第一篇：高中數學解題方法名錄

第一篇 數學具體解題方法 代入法

直接法

定義法

向量坐標法

查字典法

擋板模型法

等差中項法

逆向化法

極限化法

整體化法

參數法

交軌法

幾何法

弦中點軌跡求

比較法

基本不等式法

以題攻題法

綜合法

分析法

放縮法

反證法

換元法

構造法

數學歸納法

配方法

判別式法

序軸標根法

函數與方程思想

整體思想

比較法綜合法向量平行法篩選法（排除法）向量垂直法數形結合法同一法特殊值法累加法 回代法（驗證法）累乘法特殊圖形法倒序相加法 分類法分組法運算轉換法公式法結構轉換法錯位相減法 割補轉換法裂項法導數法迭代法象限分析法角的變換法補集法公式的變形及逆距離法用法變更主元法降冪法差異分析法升冪法反例法“1”的代換法閱讀理解法引入輔助角法信息遷移法三角函數線法類比聯想法構造對偶式法抽象概括法構造三角形法邏輯推理法估算法等價轉化法 待定系數法根的分布法特殊優先法分離參數法先選后排法抽簽法捆綁法隨機數表法插空法間接法數形結合思想第二篇 數學思想方法分類討論思想化歸轉化 第三篇分析法數學邏輯方法 反證法歸納法抽象與概括法思想類比法

第二篇：高中數學解題基本方法

高中數學解題基本方法

前言

美國著名數學教育家波利亞說過，掌握數學就意味著要善于解題。而當我們解題時遇到一個新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有對數學思想、數學方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對于數學思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊含著重要的數學思想方法。我們要有意識地應用數學思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數學素質，使自己具有數學頭腦和眼光。

高考試題主要從以下幾個方面對數學思想方法進行考查：

① 常用數學方法：配方法、換元法、待定系數法、數學歸納法、參數法、消去法等； ② 數學邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；

③ 數學思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等；

④ 常用數學思想：函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化（化歸）思想等。

數學思想方法與數學基礎知識相比較，它有較高的地位和層次。數學知識是數學內容，可以用文字和符號來記錄和描述，隨著時間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。而數學思想方法則是一種數學意識，只能夠領會和運用，屬于思維的范疇，用以對數學問題的認識、處理和解決，掌握數學思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數學知識忘記了，數學思想方法也還是對你起作用。

數學思想方法中，數學基本方法是數學思想的體現，是數學的行為，具有模式化與可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數學思想是數學的靈魂，它與數學基本方法常常在學習、掌握數學知識的同時獲得。

可以說，“知識”是基礎，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數學素質的核心就是提高學生對數學思想方法的認識和運用，數學素質的綜合體現就是“能力”。

為了幫助學生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書先是介紹高考中常用的數學基本方法：配方法、換元法、待定系數法、數學歸納法、參數法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與實驗法，再介紹高考中常用的數學思想：函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化（化歸）思想。最后談談解題中的有關策略和高考中的幾個熱點問題，并在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。

在每節的內容中，先是對方法或者問題進行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現。再現性題組是一組簡單的選擇填空題進行方法的再現，示范性題組進行詳細的解答和分析，對方法和問題進行示范。鞏固性題組旨在檢查學習的效果，起到鞏固的作用。每個題組中習題的選取，又盡量綜合到代數、三角、幾何幾個部分重要章節的數學知識。

第三篇：高中數學大題解題思路

同學們，歡迎你們來到MiHop教育

王福喜（專利擁有）

1、高考數學大題結構安排：

A、三角函數與向量的結合B、概率論

C、立體幾何

D、圓錐曲線

E、導數

F、數列

2、解題方法淺析：其實高考大題并不可怕，它就是一個按部就班的過程，只要你能把握其中的解題思路，隨便怎么都可以搞到六七十分的，甚至猛一點的可以拿滿分。那么我就簡單的說一下我的想法和思路，希望對大家有幫助，同時也希望大家下來在這些方面有所加強，高考數學大題就不是問題了！

a、三角函數與向量：

考點：對于這類題型我們首先要知道它一般都是考我們什么，我覺得它主要是考我們向 量的數量積以及三角函數的化簡問題看，同時可能會涉及到正余弦定理，難度一般不大。只要你能熟練掌握公式，這類題都不是問題。

題型：這部分大題一般都是涉及以下的題型：

最值（值域）、單調性、周期性、對稱性、未知數的取值范圍、平移問題等

解題思路： 第一步就是根根據向量公式將表示出來：其表示共有兩種方法，一種是模長公式（該，另一種就是用坐標

種方法是在題目沒有告訴坐標的情況下應用），即公式表示出來（該種方法是在題目告訴了坐標），即

第二步就是三角函數的化簡：化簡的方法都是涉及到三角函數的誘導公式（只要題目出現了跟或者有關的角度，一定想到誘導公式），還有就是倍角半角公式（只要題目中的角度出現一半或者兩倍的關系，一定要此方法），最后可能就是用到三角函數的展開公式（注意輔助角公式的應用）

第三步就是將化簡為一個整體的式子（如y=a

解答：

最值（值域）：要首先求出的范圍，然后求出y的范圍

代入sin函數的單調范圍解出x的范的形式）根據題目要求來單調性：首先明確sin函數的單調性，然后將

圍（這里一定要注意2的正負性）

周期性：利用公式求解

對稱性：要熟練掌握sin、cos、tan函數關于軸對稱和點對稱的公式，同時解題過程中 不要忘記了加上周期性。

未知數的取值范圍：請文科生參照第九套試卷第二問的做法；理科生同樣參照第九套試 卷第二問的做法。

平移問題：永遠記住左右平移只是對x做變化，上下平移就是對y做變化，永遠切記。b、概率：

考點：對文科生來說，這個類型的題主要是考我們對題目意思的理解，在解題過程能學 會樹狀圖和列表，題目也是相當的簡單，只要你能審題準確，這類題都是送分題；對理 科生來說，主要注意結合排列組合、獨立重復試驗知識點，同時會要求我們準確掌握分 布列、期望、方差的公式，難度也是不大，都屬于送分題，是要求我們必須拿全部分數。題型：在這里我就不多說了，都是求概率，沒有什么新穎的地方，不過要注意我們曾經 在這里遇到過的線性規劃問題，還有就是籃球成功率與命中率和防守率之間關系的類似 題目。

解題思路：

第一步就是求出總體的情況

第二步就是求出符合題意的情況

第三步就是將兩者比起來就是題目要求的概率

這類型題目對理科生來說一定要掌握好期望與方差的公式，同時最重要的是獨立重復 試驗概率的求法。

c、幾何：

考點：這類題主要是考察咱們對空間物體的感覺，希望大家在平時學習過程中，多培養一些立體的、空間的感覺，將自己設身處地于那么一個立體的空間中去，這類題對文科生來說，難度都比較簡單，但是對理科生來說，可能會比較復雜一些，特別是在二面角的求法上，對理科生來說是一個巨大的挑戰，它需要理科生能對兩個面夾角培養出感情來，這樣輔助線的做法以及邊長的求法就變得如此之簡單了。

題型：這種題型分為兩類：第一類就是證明題，也就是證明平行（線面平行、面面平行），第二類就是證明垂直（線線垂直、線面垂直、面面垂直）；第二就是計算題，包括棱錐體的體積公式計算、點到面的距離、有關二面角的計算（理科生掌握）

解題思路：

證線面平行如直線與面有兩種方法：一種方法是在面中找到一條線與平行即可（一般情況下沒有現成的線存在，這個時候需要我們在面做一條輔助線去跟線平行，一般這條輔助線的作法就是找中點）；另一種方法就是過直線作一個平面與面平行即可，輔助面的作法也基本上是找中點。

證面面平行：這類題比較簡單，即證明這兩個平面的兩條相交線對應平行即可。證線面垂直如直線與面：這類型的題主要是看有前提沒有，即如果直線所在的平面與面在題目中已經告訴我們是垂直關系了，那么我們只需要證明直線垂直于面與面的交線即可；如果題目中沒有說直線所在的平面與面是垂直的關系，那么我們需要證明直線垂直面內的兩條相交線即可。

其實說實話，證明垂直的問題都是很簡單的，一般都有什么勾股定理呀，還有更多的是根據一個定理（一條直線垂直于一個面，那么這條直線就垂直這個面的任何一條線）來證明垂直。

證面面垂直與證面面垂直：這類問題也比較簡單，就是需要轉化為證線面垂直即可。體積和點到面的距離計算：如果是三棱錐的體積要注意等體積法公式的應用，一般情況就是考這個東西，沒有什么難度的，關鍵是高的尋找，一定要注意，只要你找到了高你就勝利了。除了三棱錐以外的其他錐體不要用等體積法了哈，等體積法是三棱錐的專利。二面角的計算：這類型對理科生來說是一個噩夢，其難度有二，第一是首先你要找到二面角在什么地方，另一個難度就是你要知道這個二面角所在直角三角形的邊長分別是多少。

二面角（面與面）的找法主要是遵循以下步驟：首先找到從一個面的頂點A出發引向另一個面的垂線，垂足為B，然后過垂足B向這兩個面的交線做垂線，垂足為C，最后將A點與C點連接起來，這樣即為二面角（說白了就是應用三垂線定理來找）二面角所在直角三角形的邊長求法：一般應用勾股定理，相似三角形，等面積法，正余弦定理等。

這里我著重說一下就是在題目中可能會出現這樣的情況，就是兩個面的相交處是一個點，這個時候需要我們過這個點補充完整兩個面的交線，不知道怎么補交線的跟我說一聲。

d、圓錐曲線：

考點：這類題型，其實難度真的不是很大，我個人理解主要是考大家的計算能力怎么樣，還有就是對題目的理解能力，同時也希望大家都能明白圓錐曲線中a，b，c，e的含義以及他們之間的關系，還有就是橢圓、雙曲線、拋物線的兩種定義，如果你現在還不知道，趁早去記一下，不然考試的時候都不知道的哈，我真的無語了。

題型：這種類型的題一般都是以下幾種出法：第一個問一般情況就是求圓錐曲線方程或者就是求某一個點的軌跡方程，第二個問一般都是涉及到直線的問題，要么就是求范圍，要么就是求定值，要么就是求直線方程

解題思路：

求圓錐曲線方程：一般情況下題目有兩種求法，一種就是直接根據題目條件來求解（如題目告訴你曲線的離心率和過某一個點坐標），另一種就是隱含的告訴我們橢圓的定義，然后讓我們去琢磨其中的意思，去寫出曲線的方程，這種問法就比較難點，其實也主要是看我們的基本功底怎么樣，對基礎扎實的同學來說，這種問法也不是問題的。

求軌跡方程：這種問題需要我們首先對要求點的坐標設出來A（x，y），然后用A點表示出題目中某一已知點B的坐標，然后用表示出來的點坐標代入點B的軌跡方程中，這樣就可以求出A點的軌跡方程了，一般求出來都是圓錐曲線方程，如果不是，你就可能錯了。

直線與圓錐曲線問題：三個步驟你還知道嗎（一設、二代，三韋達），要是有人還不知道的，我真的是想打人了。先做完這個三個步驟，然后看題目給了我們什么條件，然后對條件進行化簡（一般的條件都是跟向量呀，斜率呀什么的聯系起來，希望大家注意點），在化簡的過程中我們需要代韋達進去運算，如果我們在運算的過程中遇到了

定要記得應用直線方程將，一表示出來，然后根據韋達化簡到最后結果。最后看題目問我們什么，如果問定值，你還知道怎么做么，不知道的就現在來問我，如果問我們范圍，你還知道有一個東西么（），如果問直線方程，你求出來的直線斜率有兩個，還知

道怎么做么，如果要想舍去其中一個，你還記得一個東西么（）。同時如果你是一個追求完美的人，我希望你在做題的時候考慮到直線斜率存在與否的問題，如果你覺得你心胸開闊，那點分數我不要了，我考慮斜率存不存在的問題，那么我就說你牛！

個人理解的話，圓錐曲線都不是很難的，就是計算量比較復雜了一點，但是只要我們用心、專心點，都是可以做出來的，不信你慢慢的去嘗試看看！

e、函數導數：

考點：這種類型的題主要是考大家對導數公式的應用，導數的含義，明確導數可以用來干什么，如果你都不知道導數可以用來干什么，你還談什么做題呢。在導數這塊，我是希望大家都能盡量的多拿一些分數，因為其難度不是很大，主要你用心去學習了，記住方法了，這個分數對我們來說都是可以小菜一碟的。

題型：最值、單調性（極值）、未知數的取值范圍（不等式）、未知數的取值范圍（交點或者零點）

解題思路：

最值、單調性（極值）：首先對原函數求導，然后令導函數為零求出極值點，然后畫出表格判斷出在各個區間的單調性，最后得出結論。

未知數的取值范圍（不等式）：其實它就是一種一種變相的求最值問題，不知道大家還記得么，記住我講課的表情，未知數放在一邊，把已知的數放在另外一邊，求出相應的最值，咱們就勝利了，這個種看起來很復雜，其實很簡單，你說呢。

未知數的取值范圍（交點或者零點）：這種要是沒有掌握方法的人，覺得：哇，怎么就那么難呀，其實不然，很簡單的，只是各位你要明確這種題的解題思路哈。首先還是需要我們把要求的未知數放在一邊，把知道的數放在一邊去，這樣去求出已知數的最值，然后簡單的畫一個圖形我們就可以分析出未知數的取值范圍了，說起來也挺簡單的，如果有什么不了解的，可以馬上問我，不要留下遺憾。

f、數列：

考點：對于數列，我對大家的要求不是很高，我只是希望大家能盡自己的所能，盡量的去多拿分數，如果要是有人能全部做對，我也替你高興，這類題型，主要是考大家對等比等差數列的理解，包括通項與求和，難度還是有的，其實你要是留意生活的話，這類題還是不是我們想象中那么困難哈。

題型：一般分為證明和計算（包括通項公式、求和、比較大小），解題思路：

證明：就是要求我們證明一個數列是等比數列后還是等差數列，這種題的做法有兩種，一種是用，或者，我們就可以證明其為一個等差數列或者等比數列。另一種方法就是應用等差中項或者等比中項來證明數列。

計算（通項公式）：一般這個題都還是比較簡單的，這類型的題，我只要求大家能掌握其中題目表達式的關鍵字眼（如出現要用什么方法，如果出現

如果出現如果出現要用什么方法，），我相信通項公式對大家來說應該是達到駕輕就熟的地步了，希望大家能把握這么容易的分數。求和：這種題對文科生來說，應該知道我要說什么了吧，王福叉數列（等比等差數列）呀！，三個步驟：乘公比，錯位相減，化系數為一。光是記住步驟沒有用的，同時我也

希望同學們不要眼高手低，不要以為很簡單的，其實真正能算正確的不一定那么容易的，所以我還是希望大家多加練習，親自操作一下。對理科生來說，也要注意這樣的數列求和，同時還要掌握一種數列求和，就是這個數列求和是將其中的一個等差或等比數列按照一定的順序抽調了一部分數列，然后構成一個新的數列求和，還有就是要注意了如果題目里面涉及到這個的時候，一定要記住數列相互奇偶性的討論了，非常的重要哈。

比較大小：這種題目我對大家的要求很低，因為一般都是放縮法的問題，我也不是要求大家非要怎么樣怎么樣的，對這類問題需要我們的基本功底很深，要學會適當的放大和放小的問題，對這個問題的把握，需要大家對一些經常遇到的放縮公式印在腦海里面。

補充：在不是導數的其他大題中，如果遇到求最值的問題，一般有兩種方法求解，一種是二次函數求最值，一種就是基本不等式求最值。

結語：這些都是王某人的一些淺見，我也希望大家在做題的過程要根據題目意思來做，我們要學會具體問題具體分析，我只是給大家提供一些思路，如果大家有什么不明白的，請及時向我搞明白，不要把遺憾留在后面，同時如果在這個思路中有什么不對的，也請大家指正出來。希望我這樣的總結對大家有所幫助，我也祝福大家能考出好的成績來。謝謝！

第四篇：高中數學 解題規范

語言（包括數學語言）敘述是表達解題思路的過程，是數學解題的重要環節。因此，語言敘述必須規范。規范的語言敘述應步驟清楚、正確、完整、詳略得當，言必有據。數學本身有一套規范的語言系統，切不可隨意杜撰數學符號和數學術語，讓人不知所云。

答案規范是指答案準確、簡潔、全面，既注意結果的驗證、取舍，又要注意答案的完整。要做到答案規范，就必須審清題目的目標，按目標作答。解答數學問題是有嚴格的格式化要求的。哪一類題型該用什么格式答題，教材上是有明確規定的，高考命題給出的標準答案是按照教材上的規定解答的，不符合要求的要扣分。

應用問題，解出結果之后要標明單位，要寫出結論性的答案，要有一個專門的作答過程．

利用數學歸納法證明數學問題，完成n=n0和n=k到n=k+1的證明之后,要有一個結論性的表述：由1°,2°可知，命題對從0n開始的所有正整數都成立.凡是解不等式問題，其結果一定要寫成解集的形式.求函數y= f(x)的定義域和值域：函數y= f(x)的定義域是自變量x取值的全體構成的集合；函數y= f(x)的值域是函數值y的全體構成的集合.求函數y= f(x)的單調區間問題.如:函數f(x)=1/(x-1)的單調區間--------(?∞,1)和(1, +∞).1.解與解集：方程的結果一般用解表示(除非強調求解集)；不等式、三角方程的結果一般用解集(集合或區間)表示，三角方程的通解中必須加k∈Z。在寫區間或集合時，要正確地書寫圓括號、方括號或花括號，區間的兩端點之間、集合的元素之間用逗號隔開。

2.帶單位的計算題或應用題，最后結果必須帶單位，特別是應用題解題結束后一定要寫符合題意的“解答”。

3.分類討論題，一般要寫綜合性結論。

4.任何計算結果要最簡。

5.排列組合題，無特別聲明，要求出數值。

6.函數問題一般要注明定義域。

7.參數方程化普通方程，要考慮消參數過程中最后的限制范圍。

8.軌跡問題

①注意軌跡與軌跡方程的區別。軌跡方程一般用普通方程表示，軌跡需要說明圖形情況。

②有限制條件的必須注明軌跡中圖形的范圍或軌跡方程中x或y的范圍。

9.分數線要劃橫線，不用斜線。

第五篇：2016(好)高中數學排列組合問題常用的解題方法

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高中數學排列組合問題常用的解題方法

一、相鄰問題捆綁法

題目中規定相鄰的幾個元素并為一個組(當作一個元素)參與排列． 例1 五人并排站成一排，如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法種數有 種。

分析：把甲、乙視為一人，并且乙固定在甲的右邊，則本題相當于4人4的全排列，A4?24種。

二、相離問題插空法

元素相離(即不相鄰)問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規定相離的幾個元素插入上述幾個元素間的空位和兩端．

例2 七個人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同排法的種數是。

分析：除甲乙外，其余5個排列數為A5種，再用甲乙去插6個空位有A652種，不同的排法種數是A5A6?3600種。

三、定序問題縮倍法

在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定順序，可用縮小倍數的方法． 例3 A、B、C、D、E五個人并排站成一排，如果 B必須站A的右邊(A、B可不相鄰)，那么不同的排法種數有。

分析：B在A的右邊與B在A的左邊排法數相同，所以題設的排法只是5個元

15?60種。素全排列數的一半，即A

52四、標號排位問題分步法

把元素排到指定號碼的位置上，可先把某個元素按規定排入，第二步再排另一個元素，如此繼續下去，依次即可完成．

例4 將數字1、2、3、4填入標號為1、2、3、4的四個方格里，每格填一個數，則每個方格的標號與所填數字均不相同的填法有。

分析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應數字填入其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數字，只有一種填法，共有3×3×1=9種填法。

五、有序分配問題逐分法

有序分配問題是指把元素按要求分成若干組，可用逐步下量分組法。例5 有甲、乙、丙三項任務，甲需2人承擔，乙丙各需1人承擔，從10人中選出4人承擔這三項任務，不同的選法總數有。

分析：先從10人中選出2人承擔甲項任務，再從剩下的8人中選1人承擔乙項任務，第三步從另外的7人中選1人承擔丙項任務，不同的選法共有211C10C8C7?2520種。

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六、多元問題分類法

元素多，取出的情況也有多種，可按結果要求，分成不相容的幾類情況分別計算，最后總計。

例6 由數字 0，1，2，3，4，5組成且沒有重復數字的六位數，其中個位數字小于十位數字的共有 個。

分析：按題意，個位數字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有511311311313個，A4A5A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3個，合并總計300個。

例7 從1，2，3，?100這100個數中，任取兩個數，使它們的乘積能被7整除，這兩個數的取法(不計順序)共有多少種？

分析：被取的兩個數中至少有一個能被7整除時，他們的乘積就能被7整除，將這100個數組成的集合視為全集I,能被7整除的數的集合記做A??7,14,21,98?共有14個元素,不能被7整除的數組成的集合記做A??1,2,3,4，10086個元素；由此可知，從A中任取2個元素的取法有?共有211，從A中任取一個，又從A中任取一個共有C14，兩種情形共符合要求的C14C86211取法有C14?C14C86?1295種。

例8 從1，2，?100這100個數中，任取兩個數，使其和能被4整除的取法(不計順序)有多少種？

分析：將I??1,2,3,100?分成四個不相交的子集，能被4整除的數集

97?，能被4除余2的數99?，易見這四個集合中A??4,8,12,集C??2,6,100?；能被4除余1的數集B??1,5,9，98?，能被4除余3的數集D??3,7,11,每一個有25個元素；從A中任取兩個數符合要；從B,D中各取一個數也符合要求；從C中任取兩個數也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求2112的取法共有C25種。?C25C25?C2

5七、交叉問題集合法

某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數公式n(A?B)?n(A)?n(B)?n(A?B。)

例 9 從6名運動員中選出4個參加4×100m接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同參賽方法？

分析：設全集Ⅰ＝｛6人中任取4人參賽的排列｝，A＝｛甲第一棒的排列｝，B＝｛乙跑第四棒的排列｝，根據求集合元素個數的公式得參賽方法共有：

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n(Ⅰ)－n(A)－ n(B)＋n(A∩B)＝P64?P53?P53?P42＝252(種)．

八、定位問題優先法

某個(或幾個)元素要排在指定位置，可先排這個(幾個)元素，再排其他元素。

例10 1名老師和4名獲獎同學排成一排照像留念，若老師不在兩端，則有不同的排法有_______ _種。

41分析：老師在中間三個位置上選一個有A3種，4名同學在其余4個位置上有A414種方法；所以共有A3A4?72種。

九、多排問題單排法

把元素排成幾排的問題，可歸結為一排考慮，再分段處理。

例11 6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數是。

分析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排6成一排，共A6?720種。

例12 8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某 1個元素要排在后排，有多少種排法？

2分析：看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有A4種，某11個元素排在后半段的四個位置中選一個有A4種，其余5個元素任排5個位置上5125有A5種，故共有A4A4A5?5760種排法。

十、“至少”問題間接法

關于“至少”類型組合問題，用間接法較方便。例13 從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取出3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺，則不同取法共有 種。

分析1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種

333型號的電視機，故不同的取法共有C9?C4?C5?70種。

分析2：至少要甲型和乙 型電視機各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；

2112甲型2臺乙型1臺；故不同的取法有C5C4?C5C4?70種。

十一、選排問題先取后排法

從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。

例14 四個不同的球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法共有_____ ___種

2分析：先取四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有C4種，再排：在 3

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323四個盒中每次排3個有A4種，故共有C4A4?144種。

例15 9名乒乓球運動員，其中男5名，女4名，現在要進行混合雙打訓練，有多少種不同分組法？

22分析：先取男女運動員各2名，有C52C4種，這四名運動員混和雙打練習有A2222中排法，故共有C5C4A2?120種。

十二、部分合條件問題排除法

在選取總數中，只有一部分合條件，可從總數中減去不合條件數，即為所求。

例16 以一個正方體頂點為頂點的四面體共有 個。分析：正方體8個頂點從中每次取四點，理論上可構成C84四面體，但6個表面和6個對角面的四個頂點共面都不能構成四面體，所以四面體實際共有C84?12?58個。

例17 四面體的頂點和各棱中點共10點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有 種。

4分析：10個點中任取4個點共有C10種，其中四點共面的有三種情況：①在44四面體的四個面上，每面內四點共面的情況為C6，四個面共有4C6個；②過空間四邊形各邊中點的平行四邊形共3個；③過棱上三點與對棱中點的三角形共6

44個；所以四點不共面的情況的種數是C10?4C6?3?6?141種。

十三、復雜排列組合問題構造模型法

例18馬路上有編號為1，2，3?9九只路燈，現要關掉其中的三盞，但不能關掉相鄰的二盞或三盞，也不能關掉兩端的兩盞，求滿足條件的關燈方案有多少種？

分析：把此問題當作一個排對模型，在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮3的燈C5種方法。所以滿足條件的關燈方案有10種。

十四、利用對應思想轉化法

例19 圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交于圓內的交點有多少個？ 分析：因為圓的一個內接四邊形的兩條對角線相交于圓內一點，一個圓的內接四邊形就對應著兩條弦相交于圓內的一個交點，于是問題就轉化為圓周上的410個點可以確定多少個不同的四邊形，顯然有C10個，所以圓周上有10點，以4這些點為端點的弦相交于圓內的交點有C10個。