第一篇：北京華羅庚學(xué)校四年級奧數(shù)補(bǔ)習(xí)教案 第六講 行程問題

第六講 行程問題

（一）我們把研究路程、速度、時(shí)間以及這三者之間關(guān)系的一類問題，總稱為行程問題.在對小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)接觸過一些簡單的行程應(yīng)用題，并且已經(jīng)了解到：上述三個(gè)量之間存在這樣的基本關(guān)系：路程＝速度×?xí)r間.因此，在這一講中，我們將在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，主要來研究行程問題中較為復(fù)雜的一類問題——反向運(yùn)動問題，也即在同一道路上的兩個(gè)運(yùn)動物體作方向相反的運(yùn)動的問題.它又包括相遇問題和相背問題.所謂相遇問題，指的就是上述兩個(gè)物體以不同的點(diǎn)作為起點(diǎn)作相向運(yùn)動的問題；所謂相背問題，指的就是這兩個(gè)運(yùn)動物體以同一點(diǎn)作為起點(diǎn)作背向運(yùn)動的問題，下面，我們來具體看幾個(gè)例子.例1 甲、乙二人分別從相距30千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走4千米，問：二人幾小時(shí)后相遇？

分析 出發(fā)時(shí)甲、乙二人相距30千米，以后兩人的距離每小時(shí)都縮短6＋4＝10（千米），即兩人的速度的和（簡稱速度和），所以30千米里有幾個(gè)10千米就是幾小時(shí)相遇.解：30÷（6＋4）

＝30÷10

＝3（小時(shí)）

答：3小時(shí)后兩人相遇.例1是一個(gè)典型的相遇問題.在相遇問題中有這樣一個(gè)基本數(shù)量關(guān)系：

路程＝速度和×?xí)r間.例2 一列貨車早晨6時(shí)從甲地開往乙地，平均每小時(shí)行45千米，一列客車從乙地開往甲地，平均每小時(shí)比貨車快15千米，已知客車比貨車遲發(fā)2小時(shí)，中午12時(shí)兩車同時(shí)經(jīng)過途中某站，然后仍繼續(xù)前進(jìn)，問：當(dāng)客車到達(dá)甲地時(shí)，貨車離乙地還有多少千米？

分析 貨車每小時(shí)行45千米，客車每小時(shí)比貨車快15千米，所以，客車速度為每小時(shí)（45＋15）千米；中午12點(diǎn)兩車相遇時(shí)，貨車已行了（12—6）小時(shí)，而客車已行（12—6－2）小時(shí)，這樣就可求出甲、乙兩地之間的路程.最后，再來求當(dāng)客車行完全程到達(dá)甲地時(shí)，貨車離乙地的距離.解：①甲、乙兩地之間的距離是：

45×（12—6）＋（45＋15）×（12—6—2）

＝45×6＋60×＝510（千米）.②客車行完全程所需的時(shí)間是： 510÷（45＋15）

＝510÷60

＝8.5（小時(shí)）.③客車到甲地時(shí)，貨車離乙地的距離：

510—45×（8.5＋2）

＝510－472.5

＝37.5（千米）.答：客車到甲地時(shí)，貨車離乙地還有37.5千米.例3 兩列火車相向而行，甲車每小時(shí)行36千米，乙車每小時(shí)行54千米.兩車錯(cuò)車時(shí)，甲車上一乘客發(fā)現(xiàn)：從乙車車頭經(jīng)過他的車窗時(shí)開始到乙車車尾經(jīng)過他的車窗共用了14秒，求乙車的車長.分析 首先應(yīng)統(tǒng)一單位：甲車的速度是每秒鐘36000÷3600＝10（米），乙車的速度是每秒鐘54000÷3600＝15（米）.本題中，甲車的運(yùn)動實(shí)際上可以看作是甲車乘客以每秒鐘10米的速度在運(yùn)動，乙車的運(yùn)動則可以看作是乙車車頭的運(yùn)動，因此，我們只需研究下面這樣一個(gè)運(yùn)動過程即可：從乙車車頭經(jīng)過甲車乘客的車窗這一時(shí)刻起，乙車車頭和甲車乘客開始作反向運(yùn)動14秒，每一秒鐘，乙車車頭與甲車乘客之間的距離都增大（10＋15）米，因此，14秒結(jié)束時(shí)，車頭與乘客之間的距離為（10＋15）×14＝350（米）.又因?yàn)榧总嚦丝妥詈罂吹降氖且臆囓囄玻裕臆囓囶^與甲車乘客在這段時(shí)間內(nèi)所走的路程之和應(yīng)恰等于乙車車身的長度，即：乙車車長就等于甲、乙兩車在14秒內(nèi)所走的路程之和.解：（10＋15）×1

4＝350（米）

答：乙車的車長為350米.我們也可以把例3稱為一個(gè)相背運(yùn)動問題，對于相背問題而言，相遇問題中的基本關(guān)系仍然成立.例4 甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地出發(fā)相向而行，兩車在離B地64千米處第一次相遇.相遇后兩車仍以原速繼續(xù)行駛，并且在到達(dá)對方出發(fā)點(diǎn)后，立即沿原路返回，途中兩車在距A地48千米處第二次相遇，問兩次相遇點(diǎn)相距多少千米？

分析 甲、乙兩車共同走完一個(gè)AB全程時(shí)，乙車走了64千米，從上圖可以看出：它們到第二次相遇時(shí)共走了3個(gè)AB全程，因此，我們可以理解為乙車共走了3個(gè)64千米，再由上圖可知：減去一個(gè)48千米后，正好等于一個(gè)AB全程.解：①AB間的距離是

64×3－48

＝192－48

＝144（千米）.②兩次相遇點(diǎn)的距離為

144—48－64

＝32（千米）.答：兩次相遇點(diǎn)的距離為32千米.例5 甲、乙二人從相距100千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲騎車，乙步行，在行走過程中，甲的車發(fā)生故障，修車用了1小時(shí).在出發(fā)4小時(shí)后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度為乙的2倍，且相遇時(shí)甲的車已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？

分析 甲的速度為乙的2倍，因此，乙走4小時(shí)的路，甲只要2小時(shí)就可以了，因此，甲走100千米所需的時(shí)間為（4—1＋4÷2）＝5小時(shí).這樣就可求出甲的速度.解：甲的速度為：

100÷（4－1＋4÷2）

＝10O÷5＝20（千米/小時(shí)）.乙的速度為：20÷2＝10（千米/小時(shí)）.答：甲的速度為20千米/小時(shí)，乙的速度為10千米/小時(shí).例6 某列車通過250米長的隧道用25秒，通過210米長的隧道用23秒，若該列車與另一列長150米.時(shí)速為72千米的列車相遇，錯(cuò)車而過需要幾秒鐘？

分析 解這類應(yīng)用題，首先應(yīng)明確幾個(gè)概念：列車通過隧道指的是從車頭進(jìn)入隧道算起到車尾離開隧道為止.因此，這個(gè)過程中列車所走的路程等于車長加隧道長；兩車相遇，錯(cuò)車而過指的是從兩個(gè)列車的車頭相遇算起到他們的車尾分開為止，這個(gè)過程實(shí)際上是一個(gè)以車頭的相遇點(diǎn)為起點(diǎn)的相背運(yùn)動問題，這兩個(gè)列車在這段時(shí)間里所走的路程之和就等于他們的車長之和.因此，錯(cuò)車時(shí)間就等于車長之和除以速度之和.列車通過250米的隧道用25秒，通過210米長的隧道用23秒，所以列車行駛的路程為（250—210）米時(shí)，所用的時(shí)間為（25—23）秒.由此可求得列車的車速為（250—210）÷（25—23）＝20（米/秒）.再根據(jù)前面的分析可知：列車在25秒內(nèi)所走的路程等于隧道長加上車長，因此，這個(gè)列車的車長為20×25—250＝250（米），從而可求出錯(cuò)車時(shí)間.解：根據(jù)另一個(gè)列車每小時(shí)走72千米，所以，它的速度為：

72000÷3600＝20（米/秒），某列車的速度為：

（25O－210）÷（25－23）＝40÷2＝20（米/秒）

某列車的車長為：

20×25-250＝500-250＝250（米），兩列車的錯(cuò)車時(shí)間為：

（250＋150）÷（20＋20）＝400÷40＝10（秒）.答：錯(cuò)車時(shí)間為10秒.例7 甲、乙、丙三輛車同時(shí)從A地出發(fā)到B地去，甲、乙兩車的速度分別為每小時(shí)60千米和48千米，有一輛迎面開來的卡車分別在它們出發(fā)后的5小時(shí).6小時(shí)，8小時(shí)先后與甲、乙、丙三輛車相遇，求丙車的速度.分析 甲車每小時(shí)比乙車快60-48＝12（千米）.則5小時(shí)后，甲比乙多走的路程為12×5＝60（千米）.也即在卡車與甲相遇時(shí)，卡車與乙的距離為60千米，又因?yàn)榭ㄜ嚺c乙在卡車與甲相遇的6-5＝1小時(shí)后相遇，所以，可求出卡車的速度為60÷1-48＝12（千米/小時(shí)）

卡車在與甲相遇后，再走8-5＝3（小時(shí)）才能與丙相遇，而此時(shí)丙已走了8個(gè)小時(shí)，因此，卡車3小時(shí)所走的路程與丙8小時(shí)所走的路程之和就等于甲5小時(shí)所走的路程.由此，丙的速度也可求得，應(yīng)為：

（60×5-12×3）÷8＝33（千米/小時(shí)）.解：卡車的速度：

（60-48）×5÷（6－5）－48＝12（千米/小時(shí)），丙車的速度：

（60×5－12×3）÷8＝33（千米/小時(shí)），答：丙車的速度為每小時(shí)33千米.注：在本講中出現(xiàn)的“米/秒”、“千米/小時(shí)”等都是速度單位，如5米/秒表示為每秒鐘走5米.行程問題

（一）習(xí)題

1.甲、乙兩車分別從相距240千米的A、B兩城同時(shí)出發(fā)，相向而行，已知甲車到達(dá)B城需4小時(shí)，乙車到達(dá)A城需6小時(shí)，問：兩車出發(fā)后多長時(shí)間相遇？

2.東、西鎮(zhèn)相距45千米，甲、乙二人分別從兩鎮(zhèn)同時(shí)出發(fā)相向而行，甲比乙每小時(shí)多行1千米，5小時(shí)后兩人相遇，問兩人的速度各是多少？

3.甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地4千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求兩次相遇地點(diǎn)之間的距離.4.甲、乙二人從相距100千米的A、B兩地出發(fā)相向而行，甲先出發(fā)1小時(shí).他們二人在乙出后的4小時(shí)相遇，又已知甲比乙每小時(shí)快2千米，求甲、乙二人的速度.5.一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長是280米，慢車的車長為385米，坐在快車上的人看見慢車駛過的時(shí)間是11秒，那么坐在慢車上的人看見快車駛過的時(shí)間是多少？

6.前進(jìn)鋼鐵廠用兩輛汽車從距工廠90千米的礦山運(yùn)礦石，現(xiàn)有甲、乙兩輛汽車，甲車自礦山，乙車自鋼鐵廠同時(shí)出發(fā)相向而行，速度分別為每小時(shí)40千米和50千米，到達(dá)目的地后立即返回，如此反復(fù)運(yùn)行多次，如果不計(jì)裝卸時(shí)間，且兩車不作任何停留，則兩車在第三次相遇時(shí)，距礦山多少千米？

習(xí)題答案

1.解：240÷（240÷4＋240÷6）＝2.4（小時(shí)）.2.解：①甲、乙的速度和45÷5＝9（千米/小時(shí)）.②甲的速度：（9＋1）÷2＝5（千米/小時(shí)）.③乙的速度：9—5＝4（千米/小時(shí)）.3.解：①A、B兩地間的距離：

4×3—3＝9（千米）.②兩次相遇點(diǎn)的距離：9－4－3＝2（千米）.4.解：①乙的速度為：

［100—2×（4＋1）］÷（4×2＋1）＝10（千米/小時(shí)）.②甲的速度為：10＋2＝12（千米/小時(shí)）.提示：甲比乙每小時(shí)快2千米，則（4＋1）小時(shí)快2×（4＋1）＝10（千米），因此，相當(dāng)于乙走100—10＝90千米的路需（4×2＋1）＝9（小時(shí)）.5.解：280÷（385÷11）＝8（秒）.提示：在這個(gè)過程中，對方的車長＝兩列車的速度和×駛過的時(shí)間.而速度和不變.6.解：①第三次相遇時(shí)兩車的路程和為：

90＋90×2＋90×2＝450（千米）.②第三次相遇時(shí)，兩車所用的時(shí)間：

450÷（40＋50）＝5（小時(shí)）.③距礦山的距離為：40×5—2×90＝20（千米）.

第二篇：北京華羅庚學(xué)校三年級奧數(shù)補(bǔ)習(xí)教案3 和差問題

和差問題

和差問題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差，求大小兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題。

為了解答這種應(yīng)用題，首先要弄清兩個(gè)數(shù)相差多少的不同敘述方式.有些題目明確給了兩個(gè)數(shù)的差，而有些應(yīng)用題把兩個(gè)數(shù)的差“暗藏”起來，我們管暗藏的差叫“暗差”。

例：“把姐姐的鉛筆拿出3支后，姐姐、弟弟的鉛筆支數(shù)就同樣多.”這說明姐姐的鉛筆比弟弟多3支，也說明姐姐和弟弟鉛筆相差3支。

再例：“把姐姐的鉛筆給弟弟3支后，兩人鉛筆支數(shù)就同樣多.”如果認(rèn)為姐姐的鉛筆比弟弟多3支（差是3），那就錯(cuò)了.實(shí)際上姐姐比弟弟多2個(gè)3支.姐姐給弟弟3支后，自己留下3支，再加上他們原有的鉛筆數(shù)，他們的鉛筆支數(shù)才可能一樣多.這里3×2=6支，就是暗差。

“把姐姐的鉛筆給弟弟3支后還比弟弟多1支”，這就說明姐姐的鉛筆支數(shù)比弟弟多3×2＋1＝7（支）。

例1 兩筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，兩筐水果各多少千克？

分析 這樣想：假設(shè)第二筐和第一筐重量相等時(shí)，兩筐共重150＋8＝158（千克）；假設(shè)第一筐重量和第二筐相等時(shí)，兩筐共重150-8＝142（千克）.解法1：①第二筐重多少千克？

（150-8）÷2=71（千克）

②第一筐重多少千克？

71＋8=79（千克）

或 150-71=79（千克）

解法2：①第一筐重多少千克？

（150+8）÷2＝79（千克）

②第二筐重多少千克？

79-8=71（千克）

或150-79=71（千克）

答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。

例2 今年小強(qiáng)7歲，爸爸35歲，當(dāng)兩人年齡和是58歲時(shí)，兩人年齡各多少歲？

分析 題中沒有給出小強(qiáng)和爸爸年齡之差，但是已知兩人今年的年齡，那么今年兩人的年齡差是35-7=28（歲）.不論過多少年，兩人的年齡差是保持不變的.所以，當(dāng)兩人年齡和為58歲時(shí)他們年齡差仍是28歲.根據(jù)和差問題的解題思路就能解此題。

解：①爸爸的年齡：

[58＋（35-7）]÷2

=[58＋28]÷2

=86÷2

=43（歲）

②小強(qiáng)的年齡：

58-43＝15（歲）

答：當(dāng)父子兩人的年齡和是58歲時(shí)，小強(qiáng)15歲，他爸爸43歲。例3 小明期末考試時(shí)語文和數(shù)學(xué)的平均分?jǐn)?shù)是94分，數(shù)學(xué)比語文多8分，問語文和數(shù)學(xué)各得了幾分？

分析 解和差問題的關(guān)鍵就是求得和與差，這道題中數(shù)學(xué)與語文成績之差是8分，但是數(shù)學(xué)和語文成績之和沒有直接告訴我們.可是，條件中給出了兩科的平均成績是94分，這就可以求得這兩科的總成績.解：①語文和數(shù)學(xué)成績之和是多少分？

94×2＝188（分）

②數(shù)學(xué)得多少分？

（188+8）÷ 2＝196÷2=98（分）

③ 語文得多少分？

（188-8）÷2=180÷2=90（分）

或 98-8=90（分）

答：小明期末考試語文得90分，數(shù)學(xué)得98分.例4 甲乙兩校共有學(xué)生864人，為了照顧學(xué)生就近入學(xué)，從甲校調(diào)入乙校32名同學(xué)，這樣甲校學(xué)生還比乙校多48人，問甲、乙兩校原來各有學(xué)生多少人？

分析 這樣想：甲、乙兩校學(xué)生人數(shù)的和是864人，根據(jù)由甲校調(diào)入乙校32人，這樣甲校比乙校還多48人可以知道，甲校比乙校多 32×2+48＝112（人）.112是兩校人數(shù)差。

解：①乙校原有的學(xué)生：

（864-32×2-48）÷2＝376（人）

②甲校原有學(xué)生：

864-376=488（人）

答：甲校原有學(xué)生488人，乙校原有學(xué)生376人。

小結(jié)：從以上4個(gè)例題可以看出題目給的條件雖然不同，但是解題思路和解題方法是一致的.和差問題的一般解題規(guī)律是：

（和+差）÷2=較大數(shù) 較大數(shù)-差=較小數(shù)

或（和-差）÷2=較小數(shù) 較小數(shù)+差=較大數(shù)

也可以求出一個(gè)數(shù)后，用和減去這個(gè)數(shù)得到另一個(gè)數(shù).下面我們用和差問題的思路來解答一個(gè)數(shù)學(xué)問題。例5 在每兩個(gè)數(shù)字之間填上適當(dāng)?shù)募踊驕p符號使算式成立。

9=5

分析 這樣想：從1至9這幾個(gè)數(shù)字相加是不會得到5的，只能從一部分?jǐn)?shù)字相加再減去一部分字后差是5，也就是說1到9的和是45，而兩部分的差是5，先要求出這兩部分?jǐn)?shù)字，利用和差問題的方法便可以求出。

（45-5）÷ 2=20，20+5=25

可求出其中幾個(gè)數(shù)的和是25，而另外幾個(gè)數(shù)的和是20.在組成和是25的幾個(gè)數(shù)前面添上“+”號，而在組成和是20的幾個(gè)數(shù)前面添上“-”號，此題就算出來了。

例如：5+6+9=20可得到。

1+2+3+4-5-6+7+8-9=5

又如：5+7+8=20可得到。

1+2+3+4-5+6-7-8+9=5

又如：3+4+6+7=20可得到。

1+2-3-4+5-6-7+8+9=5 這道題你還有其他解法嗎？試試看！

和差問題習(xí)題

1.果園里有桃樹和梨樹共150棵，桃樹比梨樹多20棵，兩種果樹各有多少棵？

2.甲、乙兩桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么兩桶油重量相等，問甲、乙兩桶原有多少油？

3.用錫和鋁制成500千克的合金，鋁的重量比錫多100千克，錫和鋁各是多少千克？

4.某工廠去年與今年的平均產(chǎn)值為96萬元，今年比去年多10萬元，今年與去年的產(chǎn)值各是多少萬元？

5.甲、乙兩個(gè)學(xué)校共有學(xué)生1245人，如果從甲校調(diào)20人去乙校后，甲校比乙校還多5人，兩校原有學(xué)生各多少人？

6.三個(gè)物體平均重量是31千克，甲物體比乙、丙兩個(gè)物體重量之和輕1千克，乙物體比丙物體重量的2倍還重2千克，三個(gè)物體各重多少千克？

7.甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共有1980人，甲隊(duì)為了支援乙隊(duì)，抽出285人加入乙隊(duì)，這時(shí)乙隊(duì)人數(shù)還比甲隊(duì)少24人，求甲、乙兩隊(duì)原有工人多少人？

8.四年級有3個(gè)班，如果把甲班的1名學(xué)生調(diào)整到乙班，兩班人數(shù)相等；如果把乙班1名學(xué)生調(diào)到丙班，丙班比乙班多2人，問甲班和丙班哪班人數(shù)多？多幾人？

答案

1.桃樹的棵樹：（150+ 20）÷2= 85（棵）梨樹的棵樹：150-85= 65（棵）

答：有桃樹85棵，梨樹65棵。

2.甲桶油重：（30+ 6×2）÷2= 21（千克）乙桶油重：30-21=9（千克）

答：甲桶油重21千克，乙桶油重9千克。

3.錫的重量：（500-100）÷2= 200（千克）鋁的重量：500-200= 300（千克）

答：錫重量是300千克，鋁的重量是200千克。

4.今年的產(chǎn)值：（96×2+10）÷2=101（萬元）去年的產(chǎn)值：101-10=91（萬元）

答：今年的產(chǎn)值是101萬元，去年的產(chǎn)值是91萬元。

5.乙校原有人數(shù)：

[1245-（20×2+5）]÷2=600（人）

甲校原有人數(shù)：1245-600＝645（人）

答：甲校原有學(xué)生645人，乙校原有學(xué)生600人。

6.三個(gè)物體的總重量：31×3=93（千克）

甲物體的重量：（93-1）÷2=46（千克）

丙物體的重量：（93-46-2）÷（2+1）=15（千克）

乙物體的重量： 93-46-15=32（千克）

答：甲、乙、丙三個(gè)物體的重量分別為46千克、32千克、15千克。

7.甲隊(duì)原有人數(shù)：

（285×2+ 24+198O）÷ 2=1287（人）

乙隊(duì)原有人數(shù)：1287-594= 693（人）

答：甲隊(duì)原有1287人，乙隊(duì)原有693人。

8.解（略），答：甲班比丙班人數(shù)多，多2名學(xué)生.

第三篇：北京華羅庚學(xué)校三年級奧數(shù)補(bǔ)習(xí)教案1 和倍問題

第七講 和倍問題

和倍問題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與它們的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩個(gè)數(shù)的應(yīng)用題.為了幫助我們理解題意，弄清兩種量彼此間的關(guān)系，常采用畫線段圖的方法來表示兩種量間的這種關(guān)系，以便于找到解題的途徑。例1 甲班和乙班共有圖書160本.甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？

分析 設(shè)乙班的圖書本數(shù)為1份，則甲班圖書為乙班的3倍，那么甲班和乙班圖書本數(shù)的和相當(dāng)于乙班圖書本數(shù)的4倍.還可以理解為4份的數(shù)量是160本，求出1份的數(shù)量也就求出了乙班的圖書本數(shù)，然后再求甲班的圖書本數(shù).用下圖表示它們的關(guān)系：

解：乙班：160÷（3+1）=40（本）

甲班：40×3=120（本）

或 160-40=120（本）

答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。

這道應(yīng)用題解答完了，怎樣驗(yàn)算呢？

可把求出的甲班本數(shù)和乙班本數(shù)相加，看和是不是160本；再把甲班的本數(shù)除以乙班本數(shù)，看是不是等于3倍.如果與條件相符，表明這題作對了.注意驗(yàn)算決不是把原式再算一遍。

驗(yàn)算：120＋40=160（本）

120÷40=3（倍）。

例2 甲班有圖書120本，乙班有圖書30本，甲班給乙班多少本，甲班的圖書是乙班圖書的2倍？

分析 解這題的關(guān)鍵是找出哪個(gè)量是變量，哪個(gè)量是不變量.從已知條件中得出，不管甲班給乙班多少本書，還是乙班從甲班得到多少本書，甲、乙兩班圖書總和是不變的量.最后要求甲班圖書是乙班圖書的2倍，那么甲、乙兩班圖書總和相當(dāng)于乙班現(xiàn)有圖書的3倍.依據(jù)解和倍問題的方法，先求出乙班現(xiàn)有圖書多少本，再與原有圖書本數(shù)相比較，可以求出甲班給乙班多少本書（見上圖）。

解：①甲、乙兩班共有圖書的本數(shù)是：

30＋120=150（本）

②甲班給乙班若干本圖書后，甲、乙兩班共有的倍數(shù)是：

2＋1＝3（倍）

③乙班現(xiàn)有的圖書本數(shù)是：150÷3=50（本）

④甲班給乙班圖書本數(shù)是：50-30=20（本）

綜合算式：

（30＋120）÷（2+1）=50（本）

50-30=20（本）

答：甲班給乙班20本圖書后，甲班圖書是乙班圖書的2倍。

驗(yàn)算：（120-20）÷（30+20）＝2（倍）

（120-20）+（30+20）＝150（本）。

例3 光明小學(xué)有學(xué)生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？

分析 把女生人數(shù)看作一份，由于男生人數(shù)比女生人數(shù)的3倍還少40人，如果用男、女生人數(shù)總和760人再加上40人，就等于女生人數(shù)的4倍（見下圖）。

解：①女生人數(shù)：（760＋40）÷（3＋1）=200（人）

②男生人數(shù)：200×3-40=560（人）

或 760-200=560（人）

答：男生有560人，女生有200人。

驗(yàn)算：560＋200=760（人）

（560+40）÷200=3（倍）。

例4 果園里有桃樹、梨樹、蘋果樹共552棵.桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，求桃樹、梨樹和蘋果樹各有多少棵？

分析 下圖可以看出桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，都是同梨樹相比較、以梨樹的棵數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)、作為1份數(shù)容易解答.又知三種樹的總數(shù)是552棵.如果給蘋果樹增加20棵，那么就和梨樹同樣多了；再從桃樹里減少12棵，那么就相當(dāng)于梨樹的2倍了，而總棵樹則變?yōu)?52+20-12=560（棵），相當(dāng)于梨樹棵數(shù)的4倍。

解：①梨樹的棵數(shù)：

（552＋20-12）÷（1＋1＋2）

=560÷4=140（棵）

②桃樹的棵數(shù)：140×2＋12=292（棵）

③蘋果樹的棵數(shù)： 140-20=120（棵）

答：桃樹、梨樹、蘋果樹分別是292棵、140棵和120棵。例5 549是甲、乙、丙、丁4個(gè)數(shù)的和.如果甲數(shù)加上2，乙數(shù)減少2，丙數(shù)乘以2，丁數(shù)除以2以后，則4個(gè)數(shù)相等.求4個(gè)數(shù)各是多少？

分析 上圖可以看出，丙數(shù)最小.由于丙數(shù)乘以2和丁數(shù)除以2相等，也就是丙數(shù)的2倍和丁數(shù)的一半相等，即丁數(shù)相當(dāng)于丙數(shù)的4倍.乙減2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍.根據(jù)這些倍數(shù)關(guān)系，可以先求出丙數(shù)，再分別求出其他各數(shù)。

解：①丙數(shù)是：（549＋2-2）÷（2＋2＋1＋4）

=549÷9

=61

②甲數(shù)是：61×2-2=120

③乙數(shù)是：61×2＋2=124

④丁數(shù)是：61×4=244

驗(yàn)算：120+124＋61+244=549

120＋2=122 124-2=122

61×2＝122 244÷2＝122 答：甲、乙、丙、丁分別是120、124、61、244.和倍問題習(xí)題

1.小明和小強(qiáng)共有圖書120本，小強(qiáng)的圖書本數(shù)是小明的2倍，他們兩人各有圖書多少本？

2.果園里一共種340棵桃樹和杏樹，其中桃樹的棵數(shù)比杏樹的3倍多20棵，兩種樹各種了多少棵？

3.一個(gè)長方形，周長是30厘米，長是寬的2倍，求這個(gè)長方形的面積。

4.甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分種23立方米的速度流入乙水池，那么多少分種后，乙水池中的水是甲水池的4倍？

5.甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍？

6.有3條繩子，共長95米，第一條比第二條長7米，第二條比第三條長8米，問3條繩子各長多少米？

1.①小明的本數(shù)：120÷（2＋1）=40（本）.②小強(qiáng)的本數(shù)：40×2=80（本）。

2.①杏樹的棵數(shù)：（340-20）÷（3＋1）=80（棵）.②桃樹的棵數(shù)：80×3＋20=260（棵）。

3.①長方形的寬：（30÷2）÷（2＋1）=5（厘米）.②長方形的長： 5×2=10（厘米）。

③長方形的面積：10×5=50（平方厘米）。

4.①甲、乙兩水池共有水：

2600＋1200=3800（立方米）

②甲水池剩下的水：

3800÷（4+1）=760（立方米）

③甲水池流入乙水池中的水：

2600-760=1840（立方米）

④經(jīng)過的時(shí)間（分鐘）：1840÷23＝80（分鐘）。

5.①甲、乙兩桶油總重量：

470+190=660（千克）：

②當(dāng)甲桶油是乙桶油2倍時(shí)，乙桶油是：

660÷（2+1）=220（千克）：

③由甲桶倒入乙桶中的油：220-190=30（千克）。

6.①變化后的繩子總長 95-7＋8=96（米）.②第二條繩長： 96÷（1＋1+1）=32（米）。

③第一條繩長：32＋7=39（米）。

④第三條繩長：32-8=24（米）.習(xí)題答案

第四篇：北京華羅庚學(xué)校四年級奧數(shù)補(bǔ)習(xí)教案 第三講 定義新運(yùn)算

第三講 定義新運(yùn)算

我們學(xué)過的常用運(yùn)算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5

2×3＝6

都是2和3，為什么運(yùn)算結(jié)果不同呢？主要是運(yùn)算方式不同，實(shí)際是對應(yīng)法則不同.可見一種運(yùn)算實(shí)際就是兩個(gè)數(shù)與一個(gè)數(shù)的一種對應(yīng)方法，對應(yīng)法則不同就是不同的運(yùn)算.當(dāng)然，這個(gè)對應(yīng)法則應(yīng)該是對任意兩個(gè)數(shù)，通過這個(gè)法則都有一個(gè)唯一確定的數(shù)與它們對應(yīng).只要符合這個(gè)要求，不同的法則就是不同的運(yùn)算.在這一講中，我們定義了一些新的運(yùn)算形式，它們與我們常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”運(yùn)算不相同.我們先通過具體的運(yùn)算來了解和熟悉“定義新運(yùn)算”.例1 設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定a△b＝3×a—2×b，①求 3△2，2△3；

②這個(gè)運(yùn)算“△”有交換律嗎？

③求（17△6）△2，17△（6△2）；

④這個(gè)運(yùn)算“△”有結(jié)合律嗎？

⑤如果已知4△b＝2，求b.分析解定義新運(yùn)算這類題的關(guān)鍵是抓住定義的本質(zhì)，本題規(guī)定的運(yùn)算的本質(zhì)是：用運(yùn)算符號前面的數(shù)的3倍減去符號后面的數(shù)的2倍.解：① 3△2＝ 3×3-2×2＝9-4＝ 5

2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△”沒有交換律.③要計(jì)算（17△6）△2，先計(jì)算括號內(nèi)的數(shù)，有：17△6＝3×17-2×6＝39；再計(jì)算第二步

39△2＝3 × 39-2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.對于17△（6△2），同樣先計(jì)算括號內(nèi)的數(shù)，6△2＝3×6-2×2＝14，其次

17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也沒有結(jié)合律.⑤因?yàn)?△b＝3×4-2×b＝12-2b，那么12-2b＝2，解出b＝5.例2 定義運(yùn)算※為a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；

②求12※（3※4），（12※3）※4；

③這個(gè)運(yùn)算“※”有交換律、結(jié)合律嗎？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：① 5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.②要計(jì)算12※（3※4），先計(jì)算括號內(nèi)的數(shù)，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再計(jì)算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.對于（12※3）※4，同樣先計(jì)算括號內(nèi)的數(shù)，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次

21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；

b※a＝b×a－（b＋a）

＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交換律）

所以有a※b＝b※a，因此“※”有交換律.由②的例子可知，運(yùn)算“※”沒有結(jié)合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；

3※（5※x）＝3※（4x－5）

＝3（4x－5）－（3＋4x－5）

＝12x－15－（4x－2）

＝ 8x－ 13

那么 8x－13＝3

解出x＝2.③這個(gè)運(yùn)算有交換律和結(jié)合律嗎？

到

例5 x、y表示兩個(gè)數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均為自然數(shù)，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析 我們采用分析法，從要求的問題入手，題目要求1△2）*3的值，首先我們要計(jì)算1△2，根據(jù)“△”的定義：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要計(jì)算出k的值.k值求出后，l△2的值也就計(jì)算出來了，我們設(shè)1△2=a.(1△2）*3=a*3，按“*”的定義： a*3=ma+3n，在只有求出m、n時(shí)，我們才能計(jì)算a*3的值.因此要計(jì)算（1△2）* 3的值，我們就要先求出 k、m、n的值.通過1*2 =5可以求出m、n的值，通過（2*3）△4=64求出 k的值.解：因?yàn)?*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n

=5.又因?yàn)閙、n均為自然數(shù)，所以解出： 的觀察，找 規(guī)律：

①當(dāng)m=1，n=2時(shí)：

（2*3）△4=（1×2+2×3）△4

=8△4=k×8×4=32k

有32k=64，解出k=2.②當(dāng)m=3，n=1時(shí)：

（2*3）△4=（3×2+1×3）△4 =9△4=k×9×4=36k

所以m=l，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3

=4*3

=1×4+2×3

=10.在上面這一類定義新運(yùn)算的問題中，關(guān)鍵的一條是：抓住定義這一點(diǎn)不放，在計(jì)算時(shí)，嚴(yán)格遵照規(guī)定的法則代入數(shù)值.還有一個(gè)值得注意的問題是：定義一個(gè)新運(yùn)算，這個(gè)新運(yùn)算常常不滿足加法、乘法所滿足的運(yùn)算定律，因此在沒有確定新運(yùn)算是否具有這些性質(zhì)之前，不能運(yùn)用這些運(yùn)算律來解題.習(xí)題三

計(jì)算：① 10*6 ② 7*（2*1）.7.“*”表示一種運(yùn)算符號，它的含義是：

9.規(guī)定a△b=a+（a+1）+（a+2）+?+（a+b-1），（a、b均為自然數(shù)，b＞a）如果x△10=65，那么x=？

習(xí)題三解答

所以有5x-2=3O，解出x=6.4.8.解：由于

9.解：按照規(guī)定的運(yùn)算：

x△10=x+（x+1）+（x+2）+?+（x+10-1）

=10x+（1+2+3+?+9）=10x+45 因此有10x+45=65，解出x=2.

第五篇：北京華羅庚學(xué)校四年級奧數(shù)補(bǔ)習(xí)教案 三角形的等積變形

S2=III+IV , S3=S△BDG.因?yàn)镮II＝IV 所以F為CD中點(diǎn)，有：S△BCF－S△BDF，又因?yàn)镮II＝IV，所以S△BGD＝S△BCG.即S3+S1，由已知I為II的2倍，所以BE＝2EC，所以