第一篇：下載高一數(shù)學55線段的定比分點教案

5.4平面向量的坐標運算

【基礎知識精講】

1.平面向量的坐標表示：在平面直角坐標系內(nèi)，分別取與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，對任一向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)(x,y)，使得a=xi+yj,則實數(shù)對(x,y)叫做向量a的直角坐標(簡稱坐標)，記作a=(x,y)，其中x和y分別稱為向量a的x軸上的坐標與y軸上的坐標，而a=(x,y)稱為向量的坐標表示.相等的向量其坐標相同.同樣，坐標相同的向量是相等的向量.顯然i=(1,0), j=(0,1), 0=(0,0)

2.平面向量的坐標運算：

(1)兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差：

a±b=(x1±x2,y1±y2)(其中a=(x1,y2)、b=(x2,y2)).(2)一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標.如果A(x1，y1)、(x2,y2)，則AB=(x1-x2,y1-y2)(3)實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.若a=(x,y),則λa=(λx,λy)

3.向量平行的坐標表示

已知向量a、b(b≠0)，則a∥b的充要條件為存在實數(shù)λ，使a=λb.如果a=(x1,y1), b=(x2,y2)(b≠0)則a∥b的充要條件為：x1y2-x2y1=0.平面向量的坐標表示，實際是向量的代數(shù)表示，此入向量的坐標表示以后，可以使向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密地結合起來，這樣很多的幾何問題的證明，就可以轉(zhuǎn)化為學生熟悉的數(shù)量的運算.兩個向量相加減，是這兩個向量的對應坐標相加減，這個結論可以推廣到有限個向量相加減.【重點難點解析】

1.向量a的坐標與表示該向量的有向線段的起始點的具體位置沒有關系，只與其相對位置有關系，即兩個向量不論它們的起始點坐標是否相同，只要這兩個向量的坐標相同，那么它們就是相等向量.兩個向量如果是相等的，那么它們的坐標也應該是相同的.2.向量AB的坐標是終點的坐標減去始點的對應坐標，而不是始點的坐標減去終點的坐

標.3.實數(shù)λ與向量a的積的運算時，λ應與a的相應坐標相乘，以下的結論都是錯誤的.設λ∈R，a=(x,y)λa=λ(x,y)=(λx,y)或λa=λ(x,y)=(x,λy)

例1 若向量a=(x+3,x-3x-4)與AB相等，其中A(1，2)，B(3，2)，則x=

2解：∵A(1,2),B(3,2)則有AB=(2,0).又∵a=AB，∴它們的坐標一定相同.∴應填：-1

例2 已知a=(3x+4y,-2x-y), b=(2x-3y+1,-3x+值.分析：這里可以根據(jù)條件2a=3b建立關于x,y的方程組，通過解方程組即可求得x與y的值.解：∵a=(3x+4y,-2x-y)，16y+3)，若2a=3b,試求x與y的9b=(2x-3y+1,-3x+16y+3)9∴由2a=3b可得：

(6x+8y,-4x-2y)=(6x-9y+3,-9x+

16y+9)3

b同向，說明：這里的題設條件2a=3b，其實它反應了向量a，并且2｜a｜=3｜b｜，3｜b｜,所以a，b的坐標應成比例，即a的橫、縱坐標分別與b的橫縱坐標之23比相等且都等于.2即｜a｜=

例3 已知平行四邊形三個頂點是(3，-2)，(5，2)，(-1，4)，求第四個頂點的坐標.解：如圖，設OA=(3,-2), OB=(5,-2), OC=(-1,4), OD =(x,y)依題意，AB=DC或AC=DB或AB=CD 由AB=DC，可得：OB-OA=OC-OD

即(5,2)-(3,2)=(-1,4)-(x,y)?(2,4)=(-1-x,4-y)

∴D(-3，0)同理，若AC=DB可得：(-4，6)=(5-x,2-y).∴x=9,y=-4, ∴D(9,4)若AB=CD可得：(2，4)=(x+1,y-4)∴x=1,y=8.∴D(1,8)∴點D的坐標為(-3，0)或(9，-4)或(1，8)

例4 已知｜a｜=10, b=(3,-4),且a∥b,求a.解：設a=(x,y)，則有

或??x??6

?y?8

∴a=(6,-8)或(-6，8)

例5 已知a=(3,2), b=(-2,1), c=(7,-4),用a，b表示c.解：設c=ma+nb,即(7，-4)=m(3,-2)+n(-2,1)∴ ??m?1?3m?2m?7 解得：?

?n??2??2m?n??4∴c =a-2b

例6 如圖，已知凸四邊形ABCD中，E、F分別是AB與CD的中點，試證：2EF=AD+BC 分析：本例是實數(shù)與向量積，但用向量的坐標運算進行論證，其思路明確，過程簡單.證明：設A(x1，y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)于是AD=(x4，y4)-(x1，y1)=(x4-x1,y4-y1)BC=(x3,y3)-(x2,y2)=(x3-x2,y3-y2)又22OE=OA+OB

∴22OE=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)22OF=(x3+x4,y3+y4)2EF=2(OF-OE)=(x3+x4-x1-x2,y3+y4-y1-y2)AD+BC=(x4-x1,y4-y1)+(x3-x2,y3-y2)=(x3+x4-x1-x2,y3+y4-y1-y2)∴2EF=AD+BC

【難題巧解點拔】

例1 已知：點A(2，3)、B(5，4)，C(7，10)若AP=AB+λ2AC(λ∈R),試求λ為何值時，點P在一、三象限角平分線上?點P在第三象限內(nèi)? 分析：由題設條件可用λ分別表示點P的橫、縱坐標，再根據(jù)點P在一、三象限角平分線上的充要條件是它的橫、縱坐標相等，點P在第三象限內(nèi)的充要條件是它的橫、縱坐標均為負，就能求出相應的λ值.解：設點P的坐標為(x,y)則AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3)AB+λ2AC=(5,4)-(2,3)+λ［(7,10)-(2,3)］

=(3,1)+λ(5,7)=(3,1)+(5λ,7λ)=(3+5λ,1+7λ)∵AP=AB+λAC ∴(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ)?x?2?3?5??x?5?5?∴? ∴?

y?3?1?7?y?4?7???∴P(5+5λ，4+7λ)(1)若點P在一、三象限角平分線上，則5+4λ=4+7λ ∴λ=1 2?5?5??0(2)若點P在第三象限內(nèi)，則?

4?7??0?????1?∴?4 ∴λ＜-1 ????7?即只要λ＜-1時，點P就在第三象限內(nèi).例2 如圖已知OA=a,OB=b, OC=c,求證A、B、C三點在一條直線上的充要條件是：有不全為0的實數(shù)m,n,l，使得la+mb+nc=0且l+m+n=0

解：過A、B的直線方程是p =a+t(b-a)1°必要性：若A、B、C在同一直線上，則c=a+t(b-a)=(1-t)a+tb-c=0 令1-t=l,t=m,-1=n, 則有ta+mb+lc且m+n+l=0 2°充分性：由l+m+n=0 la+mb+mc=0

? m(c-b)=-l(c-a)即mBC=-lAC?BC∥AC且有公共點?A、B、C三點共線.評析：證明充要條件一定要證兩個方面，即充分性和必要性兩個部分.例3 已知：a=(cosα,sinα), b=(cosβ,sinβ), a+b=(求(1)(cos(α-β),sin(α-β))(2)tan解：(1)依題意，可得：

43,)55???2

①+②得2+2cos(α-β)=-1 ∴cos(α-β)=-221，2從而sin(α-β)=±213,±)22∴(cos(α-β),sin(α-β))=(-

(2)由①得：2cos由②得：2sin???22cos

???22=

=③ 5 ④ ???2 2cos

???35④???3得：tan= ③24

【課本難題解答】

課本第112頁習題5.4第8題：

設b=λa即：(x,-6)=λ(2,3)?(x,-6)=(2λ,3λ)∴ ??x?2? 得λ=-2, x=-4, ∴x=-4 ?6?3??第9題：

AB=(2,1)-(-2,-3)=(4,4)CD=(-7,-4)-(1,4)=(-8.-8)顯然CD=-2AB ∴AB與CD共線.【命題趨勢分析】

向量的坐標表示，實際是向量的代數(shù)表示形式，引入向量的坐標表示后，就可以使向量的運算完全代數(shù)化，實現(xiàn)了形向數(shù)的轉(zhuǎn)化，將數(shù)與形緊密聯(lián)系起來了.本節(jié)考查學生是否會求向量的坐標，能否正確利用向量的坐標表示進行向量的線性運算.利用向量共線的充要條件解證相關的問題，本節(jié)是高考的熱點.【典型熱點考題】

例1 若向量a=(1,2), b=(x,1), u=a+2b,v=2a-b,且u∥v，則x=.解：u=(1,2)+2(x,1)=(1,2)+(2x,2)=(2x+1,4)v =2(1,2)-(x,1)=(2,4)-(x,1)=(2-x,3)由u∥v,一定存在λ∈R，使u=λv 則有(2x+1,4)=((2-x)λ,3λ)

4?????2x?1?(2?x)??3

解得：???4?3??x?1?2?∴應填

例2 若點A(-1，2)，B(2，3)，C(3，-1)，且AD=2AB-3BC，則點D的坐標為.解：∵A(-1，2)，B(2，3)，C(3，-1)∴AB=(3,1), BC=(1,-4)∴AD=23(3,1)-33（1,-4）=(6,2)-(3,-12)=(3,14)設點D(x,y)則AD=(x+1,y-2)1.2?x?2?x?1?3故? ∴ ?

y?16y?2?14??∴D的坐標為(2，16)∴應填：(2，16)

例3 若A、B、C三點的坐標分別為(2，-4)，(0，6)，(-8，10)，則AB+2BC，BC-的坐標分別為、.分析：本題主要考查向量的坐標表示及向量的坐標運算.解：AB=(-2,10), BC=(-8,4), AC=(-10,14)∴AB+2BC=(-2,10)+2(-8.4)=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18)

1AC2BC-11AC=(-8,4)-(-10,14)=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3)22∴應填：(-18，18)，(-3，3)

例4 已知a≠0，b≠0, a不平行于b,求證：a+b不平行于a-b.證明：令a=(x1,y1), b=(x2,y2),有a+b=(x1+x2,y1+y2)a-b=(x1-x2,y1-y2)假設a+b∥a-a

則(x1+x2)(y1-y2)-(y1+y2)(x1-x2)=0 整理得x2y1-x1y2=0.因為a≠0, b≠0所以a∥b)這與已知矛盾，∴a+b不平行于a-b

本周強化練習：

【同步達綱練習】

一、選擇題

1.若a，b是不共線的兩個向量，且AB=λ1a+b, AC=a+λ2b(λ1,λ2∈R)，則A、B、C三點共線的充要條件是()A.λ1=λ2=-1 B.λ1=λ2=1

C.λ1λ2+1=0

D.λ1λ2-1=0 2.已知a=(3,-1), b=(-1,2)，則-3a-2b的坐標是()A.(7，1)

3.已知a=(-1,3), b=(x,-1)，且a∥b，則x等于()A.3

4.已知平行四邊形ABCD中，AD=(3,7), AB=(-2,3),對角線AC、BD交于O，則CO的坐標是()A.(-

5.若向量a=(x-2,3)與向量b=(1,y+2)相等，則：()A.x=1,y=3

B.x=3,y=1 D.x=5,y=-1 C.x=1,y=-5 B.B.(-7，-1)

C.(-7，1)

D.(7，-1)C.-3

D.-31，5)2B.(-

1，-5)2C.（1)，-5)2 D.（1，5)26.三點A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)共線的充要條件是()A.x1y2-x2y1=0

C.(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)7.設a=（B.x1y3-x3y1=0

D.(x2-x1)(x3-x1)=(y2-y1)(y3-y1)31,sinα), b=(cosα,)且a∥b，則銳角α為()23 B.60°

C.45°

D.75° A.30°

8.已知向量AB=(6,1), BC=(x,y), CD=(-2,3),則DA=()A.(x+4,2-y)B.(x-4,2-y)

C.(x-4,y-2)

D.(-4-x,-y+2)9.已知a=(1,2), b=(x,1)，當a+2b與2a-b共線時，x值為()A.1

10.如果e1、e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底，那么()A.若實數(shù)λ

1、λ2，使λ1e1+λ2e2)=0,λ1=λ2=0 B.空間任一向量a可以表示為a=λ1e1+λ2e2,這里λ

1、λ2是實數(shù) C.對實數(shù)λ

1、λ2，λ1e1+λ2e2)不一定在平面α內(nèi)

D.對平面α內(nèi)的任一向量a，使a=λ1e1+λ2e2的實數(shù)λ

1、λ2有無數(shù)對.二、填空題：

1.已知e1、e2是一對不共線的非零向量，若a=e1+λe2, a=-2λe1-e2,且a、b共線，則λ=.2.已知a=(1,2), b=(2,1), c=(3,-2),且c=λa+μb，則實數(shù)λ= ,μ=.3.若向量a=(1，-2)的終點在原點，那么這個向量的始點坐標是.4.在△ABC中，已知AB=a,CA=c，O是△ABC的重心，則OB+OC=.5.已知a、b是兩非零向量，且｜a｜=m,｜b｜=n，c=a+b，當m＜n時，｜c｜的最小值是.三、解答題：

1.已知a=AB,B(1,0), b=(-3,4), c=(-1,1)，且a=3b-2c，求點A的坐標.2.已知△ABC，A(7，8)、B(3，5)、C(4，3)，M、N是AB、AC的中點，D是BC中點，MN B.2

C.D.2

與AD交于F，求DF.3.已知A(1，-2)，B(2，1)，C(3，2)和D(-2，3)，以AB、AC為一組基底來表示AD+BD+CD.【素質(zhì)優(yōu)化訓練】

一、判斷題

1.已知：a=(1,3), b=(-3,-6),則｜a-b｜=｜a｜+｜b｜()

2.已知：i =(1,0), j=(0,1).a=(3,4)，則a=3i-4j()

3.已知：a=(5，-4),則2.5a=(12.5,-10)()

4.已知：a=(3.14,π), b=(314,100π),則a∥b()

5.若A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，則｜AB｜+｜BC｜＞｜AC｜()

6.已知：a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，若x1y2+x2y1=0則a∥b()

7.若a與b不平行，m、n∈R*,c1=ma+nb,c2=ma-nb，則c1與c2不平行()

8.若a=(x,y)，則-a=(y,x)()

9.已知：A(1，1)、B(3，2)、C(0，-1)、D(2，0)則AB=CD()

二、1.已知點A(-1，2)，B(2，8)，及AC=

11AB,DA=-BA,求C、D的坐標.33

2.已知ABCD的正方形，BE∥AC，AC=CE,EC的延長線交BA的延長于F，求證：AF=AE.3.正方形ABCO，按順時針方向依次為A→B→C→O，O為坐標原點OB=(1,3)，求向量OA，OC的坐標.【生活實際運用】

如圖所示，一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m，一艘船從A處出發(fā)航行到河的正對岸B處，船航行的速度｜V1｜=10km/h，水流速度｜V2｜=4km/h，那么V1與V2的夾角θ(精確到1°)多大時，船才能垂直到達對岸B處?船行駛多少時間(精確到0.1min)? 解：如果水是靜止的，則船只要取垂直于河岸的方向行駛就行了.由于水流動的作用，船要被水沖向下游，因此要使船垂直到達對岸，就要使V1與V2的合速度的方向正好垂直于河岸方向(如圖所示).根據(jù)向量的平行四邊形法則和解直角三角形的知識，可以算出 ｜V｜=9.2km/h, θ=114°, t=3.3min.【知識探究學習】

在很大的一湖岸邊(可視湖岸為直線)停放著一只小船，由于纜繩突然斷開，小船被風刮跑，其方向與河岸成15°，速度為v=2.5km/h，同時岸上有一人，從同一地點追趕小船，已知他在岸上跑的速度為v1=4km/h，在水中游的速度為v2=2km/h，問此人能否追上小船，小船能被人追上的最大速度是多少? 解析：用向量合成法來求解這個問題.由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿岸跑一段路程后再游水追趕船，這樣才有可能追上.所以本題討論的問題不是同一直線上 的追及問題，只有當人沿岸跑的軌跡和人游水的軌跡以及船在水中行駛的軌跡它們?nèi)呓M成一個封閉的三角形時，人才能追上小船.設人在岸上跑的時間t1內(nèi)到達A點，然后人在水中沿AE方向游水追船，如圖所示，以船在B點時為參照物，則人在水中船的速度v3應為v3=v2-v，要追上船，不管v2方向如何，相對速度v3方向不變，只要在α＞θ，人就能追上船，由v2，-v, v3組成的向量三角形，其中v3，v的方向不變(圖中∠ADE恒定)，而v2大小是恒定的，要DE邊最長(即v的大小最大)，AE必與AD相互垂直.AF∥DE∥OB，CE∥AB，∵△AFC∽△OAB ∴AFOBv==, ACOAv1又∵AF=v,∴AC=v1.在Rt△AEC中有sin∠ACE=sinβ=

v21=,所以β=30°,∠EAC=α=60°,∠AED=45°，v12即△AED為等腰直角三角形，因此有vmax=2v2=22km/h.∴當船速為2.5km/h時，人可以追上小船.參考答案

【同步達綱練習】

一、1.D 2.B 3.B 4.B 5.B 6.C 7.C 8.B 9.D 10.A

二、1.±

7812 2.λ=-,μ= 3.(-1，2)4.(a-c)5.n-m

333217 AD=(,2)3.32AB-22AC 2

4三、1.(8，-10)2.DF=-【素質(zhì)優(yōu)化訓練】

一、1.3 2.3 3.√ 4.√ 5.3 6.3 7.√ 8.3 9.√

二、1.C(0，4)，D(-2，0)2.先求E的坐標(1?31?3，)F的坐標(-2-3，1)再證：｜AF｜=｜AE｜ 22

3.OA=（2?62?61?31?3,), OC=2(,)

4422

第二篇：2012屆高考數(shù)學一輪復習教案：5.3 兩點間距離公式、線段的定比分點與圖形的平移

5.3 兩點間距離公式、線段的定比分點與圖形的平移

●知識梳理 1.設A（x1，y1），B（x2，y2），則AB=（x2－x1，y2－y1）.22∴|AB|=（x2?x1）?（y2?y1）.2.線段的定比分點是研究共線的三點P1，P，P2坐標間的關系.應注意：（1）點P是不同于P1，P2的直線P1P2上的點；（2）實數(shù)λ是P分有向線段P1P2所成的比，即P1→P，P→P

2x1??x2?x?，??1??的順序，不能搞錯；（3）定比分點的坐標公式?（λ≠－1）.y??y2?y?1?1???3.點的平移公式描述的是平移前、后點的坐標與平移向量坐標三者之間的關系，?x??x?h，??y?y?k.?特別提示

1.定比分點的定義：點P為P1P2所成的比為λ，用數(shù)學符號表達即為P1P=λPP2.當λ＞0時，P為內(nèi)分點；λ＜0時，P為外分點.2.定比分點的向量表達式：

P點分P1P2成的比為λ，則OP=

11??OP1+

?1??OP2（O為平面內(nèi)任一點）.3.定比分點的應用：利用定比分點可證共線問題.●點擊雙基

1.（2004年東北三校聯(lián)考題）若將函數(shù)y=f（x）的圖象按向量a平移，使圖象上點的坐標由（1，0）變?yōu)椋?，2），則平移后的圖象的解析式為

A.y=f（x+1）－2

B.y=f（x－1）－2 C.y=f（x－1）+2

D.y=f（x+1）+2 解析：由平移公式得a=（1，2），則平移后的圖象的解析式為y=f（x－1）+2.答案：C 2.（2004年湖北八校第二次聯(lián)考）將拋物線y=4x沿向量a平移得到拋物線y－4y=4x，則向量a為

A.（－1，2）C.（－4，2）

B.（1，－2）D.（4，－2）

2?x??x?h?x?x??h，解析：設a=（h，k），由平移公式得? ????y?y?ky?y?k，??代入y2=4x得

（y?－k）2=4（x?－h(huán)），y?2－2ky?=4x?－4h－k2，第1頁（共10頁）

即y－2ky=4x－4h－k，∴k=2，h=－1.∴a=（－1，2）.答案：A 22思考討論

本題不用平移公式代入配方可以嗎? 提示：由y2－4y=4x，配方得（y－2）=4（x+1），∴h=－1，k=2.（知道為什么嗎?）

3.設A、B、C三點共線，且它們的縱坐標分別為2、5、10，則A點分BC所得的比為 A.382

3B.83

8C.－

8D.－

35?10????解析：設A點分BC所得的比為λ，則由2=答案：C，得λ=－.834.若點P分AB所成的比是λ（λ≠0），則點A分BP所成的比是____________.解析：∵AP=λPB，∴AP=λ（－AP+AB）.∴（1+λ）AP=λAB.∴AB=1??AP.∴BA=－

1?????AP.答案：－1??

5.（理）若△ABC的三邊的中點坐標為（2，1）、（－3，4）、（－1，－1），則△ABC的重心坐標為____________.解析：設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），?x1?x2?2，?2??y1?y2?1，?2??x1?x3??3，??x?x2?x3??2242則?

∴?1∴重心坐標為（－，）.33?y1?y2?y3?4?y1?y3?4，?2?x?x3?2??1，?2?y?y3?2??1.2?答案：（－23，43）

（文）已知點M1（6，2）和M2（1，7），直線y=mx－7與線段M1M2的交點M分有向線段M1M2的比為3∶2，則m的值為____________.第2頁（共10頁）

6?3232解析：設M（x，y），則x=

1?=

1552?7?32=3，y=

1?32=

4?215=5，即M（3，5），代入y=mx－7得5=3m－7，∴m=4.答案：4 ●典例剖析

【例1】 已知點A（－1，6）和B（3，0），在直線AB上求一點P，使|AP|=|AB|.31剖析：|AP|=|AB|，則AP=3113AB或AP=

13BA.設出P（x，y），向量轉(zhuǎn)化為坐標運算即可.解：設P的坐標為（x，y），若AP=41???x?1?，?x?，3解得?3此時??y?6??2.?y?4.??13AB，則由（x+1，y－6）=

13（4，－6），得

P點坐標為（，4）.3131若AP=－13AB，則由（x+1，y－6）=－（4，－6）得

47??7?x?1??，?x??，3解得?3∴P（－?3?y?6?2.?y?8.??，8）.綜上所述，P（，4）或（－3173，8）.深化拓展

本題亦可轉(zhuǎn)化為定比分點處理.由AP=λ=1213AB，得AP=

12PB，則P為AB的定比分點，代入公式即可；若AP=－1413AB，則AP=－

14PB，則P為AB的定比分點，λ=－.由兩種方法比較不難得出向量的運算轉(zhuǎn)化為坐標運算，是解決向量問題的一般方法.【例2】 已知△ABC的三個頂點坐標分別是A（4，1），B（3，4），C（－1，2），BD是∠ABC的平分線，求點D的坐標及BD的長.剖析：∵A、C兩點坐標為已知，∴要求點D的坐標，只要能求出D分AC所成的比即可.解：∵|BC|=25，|AB|=10，∴D分AC所成的比λ=由定比分點坐標公式，得

ADDC?ABBC?22.第3頁（共10頁）

?24??（?1）?2?xD??9?52，?21??∴D2??1?2?y??2.D?21??2?點坐標為（9－52，2）.22?（2?4）=104?682.∴|BD|=（9?52?3）評述：本題給出了三點坐標，因此三邊長度易知，由角平分線的性質(zhì)通過定比分點可解出D點坐標，適當利用平面幾何知識，可以使有些問題得以簡化.深化拓展

本題也可用如下解法：設D（x，y），∵BD是∠ABC的平分線，∴〈BA，BD〉=〈BC，BD〉.∴BA?BD|BA||BD|BC?BD|BC|?|BD|?，即BA?BD|BA|=BC?BD|BC|.又BA=（1，－3），BD=（x－3，y－4），BC=（－4，－2），∴x?3?3y?1210=?4x?12?2y?820.① ∴（4+2）x+（2－32）y+92－20=0.又A、D、C三點共線，∴AD，AC共線.又AD=（x－4，y－1），AC=（x+1，y－2），∴（x－4）（y－2）=（x+1）（y－1）.??x?9?52，由①②可解得?

??y?2.②

∴D點坐標為（9－52，2），|BD|=104?682.思考討論

若BD是AC邊上的高，或BD把△ABC分成面積相等的兩部分，本題又如何求解?請讀者思考.【例3】 已知在□ABCD中，點A（1，1），B（2，3），CD的中點為E（4，1），將 □ABCD按向量a平移，使C點移到原點O.（1）求向量a；

（2）求平移后的平行四邊形的四個頂點的坐標.解：（1）由□ABCD可得AB=DC，設C（x3，y3），D（x4，y4），第4頁（共10頁）

則?，?x3?x4?1?y3?y4?2.?x42?y4292①②

?x3??又CD的中點為E（4，1），則??y3??9?7??x4?，?x3?，由①－④得?2?2即?y?2，?y?0，?4?3?4，?1.③

④C（，2），D（72，0）.∴a=（－92，－2）.72（2）由平移公式得A′（－●闖關訓練

夯實基礎，－1），B′（－

52，1），C′（0，0），D′（－1，－2）.1.（2004年福州質(zhì)量檢查題）將函數(shù)y=sinx按向量a=（－式為

A.y=sin（x－C.y=sin（x+π4π4，3）平移后的函數(shù)解析）+3

B.y=sin（x－D.y=sin（x+

π4）－3 π4）+3

π4）－3

π??x?x??h，?x?x??，π解析：由?得?4∴y?－3=sin（x?+）.4?y?y??k，?y?y??3.?∴y?=sin（x?+答案：C π4）+3，即y=sin（x+

π4）+3.2.（2003年河南調(diào)研題）將函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量a平移，得到函數(shù)y=2sin（2x++1的圖象，則a等于

A.（－C.（π3π3π3），1）

π3

B.（－D.（π6π6π6，1），－1），1）

π6解析：由y=2sin（2x+答案：B）+1得y=2sin2（x+）+1，∴a=（－，1）.3.（2004年東城區(qū)模擬題）已知點P是拋物線y=2x+1上的動點，定點A（0，－1），若點M分PA所成的比為2，則點M的軌跡方程是____________，它的焦點坐標是____________.解析：設P（x0，y0），M（x，y）.第5頁（共10頁）

x0?x???x0?3x，?3代入y0=2x02+1得3y+2=18x2+1，即18x2=3y+1，????y0?3y?2，?y?y0?2?3?x2=16y+118=162（y+），∴p=31611112，焦點坐標為（0，－

724724）.答案：x=（y+）

（0，－

32）

24.把函數(shù)y=2x－4x+5的圖象按向量a平移后，得到y(tǒng)=2x的圖象，且a⊥b，c=（1，－1），b·c=4，則b=____________.解析：a=（0，0）－（1，3）=（－1，－3）.設b=（x，y），由題意得?則b=（3，－1）.答案：（3，－1）

5.已知向量OA=（3，1），（－1，2），OB=OC⊥OB，BC∥OA.試求滿足OD+OA=OC的OD的坐標.解：設OD=（x，y），則OC=（x，y）+（3，1）=（x+3，y+1），BC=OC－OB=（x+3，y+1）－（－1，2）=（x+4，y－1），（x?3）?（2y?1）?0，????x?3y?0，?x?3，?x?y?4，y??1，??則?（?（3y?1）?0.?x?4），?x?11?y?6，所以? OD=（11，6）.13146.已知A（2，3），B（－1，5），且滿足AC=D、E的坐標.AB，AD=3AB，AE=－

AB，求C、解：用向量相等或定比分點坐標公式均可，讀者可自行求解.C（1，E（114113），D（－7，9），52）.培養(yǎng)能力

7.（2004年福建，17）設函數(shù)f（x）=a·b，其中a=（2cosx，1），b=（cosx，3sin2x），x∈R.（1）若f（x）=1－3，且x∈［－

π3，π3］，求x；

π2（2）若y=2sin2x的圖象按向量c=（m，n）（|m|＜）平移后得到函數(shù)y=f（x）的圖象，第6頁（共10頁）

求實數(shù)m、n的值.解：（1）依題設f（x）=2cos2x+3sin2x=1+2sin（2x+由1+2sin（2x+∵|x|≤π3π6π6），）=1－3，得sin（2x+≤2x+

π6π6）=－

π332.π4，∴－π2≤

5π6.∴2x+

π6=－，即x=－.（2）函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=（m，n）平移后得到函數(shù)y=2sin2（x－m）+n的圖象，即y=f（x）的圖象.由（1）得f（x）=2sin2（x+8.有點難度喲！

（2004年廣州綜合測試）已知曲線x+2y+4x+4y+4=0按向量a=（2，1）平移后得到曲線C.（1）求曲線C的方程；

（2）過點D（0，2）的直線與曲線C相交于不同的兩點M、N，且M在D、N之間，設DM=λMN，求實數(shù)λ的取值范圍.解：（1）原曲線即為（x+2）2+2（y+1）2=2，則平移后的曲線C為x2+2y2=2，即x2π12）+1.又|m|＜

π2，∴m=－

π12，n=1.222+y=1.2（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），則

?x2?x?，221????x1?2y1?2，1??22由于點M、N在橢圓x+2y=2上，則? ?222??y2??y??x2?2y2?2，.1?1???2??y22??x22（）?（2）?2，?1??1??即?消去22?x?2y?2.2?22??34?x2得，2λ+8λy2+8=2λ+4λ+2，即y2=

2.∵－1≤y2≤1，∴－1≤又∵λ＞0，故解得λ≥故λ的取值范圍為［

122??34?12≤1..，+∞）.思考討論

本題若設出直線l的方程y=kx+2，然后與x2+2y2=2聯(lián)立，利用韋達定理能求解嗎?（不要忘記討論斜率不存在的情況）讀者可嘗試一下.探究創(chuàng)新

9.甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向做勻速直線航行，速度為152 n mile/h，在甲船從A島出發(fā)的同時，乙船從A島正南40 n mile處的B島出發(fā)，朝北偏東θ（θ=arctan

12）

第7頁（共10頁）的方向作勻速直線航行，速度為105 n mile/h.（如下圖所示）

（1）求出發(fā)后3 h兩船相距多少海里?（2）求兩船出發(fā)后多長時間相距最近?最近距離為多少海里? 解：以A為原點，BA所在直線為y軸建立如下圖所示的坐標系.設在t時刻甲、乙兩船分別在P（x1，y1），Q（x2，y2），則?12??x1?152tcos45??15t，??y1?x1?15t.由θ=arctan，可得cosθ=

255，sinθ=

55，x2=105tsinθ=10t，y2=105tcosθ－40=20t－40.（1）令t=3，P、Q兩點的坐標分別為（45，45），（30，20）.22?（45－20）=850=534，|PQ|=（45?30）即兩船出發(fā)后3 h時，兩船相距534 n mile.2?（y2?y1）（2）由（1）的解法過程易知|PQ|=（x2?x12）222210t?15t）?（20t?40?15t）=50t?400t?1600=50（t?4）?800≥202.=（∴當且僅當t=4時，|PQ|的最小值為202，即兩船出發(fā)4 h時，相距202 n mile為兩船最近距離.●思悟小結

1.理解線段的定比分點公式時應注意以下問題：（1）弄清起點、分點、終點，并由此決定定比λ；

（2）在計算點分有向線段所成比時，首先要確定是內(nèi)分點，還是外分點，然后相應地把數(shù)量之比轉(zhuǎn)化為長度之比.也可直接由定義P1P=λPP2獲解.2.線段的定比分點的坐標表示，強化了坐標運算的應用，確定λ的值是公式應用的關鍵.3.關于平面圖形的平移，主要確定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特別注意分清

第8頁（共10頁）

新舊函數(shù)解析式.4.配湊法、待定系數(shù)法、對應點代入法是確定平移向量的重要方法.●教師下載中心

教學點睛

1.線段的定比分點公式P1P=λPP2，該式中已知P1、P2及λ可求分點P的坐標，并且還要注意公式的變式在P1、P2、P、λ中知三可求第四個量.2.定比分點坐標公式要用活不要死記.可設出坐標利用向量相等列方程組.該解法充分體現(xiàn)了向量（形）與數(shù)之間的轉(zhuǎn)化具有一般性.3.平移前后坐標之間的關系極易出錯，要引導學生弄清知識的形成過程不要死記硬背.拓展題例

【例1】（2004年豫南三市聯(lián)考）已知f（A，B）=sin22A+cos22B－3sin2A－cos2B+2.（1）設△ABC的三內(nèi)角為A、B、C，求f（A，B）取得最小值時，C的值；（2）當A+B=π2且A、B∈R時，y=f（A，B）的圖象按向量p平移后得到函數(shù)y=2cos2A的圖象，求滿足上述條件的一個向量p.解：（1）f（A，B）=（sin2A－

32）2+（cos2B－

12）2+1，?ππ?3，?A?或A?，?sin2A?2π?632得?由題意?∴C=?3?cos2B?1，?B?π.??6?2?或C=

π2.（2）∵A+B=π2，∴2B=π－2A，cos2B=－cos2A.π3∴f（A，B）=cos2A－3sin2A+3=2cos（2A+從而p=（π6）+3=2cos2（A+

π6）+3.，－3）（只要寫出一個符合條件的向量p即可）.3【例2】 設曲線C的方程是y=x－x，將C沿x軸、y軸正向分別平移t、s單位長度后，得到曲線C1.（1）寫出曲線C1的方程；（2）證明：曲線C與C1關于點A（t2s2，）對稱.t2（1）解：C1：y－s=（s－t）3－（x－t）.（2）分析：要證明曲線C1與C關于點A（s2

①，）對稱，只需證明曲線C1上任意一個點關于A點的對稱點都在曲線C上，反過來，曲線C上任意一個點關于A點的對稱點都在曲線C1上即可.證明：設P1（x1，y1）為曲線C1上任意一點，它關于點A（t2s2，）的對稱點為

P（t－x1，s－y1），把P點坐標代入曲線C的方程，左=s－y1，右=（t－x1）3－（t－x1）.由于P1在曲線C1上，∴y1－s=（x1－t）3－（x1－t）.∴s－y1=（t－x1）3－（t－x1），即點P（t－x1，s－y1）在曲線C上.同理可證曲線C上任意一點關于點A的對稱點都在曲線C1上.第9頁（共10頁）

從而證得曲線C與C1關于點A（t2，s2）對稱.第10頁（共10頁）

第三篇：示范教案一4.1.1 線段的比

第四章 相似圖形

●課時安排 14課時

第一課時

●課 題

§4.1.1 線段的比

（一）●教學目標

（一）教學知識點 1.知道線段比的概念.2.會計算兩條線段的比.（二）能力訓練要求 會求兩條線段的比.（三）情感與價值觀要求

通過有關比例尺的計算，讓學生懂得數(shù)學在現(xiàn)實生活中的作用，從而增強學生學習數(shù)學的信心.●教學重點

會求兩條線段的比.●教學難點

會求兩條線段的比，注意線段長度的單位要統(tǒng)一.●教學方法 自主探索法 ●教具準備

投影片一張：例題（記作§4.1.1 A）●教學過程

Ⅰ.創(chuàng)設問題情境，引入新課

［師］同學們，大家見到過形狀相同的圖形嗎？請舉出例子來說明.［生］課本P38中兩張圖片；

同一底片洗印出來的大小不同的照片； 兩個大小不同的正方形，等等.［師］對，大家舉出的這些例子都是形狀相同、大小不同的圖形，即為相似圖形.本章我們就要研究相似圖形以及與之有關的問題.從兩個大小不同的正方形來看，它們之所以大小不同，是因為它們的邊長的長度不同，因此相似圖形與對應線段的長度有關，所以我們首先從線段的比開始學習.Ⅱ.新課講解

1.兩條線段的比的概念

［師］大家先回憶什么叫兩個數(shù)的比？怎樣度量線段的長度？怎樣比較兩線段的大小？

［生］兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比，如a÷b記作

ab；度量線段時要選用同一個長度單位，比較線段的大小就是比較兩條線段長度的大小.［師］由比較線段的大小就是比較兩條線段長度的大小，大家能猜想線段的比嗎？ ［生］兩條線段的比就是兩條線段長度的比.［師］對.比如：線段a的長度為3厘米，線段b的長度為6米，所以兩線段a,b的比為3∶6=1∶2,對嗎？

［生］對.［師］大家同意他的觀點嗎？

［生］不同意，因為a、b的長度單位不一致，所以不對.［師］那么，應怎樣定義兩條線段的比，以及求比時應注意什么問題呢？

［生］如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB、CD的長度分別是m、n，那么就說

第四篇：初中數(shù)學《線段的比》課例分析

初中數(shù)學《線段的比》課例分析

一、課堂實錄 S：解分式方程1＝21（學生爬黑板），相互校正。x?1x?1T：這節(jié)課我們學習第4章第一節(jié)《線段的比》，請同學們回憶一下學習幾何的 思想方法，學過哪些幾何定義、定理？首先看學習目標，一齊讀一下。

[評析]一節(jié)課流程應該具有流暢性，知識點與知識點之間銜接自然、舒暢，老師的導至關重要，本節(jié)課老師在學生復習舊知識與講新課之間的銜接顯得不太流暢。或許有簡單導語，效果會好些。

S：齊讀學習目標1和目標2。

T：目標和重點都是：

1、理解兩條線段的比的概念；

2、成比例線段的概念。閱 讀教材101—105頁，請一位同學回答學案上的問題。S：量得AB=4.8cm，CD=1cm，則AB＝4.8cm

CD1T：有沒有問題？

S1：有！4.8不能帶單位，因為書上說比值不帶單位。S2：4.8是錯的，應該是整數(shù)比24。

15T：好！再請一位同學回答第二個問題。

S：用同一個長度單位去量兩條線段，AB、CD的長度分別是m、n，那么就說 這兩條線段的比AB∶CD=m∶n或?qū)懗蒼ABm?CDn，其中AB、CD分別叫這兩條

AB?KCD線段比的前項和后項，如果把m表示成比值k，那么T：有沒有問題？

或AB=k∶CD。

S：有問題，最后一空應為K·CD，而不是k∶CD。T：為什么？ S：因為AB?KCD，去分母得AB=K·CD。

T：對！就是才學的去分母，非常好！下面齊讀兩條線段的比。S：齊讀。

T：（板書）AB∶CD=m∶n，AB?KCD

請思考AB、CD表示什么？m、n表示什么？ S：AB、CD表示線段，m、n表示長度。

T：AB比CD的結果是比值，說明線段的比是一個比值，是一個數(shù)，現(xiàn)在看學案上的挖掘教材：

1、求線段的比一定要統(tǒng)一單位，如學過的比例尺，要將圖上距離和實際距離的單位統(tǒng)一；

2、兩條線段的比是指長度比，是一個沒有單位的正數(shù)。為什么？

S：因為線段的長是正數(shù)。T：看即時練習1~5，誰來講？ S1~S4講練習1~4，S5板書練習5。

T：（點評）練習1中，AB=5，BC=2，所以AC=3；練習2中，比值不是長度，只能說占的份數(shù)；練習3中，AB=5m化為AB=500cm，還有沒有其它方法？ S：可以將CD=200cm化為CD=2m，更簡單。

T和S：練習4中，兩直角邊為3和4，根據(jù)勾股定理算出斜邊為5，設斜邊上 的高為x，用等積法1?3?4?1?5x，得x?12，則斜邊比斜邊上的高為

2255∶12=25∶12。

5S：讀題并板書練習5。同一時刻，小明的身高1.6m，影長2m，古塔的影長18m，求古塔的高為多少米？2∶1.6=10∶8 T：是不是最簡單的？

S5：改2∶1.6=5∶4（而后出現(xiàn)思維障礙）

[評析]當教師發(fā)現(xiàn)學生有困難時，應給一定時間，引導學生思考，不要急于講解。

T：古塔的高怎樣算？小明影長＝5＝K，K又等于古塔影長。

小明身高x44古塔的高S5：設古塔的高為xm，18＝5，所以x＝14.4米

T：老師再簡單敘述一下解題格式，根據(jù)Ｋ值相等列分式方程，再代值計算，分 式方程要檢驗，寫答語。

[評析]老師從線段的比過渡到成比例線段顯得較生硬。不妨打個小總結：剛才我們一起探究 2

了兩條線段的比，那么四條線段的比又是怎么回事呢？讓我們一起來分析這個問題。這樣導入下個知識點可能會好一點。

Ｔ：看解讀教材，請同學來回答。Ｓ：量得a、b、c、d的長為…… Ｓ：則a?1，cb2d?12，即a?c，則a、b、c、d叫成比例線段。

bdＴ：有沒有問題，有沒有其他說法？

Ｓ：有，如果a∶b＝1∶2，即a∶ b等于c∶ d，則a、b、c、d叫成比例線段。Ｔ：分數(shù)就是比，1就是1比2，凡是滿足關系a?c，那么a、b、c、d就是成2bd比例線段，注意對這四條線段有一些規(guī)定，請同學們看一下。Ｔ和Ｓ：a、d叫比例外項，b、c叫比例內(nèi)項，d叫第四比例項。

Ｔ：先寫a、d一前一后兩項，再寫中間兩項，或先寫分子再寫分母，與分數(shù)寫 法相反。如果兩內(nèi)項相同，即a∶b＝b∶d，則b叫a、d的比例中項，在后 面學黃金分割時要用到。提醒同學們比例的項的次序不能隨意改變，請同學 們找關鍵詞，并勾畫出來。

[評析]老師對概念的闡述很到位，利于學生掌握。如果能在學完a、b、c、d成比例線段，寫作ac?后，馬上提問一下學生：m、n、e、f成比例線段，該怎樣寫呢？這樣對中差生有bd幫助。

Ｔ：下面即時練習誰來講？

Ｓ：練習１，因為a、b、c、d成比例，所以a?c，因為a＝5，b＝3，c＝2，所

bd以5?2，解出d?6。

3d5Ｓ：練習２，用比例中項來算，4?c，所以c2=36，c＝±6，因為線段不能為負，c9所以c=6。

T：（板書），還可用b2=ad來算。

S：第3題下列四條線段中，不能成比例的是c。T：這道題中a、b、c、d的順序可不可以調(diào)換？ S：不可以！

T：可以調(diào)換，如果已知a、b、c、d成比例，順序不能調(diào)，但判斷四條能否成比

例順序可以調(diào)換，可以用a比b，也可以用a比c。T：第4題，請同學上黑板來講，誰來講？ S：（板書）mpnp?，mx=np，x?nxm。

T：x為什么不放在上面！S：因為x為第四比例項。

T：誰來講第5題。（有點兒生氣）今天第3組的同學表現(xiàn)不太好，一會兒我要 給每組打分，可能得分也不會高！

[評析]在這種情境下，老師不應急于求成，而應想法激起學生的積極性。

S：（板書）口述，因為BD?3，設BD=3x，DC=5x，3x+5x=5.6，x=0.7，BD=3x=2.1，DC5DC=5x=3.5 T：這樣寫不行，但思路清楚。請同學們將第6題寫在作業(yè)本上，思考比例線段 與成比例線段有什么區(qū)別和聯(lián)系，并作達標測試。下課！

[評析]課堂結束應該對整節(jié)課的知識內(nèi)容有個精練總結。

二、課例分析

今天聽了李富林老師的《線段的比》一課，深受啟發(fā)，感悟頗多。在新課程改革的今天，要求教師的教要主動去適應學生的學，提高課堂教學中學生學習活動的有效性。在新的教育教學觀念推行的今天，要求我們教師徹底轉(zhuǎn)變觀念，把課堂還給學生，在課堂上充分發(fā)揮學生的主動性，教師做好“主導”角色……李老師這節(jié)課充分體現(xiàn)了學生的自主學習，合作學習，探究學習，讓聽課者受益匪淺。

1、將數(shù)學與生活實際相聯(lián)系，感到數(shù)學就在我們身邊。在線段的比的應用中，已知小明的影長與身高，古塔的影長，求古塔的高這一題中，讓學生從生活情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，分析問題，并用同一時刻物高與影長的比值不變，解決了求古塔高的問題，讓學生經(jīng)歷了數(shù)學知識形成的過程，使抽象的數(shù)學問題和具體的生活實際相聯(lián)系，讓學生切實感到數(shù)學就在我們身邊。

2、采用小組合作學習，實現(xiàn)小組同學互助。每個學生都有自己的生活經(jīng)驗和知識基礎，不同學生解決問題的策略有所不同。李老師采用6人小組合作學習，組內(nèi)相互討論交流，并請小組代表發(fā)言或板書，交流解題方法，板書解題過程，促進了學生間的相互學習和相互幫助，從而達到共同進步。

3、教學中注意細節(jié)，讓學生對知識的理解到位。在教學兩條線段的比時，強調(diào)比值K是一個沒有單位的正數(shù)。在計算時，兩條線段的長度單位要統(tǒng)一；在教學成比例線段時，特別注意與比例線段相區(qū)別。在即時練習中，強調(diào)比值是指份數(shù)，而不能當成具體長度。對這些細節(jié)的處理，充分說明老師對教學十分專注，十分投入，對學生特別是中差生的學習有較大幫助。

當然，這節(jié)課也還有一些值得思考的地方，比如如何更加有效地發(fā)揮教師的導向功能，讓學生學得更輕松，讓課堂效果更高呢？我認為可以從以下方面加以努力。

1、從知識基礎和基本技能著手對學生加強指導。在教學時，注重比例線段與成比例線段的區(qū)別與聯(lián)系，將這兩個概念進行對比教學，選用一組恰當習題對比練習；在求古塔的高時，由生活經(jīng)驗得出物高與影長的關系，將兩條線段的比和成比例線段的兩種書寫形式并用，既解決了學什么，又解決了怎樣學的問題。

2、從過程與方法著手加強指導，新課程觀下的教學注重過程與方法的學習與過手，以此增強學生的思維能力和探究能力，從而提高解決問題的能力，在教學中，可以提供一些開放題和變式題，讓學生自主探究，體會一題多解，一題多變，從而培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)，實現(xiàn)能力的真正提高。

3、從興趣、動機等非智力因素著手加強指導。愛因斯坦說：“興趣是最好的老師”。興趣是直接推動學生主動學習的心理動機，有了興趣，學生就能較好地集中注意力。在本課教學中，教師可創(chuàng)設一些有關度量的問題情境，讓學生從生活經(jīng)驗入手，從身邊的數(shù)學入手，過度到抽象的數(shù)學知識的學習，實現(xiàn)從直觀到抽象的自然過度。這種良好的情境創(chuàng)設，會激起學生的學習興趣，激起探究的欲望，對學生的學習有著較好的促進作用。

4、老師應當引導學生進行適時歸納總結。總結反思可以使學生對所學知識有更深入的認識與理解，對知識過手更有效。例如：師生一起探討完即時練習：如果a、b、c、d是成比例線段，其中a=5cm,b=3cm,c=2cm，則線段d=

cm后，可引導學生歸納總結，以后遇上這類題，我們應先把數(shù)學文字a、b、c、d成比例線段，翻譯成數(shù)學等式a?c，再代值計算，此類題就迎刃而解，有了歸

bd納總結，有了反思，定會促進學生數(shù)學成績的提高。

第五篇：線段的比教學設計

4.1《線段的比》第二課時教學設計

教學目標：

知識與技能：1.知道比例線段的概念.2.熟記比例的基本性質(zhì)，并能進行證明和運用.過程與方法：1.通過變化的魚來推導成比例線段，發(fā)展學生的邏輯推理能力.2.通過例題的學習，培養(yǎng)學生的靈活運用能力.情感與能力：認識變化的魚，建立初步的空間觀念，發(fā)展形象思維；并通過有趣的圖形，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣.教學重點：成比例線段的定義，比例的基本性質(zhì)及運用.教學難點：比例的基本性質(zhì)及運用.教學過程

一、創(chuàng)設問題情境，引入新課

多媒體課件顯示：

你還記得八年級上冊中“變化的魚”嗎？如果將點的橫坐標和縱坐標都乘以（或除以）同一個非零數(shù)，那么用線段連接這些點所圍成的圖形的邊長如何變化？

下圖（1）中的魚是將坐標為（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0）的點O，A，B，C，D，B，E，O用線段依次連接而成的；（2）中的魚是將（1）中魚上每個點的橫坐標，縱坐標都乘以2得到的。

（1）線段CD與HL，OA與OF，BE與GM的長度分別是多少？

（2）線段CD與HL的比，OA與OF的比，BE與GM的比分別是多少？它們相等嗎？

（3）在圖（2）中，你還能找到比相等的其他線段嗎？

［學生解決］（1）CD=2，HL=4，OA=42?52?41,OF=102?82?241 BE=12?22?5,GM=22?42?25（2）CD21OA411BE51??,?2?,??.HL42OF412GM252

所以，CDOABE1???.HLOFGM2（3）其他比相等的線段還有

OEABBCBD1????.OMFGGHGL

2二、概念講解：

1．由上面的探究過程給出“比例線段”的定義：

四條線段a,b,c,d中，如果a與b的比等于c與d的比，即

ac?,那么這四bd條線段a,b,c,d叫做成比例線段，簡稱比例線段（proportional segments）.2．比例的基本性質(zhì)

回顧小學學的比例的基本性質(zhì)：如果a,b,c,d四個數(shù)滿足

ac?嗎？ bdac【學生自主探究】若?,則有ad=bc.bdac?,那么ad=bc嗎？bd反過來，如果ad=bc,那么因為根據(jù)等式的基本性質(zhì)，兩邊同時乘以bd,得ad=bc,同理可知 若ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么

ac?.bd3．線段的比和比例線段的區(qū)別和聯(lián)系

線段的比是指兩條線段之間的比的關系，比例線段是指四條線段間的關系.若兩條線段的比等于另兩條線段的比，則這四條線段叫做成比例線段.線段的比有順序性，四條線段成比例也有順序性.如比例，而不是線段a、c、b、d成比例.4．例題

ac?是線段a、b、c、d成bd

圖4－5

aca?bc?d和;?=3,求

bdbdaca?bc?d（2）如果?=k（k為常數(shù)），那么成立嗎？為什么？ ?bdbdac解：（1）由?=3,得a=3b,c=3d.bda?b3b?bc?d3d?d∴=4

=4 ??bbdda?bc?d（2）成立.?bd（1）如圖，已知

ac?=k,得a=bk,c=dk.bda?bbk?bc?ddk?d∴=k+1，=k+1.??bbdda?bc?d∴.（合比性質(zhì)）?bd∵有5.想一想

aca?bc?d成立嗎？為什么？ ?,那么?bdbdacea?c?ea?成立嗎？為什么？（2）如果??,那么bdfb?d?fb（1）如果aca?bc?d成立嗎？為什么.?,那么?bdbdacma?c???ma（4）如果?=?=（b+d+?+n≠0）,那么?成立嗎？為

b?d???nbbdn（3）如果什么.aca?bc?d.?,那么?bdbdacac∵?

∴?1?－1 bdbda?bc?d∴.?bdacea?c?ea?（2）如果??,那么bdfb?d?fbace設??=k bdf解：（1）如果∴a=bk,c=dk,e=fk ∴a?c?ebk?dk?fkk(b?d?f)a???k?

b?d?fb?d?fb?d?fbaca?bc?d ?,那么?bdbdacac∵?

∴?1?+1 bdbda?bc?d∴ ?bda?bc?d由（1）得

?bda?bc?d∴.?bdacm（4）如果?=?=（b+d+?+n≠0）

bdna?c???ma那么?

（等比性質(zhì)）

b?d???nb（3）如果

設acm?=?==k bdna?c???mbk?dk???nkk(b?d???m)a???k?.b?d???nb?d???nb?d???nb∴a=bk,c=dk,?,m=nk ∴

三、課堂練習

aca?bc?da?bc?d和, =成立嗎？ ?=3,求bdbdbda?c?eace2.已知?==2,求（b+d+f≠0）

b?d?ffbd1.已知

四、課時小結

1.熟記成比例線段的定義.2.掌握比例的基本性質(zhì)，并能靈活運用.五、活動與探究

ace?==2（b+d+f≠0）bdfa?c?ea?c?ea?2c?3ea?5e求：（1）;（2）;（3）;（4）.b?d?fb?d?fb?2d?3fb?5f1.已知：2.已知a∶b∶c=4∶3∶2,且a+3b－3c=14.（1）求a,b,c

（2）求4a－3b+c的值.六、課后作業(yè)