第一篇：三角形專項復習教案.

三角形專項復習

一、單元知識網絡：

二、考試目標要求：

1．了解三角形有關概念（內角、外角、中線、高、角平分線），會畫出任意三角形的角平分線、中

線和高，了解三角形的穩定性.2．探索并掌握三角形中位線的性質.3．了解全等三角形的概念，探索并掌握兩個三角形全等的條件.4．了解等腰三角形的有關概念，探索并掌握等腰三角形的性質和一個三角形是等腰三角形的條件；

了解等邊三角形的概念并探索其性質.5．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質和一個三角形是直角三角形的條件.6．體驗勾股定理的探索過程，會運用勾股定理解決簡單問題；會用勾股定理的逆定理判定直角三角形.三、知識考點梳理

知識點一、三角形的概念及其性質

1．三角形的概念

由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.2．三角形的分類

(1)按邊分類：

(2)按角分類：

3．三角形的內角和外角

(1)三角形的內角和等于180°.(2)三角形的任一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角.4．三角形三邊之間的關系

三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.5．三角形內角與對邊對應關系

在同一個三角形內，大邊對大角，大角對大邊；在同一三角形中，等邊對等角，等角對等邊.6．三角形具有穩定性.知識點二、三角形的“四心”和中位線

三角形中的四條特殊的線段是：高線、角平分線、中線、中位線.1．內心：

三角形角平分線的交點，是三角形內切圓的圓心，它到各邊的距離相等.2．外心：

三角形三邊垂直平分線的交點，是三角形外接圓的圓心，它到三個頂點的距離相等.3．重心：

三角形三條中線的交點，它到每個頂點的距離等于它到對邊中點距離的2倍.4．垂心：

三角形三條高線的交點.5．三角形的中位線：

連結三角形兩邊中點的線段是三角形的中位線.中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.要點詮釋：

(1)三角形的內心、重心都在三角形的內部.(2)鈍角三角形的垂心、外心都在三角形的外部.(3)直角三角形的垂心為直角頂點，外心為直角三角形斜邊的中點.(4)銳角三角形的垂心、外心都在三角形的內部.知識點

三、全等三角形 1．定義：

能完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.2．性質：

(1)對應邊相等

(2)對應角相等

(3)對應角的平分線、對應邊的中線和高相等

(4)周長、面積相等 3．判定：

(1)邊角邊(SAS)

(2)角邊角(ASA)

(3)角角邊(AAS)

(4)邊邊邊(SSS)

(5)斜邊直角邊(HL)(適用于直角三角形)

要點詮釋：

判定三角形全等至少必須有一組對應邊相等.知識點

四、等腰三角形 1．定義：

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.2．性質：

(1)具有三角形的一切性質.(2)兩底角相等(等邊對等角)

(3)頂角的平分線，底邊中線，底邊上的高互相重合(三線合一)

(4)等邊三角形的各角都相等，且都等于60°.3．判定：

(1)如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)；

(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形；

(3)有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形.要點詮釋：

(1)腰、底、頂角、底角是等腰三角形特有的概念；

(2)等邊三角形是特殊的等腰三角形.知識點

五、直角三角形 1．定義：

有一個角是直角的三角形叫做直角三角形.2．性質：

(1)直角三角形中兩銳角互余；

(2)直角三角形中，30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半.(3)在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°.(4)勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半；

(7)SRt△ABC=3．判定： ch=ab，其中a、b為兩直角邊，c為斜邊，h為斜邊上的高.(1)兩內角互余的三角形是直角三角形；

(2)一條邊上的中線等于該邊的一半，則這條邊所對的角是直角，則這個三角形是直角三角形.(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個三角形是直角三角形，第三邊為斜邊.知識點

六、線段垂直平分線和角平分線 1．線段垂直平分線：

經過線段的中點并且垂直這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.線段垂直平分線的定理：

(1)線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.(2)與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.線段垂直平分線可以看作是與線段兩個端點距離相等的所有點的集合.2．角平分線的性質：

(1)角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等；

(2)到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上；

(3)角的平分線可以看做是到角的兩邊距離相等的所有點的集合.四、規律方法指導 1．數形結合思想

本單元中所學的三角形性質、角平分線性質、全等三角形的性質、直角三角形中的勾股定理等，都是在結合圖形的基礎上，求線段或角的度數，證明線段或角相等.在幾何學習中，應會利用幾何圖形解決實際問題.2．分類討論思想

在沒給圖形的前提下，畫三角形或三角形一邊上的高、三角形的垂心、外心時要考慮分類：三種情況，銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.3.化歸與轉化思想

在解決利用三角形的基礎知識計算、證明問題時，通過做輔助線、利用所學知識進行準確推理等轉化手段，歸結為另一個相對較容易解決的或者已經有解決模式的問題，已知與未知之間的轉化；數與形的轉化；一般與特殊的轉化.4．注意觀察、分析、總結

應將三角形的判定及性質作為重點，對于特殊三角形的判定及性質要記住并能靈活運用，注重積累解題思路和運用數學思想和方法解決問題的能力和培養，淡化純粹的幾何證明.學會演繹推理的方法，提高邏輯推理能力和邏輯表達能力，掌握幾何證明中的分析，綜合，轉化等數學思想.經典例題透析

考點一、三角形的概念及其性質

例1．（1）（2010山東濟寧）若一個三角形三個內角度數的比為2︰3︰4，那么這個三角形是（）

A.直角三角形

B.銳角三角形

C.鈍角三角形

D.等邊三角形

思路點撥：三角形的內角和為180°，三個內角度數的份數和是9，每一份度數是20，則三個內角度數分別為40°、60°、80°，是銳角三角形.答案：B

（2）三角形的三邊分別為3，1-2a，8，則a的取值范圍是()

A．-6＜a＜-3

B．-5＜a＜-2

C．2＜a＜5

D．a＜-5或a＞-2

思路點撥：涉及到三角形三邊關系時，盡可能簡化運算，注意運算的準確性.解析：根據三角形三邊關系得：8-3＜1-2a＜8+3，解得-5＜a＜-2，應選B.舉一反三：

【變式1】已知a，b，c為△ABC的三條邊，化簡

思路點撥：本題利用三角形三邊關系，使問題代數化，從而化簡得出結論.解析：∵a，b，c為△ABC的三條邊 ∴a-b-c＜0，b-a-c＜0

∴

=(b+c-a)+(a+c-b)=2c.得_________.【變式2】有五根細木棒，長度分別為1cm，3cm，5cm，7cm，9cm，現任取其中的三根木棒，組成一個三角形，問有幾種可能()A.1種

B.2種

C.3種

D.4種 解析：只有3、5、7或3、7、9或5、7、9三種.應選C.【變式3】等腰三角形中兩條邊長分別為3、4，則三角形的周長是_________.思路點撥：要分類討論，給出的邊長中，可能分別是腰或底.注意滿足三角形三邊關系.解析：(1)當腰為3時，周長=3+3+4=10；(2)當腰為4時，周長=3+4+4=11.所以答案為10或11.例2．（1）（2010寧波市）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別是△ABC、△BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有（）

A．5個

B．4個

C．3個

D．2個

考點：等腰三角形

答案：A

（2）如圖在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD∥AC，則∠CBD的度數是______.考點：直角三角形兩銳角互余.解析：△ABC 中，∠C=∠ABC-∠A =90°-50°=40°

又∵BD∥AC，∴∠CBD=∠C=40°.例3．已知△ABC的三個內角∠A、∠B、∠C滿足關系式∠B+∠C=3∠A，則此三角形中()

A.一定有一個內角為45°

B.一定有一個內角為60°

C.一定是直角三角形

D.一定是鈍角三角形

考點：三角形內角和180°.思路點撥：會靈活運和三角形內角和等于180°這一定理，即∠B+∠C=180°-∠A.解析：∵△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C=180°-∠A

∵∠B+∠C=3∠A，∴180°-∠A=3∠A，∴ ∠A=45°，∴選A，其它三個答案不能確定.舉一反三：

【變式1】下圖能說明∠1＞∠2的是()

考點：三角形外角性質.思路點撥：本類題目考查學生了解三角形外角大于任何一個不相鄰的內角.解析：A中∠1和∠2是對頂角，∠1=∠2；B中∠1和∠2是同位角，若兩直線平行則相等，不平行則不一定相等；C中∠1是三角形的一個外角，∠2是和它不相鄰的內角，所以∠1＞∠2.D中∠1和∠2的大小相等.故選C.總結升華：三角形內角和180°以及邊角之間的關系，在習題中往往是一個隱藏的已知條件，在做題時要注意審題，并隨時作為檢驗自己解題是否正確的標準.【變式2】如果三角形的一個內角等于其他兩個內角的和，這個三角形是()

A.銳角三角形

B.鈍角三角形

C.直角三角形

D.不能確定

思路點撥：理解直角三角形定義，結合三角形內角和得出結論.解析：若△ABC的三個內角∠A、∠B、∠C中，∠A+∠B=∠C

又∠A+∠B+∠C=180°，所以2∠C=180°，可得∠C=90°，所以選C.【變式3】下列命題：(1)等邊三角形也是等腰三角形；(2)三角形的外角等于兩個內角的和；(3)三角形中最大的內角不能小于60°；(4)銳角三角形中，任意兩內角之和必大于90°，其中錯誤的個數是()

A.0 個

B.1個

C.2個

D.3個

思路點撥：本題的解題關鍵是要理解定義，掌握每種三角形中角的度數的確定.解析：(2)中應強調三角形的外角等于不相鄰的兩個內角的和；三角形中最大的內角若小于60°，則三個角的和就小于180°，不符合三角形內角和定理，故(3)正確；(4)三角形中，任意兩內角之和若不大

于90°，則另一個內角就大于或等于90°，就不能是銳角三角形.所以中有(2)錯，故選B.考點二、三角形的“四心”和中位線

例4．（1）與三角形三個頂點距離相等的點是這個三角形的()

A.二條中線的交點

B.二條高線的交點

C.三條角平分線的交點

D.三邊中垂線的交點

考點：線段垂直平分線的定理.思路點撥：三角形三邊垂直平分線的交點是外心，是三角形外接圓的圓心，到三角形三個頂點距離相等.答案D若改成二邊中垂線的交點也正確.（２）（2010四川眉山）如圖，將第一個圖（圖①）所示的正三角形連結各邊中點進行分割，得到第二個圖（圖②）；再將第二個圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進行分割，得到第三個圖（圖③）；再將第三個圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進行分割，……，則得到的第五個圖中，共有________個正三角形．

考點：三角形中位線找規律

思路點撥：圖①有１個正三角形；圖②有（１＋４）個正三角形；

圖③有（１＋４＋４）個正三角形；圖④有（１＋４＋４＋４）個正三角形；

圖⑤有（１＋４＋４＋４＋４）個正三角形；…．

答案：17

例5．一個三角形的內心在它的一條高線上，則這個三角形一定是()

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等邊三角形

考點：三角形角平分線定理.思路點撥：本題考查三角形的內心是三角形角平分線的交點，若內心在一條高線上，又符合三線合一的性質.所以該三角形是等腰三角形.故選B.舉一反三：

【變式1】如圖，已知△ABC中，∠A=58°，如果(1)O為外心；(2)O為內心；(3)O為垂心；分別求∠BOC的度數.考點：三角形外心、內心、垂心性質.解析：∠A是銳角時，(1)O為外心時，∠BOC=2∠A =116°；

(2)O為內心時，∠BOC=90°+∠A=119°；

(3)O為垂心，∠BOC=180°-∠A=122°.【變式2】如果一個三角形的內心，外心都在三角形內，則這個三角形是()

A.銳角三角形

B.只有兩邊相等的銳角三角形

C.直角三角形

D.銳角三角形或直角三角形

解析：三角形的內心都在三角形內部；銳角三角形外心在三角形內部；直角三角形的外心在三角形斜邊的中點上、鈍角三角形的外心三角形外部.故選A.【變式3】能把一個三角形分成兩個面積相等的三角形的線段，是三角形的()

A.中線

B.高線

C.邊的中垂線

D.角平分線

思路點撥：三角形面積相等，可利用底、高相等或相同得到.解析：三角形的一條中線分得的兩個三角形底相等，高相同.應選A.例6．（1）（2010廣東茂名）如圖，吳伯伯家有一塊等邊三角形的空地ABC，已知點E、F分別是邊AB、AC的中點，量得EF＝5米，他想把四邊形BCFE用籬笆圍成一圈放養小雞，則需用籬笆的長是（）

A、15米

B、20米

C、25米

D、30米

考點：三角形中位線定理.思路點撥：ＢＥ=ＡＥ＝５，ＣＦ＝ＦＡ＝５，ＢＣ＝２ＥＦ＝１０

答案：C

（2）已知△ABC中，AB∶BC∶CA=3∶2∶4，AB=12厘米，D，E，F分別是AB，BC，AC的中點，則△DEF

的周長是________.考點：三角形中位線定理.思路點撥：本題考查三角形的中位線，先求出△ABC各邊的邊長，由三條中位線構成的△DEF是原三角形周長的一半.解析：由已知求出△ABC另兩邊長為BC=8厘米，AC=16厘米

∵D，E，F分別是AB，BC，AC的中點，∴DE、EF、DF是△ABC的中位線

∴DE=

舉一反三： AC=8 EF=AB=6 DF=BC=4，∴△DEF的周長等于8+6+4=18厘米.【變式1】求證：三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.思路點撥：本題考查三角形的中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.解析：已知：如圖，在△ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC.求證：AE、DF互相平分.證明：連結DE、EF

∵AD=DB，BE=CE

∴DE∥AC(三角形中位線定理)

同理EF∥AB

∴四邊形ADEF是平行四邊形

∴AE、DF互相平分(平行四邊形的對角線互相平分).【變式2】已知：如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，四邊形EFGH是平行四邊形嗎?為什么?

思路點撥：考慮到E、F是AB、BC的中點，因此連結AC，就得到EF是△ABC的中位線，由三角形中位線定理得，證明：連結AC，同理，則EF∥GH，EF=GH，所以四邊形EFGH是平行四邊形.∵E、F是AB、BC的中點，∴EF=，EF∥AC

同理，GH=，GH∥AC，∴EF∥GH，EF=GH

∴四邊形EFGH是平行四邊形.考點

三、全等三角形

例7．對于下列各組條件，不能判定△

≌△的一組是()

A.∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB=A′B′

B.∠A=∠A′，AB=A′B′，AC=A′C′

C.∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′

D.AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′

思路點撥：判定三角形全等的條件中，已知兩邊及一角必須是兩邊及其夾角，而已知兩角一邊和三邊都可以判定三角形全等.解析：A可利用ASA判定；B可利用SAS判定；D可利用SSS判定.而C是兩邊和一邊對角對應相等，不能判定三角形全等.故選C.舉一反三：

【變式1】兩個三角形有以下三對元素對應相等，則不能判定全等的是()

A.一邊和任意兩個角

B.兩邊和它們的夾角

C.兩個角和它們一角的對邊

D.三角對應相等

思路點撥：兩個三角形中，三角對應相等不能證明三角形全等.解析：A的判定方法為ASA或AAS；B的判定方法為SAS；C的判定方法為AAS；要判定三角形全等必須有一個元素是邊，所以D不能判定.故選D.例8．（2010湖南長沙）在正方形ABCD中，AC為對角線，E為AC上一點，連接EB、ED．

（1）求證：△BEC≌△DEC；

（2）延長BE交AD于F，當∠BED=120°時，求∠EFD的度數．

第8題圖

考點：三角形全等的判定及性質.思路點撥：（1）利用ASA判定;(2)利用 △BEC≌△DEC

答案：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形

∴BC＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45°

又EC＝EC

∴△ABE≌△ADE

（2）∵△ABE≌△ADE

∴∠BEC＝∠DEC＝∠BED

∵∠BED＝120°∴∠BEC＝60°＝∠AEF

∴∠EFD＝60°+45°＝105°

舉一反三：

【變式1】如圖，已知:AC =DB，要使

≌，只需增加一個條件是___________.考點：三角形全等的判定.思路點撥：增加條件判定三角形全等時，題中已有一條公共邊這一條件，答案不唯一.解析：填AB=DC，可利用SSS；填∠ACB=∠DBC，可利用SAS.【變式2】如圖，已知，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，那么M到AB的距離是_____

考點：利用三角形全等的性質證明線段或角相等.思路點撥：本題作出M到AB的距離，可以利用證三角形全等求距離.更簡單的是利用角平分線上的點到角兩邊距離相等.解法一：過M作MD⊥AB于D，∴∠MDA=∠C=90°

∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠DAM

∵AM=AM，∴△AMC≌△AMD(AAS)，∴MD=CM=20cm

解法二：過M作MD⊥AB于D

∵∠C=90°，∴MC⊥AC

∵AM平分∠CAB，∴MD=CM=20cm 考點

四、等腰三角形與直角三角形

例9．（1）（2010湖北黃石）如圖，等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分線交AC于D，則∠CBD的度數為_____________.思路點撥：等腰三角形的性質

答案：45°

（2）等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角等于()

A.頂角的2倍

B.頂角的一半

C.頂角

D.底角的一半

思路點撥：本題適用于任何一種等腰三角形.總結規律，等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角等于頂角的一半.解析：如圖，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，所以∠ABC=∠C，∠BDC=90°，所以∠DBC=90°-∠C=90°-

答案：B.(180-∠A)= ∠A，例10．△ABC等邊三角形，BD是中線，延長BC到E，使CE=CD，不添加輔助線，請你寫出盡可能多的結論.思路點撥：本題是先猜想再驗證的探索性題型，關鍵是掌握等邊三角形及三線合一的性質.答案：如：①DB=DE；②BD⊥AC；③∠DBC=∠DEC=30°；④△ABD≌△CBD； ⑤∠CDE=30°；⑥BD平分∠ABC等.總結升華：等腰三角形是特殊的三角形，具有對稱性，邊、角之間的聯系較多；三線合一的性質在解題時應用廣泛，但經常被忽略，應注意靈活運用.舉一反三：

【變式1】若一個三角形的兩個內角分別為50°、80°，則這個三角形是_________三角形.考點：等腰三角形的判定.思路點撥：會根據三角形內角的度數判斷三角形的形狀.解析：三角形的兩個內角分別為50°、80°，則另一個內角為50°，這個三角形有兩個角相等，所以是等腰三角形.總結升華：三角形是按邊和角進行分類的，會根據題意判斷三角形的形狀.【變式2】已知等腰△ABC中，∠ABC=∠ACB=2∠A，且BD⊥AC，垂足為D，求∠DBC的度數.思路點撥：本題利用三角形內角和求出∠C，從而得出結論.解：∵等腰△ABC中，∠ABC=∠ACB=2∠A，∠ABC+∠C+∠A=180°

∴∠C=72°，∵BD⊥AC，∴∠DBC+∠C=90°，∴∠DBC=90°-72°=18°.【變式3】把腰長為的等腰直角三角形折疊兩次后，得到的一個小三角形的周長是________.解析：本題是動手操作題型，展開后會發現小三角形一邊恰好是原三角形的中位線，從而得出小三角

形的周長就是原三角形周長的一半.答案：.例11．如果線段a、b、c能組成直角三角形，則它們的比可以是()

A.1：2：4

B.1：3：5

C.3：4：7 D.5：12：13

考點：考查勾股定理的逆定理.思路點撥：常見的一些勾股數如：3、4、5；5、12、13；7、24、25及倍數等，應熟練掌握.解析：D中設三邊的比中每一份為k，則(5k)2+(12k)2=(13k)2，所以該三角形是直角三角形.其它答案都不滿足，故選D.例12．（1）（2010年江蘇無錫）

①如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點,P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點．若∠AMN=90°，求證：AM=MN．

下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明．

證明：在邊AB上截取AE=MC，連ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．

（下面請你完成余下的證明過程）

②若將①中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2）,N是∠ACP的平分線上一點，則當∠AMN=60°時，結論AM=MN是否還成立？請說明理由．

③若將①中的“正方形ABCD”改為“正邊形ABCD…X”，請你作出猜想：

當∠AMN=_____________°時，結論AM=MN仍然成立．（直接寫出答案，不需要證明）

考點：考查三角形全等知識，輔助線的做法.解：（1）∵AE=MC,∴BE=BM, ∴∠BEM=∠EMB=45°, ∴∠AEM=1355°，∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°

在△AEM和△MCN中：∵

（2）仍然成立．

在邊AB上截取AE=MC，連接ME

∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，∴∠ACP=120°．

∵AE=MC，∴BE=BM

∴∠BEM=∠EMB=60°

∴∠AEM=120°．

∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，∴∠AEM=∠MCN=120°

∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN

∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM

∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN

（3）

如圖所示折疊，使頂點

落在點.已知，則

（2）將一張矩形紙片折痕的長為()

A.B.C.D.考點：勾股定理和直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半.思路點撥：考查學生了解折疊前后圖形的變化，找出對應相等的量，運用勾股定理解答.解析：由折疊可知，∠CED=∠C′ED =30°，因為在矩形ABCD中，∠C等于90°，CD=AB=2，所以在Rt△DCE中，DE=2CD=4.故選C.總結升華：直角三角形是常見的幾何圖形，在習題中比較多的利用數形結合解決相應的問題.常用的是兩銳角互余，三邊滿足勾股定理.舉一反三：

【變式1】下列條件能確定△ABC是直角三角形的條件有()

(1)∠A+∠B=∠C；(2)∠A:∠B:∠C=1:2:3；(3)∠A=90°-∠B；(4)∠A=∠B=

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

考點：直角三角形三個內角之間關系.∠C.解析:三角形中有一個角是90°，就是直角三角形.題中四個關系式都可以解得△ABC中∠C =90°.故選D.【變式2】如圖，一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=4cm，BC=8cm，將△ABC折疊，點B與點A重合，折痕為DE，則DE的長為()

A.B.C.D.5

考點：勾股定理和線段垂直平分線定理.解析：由折疊可知，AD=BD，DE⊥AB，∴BE=

設BD為x，則CD=8-x

AB

∵∠C=90°，AC=4，BC=8，∴AC2+BC2=AB2

∴AB2=42+82=80，∴AB=，∴BE=

在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2，∴42+(8-x)2=x2，解得x=5

在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2，即（【變式3】已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D.(1)若∠BAC=30°，求證: AD=BD；)2+DE2=52，∴DE= 故選B.(2)若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度數.圖1

圖2

思路點撥：(1)利用直角三角形兩銳角互余，求得∠ABD=∠A=30°，得出AD=BD.(2)利用三角形內角和及角平分線定義或利用三角形外角性質.解析：

(1)證明：∵∠BAC=30°，∠C=90°，∴ ∠ABC=60°

又∵ BD平分∠ABC，∴∠ABD=30°，∴ ∠BAC =∠ABD，∴ BD=AD；

(2)解法一： ∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°

∴=45°

∵ BD平分∠ABC，AP平分∠BAC

∠BAP=，∠ABP=

即∠BAP+∠ABP=45°

∴∠APB=180°-45°=135°

解法二： ∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°

∴=45°

∵ BD平分∠ABC，AP平分∠BAC

∠DBC=，∠PAC=

∴ ∠DBC+∠PAD=45°

∴ ∠APB=∠PDA+∠PAD =∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C=45°+90°=135°.

第二篇：相似三角形復習教案

相似三角形復習教案

教學目標: 本課為相似三角形專題復習課，是對本章基本內容復習基礎上的深化，通過對一個題目的演變，緊緊圍繞一線三直角這個基本模型展開，由淺入深對相似三角形進行，同時結合數學中的方程思想，分類思想，模型思想，數形結合思想等拓展深化.教學重點:相似三角形的一些基本圖形特別是一線三直（等）角的復習.教學難點: 一線三直（等）角模型的拓展深化.教學過程: 練習:1.如圖，AB＞AC，過D點作一直線與AB相交于 點E，使所得到的新三角形與原△ABC相似.2.如圖，直角梯形ABCD中，E是BC上的一動點，使△ABE與△ECD相似，則AB、BE、CE、CD之間滿足的關系為____________.得到相似中最基本的幾種圖形，即：

A型 斜A型 一線三直角反射型

在得到上述基本圖形后，通過找相似三角形，讓學生體會基本圖形的應用。并通過對這個題目的演變，將本課內容提要呈現出來.例1：在平面直角坐標系中，兩個全等Rt△OAB與Rt △A’OC’如圖放置，點A、C’在y軸上，點A’在x軸上，BO 與A’ C’相交于D.你能找出與Rt△OAB相似的三角形嗎？ 請簡要說明理由 在上述條件下，設點B、C’ 的坐標分別為（1，3），（0，1），將△ A’OC’繞點O逆時針旋轉90°至△ AOC，如圖所示：

（1）若拋物線過C、A、A’，求此拋物線的解析式及對稱軸；

（2）設拋物線的對稱軸交x軸與點M，P為對稱軸上的一動點，求當∠APC=90°時的點P坐標.本題主要是應用一線三直角這個基本圖形，從而利用相似三角形的對應邊關系求解，在教學過程中對P點的位置應作說明，可借助于幾何畫板演示.【變一變】線段BM上是否存在點P，使△ABP和△PMC相似？如存在，求出點P坐標，如不存在，請說明理由.本例讓學生進一步應用基本圖形，同時體會到數學思想——分類思想的應用.【拓展一】若點N是第一象限內拋物線上的一動點，當

∠NAA’=90°時，求N點坐標.通過添加一條輔助線構造一線三直角來提升對學生的要求。另外利用本題比較特殊的情況，即△AOA為等腰直三角形的 條件，采用一題多解的方法，幫助學生提高解題的能力.【拓展二】點N是拋物線的頂點，點Q是x軸正半軸上一點,將拋物線繞Q點旋轉180°后得到新拋物線的頂點為M，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當以點M、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q的坐標．

/本例難度較大，通過引導讓學生知道本題仍然可通過構造一線三直角的模型來解決，因為要添加較多輔助線，教師可將第一種情況和輔助線添加出來，從而讓學生類比得到第二種方法的輔助線.課堂小節:對本節課復習模型的整理;相似應用的技巧梳理;學生疑惑的交流.

第三篇：全等三角形單元復習教案

知識點一：全等三角形

1、全等三角形的定義

能夠完全重合的兩個圖形叫做_______。能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。要點詮釋：（1）把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做________，重合的邊叫做_________，重合的角叫做_________。（2）記兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在______的位置上。例如，△ABC與△DEF全等，點A與點D，點B與點E，點C與點F是對應頂點，記作△ABC≌△DEF，而不寫作△ABC≌△EFD等其他形式。

2、全等三角形的性質

全等三角形的__________、_______________． 要點詮釋：找對應邊、對應角通常有下面兩種方法：

（1）全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊；（2）全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角。

3、三角形全等的判定

（1）三邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成）。

（2）兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成）。（3）兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成）。（4）兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成）。（5）在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成）。要點詮釋：

（1）沒有“SSA”、“AAA”這樣的判定定理。（2）“HL”定理是直角三角形

，對于一般三角形不成立。

（3）判定兩個直角三角形全等時，這兩個直角三角形已經有一對直角相等的條件，只需找另兩個條件即可，而這兩個條件中必須有一邊對應相等。能夠完全

的兩個圖形叫做全等形．

知識點二：角平分線的性質

（1）角的平分線的性質定理

角的平分線上的點到這個

。（2）角的平分線的判定定理

角的內部到的點在角的平分線上。要點詮釋：

三角形的三條角平分線交于一點。

注意在證明中用到這兩個定理，如何把文字敘述轉化成數學符號：例：如圖

怎么運用角的平分線的性質定理：

∵OC是∠AOB的平分線，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD=PE

怎么運用角的平分線的判定定理：

∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE ∴點P在∠AOB的平分線上

類型一：全等三角形的性質

例1．如圖，△ABC≌DEF，DF和AC，FE和CB是對應邊。若∠A=100°，∠F=47°，則∠DEF等于（）

A.100°

B.53°

C.47°

D.33°

類型二：全等三角形的證明

例2．如圖，點A、F、C、D在同一直線上，點B和點E分別在直線AD的兩側，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求證：BC∥EF．

類型三：角平分線的性質與判定

例3．已知：如圖所示，CD⊥AB于點D，BE⊥AC于點E，BE、CD交于點O，且AO平分∠BAC，求證：OB=OC．

【變式】如圖，直線l1,l2,l3表示三條互相交叉的公路，現要建一個塔臺，若要求它到

三條公路的距離相等，試問： 可選擇的地點有幾處？ 你能畫出塔臺的位置嗎？

【變式2】如圖，已知∠1=∠2，P為BN上的一點，PF⊥BC于F，PA=PC，求證：∠PCB+∠BAP=180o

AP

N 2 BFC

類型四：利用三角形全等知識解決實際問題 例4．要測量河兩岸相對的兩點A、B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點C、D，使CD=?BC，再定出BF的垂線DE，使A、C、E在一條直線上，可以證明△EDC?≌△ABC，?得到ED=AB，因此測得ED的長就是AB的長（如圖），判定△EDC≌△ABC的理由是（）

A．邊角邊公理

B．角邊角公理；

C．邊邊邊公理

D．斜邊直角邊公理

【變式】如圖,工人師傅要檢查模型中的∠A和∠B是否相等,但他手邊沒有量角器,只有一把刻度尺,請你設計一個方案來說明∠A和∠B是否相等。

1、總結尋找對應邊、角的規律：

（1）有公共邊的，公共邊一定是對應邊；（2）有公共角的，公共角一定是對應角；（3）有對頂角的，對頂角一定是對應角；

（4）兩個全等三角形中一對最長的邊（或最大的角）是對應邊（或角），一對最短的邊（或最小的角）是對應邊（或角），等等。

2、證明三角形全等的一般步驟及注意的問題

（1）先指明在哪兩個三角形中研究問題；

（2）按邊、角的順序列出全等的三個條件，并用大括號括起來；

（3）寫出結論，讓兩個全等三角形中表示對應頂點的字母順序對齊；

（4）在證明中每一步推理都要有根據，不能想當然。

3、常用添加輔助線的方法

（1）作公共邊構造全等三角形；

（2）有中點倍長構造全等三角形（中線法）；

（3）有角平分線，向角兩邊引垂線或通過翻折構造全等三角形（截長補短）；（4）利用平移、軸對稱、旋轉變換構造全等。

第四篇：相似三角形復習課教案

《相似三角形》復習課教案

城區二中 章松巖

目的：使學生掌握相似三角形的判定和性質和應用，并能靈活運用。重點：相似三角形的判定和性質和應用。難點：相似三角形的靈活運用。教法：三疑三探。教具：多媒體。過程：

課前熱身：時間為3分鐘

1、根據下列條件能否判定△ABC與△A′B′C′相似？為什么？

(1)∠A=120°，AB=7，AC=14

∠A′=120°，A′B′=3，A′C′=6(2)AB=4，BC=6，AC=8 A′B′=12，B′C′=18，A′C′=21

(3)∠A=70°,∠B=48°, ∠A′=70°, ∠C′=62°

2、已知△ABC∽△ A′B′C′，其相似比為，則△ABC 與△A′B′C′的周長比為＿＿對應高的比為＿＿對應中線的比為＿＿對應角平分線的比為＿＿面積比為＿＿。提問學生后教師簡單總結,并讓學生說說本單元的復習任務是什么？ 相似三角形的判定

（1）兩邊對應成比例且夾角相等,兩個三角形相似。（2）三邊對應成比例，兩個三角形相似。（3）兩角對應相等，兩個三角形相似。相似三角形的性質

（1）相似三角形對應邊成比例，對應角相等。（2）相似三角形的周長比等于相似比。

（3）相似三角形的面積比等于相似比的平方。

（4）相似三角形的對應邊上的高、中線、角平分線的比等于相似比。要求學生讀幾遍。介紹相似三角形的應用： 相似三角形的應用：

１、利用三角形相似，可證明角相等；線段成比例（或等積式）； ２、利用三角形相似，求線段的長等；

3、利用三角形相似，可以解決一些不能直接測量的物體的長度。如求河的寬度、求建筑物的高度等。課堂搶答：

１、D是△ABC的邊AB上的點, 請你添加一個條件，使△ACD與△ABC相似, 這個條件是（）

２、如果一個三角形三邊長分別為5、12、13,與其相似的三角形最大邊長是39，則該三角形最短的邊長為（）

３、如圖，在平行四邊形ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＡＢ延長線上的一點，ＤＥ交ＢＣ于點Ｆ，ＢＥ：ＡＢ＝２：３，則△ＢＥＦ與△ＣＤＦ的周長比為（）；若△ＢＥＦ的面積為８平方厘米，則△ＣＤＦ的面積為（）

４、如圖，鐵道口的欄桿的短臂長1米，長臂長16米，當短臂端點下降0.8米時，長臂端點升高（）（桿的寬度忽略不計）

５、如圖，身高為1.6m的某同學想測量一棵大樹的高度，她沿樹影BA由B向A走去，當走到C點時，她的影子頂端正好與樹的影子頂端重合，測得BC=3.2m，CA=0.8m，則樹高為（）

A、4.8m

B、6.4m

C、8m

D、10m 競賽角

如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，E為AC的中點，ED交CB的延長線于F。求證：BD·CF=CD·DF 證明：∵CD⊥AB，E為AC的中點

∴ DE=AE

∴∠EDA=∠A

∵ ∠EDA=∠FDB

∴∠A=∠FDB

∵∠ACB= Rt ∠

∴ ∠A=∠FCD

∴ ∠FDB=∠FCD

∵ △FDB∽△FCD

∴ BD：CD=DF：CF

∴ BD·CF=CD·DF 中考鏈接：

在?ABC中，AB=8cm,BC=16cm,點P從點A開始沿AB邊向B點以2cm/秒的速度移動，點Q從點B開始沿BC向點C以4cm/秒的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發，經幾秒鐘?BPQ與?BAC相似？

大膽質疑：

通過本節課的學習同學們還有什么疑問或新的發現請大膽提出來？ 教師預設：

某社區擬籌資金2000元，計劃在一塊上、下底分別是10米、20米的梯形空地上種植花木（如圖）他們想在△AMD和△BMC地帶種植單價為10元 ／米2的太陽花，當△AMD地帶種滿花后，已經花了500元，請你算一下，若繼續在△BMC地帶種植同樣的太陽花，資金是否夠用？并說明理由。

小結：

通這一節的復習之后你有哪些收獲？

（1）掌握相似三角形的判定方法及性質；

（2）能靈活運用相似三角形的判定方法及性質進行計算或證明；（3）利用相似解決一些實際問題

（4）分類討論思想： 遇到沒有明確指明對應關系的三角形相似時，要注意考慮對位相似和錯位相似兩種情況，采取分類討論的方法解決問題.作業：

1、必做題：學習指導第82頁2,3,5題。

2、選做題： 板書設計： 教后記：

相似三角形復習課教案

城區二中

章松巖

2013年1月8日

教后反思

結合上課時的感受及課后評課，我對這節課作出如下反思： 成功地方：

1．能科學運用三疑三探模式上課。

2．能有效開展小組活動。充分發揮小組協作功能。

3．注重學生動口動手能力的培養，教師只起輔助引導作用。不足地方：

1.課前可創設問題情境，結合日常生活實際設計一個問題。2.課前熱身習題可設計成學案的形式。3.學生評價素質有待于進一步提高。

4.部分習題處理過快影響了中差生的學習。5.中招鏈接題因為時間關系為處理。6.竟賽角題目設計過難。7.教師未使用普通話。整改措施：

1.復習期間認真備好復習課。2.注重發揮教研組集體協作功能。

3.注重數學思想方法的教學，注重講題的效果，注重總結歸納解題方法。4.精選習題，不搞題海戰術。5.注重批改，反饋，考后總結。6.注意培優補差，努力降低過差率。

第五篇：相似三角形復習教案

設計意圖：

1、通過學生對一道中考題的解答，讓學生認識到有時利用相似三角形解決問題較簡便。

2、以小題目的形式來回顧梳理相似三角形的基本圖形，并重點得到“三垂直型”；

使學生熟練掌握基本題型。

3、通過變式訓練讓學生感受圖形從一般到特殊的變化；感受到題目的多解性；提高培養學生分析問題、解決問題的能力。

4、通過拓展訓練讓學生感受圖形從特殊到一般（“三垂直型”拓展到“三角相等型”）；加強學生對圖形的感覺。

5、通過課堂及作業訓練學生會用分類思想解決問題；鞏固“三垂直型”和 “三角相等型”。設計方案：

一、情境：

如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG，則AG的長為（）

A．1 B．

C． D．2（檢查學生做的情況，大部分學生利用勾股定理計算。）

這道題目也可以利用相似三角形來計算。有時利用相似三角形解決問題較簡便。今天我們復習相似三角形。（出示課題）

二、梳理相似三角形基本圖形： 在我們學習相似三角形這一章時同學們做了許多題目，今天我們來回顧一下，看看他們之間有沒有聯系，同時檢驗一下同學們對圖形的感覺。

1、如圖（1），已知CA=8,CB=6，AB=5，CD=4(1)若CE= 3，則DE=____(2)如圖（2）若CE=，則DE=____.2、如圖（3），在⊿ABC中，D為AC邊上一點，∠DBC= ∠A，BC= AC=3，則CD的長為（）

，（A）1（B）2（C）（D）

3、如圖（4），∠ABC=90埃?SPAN>BD⊥AC于D，DC=4，AD=9，則BD的長為（）

（A）36（B）16（C）6（D）

4、如圖，F、C、D共線，BD⊥FD, EF⊥FD，BC⊥EC ,若DC=2，BD=3，FC=9,則EF的長為（）

（A）6（B）16（C）26（D）

（這四道題目先留時間給學生在下面做，再讓一個學生上黑板講解。）由這四條題目讓學生感受圖形從一般到特殊的變化。

歸納小結相似三角形的基本圖形：

“A”型 公共角型 公共邊角型 雙垂直型 三垂直型

（母子型）（母子、子子型）

“X”型 蝴蝶型

（老師在黑板上逐一畫出基本圖形）

三、學生探究：

1、在△ ABC中，AB>AC，過AB上一點D作直線DE交另一邊于E，使所得三角形與原三角形相似，畫出滿足條件的圖形.變式：在Rt△ABC中，∠C=90?，?SPAN>AB上一點D作直線DE交另一邊于E，使所得三角形與原三角形相似，畫出滿足條件的圖形.（先讓學生在下面畫，再讓一個學生上黑板畫、其他學生上黑板補充）讓學生感受圖形從一般到特殊變化時，題目的答案從四解減少到三解。

2．如圖，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，連結BF，則圖中與△ABE 一定相似的三角形是（）A．△EFB B．△DEF C．△CFB D．△EFB 和△DEF

變式：如圖，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，連結BF，若使圖中△BEF與△ABE相似，需添加條件：。

（讓學生感受三垂直型）

3.如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，點P在BC邊上，若△ABP與△DCP相似。△APD一定是（）（A）直角三角形

（B）等腰三角形

（C）等腰直角三角形

（D）等腰三角形或直角三角形 變式： 如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，若點P在BC邊上，則△ABP與△DCP相似的點P有 個。

（進一步讓學生感受“三垂直型”，并提醒學生注意全等三角形是特殊的相似三角形）

四、拓展：

1、梯形ABCD中，AD ∥ BC,AD

（將“三垂直型”拓展到“三角相等型”，讓學生感受圖形從特殊到一般。）

2、如圖，梯形ABCD中,AD∥BC，∠ABC=90?SPAN>,AD=9,BC=12，AB=10，在線段BC上任取一點P，作射線PE⊥PD，與線段AB交于點E.（1）試確定CP=3時點E的位置；

（2）若設CP=x，BE=y，試寫出y關于自變量x的函數關系式，并求出自變量x的取值范圍.（作輔助線：過點D作DH⊥BC于H。構造“三垂直型”）

五、課堂小結：

我們要善于在題目中發現和構造基本圖形，利用相似三角形解決問題。從“三垂直型”到“三角相等型”我們會發現有很多題目中都隱藏著到“三角相等型”，只要我們善于歸納總結，就不難發現題目之間的聯系，就會將題目歸類。在解題時我們還要注意到特殊情況和多解的情況。

六、作業：

1.如圖，在直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠B=90埃?SPAN>AD=3，BC=6，點P在AB上滑動。若△DAP與△PBC相似，且 AP= 求PB的長。

（本題有兩解）

，2、已知：點D是等邊三角形ABCBC邊上任一點，∠EDF=60啊?/SPAN> 求證：△BDE∽△CFD3、王叔叔家有一塊等腰三角形的菜地，腰長為40米，一條筆直的水渠從菜地穿過，這條水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿過菜地部分的長為15米(水渠的寬不計)，請你計算這塊等腰三角形菜地的面積．（本題有兩解）

教學后記：

本節課用一道中考題做引例既說明有時利用相似三角形解決問題較簡便，同時又提高了學生的關注度。前面放了足夠的時間讓學生做、學生講基本題，照顧了差生，但由于節奏慢了一點點，后面拓展中的第2題（構造“三垂直型”）課上沒有時間講了（一點遺憾）。在學生探究中，這三條題目以及它們的變式每個學生都積極去思考了，尤其在第2題的變式中，當學生添加了有關角的條件后，我再問：可以添加有關線段的條件嗎？當學生添加了有關比例線段的條件后，我又追問：可以添加角和比例線段以外的條件嗎？幾個學生又能想到：添點E是AD的中點。（是這節課的一個高潮）。第3題，我在課件上將選擇題改成了填空題，學生異口同聲地回答：直角三角形。這時我再給出選擇，學生一看，又想到了等腰三角形時△ABP與△DCP全等，是相似的特殊情況。（這樣的設計學生的印象深刻）。在最后的拓展中，將“三垂直型”拓展到“三角相等型”，讓學生感受圖形從特殊到一般。（是這節課的又一亮點）?？傊竟澱n有相似三角形的基本圖形的梳理；通過圖形的不斷變化，讓學生感受到圖形之間的聯系、題目之間的聯系?！叭怪毙汀钡奶岢鍪菍W生感到新鮮的，并將它拓展到“三角相等型” 讓學生感受到數學的學習從薄到厚，又從厚到薄的過程。培養學生善于歸納總結，將題目歸類，會用數學思想解決問題。教學目標基本達到。

教學心得： 我認為，數學復習課沒有一個基本公認的課堂教學模式。復習課并非單純的知識的重述，而應是知識點的重新整合、深化、升華。復習課更應重視發展學生的數學思維能力，鞏固舊知，是為了獲取新知，同時，要盡可能兼顧每一位不同學習層次的學生，要讓每一個學生都有所得。讓不會的學生會，讓會的學生熟，讓熟的學生精，讓學生逐步走出“以題論題”的困境，達到“以題論法”，從而實現“以題論道”。在課堂上，我們不僅要考慮到老師怎么講，還要考慮到學生怎么學。讓學生感覺到復習課不僅僅是知識的回顧、題目的重復，還要感覺到自己站得更高了，以前做過的題目有好多都是有聯系的，題目由多變少了。讓我們根據不同的內容、不同的學生設計出更加有效的復習課，提高學生的綜合素質。