第一篇：教案：22.2降次——解一元二次方程

12999數學網 www.tmdps.cn 22.2降次——解一元二次方程（5）

教學內容

本節課主要學習用因式分解法解一元二次方程。教學目標

知識技能

1．應用分解因式法解一些一元二次方程．

2．能根據具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法．

數學思考

體會“降次”化歸的思想。解決問題

能根據具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法，體會解決問題方法的多樣性．

情感態度

使學生知道分解因式法是一元二次方程解法中應用較為廣泛的簡便方法，它避免了復雜的計算，提高了解題速度和準確程度．

重難點、關鍵

重點：應用分解因式法解一元二次方程．

難點：靈活應用各種分解因式的方法解一元二次方程.關鍵：讓學生通過比較解一元二次方程的多種方法，感悟用因式分解法使解題簡便． 教學準備

教師準備：制作課件，精選習題

學生準備：復習有關知識，預習本節課內容

教學過程

一、復習引入 解下列方程．

（1）2x2+x=0（用配方法）

（2）3x2+6x=0（用公式法）

老師點評：（1）配方法將方程兩邊同除以2后，x前面的系數應為應加上（111，的一半應為，因此，224121），同時減去（）2．（2）直接用公式求解． 44【設計意圖】

復習前面學過的一元二次方程的解法，為學習本節內容作好鋪墊。

二、探索新知 【問題】

仔細觀察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法嗎？（1）上面兩個方程中有沒有常數項？

（2）等式左邊的各項有沒有共同因式？ 【活動方略】

在學生解決問題的基礎上引導學生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能夠解方程的依據。

上面兩個方程中都沒有常數項；左邊都可以因式分解: 2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）

因此，上面兩個方程都可以寫成：

（1）x（2x+1）=0

（2）3x（x+2）=0 12999數學網 www.tmdps.cn

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因為兩個因式乘積要等于0，至少其中一個因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-1．

2（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．

因此，我們可以發現，上述兩個方程中，其解法都不是用開平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現降次，這種解法叫做因式分解法．

歸納：利用因式分解使方程化為兩個一次式乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現降次．這種解法叫作因式分解法．

【設計意圖】

引導學生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能夠解方程的依據． 【探究】

通過解下列方程，你能發現在解一元二次方程的過程中需要注意什么？（1）x(x?2)?x?2?0；

2（2）5x?2x?13?x2?2x?； 44（3）3x(2x?1)?4x?2；（4）(x?4)2?(5?2x)2．

【活動方略】

學生活動：

四個學生進行板演，其余的同學獨立解決，然后針對板演的情況讓學生討論、分析可能出現的問題．

對于方程（1），若把（x－2）看作一個整體，方程可變形為（x－2）（x＋1）＝0；

方程（2）經過整理得到4x?1?0，然后利用平方差公式分解因式；

方程（3）的右邊分解因式后變為3x(2x?1)?2(2x?1)，然后整體移項得到

23x(2x?1?)2x(?2?1)，把（2x－1）看作一個整體提公因式分解即可；

22方程（4）把方程右邊移到左邊(x?4)?(5?2x)?0，利用平方差公式分解即可．

教師活動：

在學生交流的過程中，教師注重對上述方程的多種解法的討論，比如方程（1）可以首先去括號，然后利用公式法和配方法；方程（3）可以去括號、移項、合并然后運用公式法或配方法；方程（4）可以利用完全平方公式展開，然后移項合并，再利用配方法或公式法．

在學生解決問題的基礎上，對比配方法、公式法、因式分解法引導學生作以下歸納：

（1）配方法要先配方，再降次；通過配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一邊為兩個一次因式相乘，另一邊為0，再分別使各一次因式等于0．配方法、公式法適用于所有的一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程．

（2）解一元二次方程的基本思路是：將二次方程化為一次方程，即降次． 【設計意圖】

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12999數學網 www.tmdps.cn 主體探究、靈活運用各種方法解方程，培養學生思維的靈活性． 【應用】

例：根據物理學規律，如果把一個物體從地面以10 m/s的速度豎直上拋，那么經過x s物體離地面的高度（單位：m）為

10x?4.9x2．

你能根據上述規律求出物體經過多少秒回到地面嗎？ 【活動方略】 學生活動：

學生首先獨立思考，自主探索，然后交流 教師活動：

在學生解決問題的過程中鼓勵學生運用多種方法解方程，然后讓學生體會不同方法間的區別，找到解方程的最佳方法，體會因式分解法的簡潔性．

【設計意圖】 應用所學知識解答實際問題，培養學生的應用意識．

三、反饋練習

教材P45 練習

2212999數學網 www.tmdps.cn

∴x1=-5，x2=1

上面這種方法，我們把它稱為十字相乘法．

aba2?b2例2．已知9a-4b=0，求代數式??的值．

baab22aba2?b2

分析：要求??的值，首先要對它進行化簡，然后從已知條件入手，求出a與b的baab關系后代入，但也可以直接代入，因計算量比較大，比較容易發生錯誤．

a2?b2?a2?b22b??

解：原式=aba

∵9a2-4b2=0

∴（3a+2b）（3a-2b）=0

3a+2b=0或3a-2b=0，22b或a=b 3322b

當a=-b時，原式=-=3 23?b32

當a=b時，原式=-3．

3a=-例2：若關于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0沒有實數解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．

分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就轉化為要判定a的值是正、負或0．因為一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0沒有實數根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范圍．

解：∵關于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0沒有實數根．

∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0

a<-2

∵ax+3>0即ax>-3

∴x<-3 a3 a

∴所求不等式的解集為x<-【活動方略】

教師活動：操作投影，將例題顯示，組織學生討論． 學生活動：合作交流，討論解答。【設計意圖】

應用提高、拓展創新，培養學生的應用意識和創新能力．

五、小結作業

1．問題：本節課學到了哪些知識？有什么體會？ 本節課應掌握：

（1）用因式分解法，即用提取公因式法、?十字相乘法等解一元二次方程及其應用．

（2）三種方法（配方法、公式法、因式分解法）的聯系與區別：

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12999數學網 www.tmdps.cn 聯系：①降次，即它的解題的基本思想是：將二次方程化為一次方程，即降次．

②公式法是由配方法推導而得到．

③配方法、公式法適用于所有一元二次方程，因式分解法適用于某些一元二次方程．

區別：①配方法要先配方，再開方求根．

②公式法直接利用公式求根．

③因式分解法要使方程一邊為兩個一次因式相乘，另一邊為0，?再分別使各一次因式等于0。2.作業：課本P45習題22．2

第二篇：降次——解一元二次方程的教案.

22.2降次——解一元二次方程（教師用）

一、教學內容

運用直接開平方法，即根據平方根的意義把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程．

二、教學目標

理解一元二次方程“降次”──轉化的數學思想，并能應用它解決一些具體問題． 提出問題，列出缺一次項的一元二次方程ax2+c=0，根據平方根的意義解出這個方程，然后知識遷移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．

三、重難點關鍵

1．重點：運用開平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；領會降次──轉化的數學思想． 2．難點與關鍵：通過根據平方根的意義解形如x=n，知識遷移到根據平方根的意義解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．

四、教學過程

一、復習引入

學生活動：請同學們完成下列各題 問題1．填空

（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2． 問題2．如圖，在△ABC中，∠B=90°，點P從點B開始，沿AB邊向點B以1cm/s?的速度移動，點Q從點B開始，沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，如果AB=6cm，BC=12cm，?P、Q都從B點同時出發，幾秒后△PBQ的面積等于8cm2？ C Q A 老師點評：

問題1：根據完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（問題2：設x秒后△PBQ的面積等于8cm2 則PB=x，BQ=2x 依題意，得：

x2=8 根據平方根的意義，得x=±

即x1

x2=

可以驗證，PBwww.tmdps.cnp2p）． 221x22x=8 21x22x=8的兩根，但是移動時間不能是負值． 2 所以

PBQ的面積等于8cm2．

二、探索新知

上面我們已經講了x2=8，根據平方根的意義，直接開平方得x=±22，如果x換元為2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接開平方的方法求解呢？（學生分組討論）

老師點評：回答是肯定的，把2t+1變為上面的x，那么2t+1=±

即

方程的兩根為t1

例題示范一：

變式1：解方程x-25=0 變式2：解方程4x-100=0 變式3：解方程4x-7=0 變式4：解方程(2x-1)2-25=0 總結：如果方程能轉化成形如x2=p或(mx+n)2=p（p≥0），那么可得x=±p或mx+n=±p 注：（1）直接降次實際上就是直接開平方，方程的左邊是一個完全平方式，右邊是一個非負數時，可以運用此方法。

（2）直接開平方降次后，右邊的非負數開平方時必須取正負兩個平方根，解出兩個一元二次方程后，得到一元二次方程的兩個根。

拓展：解方程(2x-1)2=(3-x)2 分析：可以將（3-x）當作一個整體或一個數來處理?！净顒佣扛櫽柧殻?/p>

課本P31練習（1）～（6）

【活動三】由以上學習可知：如果一個一元二次方程不是直接開平方的兩種形式之一，也可以設法轉化為兩種形式之一，再運用直接開平方法求出方程的解。問題：要使一塊長方形場地的長比寬多6m，并且面積為16m，場地的長和寬各是多少？

設場地寬為xm,長為（x+6）m，根據相等關系：長3寬=16 可得方程：x(x+6)=16 2化為一般形式為：x+6x-16=0，能否將該方程也化為(mx+n)=p的形式呢？ 2222211，t2

=-22 移項，得：x+6x=16 兩邊同時加上9，得：x+6x+9=16+9（這樣左邊就化成了一個完全平方式，右邊是一個非負數）變形為：(x+3)=25 兩邊直接開平方，得：x+3=±5 x=-3±5 222 ∴x1=2,x2=-8 可以驗證x=-8不符合題意，所以場地的寬為2m，長為8m.概括以上解題步驟：

（1）移項：將常數項移到右邊

（2）配方：兩邊同時加上一次項系數一半的平方

（3）寫成直接開平方的形式（簡稱配方）（4）直接開平方，化成兩個一元一次方程（5）求出兩個一元一次方程的解（6）寫出答案 例題示范二：

變式1：解方程：2x+12x-32=0 分析：這個方程與上述方程相比，系數都是剛才的2倍，所以必須先將方程兩邊同除以2，將系數化簡后的步驟與上同。變式2：解方程：2x+12x-31=0 分析：與上題類似，同樣要按照移項、將二次項系數化為

1、配方、降次為兩個一元一次方程、解兩個方程、寫答案。變式3：2x-31=-12x 分析：首先要將二次項、一次項移到方程的一邊，常數項移到另一邊，再按幾個步驟進行計算。變式4：3x-6x+4=0 【活動四】跟蹤訓練 課本P34練習1、2.五、課堂總結：

在教學中最關鍵的是讓學生掌握配方，配方的對象是含有未知數的二次三項式，其理論依據是完全平方式，配方的方法是通過添項：加上一次項系數一半的平方構成完全平方式，對學生來說，要理解和掌握它，確實感到困難，因此在教學過程中及課后批改中發現學生出現以下幾個問題：

在利用添項來使等式左邊配成一個完全平方公式時，等式的右邊忘了加。在開平方這一步驟中，學生要么只有正、沒有負的，要么右邊忘了開方。當一元二次方程有二次項的系數不為1時，在添項這一步驟時，沒有將系數化為1，就直接加上一次項系數一半的平方。

因此，要糾正以上錯誤，必須讓學生多做練習、上臺表演、當場講評，才能熟練掌握。

六、課后作業

P31.練習P34.練習

七、課后思考

如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，點P、Q同時由A，B?兩點出發分別沿AC、BC方向向點C勻速移動，它們的速度都是1m/s，?幾秒后△PCQ?的面積為Rt△ACB面積的一半． 2222 A

P CQ www.tmdps.cn 分析：設x秒后△PCQ的面積為Rt△ABC面積的一半，△PCQ也是直角三角形．?根據已知列出等式． 解：設x秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半． 根據題意，得：111（8-x）（6-x）=33836 222 整理，得：x2-14x+24=0（x-7）2=25即x1=12，x2=2 x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合題意，舍去． 所以2秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半．

第三篇：22.2二次函數與一元二次方程配套教案

22.2二次函數與一元二次方程

本節主要內容是用函數的觀念看一元二次方程，探討二次函數與一元二次方程的關系。教材從一次函數與一元一次方程的關系入手，通過類比引出二次函數與一元二次方程之間的關系問題，并結合一個具體的實例討論了一元二次方程的實根與二次函數圖象之間的聯系。這一節是反映函數與方程這兩個重要數學概念之間的聯系的內容。

【知識與能力目標】

掌握二次函數與一元二次方程的聯系?！具^程與方法目標】

經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程，體會方程與函數之間的聯系?！厩楦袘B度價值觀目標】

1、經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程，提高學生的分析能力與在探索過程中抽象概括能力。

2、培養學生團結合作學習的良好意識和積極進取的精神。

3、培養學生用聯系的觀點看問題。

【教學重點】

二次函數的圖象和一元二次方程的聯系?！窘虒W難點】

培養學生的數形結合的意識和學會用數形結合的方法解決問題。

課前準備

多媒體課件等。

教學過程

一、導入新課

我們以前學習了一次函數，并從一次函數的角度看一元一次方程，認識了一次函數與一元一次方程的聯系。今天節我們學習二次函數，并從二次函數的角度看一元二次方程，從而認識二次函數與一元二次方程的聯系。

二、新課教學

問題如圖（見教材圖22.2-1），以40 m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，小球的飛行路線將是一條拋物線。如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h(單位：m)與飛行時間t（單位：s）之間具有函數關系

h＝20t－5t2。

考慮以下問題：

（1）小球的飛行高度能否達到15 m？如果能，需要多少飛行時間？（2）小球的飛行高度能否達到20 m？如果能，需要多少飛行時間？（3）小球的飛行高度能否達到20.5 m？為什么？（4）小球從飛出到落地要用多少時間？

教師引導學生閱讀例題，請大家先發表自己的看法，然后解答．師生互動，完成上面4個問題。

（1）當小球飛行1s和3s時，它的飛行高度為15m。（2）當小球飛行2 s時，它的飛行高度為20 m。

（3）方程無實數根．這就是說，小球的飛行高度達不到20.5 m。

（4）當小球飛行0 s和4s時，它的高度為0 m。這表明小球從飛行到落地要用4 s．從上圖來看，0 s時小球從地面飛出，4 s時小球落回地面。

從上面可以看出，二次函數與一元二次方程聯系密切。一般地，我們可以利用二次函數y＝ax2＋bx＋c深入討論一元二次方程ax2＋bx＋c＝0。

問題2 觀察下列函數圖像回答下列問題：

（1）y＝x2＋x－1；（2）y＝x2－4x＋4；（3）y＝x2－x＋2．

① 二次函數 y＝x2＋x－1 的圖象與 x 軸有______個交點，則一元二次方程 x2＋x－1＝0 的根的判別式Δ______0。

②二次函數 y＝x2－4x＋4 的圖像與 x 軸有______個交點，則一元二次方程 x2－4x＋4＝0 的根的判別式Δ______0。

3二次函數 y＝x2－x＋2 的圖象與 x 軸________公共點，則一元二次方程 x2－x○＋2＝0 的根的判別式Δ______0。

三、歸納總結

從二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象可以得出如下結論：

（1）如果拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸有公共點，公共點的橫坐標是x0，那么當x＝x0時，函數值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一個根。

（2）二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸的位置關系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點．這對應著一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三種情況：沒有實數根，有兩個相等的實數根，有兩個不等的實數根。

（3）利用函數圖象求一元二次方程的根步驟：（1）作函數圖象；（2）確定根所在的范圍；

（3）通過取平均數的方法不斷縮小根所在的范圍，直至符合題目要求。

四、鞏固練習

1.不與x軸相交的拋物線是（）

A.y = 2x2 – 3

B.y=－2 x2 + 3

C.y= －x2 – 3x

D.y=－2(x+1)2－3 2.若拋物線 y = ax2+bx+c= 0，當 a>0，c<0時，圖象與x軸交點情況是（）A.無交點

B.只有一個交點 C.有兩個交點

D.不能確定

3.利用函數圖象求方程x2－2x－2＝0的實數根（結果保留小數點后一位）。

解：畫出函數y＝x2－2x－2的圖象（下圖），它與x軸的公共點的橫坐標大約是－0.7，2.7。

所以方程x2－2x－2＝0的實數根為

x1≈－0.7，x2≈2.7．

我們還可以通過不斷縮小根所在的范圍估計一元二次方程的根。

五、課堂小結

今天你學習了什么？有什么收獲？

第四篇：22.2 二次函數與一元二次方程 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

知識與技能

1．總結出二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系，表述何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實數和沒有實根．

2．會利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解.過程與方法

經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程，體會方程與函數之間的聯系． 情感態度價值觀

通過觀察二次函數圖象與x軸的交點個數，討論一元二次方程的根的情況，進一步體會數形結合思想．

2.教學重點/難點

重點:方程與函數之間的聯系，會利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解.難點:二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系.3.教學用具 4.標簽

教學過程

教學過程設計

（一）問題的提出與解決

問題 如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，球的飛行路線將是一條拋物線.如果不考慮空氣阻力，球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有關系

考慮以下問題（1）球的飛行高度能否達到15m？如能，需要多少飛行時間？（2）球的飛行高度能否達到20m？如能，需要多少飛行時間？（3）球的飛行高度能否達到20.5m？為什么？（4）球從飛出到落地要用多少時間？

分析：由于球的飛行高度h與飛行時間t的關系是二次函數

所以可以將問題中h的值代入函數解析式，得到關于t的一元二次方程，如果方程有合乎實際的解，則說明球的飛行高度可以達到問題中h的值：否則，說明球的飛行高度不能達到問題中h的值.從上面可以看出.二次函數與一元二次方程關系密切.由學生小組討論，總結出二次函數與一元二次方程的解有什么關系？

（二）問題的討論

二次函數 的圖象如圖26.2－2所示.（1）以上二次函數的圖象與x軸有公共點嗎？如果有，公共點的橫坐標是多少？（2）當x取公共點的橫坐標時，函數的值是多少？由此，你能得出相應的一元二次方程的根嗎？

先畫出以上二次函數的圖象，由圖像學生展開討論，在老師的引導下回答以上的問題.可播放課件：函數的圖像，輸入a,b,c的值，劃出對應的函數的圖像，觀察圖像，說出函數對應方程的解.可以看出：

（三）歸納 一般地，從二次函數（1）如果拋物線的圖象可知，與x軸有公共點，公共點的橫坐標是x0，那么當x的一個根.＝x0時，函數的值是0，因此x＝x0就是方程（2）二次函數的圖象與x軸的位置關系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點.這對應著一元二次方程根的三種情況：沒有實數根，有兩個相等的實數根，有兩個不等的實數根.由上面的結論，我們可以利用二次函數的圖象求一元二次方程的根.由于作圖或觀察可能存在誤差，由圖象求得的根，一般是近似的.（四）例題

播放課件：函數的圖象與求解一元二次方程的解，前一個課件用來畫圖，可根據圖像估計出方程x2－2x－2＝0實數根的近似解，后一個課件可以準確的求出方程的解，體會其中的差異.（五）小結 總結本節的知識點.（六）作業: 板書

第五篇：因式分解法解一元二次方程公開課教案

因式分解法解一元二次方程

備課人：張友 時間：2017.3.6 教學目標：

1.通過學生自學探究掌握運用因式分解法及其基本思想； 2.能用因式分解法解一些一元二次方程； 3.學會選擇合適的方法解一元二次方程.教學重點：因式分解法解一些一元二次方程.教學難點：能夠正確選擇因式分解的方法.教學過程： 一.復習回顧

1.同學們，前面我們學習了一元二次方程及其解法，那么總共學習了多少種解法呢？

學生回答：直接開平方法、配方法、公式法

2.今天我們要學習因式分解法解一元二次方程，你還記得因式分解有哪幾種方法嗎？下面三題如何因式分解？各用了什么方法？

（1）x?x（2）x?9（3）x?5x?6

學生回答：（1）x(x?1)，提公因式法；（2）(x?3)(x?3)，公式法；（3）(x?2)(x?3)，十字相乘法.二.新課學習

1.首先，我們來看這個問題x?5x?6?0，你有幾種方法求解呢？

師生共同討論：無法用直接開平方法，可以用配方法，也可以用公式法，有什么新方法嗎？ 學生回答：(x?2)(x?3)?0 ①

x?2?0或x?3?0 ②

?x1?2,x2?3

教師提問：從①到②，依據是什么？

學生回答，教師總結：如果兩個因式的積等于0，那么這兩個因式至少有一個等于0.化為符號語言為：AB?0?A?0或B?0

這種利用因式分解，將一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來求解的方法叫做因式分解法。

這種降次的方法體現了化歸的數學思想方法.2.試試水

用因式分解法解下列方程.（1）x?x（2）x?9?0 222222三.鞏固提高 1.例題解析

(x?4)(x?1)?6 解：原方程可化為 x?3x?10?0(x?5)(x?2)?0

?x?5?0或x?2?0

?x1??5,x2?2.2.總結因式分解的一般步驟

（1）方程化成一元二次方程一般形式； 右化零

（2）方程左邊分解成兩個一次因式相乘； 左分解

（3）得到兩個一元一次方程； 兩方程

（4）求解。各求解 四.課堂練習

1.課本第三十頁練習2.解方程：x?6x?11?0

啟發：如何選擇合適的方法解一元二次方程？ 化為一般形式后，左邊易因式分解的用因式分解法更易，配方法和公式法適用于所有一元二次方程.五.課堂小結

通過本節課的學習你有什么收獲？ 六.作業

課本第三十一頁習題 第五、六題

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復習回顧 新課講解 例題解析 學生板演 小結作業 22