第一篇：圓和圓教案

課題：圓和圓的位置關系

山西省平定縣娘子關中學馮向科

教學目標：

了解圓與圓的五種位置關系的定義； 掌握兩圓的相切位置與兩圓的半徑、圓心距的數量之間的關系，相切兩圓的連心線的性質。

1．培養學生的分類和數形結合數學思想；培養學生用運動變化的觀點來分析和發現問題的能力．

2．促使學生勤于思考、樂于探究的習慣、增強學習自信心。

教學重點：

兩圓的相切位置與兩圓的半徑、圓心距的數量之間的關系．

教學難點：

兩圓相切時分類討論 教具：圓規、圓片 教學步驟：

（一）復習、引出問題

1．復習：直線和圓有幾種位置關系?各是怎樣定義的?

（教師主導，學生回憶、回答）直線和圓有三種位置關系，即直線和圓相離、相切、相交．各種位置關系是通過直線與圓的公共點的個數來定義的 2．引出問題：平面內兩個圓，它們作相對運動，將會產生什么樣的位置關系呢?

（二）觀察、分類，得出概念

1、讓學生觀察、分析、比較，分別得出兩圓：外離、外切、相交、內切、內含(包括同心圓)這五種位置關系，準確給出描述性定義：

(1)外離：兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離．(圖(1))

(2)外切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切．這個唯一的公共點叫做切點．(圖(2))

(3)相交：兩個圓有兩個公共點，此時叫做這兩個圓相交．(圖(3))

(4)內切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內切．這個唯一的公共點叫做切點．(圖(4))

(5)內含：兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內含(圖(5))．兩圓同心是兩圓內含的一個特例．(圖(6))

2、歸納：

(1)兩圓外離與內含時，兩圓都無公共點．

(2)兩圓外切和內切統稱兩圓相切，即外切和內切的共性是公共點的個數唯一

(3)兩圓位置關系的五種情況也可歸納為三類：相離(外離和內含)；相交；相切(外切和內切)．

教師組織學生歸納，并進一步考慮：從兩圓的公共點的個數考慮，無公共點則相離；有一個公共點則相切；有兩個公共點則相交．除以上關系外，還有其它關系嗎?可能不可能有三個公共點?

結論：在同一平面內任意兩圓只存在以上五種位置關系．

（三）分析、研究

1、相切兩圓的性質．

讓學生觀察連心線與切點的關系，分析、研究，得到相切兩圓的連心線的性質：

如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上．

這個性質由圓的軸對稱性得到，有興趣的同學課下可以考慮如何對這一性質進行證明

2、兩圓位置關系的數量特征．

設兩圓半徑分別為R和r．圓心距為d，組織學生研究兩圓的五種位置關系，r和d之間有何數量關系．（圖形略）

兩圓外切

兩圓內切 d＝R+r； d＝R-r(R＞r);

說明：注重“數形結合”思想的教學．

（四）應用、練習

例1： 如圖，⊙O的半徑為5厘米，點P是⊙O外一點，OP=8厘米。求：以P為圓心作⊙P與⊙O相切，圓⊙P的半徑是多少?

解：（1）設⊙P與⊙O外切與點A，則PA=PO-OA ∴PA=3cm．

（2）設⊙P與⊙O內切與點B，則 PB=PO+OB ∴PB=1 3cm． 綜上所述，圓⊙P的半徑是3cm或1 3cm。

練習

1、⊙O的半徑為5厘米，OP=1厘米，以P為圓心作⊙P與⊙O相切，圓⊙P的半徑是多少?

2、⊙O的半徑為5厘米，⊙P的半徑為3厘米，以P為圓心作⊙P與⊙O相切，PO是多少?

3、⊙O的半徑為5厘米，⊙P的半徑為3厘米，⊙P與⊙O外切，半徑為7厘米的圓和兩圓相切，這樣的圓能做幾個？半徑為5厘米呢？半徑為8厘米呢？

4、⊙O的半徑為15厘米，⊙P的半徑為20厘米，⊙P與⊙O相交與A、B兩點，AB=24。（1）求PO的長？（2）求∠PAO的度數？（3）求四邊形PAOB的面積？

（五）小結

這節課你學到了什么？是怎樣學到的？

（六）作業

《圓和圓的位置關系》示范課教學反思

-------用數學眼光開生活

山西省平定縣娘子關中學馮向科

我在教學能手示范課中講授了《圓和圓的位置關系》一課。感受到學生在數學和生活的聯系方面有欠缺，缺乏學一致用。下面談談在示范課后我的一些實踐的心得體會。

在生活中挖掘數學，讓數學服務于生活，讓學生學習有用的數學，以人為本，人人學有價值的數學，人人都能獲得必需的數學，不同的人在數學上得到不同的發展。這是數學新課程標準的宗旨，它通過加強過程性，體驗性目標，以及對教材、教學、評價等方面的指導，引導學生主動參與、親身實踐、獨立思考、合作探究、獲取新知識的能力，分析和解決問題的能力，以及交流與合作的能力，并且采用多種評價方式，促進學生發展，體現著改革與創新精神，數學新課程標準為未來的數學教學指明了方向。

一 培養學生把生活經驗和數學知識相聯系的能力

數學來源于生活，生活中處處有數學。我們的日常生活就是學習數學的大課堂，是探索問題的廣闊天地，把所學的知識運用到生活實踐中，是數學學習的最終目的。很多數學規律、數學思想方法都可以在生活中找到它們的原型，在平時生活中，學生很難從現實中尋找數學題材，把要學的數學知識與學生的生活實際有機結合，如舉出生活中兩圓不同位置關系的實例，學生難以描述。

二、創設情景、貼近生活、激發興趣

結合學生身邊的實例導入新課，不但可提高學生的學習興趣，激發求知的內驅力，而且可使所要學習的數學問題具體化，形象化。在新知的教學時，如果能結合學生的日常生活，創設學生熟悉與感興趣的具體生活活動情況，就能引導學生通過聯想、類比，溝通從具體的感性實踐到抽象概括的道路，加深對新知的理解。因此在教學中如何使學生“領悟”出數學知識源于生活，又服務于生活，能用數學眼光觀察生活實際，培養解決實際問題的能力，是每位數學教師重視的問題。教師選取貼近學生生活實際的題材，以喚起學生的學習興趣，使學生能憑借生活經驗，積極參與嘗試探究。因此當學生掌握了某項數學知識后，可以有意識地創設一些把所學知識運用到生活實際的環境。

如在導入《直線和圓的位置關系》時，這樣問學生：小朋友，你們看過日出

嗎？太陽和地平線在開始時候是怎樣的位置關系？后來怎么變化的呢？

三、引導實踐、總結規律、寓教育樂

數學源于實踐，又服務于實踐。為此在數學教學中，我們要創設運用數學知識的條件給學生以實際活動的機會，讓學生親自參與實踐，摸一摸，擺一擺，拼一拼，移一移，看一看，想一想，形成豐富的感性材料，再經過大腦加工，由表及里，由淺入深，去偽存真地辯證分析，教學效果事半功倍。如這節課通過讓學生動手實踐，圓和圓的位置關系、兩圓相切是圓心距和兩圓半徑的關系等結論，學生很快發現其中的奧秘，總結出規律。如果教師不讓學生動手實踐，而是一味滔滔不絕地講解分析，學生只能是“知其然而不知其所以然”，聽得索然寡味。數學知識是抽象的，教學不得法，會挫傷學生的學習積極性，會扼殺學生的實踐力，會抑制學生的聰明才智。

四、引導學生發現問題、提出問題、解決問題

新課程標準很重視在教學過程中，學生的主動參與，學生能獨立思考并能一起合作探究，能提出有價值的問題，并能通過個人的或大家的智慧解決問題。老師教給學生的是一種能力而不是問題的答案。教學中教師的作用重在于“導”，具體應體現在啟發、點撥、設疑和解惑上。能讓學生先說的盡可能讓學生說，能讓學生操作的盡可能讓學生操作，能讓學生討論的盡可能讓學生討論，力求為學生的主動學習創設情境、營造氛圍。讓學生有機會成為“問”的主體，成為“信息源”，那么，學生學習的積極性和主動性將會被大大激發。如做完練習

3、⊙O的半徑為5厘米，⊙P的半徑為3厘米，⊙P與⊙O外切，半徑為7厘米的圓和兩圓相切，這樣的圓能做幾個？半徑為9厘米呢？半徑為8厘米呢？后。有學生問⊙O的半徑為a厘米，⊙P的半徑為b厘米，⊙P與⊙O外切，半徑＞（a+b）厘米的圓和⊙O、⊙P兩圓相切，這樣的圓能做幾個？半徑＜（a+b）厘米呢？半徑為（a+b）厘米呢？

數學知識源于生活而最終服務于生活。在今后教學中，我還要經常從現實中尋找數學題材，把要學的數學知識與學生的生活實際有機結合，注意引導學生動手實踐，親身體驗，理解、鞏固、運用數學知識，解決數學問題。

第二篇：圓 教案

圓教案

一、本章知識框架

二、本章重點

1．圓的定義：

(1)線段OA繞著它的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓．

(2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合． 2．判定一個點P是否在⊙O上． 設⊙O的半徑為R，OP＝d，則有 d>r點P在⊙O 外； d＝r點P在⊙O 上； d

(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角．

圓心角的性質：圓心角的度數等于它所對的弧的度數．

(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角． 圓周角的性質：

①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半． ②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等． ③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角．

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形． ⑤圓內接四邊形的對角互補；外角等于它的內對角．

(3)弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角． 弦切角的性質：弦切角等于它夾的弧所對的圓周角． 弦切角的度數等于它夾的弧的度數的一半． 4．圓的性質：

(1)旋轉不變性：圓是旋轉對稱圖形，繞圓心旋轉任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心．

在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應的其他各組分別相等．

(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經過圓心的任一直線都是它的對稱軸． 垂徑定理及推論：

(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．

(2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．(3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧．

(4)平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夾的弧相等．

5．三角形的內心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內心：是三角形三個角平分線的交點，它是三角形內切圓的圓心，在三角形內部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示．

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三邊高線的交點． 6．切線的判定、性質：(1)切線的判定：

①經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． ②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線．(2)切線的性質：

①圓的切線垂直于過切點的半徑．

②經過圓心作圓的切線的垂線經過切點． ③經過切點作切線的垂線經過圓心．

(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長．

(4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角． 7．圓內接四邊形和外切四邊形

(1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內接四邊形，圓內接四邊形對角互補，外角等于內對角．

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等． 8．直線和圓的位置關系：

設⊙O 半徑為R，點O到直線l的距離為d．

(1)直線和圓沒有公共點直線和圓相離d>R．

(2)直線和⊙O有唯一公共點直線l和⊙O相切d＝R．(3)直線l和⊙O 有兩個公共點直線l和⊙O 相交dr)，圓心距

．

(1)外離(2)含(3)外切(4)dR＋r． 沒有公共點，且的每一個點都在外部

內有唯一公共點，除這個點外，每個圓上的點都在另一個圓外部d＝R＋r． 的每個點都在內部有唯一公共點，除這個點外，內切d＝R－r．

相交(5)有兩個公共點R－r

10．兩圓的性質：

(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線．

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經過切點． 11．圓中有關計算： 圓的面積公式：，周長C＝2πR．

圓心角為n°、半徑為R的弧長．

圓心角為n°，半徑為R，弧長為l的扇形的面積弓形的面積要轉化為扇形和三角形的面積和、差來計算．

．

圓柱的側面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為l的圓柱的體積為面積為2πRl，全面積為

．，側圓錐的側面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為l，高為h的圓錐的側面積為πRl，全面積為【經典例題精講】

例1 如圖23-2，已知AB為⊙O直徑，C為上一點，CD⊥AB于D，∠OCD的平分線CP交⊙O于P，試判斷P點位置是否隨C點位置改變而改變？，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有

．

分析：要確定P點位置，我們可采用嘗試的辦法，在上再取幾個符合條件的點試一試，觀察P點位置的變化，然后從中觀察規律． 解：

連結OP，P點為中點．

小結：此題運用垂徑定理進行推斷． 例2 下列命題正確的是()A．相等的圓周角對的弧相等 B．等弧所對的弦相等 C．三點確定一個圓

D．平分弦的直徑垂直于弦． 解：

A．在同圓或等圓中相等的圓周角所對的劣弧相等，所以A不正確． B．等弧就是在同圓或等圓中能重合的弧，因此B正確． C．三個點只有不在同一直線上才能確定一個圓． D．平分弦(不是直徑)的直徑垂直于此弦． 故選B．

例3 四邊形ABCD內接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D． 分析：圓內接四邊形對角之和相等，圓外切四邊形對邊之和相等． 解：

設∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，則∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x． x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°．

∴∠D＝90°．

小結：此題可變形為：四邊形ABCD外切于⊙O，周長為20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的長． 例4 0

分析：測量鐵環半徑的方法很多，本題主要考查切線長性質定理、切線性質、解直角三角形的知識進行合作解決，即過P點作直線OP⊥PA，再用三角板畫一個頂點為A、一邊為AP、大小為60°的角，這個角的另一邊與OP的交點即為圓心O，再用三角函數知識求解．

解：

．

小結：應用圓的知識解決實際問題，應將實際問題變成數學問題，建立數學模型． 例5 已知

相交于A、B兩點，的半徑是10，的半徑是17，公共弦AB＝16，求兩圓的圓心距． 解：分兩種情況討論：(1)若位于AB的兩側(如圖23-8)，設

與AB交于C，連結又∵AB＝16 ∴AC＝8． 在在故(2)若，則垂直平分AB，∴

．

中，中，．

． ．

位于AB的同側(如圖23-9)，設

． 的延長線與AB交于C，連結∵垂直平分AB，∴．

又∵AB＝16，∴AC＝8． 在在故中，中，．

． ．

注意：在圓中若要解兩不等平行弦的距離、兩圓相切、兩圓相離、一個點到圓上各點的最大距離和最小距離、相交兩圓圓心距等問題時，要注意雙解或多解問題．

三、相關定理：

1.相交弦定理

圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經過圓內一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等）

說明：幾何語言：

若弦AB、CD交于點P，則PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

例1． 已知P為⊙O內一點，P任作一弦AB，設為。，⊙O半徑為，過，則關于的函數關系式解：由相交弦定理得，即，其中 2.切割線定理

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項

說明：幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點P，則PC^2=PA·PB 例2． 已知PT切⊙O于T，PBA為割線，交OC于D，CT為直徑，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB長。

解：設TD=，BP=，由相交弦定理得：即由切割線定理，理，∴

∴，（舍）由勾股定∴

四、輔助線總結 1.圓中常見的輔助線

1）．作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等．

2）．作弦心距，利用垂徑定理進行證明或計算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關系進行證明．

3）．作半徑和弦心距，構造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進行計算．

4）．作弦構造同弧或等弧所對的圓周角．

5)．作弦、直徑等構造直徑所對的圓周角——直角． 6)．遇到切線，作過切點的弦，構造弦切角． 7)．遇到切線，作過切點的半徑，構造直角．

8)．欲證直線為圓的切線時，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點時，常連結公共點和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點時，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑．

9)．遇到三角形的外心常連結外心和三角形的各頂點．

10)．遇到三角形的內心，常作：(1)內心到三邊的垂線；(2)連結內心和三角形的頂點．

11)．遇相交兩圓，常作：(1)公共弦；(2)連心線． 12)．遇兩圓相切，常過切點作兩圓的公切線．

13)．求公切線時常過小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一條直角邊．

2、圓中較特殊的輔助線

1)．過圓外一點或圓上一點作圓的切線． 2)．將割線、相交弦補充完整． 3)．作輔助圓．

例1如圖23-10，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的長為()

A．2 B．3 C．4 D．5 分析：連結OC，由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB知CD＝DE．設AE＝x，則在Rt△CEO中，則，(舍去)．，即，答案：A．

例2如圖23-11，CA為⊙O的切線，切點為A，點B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于()

A．35° B．90° C．110° D．120°

分析：由弦切角與所夾弧所對的圓心角的關系可以知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C．

例3 如果圓柱的底面半徑為4cm，母線長為5cm，那么側面積等于()A． B．

C．

D．

分析：圓柱的側面展開圖是矩形，這個矩形的一邊長等于圓柱的高，即圓柱的母線長；另一邊長是底面圓的周長，所以圓柱的側面積等于底面圓的周長乘以圓柱的高，即

．答案：B．

例4 如圖23-12，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點，延長CM交⊙O于E，且EM>MC，連結OE、DE，．

求：EM的長．

簡析：(1)由DC是⊙O的直徑，知DE⊥EC，于是．設EM＝x，則AM·MB＝x(7－x)，即．所以

．而EM>MC，即EM＝4．

例5如圖23-13，AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點B，PA交⊙O于點C，PF分別交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是關于x的方程

(其中m為實數)的兩根．

(1)求證：BE＝BD；(2)若，求∠A的度數．

簡析：(1)由BE、BD是關于x的方程的兩根，得，則m＝－2．所以，原方程為(2)由相交弦定理，得

．得，即

．故BE＝BD．

．而PB切⊙O于點B，AB為⊙O的直徑，得∠ABP＝∠ACB＝90°．又易證∠BPD＝∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，則，所以，所以

．在Rt△ACB中，故∠A＝60°．

第三篇：圓——教案

圓的定義

目標：探索圓的兩種定義，理解并掌握弧、弦、優弧、劣弧、半圓等基本概念，能夠從圖形中識別

1、想想生活中的圓：摩天輪、呼啦圈、自行車、圓月、硬幣、瓶蓋、鐘面、圓桌、鈕扣、圓形餅干、鐵餅

2、動手畫圓：在一個平面內一條線段OA繞它的一個端點O旋轉一周，另一個端點形成的圖形就是圓．

3、第一定義：圓：在一個平面內，一條線段OA繞它的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫作圓；

圓心：固定的端點O叫作圓心；

半徑：線段OA的長度叫作這個圓的半徑．

圓的表示方法：以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．（1）圓上各點到定點（圓心）的距離都等于定長（半徑）；（2）到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上．

第二定義：所有到定點的距離等于定長的點組成的圖形叫作圓．

4、弦：連接圓上任意兩點的線段叫作弦； 直徑：經過圓心的弦叫作直徑；

弧：圓上任意兩點間的部分叫作圓弧，簡稱弧；

?弧的表示方法：以A、B為端點的弧記作AB，讀作“圓弧AB”或“弧AB”；

半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫作半圓．

?優弧：大于半圓的弧叫作優弧，用三個字母表示，如圖3中的ABC； ?劣弧：小于半圓的弧叫作劣弧，如圖3中的BC．

5、思考：車輪為什么做成圓形？如果做成正方形會有什么結果？

把車輪做成圓形，車輪上各點到車輪中心（圓心）的距離都等于車輪的半徑，當車輪在平面上滾動時，車輪中心與平面的距離保持不變，因此當車輛在平坦的路上行駛時，坐車的人會感覺到非常平穩；如果做成其他圖形，比如正方形，正方形的中心（對角線的交點）距離地面的距離隨著正方形的滾動而改變，因此中心到地面的距離就不是保持不變，因此不穩定．

6、如何在操場上畫一個半徑是5 m的圓？

7、從樹木的年輪，可以很清楚地看出樹生長的年齡．如果一棵20年樹齡的紅杉樹的樹干直徑是23 cm，這棵紅杉樹平均每年半徑增加多少？

垂直于弦的直徑

目標：探索圓的對稱性，進而得到垂直于弦的直徑所具有的性質； 能夠利用垂直于弦的直徑的性質解決相關實際問題．

1、動手活動：用紙剪一個圓，沿著圓的任意一條直徑對折，重復做幾次，你發現了什么？

沿著圓的任意一條直徑對折，直徑兩旁的部分能夠完全重合，由此可以發現：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．

2、動手活動：第一步，在一張紙上任意畫一個⊙O，沿圓周將圓剪下，把這個圓對折，使圓的兩半部分重合；

第二步，得到一條折痕CD；

第三步，在⊙O上任取一點A，過點A作CD折痕的垂線，得到新的折痕，其中點M是兩條折痕的交點，即垂足； 第四步，將紙打開，新的折痕與圓交于另一點B垂直于弦的直徑的性質：

（1）垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧；

（2）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．

?例１：AB所在圓的圓心是點O，過O作OC⊥AB于點D，若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圓的半徑．

弦長、半徑、拱形高、弦心距（圓心到弦的距離）四個量中，只需要知道兩個量，其余兩個量就可以求出來．

??例２：已知AB，請你利用尺規作圖的方法作出AB的中點，說出你的作法．

3、某條河上有一座圓弧形拱橋ACB，橋下面水面寬度AB為7．2米，橋的最高處點C離水面的高度2．4米．現在有一艘寬3米，船艙頂部為方形并高出水面2米的貨船要經過這里，問：這艘船是否能夠通過這座拱橋？說明理由．

GCFMAHEDOB

連接AO、GO、CO，由于弧的最高點C是弧AB的中點，所以得到 OC⊥AB，OC⊥GF，根據勾股定理容易計算 OE=1．5米，OM=3．6米．

所以ME=2．1米，因此可以通過這座拱橋．

4、銀川市某居民區一處圓形下水管道破裂，修理人員準備更換一段新管道．如圖7所示，污水水面寬度為60 cm，水面至管道頂部距離為10 cm，問修理人員應準備內徑多大的管道?

連接OA，過O作OE⊥AB，垂足為E，交圓于F，1則AE=2AB = 30 cm．令⊙O的半徑為R，則OA=R，OE＝OF-EF＝R-10．

在Rt△AEO中，OA=AE+OE，即R=30+(R-10)． 解得R =50 cm．

修理人員應準備內徑為100 cm的管道．

222

弧、弦、圓心角

目標：（1）圓的旋轉不變性；

（2）圓心角、弧、弦之間相等關系定理；

動手活動：(1)在兩張透明紙上，作兩個半徑相等的⊙O和⊙O′，沿圓周分別將兩圓剪下；(2)在⊙O和⊙O′上分別作相等的圓心角∠AOB和∠A′O′B′，如圖1所示，圓心固定．

注意：在畫∠AOB與∠A′O′B′時，要使OB相對于OA的方向與O′B′相對于O′A′的方向一致，否則當OA與OA′重合時，OB與O′B′不能重合．

(3)將其中的一個圓旋轉一個角度．使得OA與O′A′重合． 在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．

（1）在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等；

（2）在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優（劣）弧相等．

AB??AC，∠ACB＝60°，求證∠AOB=∠AOC=∠BOC． 例

1、在⊙O中，?AOBC

例

2、AB是⊙O的直徑，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度數．

思考：定理“在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等”中，可否把條件“在同圓或等圓中”去掉？為什么？

圓周角

目標：1．了解圓周角與圓心角的關系．

2．探索圓周角的性質和直徑所對圓周角的特征． 3．能運用圓周角的性質解決問題．

問題1：同學甲站在圓心O的位置，同學乙站在正對著玻璃窗的靠墻的位置C，他們的視角（?AOB和?ACB）有什么關系？

問題2：如果同學丙、丁分別站在其他靠墻的位置D和E，他們的視角（?ADB和?AEB）和同學乙的視角相同嗎？

同弧所對的圓周角的度數沒有變化，并且它的度數恰好等于這條弧所對的圓心角的度數的一半． 問題3：半圓（或直徑）所對的圓周角是多少度？90°的圓周角所對的弦是什么? 例：如圖，⊙O的直徑 AB 為10 cm，弦 AC 為6 cm，∠ACB 的平分線交⊙O于 D，求BC、AD、BD的長．

AD=BD

ACOBD

（一）圓的有關概念

1、圓（兩種定義）、圓心、半徑；

2、圓的確定條件：

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小； ②不在同一直線上的三個點確定一個圓。

3、弦、直徑；

4、圓弧（弧）、半圓、優弧、劣弧；

5、等圓、等弧，同心圓；

6、圓心角、圓周角；

（二）圓的基本性質

1、圓的對稱性

①圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。*②圓是中心對稱圖形，圓心是對稱中心。

2、圓的弦、弧、直徑的關系

①垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

* [引申] 一條直線若具有：Ⅰ、經過圓心；Ⅱ、垂直于弦；Ⅲ、平分弦；Ⅳ、平分弦所對的劣弧；Ⅴ、平分弦所對的優弧，這五個性質中的任何兩條，必具有其余三條性質，即“知二推三”。（注意：具有Ⅰ和Ⅲ時，應除去弦為直徑的情況）

3、弧、弦、圓心角的關系

①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。

②在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等。③在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧相等。

歸納：在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量也相等。

4、圓周角的性質

①定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。②在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等。

③推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。

第四篇：《圓和扇形》教案

《圓和扇形》教案

教學內容

教材P1~9頁

教學目標

1、通過觀察、操作，認識圓，會用圓規畫圓。初步認識扇形。

2、在探索圓的特征、畫圓以及設計圖案的過程中，進一步發展空間觀念。

3、能用有關圓的知識解決一些簡單的實際問題，能表達解決問題的過程，并嘗試解釋所得的結果。

4、對周圍環境中與圓有關的事物有好奇心，能主動參與數學活動，獲得數學活動經驗，感受圓及圖案的美。

教學準備

多媒體課件

教學過程

一、圓的認識

1、例1。

創設了富有童趣的動物汽車設計大賽的問題情境，呈現了小鴨子、米老鼠和小猴子設計的三角形、正方形、圓等三種不同形狀車輪的汽車，提出“你喜歡誰的設計”“說說你的理由”，讓學生借助生活經驗思考、想象并充分表達自己的意見，使學生知道圓形車輪比三角形、正方形車輪易滾動并且平穩，感受車輪設計‘成圓形的道理，初步體會圓的特征，激發學生對圓的興趣。接著讓學生認識并舉出身邊的面是圓形的物品，進一步體會圓與現實生活的密切聯系。

2、例2。

在認識圓的特征及各部分名稱時，教材設計了三個層次的活動。活動一，用硬幣或圓柱體在紙上描圓，并剪下來。活動二，將圓形紙片按不同方向多次對折并觀察對折后的圓形紙片，交流自己的發現。通過交流，認識圓的軸對稱性、圓有無數條對稱軸以及所有折痕都相交于一點等。活動三，認識圓心、直徑、半徑及其字母表示O。

3、議一議。

設計了兩個問題，通過討論，使學生認識到：同一個圓里，直徑、半徑有無數條；直徑是半徑的2倍或半徑是直徑的一半。

二、圖案設計

1、例1。

教材安排了三個活動。活動一，欣賞圖案。教材呈現了四幅利用圓設計成的漂亮圖案，讓學生欣賞，體會圖案的美。活動二，模仿畫圖案。教材以第一個圖案為例，用四幅圖清晰地介紹了用圓規和直尺設計這個圖案的具體過程。教學中，教師可按照書中的步驟示范畫出圖案（1）并涂色。然后，讓學生試畫圖案（2）并把試畫的圖案讓大家欣賞，初步獲得成功的體驗。活動三，獨立設計圖案。讓學生設計兩個自己喜歡的圖案并把最得意的作品在全班展示，感受成功的樂趣。

三、扇形

1、例題。

教材在四個同樣大的圓中，按照由小到大的順序，分別涂色呈現了四個不同的扇形，讓學生觀察、想象、描述這些圖形的樣子。通過觀察、交流，使學生感受到這些圖形就像一把打開的扇子，初步建立扇形的表象。在此基礎上說明這些圖形就是扇形。接著，通過說一說“扇形有什么特征”引導學生從數學角度繼續觀察，使學生知道扇形都有一個角，角的頂點在圓心，扇形是由兩條半徑和圓上的一段曲線圍成的。從而幫助學生清晰地建立起扇形的表象，初步認識扇形的特征。

四、鞏固練習

1、完成第3頁的練一練。

2、完成第5頁的練一練。

3、完成第9頁的練一練。

五、課后總結

第五篇：認識圓教案

《認識圓》

一、教材說明；

九年義務教育六年制小學數學第十一冊《圓的認識》

二、教學目標；

1、使學生認識圓，掌握圓的特征；了解圓的各部分名稱。

2、會用字母表示圓心、半徑、直徑；理解并掌握在同圓（或等圓）中直徑與半徑的關系。

3、能正確熟練地掌握用圓規畫圓的操作步驟。

4、培養學生動手操作、主動探究、自主發現、交流合作的能力。

三、教學流程；

1、導入新課

（1）學生活動（邊玩邊觀察）。

①球、球相碰玩具表演。②線系小球旋轉玩具表演。

（2）師生對話（學生可相互討論后回答）。

教師：日常生活中或周圍的物體上哪里有圓？

學生：在鐘面、圓桌、人民幣硬幣上……都有圓。

教師：請同學們用手摸一摸，體會一下有什么感覺？

學生用眼看一看、用手摸一摸，感覺：……閉封的、彎曲的。

教師：這（指圓）和我們以前學過的平面圖形，有什么不同呢？

學生：以前我們學過的平面圖形如長方形、正方形、三角形、平行四邊形和梯形的共同特征，都是由線段圍成的直線圖形。而我們現在看到的（指圓）這種圖形是由曲線圍成的圖形。

教師（鼓勵表揚學生）：對，這個圖形就是圓，你能說說什么是圓嗎？

學生討論后回答：圓是平面上的一種曲線圖形。

總結：我們生活中有這么多的圓，讓我們來好好認識一下圓這個圖形。

2、探索新知。（1）探究——圓心

① 徒手畫圓。

教師請兩個學生一同在黑板上徒手畫圓，然后請同學們評一評（3個人）誰畫的圓好呢？

②用工具畫圓。教師請同學們用自己喜歡的工具畫圓。學生畫圓：a.用圓規畫圓；b.用圓形物體畫圓。（畫圓方法任學生自選）

③找圓心。

學生動手剪一剪、折一折，再議一議、找一找……自我探索發現圓的“圓心”。

教師引導學生歸納小結：圓中心的一點叫做圓心，圓心用字母“O”表示。（學生在圓形紙片上點出圓心，標出字母。）（2）探究——圓的直徑、半徑及其關系。

讓學生用刻度尺量一量圓心到圓上任意一點的距離；請學生報出測量的結果，并想一想發現了什么？（引導學生得出：圓心到圓上任意一點的距離都相等。把有關數據寫在黑板上）

教師在黑板的圖中連接圓心和圓上任意一點的線段，告訴學生這線段叫做半徑。

讓學生在自己的學具圓里用筆畫出幾條半徑，再量一量它們的長度。問：你還發現什么？（引導學生得出：在同一個圓里，可畫無數條半徑，所有的半徑都相等。）再讓學生量一量在自己的學具圓用筆畫的通過圓心的線段（折痕），問：通過測量，你又發現什么？（學生得出：這些線段都相等。把有關數據寫在黑板上。）

說明：我們把圓對折時，看到每條折痕都通過圓心。這些通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。直徑一般用字母d表示。

師：直徑與半徑之間有什么關系？

①分組探究，合作學習。

教師提出學習活動要求：先獨立進行，再分組交流。通過動手“折、量、畫、數、比（估）、看、議”等，總之隨你用什么方法都可以，探索圓的直徑、半徑及其關系。分組匯報，全班交流。

②重點請學生說明你是怎樣發現的，展示發現的過程，讓同學們評價。

③操作檢驗，內化提升。

a.考考你的判斷力。用彩色筆標出下面各圓的半徑和直徑。（課本58頁做一做第1題）b.對答游戲（每兩個學生一組）：你說直徑長度，我答半徑長度；你說半徑長度，我答直徑長度。c.邊體驗，邊說理：為什么車輪都要做成圓的，車軸應安裝在哪里？ d.合作操作探索。

（3）自我習作——用圓規畫圓。①學生自學：用圓規畫圓的方法和步驟。

②學生操作：用圓規畫圓。（自我體會，怎樣才能畫對、畫好。）

③按要求畫圓。

a.半徑2厘米 b.半徑2.5厘米 c.直徑4厘米（比較a、c，你發現了什么？）

b.通過按要求畫圓并觀察你發現了什么？（教師請學生畫3個同心圓、3個大小不等的非同心圓。引導學生觀察、討論、比較并歸納：圓心決定圓的位置；半徑決定圓的大小。）

c．體育老師在操場上的圓怎樣畫？（學生討論，全班交流。）

3、課堂小結。

教師啟發學生自我小結本節課的學習收獲：知道了什么？怎么知道的？鼓勵學生質疑：你還想知道什么？……

4、創新思維訓練游戲。

教師：一個圓很美，大小不同的圓在一起組成美麗的圖案更美。請大家設計由圓（或圓和其它平面圖形）組成的圖案，并寫出創意，帶到學校與同學交流。