第一篇：北京華羅庚學校三年級奧數(shù)補習教案找簡單數(shù)列的規(guī)律講解

第六講 找簡單數(shù)列的規(guī)律

日常生活中，我們經常接觸到許多按一定順序排列的數(shù)，如：

自然數(shù)：1，2，3，4，5，6，7，…（1）

年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996（2）

某年級各班的學生人數(shù)（按班級順序一、二、三、四、五班排列）

45，45，44，46，45（3）

像上面的這些例子，按一定次序排列的一列數(shù)就叫做數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項，其中第1個數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項，第2個數(shù)稱為第2項，…，第n個數(shù)就稱為第n項.如數(shù)列（3）中，第1項是45，第2項也是45，第3項是44，第4項是46，第5項45。

根據(jù)數(shù)列中項的個數(shù)分類，我們把項數(shù)有限的數(shù)列（即有有窮多個項的數(shù)列）稱為有窮數(shù)列，把項數(shù)無限的數(shù)列（即有無窮多個項的數(shù)列）稱為無窮數(shù)列，上面的幾個例子中，（2）（3）是有窮數(shù)列，（1）是無窮數(shù)列。

研究數(shù)列的目的是為了發(fā)現(xiàn)其中的內在規(guī)律性，以作為解決問題的依據(jù)，本講將從簡單數(shù)列出發(fā)，來找出數(shù)列的規(guī)律。

例1 觀察下面的數(shù)列，找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律，在括號中填上合適的數(shù).①2，5，8，11，（），17，20。

②19，17，15，13，（），9，7。

③1，3，9，27，（），243。

④64，32，16，8，（），2。

⑤1，1，2，3，5，8，（），21，34…

⑥1，3，4，7，11，18，（），47…

⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）.⑧1，2，6，24，120，（），5040。

⑨1，1，3，7，13，（），31。

⑩1，3，7，15，31，（），127，255。

(11)1，4，9，16，25，（），49，64。

(12)0，3，8，15，24，（），48，63。

(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.分析與解答

①不難發(fā)現(xiàn)，從第2項開始，每一項減去它前面一項所得的差都等于3.因此，括號中應填的數(shù)是14，即：11＋3=14。

② 同①考慮，可以看出，每相鄰兩項的差是一定值2.所以，括號中應填11，即：13—2=11。

不妨把①與②聯(lián)系起來繼續(xù)觀察，容易看出：數(shù)列①中，隨項數(shù)的增大，每一項的數(shù)值也相應增大，即數(shù)列①是遞增的；數(shù)列②中，隨項數(shù)的增大，每一項的值卻依次減小，即數(shù)列②是遞減的.但是除了上述的不同點之外，這兩個數(shù)列卻有一個共同的性質：即相鄰兩項的差都是一個定值.我們把類似①②這樣的數(shù)列，稱為等差數(shù)列.③1，3，9，27，（），243。

此數(shù)列中，從相鄰兩項的差是看不出規(guī)律的，但是，從第2項開始，每一項都是其前面一項的3倍.即：3=1×3，9= 3×3，27=9×3.因此，括號中應填 81，即 81= 27×3，代入后，243也符合規(guī)律，即 243＝81×3。

④64，32，16，8，（），2

與③類似，本題中，從第1項開始，每一項是其后面一項的2倍，即：

因此，括號中填4，代入后符合規(guī)律。

綜合③④考慮，數(shù)列③是遞增的數(shù)列，數(shù)列④是遞減的數(shù)列，但它們卻有一個共同的特點：每列數(shù)中，相鄰兩項的商都相等.像③④這樣的數(shù)列，我們把它稱為等比數(shù)列。

⑤ 1，1，2，3，5，8，（），21，34…

首先可以看出，這個數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.現(xiàn)在我們不妨看看相鄰項之間是否還有別的關系，可以發(fā)現(xiàn)，從第3項開始，每一項等于它前面兩項的和.即2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=3＋5.因此，括號中應填的數(shù)是 13，即 13=5+8，21=8+13，34=13+21。

這個以1，1分別為第1、第2項，以后各項都等于其前兩項之和的無窮數(shù)列，就是數(shù)學上有名的斐波那契數(shù)列，它來源于一個有趣的問題：如果一對成熟的兔子一個月能生一對小兔，小兔一個月后就長成了大兔子，于是，下一個月也能生一對小兔子，這樣下去，假定一切情況均理想的話，每一對兔子都是一公一母，兔子的數(shù)目將按一定的規(guī)律迅速增長，按順序記錄每個月中所有兔子的數(shù)目（以對為單位，一月記一次），就得到了一個數(shù)列，這個數(shù)列就是數(shù)列⑤的原型，因此，數(shù)列⑤又稱為兔子數(shù)列，這些在高年級遞推方法中我們還要作詳細介紹。

⑥1，3，4，7，11，18，（），47…

在學習了數(shù)列⑤的前提下，數(shù)列⑥的規(guī)律就顯而易見了，從第3項開始，每一項都等于其前兩項的和.因此，括號中應填的是29，即 29=11＋18。

數(shù)列⑥不同于數(shù)列⑤的原因是：數(shù)列⑥的第2項為3，而數(shù)列⑤為1，數(shù)列⑥稱為魯卡斯數(shù)列。

⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）。

方法1：繼續(xù)考察相鄰項之間的關系，可以發(fā)現(xiàn)：

因此，可以猜想，這個數(shù)列的規(guī)律為：每一項等于它的項數(shù)與其前一項的和，那么，第5項為15，即15=10+5，最后一項即第 9項為 45，即 45＝36＋9.代入驗算，正確。

方法2：其實，這一列數(shù)有如下的規(guī)律：

第1項：1=1

第2項：3=1＋2

第3項：6=1+2+3

第4項：10=1+2+3+4

第5項：（）

第6項：21=1+2+3+4+5+6

第7項：28=1+2+3+4+5+6+7

第8項；36=1+2+3+4+5+6+7+8

第9項：（）

即這個數(shù)列的規(guī)律是：每一項都等于從1開始，以其項數(shù)為最大數(shù)的n個連續(xù)自然數(shù)的和.因此，第五項為15，即：15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5；

第九項為45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。

⑧1，2，6，24，120，（），5040。

方法1：這個數(shù)列不同于上面的數(shù)列，相鄰項相加減后，看不出任何規(guī)律.考慮到等比數(shù)列，我們不妨研究相鄰項的商，顯然：

所以，這個數(shù)列的規(guī)律是：除第1項以外的每一項都等于其項數(shù)與其前一項的乘積.因此，括號中的數(shù)為第6項720，即 720=120×6。

方法2：受⑦的影響，可以考慮連續(xù)自然數(shù)，顯然：

第1項 1=1

第2項 2=1×2

第3項 6=1×2×3

第4項 24=1×2×3×4

第5項 120=1×2×3×4×5

第6項（）

第7項 5040=1×2×3×4×5×6×7

所以，第6項應為 1×2×3×4×5×6=720

⑨1，1，3，7，13，（），31

與⑦類似：

可以猜想，數(shù)列⑨的規(guī)律是該項=前項+2×（項數(shù)-2）（第1項除外），那么，括號中應填21，代入驗證，符合規(guī)律。

⑩1，3，7，15，31，（），127，255。

則：

因此，括號中的數(shù)應填為63。

小結：尋找數(shù)列的規(guī)律，通常從兩個方面來考慮：①尋找各項與項數(shù)間的關系；②考慮相鄰項之間的關系.然后，再歸納總結出一般的規(guī)律。

事實上，數(shù)列⑦或數(shù)列⑧的兩種方法，就是分別從以上兩個不同的角度來考慮問題的.但有時候，從兩個角度的綜合考慮會更有利于問題的解決.因此，仔細觀察，認真思考，選擇適當?shù)姆椒ǎ瑫刮覀兊膶W習更上一層樓。

在⑩題中，1=2-1

3=22-1

7=23-1

15=24-1

31=25-1

127=27-1

255=28-1

所以，括號中為26-1即63。

（11）1，4，9，16，25，（），49，64.1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，25=5×5，49= 7×7，64=8×8，即每項都等于自身項數(shù)與項數(shù)的乘積，所以括號中的數(shù)是36。

本題各項只與項數(shù)有關，如果從相鄰項關系來考慮問題，勢必要走彎路。

(12)0，3，8，15，24，（），48，63。

仔細觀察，發(fā)現(xiàn)數(shù)列(12)的每一項加上1正好等于數(shù)列(11)，因此，本數(shù)列的規(guī)律是項=項數(shù)×項數(shù)-1.所以，括號中填35，即 35= 6×6-1。

(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）。

前面的方法均不適用于這個數(shù)列，在觀察的過程中，可以發(fā)現(xiàn)，本數(shù)列中的某些數(shù)是很有規(guī)律的，如1，2，3，4，5，而它們恰好是第1項、第3項、第5項、第7項和第9項，所以不妨把數(shù)列分為奇數(shù)項（即第1，3，5，7，9項）和偶數(shù)項（即第2，4，6，8項）來考慮，把數(shù)列按奇數(shù)和偶數(shù)項重新分組排列如下：

奇數(shù)項：1，2，3，4，5

偶數(shù)項：2，4，8，16 可以看出，奇數(shù)項構成一等差數(shù)列，偶數(shù)項構成一等比數(shù)列.因此，括號中的數(shù)，即第10項應為32（32=16×2）。

(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）。

同上考慮，把數(shù)列分為奇、偶項：

偶數(shù)項：2，4，6，8，10

奇數(shù)項：1，3，9，27，（）.所以，偶數(shù)項為等差數(shù)列，奇數(shù)項為等比數(shù)列，括號中應填81（81=27×3）。

像(13)(14)這樣的數(shù)列，每個數(shù)列中都含有兩個系列，這兩個系列的規(guī)律各不相同，類似這樣的數(shù)列，稱為雙系列數(shù)列或雙重數(shù)列。例2 下面數(shù)列的每一項由3個數(shù)組成的數(shù)組表示，它們依次是：

（1，3，5），（2，6，10），（3，9，15）…問：第100個數(shù)組內3個數(shù)的和是多少？

方法1：注意觀察，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)組的第1個分量依次是：1，2，3…構成等差數(shù)列，所以第 100個數(shù)組中的第 1個數(shù)為100；這些數(shù)組的第2個分量 3，6，9…也構成等差數(shù)列，且3=3×1，6=3×2，9=3×3，所以第100個數(shù)組中的第2個數(shù)為3×100=300；同理，第3個分量為5×100=500，所以，第100個數(shù)組內三個數(shù)的和為100+300+500=900。

方法2：因為題目中問的只是和，所以可以不去求組里的三個數(shù)而直接求和，考察各組的三個數(shù)之和。

第1組：1+3+5=9，第2組：2+6+10=18

第3組：3+ 9+ 15= 27…，由于9=9×1，18= 9×2，27= 9×3，所以9，18，27…構成一等差數(shù)列，第100項為9×100=900，即第100個數(shù)組內三個數(shù)的和為900。

例3 按下圖分割三角形，即：①把三角形等分為四個相同的小三角形（如圖（b））；②把①中的小三角形（尖朝下的除外）都等分為四個更小的三角形（如圖（C））…繼續(xù)下去，將會得到一系列的圖，依次把這些圖中不重疊的三角形的個數(shù)記下來，成為一個數(shù)列：1，4，13，40…請你繼續(xù)按分割的步驟，以便得到數(shù)列的前5項.然后，仔細觀察數(shù)列，從中找出規(guī)律，并依照規(guī)律得出數(shù)列的第10項，即第9項分割后所得的圖中不重疊的小三角形的個數(shù).分析與解答

第4次分割后的圖形如左圖：

因此，數(shù)列的第5項為121。

這個數(shù)列的規(guī)律如下：

第1項1

第2項4=1+3

第3項13=4+3×3

第4項40=13+3×3×3

第5項121=40+3×3×3×3

或者寫為：第1項 1=1

第2項4=1+

第3項13=1＋3＋3第4項 40=1＋3＋32＋33

第 5項 121=1＋3＋32+33＋34

因此，第10項也即第9次分割后得到的不重疊的三角形的個數(shù)是29524。

例4 在下面各題的五個數(shù)中，選出與其他四個數(shù)規(guī)律不同的數(shù)，并把它劃掉，再從括號中選一個合適的數(shù)替換。

①42，20，18，48，24

（21，54，45，10）

②15，75，60，45，27

（50，70，30，9）

③42，126，168，63，882

（27，210，33，25）

解：①中，42、18、48、24都是6的倍數(shù)，只有20不是，所以，劃掉20，用54代替。

②15、75、60、45都是 15的整數(shù)倍數(shù)，而 27不是，用30來替換27。

③同上分析，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)中，42、126、128、882都是42的整數(shù)倍，而63卻不是.因此，用210來代替63。

習題

按一定的規(guī)律在括號中填上適當?shù)臄?shù)：

1.1，2，3，4，5，（），7…

2.100，95，90，85，80，（），70

3.1，2，4，8，16，（），64

5.2，1，3，4，7，（），18，29，47

6.1，2，5，10，17，（），37，50

7.1，8，27，64，125，（），343 8.1，9，2，8，3，（），4，6，5，5

解答

1.等差數(shù)列，括號處填6。

2.等差數(shù)列，括號處填75。

3.等比數(shù)列，括號處填32。

5.相鄰兩項的和等于下一項，括號處填11。

6.后項-前項=前項的項數(shù)×2-1，括號處填 26。

7.立方數(shù)列，即每一項等于其項數(shù)乘以項數(shù)再乘以項數(shù)，括號處填216。

8.雙重數(shù)列，括號處填7.

第二篇：北京華羅庚學校二年級奧數(shù)補習教案7-仔細審題講解

仔細審題

解數(shù)學題很關鍵的一步是審題.如果把題目看錯了，或是把題意理解錯了，那樣解題肯定是得不出正確的答案來的.什么叫審題？扼要地講，審題就是要弄清楚：未知數(shù)是什么？已知數(shù)是什么？條件是什么？

有一種類型的數(shù)學題叫“機智題”.在這一講要通過解這種題體會如何審題.例1 ①樹上有5只小鳥，飛起了1只，還剩幾只？

②樹上有5只小鳥，“叭”地一聲，獵人用槍打下來1只，樹上還剩幾只？

解：①5-1=4（只），樹上還剩4只小鳥.②對這一問，如果你還像上面那樣算就錯了.正確地算法應該是：5-1-4=0（只）

為什么呢？聽到“叭”地一聲響，其他4只會被嚇飛的，這叫“隱含的條件”，在題目中雖沒有明確地說出來，解題時卻要考慮到.例2 要把一個籃子里的5個蘋果分給5個孩子，使每人得到1個蘋果，但籃子里還要留下一個蘋果，你能分嗎？

解：能.最后一個蘋果留在籃子里不拿出來，把它們一同送給一個孩子.這是因為“籃子里留下一個蘋果和每個孩子分得一個蘋果”這兩個條件并不矛盾（見圖12—3）.例3 兩個父親和兩個兒子一起上山捕獵，每人都捉到了一只野兔.拿回去后數(shù)一數(shù)一共有兔3只.為什么？

解：“兩個父親和兩個兒子”實際上只是3個人：爺爺、爸爸和孩子.“爸爸”這個人既是父親又是兒子.再數(shù)有幾個爸爸幾個兒子時，把他算了兩次.這是數(shù)數(shù)與計數(shù)時必須注意的（見圖12—4）.例4 一個小島上住著說謊的和說真話的兩種人.說謊人句句謊話，說真話的人句句是實話.假想某一天你去小島探險，碰到了島上的三個人A、B和C.互相交談中，有這樣一段對話：

A說：B和C兩人都說謊；

B說：我沒有說謊；

C說：B確實在說謊.小朋友，你能知道他們三個人中，有幾個人說謊，有幾個人說真話嗎？

解：這是并不難的一道邏輯推理問題.怎樣解答這個問題呢？有的人一定會列成下面形式的表格，想由此把所有的可能情況都判斷出來，認為這樣就可以得到答案了.人 說謊 說真話

A _____ _____

B _____ _____

C _____ _____

但是，如果你也真的這樣做的話，你是無論如果得不出答案的，因為從這道題目所給出的條件中根本無法判斷出某一個人是說謊還是說真話.你這樣解題，說明你把解題的目標（未知數(shù)）改變了.請你再看一下，題目問的是什么？題目并沒有問“誰說謊，誰說真話”？而是在問“幾個人說謊，幾個人說真話？”正確的答案是不難得到的：因為B和C兩人說的話正好相反，所以一定有一個人說謊，另一個人說真話；由此又可知道，他們兩人不可能都說謊，所以A必定說謊.于是可知3個人有2個人說謊，有一個人說真話.例5 如圖12—5，三根火柴棍可以組成一個等邊三角形，再加三根火柴棍，請你組成同樣大小的四個等邊三角形.解：請你先不要繼續(xù)往下看，自己想一想能不能用六根火柴棍組成四個同樣大小的等邊三角形？

通常，很多人在解這題時，往往自己給自己多加了一個限制條件：“在平面上組成等邊三角形”.但是，仔細看看，原題并沒有限制你在平面上解題.由于給自己多加了一個條件，他們的思想就會被限制在平面上解題，那就無論如何也解不出來.這也是把題意理解錯了的一種情況.但是，如圖12—6所示，只要把思維從平面擴大到立體空間，你就能輕而易舉找到問題的答案.例6 一筆畫出由四條線段連接而成的折線把九個點串起來，你能做到嗎？（見圖12—7）.解：先不要往下看，你先畫畫試試.你可能會畫出類似于下面的各種各樣的折線來，但你很快會發(fā)現(xiàn)，它們都不是符合題目要求的答案（見圖12—8）.總結一下畫過的折線的特點，顯然這些線段都沒有超出這9個點所決定的正方形.再仔細看看已知條件，問題里并沒有這一條限制，畫線段的時候沒有不讓你超出這個正方形.明白了這點，就不難得到正確的答案了（見圖12—9）.回想一下開始的想法也是屬于把題意理解錯了的情況，但是這種錯誤是很不容易被自己發(fā)現(xiàn)的.只有在解題的過程中，通過對自己的失敗的解法加以總結，再與題目中所給出的已知條件加以對照，才有可能發(fā)現(xiàn)自己“不自覺”的錯誤想法.仔細審題習題

1.①一個學生花2角錢買了2個練習本，花5角錢能買幾個練習本？

②在上學的路上2個學生拾到了2角錢，問5個學生撿到多少錢？

2.桌上放著一堆糖果，兩個母親和兩個女兒，還有一個外祖母和一個外孫女，每人拿了一塊，這堆糖果就被拿完了，而這堆糖只有3塊.這是為什么？

3.天上飛著幾只大雁：兩只在后，一只在前；一只在后，兩只在前；一只在兩只中間，三只排成一條線.請你猜猜看，天上共有幾只雁？

4.小強帶了5元錢上街，他到書店買了3本書，應付一元五角錢，可是售貨員找給他五角錢，你說售貨員一定錯了嗎？

5.一棟大樓內有60盞燈，關掉其中的一半后，還剩下多少盞燈？

6.大海中有一個小島，小島上住著的100名婦女中有一半人只戴一只耳環(huán).余下的婦女中一半人戴兩只耳環(huán)，另一半人不戴耳環(huán).問這100名婦女共戴有多少只耳環(huán)？

7.有一人一天讀20頁書，第三天因病沒讀，其他日子都按計劃讀了書.問第十二天他讀了多少頁書？

8.一家文具店賣某種文具，文具的價錢是：五個是2元，五十個是3元，而五百個、五千個、五萬個都是3元.問五十萬個是幾元？

9.王老師有一個孩子，李老師也有一個孩子，兩位老師共有多少個孩子？

10.一個長方形，剪掉一個角時，剩下的部分還有幾個角？ 11.圖中12—10正方體形的紙盒六個面的正中都有一個洞口，旁邊放著三根圓木棍，洞口的直徑能容棍子通過去.請你將三根木棍從三個洞口穿到另外三個洞口，而且每根棍子穿好后就不再拔出來，你能做得到嗎？

12.一家冷飲店規(guī)定，喝完汽水后，用4個空汽水瓶可以換1瓶汽水.老師帶著32個學生進店后，他只買了24瓶汽水.問每個學生能喝到一瓶汽水嗎？

13.兩條直線垂直相交，可以組成4個直角，如圖12—11所示，那么三根直線相交時最多能組成多少個直角呢？

14.圖12—12有12個點.請你用一筆畫出由五條線段連接成的折線，把12個點串起來.15.圖12—13有16個點，請你用一筆畫出由六條線段連接成的折線，把16個點串起來.仔細審題習題答案

1.解：①花5角錢買5個練習本.②無法回答.因為在路上撿錢是偶然的，人數(shù)多不一定能多撿到錢.這和多花錢就能多買練習本不是同樣的問題.2.解：因為只有三個人：外祖母、母親和女孩（人物關系見圖12—14）.3.解：天上只有3只大雁（見圖12—15）.4.解：不能說售貨員找錯了錢.很可能是小強買東西時給售貨員的錢是2元一張的，所以售貨員給小強找回五角錢，售貨員找的錢是對的.5.解：60盞燈.60-0=0.關掉燈后燈還在大樓里.6.解： 100只耳環(huán).因為50+50=100（只）.7.解：20頁.“第三天因病沒讀書”并不影響第十二天仍按計劃讀書.8.解：“五十萬個”是4元（一個字一元錢）.對這道題進行審題時，很可能被以往的經驗和知識影響，把“五個”、“五十個”等作為數(shù)量詞，為了得出價錢，總想

猜測后面的名詞是什么，從而得出問的文具的價錢.實際上這家商店賣的是刻有“五”、“十”、“百”、“千”、“萬”等字的字模.心理學上，把這種情況叫做“負遷移”規(guī)律干擾人們準確地審題.［注］：一個人掌握了某些知識后，當他用這些知識以某種智力活動方式去解決某一問題時，這個應用過程就是心理學上所說的“遷移”.遷移就是已經學得的東西在新情景中的應用.在審題中，也就是已有知識、經驗對解題的影響.如果影響是積極的、起促進作用的，就叫“正遷移”；如果影響是消極的，起干擾作用的，就叫“負遷移”.9.解：可能是1個，也可能是2個.當王老師和李老師是一對夫妻時，只有一個孩子當王老師和李老師不是一家人時，共有2個孩子.10.解：可能是5個角，也可能是4個角，也可能是3個角.如圖12—16所示：

11.解：能.見圖12—17.如果只想把棍子穿兩個對面的洞口，穿進一根棍子后，另兩根棍子就會因為被擋住而無法再穿進去，仔細看題目，并沒有要求小棍穿“對面”洞口的條件.只有把小棍穿過相鄰的兩個洞口，方可能解決問題.12.解：能夠使每個學生都喝到一瓶汽水.因為用4個空瓶可換1瓶汽水，寫成算式就是：

1瓶汽水=4個空瓶

因為 汽水=1瓶中的汽水+1個空瓶

得 1瓶中的汽水=3個空瓶

所以 24+24÷3=24+8=32汽水

上面的1汽水=3空瓶是較隱蔽的條件，審題時，只要細心尋找，并加以適當?shù)难菟闶强梢园l(fā)現(xiàn)的.13.解：12個直角.把思維從平面擴大到空間，就能容易得到答案（見圖12—18）.14.解：列出兩種畫法（如圖12—19和圖12—20所示）.15.解：見圖12—21.

第三篇：北京華羅庚學校三年級奧數(shù)補習教案3 和差問題

和差問題

和差問題是已知大小兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差，求大小兩個數(shù)各是多少的應用題。

為了解答這種應用題，首先要弄清兩個數(shù)相差多少的不同敘述方式.有些題目明確給了兩個數(shù)的差，而有些應用題把兩個數(shù)的差“暗藏”起來，我們管暗藏的差叫“暗差”。

例：“把姐姐的鉛筆拿出3支后，姐姐、弟弟的鉛筆支數(shù)就同樣多.”這說明姐姐的鉛筆比弟弟多3支，也說明姐姐和弟弟鉛筆相差3支。

再例：“把姐姐的鉛筆給弟弟3支后，兩人鉛筆支數(shù)就同樣多.”如果認為姐姐的鉛筆比弟弟多3支（差是3），那就錯了.實際上姐姐比弟弟多2個3支.姐姐給弟弟3支后，自己留下3支，再加上他們原有的鉛筆數(shù)，他們的鉛筆支數(shù)才可能一樣多.這里3×2=6支，就是暗差。

“把姐姐的鉛筆給弟弟3支后還比弟弟多1支”，這就說明姐姐的鉛筆支數(shù)比弟弟多3×2＋1＝7（支）。

例1 兩筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，兩筐水果各多少千克？

分析 這樣想：假設第二筐和第一筐重量相等時，兩筐共重150＋8＝158（千克）；假設第一筐重量和第二筐相等時，兩筐共重150-8＝142（千克）.解法1：①第二筐重多少千克？

（150-8）÷2=71（千克）

②第一筐重多少千克？

71＋8=79（千克）

或 150-71=79（千克）

解法2：①第一筐重多少千克？

（150+8）÷2＝79（千克）

②第二筐重多少千克？

79-8=71（千克）

或150-79=71（千克）

答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。

例2 今年小強7歲，爸爸35歲，當兩人年齡和是58歲時，兩人年齡各多少歲？

分析 題中沒有給出小強和爸爸年齡之差，但是已知兩人今年的年齡，那么今年兩人的年齡差是35-7=28（歲）.不論過多少年，兩人的年齡差是保持不變的.所以，當兩人年齡和為58歲時他們年齡差仍是28歲.根據(jù)和差問題的解題思路就能解此題。

解：①爸爸的年齡：

[58＋（35-7）]÷2

=[58＋28]÷2

=86÷2

=43（歲）

②小強的年齡：

58-43＝15（歲）

答：當父子兩人的年齡和是58歲時，小強15歲，他爸爸43歲。例3 小明期末考試時語文和數(shù)學的平均分數(shù)是94分，數(shù)學比語文多8分，問語文和數(shù)學各得了幾分？

分析 解和差問題的關鍵就是求得和與差，這道題中數(shù)學與語文成績之差是8分，但是數(shù)學和語文成績之和沒有直接告訴我們.可是，條件中給出了兩科的平均成績是94分，這就可以求得這兩科的總成績.解：①語文和數(shù)學成績之和是多少分？

94×2＝188（分）

②數(shù)學得多少分？

（188+8）÷ 2＝196÷2=98（分）

③ 語文得多少分？

（188-8）÷2=180÷2=90（分）

或 98-8=90（分）

答：小明期末考試語文得90分，數(shù)學得98分.例4 甲乙兩校共有學生864人，為了照顧學生就近入學，從甲校調入乙校32名同學，這樣甲校學生還比乙校多48人，問甲、乙兩校原來各有學生多少人？

分析 這樣想：甲、乙兩校學生人數(shù)的和是864人，根據(jù)由甲校調入乙校32人，這樣甲校比乙校還多48人可以知道，甲校比乙校多 32×2+48＝112（人）.112是兩校人數(shù)差。

解：①乙校原有的學生：

（864-32×2-48）÷2＝376（人）

②甲校原有學生：

864-376=488（人）

答：甲校原有學生488人，乙校原有學生376人。

小結：從以上4個例題可以看出題目給的條件雖然不同，但是解題思路和解題方法是一致的.和差問題的一般解題規(guī)律是：

（和+差）÷2=較大數(shù) 較大數(shù)-差=較小數(shù)

或（和-差）÷2=較小數(shù) 較小數(shù)+差=較大數(shù)

也可以求出一個數(shù)后，用和減去這個數(shù)得到另一個數(shù).下面我們用和差問題的思路來解答一個數(shù)學問題。例5 在每兩個數(shù)字之間填上適當?shù)募踊驕p符號使算式成立。

9=5

分析 這樣想：從1至9這幾個數(shù)字相加是不會得到5的，只能從一部分數(shù)字相加再減去一部分字后差是5，也就是說1到9的和是45，而兩部分的差是5，先要求出這兩部分數(shù)字，利用和差問題的方法便可以求出。

（45-5）÷ 2=20，20+5=25

可求出其中幾個數(shù)的和是25，而另外幾個數(shù)的和是20.在組成和是25的幾個數(shù)前面添上“+”號，而在組成和是20的幾個數(shù)前面添上“-”號，此題就算出來了。

例如：5+6+9=20可得到。

1+2+3+4-5-6+7+8-9=5

又如：5+7+8=20可得到。

1+2+3+4-5+6-7-8+9=5

又如：3+4+6+7=20可得到。

1+2-3-4+5-6-7+8+9=5 這道題你還有其他解法嗎？試試看！

和差問題習題

1.果園里有桃樹和梨樹共150棵，桃樹比梨樹多20棵，兩種果樹各有多少棵？

2.甲、乙兩桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么兩桶油重量相等，問甲、乙兩桶原有多少油？

3.用錫和鋁制成500千克的合金，鋁的重量比錫多100千克，錫和鋁各是多少千克？

4.某工廠去年與今年的平均產值為96萬元，今年比去年多10萬元，今年與去年的產值各是多少萬元？

5.甲、乙兩個學校共有學生1245人，如果從甲校調20人去乙校后，甲校比乙校還多5人，兩校原有學生各多少人？

6.三個物體平均重量是31千克，甲物體比乙、丙兩個物體重量之和輕1千克，乙物體比丙物體重量的2倍還重2千克，三個物體各重多少千克？

7.甲、乙兩個工程隊共有1980人，甲隊為了支援乙隊，抽出285人加入乙隊，這時乙隊人數(shù)還比甲隊少24人，求甲、乙兩隊原有工人多少人？

8.四年級有3個班，如果把甲班的1名學生調整到乙班，兩班人數(shù)相等；如果把乙班1名學生調到丙班，丙班比乙班多2人，問甲班和丙班哪班人數(shù)多？多幾人？

答案

1.桃樹的棵樹：（150+ 20）÷2= 85（棵）梨樹的棵樹：150-85= 65（棵）

答：有桃樹85棵，梨樹65棵。

2.甲桶油重：（30+ 6×2）÷2= 21（千克）乙桶油重：30-21=9（千克）

答：甲桶油重21千克，乙桶油重9千克。

3.錫的重量：（500-100）÷2= 200（千克）鋁的重量：500-200= 300（千克）

答：錫重量是300千克，鋁的重量是200千克。

4.今年的產值：（96×2+10）÷2=101（萬元）去年的產值：101-10=91（萬元）

答：今年的產值是101萬元，去年的產值是91萬元。

5.乙校原有人數(shù)：

[1245-（20×2+5）]÷2=600（人）

甲校原有人數(shù)：1245-600＝645（人）

答：甲校原有學生645人，乙校原有學生600人。

6.三個物體的總重量：31×3=93（千克）

甲物體的重量：（93-1）÷2=46（千克）

丙物體的重量：（93-46-2）÷（2+1）=15（千克）

乙物體的重量： 93-46-15=32（千克）

答：甲、乙、丙三個物體的重量分別為46千克、32千克、15千克。

7.甲隊原有人數(shù)：

（285×2+ 24+198O）÷ 2=1287（人）

乙隊原有人數(shù)：1287-594= 693（人）

答：甲隊原有1287人，乙隊原有693人。

8.解（略），答：甲班比丙班人數(shù)多，多2名學生.

第四篇：北京華羅庚學校三年級奧數(shù)補習教案1 和倍問題

第七講 和倍問題

和倍問題是已知大小兩個數(shù)的和與它們的倍數(shù)關系，求大小兩個數(shù)的應用題.為了幫助我們理解題意，弄清兩種量彼此間的關系，常采用畫線段圖的方法來表示兩種量間的這種關系，以便于找到解題的途徑。例1 甲班和乙班共有圖書160本.甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？

分析 設乙班的圖書本數(shù)為1份，則甲班圖書為乙班的3倍，那么甲班和乙班圖書本數(shù)的和相當于乙班圖書本數(shù)的4倍.還可以理解為4份的數(shù)量是160本，求出1份的數(shù)量也就求出了乙班的圖書本數(shù)，然后再求甲班的圖書本數(shù).用下圖表示它們的關系：

解：乙班：160÷（3+1）=40（本）

甲班：40×3=120（本）

或 160-40=120（本）

答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。

這道應用題解答完了，怎樣驗算呢？

可把求出的甲班本數(shù)和乙班本數(shù)相加，看和是不是160本；再把甲班的本數(shù)除以乙班本數(shù)，看是不是等于3倍.如果與條件相符，表明這題作對了.注意驗算決不是把原式再算一遍。

驗算：120＋40=160（本）

120÷40=3（倍）。

例2 甲班有圖書120本，乙班有圖書30本，甲班給乙班多少本，甲班的圖書是乙班圖書的2倍？

分析 解這題的關鍵是找出哪個量是變量，哪個量是不變量.從已知條件中得出，不管甲班給乙班多少本書，還是乙班從甲班得到多少本書，甲、乙兩班圖書總和是不變的量.最后要求甲班圖書是乙班圖書的2倍，那么甲、乙兩班圖書總和相當于乙班現(xiàn)有圖書的3倍.依據(jù)解和倍問題的方法，先求出乙班現(xiàn)有圖書多少本，再與原有圖書本數(shù)相比較，可以求出甲班給乙班多少本書（見上圖）。

解：①甲、乙兩班共有圖書的本數(shù)是：

30＋120=150（本）

②甲班給乙班若干本圖書后，甲、乙兩班共有的倍數(shù)是：

2＋1＝3（倍）

③乙班現(xiàn)有的圖書本數(shù)是：150÷3=50（本）

④甲班給乙班圖書本數(shù)是：50-30=20（本）

綜合算式：

（30＋120）÷（2+1）=50（本）

50-30=20（本）

答：甲班給乙班20本圖書后，甲班圖書是乙班圖書的2倍。

驗算：（120-20）÷（30+20）＝2（倍）

（120-20）+（30+20）＝150（本）。

例3 光明小學有學生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？

分析 把女生人數(shù)看作一份，由于男生人數(shù)比女生人數(shù)的3倍還少40人，如果用男、女生人數(shù)總和760人再加上40人，就等于女生人數(shù)的4倍（見下圖）。

解：①女生人數(shù)：（760＋40）÷（3＋1）=200（人）

②男生人數(shù)：200×3-40=560（人）

或 760-200=560（人）

答：男生有560人，女生有200人。

驗算：560＋200=760（人）

（560+40）÷200=3（倍）。

例4 果園里有桃樹、梨樹、蘋果樹共552棵.桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，求桃樹、梨樹和蘋果樹各有多少棵？

分析 下圖可以看出桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，都是同梨樹相比較、以梨樹的棵數(shù)為標準、作為1份數(shù)容易解答.又知三種樹的總數(shù)是552棵.如果給蘋果樹增加20棵，那么就和梨樹同樣多了；再從桃樹里減少12棵，那么就相當于梨樹的2倍了，而總棵樹則變?yōu)?52+20-12=560（棵），相當于梨樹棵數(shù)的4倍。

解：①梨樹的棵數(shù)：

（552＋20-12）÷（1＋1＋2）

=560÷4=140（棵）

②桃樹的棵數(shù)：140×2＋12=292（棵）

③蘋果樹的棵數(shù)： 140-20=120（棵）

答：桃樹、梨樹、蘋果樹分別是292棵、140棵和120棵。例5 549是甲、乙、丙、丁4個數(shù)的和.如果甲數(shù)加上2，乙數(shù)減少2，丙數(shù)乘以2，丁數(shù)除以2以后，則4個數(shù)相等.求4個數(shù)各是多少？

分析 上圖可以看出，丙數(shù)最小.由于丙數(shù)乘以2和丁數(shù)除以2相等，也就是丙數(shù)的2倍和丁數(shù)的一半相等，即丁數(shù)相當于丙數(shù)的4倍.乙減2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍.根據(jù)這些倍數(shù)關系，可以先求出丙數(shù)，再分別求出其他各數(shù)。

解：①丙數(shù)是：（549＋2-2）÷（2＋2＋1＋4）

=549÷9

=61

②甲數(shù)是：61×2-2=120

③乙數(shù)是：61×2＋2=124

④丁數(shù)是：61×4=244

驗算：120+124＋61+244=549

120＋2=122 124-2=122

61×2＝122 244÷2＝122 答：甲、乙、丙、丁分別是120、124、61、244.和倍問題習題

1.小明和小強共有圖書120本，小強的圖書本數(shù)是小明的2倍，他們兩人各有圖書多少本？

2.果園里一共種340棵桃樹和杏樹，其中桃樹的棵數(shù)比杏樹的3倍多20棵，兩種樹各種了多少棵？

3.一個長方形，周長是30厘米，長是寬的2倍，求這個長方形的面積。

4.甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分種23立方米的速度流入乙水池，那么多少分種后，乙水池中的水是甲水池的4倍？

5.甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍？

6.有3條繩子，共長95米，第一條比第二條長7米，第二條比第三條長8米，問3條繩子各長多少米？

1.①小明的本數(shù)：120÷（2＋1）=40（本）.②小強的本數(shù)：40×2=80（本）。

2.①杏樹的棵數(shù)：（340-20）÷（3＋1）=80（棵）.②桃樹的棵數(shù)：80×3＋20=260（棵）。

3.①長方形的寬：（30÷2）÷（2＋1）=5（厘米）.②長方形的長： 5×2=10（厘米）。

③長方形的面積：10×5=50（平方厘米）。

4.①甲、乙兩水池共有水：

2600＋1200=3800（立方米）

②甲水池剩下的水：

3800÷（4+1）=760（立方米）

③甲水池流入乙水池中的水：

2600-760=1840（立方米）

④經過的時間（分鐘）：1840÷23＝80（分鐘）。

5.①甲、乙兩桶油總重量：

470+190=660（千克）：

②當甲桶油是乙桶油2倍時，乙桶油是：

660÷（2+1）=220（千克）：

③由甲桶倒入乙桶中的油：220-190=30（千克）。

6.①變化后的繩子總長 95-7＋8=96（米）.②第二條繩長： 96÷（1＋1+1）=32（米）。

③第一條繩長：32＋7=39（米）。

④第三條繩長：32-8=24（米）.習題答案

第五篇：三年級奧數(shù)教案 找規(guī)律

找 規(guī) 律

（一）豎列規(guī)律

按照一定次序排列起來的一列數(shù)，叫做數(shù)列。如自然數(shù)列：1、2、3、4……；雙數(shù)列：2、4、6、8……。我們研究數(shù)列，目的就是為了發(fā)現(xiàn)數(shù)列中數(shù)排列的規(guī)律，并依據(jù)這個規(guī)律來填寫空缺的數(shù)。

按照一定的順序排列的一列數(shù)，只要從連續(xù)的幾個數(shù)中找到規(guī)律，那么就可以知道其余所有的數(shù)。尋找數(shù)列的排列規(guī)律，除了從相鄰兩數(shù)的和、差考慮，有時還要從積、商考慮。善于發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律是填數(shù)的關鍵。

一、例題與方法指導

例1 在括號內填上合適的數(shù)。（1）3，6，9，12，（），（）（2）1，2，4，7，11，（），（）（3）2，6，18，54，（），（）

思路導航：（1）在數(shù)列3，6，9，12，（），（）中，前一個數(shù)加上3就等于后一個數(shù)，相鄰兩個數(shù)的差都是3，根據(jù)這一規(guī)律，可以確定（）里分別填15和18；

（2）在數(shù)列1，2，4，7，11，（），（）中，第一個數(shù)增加1等于第二個數(shù)，第二個數(shù)增加2等于第三個數(shù)，也就是相鄰兩個數(shù)的差依次是1，2，3，4……這樣下一個數(shù)應為11增加5，所以應填16；再下一個數(shù)應比16大6，填22。

（3）在數(shù)列2，6，18，54，（），（）中，后一個數(shù)是前一個數(shù)的3倍，根據(jù)這一規(guī)律可知道（）里應分別填162和486。

例2 先找出規(guī)律，再在括號里填上合適的數(shù)。（1）15，2，12，2，9，2，（），（）；（2）21，4，18，5，15，6，（），（）；

思路導航：（1）在15，2，12，2，9，2，（），（）中隔著看，第一個數(shù)減3是第三個數(shù)，第三個數(shù)減3是第五個數(shù)，第二、四、六的數(shù)不變。根據(jù)這一規(guī)律，可以確定括號里分別應填6、2；

（2）在21，4，18，5，15，6，（），（）中，隔著看第一個數(shù)減3為第三個數(shù)，第三個數(shù)減3為第五個數(shù)。第二個數(shù)增加1為第四個數(shù)，第四個數(shù)增加1是第六個數(shù)。根據(jù)這一規(guī)律，可以確定括號里分別應填12和7。

（二）圖形規(guī)律

一、例題與方法指導

例：根據(jù)前面圖形里的數(shù)的排列規(guī)律，填入適當?shù)臄?shù)。

路導航：（1）橫著看，右邊的比左邊的數(shù)多5，豎著看，下面的數(shù)比上面的數(shù)多4。根據(jù)這一規(guī)律，方格里填18；

（2）通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，前兩個圖形三個數(shù)之間有這樣的關系：4×8÷2=16，7×8÷4=14，也就是說中心數(shù)是上面的數(shù)與左下方數(shù)的乘積除以右下方的數(shù)。根據(jù)這個規(guī)律，第三個圖形空格中的數(shù)為9×4÷3=12；

（3）橫著看，第一行和第二行中，第一個數(shù)除以3等于第二個數(shù)，第一個數(shù)乘3等于第三個數(shù)。根據(jù)這一規(guī)律，36×3=108就是空格中的數(shù)。