第一篇：北京華羅庚學校四年級奧數補習教案 第五講 倒推法的妙用

第五講 倒推法的妙用

在分析應用題的過程中，倒推法是一種常用的思考方法.這種方法是從所敘述應用題或文字題的結果出發，利用已知條件一步一步倒著分析、推理，直到解決問題.例1 一次數學考試后，李軍問于昆數學考試得多少分.于昆說：“用我得的分數減去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分嗎？

分析 這道題如果順推思考，比較麻煩，很難理出頭緒來.如果用倒推法進行分析，就像剝卷心菜一樣層層深入，直到解決問題.如果把于昆的敘述過程編成一道文字題：一個數減去8，加上10，再除以7，乘以4，結果是56.求這個數是多少？

把一個數用□來表示，根據題目已知條件可得到這樣的等式：

｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56.如何求出□中的數呢？我們可以從結果56出發倒推回去.因為56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是減8以后得到的，減8以前是88＋8＝96.這樣倒推使問題得解.解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56

［（□－8）＋10〕÷7＝56÷4(□－8）+10＝14×7 □－8＝98－10 □＝88+8 □＝96

答：于昆這次數學考試成績是96分.通過以上例題說明，用倒推法解題時要注意：

①從結果出發，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的過程中，每一步運算都是原來運算的逆運算.③列式時注意運算順序，正確使用括號.例2 馬小虎做一道整數減法題時，把減數個位上的1看成7，把減數十位上的7看成1，結果得出差是111.問正確答案應是幾？

分析 馬小虎錯把減數個位上1看成7，使差減少7—1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70—10＝60.因此這道題歸結為某數減6，加60得111，求某數是幾的問題.解：111－（70—10）＋（7—1）＝57

答：正確的答案是57.例3 樹林中的三棵樹上共落著48只鳥.如果從第一棵樹上飛走8只落到第二棵樹上；從第二棵樹上飛走6只落到第三棵樹上，這時三棵樹上鳥的只數相等.問：原來每棵樹上各落多少只鳥？

分析 倒推時以“三棵樹上鳥的只數相等”入手分析，可得出現在每棵樹上鳥的只數48÷3＝16（只）.第三棵樹上現有的鳥16只是從第二棵樹上飛來的6只后得到的，所以第三棵樹上原落鳥16—6＝10（只）.同理，第二棵樹上原有鳥16＋6—8＝14（只）.第一棵樹上原落鳥16＋8＝24（只），使問題得解.解：①現在三棵樹上各有鳥多少只？48÷3＝16（只）

②第一棵樹上原有鳥只數.16＋8＝24（只）

③第二棵樹上原有鳥只數.16＋6—8＝14（只）

④第三棵樹上原有鳥只數.16—6＝10（只）

答：第一、二、三棵樹上原來各落鳥24只、14只和10只.例4 籃子里有一些梨.小剛取走總數的一半多一個.小明取走余下的一半多1個.小軍取走了小明取走后剩下一半多一個.這時籃子里還剩梨1個.問：籃子里原有梨多少個？

分析 依題意，畫圖進行分析.解：列綜合算式：

｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2

＝22（個）

答：籃子里原有梨22個.例5 甲乙兩個油桶各裝了15千克油.售貨員賣了14千克.后來，售貨員從剩下較多油的甲桶倒一部分給乙桶使乙桶油增加一倍；然后從乙桶倒一部分給甲桶，使甲桶油也增加一倍，這時甲桶油恰好是乙桶油的3倍.問：售貨員從兩個桶里各賣了多少千克油？

分析 解題關鍵是求出甲、乙兩個油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙兩個油桶各裝油15千克.售貨員賣了14千克”.可以求出甲、乙兩個油桶共剩油15×2－14＝16（千克）.又已知“甲、乙兩個油桶所剩油”及“這時甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙兩個油桶最后有油多少千克.求出甲、乙兩個油桶最后各有油的千克數后，再用倒推法并畫圖求甲桶往乙桶倒油前甲、乙兩桶各有油多少千克，從而求出從兩個油桶各賣出多少千克.解：①甲乙兩桶油共剩多少千克？

15×2-14＝16（千克）

②乙桶油剩多少千克？16÷（3＋1）＝4（千克）

③甲桶油剩多少千克？4×3＝12（千克）

用倒推法畫圖如下：

④從甲桶賣出油多少千克？ 15-11＝4（千克）

⑤從乙桶賣出油多少千克？ 15—5＝10（千克）

答：從甲桶賣出油4千克，從乙桶賣出油10千克.例6 菜站原有冬貯大白菜若干千克.第一天賣出原有大白菜的一半.第二天運進200千克.第三天賣出現有白菜的一半又30千克，結果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬貯大白菜多少千克？

分析 解題時用倒推法進行分析.根據題目的已知條件畫線段圖（見下圖），使數量關系清晰的展現出來.解：①剩余的白菜是多少千克？1800÷3＝600（千克）

②第二天運進200千克后的一半是多少千克？

600＋30＝630（千克）

③第二天運進200千克后有白菜多少千克？

630×2＝1260（千克）

④原來的一半是多少千克？1260—200＝1060（千克）

⑤原有貯存多少千克？1060×2＝2120（千克）

答：菜站原來貯存大白菜2120千克.綜合算式：

［（1800÷3＋30）×2—200］×2

＝2120（千克）

答：菜站原有冬貯大白菜2120千克.習題

1.某數除以4，乘以5，再除以6，結果是615，求某數.2.生產一批零件共560個，師徒二人合作用4天做完.已知師傅每天生產零件的個數是徒弟的3倍.師徒二人每天各生產零件多少個？

3.有磚26塊，兄弟二人爭著挑.弟弟搶在前，剛剛擺好磚，哥哥趕到了.哥哥看弟弟挑的太多，就搶過一半.弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半.哥哥不服，弟弟只好給哥哥5塊.這時哥哥比弟弟多2塊.問：最初弟弟準備挑幾塊磚？

4.阿凡提去趕集，他用錢的一半買肉，再用余下錢的一半買魚，又用剩下錢買菜.別人問他帶多少錢，他說：“買菜的錢是1、2、3；3、2、1；1、2、3、4、5、6、7的和；加7加8，加8加

7、加9加10加11。”你知道阿凡提一共帶了多少錢？買魚用了多少錢？

習題答案

1.615×6÷5×4＝2952.2.提示：先找到4倍是多少個.①徒弟每天生產多少個？

560÷4÷（3＋1）＝35（個）

②師傅每天生產多少個？

35×3＝105（個）

答：徒弟和師傅每天各生產35個、105個.3.提示：先用“和差”解法求出弟弟最后挑幾塊磚：

（26-2）÷2＝12（塊）

再用倒推法求出弟弟最初準備挑幾塊磚.｛（26－〔26－（12＋5）］×2｝×2

＝16（塊）

答：弟弟最初準備挑磚16塊.4.①買菜的錢：

1＋2＋3＋3＋2＋1＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋7＋8＋8＋7＋9＋10＋11＝100（元）

②總錢數：100×2×2＝400（元）

③買魚的錢：400÷2÷2＝100（元）

答：阿凡提一共帶了400元錢，買魚用去100元錢.

第二篇：北京華羅庚學校四年級奧數補習教案 第六講 行程問題

第六講 行程問題

（一）我們把研究路程、速度、時間以及這三者之間關系的一類問題，總稱為行程問題.在對小學數學的學習中，我們已經接觸過一些簡單的行程應用題，并且已經了解到：上述三個量之間存在這樣的基本關系：路程＝速度×時間.因此，在這一講中，我們將在前面學習的基礎上，主要來研究行程問題中較為復雜的一類問題——反向運動問題，也即在同一道路上的兩個運動物體作方向相反的運動的問題.它又包括相遇問題和相背問題.所謂相遇問題，指的就是上述兩個物體以不同的點作為起點作相向運動的問題；所謂相背問題，指的就是這兩個運動物體以同一點作為起點作背向運動的問題，下面，我們來具體看幾個例子.例1 甲、乙二人分別從相距30千米的兩地同時出發相向而行，甲每小時走6千米，乙每小時走4千米，問：二人幾小時后相遇？

分析 出發時甲、乙二人相距30千米，以后兩人的距離每小時都縮短6＋4＝10（千米），即兩人的速度的和（簡稱速度和），所以30千米里有幾個10千米就是幾小時相遇.解：30÷（6＋4）

＝30÷10

＝3（小時）

答：3小時后兩人相遇.例1是一個典型的相遇問題.在相遇問題中有這樣一個基本數量關系：

路程＝速度和×時間.例2 一列貨車早晨6時從甲地開往乙地，平均每小時行45千米，一列客車從乙地開往甲地，平均每小時比貨車快15千米，已知客車比貨車遲發2小時，中午12時兩車同時經過途中某站，然后仍繼續前進，問：當客車到達甲地時，貨車離乙地還有多少千米？

分析 貨車每小時行45千米，客車每小時比貨車快15千米，所以，客車速度為每小時（45＋15）千米；中午12點兩車相遇時，貨車已行了（12—6）小時，而客車已行（12—6－2）小時，這樣就可求出甲、乙兩地之間的路程.最后，再來求當客車行完全程到達甲地時，貨車離乙地的距離.解：①甲、乙兩地之間的距離是：

45×（12—6）＋（45＋15）×（12—6—2）

＝45×6＋60×＝510（千米）.②客車行完全程所需的時間是： 510÷（45＋15）

＝510÷60

＝8.5（小時）.③客車到甲地時，貨車離乙地的距離：

510—45×（8.5＋2）

＝510－472.5

＝37.5（千米）.答：客車到甲地時，貨車離乙地還有37.5千米.例3 兩列火車相向而行，甲車每小時行36千米，乙車每小時行54千米.兩車錯車時，甲車上一乘客發現：從乙車車頭經過他的車窗時開始到乙車車尾經過他的車窗共用了14秒，求乙車的車長.分析 首先應統一單位：甲車的速度是每秒鐘36000÷3600＝10（米），乙車的速度是每秒鐘54000÷3600＝15（米）.本題中，甲車的運動實際上可以看作是甲車乘客以每秒鐘10米的速度在運動，乙車的運動則可以看作是乙車車頭的運動，因此，我們只需研究下面這樣一個運動過程即可：從乙車車頭經過甲車乘客的車窗這一時刻起，乙車車頭和甲車乘客開始作反向運動14秒，每一秒鐘，乙車車頭與甲車乘客之間的距離都增大（10＋15）米，因此，14秒結束時，車頭與乘客之間的距離為（10＋15）×14＝350（米）.又因為甲車乘客最后看到的是乙車車尾，所以，乙車車頭與甲車乘客在這段時間內所走的路程之和應恰等于乙車車身的長度，即：乙車車長就等于甲、乙兩車在14秒內所走的路程之和.解：（10＋15）×1

4＝350（米）

答：乙車的車長為350米.我們也可以把例3稱為一個相背運動問題，對于相背問題而言，相遇問題中的基本關系仍然成立.例4 甲、乙兩車同時從A、B兩地出發相向而行，兩車在離B地64千米處第一次相遇.相遇后兩車仍以原速繼續行駛，并且在到達對方出發點后，立即沿原路返回，途中兩車在距A地48千米處第二次相遇，問兩次相遇點相距多少千米？

分析 甲、乙兩車共同走完一個AB全程時，乙車走了64千米，從上圖可以看出：它們到第二次相遇時共走了3個AB全程，因此，我們可以理解為乙車共走了3個64千米，再由上圖可知：減去一個48千米后，正好等于一個AB全程.解：①AB間的距離是

64×3－48

＝192－48

＝144（千米）.②兩次相遇點的距離為

144—48－64

＝32（千米）.答：兩次相遇點的距離為32千米.例5 甲、乙二人從相距100千米的A、B兩地同時出發相向而行，甲騎車，乙步行，在行走過程中，甲的車發生故障，修車用了1小時.在出發4小時后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度為乙的2倍，且相遇時甲的車已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？

分析 甲的速度為乙的2倍，因此，乙走4小時的路，甲只要2小時就可以了，因此，甲走100千米所需的時間為（4—1＋4÷2）＝5小時.這樣就可求出甲的速度.解：甲的速度為：

100÷（4－1＋4÷2）

＝10O÷5＝20（千米/小時）.乙的速度為：20÷2＝10（千米/小時）.答：甲的速度為20千米/小時，乙的速度為10千米/小時.例6 某列車通過250米長的隧道用25秒，通過210米長的隧道用23秒，若該列車與另一列長150米.時速為72千米的列車相遇，錯車而過需要幾秒鐘？

分析 解這類應用題，首先應明確幾個概念：列車通過隧道指的是從車頭進入隧道算起到車尾離開隧道為止.因此，這個過程中列車所走的路程等于車長加隧道長；兩車相遇，錯車而過指的是從兩個列車的車頭相遇算起到他們的車尾分開為止，這個過程實際上是一個以車頭的相遇點為起點的相背運動問題，這兩個列車在這段時間里所走的路程之和就等于他們的車長之和.因此，錯車時間就等于車長之和除以速度之和.列車通過250米的隧道用25秒，通過210米長的隧道用23秒，所以列車行駛的路程為（250—210）米時，所用的時間為（25—23）秒.由此可求得列車的車速為（250—210）÷（25—23）＝20（米/秒）.再根據前面的分析可知：列車在25秒內所走的路程等于隧道長加上車長，因此，這個列車的車長為20×25—250＝250（米），從而可求出錯車時間.解：根據另一個列車每小時走72千米，所以，它的速度為：

72000÷3600＝20（米/秒），某列車的速度為：

（25O－210）÷（25－23）＝40÷2＝20（米/秒）

某列車的車長為：

20×25-250＝500-250＝250（米），兩列車的錯車時間為：

（250＋150）÷（20＋20）＝400÷40＝10（秒）.答：錯車時間為10秒.例7 甲、乙、丙三輛車同時從A地出發到B地去，甲、乙兩車的速度分別為每小時60千米和48千米，有一輛迎面開來的卡車分別在它們出發后的5小時.6小時，8小時先后與甲、乙、丙三輛車相遇，求丙車的速度.分析 甲車每小時比乙車快60-48＝12（千米）.則5小時后，甲比乙多走的路程為12×5＝60（千米）.也即在卡車與甲相遇時，卡車與乙的距離為60千米，又因為卡車與乙在卡車與甲相遇的6-5＝1小時后相遇，所以，可求出卡車的速度為60÷1-48＝12（千米/小時）

卡車在與甲相遇后，再走8-5＝3（小時）才能與丙相遇，而此時丙已走了8個小時，因此，卡車3小時所走的路程與丙8小時所走的路程之和就等于甲5小時所走的路程.由此，丙的速度也可求得，應為：

（60×5-12×3）÷8＝33（千米/小時）.解：卡車的速度：

（60-48）×5÷（6－5）－48＝12（千米/小時），丙車的速度：

（60×5－12×3）÷8＝33（千米/小時），答：丙車的速度為每小時33千米.注：在本講中出現的“米/秒”、“千米/小時”等都是速度單位，如5米/秒表示為每秒鐘走5米.行程問題

（一）習題

1.甲、乙兩車分別從相距240千米的A、B兩城同時出發，相向而行，已知甲車到達B城需4小時，乙車到達A城需6小時，問：兩車出發后多長時間相遇？

2.東、西鎮相距45千米，甲、乙二人分別從兩鎮同時出發相向而行，甲比乙每小時多行1千米，5小時后兩人相遇，問兩人的速度各是多少？

3.甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發，相向而行，他們第一次相遇地點離A地4千米，相遇后二人繼續前進，走到對方出發點后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求兩次相遇地點之間的距離.4.甲、乙二人從相距100千米的A、B兩地出發相向而行，甲先出發1小時.他們二人在乙出后的4小時相遇，又已知甲比乙每小時快2千米，求甲、乙二人的速度.5.一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長是280米，慢車的車長為385米，坐在快車上的人看見慢車駛過的時間是11秒，那么坐在慢車上的人看見快車駛過的時間是多少？

6.前進鋼鐵廠用兩輛汽車從距工廠90千米的礦山運礦石，現有甲、乙兩輛汽車，甲車自礦山，乙車自鋼鐵廠同時出發相向而行，速度分別為每小時40千米和50千米，到達目的地后立即返回，如此反復運行多次，如果不計裝卸時間，且兩車不作任何停留，則兩車在第三次相遇時，距礦山多少千米？

習題答案

1.解：240÷（240÷4＋240÷6）＝2.4（小時）.2.解：①甲、乙的速度和45÷5＝9（千米/小時）.②甲的速度：（9＋1）÷2＝5（千米/小時）.③乙的速度：9—5＝4（千米/小時）.3.解：①A、B兩地間的距離：

4×3—3＝9（千米）.②兩次相遇點的距離：9－4－3＝2（千米）.4.解：①乙的速度為：

［100—2×（4＋1）］÷（4×2＋1）＝10（千米/小時）.②甲的速度為：10＋2＝12（千米/小時）.提示：甲比乙每小時快2千米，則（4＋1）小時快2×（4＋1）＝10（千米），因此，相當于乙走100—10＝90千米的路需（4×2＋1）＝9（小時）.5.解：280÷（385÷11）＝8（秒）.提示：在這個過程中，對方的車長＝兩列車的速度和×駛過的時間.而速度和不變.6.解：①第三次相遇時兩車的路程和為：

90＋90×2＋90×2＝450（千米）.②第三次相遇時，兩車所用的時間：

450÷（40＋50）＝5（小時）.③距礦山的距離為：40×5—2×90＝20（千米）.

第三篇：北京華羅庚學校二年級奧數補習教案10-畫圖顯示法

畫圖顯示法

在有些數學題中，數量之間的關系不容易看出來;可是只要畫個圖就能顯示清楚了.同學們要學會這種畫圖方法.例1 小明比小英小5歲，小方比小明大2歲.那么小英和小方差幾歲?

解：先畫個圖看看：

①表示小明比小英小5歲，②表示小方比小明大2歲，由圖可見，小英比小方大3歲.注意：畫這個圖時，由題意應以小明為基準.例2小初、小美、小英三個人分糖塊.小美比小英多3塊，小初比小美多2塊.已知糖塊總數是50塊，那么每人各分到多少塊?

解：依題意畫圖，可以先畫小英，見下圖中①，再畫小美，它比小英多3塊，見下圖中②，接著再畫小初，它又比小美多2塊，見下圖中③，至此，圖已畫完，下面借助此圖進行分析推理.由圖可見，小初比小英多3+2=5塊，由圖還可以看出，50-(3+5)=42(塊)就是小英糖數的3倍，所以小英的一份是：

42÷3=14(塊);

由此可求出小美的一份是14+3=17(塊);

小初的一份是17+2=19(塊).例3 小健到商店去買練習本，他的錢若買4本還剩2分;若買5本，就差1角.問小健有多少錢?

解：依題意畫出下圖：

由圖易見一本的價錢是： 2+10=12(分)，所以小健有的錢是 12×4+2=50(分)或12×5-10=50(分)，即5角.例4 媽媽的年齡是小鈴的3倍，兩個人年齡加起來是40歲.問小鈴和媽媽各多少歲? 解：依題畫下圖：

由上圖可見，40歲是小鈴年齡的3+1=4倍，所以小鈴的年齡是：40÷4=10(歲);而媽媽的年齡則是：10×3=30(歲).例5 父親今年40歲，小哲10歲.問幾年以后父親年齡是小哲年齡的2倍? 解：按題意畫下圖：

先畫陰影部分，小哲(10歲)占1格，父親(40歲)占4格，年齡差(40-10=30(歲))是3格，再畫圖表示二人年齡的增長，注意應從上往下畫.不難得出當二人年齡各增加2格時，即20年后(父親是6格，小哲是3格)父親年齡是小哲年齡的2倍.畫圖顯示法習題

1.王強和李明都想買一本《趣味數學》，但王強的錢少2角5分，李明的錢少3角1分.如果兩個人的錢合在一起就剛夠買這本書.問一本《趣味數學》多少錢?王強和李明各有多少錢?

2.大、小二數之和為10，之差為2，求大、小二數各多少?

3.小軍、小方和小雄共有12本小人書，小軍比小方多2本，小方比小雄多2本，問他們三人各幾本?

4.今年弟弟8歲，哥哥14歲.問當兩人的年齡和是30歲時，兩人各幾歲?

5.兩個桶里共盛水30斤.如果把第一個桶里的水倒3斤給第二個桶里，兩個桶里的水就一樣多了.問每個桶里各有多少斤水?

6.玻璃瓶里裝著一些水，把水加到原來的2倍時，稱得重為5千克;把水加到原來的4倍時，再稱一稱重為9千克，問原來水有多少千克? 7.一筐鮮魚，連筐共重56千克.先賣出鮮魚的一半，再賣出剩下的一半，這時連筐還重17千克.原來這筐鮮魚重多少千克? 8.小秋用一根繩子測量一口枯井的深.他把繩子放入井里，當繩子到達井底后，井外還留有15米;小秋又把這根繩子對折后再放入井里，井外還留有1米.請問，這口枯井有多少米深?

畫圖顯示法習題答案

1.解：畫個圖用實線段表示二人有的錢，虛線表示缺的錢.依題意，“兩人錢合在一起，剛好買這本書”.就是說，如圖所示，實線段(表示李明的錢)按圖線可以向上移到短的虛線處(表示王強缺的錢)接起來剛好等書價.也就是說一本書的書價是：

2角5分+3角1分=5角6分.王強有3角1分，李明有2角5分.2.解：畫線段圖用長線段表示大數，用短線段表示小數，用差線段表示兩數之差，見圖：

由圖顯見，若在虛線處再加上一段“差線段”，那就顯然得到了兩條等長的長線段.這就表示，和加差等于兩個大數，即(和+差)÷2=大數.反之，如果去掉那段“差線段”，則得到兩條等長的短線段.這就表示，和減差等于兩個小數，即(和-差)÷2=小數.注意，此題就叫“和差問題”，以上兩式就叫和差問題公式.把題給的具體數值代入這兩個公式，可得：

大數=(10+2)÷2=6，小數=(10-2)÷2=4.3.解：畫線段圖如下：

與上題類比，采用添加差線段的方法可得：

(12+2×3)÷3=6(本)(小軍);

6-2=4(本)(小方);

4-2=2(本)(小雄);

同樣也可采用去掉差線段的方法得：

(12-2×3)÷3=2(本)(小雄);

2+2=4(本)(小方);

4+2=6(本)(小軍).4.解：此題叫年齡問題，它的特點是年齡差保持不變.此題可歸納為和差問題：哥弟年齡之差為14-8=6(歲)，和為30歲，求哥弟各幾歲?

(30+6)÷2=18(歲)(哥)

(30-6)÷2=12(歲)(弟).5.解：此題的實質也是和差問題.和為30斤，差：3×2=6(斤)，由和差問題公式得：

(30+6)÷2=18斤(大桶);

(30-6)÷2=12斤(小桶).6.解：畫線段圖如下：

由圖可見，線段③-線段②=2倍小線段，即一條小線段表示(9-5)÷2=2(千克)，即 原來瓶中水重是2千克.7.解：畫線段圖如下：

由圖可以看出總重減去最后剩下的(包括筐重和魚)等于第一次和第二次賣出的鮮魚總數.又知第一次賣出的是第二次賣出的2倍，即兩次賣出的鮮魚總數是第二次賣出的3倍，即得第二次賣出魚的總量為(56-17)÷3=13千克.原來鮮魚總數為13×4=52千克.8.解：畫示意圖如下：

小秋第二次把繩子對折量，井外留1米長的雙股繩相當實際繩長2米，比第一次單股繩測時，井外少了15-2=13(米)，因為這段繩放到井里去了，所以得出井深為13米.

第四篇：北京華羅庚學校四年級奧數補習教案 第三講 定義新運算

第三講 定義新運算

我們學過的常用運算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5

2×3＝6

都是2和3，為什么運算結果不同呢？主要是運算方式不同，實際是對應法則不同.可見一種運算實際就是兩個數與一個數的一種對應方法，對應法則不同就是不同的運算.當然，這個對應法則應該是對任意兩個數，通過這個法則都有一個唯一確定的數與它們對應.只要符合這個要求，不同的法則就是不同的運算.在這一講中，我們定義了一些新的運算形式，它們與我們常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”運算不相同.我們先通過具體的運算來了解和熟悉“定義新運算”.例1 設a、b都表示數，規定a△b＝3×a—2×b，①求 3△2，2△3；

②這個運算“△”有交換律嗎？

③求（17△6）△2，17△（6△2）；

④這個運算“△”有結合律嗎？

⑤如果已知4△b＝2，求b.分析解定義新運算這類題的關鍵是抓住定義的本質，本題規定的運算的本質是：用運算符號前面的數的3倍減去符號后面的數的2倍.解：① 3△2＝ 3×3-2×2＝9-4＝ 5

2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△”沒有交換律.③要計算（17△6）△2，先計算括號內的數，有：17△6＝3×17-2×6＝39；再計算第二步

39△2＝3 × 39-2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.對于17△（6△2），同樣先計算括號內的數，6△2＝3×6-2×2＝14，其次

17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也沒有結合律.⑤因為4△b＝3×4-2×b＝12-2b，那么12-2b＝2，解出b＝5.例2 定義運算※為a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；

②求12※（3※4），（12※3）※4；

③這個運算“※”有交換律、結合律嗎？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：① 5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.②要計算12※（3※4），先計算括號內的數，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再計算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.對于（12※3）※4，同樣先計算括號內的數，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次

21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；

b※a＝b×a－（b＋a）

＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交換律）

所以有a※b＝b※a，因此“※”有交換律.由②的例子可知，運算“※”沒有結合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；

3※（5※x）＝3※（4x－5）

＝3（4x－5）－（3＋4x－5）

＝12x－15－（4x－2）

＝ 8x－ 13

那么 8x－13＝3

解出x＝2.③這個運算有交換律和結合律嗎？

到

例5 x、y表示兩個數，規定新運算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均為自然數，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析 我們采用分析法，從要求的問題入手，題目要求1△2）*3的值，首先我們要計算1△2，根據“△”的定義：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要計算出k的值.k值求出后，l△2的值也就計算出來了，我們設1△2=a.(1△2）*3=a*3，按“*”的定義： a*3=ma+3n，在只有求出m、n時，我們才能計算a*3的值.因此要計算（1△2）* 3的值，我們就要先求出 k、m、n的值.通過1*2 =5可以求出m、n的值，通過（2*3）△4=64求出 k的值.解：因為1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n

=5.又因為m、n均為自然數，所以解出： 的觀察，找 規律：

①當m=1，n=2時：

（2*3）△4=（1×2+2×3）△4

=8△4=k×8×4=32k

有32k=64，解出k=2.②當m=3，n=1時：

（2*3）△4=（3×2+1×3）△4 =9△4=k×9×4=36k

所以m=l，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3

=4*3

=1×4+2×3

=10.在上面這一類定義新運算的問題中，關鍵的一條是：抓住定義這一點不放，在計算時，嚴格遵照規定的法則代入數值.還有一個值得注意的問題是：定義一個新運算，這個新運算常常不滿足加法、乘法所滿足的運算定律，因此在沒有確定新運算是否具有這些性質之前，不能運用這些運算律來解題.習題三

計算：① 10*6 ② 7*（2*1）.7.“*”表示一種運算符號，它的含義是：

9.規定a△b=a+（a+1）+（a+2）+?+（a+b-1），（a、b均為自然數，b＞a）如果x△10=65，那么x=？

習題三解答

所以有5x-2=3O，解出x=6.4.8.解：由于

9.解：按照規定的運算：

x△10=x+（x+1）+（x+2）+?+（x+10-1）

=10x+（1+2+3+?+9）=10x+45 因此有10x+45=65，解出x=2.

第五篇：北京華羅庚學校四年級奧數補習教案 三角形的等積變形

S2=III+IV , S3=S△BDG.因為III＝IV 所以F為CD中點，有：S△BCF－S△BDF，又因為III＝IV，所以S△BGD＝S△BCG.即S3+S1，由已知I為II的2倍，所以BE＝2EC，所以