第一篇：2.示范教案(3.2.1 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法)

3.2 一元二次不等式及其解法

3.2.1 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法

從容說課

本節(jié)課是人民教育出版社A版必修數(shù)學(xué)5第三章不等式第二大節(jié)3.2一元二次不等式及其解法的第一節(jié)課.一元二次不等式及其解法教學(xué)分為三個(gè)學(xué)時(shí)，第一個(gè)學(xué)時(shí)先由師生共同分析日常生活中的實(shí)際問題來引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步驟、求解一元二次不等式的程序框圖.確定一元二次不等式的概念和解法，以此激發(fā)學(xué)生對(duì)科學(xué)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度.通過具體例題的分析和求解，在這些例題中設(shè)置思考項(xiàng)，讓學(xué)生探究，層層鋪設(shè)，以便讓學(xué)生深刻理解一元二次不等式的概念，有利于一元二次不等式的解法的教學(xué).講述完一元二次不等式的概念后，再回歸到先前的具體事例，總結(jié)一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關(guān)系和一元二次不等式解法的步驟，由學(xué)生用表格將一元二次不等式解法與二次函數(shù)的數(shù)形關(guān)系的對(duì)應(yīng)關(guān)系用圖表形式表示出來；然后用一個(gè)程序框圖把求解一般一元二次不等式的過程表示出來，根據(jù)這些圖表，得出一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關(guān)系兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系，再輔以新的例題鞏固.整個(gè)教學(xué)過程，探究一元二次不等式的概念，揭示一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關(guān)系本質(zhì)，引出一元二次不等式解法的步驟和過程，并及時(shí)加以鞏固，同時(shí)讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)美，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

教學(xué)重點(diǎn) 1.從實(shí)際問題中抽象出一元二次不等式模型.

2.圍繞一元二次不等式的解法展開，突出體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想. 教學(xué)難點(diǎn) 理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式的關(guān)系. 教具準(zhǔn)備 多媒體及課件，幻燈片三張

三維目標(biāo)

一、知識(shí)與技能

1.經(jīng)歷從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式模型的過程;

2.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系; 3.會(huì)解一次二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，嘗試設(shè)計(jì)求解的程序框圖.

二、過程與方法

1.采用探究法，按照思考、交流、實(shí)驗(yàn)、觀察、分析、得出結(jié)論的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué); 2.發(fā)揮學(xué)生的主體作用，作好探究性實(shí)驗(yàn); 3.理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

三、情感態(tài)度與價(jià)值觀

1.通過利用二次函數(shù)的圖象來求解一元二次不等式的解集，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想;

2.通過研究函數(shù)、方程與不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的，樹立辯證的世界觀.

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

師 上網(wǎng)獲取信息已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ畹闹匾M成部分，因特網(wǎng)服務(wù)公司（Internet Service Provider）的任務(wù)就是負(fù)責(zé)將用戶的計(jì)算機(jī)接入因特網(wǎng)，同時(shí)收取一定的費(fèi)用.

某同學(xué)要把自己的計(jì)算機(jī)接入因特網(wǎng)，現(xiàn)有兩家ISP公司可供選擇，公司A每小時(shí)收費(fèi)1.5元；公司B的收費(fèi)原則是在用戶上網(wǎng)的第一小時(shí)內(nèi)收費(fèi)1.7元，第二小時(shí)內(nèi)收費(fèi)1.6元，以后每小時(shí)減少0.1元.（若用戶一次上網(wǎng)時(shí)間超過17小時(shí)，按17小時(shí)計(jì)算） 一般來說，一次上網(wǎng)時(shí)間不會(huì)超過17小時(shí)，所以，不妨一次上網(wǎng)時(shí)間總小于17小時(shí)，那么，一次上網(wǎng)在多長(zhǎng)時(shí)間以內(nèi)能夠保證選擇公司A比選擇公司B所需費(fèi)用少？ 假設(shè)一次上網(wǎng)x小時(shí)，則A公司收取的費(fèi)用為1.5x，那么B公司收取的費(fèi)用為多少？怎樣得來？ 生 結(jié)果是x(35?x)20x(x?1)x(35?x)1.7x?(?0.1)?.

220x(35?x)20元，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，其首項(xiàng)為1.7，公差為-0.1，項(xiàng)數(shù)為x的和，即師 如果能夠保證選擇A公司比選擇B公司所需費(fèi)用少，則如何列式？ 生 由題設(shè)條件應(yīng)列式為推進(jìn)新課

師 因此這個(gè)問題實(shí)際就是解不等式：x-5x＜0的問題.這樣的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我們下面要學(xué)習(xí)討論的重點(diǎn).

什么叫做一元二次不等式？

含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a≠0）.例如2x2-3x-2＞0，3x2-6x＜-2，-2x2+3＜0等都是一元二次不等式.

那么如何求解呢？

師 在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函數(shù)三者之間有什么關(guān)系呢？ 思考：對(duì)一次函數(shù)y=2x-7，當(dāng)x為何值時(shí)，

y=0？當(dāng)x為何值時(shí)，y＜0？當(dāng)x為何值時(shí)，y＞0？ 它的對(duì)應(yīng)值表與圖象如下：

2＞1.5x(0＜x＜17)，整理化簡(jiǎn)得不等式x-5x＜0.

2x 2 2.5 3 y-3-2-1 由對(duì)應(yīng)值表與圖象（如上圖）可知： 當(dāng)x=3.5時(shí)，y=0，即2x-7=0； 當(dāng)x＜3.5時(shí)，y＜0，即2x-7＜0； 當(dāng)x＞3.5時(shí)，y＞0，即2x-7＞0.

3.5 0 1 4.5 2 5 3 師 一般地，設(shè)直線y=ax+b與x軸的交點(diǎn)是(x0，0),則有如下結(jié)果：（1）一元一次方程ax+b=0的解是x0；

（2）①當(dāng)a＞0時(shí)，一元一次不等式ax+b＞0的解集是{x|x＞x0}；一元一次不等式ax+b＜0的解集是{x|x＜x0}.

②當(dāng)a＜0時(shí)，一元一次不等式ax+b＞0的解集是{x|x＜x0}；一元一次不等式ax+b＜0的解集是{x|x＞x0}.

師 在解決上述問題的基礎(chǔ)上分析，一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式之間的關(guān)系.能通過觀察一次函數(shù)的圖象求得一元一次不等式的解集嗎？ 生 函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為方程的根，不等式的解集為函數(shù)圖象落在x軸上方(下方)部分對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo).一次函數(shù) y=ax+b(a≠0) 的圖象

一元一次方程ax+b=0的解集 一元一次不等式ax+b＞0的解集 一元一次不等式ax+b＜0的解集

a＞0 a＜0

{x|x=?{x|x＞?{x|x＜?bababa

{x|x=?{x|x＜?{x|x＞?bababa} } }

} } } 師 在這里我們發(fā)現(xiàn)一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)三者之間有著密切的聯(lián)系.利用這種聯(lián)系（集中反映在相應(yīng)一次函數(shù)的圖象上）我們可以快速準(zhǔn)確地求出一元一次不等式的解集，類似地，我們能不能將現(xiàn)在要求解的一元二次不等式與二次函數(shù)聯(lián)系起來討論找到其求解方法呢？

在初中學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)，我們?cè)鉀Q過這樣的問題：對(duì)二次函數(shù)y=x2-5x，當(dāng)x為何值時(shí)，y=0？當(dāng)x為何值時(shí)，y＜0？當(dāng)x為何值時(shí)，y＞0？當(dāng)時(shí)我們又是怎樣解決的呢？ 生 當(dāng)時(shí)我們是通過作出函數(shù)的圖象，找出圖象與x軸的交點(diǎn)，通過觀察來解決的. 二次函數(shù)y=x2-5x的對(duì)應(yīng)值表與圖象如下： x y-1 6

0 0-4-6-6-4 0 6

由對(duì)應(yīng)值表與圖象（如上圖）可知： 當(dāng)x=0或x=5時(shí)，y=0，即x2-5x=0；

2當(dāng)0＜x＜5時(shí)，y＜0，即x-5x＜0； 當(dāng)x＜0或x＞5時(shí)，y＞0，即x2-5x＞0.

這就是說，若拋物線y=x-5x與x軸的交點(diǎn)是(0，0)與(5，0), 則一元二次方程x2-5x=0的解就是x1=0，x2=5.

一元二次不等式x2-5x＜0的解集是{x|0＜x＜5};一元二次不等式x2-5x＞0的解集是{x|x＜0或x＞5}.

［教師精講］

由一元二次不等式的一般形式知，任何一個(gè)一元二次不等式，最后都可以化為ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的形式，而且我們已經(jīng)知道，一元二次不等式的解與其相應(yīng)的一元二次方程的根及二次函數(shù)圖象有關(guān)，即由拋物線與x軸的交點(diǎn)可以確定對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解和對(duì)應(yīng)的一元二次不等式的解集.

如何討論一元二次不等式的解集呢？

我們知道，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)，設(shè)其判別式為Δ=b2-4ac，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分為三種情況，相應(yīng)地，拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)與x軸的相關(guān)位置也分為三種情況（如下圖），因此，對(duì)相應(yīng)的一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集我們也分這三種情況進(jìn)行討論.

2（1）若Δ＞0，此時(shí)拋物線y=ax 2+bx+c(a＞0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)〔圖（1）〕，即方程ax 2+bx+c=0(a＞0)有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1，x2（x1＜x2）,則不等式ax+bx+c＞0（a＞0）的解

2集是{x|x＜x1，或x＞x2}；不等式ax+bx+c＜0（a＞0）的解集是{x|x1＜x＜x2}.

（2）若Δ=0，此時(shí)拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)〔圖（2）〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)有兩個(gè)相等的實(shí)根x1=x2=?{x|x≠?b2ab2a

2,則不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是}；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是.

(3)若Δ＜0，此時(shí)拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)與x軸沒有交點(diǎn)〔圖(3)〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)無實(shí)根，則不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是R；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是.Δ=b2-4ac 二次函數(shù)y=ax+bx+c(a＞0)的圖象

ax2+bx+c=0的根

x1.2?2

Δ＞0 Δ=0 Δ＜0

x1=x2=?b2ab2a

?

?b?2a??

ax2+bx+c＞0的解集

2{x|x＜x1或x＞x2}

{x|x≠?}

R

? ? ax+bx+c＜0的解集 {x|x1＜x＜x2} 對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)（即a＜0）的不等式，可以先把二次項(xiàng)系數(shù)化成正數(shù)，再求解.

［知識(shí)拓展］

【例1】 解不等式2x 2-5x-3＞0. 生 解：因?yàn)棣ぃ?，2x2-5x-3=0的解是x1=-＞3}.

【例2】 解不等式-3x 2+15x＞12.

生 解：整理化簡(jiǎn)得3x 2-15x+12＜0.因?yàn)棣ぃ?，方程3x2-15x+12=0的解是x 1=1,x2=4，所以不等式的解集是{x|1＜x＜4}.

【例3】 解不等式4x 2+4x+1＞0.

生 解：因?yàn)棣?0，方程4x +4x+1=0的解是x1=x 2=?2

12,x 2=3.所以不等式的解集是{x|x＜?12，或x

12.所以不等式的解集是{x|x≠?12}.

【例4】 解不等式-x 2+2x-3＞0.

生 解：整理化簡(jiǎn)，得x2-2x+3＜0.因?yàn)棣ぃ?，方程x 2-2x+3=0無實(shí)數(shù)解，所以不等式的解集是?. 師 由上述討論及例題，可歸納出解一元二次不等式的程序嗎？ 生 歸納如下：

（1）將二次項(xiàng)系數(shù)化為“+”：y=ax 2+bx+c＞0(或＜0)(a＞0).（2）計(jì)算判別式Δ，分析不等式的解的情況： ?若y＞0,則x?x1或x＞x2;①Δ＞0時(shí)，求根x1＜x2，?

?若y＜0,則x1＜x＜x2.?若y＞0,則x?x0的一切實(shí)數(shù);?②Δ=0時(shí)，求根x 1=x 2=x 0，?若y＜0,則x??;

?若y?0,則x?x.0??若y＞0,則x?R;③Δ＜0時(shí)，方程無解，?

?若y?0,則x??.（3）寫出解集.

師 說的很好.下面我們用一個(gè)程序框圖把求解一元二次不等式的過程表示出來，請(qǐng)同學(xué)們將判斷框和處理框中的空格填充完整. ［學(xué)生活動(dòng)過程］

［方法引導(dǎo)］

上述過程以學(xué)生自主探究為主，教師起引導(dǎo)作用，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體作用與新課程的理念.該過程中的思考、觀察、探究起到層層鋪設(shè)的作用，激起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與勇于探索的精神.

課堂小結(jié)

1.一元二次不等式：含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a≠0）. 2.求解一元二次不等式的步驟和解一元二次不等式的程序. 布置作業(yè) 1.完成第90頁的練習(xí).

2.完成第90頁習(xí)題3.2第1題.

板書設(shè)計(jì)

一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法

多媒體演示區(qū)

一元二次不等式概念

一元二次不等式解題步驟

例題

第二篇：2.示范教案(3.2.1 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法)

http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn

3.2 一元二次不等式及其解法

3.2.1 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法

從容說課

本節(jié)課是人民教育出版社A版必修數(shù)學(xué)5第三章不等式第二大節(jié)3.2一元二次不等式及其解法的第一節(jié)課.一元二次不等式及其解法教學(xué)分為三個(gè)學(xué)時(shí)，第一個(gè)學(xué)時(shí)先由師生共同分析日常生活中的實(shí)際問題來引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步驟、求解一元二次不等式的程序框圖.確定一元二次不等式的概念和解法，以此激發(fā)學(xué)生對(duì)科學(xué)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度.通過具體例題的分析和求解，在這些例題中設(shè)置思考項(xiàng)，讓學(xué)生探究，層層鋪設(shè)，以便讓學(xué)生深刻理解一元二次不等式的概念，有利于一元二次不等式的解法的教學(xué).講述完一元二次不等式的概念后，再回歸到先前的具體事例，總結(jié)一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關(guān)系和一元二次不等式解法的步驟，由學(xué)生用表格將一元二次不等式解法與二次函數(shù)的數(shù)形關(guān)系的對(duì)應(yīng)關(guān)系用圖表形式表示出來；然后用一個(gè)程序框圖把求解一般一元二次不等式的過程表示出來，根據(jù)這些圖表，得出一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關(guān)系兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系，再輔以新的例題鞏固.整個(gè)教學(xué)過程，探究一元二次不等式的概念，揭示一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關(guān)系本質(zhì)，引出一元二次不等式解法的步驟和過程，并及時(shí)加以鞏固，同時(shí)讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)美，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

教學(xué)重點(diǎn) 1.從實(shí)際問題中抽象出一元二次不等式模型.

2.圍繞一元二次不等式的解法展開，突出體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想. 教學(xué)難點(diǎn) 理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式的關(guān)系. 教具準(zhǔn)備 多媒體及課件，幻燈片三張

三維目標(biāo)

一、知識(shí)與技能

1.經(jīng)歷從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式模型的過程;

2.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系; 3.會(huì)解一次二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，嘗試設(shè)計(jì)求解的程序框圖.

二、過程與方法

1.采用探究法，按照思考、交流、實(shí)驗(yàn)、觀察、分析、得出結(jié)論的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué); 2.發(fā)揮學(xué)生的主體作用，作好探究性實(shí)驗(yàn); 3.理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

三、情感態(tài)度與價(jià)值觀

1.通過利用二次函數(shù)的圖象來求解一元二次不等式的解集，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想;

2.通過研究函數(shù)、方程與不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的，樹立辯證的世界觀.

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

師 上網(wǎng)獲取信息已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ畹闹匾M成部分，因特網(wǎng)服務(wù)公司（Internet Service Provider）的任務(wù)就是負(fù)責(zé)將用戶的計(jì)算機(jī)接入因特網(wǎng)，同時(shí)收取一定的費(fèi)用.

某同學(xué)要把自己的計(jì)算機(jī)接入因特網(wǎng)，現(xiàn)有兩家ISP公司可供選擇，公司A每小時(shí)收費(fèi)1.5元；公司B的收費(fèi)原則是在用戶上網(wǎng)的第一小時(shí)內(nèi)收費(fèi)1.7元，第二小時(shí)內(nèi)收費(fèi)1.6元，以后每小時(shí)減少0.1元.（若用戶一次上網(wǎng)時(shí)間超過17小時(shí)，按17小時(shí)計(jì)算） 一般來說，一次上網(wǎng)時(shí)間不會(huì)超過17小時(shí)，所以，不妨一次上網(wǎng)時(shí)間總小于17小時(shí)，那么，一次上網(wǎng)在多長(zhǎng)時(shí)間以內(nèi)能夠保證選擇公司A比選擇公司B所需費(fèi)用少？

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假設(shè)一次上網(wǎng)x小時(shí)，則A公司收取的費(fèi)用為1.5x，那么B公司收取的費(fèi)用為多少？怎樣得來？ 生 結(jié)果是x(35?x)20x(x?1)x(35?x)1.7x?(?0.1)?.

220x(35?x)20元，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，其首項(xiàng)為1.7，公差為-0.1，項(xiàng)數(shù)為x的和，即師 如果能夠保證選擇A公司比選擇B公司所需費(fèi)用少，則如何列式？ 生 由題設(shè)條件應(yīng)列式為推進(jìn)新課

師 因此這個(gè)問題實(shí)際就是解不等式：x-5x＜0的問題.這樣的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我們下面要學(xué)習(xí)討論的重點(diǎn).

什么叫做一元二次不等式？

含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a≠0）.例如2x2-3x-2＞0，3x2-6x＜-2，-2x2+3＜0等都是一元二次不等式.

那么如何求解呢？

師 在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函數(shù)三者之間有什么關(guān)系呢？ 思考：對(duì)一次函數(shù)y=2x-7，當(dāng)x為何值時(shí)，

y=0？當(dāng)x為何值時(shí)，y＜0？當(dāng)x為何值時(shí)，y＞0？ 它的對(duì)應(yīng)值表與圖象如下：

2＞1.5x(0＜x＜17)，整理化簡(jiǎn)得不等式x-5x＜0.

2x 2 2.5 3 y-3-2-1 由對(duì)應(yīng)值表與圖象（如上圖）可知： 當(dāng)x=3.5時(shí)，y=0，即2x-7=0； 當(dāng)x＜3.5時(shí)，y＜0，即2x-7＜0； 當(dāng)x＞3.5時(shí)，y＞0，即2x-7＞0.

3.5 0 1 4.5 2 5 3 師 一般地，設(shè)直線y=ax+b與x軸的交點(diǎn)是(x0，0),則有如下結(jié)果：（1）一元一次方程ax+b=0的解是x0；

（2）①當(dāng)a＞0時(shí)，一元一次不等式ax+b＞0的解集是{x|x＞x0}；一元一次不等式ax+b＜0的解集是{x|x＜x0}.

②當(dāng)a＜0時(shí)，一元一次不等式ax+b＞0的解集是{x|x＜x0}；一元一次不等式ax+b＜0的解集是{x|x＞x0}.

師 在解決上述問題的基礎(chǔ)上分析，一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式之間的關(guān)系.能通過觀察一次函數(shù)的圖象求得一元一次不等式的解集嗎？ 生 函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為方程的根，不等式的解集為函數(shù)圖象落在x軸上方(下方)部分對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo).中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

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a＜0

一次函數(shù) y=ax+b(a≠0) 的圖象

一元一次方程ax+b=0的解集 一元一次不等式ax+b＞0的解集 一元一次不等式ax+b＜0的解集

a＞0

{x|x=?{x|x＞?{x|x＜?bababa

{x|x=?{x|x＜?{x|x＞?bababa} } }

} } } 師 在這里我們發(fā)現(xiàn)一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)三者之間有著密切的聯(lián)系.利用這種聯(lián)系（集中反映在相應(yīng)一次函數(shù)的圖象上）我們可以快速準(zhǔn)確地求出一元一次不等式的解集，類似地，我們能不能將現(xiàn)在要求解的一元二次不等式與二次函數(shù)聯(lián)系起來討論找到其求解方法呢？

在初中學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)，我們?cè)鉀Q過這樣的問題：對(duì)二次函數(shù)y=x2-5x，當(dāng)x為何值時(shí)，y=0？當(dāng)x為何值時(shí)，y＜0？當(dāng)x為何值時(shí)，y＞0？當(dāng)時(shí)我們又是怎樣解決的呢？ 生 當(dāng)時(shí)我們是通過作出函數(shù)的圖象，找出圖象與x軸的交點(diǎn)，通過觀察來解決的. 二次函數(shù)y=x2-5x的對(duì)應(yīng)值表與圖象如下： x y-1 6

0 0-4-6-6-4 0 6

由對(duì)應(yīng)值表與圖象（如上圖）可知： 當(dāng)x=0或x=5時(shí)，y=0，即x2-5x=0；

2當(dāng)0＜x＜5時(shí)，y＜0，即x-5x＜0； 當(dāng)x＜0或x＞5時(shí)，y＞0，即x2-5x＞0.

這就是說，若拋物線y=x-5x與x軸的交點(diǎn)是(0，0)與(5，0), 則一元二次方程x2-5x=0的解就是x1=0，x2=5.

一元二次不等式x2-5x＜0的解集是{x|0＜x＜5};一元二次不等式x2-5x＞0的解集是{x|x＜0或x＞5}.

［教師精講］

由一元二次不等式的一般形式知，任何一個(gè)一元二次不等式，最后都可以化為ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的形式，而且我們已經(jīng)知道，一元二次不等式的解與其相應(yīng)的一元二次方程的根及二次函數(shù)圖象有關(guān)，即由拋物線與x軸的交點(diǎn)可以確定對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解和對(duì)應(yīng)的一元二次不等式的解集.

如何討論一元二次不等式的解集呢？

我們知道，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)，設(shè)其判別式為Δ=b2-4ac，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分為三種情況，相應(yīng)地，拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)與x軸的相關(guān)位置也分為三種情況（如下圖），因此，對(duì)相應(yīng)的一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集我們也分這三種情況進(jìn)行討論.

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（1）若Δ＞0，此時(shí)拋物線y=ax 2+bx+c(a＞0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)〔圖（1）〕，即方程ax 2+bx+c=0(a＞0)有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1，x2（x1＜x2）,則不等式ax+bx+c＞0（a＞0）的解

2集是{x|x＜x1，或x＞x2}；不等式ax+bx+c＜0（a＞0）的解集是{x|x1＜x＜x2}.

（2）若Δ=0，此時(shí)拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)〔圖（2）〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)有兩個(gè)相等的實(shí)根x1=x2=?{x|x≠?b2ab2a

2,則不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是}；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是.

(3)若Δ＜0，此時(shí)拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)與x軸沒有交點(diǎn)〔圖(3)〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)無實(shí)根，則不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是R；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是.Δ=b2-4ac 二次函數(shù)y=ax+bx+c(a＞0)的圖象

ax2+bx+c=0的根

x1.2?2

Δ＞0 Δ=0 Δ＜0

x1=x2=?b2ab2a

?

?b?2a??

ax2+bx+c＞0的解集

2{x|x＜x1或x＞x2}

{x|x≠?}

R

? ? ax+bx+c＜0的解集 {x|x1＜x＜x2} 對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)（即a＜0）的不等式，可以先把二次項(xiàng)系數(shù)化成正數(shù)，再求解.

［知識(shí)拓展］

【例1】 解不等式2x 2-5x-3＞0. 生 解：因?yàn)棣ぃ?，2x2-5x-3=0的解是x1=-＞3}.

【例2】 解不等式-3x 2+15x＞12.

生 解：整理化簡(jiǎn)得3x 2-15x+12＜0.因?yàn)棣ぃ?，方程3x2-15x+12=0的解是x 1=1,x2=4，所以不等式的解集是{x|1＜x＜4}.

【例3】 解不等式4x 2+4x+1＞0.

生 解：因?yàn)棣?0，方程4x +4x+1=0的解是x1=x 2=?2

12,x 2=3.所以不等式的解集是{x|x＜?12，或x

12.所以不等式的解集是{x|x≠?12}.

【例4】 解不等式-x 2+2x-3＞0.

生 解：整理化簡(jiǎn)，得x2-2x+3＜0.因?yàn)棣ぃ?，方程x 2-2x+3=0無實(shí)數(shù)解，所以不等式的解集是?.

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師 由上述討論及例題，可歸納出解一元二次不等式的程序嗎？ 生 歸納如下：

（1）將二次項(xiàng)系數(shù)化為“+”：y=ax 2+bx+c＞0(或＜0)(a＞0).（2）計(jì)算判別式Δ，分析不等式的解的情況： ?若y＞0,則x?x1或x＞x2;①Δ＞0時(shí)，求根x1＜x2，?

?若y＜0,則x1＜x＜x2.?若y＞0,則x?x0的一切實(shí)數(shù);?②Δ=0時(shí)，求根x 1=x 2=x 0，?若y＜0,則x??;

?若y?0,則x?x.0??若y＞0,則x?R;③Δ＜0時(shí)，方程無解，?

?若y?0,則x??.（3）寫出解集.

師 說的很好.下面我們用一個(gè)程序框圖把求解一元二次不等式的過程表示出來，請(qǐng)同學(xué)們將判斷框和處理框中的空格填充完整. ［學(xué)生活動(dòng)過程］

［方法引導(dǎo)］

上述過程以學(xué)生自主探究為主，教師起引導(dǎo)作用，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體作用與新課程的理念.該過程中的思考、觀察、探究起到層層鋪設(shè)的作用，激起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與勇于探索的精神.

課堂小結(jié)

1.一元二次不等式：含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a≠0）. 2.求解一元二次不等式的步驟和解一元二次不等式的程序. 布置作業(yè)

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1.完成第90頁的練習(xí).

2.完成第90頁習(xí)題3.2第1題.

板書設(shè)計(jì)

一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法

多媒體演示區(qū)

一元二次不等式概念

一元二次不等式解題步驟

例題

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第三篇：一元二次不等式教案

§2.2.4一元二次不等式

【授課班級(jí)】10級(jí)微機(jī)化工班 【授 課 人】相福香

【授課時(shí)間】2011年1月11日

一、教學(xué)目標(biāo) 1.知識(shí)目標(biāo)：

（1）使學(xué)生了解一元二次不等式的概念；（2）使學(xué)生掌握用配方法解一元二次不等式。2.能力目標(biāo)：

培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手、觀察分析、抽象概括、歸納總結(jié)等系統(tǒng)的邏輯思維能力，以及良好的思維方法和思維品質(zhì)。3.情感目標(biāo)：

滲透抽象與具體、特殊與一般等辯證唯物主義的觀點(diǎn)和方法，培養(yǎng)學(xué)生的自信心理。

二、教學(xué)分析 1.知識(shí)結(jié)構(gòu)

本節(jié)課主要內(nèi)容是用配方法解一元二次不等式。首先介紹了一元二次不等式的概念，然后由對(duì)特殊形式的討論推廣到一般的情形，從而總結(jié)出用配方法解不等式的一般步驟。2.重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

本節(jié)課的重點(diǎn)是掌握一元二次不等式的解法；難點(diǎn)是將一元二次不等

（1）(x?2)2?4

（2）(x?1)2?9 例9 解下列不等式：

（1）x2?2x?3?0（2）?2x2?5x?3?0 4.反饋演練，鞏固新知 練習(xí)1 解下列不等式：

（1）(x?1)2?64

（2）(x?2)2?100 練習(xí)2 解下列不等式：

（1）x2?3x?2?0

（2）?3x2?x?2?0 5.課堂小結(jié)

（1）使學(xué)生了解一元二次不等式的概念；（2）使學(xué)生掌握用配方法解一元二次不等式。6.作業(yè)布置

課后練習(xí)：課本習(xí)題 第8題和第9題 作業(yè)： 課本練習(xí)2-5 第3題和第5題

第四篇：3.2一元二次不等式及其解法教案

3.2一元二次不等式及其解法（3課時(shí)）

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能:從實(shí)際問題中建立一元二次不等式，解一元二次不等式；應(yīng)用一元二次不等式解決日常生活中的實(shí)際問題；能用一個(gè)程序框圖把求解一般一元二次不等式的過程表示出來；

2.過程與方法:通過學(xué)生感興趣的上網(wǎng)問題引入一元二次不等式的有關(guān)概念，通過讓學(xué)生比較兩種不同的收費(fèi)方式，抽象出不等關(guān)系；利用計(jì)算機(jī)將數(shù)學(xué)知識(shí)用程序表示出來；

3.情態(tài)與價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生通過日常生活中的例子，找到數(shù)學(xué)知識(shí)規(guī)率，從而在實(shí)際生活問題中數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用以及計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

（二）教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：從實(shí)際問題中抽象出一元二次不等式模型，圍繞一元二次不等式的解法展開，突出體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想；

難點(diǎn)：理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式解集的關(guān)系。

（四）教學(xué)設(shè)想

[創(chuàng)設(shè)情景] 通過讓學(xué)生閱讀第84頁的上網(wǎng)問題，得出一個(gè)關(guān)于x的一元二次不等式，即

x2?5x?0

[探索研究] 首先考察不等式x?5x?0與二次函數(shù)y?x2?5x以及一元二次方程x?5x?0的 關(guān)系。

容易知道，方程x?5x?0有兩個(gè)實(shí)根：x1?0,x2?5

由二次函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)的一元二次方程根的關(guān)系，知x1?0,x2?5是二次函數(shù)222y?x2?5x的兩個(gè)零點(diǎn)。通過學(xué)生畫出的二次函數(shù)y?x2?5x的圖象，觀察而知，當(dāng)x?0,x?5時(shí)，函數(shù)圖象位于x軸上方，此時(shí)y?0，即x?5x?0；

2當(dāng)0?x?5時(shí)，函數(shù)圖象位于x軸下方，此時(shí)y?0，即x?5x?0。

22所以，一元二次不等式x?5x?0的解集是x0?x?5

??從而解決了以上的上網(wǎng)問題。

[總結(jié)歸納] 上述方法可以推廣到求一般的一元二次不等式ax?bx?c?0或

2ax2?bx?c?0(a?0)的解集：可分??0,??0,??0三種情況來討論。

引導(dǎo)學(xué)生將第86頁的表格填充完整。

[例題分析]：

一.分析、講解例2和例3，練習(xí)：第89頁1.（1）、（3）、（5）；2.（1）、（3）二.分析、講解例1和例4 練習(xí)：第90頁（A組）第5題，（B組）第4題。[知識(shí)拓展]：

下面利用計(jì)算器，用一個(gè)程序框圖把求解一般一元二次不等式的過程表示出來：

下面是具有一般形式ax?bx?c?0(a?0)對(duì)應(yīng)的一元二次方程

2ax2?bx?c?0(a?0)的求根程序：

input “a,b,c=”;a,b,c d=b*b-4*a*c p=-b/(2*a)q=sqr(abs(d))/(2*a)if d<0 then print “the result is R” else x1=p-q x2=p+q if x1=x2 then print “the result is {x/x<> “;p,”}” else print “the result is {x/x> “;x2, “or x<”;x1,”}” endif endif end 練習(xí)：（B組）第3題。[新知小結(jié)]：

1.從實(shí)際問題中建立一元二次不等式，解一元二次不等式； 2.應(yīng)用一元二次不等式解決日常生活中的實(shí)際問題；

3.能用一個(gè)程序框圖把求解一般一元二次不等式的過程表示出來：

[課后作業(yè)]：習(xí)題3.2（A組）第1、2、6題；（B組）第1、2題。

第五篇：一元二次不等式習(xí)題[

一元二次不等式基礎(chǔ)的練習(xí)題一、十字相乘法練習(xí)：

1、x2+5x+6=

2、x2-5x+6=

3、x2+7x+12=

4、x2-7x+6=

5、x2-x-12=

6、x2+x-12=

7、x2+7x+12=

8、x2-8x+12=

9、x2-4x-12=10、3x+5x-12=11、3x+16x-12=12、3x2-37x+12=13、2x2+15x+7=14、2x2-7x-15=15、2x2+11x+12=16、2x2+2x-12= 22

練習(xí)：

1、解下列不等式：

（1）3x2-7x>10；（2）-2x2?6x?5?0；

（3）x2?4x?5?0 ；（4）10x2?33x?20?0；

（5）-x2?4x?4?0；（6）x2?(2m?1)x+m2+m<0；

（7）(x?5)(3?x)?0；（8）(5-x)(3-x)<0；

x--4（9）(5+2x)(3-x)<0；（10?0；x+3

2?x(11)?0；4?x2、(1)解關(guān)于x的不等式x2?2ax?3a2?0

(2)解關(guān)于x的不等式x?(1?a)x?a?0.3、（1）若不等式ax2?bx?c?0的解集是{x-3

（2）已知一元二次不等式ax2+bx+2>0的解集為{x|-2

A.a<0;B.-20?a<0;C.-20?a?0;........D.-20

（3）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式x2+x+k>0恒成立，則k的取值范圍是___________