第一篇：高等數學第九章重積分教案

第九章 重積分

第一節 二重積分的概念與性質

9.1.1 二重積分的概念

為引出二重積分的概念，我們先來討論兩個實際問題。

設有一平面薄片占有xOy>面上的閉區域D>，它在點（x>，y>）處的面密度為ρ（x>，y>），這里ρ（x>，y>）> 0>且在D>上連續。現在要計算該薄片的質量M>。

>由于面密度ρ（x>，y>）是變量，薄片的質量不能直接用密度公式（M =>ρS>）來計算。但ρ（x>，y>）是連續的，利用積分的思想，把薄片分成許多小塊后，只要小塊所占的小閉區域D s i>的直徑很小，這些小塊就可以近似地看作均勻薄片。在D s i>（這小閉區域的面積也記作D s i

>）上任取一點（x i>，h i>），則ρ（x i>，h i>）D s i>（i = 1>，2>，?，n）可看作第i>個小塊的質量的近似值。通過求和，再令n個小區域的直徑中的最大值（記作λ）趨于零，取和的極限，便自然地得出薄片的質量M>，即 >。

>再設有一立體，它的底是xOy>面上的閉區域D>，它的側面是以D>的邊界曲線為準線而母線平行于z>軸的柱面，它的頂是曲面z = f>（x>，y>），這里f>（x>，y>）≥ 0>且在D>上連續。這種立體叫做曲頂柱體。現在要計算上述曲頂柱體的體積V>。

>由于曲頂柱體的高f>（x>，y>）是變量，它的體積不能直接用體積公式來計算。但仍可采用上面的思想方法，用一組曲線網把D>分成n個小閉區域D s 1，D s 2>，?，D s n>，在每個D s i>上任取一點（x i>，h i>），則f>（x i>，h i>）D s i>（i = 1>，2>，?，n）可看作以f>（x i>，h i>）為高而底為D s i>的平頂柱體的體積>。通過求和，取極限，便得出 >。

上面兩個問題所要求的，都歸結為同一形式的和的極限。在其他學科中，由許多物理量和幾何量也可歸結為這一形式的和的極限。因此我們要一般地研究這種和的極限，并抽象出下述二重積分的定義。> 定義 >設f>（x>，y>）是有界閉區域D>上的有界函數。將閉區域D>任意分成n>個小閉區域

>D s 1，D s 2>，?，D s n>，>其中D s 也表示它的面積。在每個D s（x h，i>表示第i>個小閉區域，i>上任取一點i>，i>）作乘積 f>（x i>，h i>）D s i>（i = 1, 2, >?, n,>），并作和。如果當各小閉區域的直徑中的最大值l 趨于零時，這和的極限總存在，則稱此極限為函數f>（x>，y>）在閉區域D>上的二重積分，記作，即

>。（*>）

>其中f>（x>，y>）叫做被積函數，f>（x>，y>）ds >叫做被積表達式，ds >叫做面積元素，x>與y>叫做積分變量，D>叫做積分區域，叫做積分和。

>在二重積分的定義中對閉區域D>的劃分是任意的，如果在直角坐標系中用平行于坐標軸的直線網來劃分D>，那末除了包含邊界點的一些小閉區域外，其余的小閉區域都是矩形閉區域。設矩形閉區域D s i>的邊長為D xj>和D yk>，則D s = D xj>·D yk>。因此在直角坐標系中，有時也把面積元素ds >記作dxdy>，而把二重積分記作 >

>其中dxdy>叫做直角坐標系中的面積元素。

>這里我們要指出，當f>（x>，y>）在閉區域D>上連續時，（*>）式右端的和的極限必定存在，也就是說，函數f>（x>，y>）在D>上的二重積分必定存在。> 9.1.2 二重積分的性質

二重積分與定積分有類似的性質：

>性質1 >被積函數的常數因子可以提到二重積分號的外面，即 > >（k>為常數）。

>性質2 >函數的和（或差）的二重積分等于各個函數的二重積分的和（或差）。例如 >。

>性質3 >如果閉區域D>被有限條曲線分為有限個部分閉區域，則在D>上的二重積分等于在各部分閉區域上的二重積分的和。例如D>分為兩個閉區域D1>與 D2>，則 >。

此性質表示二重積分對于積分區域具有可加性。

>性質4 >如果在D>上，f>（x>，y>）= 1>，s 為D>的面積，則 >。

>此性質的幾何意義很明顯，因為高為1>的平頂柱體的體積在數值上就等于柱體的底面積。>性質5 >如果在D>上，f>（x>，y>）≤ j >（x>，y>），則有不等式 >。

特殊地，由于

>-| f>（x>，y>）| >≤ f>（x>，y>）≤ | f>（x>，y>）|>，> 又有不等式。

>性質6 >設M>，m>分別是f>（x>，y>）在閉區域D>上的最大值和最小值，s 是D>的面積，則有 >。

上述不等式是對二重積分估值的不等式。

>性質7>（二重積分的中值定理）>設函數f>（x>，y>）在閉區域D>上連續，s 是D>的面積，則在D>上至少存在一點（x，h）使得下式成立： >。

第二節 二重積分的計算法（直角坐標，極坐標）

按照二重積分的定義來計算二重積分，對少數特別簡單的被積函數和積分區域來說是可行的，但對一般的函數和積分區域來說，這不是一種切實可行的方法。這里介紹一種方法，把二重積分化為兩次單積分（即兩次定積分）來計算。9.2.1 利用直角坐標計算二重積分

下面用幾何的觀點來討論二重積分的計算問題。

在討論中我們假定f（x，y）≥ 0。并設積分區域D可以用不等式 j 1（x）≤ y ≤ j 2（x），a≤x≤b

來表示，其中函數j 1（x）、j 2（x）在區間 [a，b] 上連續。

我們應用“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法，來計算這個曲頂柱體的體積。為計算截面面積，在區間 [a，b] 上任意取定一點x0，作平行于yOz面的平面x=x0。這平面截曲頂柱體所得截面是一個以區間 [j 1（x0），j 2（x0）] 為底、曲線z = f（x0，y）為曲邊的曲邊梯形，所以這截面的面積為。

一般的，過區間 [a，b] 上任一點x且平行于yOz面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為，于是，得曲頂柱體的體積為。

這個體積也就是所求二重積分的值，從而有等式

。（1）

上式右端的積分叫做先對y、后對x的二次積分。就是說，先把x看作常數，把f（x，y）只看作y的函數，并對y計算從j 1（x）到j 2（x）的定積分；然后把算得的結果（是x的函數）再對x計算在區間 [a，b] 上的定積分。這個先對y、后對x的二次積分也常記作。

因此，等式（1）也寫成，（1’）

在上述討論中，我們假定f（x，y）≥ 0，但實際上公式（1）的成立并不受此條件限制。類似地，如果積分區域D可以用不等式 ψ1（y）≤ x ≤ ψ2（y），c≤y≤d

來表示，其中函數ψ1（y）、ψ2（y）在區間 [c，d] 上連續，那末就有。

上式右端的積分叫做先對x、后對y的二次積分，這個積分也常記作。

因此，等式（2）也寫成，（2’）

這就是把二重積分化為先對x、后對y的二次積分的公式。

我們稱圖9-2-1所示的積分區域為X-型區域，圖9-2-3所示的積分區域為Y-型區域。對不同的區域，可以應用不同的公式。如果積分區域D既不是X-型的，也不是Y-型的，我們可以把D分成幾個部分，使每個部分是X-型區域或是Y-型區域。如果積分區域D既是X-型的，又是Y-型的，則由公式（1’）及（2’）就得。

上式表明，這兩個不同次序的二次積分相等，因為它們都等于同一個二重積分。

二重積分化為二次積分時，確定積分限是一個關鍵。而積分限是根據積分區域D的類型來確定的。

例1 計算，其中D是由直線y =

1、x = 2及y = x所圍成的閉區域。

解法1 首先畫出積分區域D。D是X-型的，D上的點的橫坐標的變動范圍是區間[1，2]。在區間[1，2]上任意取定一個x值，則D上以這個x值為橫坐標的點在一段直線上，這段直線平行于y軸，該線段上點的縱坐標從y = 1變到y = x。利用公式（1）得。

解法2 把積分區域D看成是Y-型的。同學們可作為練習，驗證解出的答案是否與解法1的相一致。

對于較復雜的積分區域，在化二重積分為二次積分時，為了計算簡便，需要選擇恰當的二次積分的次序。這時，既要考慮積分區域D的形狀，又要考慮被積函數f（x，y）的特性。例2 求量各底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立體的體積。解 設這兩個圓柱面的方程分別為 x + y = R及x + z = R

利用立體關于坐標平面的對稱性，只要算出它在第一卦限部分的體積V1，然后再乘以9就行了。

所求立體在第一卦限部分可以看成是一個曲頂柱體，它的底為 2222

22，如圖9-2-5（b）所示。它的頂是柱面。于是。

利用公式（1）得

從而所求立體體積為。

9.2.2 利用極坐標計算二重積分

有些二重積分，積分區域D的邊界曲線用極坐標方程來表示比較方便，且被積函數用極坐標變量r，θ比較簡單。這時，我們就可以考慮利用極坐標來計算二重積分按二重積分的定義有

。，下面將推導出這個和的極限在極坐標系中的形式。

假定從極點O出發且穿過閉區域D內部的射線與D的邊界曲線相交不多于兩點。我們用以極點為中心的一族同心圓：r=常數，以及從極點出發的一族射線：θ=常數，把D分成n個小閉區域。除了包含邊界點的一些小閉區域外，小閉區域的面積D s i可計算如下：

其中表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值。在這小閉區域內取圓周點的直角坐標設為x i，h i，則由直角坐標與極坐標之間的關系有

。于是

上的一點，該，即。

由于在直角坐標系中也常記作，所以上式又可寫成

。（4）

這就是二重積分的變量從直角坐標變換為極坐標的變換公式，其中rdrdθ就是極坐標系中的面積元素。公式（4）表明，要把二重積分中的變量從直角坐標變換為極坐標，只要把被積函數中的x、y分別換成rcosθ、rsinθ，并把直角坐標系中的面積元素dxdy換成極坐標系中的面積元素rdrdθ。

極坐標系中的二重積分，同樣可以化為二次積分來計算。，二重積分化為二次積分的公式為

。（5）

上式也寫成

。（5'）

特別地，如果積分區域D是所示的曲邊扇形，那末相當于圖9-2-7（a）中φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。這時閉區域D可以用不等式 0≤r≤φ（θ），α≤θ≤β 來表示，而公式（5'）成為。

如果積分區域D如圖）所示，極點在D的內部，那末相當于圖9-2-9中α= 0、β= 2π。這時閉區域D可以用不等式 0≤r≤φ（θ），0≤θ≤2π 來表示，而公式（5'）成為。

由二重積分的性質4，閉區域D的面積s 可以表示為。

在極坐標系中，面積元素ds = rdrdθ，上式成為。

如果閉區域D如圖9-2-7（a）所示，這由公式（5'）有。

特別地，如果閉區域D如圖9-2-9所示，則φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。于是。

例3 計算，其中D是由中心在原點、半徑為a的圓周所圍成的閉區域。

解 在極坐標系中，閉區域D可表示為 0≤r≤a，0≤θ≤2π。由公式（4）及（5）有

例4 求球體x+y+z≤4a圓柱面x+y=2ax（a>0）所截得的（含在圓柱面內的部分）立體的體積。解 由對稱性，22

222

2，其中D為半圓周式

及x軸所圍成的閉區域。在極坐標系中，閉區域D可用不等0≤r≤2acos（θ），0≤θ≤π/2 來表示。于是。

第三節 二重積分的應用實例

在二重積分的應用中，由許多求總量的問題可以用定積分的元素法來處理。如果所要計算的某個量對于閉區域D具有可加性（就是說，當閉區域D分成許多小閉區域時，所求量U相應地分成許多部分量，且U等于部分量之和），并且在閉區域D內任取一個直徑很小的閉區域dσ時，相應的部分量可近似地表示為f（x，y）dσ的形式，其中（x，y）在dσ內。這個f（x，y）dσ稱為所求量U的元素而記作dU，以它為被積表達式，在閉區域D上積分：，這就是所求量的積分表達式。9.3.1 曲面的面積 設曲面S由方程 z = f（x，y）

給出，D為曲面S在xOy面上的投影區域，函數f（x，y）在D上具有連續偏導數fx（x，y）和fy（x，y）。我們要計算曲面S的面積A。

在閉區域D上任取一直徑很小的閉區域dσ（這小閉區域的面積也記作dσ）。在dσ上取一點P（x，y），對應地曲面S上有一點M（x，y，f（x，y）），點M在xOy面上的投影即點P。點M處曲面S的切平面設為T。以小閉區域dσ的邊界為準線作母線平行于z軸的柱面，這柱面在曲面S上截下一小片曲面，在切平面T上截下一小片平面。由于dσ的直徑很小，切平面T上的那一小片平面的面積dA可以近似代替相應的那一小片面積的面積。設點M處曲面S上的法線（指向朝上）于z軸所成的角為γ，則

。因為，所以。

這就是曲面S的面積元素，以它為被積表達式在閉區域D上積分，得。

上式也可寫為這就是計算曲面面積的公式。

設曲面的方程為x=g（x，y）或y=h（z，x），可分別把曲面投影到xOy面上（投影區域記作Dyz）或zOx面上（投影區域記作Dzx），類似地可得，或例1 求半徑為a的球的表面積。

解：取上半球面的方程為x+y≤a。222，則它在xOy面上的投影區域D可表示為由，得。因為這函數在閉區域D上無界，我們不能直接應用曲面面積公式。所以先取區域D1：x+y≤b（0

222，利用極坐標，得

于是。

這就是半個球面的面積，因此整個球面的面積為

A = 4πa2。

9.3.2平面薄片的重心

設有一平面薄片，占有xOy面上的閉區域D，在點（x，y）處的面密度ρ（x，y），假定ρ（x，y）在D上連續。現在要找該薄片的重心的坐標。

在閉區域D上任取一直徑很小的閉區域dσ（這小閉區域的面積也記作dσ），（x，y）是這小閉區域上的一個點。由于dσ的直徑很小，且ρ（x，y）在D上連續，所以薄片中相應于dσ的部分的質量近似等于ρ（x，y）dσ，這部分質量可近似看作集中在點（x，y）上，于是可寫出靜矩元素dMy及dMx：

dMy = xρ（x，y）dσ，dMx =yρ（x，y）dσ。以這些元素為被積表達式，在閉區域D上積分，便得。

又由第一節知道，薄片的質量為。

所以，薄片的重心的坐標為。

如果薄片是均勻的，即面密度為常量，則上式中可把ρ提到積分記號外面并從分子、分母中約去，這樣便得均勻薄片重心的坐標為

（1）

其中為閉區域D的面積。這時薄片的重心完全由閉區域D的形狀所決定。我們把均勻平面薄片的重心叫做這平面薄片所占的平面圖形的形心。因此，平面圖形D的形心，就可用公式（1）計算。

例2 求位于兩圓r = 2sinθ和r = 4sinθ之間的均勻薄片的重心

解 因為閉區域D對稱于y軸，所以重心再按公式

必位于y軸上，于是。

計算。由于閉區域D位于半徑為1與半徑為2的兩圓之間，所以它的面積等于這兩個圓的面積之差，即A = 3π。再利用極坐標計算積分：。

因此，所求重心是C（0，7/3）。

三、平面薄片的轉動慣量

設有一薄片，占有xOy面上的閉區域D，在點（x，y）處的面密度ρ（x，y），假定ρ（x，y）在D上連續。現在要求該薄片對于x軸的轉動慣量Ix以及對于y軸的轉動慣量Iy。應用元素法，在閉區域D上任取一直徑很小的閉區域dσ（這小閉區域的面積也記作dσ），（x，y）是這小閉區域上的一個點。由于dσ的直徑很小，且ρ（x，y）在D上連續，所以薄片中相應于dσ的部分的質量近似等于ρ（x，y）dσ，這部分質量可近似看作集中在點（x，y）上，于是可寫出薄片對于x軸以及對于y軸的轉動慣量元素： dIx = yρ（x，y）dσ,dIy = xρ（x，y）dσ。以這些元素為被積表達式，在閉區域D上積分，便得

22。

例3 求半徑為a的均勻半圓薄片（面密度為常量ρ）對于其直徑邊的轉動慣量。解：取坐標系如圖所示，則薄片所占閉區域D可表示為 x+y≤a，y≥0；

而所求轉動慣量即半圓薄片對于x軸的轉動慣量Ix。222

其中 為半圓薄片的質量。

第四節 利用柱面坐標和球面坐標計算三重積分

與二重積分的計算類似，三重積分有時也要利用柱面坐標或球面坐標來進行計算。9.4.1 利用柱面坐標計算三重積分

設M（x，y，z）為空間內一點，并設點M在xOy面上的投影P的極坐標為r，θ，則這樣的三個數r，θ，z就叫做點M的柱面坐標，這里規定r、θ、z的變化范圍為： 0 ≤ r < +∞, 0 ≤θ≤ 2π,-∞ < z < +∞。三組坐標面分別為

r = 常數，即以z軸為軸的圓柱面； θ=常數，即過z軸的半平面； z = 常數，即與xOy面平行的平面。顯然，點M的直角坐標與柱面坐標的關系為

（1）

現在要把三重積分中的變量變換為柱面坐標。為此，用三組坐標面r = 常數，θ=常數，z = 常數把Ω分成許多小閉區域，除了含Ω的邊界的一些不規則小閉區域外，這種小閉區域都是柱體。考慮由r，θ，z各取得微小增量dr，dθ，dz所成的柱體的體積。柱體的高為dz、底面積在不計高階無窮小時為r dr dθ（即極坐標系中的面積元素），于是得

dv = r dr dθdz，這就是柱面坐標中的體積元素。再注意到關系式（1），就有

（2）

其中F（r，θ，z）= f（r cosθ，r sinθ，z）。（2）式就是把三重積分的變量從直角坐標變換為柱面坐標的公式。至于變量變換為柱面坐標后的三重積分的計算，則可化為三次積分來進行。化為三次積分時，積分限是根據r，θ，z在積分區域Ω中的變化范圍來確定的，下面通過例子來說明。例1 利用柱面坐標計算三重積分圍成的閉區域。，其中Ω是由曲面z = x+y與平面z = 4所

22解 把閉區域Ω投影到xOy面上，得半徑為2的圓形閉區域D：0≤r≤2，0≤θ≤2π。在D22內任取一點（r，θ），過此點作平行于z軸的直線，此直線通過曲面z = x+y穿入Ω內，然后通過平面z = 4穿出Ω外。因此閉區域Ω可用不等式 r2≤z≤4，0≤r≤2，0≤θ≤2π 來表示。于是

9.4.2 利用球面坐標計算三重積分

設M（x，y，z）為空間內一點，則點M也可用這樣三個有次序的數r，φ，θ來確定，其中r為原點O與點M間的距離，φ為有向線段看自x軸按逆時針方向轉到有向線段

與z軸正向所夾的角，θ為從正z軸來的角，這里P為點M在xOy面上的投影。這樣的三個數r，φ，θ叫做點M的球面坐標，這里r，φ，θ的變化范圍為 0 ≤ r < +∞, 0 ≤φ≤ π, 0 ≤θ≤ 2π.r = 常數，即以原點為心的球面；

φ= 常數，即以原點為頂點、z軸為軸的圓錐面； θ = 常數，即過z軸的半平面。點M的直角坐標與球面坐標的關系為

（3）

為了把三重積分中的變量從直角坐標變換為球面坐標，用三組坐標面r = 常數，φ=常數，θ= 常數把積分區域Ω分成許多小閉區域。考慮由r，φ，θ各取得微小增量dr，dφ，dθ所成的六面體的體積。不計高階無窮小，可把這個六面體看作長方體，其經線方向的長為rdφ，緯線方向的寬為r sinφdθ，向徑方向的高為dr，于是得 dv = r sinφdrdφdθ，這就是球面坐標系中的體積元素。再注意到關系式（3），就有 2,（4）

其中F（r，φ，θ）= f（r sinφcosθ，r sinφsinθ，r cosφ）。（4）式就是把三重積分的變量從直角坐標變換為球面坐標的公式。

要計算變量變換為球面坐標后的三重積分，可把它化為對r對φ及對θ的三次積分。若積分區域Ω的邊界曲面是一個包圍原點在內的閉曲面，其球面坐標方程為r = r（φ，θ），則。

當積分區域Ω為球面r = a所圍成時，則。

特別地，當F（r，φ，θ）= 1時，由上式即得球的體積，這是我們所熟知的。

例2 求半徑為a的球面與半頂角為α的內接錐面所圍成的立體的體積。解 設球面通過原點O，球心在z軸上，又內接錐面的頂點在原點O，其軸與z軸重合，則球面方程為r = 2acosφ，錐面方程為φ=α。因為立體所占有的空間閉區域Ω可用不等式 0≤r≤2acosφ, 0≤φ≤α, 0≤θ≤2π 來表示，所以

在三重積分的應用中也可采用元素法。

設物體占有空間閉區域Ω，在點（x，y，z）處的密度為ρ（x，y，z），假定這函數在Ω上連續，求該物體的重心的坐標和轉動慣量。與第三節中關于平面薄片的這類問題一樣，應用元素法可寫出

等，其中為物體的質量。

例3 求均勻半球體的重心。

解 取半球體的對稱軸為z軸，原點取在球心上，又設球半徑為a，則半球體所占空間閉區域Ω可用不等式 x+y+z≤a，z≥0 來表示。2222顯然，重心在z軸上，故。，其中為半球體的體積。

因此，重心為。

第二篇：高等數學積分總結[推薦]

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????P??i,?i??xi?Q??i,?i??yi???問題引例：變力沿曲線作功W?lim??0i?1?nn??

1、定義：如果一階微分方程P?x,y?dx?Q?x,y?dy?0的左端恰好是某一個二元積分定義：Px,ydx?limP?,??x,Qx,ydy?limQ??i,?i??yi?ii?i?L?????L????0???0?i?1i?1??函數u的全微分，此時方程的通解為u=C,因此全微分方程的關鍵就是求u?積分的定義可推廣到空間的情況，并可簡寫成?P?x,y?dx?Q?x,y?dy?

2、求解方法：L對坐標的曲線積分????計算方法：本質是將其化為一元定積分?用參數方程、將y化為x?'全微分方程?u?u???第二型曲線積分???①不定積分法：?P,u?Pdx??y,?Pdx??y??????Q???x?y???兩種曲線積分的關系：???②湊微分法???Pdx?Qdy????Pcos??Qcos??ds??③積分因子法：見筆記?Pdx?Qdy?Rdz???Pcos??Qcos??Rcos??ds???? ?其中cos?，cos?，cos?是曲線在一點的與有向曲線同向的切向量的方向余弦?? ?問題引例：曲面的側的定義?指明了曲面是有方向的??????曲面的投影，流體力學中流量問題?=??v?dS???n?積分定義：lim?P??i,?i,?i??Szy?Q??i,?i,?i??Sxz?R??i,?i,?i??Sxy????Pcos??Qcos??Rcos??dS??0?i?1?對坐標的曲面積分??n?limP??i,?i,?i??Szy?Q??i,?i,?i??Sxz?R??i,?i,?i??Sxy???Pdydz?Qdxdz?Rdxdy??第二型曲面積分????0i?1??第一式將定義以第一型曲面積分的形式給出；第二式是我們普遍用的第二型曲面積分??兩個式子反應的是一個東西，也就闡明了兩類曲面積分的聯系??計算方法：投影、代入、轉換???應用：流量的計算

???Q?P? ??格林定理：①曲線正向的定義；②???dxdy,L為D的取正向的邊界曲線?LPdx?Qdy????x?y?D? ???Q?P應用格林公式應注意：1?曲線L必須封閉；2?、在D內每點具有一階連續偏導；3?L為正向曲線 ??x?y?

A?格林公式?曲線積分的路徑無關性：概念，積分值只與初始點的坐標有關?Pdx?Qdy B? ?四個等價命題：在一個單連通區域內，函數P?x,y?、Q?x,y?在G內有一階連續偏導? 則下面四個命題等價：???Q?P ①=；②Pdx?Qdy?0；③Pdx?Qdy與路徑無關；④存在函數ux,y,使du?Pdx?Qdy?????L??L ??x?y ?高斯公式：?是閉曲面?圍成的區域，函數P、Q、R在?上具有一階連續偏導，則???P?Q?R??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?++?dV?????????x?y?z????????P?Q?R?Pcos??Qcos??Rcos?dS?++?dV????????高斯公式?通量散度????x?y?z?????其中?是?的外側，cos?、cos?、cos?是點出法向量的方向余弦?????????P?Q?R?通量與散度：?=?A?dS,divA?++????x?y?z??

?斯托克斯公式：設?是以?為邊界的有向曲面，?的正向與?的側符合右手規則,P,Q,R具有一階連續偏導 ? ??R?Q???Q?P???P?R??Pdx?Qdy?Rdz??dydz??dzdx??dxdy????????L??? ?y?z?z?x?x?y???????????????斯托克斯公式?環流量與旋度?

?環流量與旋度：向量場A沿有向閉曲線?的曲線積分???A?ds稱為A沿?的環流量 ?????R?Q????P?R????Q?P???旋度：rotA= ?????i???k?j????y?z?z?x?x?y???????

積分應用歸納幾何應用：

1、求曲邊梯形的面積：用一元定積分可做

2、求曲頂柱體的體積：用二重積分可做，用三重積分可做

3、曲面的面積:??1dS???dS ?????柱面面積=f?x,y?ds——?牟合方蓋的表面積???Lfy,zds,fx,zds???????LL?該柱面以L為準線，母線平行于z軸，介于z?0與曲面z?f?x,y?之間的部分?

4、平面的面積：其實就是曲面面積的特殊情況，用一元定積分可做，用二重積分可做

物理應用：

1、質量??平面直線桿?一元定積分?????線狀質量?線密度?長度??平面曲線桿?對弧長的曲線積分??這也就解釋了為什么對弧長的積分化為定積分??空間曲線桿被積函數為三元函數的對弧長的曲線積分????????平面面片?二重積分?面狀質量?面密度?面積????空間面片?對曲面的面積積分?立體快質量?體密度?體積??三重積分????解釋了為什么對曲面的面積積分化為二重積分???=f?P?;M??f?P?d??

2、質心?物理重心——質心——幾何中心——形心?概念解釋:物理重心——是在重力場中，物體處于任何方位時所有各組成質點的重力的合力都通過的那一點。規則而密度均勻物體的重心就是它的幾何中心。質心——質量中心簡稱質心，指物質系統上被認為質量集中于此的一個假想點。與重心不同的是，質心不一定要在有重力場的系統中。值得注意的是，除非重力場是均勻的，否則同一物質系統的質心與重心不通常在同一假想點上。形心——面的形心就是截面圖形的幾何中心，質心是針對實物體而言的,而形心是針對抽象幾何體而言的，對于密度均勻的實物體，質心和形心重合。質心的計算：?引入了靜力矩的概念?????x??x,y?d?y??x,y??薄片:x?D???x,y?d?,y???d?D??x,y?d?平面????D??D?x??x,y??dsy??x,曲線桿:x??L?y?ds??????x,y?ds,y?L??x,y?dsL?L3、轉動慣量：定義：I?Mr2Ix???y2??x,y?d?DIy???x2??x,y?d?DI0????x2?y2???x,y?d? D

??

?塊：x??x?dv,y??y?dv???dv??dv空間??面片:x??x?d?,y??y??d????d???d????曲桿:x??x?ds,y??y?ds????ds??ds

第三篇：重積分證明題

證明題（共 46 小題）

1、設函數f(x,y)和g(x,y)在有界閉域D上連續，證明

2、設函數f(x,y)和g(x,y)在D上連續，且f(x,y)≤g(x,y),(x,y)?D，利用二重積分定義證明：

3、設函數f(x,y)在有界閉域D上連續，且M，m分別是f(x,y)在D上的最大值與最小值，證明：

其中σ是D的面積。

4、設函數f(x,y)在有界閉域D上連續，證明：

5、設函數f(x,y)在有界閉域D上連續，證明在D上必有點(ξ,η)使得

成立，其中σ是D的面積。

6、設函數f(x,y)在有界閉域D上連續，且D可以分為兩個閉域D1和D2，證明

7、設D={(x,y)}｜a≤x≤b,－φ(x)≤y≤φ(x)},試證

其中φ(x)在[a,b]上連續，f(x),g(y)均在D上連續，且g(－y)=－g(y).8、設D={(x,y)｜a≤x≤b,－φ(x)≤y≤φ(x)},試證

[a,b]上連續，f(x,y)在D上連續且f(x,－y)=－f(x,y).9、設f(x,y)是連續函數，證明其中a,m為常數，且a>0.10、設f(u)為連續函數，試證

其中φ(x)在11、設f(x,y),g(x,y)在有界閉區域D上連續，且g(x,y)≥0,證明：在D上必有點(ξ,η),使

成立。

12、設f(x,y)為區域D：上的連續函數，試證

13、利用二重積分的估值性質，證明 線－x+y=1,x+y=1及ox軸所圍成的區域。

其中D是由直

14、設f(x)在[a,b]上連續，證明 其中n>0.15、證明：

大于1的自然數。

16、設f(x),g(x)在[a,b]上連續，試用二重積分證明不等式：

17、設f(x)在[0,1]上連續，證明

18、設f(x)在[a,b]上連續，證明不等式

19、設p(x)是[a,b]上的非負連續函數，f(x),g(x)是[a,b]上的連續單增函數，證明

20、設f(x)是[0,1]上的連續正值函數，且f(x)單調減少，證明不等式：

其中n為

21、設f(x)是[0,1]上的連續單增函數，求證：

22、設f(u)是連續函數，證明

及x=－1所圍成的區域。

23、設f(t)為連續函數，證明

其中D是由y=x3,y=

124、設f(t)是連續函數，證明

其中A為正常數，其中a2+b2≠0.25、設f(t)是連續函數，證明

26、設f(x)在[0,a]上連續，證明

27、設f(x)是[a,b]上的連續正值函數，試證不等式：

其中D：a≤x≤b,a≤y≤b.28、設f(u)為可微函數，且f(0)=0,證明

29、設Ω為空間有界閉區域，f(x,y,z)在Ω上連續，若?(ξ,η,ζ)∈Ω使得任意閉區域D，D?Ω，都有f(x,y,z)dv=f(ξ,η,ζ)VD,VD為D的體積，試證f(x,y,z)在Ω上是常數。

30、錐面x2+y2－z2=0將閉區域x2+y2+z2≤2az(a>0)分割成兩部分，試證其兩部分體積的大小之比為3：1.31、設D1與D2分別是第一象限由

以及x2+y2≤a2(a>0)所確定的閉區域，試證：面積關系式

32、設Ω是由曲面(a1x+b1y+c1z)2+(a2x+b2y+c2z)2+(a3x+b3y+c3z)2=1所圍的有界閉區域，,f(x,y,z)在Ω上連續，試證：?(ξ，η，ζ)∈Ω滿足

.33、設Ω為單位球體x2+y2+z2≤1,試證可選擇適當的坐標變換，使得

(a2+b2+c2=1)

34、設Ω是上半單位球體x2+y2=z2≤1,z≥0,f(x,y,z)在Ω上連續，試利用球面坐標積分方法證明?(ξ，η，ζ)∈Ω使得

222222???f(x,y,z)dv?f(?,?,?)(???)(?????)??.?

35、試證：對形狀為z=的增速與液面高度成正比。

36、設Ω為一半橢球體x2+y2+試證：

.(a;b>0)的容器，當其液面高度增速為常數時，其容積,z≥0.g(u)為一單調增函數。

37、試證：在平面薄片關于所有平行于oy軸的軸的轉動慣量中，對于穿過重心的軸所得的轉動慣量最小。

38、設Ω為由

≤1所確定的立體(0＜a≤b≤c)，其密度函數ρ=ρ(z)為關

[(x于z的偶函數。試證：對任意的(x0,y0,z0)∈Ω，關于(x0,y0,z0)的轉動慣量滿足I(x0,y0,z0)=－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2]ρ(z)dv≤I(0,0,c).39、體密度為ρ(x,y,z)的空間立體Ω關于(x0,y0,z0)的轉動慣量定義為：I(x0,y0,z0)=－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2]ρ(x,y,z)dv.試證：I(x0,y0,z0)≥,其中

[(x

是Ω的重心坐標。

40、設Ω為一有界閉區域，f(x,y,z)在Ω上連續。若對任意Ω1,Ω2

?Ω,其對應體積為V1，V2，只要V1

。試證：f為正常數。

41、設f(z)在[－1,1]上有連續的導函數，試證：

42、設f(t)為一單調增函數，試證：

43、設f(u)為一單調增函數，試證：，其中

a2+b2+c3=1.44、設f(x,y,z)在有界閉區域D上連續，若對任意閉區域D1，D1

?

D都有，試證在 D上f(x,y,z)≤0.45、設Ω為區域x+y+z≤1,P0(x0,y0,z0)為Ω外的一點，試證：

22。

46、設f(x,y,z)在有界閉區域Ω上連續，若

f(x,y,z)dv=f(x0,y0,z0)·V,V為Ω的體積，試證：當f(x0,y0,z0)取到f(x,y,z)的最大值或最小值時f(x,y,z)在Ω必是一個常數。

第四篇：重積分總結

多重積分的方法總結

計算根據被積區域和被積函數的形式要選擇適當的方法處理，這里主要是看被積區域的形式來選擇合適的坐標形式，并給區域一個相應的表達，從而可以轉化多重積分為多次的積分形式．具體的一些作法在下面給出．

一．二重積分的計算

重積分的計算主要是化為多次的積分．這里首先要看被積區域的形式, 選擇合適的坐標系來進行處理．二重積分主要給出了直角坐標系和極坐標系的計算方法．我們都可以從以下幾個方面把握相應的具體處理過程：1.被積區域在幾何直觀上的表現（直觀描述，易于把握）；2.被積分區域的集合表示（用于下一步確定多次積分的積分次序和相應的積分限）；3.化重積分為多次積分．

1.在直角坐標下：(a)X-型區域

幾何直觀表現：用平行于y軸的直線穿過區域內部，與邊界的交點最多兩個．從而可以由下面和上面交點位于的曲線確定兩個函數y?y1(x)和y?y2(x)；

被積區域的集合表示：D?{(x,y)a?x?b,y1(x)?y?y2(x)}； 二重積分化為二次積分：

??Df(x,y)dxdy??dx?aby2(x)y1(x)f(x,y)dy．

(b)Y-型區域

幾何直觀表現：用平行于x軸的直線穿過區域內部，與邊界的交點最多兩個．從而可以由左右交點位于的曲線確定兩個函數x?x1(x)和x?x2(x)；

被積區域的集合表示：D?{(x,y)c?y?d,x1(x)?x?x2(x)}； 二重積分化為二次積分：

??f(x,y)dxdy??Ddcdx?x2(y)x1(y)f(x,y)dx．

2.在極坐標下：

幾何直觀表現：從極點出發引射線線穿過區域內部，與邊界的交點最多兩個．從而可以由下面和上面交點位于的曲線確定兩個函數r?r1(?)和r?r2(?)（具體如圓域，扇形域和環域等）；

被積區域的集合表示：D?{(r,?)?1????2,r1(?)?r?r2(?)}，注意，如果極點在被積區域的內部，則有特殊形式D?{(r,?)0???2?,0?r?r2(?)}； 直角坐標下的二重積分化為極坐標下的二重積分，并表示成相應的二次積分：

??Df(x,y)dxdy???f(rcos?,rsin?)rdrd???d??D?2r2(?)?1r1(?)f(rcos?,rsin?)rdr．

注：具體處理題目時，首要要能夠選擇適當的處理方法，并能夠實現不同積分次序及直角坐標和極坐標的轉化．

3.二重積分的換元法：

z?f(x,y)在閉區域D上連續，設有變換

?x?x(u,v)T?,(u,v)?D? y?y(u,v)?將D?一一映射到D上，又x(u,v),y(u,v)關于u, v有一階連續的偏導數，且

J??(x,y)?0,(u,v)?D? ?(u,v)則有

??f(x,y)dxdy???f(x(u,v),y(u,v))Jdudv．

DD?

二．三重積分的計算

三重積分具體的處理過程類似于二重積分，也分為三個步驟來進行處理． 1.在直角坐標下：

空間區域幾何直觀表現：用平行于z軸的直線穿過區域內部，與邊界曲面的交點最多兩個．從而可以由下面和上面交點位于的曲面確定兩個函數z?z1(x,y)和z?z1(x,y)，并把區域投影到xoy面上從而確定(x,y)的范圍，記為Dxy；

被積區域的集合表示：V?{(x,y,z)(x,y)?Dxy,z1(x,y)?z?z2(x,y)}, 進一步地, Dxy可以表示成X－型區域或Y－型區域;三重積分化為三次積分：

???f(x,y,z)dV???dxdy?VDxybaz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（所謂“二套一”的形式）dy?z2(x,y)??dx?dy2(x)y1(x)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（Dxy為X－型）

??dy?cx2(y)x1(y)dx?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（Dxy為Y－型）

注：類似于以上的處理方法，把空間區域投影到 yoz面或zox面又可把三重積分轉化成不同次序的三次積分．這時區域幾何直觀表現，區域的集合表示，以及新的三次積分次序如何？可見，三重積分最多可以對應六種積分次序．這里還有所謂一套二的處理方法，區域的直觀表現為：平行于xoy面的截面面積容易求得．作為被積函數最好與x，y無關，即可表示為為f(z)．則區域表示為：

V?{(x,y,z)c?z?d,(x,y)?Dz}, 其中Dz表示垂直于z軸的截面．此時，三重積分化為：

???f(x,y,z)dV??Vdcdz??f(z)dxdy

（所謂“一套二”的形式）

Dz

??f(z)SDzdz

cd其中SDz表示截面Dz的面積，它是關于z的函數．

2.在柱坐標下：

柱坐標與直角坐標的關系：

?x?rcos???y?rsin?,(0?r??,0???2?,???z???)?z?z?空間區域幾何直觀表現：用平行于z軸的直線穿過區域內部，與邊界曲面的交點最多兩個，從而可以由下面和上面交點位于的曲面確定兩個函數z?z1(x,y)和z?z1(x,y)．空間區域在xoy面上的投影區域易于用參數r和?表示范圍（具體如圓域，扇形域和環域等），并且z?z1(x,y)和z?z1(x,y)也易于進一步表示z成關于r,?較簡單的函數形式，比如x2?y2可以看成一個整體（具體如上、下表面為旋轉面的情形）；

被積區域的集合表示：

V?{(r,?)?1????2,r1(?)?r?r2(?),z1(r,?)?z?z2(r,?)}；

直角坐標下的三重積分化為極坐標下的三重積分，并表示成相應的三次積分：

???f(x,y,z)dV????f(rcos?,rsin?,z)rdrd?dzVV??d???1?2r2(?)r1(?)rdr?z2(r,?)z1(r,?)f(rcos?,rsin?,z)dz．

3.在球坐標下：

球坐標與直角坐標的關系： ?x?rsin?cos???y?rsin?sin?,(0?r??,0???2?,0????)?z?cos??空間區域幾何直觀表現：從原點出發引射線穿過區域內部，與邊界曲面的交點最多兩個，從而可以由下面和上面交點位于的曲面確定兩個球坐標函數r?r1(r,?)和r?r2(r,?);（具體如球心在原點或z軸上的球形域）

被積區域的集合表示：

V?{(r,?,?)?1????2,?1????2,r1(?,?)?r?r2(?,?)}；

直角坐標下的三重積分化為極坐標下的三重積分，并表示成相應的三次積分：

???Vf(x,y,z)dV????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?drd?d?

V=?2?0d??d??02??r2(?,?)r1(?,?)f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?dr．如球心在原點半徑為a的球形域下：

???Vf(x,y,z)dV??d??d??f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?dr．

000?a4.三重積分的換元法：

u?f(x,y,z)在閉區域V上連續，設有變換

?x?x(u,v,w)?T:?y?y(u,v,w),(u,v,w)?V? ?z?z(u,v,w)?將V?一一映射到V上，又x(u,v,w),y(u,v,w)和z(u,v,w)關于u, v和w有一階連續的偏導數，且

J??(x,y,z)?0,(u,v)?V?

?(u,v,w)則有

???f(x,y,z)dV????f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))Jdudvdw．

VV

三．重積分的幾何和物理應用 1.幾何應用

a)二重積分求平面區域面積；b)二重積分求曲頂柱體體積；c)三重積分求空間區域的體積；d)二重積分求空間曲面的面積．

求曲面的面積A，對應著曲面方程為直角坐標系下的二元函數形式和參數方程形式分別有以下公式：

i)曲面方程 S:z?f(x,y),(x,y)?D

A???1?fx2?fy2dxdy

D?x?x(u,v)?ii)曲面參數方程S:?y?y(u,v),(u,v)?Duv

?z?z(u,v)?iA???(xui?yuj?zuk)?(xvi?yvj?zvk)dudv???xuDuvDuvjyuyvkzududv zvxv注：這里的公式都對函數有相應的微分條件． 2.物理應用

包括求質量、質心、轉動慣量和引力等應用，積分是研究物理問題的重要工具．建立物理量對應的積分公式的一般方法是從基本的物理原理出發，找到所求量對應的微元，也就是對應積分的被積表達式了．

以上對多重積分的計算方法做了個小結，關鍵要在具體的情況下要找到對應的適宜的處理方法．處理重積分計算時從幾何形式出發，則易于直觀把握．注意選擇適當的坐標系，注意被積區域的表達，還要注意函數關于區域的對稱性．這種對稱性包括奇對稱和偶對稱，從而可以簡化計算過程．

第五篇：數學分析 重積分

《數學分析》教案

第二十一章 重積分

教學目的：1.理解并掌握二重積分的有關概念及可積條件，進而會計算二重積分；2.理解三重積分的概念，掌握三重積分的計算方法，并能應用其解決有關 的數學、物理方面的計算問題；

教學重點難點：本章的重點是重積分的計算和格林公式；難點是化重積分為累次積分。

教學時數：22學時

§ 1 二重積分概念

一.矩形域上的二重積分 : 從曲頂柱體的體積引入.用直線網分割.定義 二重積分.例1 用定義計算二重積分

.用直線網

分割該正方形 , 在每個正方形上取其右上頂點為介點.解

.二.可積條件 : D

.大和與小和.Th 1 ，.《數學分析》教案

性質6

.性質7 中值定理.Th 若區域D 的邊界是由有限條連續曲線()組成 , 例3 去掉積分

在D上連續 , 則

在D上可積.或

中的絕對值.§ 2 二重積分的計算

二.化二重積分為累次積分:

1.矩形域

上的二重積分:

用“ 體積為冪在勢上的積分”推導公式.2.簡單域上的二重積分: 簡推公式, 一般結果]P219Th9.例1 ，.解法一 P221例3 解法二 為三角形, 三個頂點為 ,.例2 ,.P221例2.例3 求底半徑為 的兩直交圓柱所圍立體的體積.P222例4.《數學分析》教案

解法一(直接計算積分)曲線AB的方程為

.方向為自然方向的反向.因此

.解法二(用Green公式)補上線段BO和OA(O為坐標原點), 成閉路.設所圍

區域為D, 注意到 D為反向, 以及, 有

.例2 計算積分 I =, 其中L為任一不包含原點的閉區域D的邊界(方向任意)P227例2 解 導數)..（和

在D上有連續的偏,.于是, I =.二.曲線積分與路線無關性:

《數學分析》教案

;.例6 驗證式 P231例4

是恰當微分, 并求其原函數.§ 4 二重積分的變量變換:（4時）

1.二重積分的變量變換公式: 設變換 的Jacobi , 則

, 其中 是在該變換的逆變換

下平面上的區域 在

平面上的象.由條件

一般先引出變換

.而 , 這里的逆變換是存在的., 由此求出變換

.例1 ,.P235 例1.註

當被積函數形如 區域為直線型時, 可試用線性變換 , 積分.《數學分析》教案

極坐標變換: ,.廣義極坐標變換: ,.例4.P240例3.例5(Viviani問題)求球體 被圓柱面

所割下立體的體積.P240例4.例6 應用二重積分求廣義積分

.P241例5.例7 求橢球體

四.積分換序: 例8 連續.對積分的體積.P241例6.換序..例9 連續.對積分

換序..例10 計算積分

..§ 5 三重積分簡介

《數學分析》教案

例2 , :.解.法一(內二外一), 其中 為橢圓域 , 即橢圓域, 其面積為.因此

.同理得 ,.因此.法二(內一外二)上下對稱，為 的偶函數，1

《數學分析》教案

Th 21.13 P247.1.柱坐標: P248.例4 ，:

.P248例3 2.球坐標: P249.P 250例4.§ 6 重積分的應用

一、曲面的面積

設曲面方程為

.有連續的一階偏導數.推導曲面面積公式 , 或.例1 P253例1`.3-