-2-11 觀察圖2-1-2-10可以看出,y=3x,y=3x+1,y=3x-1的圖象間有如下關系: y=3的圖象由y=3的圖象左移1個單位得到;y=3x-1的圖象由y=3x的圖象右移1個單位得到;y=3x-1x+1x的圖象由y=3x+1的圖象向右移動2個單位得到.12觀察圖2-1-2-11可以看出,y=(y=(12),y=（x 12),y=（x-1 12) x+1的圖象間有如下關系:)x+1的圖象由y=(12)的圖象左移1個單位得到; xy=(y=(1212)x-1的圖象由y=(1212)的圖象右移1個單位得到;)x+1的圖象向右移動2個單位得到.x)x-1的圖象由y=(你能推廣到一般的情形嗎?同學們留作思考.課堂小結 思考 我們本堂課主要學習了哪些知識,你有什么收獲?把你的收獲寫在筆記本上.活動：教師用多媒體顯示以下內容,學生互相交流學習心得,看是否與多媒體顯示的內容一致.本節課,在復習舊知識的基礎上學習了數形結合的思想、函數與方程的思想,加深了對問題的分析能力,形成了一定的能力與方法.作業 課本P59習題2.1 B組1、3、4.設計感想 本堂課主要是復習鞏固指數函數及其性質,涉及的內容較多,要首先組織學生回顧指數函數的性質,為此,必須利用函數圖象,數形結合,通過數與形的相互轉化,借助形的直觀性解決問題,本節課要訓練學生能夠恰當地構造函數,根據函數的單調性比較大小,有時要分a>1,0
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