第一篇：高中數學教學論文 排列組合的解題策略（本站推薦）

高中數學教學論文：排列組合的解題策略

讓學生成為“演員”——也談排列組合的解題策略

排列組合作為高中代數課本的一個獨立分支，因為極具抽象性而成為“教”與“學”難點。有相當一部分題目教者很難用比較清晰簡潔的語言講給學生聽，有的即使教者覺得講清楚了，但是由于學生的認知水平，思維能力在一定程度上受到限制，還不太適應。從而導致學生對題目一知半解，甚至覺得“云里霧里”.針對這一現象，筆者在日常教學過程中經過嘗試總結出一些個人的想法跟各位同行交流一下。

筆者認為之所以學生“怕”學排列組合，主要還是因為排列組合的抽象性，那么解決問題的關鍵就是將抽象問題具體化，我們不妨將原題進行一下轉換，讓學生走進題目當中，成為“演員”，成為解決問題的決策者。這樣做不僅激發了學生的學習興趣，活躍了課堂氣氛，還充分發揮學生的主體意識和主觀能動性，能讓學生從具體問題的分析過程中得到啟發，逐步適應排列組合題的解題規律，從而做到以不變應萬變。當然，在具體的教學過程中一定要注意題目轉換的等價性，可操作性。

下面筆者將就教學過程中的兩個難點通過兩個特例作進一步的說明：

1、占位子問題例1：將編號為1、2、3、4、5的5個小球放進編號為1、2、3、4、5的5個盒子中，要求只有兩個小球與其所在的盒子編號相同，問有多少種不同的方法？

① 仔細審題：在轉換題目之前先讓學生仔細審題，從特殊字眼小球和盒子都已“編號”著手，清楚這是一個“排列問題”，然后對題目進行等價轉換。

② 轉換題目：在審題的基礎上，為了激發學生興趣進入角色，我將題目轉換為：讓學號為1、2、3、4、5的學生坐到編號為1、2、3、4、5的五張凳子上（已準備好放在講臺前），要求只有兩個學生與其所坐的凳子編號相同，問有多少種不同的坐法？

③ 解決問題：這時我在選另一名學生來安排這5位學生坐位子（學生爭著上臺，積極性已經得到了極大的提高），班上其他同學也都積極思考（充分發揮了學生的主體地位和主觀能動性），努力地“出謀劃策”，不到兩分鐘的時間，同學們有了統一的看法：先選定符合題目特殊條件“兩個學生與其所坐的凳子編號相同”的兩位同學，有C 種方法，讓他們坐到與自己編號相同的凳子上，然后剩下的三位同學不坐編號相同的凳子有2種排法，最后根據乘法原理得到結果為2×C =20（種）。這樣原題也就得到了解決。

④ 學生小結：接著我讓學生之間互相討論，根據自己的分析方法對這一類問題提出一個好的解決方案。（課堂氣氛又一次活躍起來）

⑤ 老師總結：對于這一類占位子問題，關鍵是抓住題目中的特殊條件，先從特殊對象或者特殊位子入手，再考慮一般對象，從而最終解決問題。

2、分組問題例2：從1、3、5、7、9和2、4、6、8兩組數中分別選出3個和2個數組成五位數，問這樣的五位數有幾個？

用心

愛心

專心 1

（本題我是先讓學生計算，有很多同學得出的結論是P ×P）

① 仔細審題：先由學生審題，明確組成五位數是一個排列問題，但是由于這五個數來自兩個不同的組，因此是一個“分組排列問題”，然后對題目進行等價轉換。

② 轉換題目：在學生充分審題后，我讓學生自己對題目進行等價轉換，有一位同學A將題目轉換如下：從班級的第一組（12人）和第二組（10人）中分別選3位和2位同學分別去參加蘇州市舉辦的語文、數學、英語、物理、化學競賽，問有多少種不同的選法？

③ 解決問題：接著我就讓同學A來提出選人的方案同學A說：先從第一組的12個人中選出3人參加其中的3科競賽，有P ×P 種選法；再從第二組的10人中選出2人參加其中2科競賽有P ×P 種選法；最后由乘法原理得出結論為（P ×P）×（P ×P）（種）。（這時同學B表示反對）

同學B說：如果第一組的3個人先選了3門科目，那么第二組的2人就沒有選擇的余地。所以第二步應該是P ×P.（同學們都表示同意，但是同學C說太蘩）

同學C說：可以先分別從兩組中把5個人選出來，然后將這5個人在5門學科中排列，他列出的計算式是C ×C ×P（種）。（再次通過互相討論，都表示贊賞）

這樣原題的解答結果就“浮現”出來C ×C ×P（種）。

④ 老師總結：針對這樣的“分組排列”題，我們多采用“先選后排”的方法：先將需要排列的對象選定，再對它們進行排列。

以上是我一節課兩個例題的分析過程，旨在通過這種方法的嘗試（教學效果比較明顯），進一步活躍課堂氣氛，更全面地調動學生的學習積極性，發揮教師的主導作用和學生的主體作用，讓學生在互相討論的過程中學會自己分析轉換問題，解決問題。

用心

愛心

專心 2

第二篇：排列組合常見的解題策略

“排列組合常見的解題策略”課例

張玉華

一、教材分析

排列和組合是數學基礎知識的重要組成部分之一，它在解決實際問題以及科學技術的研究中都有廣泛的應用；在排列組合問題中充分體現了分類、化歸的數學思想。它應用性強，具有題型多變，條件隱晦，思維抽象，分類復雜，問題交錯，易出現重復和遺漏以及不易發現錯誤等特征。因而在這部分教學中，應充分調動學生的積極性，強調學生的主體作用，明確基本原理，注重思維過程的分析，讓學生在問題解決的過程中不斷反思探索規律，體驗成功，從而提升學生的思維能力。而且是概率的基礎。

二、學情分析

高三(1)班的同學基礎差，但勤奮好學，有一定的潛力。

三、教學目的

1、認知目標：

使學生進一步理解并掌握處理排列組合問題的基本策略，進一步體會分類與化歸的數學思想方法以及分析與解決問題的能力，培養學生的探索創新意識。

2、技能目標：

充分發揮教師的主導和學生的主體作用，使學生的自主意識、自學能力、探索創新意識得到發展。

3、情感目標：

培養學生的自信心和學習興趣，樹立實事求是的科學態度和不怕困難的進取精神，積極探索，進而培養學生的創新能力。

四、教法分析

根據排列組合的知識特點“條件隱晦，思維抽象”，在教學中采用發現法，堅持“思路教學”，深鉆教材，注意從實驗入手，模擬發現，從特殊到一般，歸納出一般的規律，優化學生的思路，激活學生的思維。

五、教學過程分析

1、復習思考

（1）處理排列組合問題的常見解題策略(提問學生作答)問題

一、街道旁有編號1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共十只路燈，為節約用電又不影響照明，可以把其中的三只燈相滅，但不能同時熄滅相鄰兩只，在兩端的兩只路燈不熄滅的情況下，問不同的熄燈方法有多少種? ①通過復習提問總結解決排列組合問題的基本思路和方法。

②設置問題情景，激發學生的學習欲望。通過引導，學生得出多種解法，從而優化思維，發現規律為構造數學模型一做好鋪墊。

2、創設情景 練習（1）：四個相同蘋果分給三個人，沒人至少一個，有多少種分配方案?(提問，多解)，電腦演示。

（2）：把六個名額分給三個班級，沒班至少一個名額，有多少種分法?(提問多解)，電腦演示，介紹插板法。鞏固創設情景。

體現化歸思想，并將問題發散，從不同角度展示出問題的共性，給學生自主發現、探索的空間，引入“插板”這一解決問題的策略。

3、提出猜想

你能編一道與本題意思相近的習題或將本題推廣嗎? 學生是學習的主體，是課堂教學的探索者、發現者和創造者，讓他們的智慧火花充分閃亮。

4、探得索出分結析論 模型一：把n個相同的小球放入m個不同的盒子中，要求每盒至少有一個球，問有多少種不同的方法? 歸納出共性，推廣到一般，抽象出數學模型，使學生的思維得到提升。

5、問題解決進一步推廣 練習：(分組討論)（1）求方程x+y+z=16的正整數解的組數。

（2）15個蘋果分給三個人，每人至少兩個，有多少種分法?（3）把二十個相同的小球放入編號為1、2、3、4、的四個盒子中，要求每個盒子中的小球數目不少于編號數，求不同的放法種數。

弄清問題本質，將問題轉化為模型，并能應用模型解決問題。

6、新情境設計

（1）第二小題條件改為每人至少三個，有多少種分法?（2）學生總結規律。

（3）如果條件改為每人分得蘋果個數不限，有多少種分法種數?（4）你能將本題推廣嗎?（5）改變條件提出新問題，讓學生有一個再發現，再創造的過程。（6）培養學生自主探索創新意識。

7、探索分析

用電腦演示每人至少分得一個蘋果、二個蘋果和三個蘋果的情形，并由學生總結規律。體現從特殊到一般的思維方法，模擬發現，激勵探索，激活思路。

8、得出結論

模型

二、把n個相同的小球放入m個不同盒子(n≥m≥1)，每個盒子容量不限，有多少種不同方法? 比較差異，將模型一進一步推廣，使學生在“好奇”中產生“內驅力”，進而產生不斷探索的愿望。

9、問題

（1）中日圍棋擂臺賽規定各國各出7名隊員，按事先排好的順序出場參加圍棋擂臺賽，雙方先由1號隊員比賽，負者被淘汰，勝者再與負方2號隊員比賽?，直到有一方隊員全被淘汰為止，另一方獲得勝利，形成一個比賽過程，試求中方獲勝的所有可能出現的比賽過程的種數?（2）從7個學校選出12人組成足球聯隊，要求每校至少有一個人參加，問各校名額分配共有多少種不同情況? 將問題綜合，讓學生分享探索帶來的成果，感受問題解決的成功喜悅，同時也使他們進一步掌握分類的數學思想和化歸的方法，激發探索的欲望。

10、小結

小結：回顧上述幾個例題的解答過程，我們可以看到一個共同的特點，就是利用一一對應關系將一種不易直接求得其數目的計數模式轉化為另一種易于計算的模式，從而收到了簡化問題的效果，可以說，這種通過建立一一對應關系而化難為易的方法是數學中一種常用的方法，并且在代數問題發揮著極大的作用。另外，我們還推出了兩個模型，大家回去后希繼續對這個模型進行研究，掌握這個模型的各種變化，并要善于把各種具體問題歸結成這個模型的某一種方式，那么解排列組合問題就有了一定的規律可循了。

六、課題后記

1、本著堅持以學生是探索發現的主體這一教學原則，教師的角色從知識的傳播者轉化為學生主動學習，主動探索的引導者和促進者：學生以被動接受知識轉到主動參與，在討論探索中獲取知識。學生在教師的適時點撥下，通過自己動腦，探索出兩個模型。由于學生親自品嘗了自己發現的樂趣，更激起了他們強烈的求知欲和創造欲。

2、體現循序漸進原則。本課例的例題，練習題的安排體現了思維的階梯性，一步一個臺階，逐步引向深入。由于問題處在學生思維水平的“最近發展區”，因而為學生提供了自由想象的空間，最后指引學生進行變式練習，提出了新的探索目標，從而滿足了不同層次學生的需要，充分體現了數學素質教育的思想。同時充分肯定學生的每一點進步，使學生增強學好數學的信心。

3、通過現代化教育技術，以電腦動畫方式模擬思維的動態過程，將抽象內容形象化，激發學生興趣，培養學生觀察、分析和抽象概括能力。學生的“再發現”不是放任自流，而是在教師精心設計教學過程，創設問題情境，讓學生自己從知識的發生，發展過程中去發現新知識，認識新知識，從而積極主動地參與學習，充分體現教師的主導作用。

4、層層建構，分層遞進，引導學生逐步深入，符合學生的認知特點使學生易于理解，培養學生的創新精神，優化學生的思維品質。解決重點，突破難點，通過分層遞進，既可照顧后進生，又可促進優等生，達到面向全體學生的目的，使不同的學生都能得到發展。

七、點評

學習數學的過程是知識建構的過程，是思維訓練的過程。本節課充分發揮學生的主體作用，通過精心設計問題，讓學生去探索，發現從特殊到一般，歸納規律，構造數學模型，掌握分類的數學思想和化歸的方法，分層遞進不斷深化。課堂思維密度大，高潮迭起，是培養學生創新能力和課堂開展研究性學習的典型范例。

第三篇：排列組合問題的解題策略的教學設計

《排列組合問題的解題策略》教學設計

河北圍場一中 王嘉偉

一、整體設計思路、指導依據：

《數學新課程標準》中指出好的數學教育要從學習者的已有知識和實際生活經驗出發，提供給學生數學實踐和交流的機會。”數學是解決生活中一些實際問題的工具，同時還開發智力，培養學生的邏輯思維能力。面對實際問題時，能主動嘗試著從數學的角度運用所學知識和方法尋求解決問題的策略，是數學應用意識的重要體現。為學生后面學習排列組合問題打下基礎。

二、教學背景分析： “排列組合問題的解題策略”是人教版普通高中課程標準（實驗）教科書選修2-3第一章計數原理中的內容，排列和組合的思想方法不僅應用廣泛，而且是學生學習概率統計的知識基礎，同時也是發展學生抽象能力和邏輯思維能力的好素材。在高考中也是考點之一，本節重點在向學生滲透分類討論，轉化等數學思想方法，并初步培養學生有順序地、全面地思考問題的意識，為學生今后學習組合數學和學習概率統計奠定基礎。簡單的兩種計數原理和排列組合 基本掌握了，由于本班學生的基礎不是很好，數學水平參差不齊，所以采取小組合作學習的方式合理分配學生資源，借助集體的智慧來解決問題。本節課是在學生掌握簡單的排列組合問題的基礎上的，對排列組合問題的一個拓展。

三、教學目標：

知識目標：1.掌握加法原理和乘法原理，并能用這兩個計數原理解決簡單問題。2.掌握排列、組合問題應用的幾種常見方法。能力目標：掌握有限制條件的排列組合的應用題的常用分析方法。情感目標：體會解決排列組合問題中運用的數學思想。

四、教學重點、難點分析：

重點：有限制條件的排列組合問題的綜合應用。難點：解決較復雜的排列組合問題的思想與解題策略

五、教學過程設計：

1．課程引入：平安夜的故事：

“蘋果”是平平安安的諧音，象征著平安、祥和之意，所以說平安夜吃蘋果能保一年平安。時間：13年12月24日晚。地點：XX職校女生公寓樓302室。

人物：寢室所有成員，包括英亞、竹萍、陳燕、劉佳、徐紅、周甜、龔佳、錢麗共八人。在這個特別的夜晚，劉佳提議，準時在十二點吃蘋果，可大家發現沒有準備蘋果。陳燕說：“我這里有些蘋果。”她拿出一袋蘋果。大家一看，只有大小不一的五個。竹萍說：“我柜子里面還有幾個梨。”竹萍拿出來一清，有四個形狀各異的梨。大家說：“沒辦法了，拿三個梨來湊吧。”

出招：從四個形狀各異的梨中拿出三個，有多少種方法？ 竹萍從中拿出了三個最好看的梨。

徐紅說：“我不喜歡吃梨，我只喜歡吃蘋果，所以我一定要吃蘋果。” 英亞說：“好吧。我來負責分派。”

出招：要保證徐紅一定吃到蘋果，有多少種分派方法？ 周甜說：“我也要吃蘋果！平安夜當然吃蘋果。”

出招：，徐紅和周甜兩人都吃到蘋果，有多少種分派方法？

竹萍出招：五個大小不一的蘋果和三個形狀各異的梨分給八個人，每人一個，其中周甜吃蘋果，徐紅吃梨，有多少種分派方法？

有人說，你們倆只能有一個人吃蘋果。徐紅說：“那讓周甜吃蘋果吧，我吃梨好了。錢麗說：“這樣吧，我們把八個水果放在桌上排成一排，然后關燈，每人摸一個。” 出招：八個不同的水果排成一排，有多少種排方法？

劉佳說：“平安夜，第一個一定要放蘋果以示平安。”出招：五個大小不一的蘋果和三個形狀各異的梨排成一排，第一個一定要放蘋果，有多少種排法？

陳燕說：“第一個放不放蘋果不要緊，大家只要盡量把蘋果和梨分開就好，就是不要讓任何兩個梨挨在一起。” 出招：五個大小不一的蘋果和三個形狀各異的梨排成一排，其中梨不能挨在一起，有多少種排方法？ 徐紅說：“這樣不好，分梨分離。我們寢室每個人都應該團結，心不能分離。所以，應該把這些梨全放在一起。出招：五個大小不一的蘋果和三個形狀各異的梨排成一排，其中梨必須放在一起有多少種排方法？ 正在大家討論得正熱烈的時間，響起了熄燈鈴聲。

“唉啊，快。”英亞低聲叫道：“睡覺時間到了！快去床上！”

英亞連忙關掉燈。黑暗中誰低聲叫了一句：“快拿水果！”大家連忙從桌上各自摸起一個水果，快速鉆入被窩。寢室迅速安靜下來。

漸漸地，八個同學都在安靜中睡著了。當然，最終她們沒有破壞寢室的紀律，沒有在半夜起來吃蘋果。故事新編:(課下思考）

對＜平安夜的故事＞進行重新編排，要求在故事里穿插至少三個有關排列，組合，或基本計數原理的問題。

從上面的故事中找出我們所運用到的排列組合這一章所學的知識和方法。

設計意圖：用一則小故事引出排列組合常見的問題：相鄰，不相鄰，特殊元素，特殊位置安排的問題。

2、典例分析：（分組討論，學生講解，教師指導幫助總結）

（1）特殊元素和特殊位置優先策略：

例

1、由0,1,2,3,4,5，可以組成多少個沒有重復數字的五位奇數。師：若改成偶數呢，又該如何分析？

變式：7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少種不同的種法？

設計意圖： 位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法，要求學生熟練掌握。（2）相鄰元素捆綁策略：

例2.7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法。練習：5個男生3個女生排成一排，3個女生要排在一起，有多少種不同的排法？ 設計意圖：要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.（3）不相鄰問題插空策略: 例3.一個晚會的節目有4個舞蹈，兩個相聲，三個獨唱，舞蹈節目不能連續出場，則節目的出場順序有多少種？

變式：某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目，如果將這兩個新節目插入原節目單中，且兩個新節目不相鄰，那么不同的插法種數為________.師：元素不相鄰問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端 拓展：請同學把上述兩個問題綜合在一起出道題，題中包含相鄰和不相鄰問題。

設計意圖：幫助學生分析這兩類問題的解決辦法，并進行延伸，通過小組討論解決問題，形成思路。（4）、定序問題：空位，插入；倍縮策略

例4.7人排隊，其中甲乙丙3人順序一定，共有多少種不同的排法？

練習：學考考試6門科目，歷史要排在化學前面考，有多少種不同的安排順序？ 師：定序問題可以用倍縮法，還可轉化為占位插入模型處理

設計意圖：通過演示，板書讓學生理解占位插入模型的含義，從而解決排列組合中相似的問題。（5）重排問題求冪策略：

例5.把6名實習生分配到7個車間實習，共有多少種不同的分法？ 練習：

1、4人爭奪3個比賽項目的冠軍，問冠軍得主的可能性。

2、某8層大樓，一樓電梯上來8名乘客，他們到各自的一層下電 梯，下電梯的方法有（）種。師：一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數為(6)排列組合混合問題先選后排策略：

種

例6.有5個不同小球，裝入4個不同的盒內，每盒至少裝一球，共有多少種不同的裝法。

練習：一個班有6名戰士，其中正副班長各1人，現在從中選4人完成四種不同的任務，每人完成一種任務，且正副班長有且只有1人參加，則不同的選法有________種。師：解決排列組合的混合問題,先選后排是最基本的指導思想.設計意圖：近幾年高考中出現頻率較多的一類問題，通過典型例題找出解決問題的思路，引導學生尋求解題辦法。

(7)平均分組問題除法策略：

例8.6本不同的書，按如下方式分配，各有多少種不同的分法？ 1.分成一堆一本，一堆2本，一堆3本。2.甲得一本，乙得2本，丙得3本。3.一人得一本，一人得2本，一人得3本。4.平均分成3堆，每堆2本.5.分給甲乙丙三人，每人選2本。

練習：1.將13個球隊分成3組，一組5個隊，其他2組4個隊，有多少分法？

2.某校高二年級共有6個班級，現從外地轉入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數為__________.師：平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(n為均分的組數)避免重復計數。

設計意圖：學生對于這類問題容易把幾個問題混淆，通過解決這個例題讓學生理解平均分組問題的解決方案。

（8）合理分類與分步策略：

例8.在一次演唱會上共10名演員，其中8人能夠唱歌，5人會跳舞，現要演出一個2人唱歌2人伴舞的節目，有多少種選派方法？

師：請同學們選擇3個分類標準進行討論：

練習：從4名男生和3名女生中選4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有________.設計意圖：解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質進行分類，按事件發生的連續過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。

課堂檢測：(考題重現）

1、(2014年廣西）有6名男醫生，5名女醫生，從中選出2名男醫生，1名女醫生，組成一個醫療小組，則不同的選法共有____種。

2、（2013大綱卷）6個人排成一行，其中甲乙兩人不相鄰的不同排法有____種。

3、（2013北京）將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀卷，全部分給4人，每人至少一張，如果分給同一人的2張參觀卷連號，那么不同的分法種數是_____種。

4、（2014北京）把5件不同產品擺成一排，若產品A與產品B相鄰，且產品A與產品C不相鄰，則不同的擺法有_____種。

5、（2014四川）6個人從左到右排成一排，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法有_____種。

6、（2014重慶理）某次聯歡會要安排3個歌舞類節目，兩個小品和一個相聲類節目的演出順序，則同類節目不相鄰的排法種數是_____.小結：

回顧上述幾個例題的解答過程，我們可以看到一個共同的特點，就是利用一一對應關系將一種不易直接求得其數目的計數模式轉化為另一種易于計算的模式，從而收到了簡化問題的效果，可以說，這種通過建立一一對應關系而化難為易的方法是數學中一種常用的方法，并且在代數問題發揮著極大的作用。另外，我們還推出了幾個模型，大家回去后希繼續對這個模型進行研究，掌握這個模型的各種變化，并要善于把各種具體問題歸結成這個模型的某一種方式，那么解排列組合問題就有了一定的規律可循了。

六、教學評價與反思：

學習數學的過程是知識建構的過程，是思維訓練的過程。本節課充分發揮學生的主體作用，通過精心設計排列組合中常見的問題，進行分類，讓學生去探索，發現規律，總結方法，并能構造數學模型，通過小組合作和教師的點撥，使學生的思維拓展，本節課堂容量較大，通過學生提前做學案預習基本能順利完成，本節課設計較合理，環環相扣比較連貫，是培養學生創新能力和課堂開展研究性學習的典型范例。

第四篇：高中數學排列組合教學設計

高中數學《排列組合》教學設計

【教學目標】 1．知識目標

（1）能夠熟練判斷所研究問題是否是排列或組合問題；（2）進一步熟悉排列數、組合數公式的計算技能；（3）熟練應用排列組合問題常見解題方法；

（4）進一步增強分析、解決排列、組合應用題的能力。2．能力目標

認清題目的本質，排除非數學因素的干擾，抓住問題的主要矛盾，注重不同題目之間解題方法的聯系，化解矛盾，并要注重解題方法的歸納與總結，真正提高分析、解決問題的能力。3．德育目標

（1）用聯系的觀點看問題；

（2）認識事物在一定條件下的相互轉化；（3）解決問題能抓住問題的本質。【教學重點】：排列數與組合數公式的應用 【教學難點】：解題思路的分析

【教學策略】：以學生自主探究為主，教師在必要時給予指導和提示，學生的學習活動采用自主探索和小組協作討論相結合的方法。

【媒體選用】：學生在計算機網絡教室通過專題學習網站，利用網絡資源（如在線測度等）進行自主探索和研究。

【教學過程】

一、知識要點精析

（一）基本原理

1.分類計數原理 2.分步計數原理

3.兩個原理的區別在于一個與分類有關，一個與分步有關即“聯斥性”：（1）對于加法原理有以下三點： ①“斥”——互斥獨立事件；

②模式：“做事”——“分類”——“加法”

③關鍵：抓住分類的標準進行恰當地分類，要使分類既不遺漏也不重復。（2）對于乘法原理有以下三點： ①“聯”——相依事件；

②模式：“做事”——“分步”——“乘法”

③關鍵：抓住特點進行分步，要正確設計分步的程序使每步之間既互相聯系又彼此獨立。

（二）排列

1．排列定義 2．排列數定義 3． 排列數公式

（三）組合

1．組合定義 2．組合數定義 3．組合數公式 4．組合數的兩個性質

（四）排列與組合的應用

1.排列的應用問題

（1）無限制條件的簡單排列應用問題，可直接用公式求解。

（2）有限制條件的排列問題，可根據具體的限制條件，用“直接法”或“間接法”求解。2．組合的應用問題

（1）無限制條件的簡單組合應用問題，可直接用公式求解。

（2）有限制條件的組合問題，可根據具體的限制條件，用“直接法”或“間接法”求解。3．排列、組合的綜合問題

排列組合的綜合問題，主要是排列組合的混合題，解題的思路是先解決組合問題，然后再討論排列問題。

在解決排列與組合的應用題時應注意以下幾點：（1）限制條件的排列問題常見命題形式： “在”與“不在” “相鄰”與“不相鄰”

在解決問題時要掌握基本的解題思想和方法：

①“相鄰”問題在解題時常用“捆綁法”，可以把兩個或兩個以上的元素當做一個元素來看，這是處理相鄰最常用的方法。

②“不相鄰”問題在解題時最常用的是“插空法”。

③“在”與“不在”問題，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置。

④元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制，等排列完畢后利用規定順序的實情求出結果。

（2）限制條件的組合問題常見命題形式： “含”與“不含” “至少”與“至多”

在解題時常用的方法有“直接法”或“間接法”。

（3）在處理排列組合綜合題時，通過分析條件按元素的性質分類，做到不重復，不遺漏按事件的發生過程分類、分步，正確地交替使用兩個原理，這是解決排列問題的最基本，也是最重要的思想方法。

4、解題步驟：（1）認真審題（2）列式并計算（3）作答

二、學習過程 題型一：排列應用題

9名同學站成一排：（分別用A，B，C等作代號）（1）如果A必站在中間，有多少種排法？（答案：）（2）如果A不能站在中間，有多少種排法？（答案：）

（3）如果A必須站在排頭，B必須站在排尾，有多少種排法？（答案：）（4）如果A不能在排頭，B不能在排尾，有多少種排法？（答案：）（5）如果A，B必須排在兩端，有多少種排法？（答案：）（6）如果A，B不能排在兩端，有多少種排法？（答案：）（7）如果A，B必須在一起，有多少種排法？（答案：）（8）如果A，B必須不在一起，有多少種排法？（答案：）（9）如果A，B，C順序固定，有多少種排法？（答案：）題型二：組合應用題

若從這9名同學中選出3名出席一會議

（10）若A，B兩名必在其內，有多少種選法？（答案：）（11）若A，B兩名都不在內，有多少種選法？（答案：）（12）若A，B兩名有且只有一名在內，有多少種選法？（答案：）（13）若A，B兩名中至少有一名在內，有多少種選法？（答案： 或）（14）若A，B兩名中至多有一名在內，有多少種選法？（答案： 或）題型三：排列與組合綜合應用題

若9名同學中男生5名，女生4名

（15）若選3名男生，2名女生排成一排，有多少種排法？（答案：）（16）若選3名男生2名女生排成一排且有一男生必須在排頭，有多少種排法？（答案：）

（17）若選3名男生2名女生排成一排且某一男生必須在排頭，有多少種排法？（答案：）

（18）若男女生相間，有多少種排法？（答案：）題型四：分組問題

6本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法？

（19）一堆一本，一堆兩本，一堆三本

（答案：）（20）甲得一本，乙得兩本，丙得三本

（答案：）（21）一人得一本，一人得兩本，一人得三本

（答案：）（22）平均分給甲、乙、丙三人

（答案：）（23）平均分成三堆

（答案：）

（24）分成四堆，一堆三本，其余各一本

（答案：）（25）分給三人每人至少一本。（答案： + +）題型五：全能與專項

車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外兩名老師傅既能當車工又能當鉗工現在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺機床，有多少種選派方法？ 題型六：染色問題

（26）梯形的兩條對角線把梯形分成四部分，用五種不同顏色給這四部分涂不同顏色，且相鄰的區域不同色，問有（）種不同的涂色方法？

（答案：260）

（27）某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分（如圖）。現在栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相 鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有

種。分析：先排1、2、3排法 種排法；再排4，若4與2同色，5有 種排法，6有1種排法；若4與2不同色，4只有1種排法； 若5與2同色，6有 種排法；若5與3同色，6有1種排法 所以共有（+ +1）=120種 題型七：編號問題

（28）四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，則恰有一個空盒的放法共有多少種？

（答案：144）（29）將數字1，2，3，4填在標號為1，2，3，4的四個方格里，每格填上一個數字且每個方格的標號與所填的數字均不相同的填法有多少種？（答案：9）

題型八：幾何問題

（30）：（Ⅰ）四面體的一個頂點為A，從其它頂點和各棱的中點中取3個點，使它們和點A在同一個平面上，有多少種不同的取法？

（Ⅱ）四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，有多少種不同的取法？

解：（1）（直接法）如圖，含頂點A的四面體的3個面上，除點A外都有 5個點，從中取出3點必與點A共面共有 種取法，含頂點A的 三條棱上各有三個點，它們與所對的棱的中點共面，共有3種取法。根據分類計數原理，與頂點A共面三點的取法有 +3=33（種）

（2）（間接法）如圖，從10個頂點中取4個點的取法有 種，除去4點共面 的取法種數可以得到結果。從四面體同一個面上的6個點取出4點必定共面。有 =60種，四面體的每一條棱上3點與相對棱中點共面，共有6種共面情況，從6條棱的中點中取4個點時有3種共面情形（對棱中點連線兩兩相交且互相平分）故4點不共面的取法為

-（60+6+3）=141 題型九：關于數的整除個數的性質：

①被2整除的：個位數為偶數；

②被3整除的：各個位數上的數字之和被3整除；

③被6整除的：3的倍數且為偶數；

④被4整除的：末兩位數能被4整除；

⑤被8整除的：末三位數能被8整除；

⑥25的倍數：末兩位數為25的倍數；

⑦5的倍數：個位數是0，5；

⑧9的倍數：各個位數上的數字之和為9的倍數。

（31）：用0,1，2，3，4，5組成無重復數字的五位數，其中5的倍數有多少個？（答案：216）

題型十：隔板法：（適用于“同元”問題）

（32）：把12本相同的筆記本全部分給7位同學，每人至少一本，有多少種分法？ 分析：把12本筆記本排成一行，在它們之間有11個空當（不含兩端）插上6塊板將本子分成7份，對應著7名同學，不同的插法就是不同的分法，故有 種。

三、在線測試題

1．以一個正方形的頂點為頂點的四面體共有（D）個（A）70（B）64（C）60（D）58 2．3名醫生和6名護士被分配到3所所為學生體檢，每校分配1名醫生和2名護士，不同的分配方法共有（D）

（A）90種（B）180種（C）270種（D）540種

3．將組成籃球隊的12個名額分配給7所學校，每校至少1個名額，則不同的名額分配方法共有（A）

（A）（B）（C）（D）

4．5本不同的書，全部分給四個學生，每個學生至少1本，不同分法的種數為（B）（A）480（B）240（C）120（D）96 5．編號為1，2，3，4，5的五個人分別去坐在編號為1，2，3，4，5的座位上，至多有兩個號碼一致的坐法種數為（C）（A）90（B）105（C）109（D）100 6．如右圖，一個地區分為5個行政區域，現給地圖著色，要求相鄰區域不得使用同一顏色，現在4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有（B）種（用數字作答）（A）48（B）72（C）120（D）36 7．若把英語“error”中字母的拼寫順序寫錯了，則可能出現的錯誤的種數是（A）。（A）19（B）20（C）119（D）60 8．某賽季足球比賽的計分規則是：勝一場，得3分；平一場，得1分；負一場，得0分，一球隊打完15場，積分33分，若不考慮順序，該隊勝、負、平的情況有（D）

（A）6 種

（B）5種

（C）4種

（D）3種

四、課后練習

1．10個不加區別的小球放入編號為1，2，3的三個盒子中，要求每個盒內的球數不小于盒子的編數，問有 種不同的放法？

2．坐在一排9個椅子上，相鄰兩人之間至少有2個空椅子，則不同的坐法的種數是 3．如圖A，B，C，D為海上的四個小島，要建三座橋，將這四個島連接起來，不同的建橋方案共有 種。

4．面直角坐標系中，X軸正半軸上有5個點，Y軸正半軸有3個點，將X軸上這5個點或Y軸上這3個點連成15條線段，這15條線段在第一象限內的交點最多有 個。

5．某郵局現只有郵票0.6元，0.8元，1.1元的三種面值郵票，現有郵資為7.5元的郵件一件，為使粘貼的郵票張數最小，且郵資恰為7.5元，則至少要購買 張郵票。

6．（1）從1，2，…，30這前30個自然數中，每次取出不同的三個數，使這三個 數的和是3的倍數的取法有多少種？

（2）用0，1，2，3，4，5這六個數字，可以組成多少個能被3整除的四位數。

（3）在1，2，3，…，100這100個自然數中，每次取出三個數，使它們構成一個等差數列，問這樣的等差數列共有多少個？

（4）1！+2！+3！+…+100！的個位數字是

7．5個身高均不等的學生站成一排合影，若高個子站中間，從中間到兩邊一個比一個矮，則這樣的排法種數共有（）

（A）6種（B）8種（C）10種（D）12種

8．某產品中有4只次品，6只正品（每只產品均可區別），每次取一只測試，直到4只次品全部測出為止，則第五次測試發現最后一只次品的可能情況共有多少種？

《排列和組合的綜合應用》教師小結

數學教師在傳統教學環境下也許會遭遇諸如以下的困難： ——我怎樣向學生提供更多的相關的學習資料？ ——我如何有效地進行課堂檢測并及時反饋？

——我怎樣讓每個學生都參與討論并且使討論的結果都呈現出來？

這種在教學資源、教學檢測、教學組織上所體現出來的局限，不僅在傳統教學環境下難以改變，即使在多媒體輔助教學下也是捉襟見肘。它不僅影響了數學教學效率的提高，更是阻礙了數學教改的進程。幸而，計算機技術的發展已經到了網絡時代，基于Web的網絡教學給我們的數學教學帶來了革命的曙光。鑒此認真分析教材特點，學生特點開了《排列和組合的綜合應用》這堂網絡課，現對此進行課后總結：

《排列和組合的綜合應用》這堂網絡課，教學重點是幾種常見命題的形式的解題思路及有關應用。首先，通過排列和組合有關知識的學習，對排列和組合有一個整體上的認識，給學生打下了很好的基礎。其次，在教學中，本著以學生為本的原則，讓學生自己動手參與實踐，使之獲取知識。在傳統教學過程中，學生主要依靠老師，自主探索的能力不強，因此在本節課學習中，教師在課堂上適時拋出問題，使學生有的放矢，有針對性，知道自己下一步應該做什么，同時組織學生以小組進行討論學習，防止出現學生純粹瀏覽網頁這種現象。在強大的網絡環境下，讓學生探討排列和組合的區別與聯系，自主發現結論，以人機交互的方式，使個性化學習成為可能，體現了學科教學與教育技術的整合。第三、針對數學學科的特點，在學生自主探索發現結論后，還需在理論上給予支持。因此，對各種常見的類型，教師在課堂上分別給予小結，目的是讓學生在今后的自主學習中，若遇到同樣的問題，有能力自己解決。從而讓學生逐步熟悉、形成較為完整的一套自主學習的方法。

在上課的過程中，充分體現出計算機的交互和便捷的特點，學生可以根據需要，在老師的引導下，選擇自己學習的進度和內容，去自主的學習和探索。通過實際操作，幫助理解和掌握本節課重點內容。在上課過程中，學生積極思考，相互協作討論，踴躍回答問題，氣氛活躍，教學效果好。在學生課后的反饋中，總體的反映都覺得各自獲益匪淺，從中學到了不少的東西，切實掌握了排列和組合的有關知識。

當然，本節課還有許多需要改進的地方，如課堂上安排節奏比較快，例題，練習留給學生探索，動手的時間還可以再多一些；另外由于學生電腦的水平以及數學學科的特點，所以許多學生不能很熟練地操作電腦，許多數學符號，公式無法在討論區中體現。

總之，網絡探究的最大好處是學生能夠在網絡中找到課堂教學中體驗過和未體驗過的感性知識，提高學生求知欲，增強學習的自主性，使學生的個性在學習中得以充分張揚。而探究過程中的相互交流不僅可擴大知識的攝入量，更可培養學生形成一種在交流中學習成長的意識。因此在網絡教學這領域中，今后還有很大的學習空間，做為一名教師，要適應時代的需要，改善自己平時的傳統教學思維，大膽創新，努力學習，不斷地探索，不斷反思。樹立現代教育觀念，不斷學習現代化技術，完善自己，提高素質，才能擔負起祖國賦于我們肩上的重任。

第五篇：2016(好)高中數學排列組合問題常用的解題方法

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高中數學排列組合問題常用的解題方法

一、相鄰問題捆綁法

題目中規定相鄰的幾個元素并為一個組(當作一個元素)參與排列． 例1 五人并排站成一排，如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法種數有 種。

分析：把甲、乙視為一人，并且乙固定在甲的右邊，則本題相當于4人4的全排列，A4?24種。

二、相離問題插空法

元素相離(即不相鄰)問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規定相離的幾個元素插入上述幾個元素間的空位和兩端．

例2 七個人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同排法的種數是。

分析：除甲乙外，其余5個排列數為A5種，再用甲乙去插6個空位有A652種，不同的排法種數是A5A6?3600種。

三、定序問題縮倍法

在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定順序，可用縮小倍數的方法． 例3 A、B、C、D、E五個人并排站成一排，如果 B必須站A的右邊(A、B可不相鄰)，那么不同的排法種數有。

分析：B在A的右邊與B在A的左邊排法數相同，所以題設的排法只是5個元

15?60種。素全排列數的一半，即A

52四、標號排位問題分步法

把元素排到指定號碼的位置上，可先把某個元素按規定排入，第二步再排另一個元素，如此繼續下去，依次即可完成．

例4 將數字1、2、3、4填入標號為1、2、3、4的四個方格里，每格填一個數，則每個方格的標號與所填數字均不相同的填法有。

分析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應數字填入其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數字，只有一種填法，共有3×3×1=9種填法。

五、有序分配問題逐分法

有序分配問題是指把元素按要求分成若干組，可用逐步下量分組法。例5 有甲、乙、丙三項任務，甲需2人承擔，乙丙各需1人承擔，從10人中選出4人承擔這三項任務，不同的選法總數有。

分析：先從10人中選出2人承擔甲項任務，再從剩下的8人中選1人承擔乙項任務，第三步從另外的7人中選1人承擔丙項任務，不同的選法共有211C10C8C7?2520種。

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六、多元問題分類法

元素多，取出的情況也有多種，可按結果要求，分成不相容的幾類情況分別計算，最后總計。

例6 由數字 0，1，2，3，4，5組成且沒有重復數字的六位數，其中個位數字小于十位數字的共有 個。

分析：按題意，個位數字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有511311311313個，A4A5A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3個，合并總計300個。

例7 從1，2，3，?100這100個數中，任取兩個數，使它們的乘積能被7整除，這兩個數的取法(不計順序)共有多少種？

分析：被取的兩個數中至少有一個能被7整除時，他們的乘積就能被7整除，將這100個數組成的集合視為全集I,能被7整除的數的集合記做A??7,14,21,98?共有14個元素,不能被7整除的數組成的集合記做A??1,2,3,4，10086個元素；由此可知，從A中任取2個元素的取法有?共有211，從A中任取一個，又從A中任取一個共有C14，兩種情形共符合要求的C14C86211取法有C14?C14C86?1295種。

例8 從1，2，?100這100個數中，任取兩個數，使其和能被4整除的取法(不計順序)有多少種？

分析：將I??1,2,3,100?分成四個不相交的子集，能被4整除的數集

97?，能被4除余2的數99?，易見這四個集合中A??4,8,12,集C??2,6,100?；能被4除余1的數集B??1,5,9，98?，能被4除余3的數集D??3,7,11,每一個有25個元素；從A中任取兩個數符合要；從B,D中各取一個數也符合要求；從C中任取兩個數也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求2112的取法共有C25種。?C25C25?C2

5七、交叉問題集合法

某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數公式n(A?B)?n(A)?n(B)?n(A?B。)

例 9 從6名運動員中選出4個參加4×100m接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同參賽方法？

分析：設全集Ⅰ＝｛6人中任取4人參賽的排列｝，A＝｛甲第一棒的排列｝，B＝｛乙跑第四棒的排列｝，根據求集合元素個數的公式得參賽方法共有：

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n(Ⅰ)－n(A)－ n(B)＋n(A∩B)＝P64?P53?P53?P42＝252(種)．

八、定位問題優先法

某個(或幾個)元素要排在指定位置，可先排這個(幾個)元素，再排其他元素。

例10 1名老師和4名獲獎同學排成一排照像留念，若老師不在兩端，則有不同的排法有_______ _種。

41分析：老師在中間三個位置上選一個有A3種，4名同學在其余4個位置上有A414種方法；所以共有A3A4?72種。

九、多排問題單排法

把元素排成幾排的問題，可歸結為一排考慮，再分段處理。

例11 6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數是。

分析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排6成一排，共A6?720種。

例12 8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某 1個元素要排在后排，有多少種排法？

2分析：看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有A4種，某11個元素排在后半段的四個位置中選一個有A4種，其余5個元素任排5個位置上5125有A5種，故共有A4A4A5?5760種排法。

十、“至少”問題間接法

關于“至少”類型組合問題，用間接法較方便。例13 從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取出3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺，則不同取法共有 種。

分析1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種

333型號的電視機，故不同的取法共有C9?C4?C5?70種。

分析2：至少要甲型和乙 型電視機各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；

2112甲型2臺乙型1臺；故不同的取法有C5C4?C5C4?70種。

十一、選排問題先取后排法

從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。

例14 四個不同的球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法共有_____ ___種

2分析：先取四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有C4種，再排：在 3

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323四個盒中每次排3個有A4種，故共有C4A4?144種。

例15 9名乒乓球運動員，其中男5名，女4名，現在要進行混合雙打訓練，有多少種不同分組法？

22分析：先取男女運動員各2名，有C52C4種，這四名運動員混和雙打練習有A2222中排法，故共有C5C4A2?120種。

十二、部分合條件問題排除法

在選取總數中，只有一部分合條件，可從總數中減去不合條件數，即為所求。

例16 以一個正方體頂點為頂點的四面體共有 個。分析：正方體8個頂點從中每次取四點，理論上可構成C84四面體，但6個表面和6個對角面的四個頂點共面都不能構成四面體，所以四面體實際共有C84?12?58個。

例17 四面體的頂點和各棱中點共10點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有 種。

4分析：10個點中任取4個點共有C10種，其中四點共面的有三種情況：①在44四面體的四個面上，每面內四點共面的情況為C6，四個面共有4C6個；②過空間四邊形各邊中點的平行四邊形共3個；③過棱上三點與對棱中點的三角形共6

44個；所以四點不共面的情況的種數是C10?4C6?3?6?141種。

十三、復雜排列組合問題構造模型法

例18馬路上有編號為1，2，3?9九只路燈，現要關掉其中的三盞，但不能關掉相鄰的二盞或三盞，也不能關掉兩端的兩盞，求滿足條件的關燈方案有多少種？

分析：把此問題當作一個排對模型，在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮3的燈C5種方法。所以滿足條件的關燈方案有10種。

十四、利用對應思想轉化法

例19 圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交于圓內的交點有多少個？ 分析：因為圓的一個內接四邊形的兩條對角線相交于圓內一點，一個圓的內接四邊形就對應著兩條弦相交于圓內的一個交點，于是問題就轉化為圓周上的410個點可以確定多少個不同的四邊形，顯然有C10個，所以圓周上有10點，以4這些點為端點的弦相交于圓內的交點有C10個。