第一篇：二倍角公開課教案

《二倍角的正弦、余弦、正切公式》公開課教案

江門荷塘高中數(shù)學(xué) 授課人：李苑華 上課班級：高一（8）班 上課時(shí)間：2012-5-16，星期三 課題：二倍角的正弦、余弦、正切公式

（一）、教學(xué)目標(biāo)

1.知識目標(biāo)：能從兩角和公式導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2.技能目標(biāo)： 通過公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，強(qiáng)化學(xué)生的參與意識，培養(yǎng)學(xué)生的綜合分析能力。(二)、過程與方法: 1.由和角公式導(dǎo)出倍角公式，領(lǐng)會從一般化歸為特殊的數(shù)學(xué)思想； 2.使學(xué)生通過綜合運(yùn)用公式，掌握技巧，提高解題的能力。

（三）、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：

重點(diǎn)：二倍角的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)。難點(diǎn)：二倍角公式的綜合運(yùn)用。

（四）教學(xué)過程 １、復(fù)習(xí)和角公式：

請同學(xué)們回顧兩角和的正弦、余弦、正切公式：

cos(???)?cos?cos??sin?sin? sin(???)?sin?cos??cos?sin?

sin2?,cos2?,tan2?的公式。令???，推導(dǎo)過程為：

sin2??sin??????sin?cos??cos?sin??2sin?cos? cos2??cos??????cos?cos??sin?sin?

?cos2??sin2?

tan??tan?2tan??1?tan?tan?1?tan2?

即：sin2??2sin?cos? tan2??tan(???)?cos2??cos2??sin2?.tan2??2tan?2tan?tan2??1?tan2? 注意1?tan2? 的定義域是

2???2?k?,k?z，即???4?k?,k?z，2對于 cos2??cos2??sin2? 可利用公式sin2??cos2??1變形為：cos2??2cos2??1?1?2sin2? 因此，cos2?還可以變形為下述表達(dá)形式：

cos2??cos2??sin2??2cos2?1?1?2sin2?

二倍角的含義：

“二倍角”是描述兩個(gè)數(shù)量之間的相對關(guān)系，如2? 是?的二倍角，? 是３、例題教學(xué)（公式正用）例1 已知sin?=

5?,<α

1?tan?tan?,求sin2?,cos2?,tan2?的值.?2２、二倍角公式的推導(dǎo)

由一般的兩角和???，設(shè)問特殊情況???？ 探究推導(dǎo)出

思路分析：求出cos?,再用二倍角公式，表達(dá)形式多樣，求答方法也多樣 解:由

?<α

又∵sin?=5, 13５、練習(xí)深化：

3① 已知sin(???)=,求cos2?的值。（方法：用誘導(dǎo)公式化簡，再

5sin?55122?? ∴cos?=?1?sina=?1?()2??.，tan??cos?121313512120

×(?)=?;***方法

1、cos2?= 1-2sin22?=1-2×()2=；

***22方法

2、cos2??cos??sin?=(?)2?()2=；

1313169sin2a120169120方法

1、切化弦：tan2?==(-)×=?.cos2a169119119

52?(?)2tan?12??120 方法

2、用二倍角公式：tan2???51191?tan2?1?(?)212用二角公式求解）

1② 已知tan2?=,，求tan?

3于是sin2?=2sin?cos?=2×

6、高考接觸：

已知函數(shù)f(x)=(cosx+sinx)(cosx-sinx),，求函數(shù)f(x)的最小正周期。（2012年廣州二模文科）

7、感悟小結(jié)：

1、這節(jié)課你學(xué)到了什么知識，怎么獲得這些知識？

2、你在推導(dǎo)和應(yīng)用這些公式過程中，用到了什么基本的數(shù)學(xué)思想方法？

（1）、學(xué)到了由和角公式，探究推導(dǎo)出二倍角公式，再綜合運(yùn)用公式。思維小結(jié)：tan2?可用切化弦，或先求tan?，再用二倍角正切公式。技巧：從條件出發(fā)，順著問題的線索，以展開公式的方法使用。４、例題教學(xué)（公式變形用）例2，求下列各式的值

（1）sin22°30′cos22°30′(2)sin2（（2）、由一般化歸到特殊的數(shù)學(xué)思想：（???）→

8、回顧反思：

???）

把未知的元素變?yōu)橐阎氐霓D(zhuǎn)化思想。cos??sin?

?8?cos2?8

(3)

tan22.5 21?tan22.5??（1）二倍角公式變換形式多，技巧性強(qiáng)，有一定的難度，只要抓住關(guān)

鍵：角的關(guān)系，才能靈活運(yùn)用。

（2）三角函數(shù)的應(yīng)用，是高考的常考題，只要勤奮好學(xué)，熟能生巧，就能提高運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力。思路分析：仔細(xì)對照比較，設(shè)法轉(zhuǎn)化到能應(yīng)用公式。

12解:（1）sin22°30′cos22°30′=sin45°=

24兩位偉大的數(shù)學(xué)家啟迪我們——學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重性和方法：

數(shù)學(xué)是知識的工具，也是其它知識工具的源泉，所有研究的科學(xué)均(2)sin2?8?cos2??8=－（cos2?8?sin??8）??cos?4??2和數(shù)學(xué)有關(guān)。——笛卡兒

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題，邊做邊思考，知其然，知其所以然。——蘇步青

9、課后作業(yè)

課本第138面14、15題

優(yōu)化方案（藍(lán)色本）121面1-6題，優(yōu)化方案（綠色本）65面1-4題(3)

111tan22.52tan22.5??==tan45°= 2221?tan22.5?21?tan22.5?2技巧；觀察式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對公式有一個(gè)整體的感知，將公式等價(jià)變形。

第二篇：二倍角--公開課

3.1.3二倍角的正弦.余弦.正切公式

一.教學(xué)目標(biāo)：

1.通過和角公式得到二倍角公式，體會由一般到特殊思想。2.通過二倍角公式應(yīng)用，學(xué)會簡單求值.化簡.恒等證明。3.通過學(xué)習(xí)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)規(guī)律，培養(yǎng)創(chuàng)新和探索精神。二.教學(xué)重點(diǎn)：二倍角公式推導(dǎo)及應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用和.差.二倍角公式進(jìn)行三角式化簡.求值.證明。三.教學(xué)過程

1.復(fù)習(xí)兩角和與差的三角函數(shù)公式（中間）cos(x-y)= cos(x+y)= sin(x+y)= sin(x-y)= tan(x+y)= tan(x-y)= 2.導(dǎo)入新課

已知求的值。特殊地當(dāng)時(shí)，得到二倍角公式（左推）sin2x= cos2x= cos2x= cos2x= tan2x= 注意：

1.倍角專指二倍角，三倍角、四倍角中三、四不可省略。2.二倍角的相對性：sin()=2sin()cos(), cos()=cos2()-sin2()3.定義域問題：

例1：化簡

1.sin3xcos3x=

3.(2tan40o)/(1-tan240o)=

5.cos2 2x-sin22x=

例2：化簡

1.2sin15ocos15o=

3.2cos222.5o-1=

5.tan22.5o/(1-tan222.5o)=

2.4sin(x/4)cos(x/4)= 4.tan(x/2)= 6.1-2sin2(x/3)=

2.cos222.5o-sin2 22.5o =

4.1-2sin215o=

6.2cos222.5o= 2

例3：

已知sinx=0.6,x(90o,180o).求sin2x.cos2x.tan2x的值.練1：化簡

1.(sinx+cosx)2

3.sinxcosxcos2x

例4：

1.已知sinx+cosx=0.5, 求sin2x.2.cos4x-sin4x 4.tanx+cotx

2.已知six+siny=0.5, cosx+cosy=1/3,求cos(x-y)

練2：

已知tanx=2, 求sin2x+cos2x的值.四.課堂小結(jié)： 1.本節(jié)課學(xué)習(xí)了：

2.本節(jié)課學(xué)會了：

五.作業(yè)：

1.必做題：習(xí)題3.1A組15.16.17題

2.選做題：（1）.已知sin10o=a,求sin70o的值.（2）.已知sinx+siny+sinz=0,cosx+cosy+cosz=0,求cos(y-z)的值.4.思考題：（1）.求sin10osin30osin50osin70o的值.（2）.求f(x)=sinx+sinxcosx+cosx的值域.

第三篇：二倍角公式教學(xué)設(shè)計(jì)方案

“二倍角的正弦、余弦、正切”教學(xué)設(shè)計(jì)

江門市荷塘職業(yè)技術(shù)學(xué)校 李苑華

教學(xué)內(nèi)容：《數(shù)學(xué)》（普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書，高教版），3.1.3節(jié) 設(shè)計(jì)理念：

我們是職業(yè)學(xué)校，學(xué)生上進(jìn)心很強(qiáng)。不僅要掌握職業(yè)技能，還要參加高考，繼續(xù)深造。他們比一般學(xué)生要求更高。然而他們的基礎(chǔ)較低，教、學(xué)都要付出多倍努力。我所用的教學(xué)方法和手段符合學(xué)生的認(rèn)知能力，效果很好。

在和角公式基礎(chǔ)上，探討研究特殊情況：兩個(gè)角相等，得到“二倍角”公式。例題教學(xué)體現(xiàn)了把未知變?yōu)橐阎霓D(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想。公式的運(yùn)用，體現(xiàn)了由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識的規(guī)律。

學(xué)生的求學(xué)，好比響鼓，還需重錘敲，特別引用名言勉勵(lì)學(xué)子上進(jìn)。(一)、教學(xué)目標(biāo)：

1.知識目標(biāo)：從兩角和公式推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2.技能目標(biāo)： 通過公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：強(qiáng)化參與意識，培養(yǎng)學(xué)生的綜合分析能力。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在求學(xué)路上有得學(xué)，聽得懂，學(xué)得到，用得上。

(二)、過程與方法:

1.過程：推導(dǎo)公式，再綜合運(yùn)用公式。2.方法：用講授法和探究式教學(xué)。

設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用從普遍性到特殊性的認(rèn)知規(guī)律提，高解題的能力。

（三）、學(xué)情分析：

師生都很刻苦教、學(xué)，常常進(jìn)行練習(xí)、檢測，經(jīng)過反復(fù)的強(qiáng)化、記憶，學(xué)生對知識掌握較好，學(xué)習(xí)相當(dāng)感興趣，他們是渴求學(xué)習(xí)的。

（四）、教材分析：

由和角公式，通過聯(lián)想，設(shè)問特殊況：兩個(gè)角相等，得出二倍角公式，學(xué)生知道和角公式與二倍角公式的聯(lián)系，由此及彼，由淺入深。

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，勇于探索新知識的進(jìn)取精神。

（五）、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)分析：

重點(diǎn)：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)過程。難點(diǎn)：二倍角公式的綜合運(yùn)用。

設(shè)計(jì)意圖： 職業(yè)班學(xué)生在他們的專業(yè)課中，更多地應(yīng)用二倍角的知識，發(fā)揮本節(jié)內(nèi)容對所學(xué)專業(yè)起的促進(jìn)作用

（六）、教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)和角公式：

1、（學(xué)生回答）（1分鐘）

2、探究設(shè)問：當(dāng)???時(shí)，公式的變化。（８分鐘）

教師推導(dǎo)

二、例題教學(xué) 例1 已知sin?=5?,<α

?2設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生開拓思路，找到解題突破口。

方法：先觀察題目，找出二倍角關(guān)系。

過程：求出cos?, cos2?和tan2?用兩種方法求出來。

預(yù)期目標(biāo)：公式學(xué)以致用，優(yōu)選方法，采用計(jì)算量最小，最準(zhǔn)確的一種。技巧歸納：從條件出發(fā)，順著問題的線索，展開公式的方法。

例2，求下列各式的值（５分鐘）

tan22.5?（1）sin22°30′cos22°30′(2)sin?cos

(3)2881?tan22.5?2?2?選題意圖：根據(jù)本班學(xué)生的知識水平，有必要加強(qiáng)公式運(yùn)用。解題入手：觀察系數(shù)，符號變化，對比公式。思路點(diǎn)撥：仔細(xì)對照比較，設(shè)法轉(zhuǎn)化到能應(yīng)用公式。

預(yù)期目標(biāo)：對公式的正用、逆用，變形用都能舉一反三，應(yīng)用自如。技巧歸納：根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對公式有一個(gè)整體的感知，進(jìn)行等價(jià)變形。

三、練習(xí)固鞏：（6分鐘）

① 已知sin(???)=,求cos2?的值。② 已知tan2?=,，求tan?

③ 高考接觸：（9分鐘）（2012年廣州二模文科）已知函數(shù)f(x)=(cosx+sinx)(cosx-sinx),，(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期。(2)若0????23513，0????2，且f(?2)?1?2,f()?,求sin(???)的值323

設(shè)計(jì)意圖：教會學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

① 運(yùn)用誘導(dǎo)公式，先把角進(jìn)行化簡，就可應(yīng)用二倍角公式，② 先用平方差公式，就可應(yīng)用二倍角公式，求出周期。③

把未知的元素變?yōu)橐阎脑亍?/p>

預(yù)期目標(biāo)：加深鞏固二倍角公式運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

讓學(xué)生接觸高考題型，擴(kuò)大知識面，解題融會貫通。

7、感悟小結(jié)：（1）、這節(jié)課你學(xué)到了什么知識，怎么獲得這些知識？

（2）、你在推導(dǎo)和應(yīng)用公式中，用了什么數(shù)學(xué)思想方法？

設(shè)計(jì)意圖：（1）、讓學(xué)生懂得歸納本節(jié)課的的收獲，獲取知識的途徑。

（2）、讓學(xué)生總結(jié)領(lǐng)悟：好好學(xué)習(xí)，天天進(jìn)步。

8、回顧反思的

二倍角公式，技巧性強(qiáng)，只要勤奮好學(xué)，熟能生巧。

設(shè)計(jì)意圖：教師時(shí)常反省教學(xué)，及時(shí)反饋，力求不斷完善，不斷提高。

數(shù)學(xué)家啟迪我們學(xué)習(xí)的方法：

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題，邊做邊思考，知其然，知其所以然。——蘇步青

設(shè)計(jì)意圖：應(yīng)用名人名句激勵(lì)學(xué)生，增強(qiáng)士氣。

9、課后作業(yè)的設(shè)計(jì)意圖

檢查學(xué)習(xí)質(zhì)量，查漏補(bǔ)缺，鞏固學(xué)習(xí)成果。

分層次布置作業(yè)，讓一般能力的學(xué)生，完成基本的練習(xí)，有余力的學(xué)生，拓展創(chuàng)新，達(dá)到分槽喂馬的目的。

第四篇：《二倍角公式》教學(xué)反思

《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教學(xué)反思

根據(jù)上級教育主管部門關(guān)于高效課堂走進(jìn)職業(yè)教育的安排，我校近期組織相關(guān)教師開展了高效課堂在文化基礎(chǔ)課、專業(yè)課上的嘗試，作為高效課堂我校職業(yè)教育課堂的開始，我根據(jù)高效課堂教學(xué)模式的相關(guān)理論，在本班數(shù)學(xué)教學(xué)中展開了積極的實(shí)踐和探索。本節(jié)《二倍角的正弦、余弦、正切公式》新授課，正是對高效課堂的實(shí)踐和探索。

通過近期的教育教學(xué)實(shí)踐，我認(rèn)識到高效課堂下的數(shù)學(xué)教學(xué)是否有效，并不是指教師有沒有教完內(nèi)容或教得認(rèn)真不認(rèn)真，而是指學(xué)生有沒有學(xué)到什么或?qū)W生學(xué)得好不好。如果學(xué)生不想學(xué)或者學(xué)了沒有收獲，即使教師教得很辛苦也是無效教學(xué)。這就要求教師注重課堂這個(gè)沖鋒陷陣的主陣地，它不只是看你備課、上課的認(rèn)真程度，更關(guān)注一個(gè)教師對課堂結(jié)構(gòu)的把握，節(jié)奏的安排，時(shí)間的掌控以及對學(xué)生學(xué)習(xí)方法等等多方面的考慮。以下是我的一點(diǎn)體會：

一、課堂教學(xué)模式應(yīng)簡單實(shí)用

教學(xué)中都是采用的“合作-探究”的教學(xué)模式。在教學(xué)中，老師引導(dǎo)，小組合作，共同探究，然后再做全班展示匯報(bào)。做匯報(bào)的學(xué)生要講出思路、講出方法、講步驟??，匯報(bào)展示之后，臺下的學(xué)生如果誰有疑問，誰就可以隨時(shí)站起來進(jìn)行質(zhì)疑，主講學(xué)生能釋疑的就進(jìn)行講解，而老師則適時(shí)作出補(bǔ)充。這樣的課很有效率，教師講得很少，真正把課堂還給了學(xué)生，把時(shí)間還給了學(xué)生，把教師的“一言堂”變成了“群言堂”，為了讓學(xué)生真正成為課堂的主人，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,對于學(xué)生的提問,教師不必作直接的詳盡的解答,只對學(xué)生作適當(dāng)?shù)膯l(fā)提示,讓學(xué)生自己去動手動腦,找出答案,以便逐步培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力,養(yǎng)成他們良好的自學(xué)習(xí)慣。課上教師應(yīng)該做到三“不”：學(xué)生能自己說出來的，教師不說；學(xué)生能自己學(xué)會的，教師不講；學(xué)生能自己做到的，教師不教。盡可能地提供多種機(jī)會讓學(xué)生自己去理解、感悟、體驗(yàn)，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)水平的提高。這樣的教學(xué)模式真正達(dá)到了“低耗時(shí)高效率”的教學(xué)目的，老師教得不累、教得輕松，學(xué)生學(xué)得快樂、學(xué)得扎實(shí)，并且效果相當(dāng)好。同時(shí)也體現(xiàn)了以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體的教學(xué)思想。

二、其次教師要轉(zhuǎn)變教育教學(xué)的方式。

要注重學(xué)生實(shí)際，從學(xué)生的學(xué)習(xí)、生活實(shí)際出發(fā)，從學(xué)生的學(xué)習(xí)愛好、生活樂趣著手。新的課堂是不可能單純地依靠知識的傳承、講授、灌輸來形成的，必須改變教學(xué)策略和改進(jìn)教學(xué)方法，改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，把學(xué)什么變成怎么學(xué)，把被動地學(xué)轉(zhuǎn)為主動地去學(xué)。

三、在課堂教學(xué)上突出了精講巧練，做到堂上批改輔導(dǎo)和及時(shí)的反饋。

由于人數(shù)較多，學(xué)生的數(shù)學(xué)層次參差不齊，有針對性的輔導(dǎo)還不完善。另外學(xué)生學(xué)習(xí)的參與度還可以提高，體現(xiàn)在小組討論、新知識的舉例交流等合作學(xué)習(xí)，本班學(xué)生的學(xué)習(xí)方法比較單一，可加強(qiáng)學(xué)法的指導(dǎo)。

四、在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，討論是情感交流和溝通的重要方法。教師與學(xué)生的討論，學(xué)生與學(xué)生的討論是學(xué)生參與數(shù)學(xué)教學(xué)過程，主動探索知識的一種行之有效的方法。高效課堂要求教學(xué)要依照教學(xué)目標(biāo)組織學(xué)生充分討論，并以積極的心態(tài)互相評價(jià)、相互反饋、互相激勵(lì)，只有這樣才能有利于發(fā)揮集體智慧，開展合作學(xué)習(xí)，從而獲得好的教學(xué)效果。我認(rèn)為高效課堂下教師高超的教學(xué)藝術(shù)之一就在于調(diào)動學(xué)生的積極情感，使之由客體變?yōu)橹黧w，使之積極地、目的明確地、主動熱情地參與到教學(xué)活動中來。

五、課堂上教師可以采用“小組合作學(xué)習(xí)”的教學(xué)形式，以小組成員合作性活動為主體。學(xué)生在小組內(nèi)相互討論、評價(jià)、傾聽、激勵(lì)，加強(qiáng)學(xué)生之間的合作與交流，充分發(fā)揮學(xué)生群體磨合后的智慧，必將大大拓展學(xué)生思維的空間，提高學(xué)生的自學(xué)能力。另外，教師從講臺上走下來，參與到學(xué)生中間，及時(shí)了解到、反饋到學(xué)生目前學(xué)習(xí)的最新進(jìn)展情況。學(xué)生出現(xiàn)了問題，沒關(guān)系，這正是教學(xué)的切入點(diǎn)，是教師“點(diǎn)”和“導(dǎo)”的最佳時(shí)機(jī)。通過學(xué)生的合作學(xué)習(xí)和教師的引導(dǎo)、啟發(fā)、幫助，學(xué)生必將成為課堂的真正主人。

六、在課堂教學(xué)過程中，真誠交流意味著教師對學(xué)生的殷切的期望和由衷的贊美。

期望每一個(gè)學(xué)生都能學(xué)好，由衷地贊美學(xué)生的成功。我認(rèn)為，作為教師，應(yīng)該在數(shù)學(xué)教學(xué)過程的始終，都要對學(xué)生寄予一種熱烈的期望，并且要讓學(xué)生時(shí)時(shí)感受到這種期望，進(jìn)而使學(xué)生為實(shí)現(xiàn)這種期望而做出艱苦努力。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中以肯定和贊美的態(tài)度對待學(xué)生,善于發(fā)現(xiàn)并培養(yǎng)學(xué)生的特長,對學(xué)生已經(jīng)取得或正在取得的進(jìn)步和成績給予及時(shí)、充分的肯定評價(jià),從而激發(fā)學(xué)生的自信心、自尊心和進(jìn)取心,不斷將教師的外在要求內(nèi)化為學(xué)生自己更高的內(nèi)在要求,實(shí)現(xiàn)學(xué)生在已有基礎(chǔ)上的不斷發(fā)展。

七、高效課堂教學(xué)模式下要求教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中充分理解和信任學(xué)生。

理解是教育的前提。在教學(xué)中教師要了解學(xué)生的內(nèi)心世界，體會他們的切身感受，理解他們的處境。尊重學(xué)生，理解學(xué)生，熱愛學(xué)生，只要你對學(xué)生充滿愛心，相信學(xué)生會向著健康、上進(jìn)的方向發(fā)展的

八、改變單純以成績高低評價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況的傳統(tǒng)評價(jià)手段，逐步實(shí)施多元化的評價(jià)手段與形式。

既關(guān)注學(xué)生知識與技能的理解與掌握，又關(guān)注學(xué)生情感與態(tài)度的形成與發(fā)展；既關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，又關(guān)注他們在學(xué)習(xí)過程中的變化與發(fā)展。我所教班的學(xué)生生性好動任性，自制的能力比較差，學(xué)習(xí)基礎(chǔ)薄弱，為此，我在反復(fù)教育的基礎(chǔ)上，注意發(fā)掘他們的閃光點(diǎn)，并給予及時(shí)的表揚(yáng)與激勵(lì)，增強(qiáng)他們的自信心。如孟文磊同學(xué)身有殘疾，平時(shí)不按時(shí)上交作業(yè)，但是該生課堂反應(yīng)及時(shí)準(zhǔn)確，我及時(shí)在班中表揚(yáng)了他，使其感到不小的驚喜，并在之后的學(xué)習(xí)中更加積極。有好幾個(gè)學(xué)生如楊邦棟、景瞳、姜妍數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，接受能力較弱，我反復(fù)強(qiáng)調(diào)會與不會只是遲與早的問題，只要你肯學(xué)。同時(shí)，我加強(qiáng)課外的輔導(dǎo)，想辦法讓他們體驗(yàn)學(xué)習(xí)成功的喜悅。經(jīng)過高效課堂的實(shí)施，我深感在教學(xué)的理念上、教師與學(xué)生在教與學(xué)的角色上、教學(xué)的方式方法上、師生的評價(jià)體系上都發(fā)生了根本的轉(zhuǎn)變，這都給教師提出了新的挑戰(zhàn)，因此，只有在教學(xué)的實(shí)施中，不斷地總結(jié)與反思，才能適應(yīng)新的教學(xué)形勢的發(fā)展。

事實(shí)證明，小組互助學(xué)習(xí)在培養(yǎng)學(xué)生合作與交流能力的同時(shí)，調(diào)動了每一個(gè)學(xué)生的參與意識和學(xué)習(xí)積極性。不僅有助于學(xué)生的交流，而且對于后進(jìn)生的轉(zhuǎn)化，尖子生的培養(yǎng)都是一種有利的形式。

九、我認(rèn)為高效課堂的教學(xué)模式對傳統(tǒng)教學(xué)方式做出了以下五方面的重要和深刻的改革：

（一）、課堂教學(xué)模式的改革：改教師講學(xué)生聽的教學(xué)模式為學(xué)生先自主學(xué)習(xí)、教師據(jù)學(xué)情施教的模式。

（二）、教師工作方式的改革：改備課、上課、批作業(yè)為編制學(xué)案、查研學(xué)情、設(shè)計(jì)導(dǎo)引。

（三）、學(xué)生學(xué)習(xí)方式的改革：改學(xué)生先聽講后做練習(xí)的方式為學(xué)生先自主學(xué)習(xí)，再與教師互動交流的方式。

（四）、改革教案作業(yè)要求方式：改教案編寫為學(xué)案編寫，改作業(yè)為課堂過關(guān)檢測。

（五）、改革課堂布局模式：改過去人人面向黑板的座次布局為以六至八人為一組的小組同學(xué)圍坐布局，實(shí)施有助于小組互助學(xué)習(xí)的課堂布局。

總之面對高效課堂，教師要在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中要轉(zhuǎn)變角色，掌握方法，適應(yīng)高效課堂的教學(xué)模式的要求，把握高效課堂的教學(xué)模式的規(guī)律，認(rèn)真總結(jié)并汲取正反兩方面的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，學(xué)會關(guān)愛、學(xué)會理解、學(xué)會激勵(lì)、學(xué)會合作，這樣我們在高效課堂下的數(shù)學(xué)教學(xué)會更加流暢、更加有效，教師和學(xué)生都會有成功和快樂的體驗(yàn)。

第五篇：二倍角公式的運(yùn)用

學(xué)科：數(shù)學(xué)

教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（一）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線、單調(diào)性、極大（小）值、函數(shù)在連續(xù)區(qū)間［a，b］上的最大（小）值，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力．

【高考試題剖析】

91．曲線y＝x在點(diǎn)（3，3）處的切線傾斜角α＝__________．

92923【解析】∵y′＝－x，∴y′|x＝3＝－x|x＝3＝－1，∴α＝4π．

3【答案】4π

x－x2．函數(shù)f（x）＝e＋e在（0，＋∞）上的單調(diào)性是___________． 【解析】∵f′（x）＝ex－e－x＝e－x（e2x－1），當(dāng)x∈（0，＋∞）時(shí)，f′（x）>0． ∴f（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)． 【答案】增函數(shù)

3．函數(shù)y＝1＋3x－x3有（）A．極小值－1，極大值1

B．極小值－2，極大值3 C．極小值－2，極大值2

D．極小值－1，極大值3

2【解析】∵f′（x）＝3－3x＝0，∴x＝±1 ∴f（1）＝3，f（－1）＝－1． 【答案】D 324．函數(shù)y＝2x－3x－12x＋5在［0，3］上最大、小值是（）A．5，－15

B．5，4

C．－4，－15 D．5，－16 2【解析】y′＝6x－6x－12＝6（x－2）（x＋1）令y′＝0，得：x＝2或x＝－1（舍）檢驗(yàn)知，當(dāng)x＝2時(shí)，y極小＝－15．

又f（0）＝5，f（3）＝2×27－3×9－12×3＋5＝－4 ∴y最大值＝5，y最小值＝－15 【答案】A 5．下面說法正確的是（）

A．函數(shù)在閉區(qū)間上的極大值一定比極小值大 B．函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值一定是極大值

C．對于f（x）＝x3＋px2＋2x＋1，若|p|<6，則f（x）無極值 D．函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上一定存在最值

【解析】極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，最值是函數(shù)的整體性質(zhì)，因此，極大值不一定是最大值，A錯(cuò)．由于函數(shù)的最值可能在端點(diǎn)取得，因此最大值不一定是極值，B錯(cuò)．

22對于C，∵f′（x）＝3x＋2px＋2，方程3x＋2px＋2＝0，當(dāng)|p|<6時(shí)無實(shí)根，而f（x）在R內(nèi)可導(dǎo)，因此f（x）無極值．

【答案】C 【典型例題精講】

1［例1］研究函數(shù)f（x）＝ax3＋bx2－ax＋1的單調(diào)性，其中a≠0．

1【解】∵f′（x）＝3ax＋2bx－a

2?b?當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0，則x＜

2b?33a或

22x??b?b?33a，2?b?f′（x）＜0時(shí)，b?33a2?x??b?b?33ab?32，(??,所以f（x）在在[?b?b3a2?b?2b?33a],[?b?3a,??)上單調(diào)遞增，?3,?b?b3a?3]上單調(diào)遞減．

[當(dāng)a＜0時(shí)，同樣可得f（x）在?b?b?3?b?b?3,]3a3a上單調(diào)遞增，b?3222?b?b?323a3a在（－∞，＋∞）上單調(diào)遞減．

432［例2］偶函數(shù)f（x）＝ax＋bx＋cx＋dx＋e的圖象過點(diǎn)P（0，1），且在x＝1處的切線方程為y＝x－2，（1）求y＝f（x）的解析式；（2）求y＝f（x）的極值．

【解】（1）∵f（x）是偶函數(shù)，∴b＝d＝0．又圖象過點(diǎn)P（0，1），則e＝1，此時(shí)f（x）42＝ax＋cx＋1 ∴y′＝4ax3＋2cx，∴y′|x＝1＝4a＋2c＝1

① 又切線的切點(diǎn)（1，－1）在曲線上，∴a＋c＋1＝－1 ②

由①②得,],[?b?a?52,c??92，∴

f(x)?52x?4923x?12

（2）f′（x）＝10x3－9x＝0，∴x＝0或x＝±10． 通過列表可知：

341當(dāng)x＝±10時(shí)，f（x）極小＝－40

當(dāng)x＝0時(shí)，f（x）極大＝1 1［例3］曲線y＝3x6上哪一個(gè)點(diǎn)的法線在y軸上截距最小?（所謂法線是指：過曲線上一點(diǎn)與以此點(diǎn)為切點(diǎn)的切線垂直的直線）

1【解】在曲線y＝3x6上任取一點(diǎn)（x，y），過該點(diǎn)切線的斜率為k＝2x5

1∴法線的斜率為－2x．

51∴法線的方程為Y－y＝－2x（z－x）

5Y?y?令z＝0，得法線在y軸上的截距：

12x4?x63?12x

4xx則

令Y′＝0，得x＝±1 當(dāng)x＜－1時(shí)，Y′＜0，則Y單調(diào)減小； 當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，Y′＞0，則Y單調(diào)增加； 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，Y′＜0，則Y單調(diào)減小； 當(dāng)x＞1時(shí)，Y′＞0，則Y單調(diào)增加； Y??2x?525?2(x105?1)51從而當(dāng)x＝±1時(shí)，Y取得最小值為6，此時(shí)點(diǎn)（±1，3）為所求．

32［例4］已知f（x）＝ax＋bx＋cx（a≠0）在x＝±1時(shí)取得極值，且f（1）＝－1，（1）試求常數(shù)a、b、c的值；

（2）試判斷x＝±1是函數(shù)的極大值還是極小值，并說明理由．

【分析】考查函數(shù)f（x）是實(shí)數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能的極值點(diǎn)，再通過極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即極值點(diǎn)必為f′（x）＝0的根建立起由極值點(diǎn)x＝±1所確定的相關(guān)等式，運(yùn)用待定系數(shù)法確定a、b、c的值．

2（1）【解法一】f′（x）＝3ax＋2bx＋c，∵x＝±1是函數(shù)的極值點(diǎn)

2∴x＝±1是方程3ax＋2bx＋c＝0的兩根． 由根與系數(shù)的關(guān)系知：

又f（1）＝－1，∴a＋b＋c＝－1

③ 由①、②、③解，得：【解法二】由f′（1）＝f′（－1）＝0，得：3a＋2b＋c＝0 ① 3a－2b＋c＝0

② 又f（1）＝－1，∴a＋b＋c＝－1

③

2．1333233f(x)?x?xx??(x?1)(x?1)22，∴f′（x）＝222（2）

當(dāng)x<－1或x>1時(shí)f′（x）>0，當(dāng)－1

【注】本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行逆向聯(lián)想，合理地實(shí)現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化，使抽象的問題具體化，在轉(zhuǎn)化的過程中充分運(yùn)用了已知條件確定了解題的大方向．

［例5］證明方程sinx＝2x只有一個(gè)實(shí)根：x＝0．

【證明】構(gòu)造函數(shù)f（x）＝2x－sinx，x∈（－∞，＋∞）．

∵f′（x）＝2－cosx>0，∴f（x）在（－∞，＋∞）上是增函數(shù)． 由①、②、③解得：

a?1,b?0,c??3a?12,b?0,c??3又當(dāng)x＝0時(shí)，f（x）＝0，∴方程2x＝sinx有惟一實(shí)根x＝0． 【注】本題體現(xiàn)了函數(shù)思想的應(yīng)用．

【達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】

1．函數(shù)y＝（x2－1）3＋1在x＝－1處（）A．有極大值

B．有極小值 C．無極值

D．無法確定極值情況

22【解析】∵y′＝3（x－1）·2x，令y′＝0，得：x＝0或x＝1或x＝－1，但當(dāng)x∈（－∞，－1）時(shí)，y′<0，當(dāng)x∈（－1，0）時(shí)，y′<0，因此當(dāng)x＝－1時(shí)無極值．

【答案】C 2．設(shè)y＝（2x＋a）2，且y′（2）＝20，則a等于（）A．－1 B．1

C．0

D．任意實(shí)數(shù) 【解析】∵y′＝4（2x＋a），∵y′|x＝2＝20，∴a＝1． 【答案】B 3．函數(shù)y＝sin2x－x，x∈

[???,22上的最大值是___________，最小值是_________．

?32]【解析】∵y′＝2cos2x－1＝0，∴x＝±6

f(?而端點(diǎn)?6)??32??6,f(?6)???6 ,f(??2)??,f()??222

??????所以y的最大值是2，最小值是－2．

【答案】2 －2

4．如果函數(shù)f（x）＝ax3－x2＋x－５在（－∞，＋∞）上單調(diào)遞增，則a__________． 【解析】∵y′＝3ax2－2x＋1＞0

1∴a＞0且Δ＝4－12a＜0，即a＞3．

1【答案】＞3

5．求證：當(dāng)|x|≤2時(shí)，|3x－x3|≤2． 【證明】設(shè)f（x）＝3x－x3

22f′（x）＝3－3x＝3（1－x）當(dāng)x＝±1時(shí)，f′（x）＝0 當(dāng)x＜－1時(shí)，f′（x）＜0 當(dāng)－1

16．設(shè)f（x）＝x－2x－2x＋５

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間；

（2）當(dāng)x∈［－1，2］時(shí)，f（x）＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

322【解析】（1）令f′（x）＝3x2－x－2＞0，得x＜－3或x＞1．

22∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（－∞，－3）、（1，＋∞），單調(diào)減區(qū)間為（－3，1）（2）原命題等價(jià)于f（x）在［－1，2］上的最大值小于m．

2由f′（x）＝0，得x＝－3或1，2327又f（2）＝7 ∴m＞［f（x）］max＝7．

27．求函數(shù)y＝xlnx的極值． f(?1)?11,f(?2)?522,f(1)?72，1【解析】定義域D：（0，＋∞），y′＝2xlnx＋x·x＝x（2lnx＋1）．

2?12?12?12?12令y′＝0，得：x＝e時(shí)，y′>0，?12，當(dāng)0e∴y在（e?12，＋∞）上是增函數(shù)．

?1211∴x＝e時(shí)，y有極小值（e）2（－2）＝－2e．

【解題指導(dǎo)】

掌握求給定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值的一般方法，會求已知曲線在指定點(diǎn)處的切線的斜率．

【拓展練習(xí)】 備選題

1．求y＝excosx的極值．

?【解】y′＝ex（cosx－sinx），令y′＝0，即cosx－sinx＝0，得x＝2kπ＋4或x＝52kπ＋4π，k∈Z．

?35當(dāng)x∈（2kπ＋4，2kπ＋4π）（k∈Z）時(shí)，y′<0，f（x）為減函數(shù)；當(dāng)x∈（2k??π－4π，2kπ＋4），k∈Z時(shí)，y′>0，f（x）為增函數(shù)，因此，當(dāng)x＝2kπ＋4（k2∈Z）時(shí)，y有極大值2·e2k???4（k∈Z）．

52當(dāng)x＝2kπ＋4π（k∈Z）時(shí)，y有極小值－2·e（k∈Z）．

322．已知f（x）＝2x－6x＋m（m為常數(shù)），在［－2，2］上有最大值3，那么此函數(shù)在［－2，2］上的最小值為（）

A．－37

B．－29 C．－5

D．－11

2【解析】∵f′（x）＝6x－12x＝6x（x－2），由f′（x）＝0，得x＝0或2．

∵f（0）＝m，f（2）＝－8＋m，f（－2）＝－40＋m，有f（0）>f（2）>f（－2）∴m＝3，最小值為f（－2）＝－37． 【答案】A 3．函數(shù)y＝3x2－2lnx的單調(diào)增區(qū)間為_____；減區(qū)間為_____． 【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋海?，＋∞）

42k??5?2300，得x>3，∴單調(diào)增區(qū)間為（3，＋∞），由y′<0，得

3∴單調(diào)減區(qū)間為（0，3）．

33【答案】（3，＋∞）（0，3）

4．求曲線y＝4－x2（x>0）上與定點(diǎn)P（0，2）距離最近的點(diǎn)． 【解】設(shè)曲線y＝4－x2上任意一點(diǎn)為Q（x，y），則

?4|PQ|＝

2423設(shè)f（x）＝|PQ|＝x－3x＋4，則f′（x）＝4x－6x＝2x（2x2－3）(x?0)?(y?2)22?x2?(2?x)22?x4?3x23令f′（x）＝0，∵x>0，∴x＝

32，又當(dāng)0

32時(shí)取極小值，因?yàn)閒（x）只有一個(gè)極3當(dāng)x>2時(shí)，f′（x）>0，∴f（x）在x＝

35,值點(diǎn)，因此該極小值也是最小值，相應(yīng)地|PQ|也取得最小值，這時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（22），35,22）即與點(diǎn)P（0，2）最近的點(diǎn)是Q（．

注：如果函數(shù)f（x）在給定區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)（單峰函數(shù)），那么極小值即為最小值，極大值即為最大值．

學(xué)科：數(shù)學(xué) 教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（二）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

利用導(dǎo)數(shù)求解一些實(shí)際問題的最大值和最小值，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力．

【高考試題剖析】

x?1）的單調(diào)性是______________．

lgelgex2?(1?x?x)??(1?)222x?x?11?x 【解析】y′＝x?x?1lge??021?x，所以f（x）在R上是增函數(shù)． 1．函數(shù)f（x）＝lg（x＋【答案】增函數(shù)

212．已知一直線切曲線y＝10x于x＝2，且交此曲線于另一點(diǎn)，則此點(diǎn)坐標(biāo)___________．

313【解析】∵k＝y(tǒng)′｜x＝2＝（10x）′｜x＝2＝1.2 又切點(diǎn)為（2，0.8），切線方程為6x－5y－8＝0

?x?2?x??4,??聯(lián)立解得?y?0.8?y??6.4 所以另一交點(diǎn)為（－4，－6.4）． 【答案】（－4，－6.4）

3．等邊三角形當(dāng)高為8 cm時(shí)，其面積對高的改變率是__________． 13?x?y?10??6x?5y?8?0?1【解析】∵S＝162163h2，∴S′＝3h ∴S′|h＝8＝3

【答案】3

4．函數(shù)y＝x3＋3x2－24x＋12的極小值是_____．

【解析】∵y′＝3x2＋6x－24＝3（x2＋2x－8）＝3（x＋4）（x－2）令y′＝0，得x＝－4或x＝2，檢驗(yàn)知：當(dāng)x＝2時(shí)，y取極小值－16． 【答案】－16

【典型例題精講】

1［例1］當(dāng)x＞0時(shí)，證明ln（1＋x）＞x－2x．

21【證明】設(shè)f（x）＝ln（1＋x）＋2x2－x，其定義域?yàn)椋ǎ?，＋∞），1x?1f′（x）＝x?1

∴f（x）在（－1，＋∞）上是增函數(shù)

由增函數(shù)定義知：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞f（0）＝0 1即ln（1＋x）＋2x2－x＞0 ?x?1?x2?01所以當(dāng)x＞0時(shí)，ln（1＋x）＞x－2x．

［例2］設(shè)f（x）＝ax3＋x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍，并求出這三個(gè)單調(diào)區(qū)間．

2【解】∵f′（x）＝3ax＋1，若a>0，則f′（x）>0，x∈（－∞，＋∞），此時(shí)f（x）只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間，矛盾；若a＝0，則f′（x）＝1>0，此時(shí)f（x）仍只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間．

2(x?若a<0，f′（x）＝3a·

1?3a)(x?11?3a，綜上可知a<0時(shí)，f（x）恰有

11?3a，＋∞），增區(qū)間為（－

?3a)三個(gè)單調(diào)區(qū)間，其中減區(qū)間為（－∞，－

?3a）和（，1?3a）．

［例3］用總長14.8 m的鋼條制作一個(gè)長方體容器的框架，如果所制容器的底面的一邊比另一邊長0.5 m，那么高為多少時(shí)容器的容積最大?并求出它的最大容積? 【解】設(shè)容器底面短邊長為x m，則另一邊長為（x＋0.5）m，高為（3.2－2x）m，由3.2－2x＞0，x＞0，得0＜x＜1.6 設(shè)容器的容積為y m3，則有y＝x（x＋0.5）（3.2－2x）（0＜x＜1.6)

整理y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x ∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6

4令y′＝0 ∴x1＝1，x2＝－15（舍去）．

從而，在定義域（0，1.6）內(nèi)只有在x＝1處使y′＝0，由題意，若x過小（接近0）或過大（接近1.6）時(shí)，y值很小（接近0），因此，當(dāng)x＝1時(shí)，ymax＝1.8，此時(shí)高1.2 m．

3【答】容器的高為1.2 m時(shí)容積最大，最大容積為1.8 m． ［例4］一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時(shí)10公里時(shí)燃料費(fèi)是每小時(shí)6元，而其他與速度無關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元，問此輪船以何種速度航行時(shí)，能使行駛每公里的費(fèi)用總和最小？

33【解】設(shè)船速為x（x>0）公里/小時(shí)，燃料費(fèi)是Q元，則Q＝kx，由6＝k·10得：k3＝500，331∴Q＝500x3，總費(fèi)用y＝（500x2＋96）·x?3500x?2966x，∵y′＝500x?96x，2令

y′＝0，得x＝20，由于該函數(shù)在（0，＋∞）內(nèi)有惟一的極值點(diǎn)是極小值點(diǎn)，所以該極小值是最小值．因此，當(dāng)船速為20公里/小時(shí)時(shí)，航行每公里的費(fèi)用總和最小．

［例5］直線y＝a與函數(shù)f（x）＝x3－3x的圖象有相異三個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．

2【解】∵f′（x）＝3x－3＝3（x－1）（x＋1），由f′（x）>0得單調(diào)增區(qū)間為（－∞，－1），（1，＋∞），由 f′（x）<0得單調(diào)減區(qū)間為（－1，＋1），檢驗(yàn)知x＝1時(shí)，f（1）＝－2是極小值，當(dāng)x＝－1時(shí)，f（－1）＝2是極大值，結(jié)合圖象知：

當(dāng)－2

【達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】

1．證明雙曲線xy＝a2上任意一點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為定值．

a2【證明】設(shè)y＝x上任一點(diǎn)為Q（x0，y0），則

k?y?|x?x??0ax22|x?x??0a22x0，∴切a22線方程為：y－y0＝－x0（x－x0）

令y＝0，則x?x0?y0x0a22?x0?ax0a222?2x0

y?y0?令x＝0，則

a2x02

?x0y0?ax0?2a2x0

1∴S＝2|x|·|y|＝2a（定值）

?22．當(dāng)0

?【證明】令f（x）＝x－sinx，則當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＝1－cosx＞0 ?∴f（x）在（0，2）上單調(diào)增加，而f（0）＝0，?∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）＞0，即x＞sinx

222令ｇ（x）＝sinx－?x，∴ｇ′（x）＝cosx－?

當(dāng)0＜x＜arccos?時(shí)，ｇ′（x）＞0，則ｇ（x）單調(diào)增加；

2?＝0

?當(dāng)arccos?＜x＜2時(shí)，ｇ′（x）＜0，則ｇ（x）單調(diào)減小，而f（0）＝f（2）?2∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，ｇ（x）＞0，即sinx＞?x．

2?綜上，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，?x＜sinx＜x．

?3．如圖11—1，扇形AOB中，半徑OA＝1，∠AOB＝2，在OA的延長線上有一動點(diǎn)C，過C作CD與相切于點(diǎn)E，且與過點(diǎn)B所作的OB的垂線交于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)C在什么位置時(shí)，直角梯形OCDB面積最小？

【解】設(shè)OC＝x（x＞0），過D作DF⊥OA于F，可知OE＝DF △OEC≌△DFC

22∴DC＝OC＝x，∴x＝1＋（x－BD）∴BD＝x－

x?1

1221∴S＝2（BD＋OC）·OB＝2（2x－x?1）

x2∴S′＝1－2x?1＝0，∴x＝23

2所以當(dāng)OC＝3時(shí)，直角梯形OCDB面積最小．

4．如圖11—2，兩個(gè)工廠A、B相距0.6 km，變電站C距A、B都是0.5 km．計(jì)劃鋪設(shè)動力線，先求C沿AB的垂線至D，再與A、B相連，D點(diǎn)選在何處時(shí)，動力線最短？

【解】設(shè)CD⊥AB，垂足為E，DE的長為x km．

由AB＝0.6，AC＝BC＝0.5得CE＝0.5?0.3＝0.4，CD＝0.4－x AD＝BD＝x?0.3動力線總長l＝22222x?0.3＋0.4－x

2x2222?1?2x?2x?0.3x?0.3222l′＝（2x?0.3＋0.4－x）′＝2·2x?0.33．

令l′＝0，得x＝10≈0.17，由于該函數(shù)只有這一個(gè)極值點(diǎn)．因此它是最小值點(diǎn)． 【答】D點(diǎn)選在距AB0.17 km處時(shí)，動力線最短．

【解題指導(dǎo)】

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型（函數(shù)關(guān)系）．如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f′（x）＝0的情形，此時(shí)函數(shù)在此點(diǎn)有極大（小）值，那么不與端點(diǎn)比較，也可以知道這就是最大（小）值．

【拓展練習(xí)】 備選題

1．已知x、y為正實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式x2－2x＋4y2＝0，求x·y的最大值．

1【解法一】4y＝2x－x，∵y>0，∴y＝2

222x?x2

?x?0?2x2x?x2x?x?0∴xy＝2，由?得0

12?2xx(3?2x)2(2x?x?x?)?22222x?x22x?x∵f′（x）＝

312令f′（x）＝0，得x＝2或x＝0（舍）

3333333檢驗(yàn)知x＝2是極大值點(diǎn)，由極值點(diǎn)是惟一的，知當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為f（2）＝8，即x·y的最大值為8．

2222【解法二】由x－2x＋4y＝0，得（x－1）＋4y＝1（x>0，y>0）

1設(shè)x－1＝cosα，y＝2sinα（0<α<π）

111111333∴xy＝2sinα（1＋cosα），設(shè)f（α）＝ 2sinα（1＋cosα）

則f′（α）＝ 2［sinα（－sinα）＋cosα（1＋cosα）］＝2（2cos2α＋cosα－1）＝（cosα＋1）·（cosα－2），令f′（α）＝0，得：cosα＝－1或cosα＝2

??3338333∵0<α<π，∴α＝3，此時(shí)x＝2，y＝4，∴［f（α）］max＝8，即當(dāng)x＝2，y＝4時(shí)［x·y］max＝8． 2．如圖，一條河寬1千米，相距4千米（直線距離）的兩座城市A和B分別位于河的兩岸（城市A、B與岸邊的距離忽略不計(jì)），現(xiàn)需鋪設(shè)一條電纜連通城市A與B，已知地下電纜的修建費(fèi)為2萬元／千米，水下電纜的修建費(fèi)為4萬元／千米．假設(shè)兩岸是平行直線，問應(yīng)如何鋪設(shè)電纜可使總費(fèi)用最省?（15?3.813,f()?333?1.732，精確到百米、百元）

【解】過B作對岸所在直線的垂線，垂足記為O，設(shè)在到O距離為x km的點(diǎn)C，分別鋪設(shè)BC、CA間的水下、地下電纜可使費(fèi)用最省．則BC＝x?1千米，AC＝AO－OC＝（15－x）千米，總費(fèi)用為y，則y＝2（15－x）＋41?x（0≤x≤15）

4x求導(dǎo)y′＝1?x21－2，令y′＝0，∴x＝

1所以當(dāng)x＝3＝0.6千米時(shí)，費(fèi)用最省． x23．過曲線4＋y2＝1（x≥0，y≥0）上一點(diǎn)引切線分別與x軸正半軸和y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，求當(dāng)線段|AB|最小時(shí)的切點(diǎn)坐標(biāo)．

【解】設(shè)|AB|＝l，切點(diǎn)為P（x0，y0），則所求切線方程為：x0x＋4y0y－4＝0（x0>0，y0>0），16141?22x0y0x0y02切線在x軸、y軸上的截距分別為、，∴l(xiāng)＝，∵P（x0，y0）在曲線上，∵y＝1?x24，∴

y?|x?x??0x04y0x02∴y02＝1－4，164?22x04?x02∴l(xiāng)＝（0

16令Y＝l＝2x02?44?x0232x（0

2226當(dāng)Y′＝0時(shí)，有x0＝得極小值，也是最小值．

3，在（0，2）內(nèi)Y只有一個(gè)極值點(diǎn)，檢驗(yàn)知，在這點(diǎn)Y取26∴當(dāng)x0＝

3時(shí)，l2取得最小值9，∴l(xiāng)的最小值為3，此時(shí)，y0＝3，切點(diǎn)為326（3,33）．