第一篇：八年級(jí)下冊(cè)二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目標(biāo)：

掌握二次根式的概念；根據(jù)二次根式的概念掌握被開方數(shù)的取值范圍。

教學(xué)重難點(diǎn)：

重點(diǎn)：二次根式的概念以及二次根式有意義的條件；

難點(diǎn)：根據(jù)要求求滿足條件的字母的取值范圍。

教學(xué)方法：先學(xué)后教，當(dāng)堂訓(xùn)練

課時(shí)安排：一課時(shí)

教學(xué)過程：

1、知識(shí)回顧

1、算數(shù)平方根：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算數(shù)平方根。

2、正數(shù)的算數(shù)平方根是正數(shù)，0的算數(shù)平方根是0，負(fù)數(shù)沒有平方根。

2、板書課題

3、出示學(xué)習(xí)目標(biāo)

4、出示自學(xué)指導(dǎo)

自學(xué)教材2、3頁，完成下列各題：

1、完成第二頁思考題，找出二次根式的概念；

2、明確二次根式的特點(diǎn)；

3、式子有意義的條件；

4、完成《基礎(chǔ)訓(xùn)練》課前預(yù)習(xí)。

5、檢測(cè)

1、二次根式的概念

2、二次根式的特點(diǎn)

3、式子有意義的條件

4、課前預(yù)習(xí)講解

6、練習(xí)

1、教材3頁練習(xí)題；

2、習(xí)題16.1第1、7題；

3、《基礎(chǔ)訓(xùn)練》課堂練習(xí)

7、小結(jié)

談?wù)勀銓?duì)二次根式的認(rèn)識(shí)......8、作業(yè)

1、課本19頁第一題

2、《基礎(chǔ)訓(xùn)練》課后練習(xí)

3、思考學(xué)習(xí)拓展。

9、教學(xué)反思

1、因?yàn)閷W(xué)生已學(xué)習(xí)過算數(shù)平方根，所以對(duì)本節(jié)課知識(shí)能較快掌握；

2、本節(jié)課的關(guān)鍵在于掌握二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于等于0。同時(shí)結(jié)合之前所學(xué)知識(shí)能解答式子有意義時(shí)字母的取值范圍。

3、學(xué)習(xí)之初應(yīng)加強(qiáng)練習(xí)，把課堂還給學(xué)生，發(fā)揮學(xué)生主動(dòng)型。

第二篇：二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)1

1教學(xué)目標(biāo)

（1）利用歸納類比的方法得出二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)；

（2）會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式的除法運(yùn)算;

（3） 理解最簡(jiǎn)二次根式的概念

2學(xué)情分析

本節(jié)內(nèi)容主要是在做二次根式的除法運(yùn)算時(shí)，分母含根號(hào)的處理方式上，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)困難或容易失誤，在除法運(yùn)算中，可以先計(jì)算后利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)來進(jìn)行，也可以先利用分式的性質(zhì)，去掉分母中的根號(hào)，再結(jié)合乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)來進(jìn)行。二次根式的除法與分式的運(yùn)算類似，如果分子、分母中含有相同的因式，可以直接約去，以簡(jiǎn)化運(yùn)算。教學(xué)中不能只是列舉題型，應(yīng)以各級(jí)各類習(xí)題為載體，引導(dǎo)學(xué)生把握運(yùn)算過程，估計(jì)運(yùn)算結(jié)果，明確運(yùn)算方向。

3重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：二次根式的乘法法則與積的算術(shù)平方根的性質(zhì)．

難點(diǎn)：二次根式的除法法則與商的算術(shù)平方根的性質(zhì)之間的關(guān)系和應(yīng)用。

4教學(xué)過程

4。1 第一學(xué)時(shí)

教學(xué)活動(dòng)

活動(dòng)1【導(dǎo)入】復(fù)習(xí)提問，探究規(guī)律

問題1 二次根式的乘法法則是什么內(nèi)容？化簡(jiǎn)二次根式的一般步驟怎樣？

師生活動(dòng) 學(xué)生回答。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生回憶探究乘法法則的過程，類比該過程，學(xué)生可以探究除法法則．

2．觀察思考，理解法則

問題2 教材第8頁“探究”欄目，計(jì)算結(jié)果如何？有何規(guī)律？

師生活動(dòng) 學(xué)生回答，給出正確答案后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考，并總結(jié)二次根式除法法則：。

問題3 對(duì)比乘法法則里字母的取值范圍，除法法則里字母的取值范圍有何變化？

師生活動(dòng) 學(xué)生思考，回答。學(xué)生能說明根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義知道，分母不為零就可以了。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過自主探究，采用類比的方法，得出二次根式的除法法則后，要明確字母的取值范圍，以免在處理更為復(fù)雜的二次根式的運(yùn)算時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

問題4 對(duì)例題的運(yùn)算你有什么看法？是如何進(jìn)行的？

師生活動(dòng) 學(xué)生利用法則直接運(yùn)算，一般根號(hào)下不含分母和開得盡方的因數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生初步利用二次根式的性質(zhì)、乘除法法則進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算。

問題5 對(duì)比積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，商的算術(shù)平方根有沒有類似性質(zhì)？

師生活動(dòng) 學(xué)生類比地發(fā)現(xiàn)，商的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的商，即 。利用該性質(zhì)可以進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)。

活動(dòng)2【講授】觀察思考，理解法則

問題2 教材第8頁“探究”欄目，計(jì)算結(jié)果如何？有何規(guī)律？

師生活動(dòng) 學(xué)生回答，給出正確答案后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考，并總結(jié)二次根式除法法則：。

問題3 對(duì)比乘法法則里字母的取值范圍，除法法則里字母的取值范圍有何變化？

師生活動(dòng) 學(xué)生思考，回答。學(xué)生能說明根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義知道，分母不為零就可以了。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過自主探究，采用類比的方法，得出二次根式的除法法則后，要明確字母的取值范圍，以免在處理更為復(fù)雜的二次根式的運(yùn)算時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

問題4 對(duì)例題的運(yùn)算你有什么看法？是如何進(jìn)行的？

師生活動(dòng) 學(xué)生利用法則直接運(yùn)算，一般根號(hào)下不含分母和開得盡方的因數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生初步利用二次根式的性質(zhì)、乘除法法則進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算。

問題5 對(duì)比積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，商的算術(shù)平方根有沒有類似性質(zhì)？

師生活動(dòng) 學(xué)生類比地發(fā)現(xiàn)，商的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的商，即 。利用該性質(zhì)可以進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)。

活動(dòng)3【活動(dòng)】例題示范，學(xué)會(huì)應(yīng)用

例1 計(jì)算： （1） ； （2） ； （3） 。

師生活動(dòng) 提問：你有幾種方法去掉分母中的根號(hào)？去分母的依據(jù)分別是什么？

再提問：第（2）用什么方法計(jì)算更簡(jiǎn)捷？第（3）題根號(hào)下含字母在移出根號(hào)時(shí)應(yīng)注意什么？

【設(shè)計(jì)意圖】通過具體問題，讓學(xué)生在實(shí)際運(yùn)算中培養(yǎng)運(yùn)算能力，訓(xùn)練運(yùn)算技能，

問題5 你能從例題的解答過程中，總結(jié)一下二次根式的運(yùn)算結(jié)果有什么特征嗎？

師生活動(dòng) 學(xué)生總結(jié)，師生共同補(bǔ)充、完善。要總結(jié)出：

（1）這些根式的被開方數(shù)都不含分母；

（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；

（3）分母中不含根號(hào)；

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，提出最簡(jiǎn)二次根式的概念，要強(qiáng)調(diào)，在二次根式的運(yùn)算中，一般要把最后結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式。

問題6 課件展示一組二次根式的計(jì)算、化簡(jiǎn)題。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生用總結(jié)出的結(jié)論進(jìn)行二次根式的運(yùn)算。

活動(dòng)4【練習(xí)】鞏固概念，學(xué)以致用

例2 教材第9頁例7。

師生活動(dòng) 提問 本題是以長(zhǎng)方形面積為背景的數(shù)學(xué)問題，二次根式的除法運(yùn)算在此發(fā)揮什么作用？

再提問 章引言中的問題現(xiàn)在能解決了嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】鞏固性練習(xí)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用二次根式的乘除運(yùn)算法則解決實(shí)際問題的能力。

活動(dòng)5【測(cè)試】目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

1．在 、、中，最簡(jiǎn)二次根式為 。

【設(shè)計(jì)意圖】考查對(duì)最簡(jiǎn)二次根式的概念的理解。

2．化簡(jiǎn)下列各式為最簡(jiǎn)二次根式： ； 。

【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)二次根式的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)。鼓勵(lì)學(xué)生用不同方法進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于分母含二次根式的處理，要結(jié)合整式的乘法公式進(jìn)行計(jì)算。

3．化簡(jiǎn)：（1） ； （2） 。

【設(shè)計(jì)意圖】綜合運(yùn)用二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算法則進(jìn)行二次根式的運(yùn)算。

活動(dòng)6【作業(yè)】布置作業(yè)

教科書第10頁練習(xí)第1，2，3題；

教科書習(xí)題16。2第10，11題。

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)2

教學(xué)準(zhǔn)備

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）學(xué)生能用二次根式表示實(shí)際問題中的數(shù)量和數(shù)量關(guān)系，體會(huì)研究二次根式的必要性．

（2）學(xué)生能根據(jù)算術(shù)平方根的意義了解二次根式的概念，知道被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由，知道二次根式本身是一個(gè)非負(fù)數(shù)，會(huì)求二次根式中被開方數(shù)字母的取值范圍． 2.教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)

理解二次根式的雙重非負(fù)性.

3.教學(xué)用具

4.標(biāo)簽

教學(xué)過程

1．創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

問題1你能用帶有根號(hào)的的式子填空嗎？

（1）面積為3 的正方形的邊長(zhǎng)為_______，面積為S 的正方形的邊長(zhǎng)為_______．

（2）一個(gè)長(zhǎng)方形圍欄，長(zhǎng)是寬的2 倍，面積為130m?，則它的寬為______m．

（3）一個(gè)物體從高處自由落下，落到地面所用的時(shí)間 t（單位：s）與開始落下的高度h（單位：m）滿足關(guān)系 h =5t?，如果用含有h 的式子表示 t ，則t= _____．

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成上述問題，用算術(shù)平方根表示結(jié)果，教師進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)和評(píng)價(jià).

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在填空過程中初步感知二次根式與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系，體會(huì)研究二次根式的必要性．

問題2 上面得到的式子

分別表示什么意義？它們有什么共同特征？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生說出各式的意義，概括它們的共同特征：都表示一個(gè)非負(fù)數(shù)（包括字母或式子表示的非負(fù)數(shù)）的算術(shù)平方根．

【設(shè)計(jì)意圖】為概括二次根式的概念作鋪墊．

2．抽象概括，形成概念

問題3 你能用一個(gè)式子表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生小組討論，全班交流．教師由此給出二次根式的定義：一般地，我們把形如

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)由特殊到一般的過程，培養(yǎng)學(xué)生的概括能力．

追問：在二次根式的概念中，為什么要強(qiáng)調(diào)“a≥0”？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生討論，知道二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由．

【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理解． 3．辨析概念，應(yīng)用鞏固

問題4你能比較與0的大小嗎？

4．綜合運(yùn)用，鞏固提高

練習(xí)1 完成教科書第3頁的練習(xí).

練習(xí)2 當(dāng)x 是什么實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式有意義

課堂小結(jié)

教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題.

（1）本節(jié)課你學(xué)到了哪一類新的式子？

（2）二次根式有意義的條件是什么？二次根式的值的范圍是什么？

（3）二次根式與算術(shù)平方根有什么關(guān)系？

課后習(xí)題

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)3

教學(xué)目標(biāo)

1、使學(xué)生理解最簡(jiǎn)二次根式的概念；

2、掌握把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式的方法。

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：化二次根式為最簡(jiǎn)二次根式的方法。

難點(diǎn)：最簡(jiǎn)二次根式概念的理解。

一、導(dǎo)入新課

計(jì)算：

我們?cè)倏聪旅娴膯栴}：

簡(jiǎn)，得到

從上面例子可以看出，如果把二次根式先進(jìn)行化簡(jiǎn)，會(huì)對(duì)解決問題帶來方便。

二、新課

答：

1、被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或整式；

2、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。

滿足上面兩個(gè)條件的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式。

例1 試判斷下列各式中哪些是最簡(jiǎn)二次根式，哪些不是？為什么？

解

（1）不是最簡(jiǎn)二次根式。因?yàn)閍3=a2·a，而a2可以開方，即被開方數(shù)中有開得盡方的因式。整數(shù)。

（3）是最簡(jiǎn)二次根式。因?yàn)楸婚_方數(shù)的因式x2＋y2開不盡方，而且是整式。

（4）是最簡(jiǎn)二次根式。因?yàn)楸婚_方數(shù)的因式a－b開不盡方，而且是整式。

（5）是最簡(jiǎn)二次根式。因?yàn)楸婚_方數(shù)的因式5x開不盡方，而且是整式。

（6）不是最簡(jiǎn)二次根式。因?yàn)楸婚_方數(shù)中的因數(shù)8=22·2，含有開得盡的因數(shù)22。

指出：從（1），（2），（6）題可以看到如下兩個(gè)結(jié)論。

1、在二次根式的被開方數(shù)中，只要含有分?jǐn)?shù)或小數(shù)，就不是最簡(jiǎn)二次根式；

2、在二次根式的被開方數(shù)中的每一個(gè)因式（或因數(shù)），如果冪的指數(shù)等于或大于2，也不是最簡(jiǎn)二次根式。

例2 把下列各式化為最簡(jiǎn)二次根式：

分析：把被開方數(shù)分解因式或因數(shù)，再利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)

例3 把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：

分析：題（1）的被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)把它變成假分?jǐn)?shù)，然后將分母有理化，把原式化成最簡(jiǎn)二次根式。

題（2）及題（3）的被開方數(shù)是分式，先應(yīng)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)把原式表示為兩個(gè)根式的商的形式，再把分母有理化，把原式化成最簡(jiǎn)二次根式。

通過例2、例3，請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)出把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式的方法。

答：如果被開方數(shù)是分式或分?jǐn)?shù)（包括小數(shù)）先利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把它寫成分式的形式，然后利用分母有理化化簡(jiǎn)。

如果被開方數(shù)是整式或整數(shù)，先把它分解因式或分解因數(shù)，然后把開得盡方的因式或因數(shù)開出來，從而將式子化簡(jiǎn)。

三、課堂練習(xí)

1、在下列各式中，是最簡(jiǎn)二次根式的式子為 [ ]的二次根式的式子有_____個(gè)。 [ ]

A、2 B、3

C、1 D、0

3、把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：

答案：

1、B

2、B

四、小結(jié)

1、最簡(jiǎn)二次根式必須滿足兩個(gè)條件：

（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；

（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。

2、把一個(gè)式子化為最簡(jiǎn)二次根式的方法是：

（1）如果被開方數(shù)是整式或整數(shù)，先把它分解成因式（或因數(shù)）的積的形式，把開得盡方的因式（或因數(shù)）移到根號(hào)外；

（2）如果被開方數(shù)含有分母，應(yīng)去掉分母的根號(hào)。

五、作業(yè)

1、把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：

2、把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)4

1、通過二次根式混合運(yùn)算的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步了解二次根式運(yùn)算法則，知道二次根式混合運(yùn)算順序，會(huì)進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算。

2、在進(jìn)行二次根式混合運(yùn)算的過程中，體會(huì)類比思想，逐步養(yǎng)成認(rèn)真仔細(xì)的學(xué)習(xí)品質(zhì)，進(jìn)一步提高運(yùn)算能力。

教學(xué)重點(diǎn)：二次根式混合運(yùn)算算理的理解。

教學(xué)難點(diǎn)：類比整式運(yùn)算準(zhǔn)確快速的進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算。

教學(xué)過程：

一、情境誘導(dǎo)

《二次根式混合運(yùn)算習(xí)題課》教學(xué)設(shè)計(jì)-楊桂花

二、練習(xí)指導(dǎo)

(學(xué)生完成練習(xí)提綱,可以討論,老師做必要的板書準(zhǔn)備,然后巡回指導(dǎo),了解情況、)

練習(xí)提綱：《二次根式混合運(yùn)算習(xí)題課》教學(xué)設(shè)計(jì)-楊桂花

三、展示歸納

1、學(xué)生匯報(bào)解題過程,生說師寫;

2、發(fā)動(dòng)其他學(xué)生評(píng)價(jià)補(bǔ)充完善;

3、師畫龍點(diǎn)睛強(qiáng)調(diào):

(1)二次根式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序跟有理數(shù)運(yùn)算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減。

（2）二次根式混合運(yùn)算與整式的運(yùn)算有很多相似之處，因此可類比整式的運(yùn)算進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算。

四、變式練習(xí)

(先讓學(xué)生獨(dú)立完成，老師做必要的板書準(zhǔn)備后巡回指導(dǎo)，了解情況； 然后讓有一定問題的學(xué)生匯報(bào)展示，發(fā)動(dòng)學(xué)生評(píng)價(jià)完善，老師強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵地方，總結(jié)思想方法。）

《二次根式混合運(yùn)算習(xí)題課》教學(xué)設(shè)計(jì)-楊桂花

五、小結(jié)

本節(jié)課你有哪些收獲？還有什么要提醒同學(xué)們注意的。（學(xué)生總結(jié)，百花齊放，老師不做限定，沒說到的，老師補(bǔ)充。）

六、布置作業(yè)

《二次根式混合運(yùn)算習(xí)題課》教學(xué)設(shè)計(jì)-楊桂花

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)5

一、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：

1、理解二次根式的概念。

2、理解二次根式的基本性質(zhì)。

過程與方法：

能運(yùn)用二次根式的概念解決有關(guān)問題、

情感態(tài)度與價(jià)值觀：

經(jīng)歷觀察、比較、總結(jié)和應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動(dòng)，感受數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿了探索性和創(chuàng)造性，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的快樂，并提高應(yīng)用的意識(shí)。

二、學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“整式”、“平方根”、“算術(shù)平方根”等知識(shí)，已經(jīng)具備了學(xué)習(xí)二次根式的知識(shí)基礎(chǔ)和心理基礎(chǔ)，但學(xué)生剛認(rèn)識(shí)二次根式，學(xué)習(xí)將有一定難度。學(xué)生知識(shí)障礙點(diǎn)是二次根式的概念及運(yùn)算，如果學(xué)生在此不能很好地理解和正確的認(rèn)知，將對(duì)今后學(xué)習(xí)產(chǎn)生很大影響，所以要求學(xué)生積極探究、思考，及時(shí)加以鞏固，克服學(xué)習(xí)困難，真正“學(xué)會(huì)”。

三、重點(diǎn)難點(diǎn)

1、教學(xué)重點(diǎn)為了解二次根式的概念，知道被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由，知道二次根式本身是一個(gè)非負(fù)數(shù)，會(huì)求二次根式中被開方數(shù)字母的取值范圍．

2、教學(xué)難點(diǎn)為：理解二次根式的雙重非負(fù)性、

四、教學(xué)過程

活動(dòng)1【導(dǎo)入】活動(dòng)一

問題1你能用帶有根號(hào)的的式子填空嗎？

（1）面積為3的正方形的邊長(zhǎng)為_______，面積為S的正方形的邊長(zhǎng)為_______．

（2）一個(gè)長(zhǎng)方形圍欄，長(zhǎng)是寬的2倍，面積為130m？，則它的寬為______m．

（3）一個(gè)物體從高處自由落下，落到地面所用的時(shí)間t（單位：s）與開始落下的高度h（單位：m）滿足關(guān)系h =5t？，如果用含有h的式子表示t，則t= _____．

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成上述問題，用算術(shù)平方根表示結(jié)果，教師進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)和評(píng)價(jià)。

問題2上面得到的式子√3，√s，√h5分別表示什么意義？它們有什么共同特征？

活動(dòng)2【活動(dòng)】講授

問題3你能用一個(gè)式子表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生小組討論，全班交流．教師由此給出二次根式的定義：一般地，我們把形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，“√ ”稱為二次根號(hào)．

追問：在二次根式的概念中，為什么要強(qiáng)調(diào)“a≥0”？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生討論，知道二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由．

活動(dòng)3【講授】辨析概念

例1當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，√x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生從概念出發(fā)進(jìn)行思考，鞏固學(xué)生對(duì)二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)的理解．

例2當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，√x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？√x3呢？

師生活動(dòng)：先讓學(xué)生獨(dú)立思考，再追問．

問題4你能比較√a與0的大小嗎？

師生活動(dòng)：通過分a>0和a= 0這兩種情況的討論，比較√a與0的大小，引導(dǎo)學(xué)生得出√a ≥0的結(jié)論，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)二次根式本身為非負(fù)數(shù)的理解，

活動(dòng)4【練習(xí)】練習(xí)

練習(xí)當(dāng)x是什么實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式有意義、

（1）√x2；（2）√34x（3）√x2√2x；（4）√xx1 、

練習(xí)1完成教科書第3頁的練習(xí)、

練習(xí)2當(dāng)x是什么實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式有意義、

（1）√x2；（2）√34x（3）√x2√2x；（4）√xx1 、

練習(xí)1完成教科書第3頁的練習(xí)、

練習(xí)2當(dāng)x是什么實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式有意義、

（1）√x2；（2）√34x（3）√x2√2x；（4）√xx1 、

練習(xí)1完成教科書第3頁的練習(xí)、

練習(xí)2當(dāng)x是什么實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式有意義、

（1）√x2；（2）√34x（3）√x2√2x；（4）√xx1 、

活動(dòng)5【活動(dòng)】小結(jié)

小結(jié)：

1、二次根式的意義：√a（a≥0）

2、二次根式的性質(zhì)：

性質(zhì)1 √a2 = a（a≥0）

活動(dòng)6【測(cè)試】目標(biāo)檢測(cè)

1、下列各式中，一定是二次根式的是

A、√a B√3 、C√x2+1 、D、3√5

2、當(dāng)x取什么時(shí)，二次根式√3x無意義．

3、當(dāng)x取何值時(shí)，二次根式√x+3有最小值，其最小值是．

4、對(duì)于√3a1a3，小紅根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，得出a的取值范圍是a ≥ 13．小慧認(rèn)為還應(yīng)考慮分母不為0的情況．你認(rèn)為小慧的想法正確嗎？試求出a的取值范圍．

活動(dòng)7【作業(yè)】布置作業(yè)

教科書習(xí)題16、1第1，3，5，7，10題．

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)6

一、教學(xué)目標(biāo)：

（一）知識(shí)與技能：

1．了解二次根式的概念，會(huì)確定二次根式成立的條件。

2.會(huì)用二次根式性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。

3.

了解逆用公式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解。

（二）過程與方法：體驗(yàn)性質(zhì)的推導(dǎo)過程，感受由特殊到一般的方法。

（三）情感態(tài)度：激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。

二、教學(xué)重點(diǎn)：

二次根式成立的條件，雙重非負(fù)性；

用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。

三、教學(xué)難點(diǎn)

性質(zhì)的逆用。

四、教學(xué)準(zhǔn)備：課件

五、教學(xué)過程

(一)復(fù)習(xí)提問

1．什么叫二次根式？

2．下列各式是二次根式，求式子中的字母所滿足的條件：

(3)∵x取任何值都有2x2≥0，所以2x2+1＞0，故x的取值為任意實(shí)數(shù)．

(二)二次根式的簡(jiǎn)單性質(zhì)

上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式的定義，并了解了第一個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)

我們知道，正數(shù)a有兩個(gè)平方根，分別記作零的平方根是零。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出，其中，就是一個(gè)非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根。將符號(hào)“”看作開平方求算術(shù)平方根的運(yùn)算，看作將一個(gè)數(shù)進(jìn)行平方的運(yùn)算，而開平方運(yùn)算和平方運(yùn)算是互為逆運(yùn)算，因而有：

這里需要注意的是公式成立的條件是a≥0，提問學(xué)生，a可以代表一個(gè)代數(shù)式嗎？

請(qǐng)分析：引導(dǎo)學(xué)生答如時(shí)才成立。時(shí)才成立，即a取任意實(shí)數(shù)時(shí)都成立。我們知道如果我們把，同學(xué)們想一想是否就可以把任何一個(gè)非負(fù)數(shù)寫成一個(gè)數(shù)的平方形式了．

例1

計(jì)算：

分析：這個(gè)例題中的四個(gè)小題，主要是運(yùn)用公式。其中(2)、(3)、(4)題又運(yùn)用了整式乘除中學(xué)習(xí)的積的冪的運(yùn)算性質(zhì)．結(jié)合第（2）小題中的，說明，這與帶分?jǐn)?shù)。因此，以后遇到，應(yīng)寫成，而不宜寫成。

例2

把下列非負(fù)數(shù)寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式：

(1)5；

(2)11；

(3)1.6；

(4)0.35．

例3

把下列各式寫成平方差的形式，再分解因式：

(1)4x2-1；(2)a4-9；

(3)3a2-10；(4)a4-6a2+9．

解：(1)4x2-1

=(2x)2-12

=(2x+1)(2x-1)．

(2)a4-9

=(a2)2-32

=(a2+3)(a2-3)

(3)3a2-10

(4)a4-6a2+32

=(a2)2-6a2+32

=(a2-3)2

(三)小結(jié)

1．繼續(xù)鞏固二次根式的定義，及二次根式中被開方數(shù)的取值范圍問題．

2．關(guān)于公式的應(yīng)用。

(1)經(jīng)常用于乘法的運(yùn)算中．

(2)可以把任何一個(gè)非負(fù)數(shù)寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式，解決在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解等方面的問題．

(四)練習(xí)和作業(yè)

練習(xí)：

1．填空

注意第(4)題需有2m≥0，m≥0，又需有-3m≥0，即m≤0，故m=0．

2．實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如下圖所示：

分析：通過本題滲透數(shù)形結(jié)合的思想，進(jìn)一步鞏固二次根式的定義、性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生分析：由于a＜0，b＞0，且｜a｜＞｜b｜．

3．計(jì)算

二、作業(yè)

教材P．172習(xí)題11．1；A組2、3；B組2．

補(bǔ)充作業(yè)：

下列各式中的字母滿足什么條件時(shí)，才能使該式成為二次根式？

分析：要使這些式成為二次根式，只要被開方式是非負(fù)數(shù)即可，啟發(fā)學(xué)生分析如下：

(1)由-｜a-2b｜≥0，得a-2b≤0，

但根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，有｜a-2b｜≥0，

∴

｜a-2b｜=0，即a-2b=0，得a=2b．

(2)由(-m2-1)(m-n)≥0，-(m2+1)(m-n)≥0

∴

(m2+1)(m-n)≤0，又m2+1＞0，

∴

m-n≤0，即m≤n．

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)7

教學(xué)目的

1．使學(xué)生掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義，并會(huì)應(yīng)用此定義判斷一個(gè)根式是否為最簡(jiǎn)二次根式；

2．會(huì)運(yùn)用積和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把一個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式。

教學(xué)重點(diǎn)

最簡(jiǎn)二次根式的'定義。

教學(xué)難點(diǎn)

一個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式的方法。

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

1．把下列各根式化簡(jiǎn)，并說出化簡(jiǎn)的根據(jù)：

2．引導(dǎo)學(xué)生觀察考慮：

化簡(jiǎn)前后的根式，被開方數(shù)有什么不同？

化簡(jiǎn)前的被開方數(shù)有分?jǐn)?shù)，分式；化簡(jiǎn)后的被開方數(shù)都是整數(shù)或整式，且被開方數(shù)中開得盡方的因數(shù)或因式，被移到根號(hào)外。

3．啟發(fā)學(xué)生回答：

二次根式，請(qǐng)同學(xué)們考慮一下被開方數(shù)符合什么條件的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式？

二、講解新課

1．總結(jié)學(xué)生回答的內(nèi)容后，給出最簡(jiǎn)二次根式定義：

滿足下列兩個(gè)條件的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式：

(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；

(2)被開方數(shù)中不含能開得盡的因數(shù)或因式。

最簡(jiǎn)二次根式定義中第(1)條說明被開方數(shù)不含有分母；分母是1的例外。第(2)條說明被開方數(shù)中每個(gè)因式的指數(shù)小于2；特別注意被開方數(shù)應(yīng)化為因式連乘積的形式。

2．練習(xí)：

下列各根式是否為最簡(jiǎn)二次根式，不是最簡(jiǎn)二次根式的說明原因：

3．例題：

例1 把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：

例2 把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：

4．總結(jié)

把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式的根據(jù)是什么？應(yīng)用了什么方法？

當(dāng)被開方數(shù)為整數(shù)或整式時(shí)，把被開方數(shù)進(jìn)行因數(shù)或因式分解，根據(jù)積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把開得盡方的因數(shù)或因式用它的算術(shù)平方根代替移到根號(hào)外面去。

當(dāng)被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)或分式時(shí)，根據(jù)分式的基本性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化去分母。

此方法是先根據(jù)分式的基本性質(zhì)把被開方數(shù)的分母化成能開得盡方的因式，然后分子、分母再分別化簡(jiǎn)。

三、鞏固練習(xí)

1．把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：

2．判斷下列各根式，哪些是最簡(jiǎn)二次根式？哪些不是最簡(jiǎn)二次根式？如果不是，把它化成最簡(jiǎn)二次根式。

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)8

教學(xué)建議

知識(shí)結(jié)構(gòu)：

重點(diǎn)難點(diǎn)分析：

是商的二次根式的性質(zhì)及利用性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算，利用分母有理化化簡(jiǎn)。商的算術(shù)平方根的性質(zhì)是本節(jié)的主線，學(xué)生掌握性質(zhì)在二次根使得化簡(jiǎn)和運(yùn)算的運(yùn)用是關(guān)鍵，從化簡(jiǎn)與運(yùn)算由引出初中重要的內(nèi)容之一分母有理化，分母有理化的理解決定了最簡(jiǎn)二次根式化簡(jiǎn)的掌握。

教學(xué)難點(diǎn)是與商的算術(shù)平方根的關(guān)系及應(yīng)用。與乘法既有聯(lián)系又有區(qū)別，強(qiáng)調(diào)根式除法結(jié)果的一般形式，避免分母上含有根號(hào)。由于分母有理化難度和復(fù)雜性大，要讓學(xué)生首先理解分母有理化的意義及計(jì)算結(jié)果形式。

教法建議：

1。 本節(jié)內(nèi)容是在有積的二次根式性質(zhì)的基礎(chǔ)后學(xué)習(xí)，因此可以采取學(xué)生自主探索學(xué)習(xí)的模式，通過前一節(jié)的復(fù)習(xí)，讓學(xué)生通過具體實(shí)例再結(jié)合積的性質(zhì)，對(duì)比、歸納得到商的二次根式的性質(zhì)。教師在此過程當(dāng)中給與適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，提出問題讓學(xué)生有一定的探索方向。

2。 本節(jié)內(nèi)容可以分為三課時(shí)，第一課時(shí)討論商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，并運(yùn)用這一性質(zhì)化簡(jiǎn)較簡(jiǎn)單的二次根式（被開方數(shù)的分母可以開得盡方的二次根式）；第二課時(shí)討論法則，并運(yùn)用這一法則進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算以及二次根式的乘除混合運(yùn)算，這一課時(shí)運(yùn)算結(jié)果不包括根號(hào)出現(xiàn)內(nèi)出現(xiàn)分式或分?jǐn)?shù)的情況；第三課時(shí)討論分母有理化的概念及方法，并進(jìn)行二次根式的乘除法運(yùn)算，把運(yùn)算結(jié)果分母有理化。這樣安排使內(nèi)容由淺入深，各部分相互聯(lián)系，因此及彼，層層展開。

3。 引導(dǎo)學(xué)生思考“想一想”中的內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，教師組織學(xué)生思考、討論過程當(dāng)中，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，積極探索，運(yùn)用類比、歸納和從特殊到一般的思考方法激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性的思維。

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

一、教學(xué)目標(biāo)

1．掌握商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，能利用性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算；

2．會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算;

3．使學(xué)生掌握分母有理化概念，并能利用分母有理化解決二次根式的化簡(jiǎn)及近似計(jì)算問題；

4。 培養(yǎng)學(xué)生利用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)與計(jì)算的能力；

5。 通過二次根式公式的引入過程，滲透從特殊到一般的歸納方法，提高學(xué)生的歸納總結(jié)能力；

6。 通過分母有理化的教學(xué)，滲透數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性。

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

1．重點(diǎn)：會(huì)利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算，還要使學(xué)生掌握采用分母有理化的方法進(jìn)行．

2．難點(diǎn)：與商的算術(shù)平方根的關(guān)系及應(yīng)用．

三、教學(xué)方法

從特殊到一般總結(jié)歸納的方法以及類比的方法，在學(xué)習(xí)了二次根式乘法的基礎(chǔ)上本小節(jié)

內(nèi)容可引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)，進(jìn)行總結(jié)對(duì)比．

四、教學(xué)手段

利用投影儀．

五、教學(xué)過程

(一) 引入新課

學(xué)生回憶及得算數(shù)平方根和性質(zhì)： （a≥0，b≥0）是用什么樣的方法引出的？(上述積的算術(shù)平方根的性質(zhì)是由具體例子引出的．)

學(xué)生觀察下面的例子，并計(jì)算：

由學(xué)生總結(jié)上面兩個(gè)式的關(guān)系得：

類似地，每個(gè)同學(xué)再舉一個(gè)例子，然后由這些特殊的例子，得出：

(二)新課

商的算術(shù)平方根．

一般地，有 （a≥0，b＞0）

商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根．

讓學(xué)生討論這個(gè)式子成立的條件是什么？a≥0，b＞0，對(duì)于為什么b＞0，要使學(xué)生通過討論明確，因?yàn)閎＝0時(shí)分母為0，沒有意義．

引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)算順序看，等號(hào)左邊是將非負(fù)數(shù)a除以正數(shù)b求商，再開方求商的算術(shù)平方根，等號(hào)右邊是先分別求被除數(shù)、除數(shù)的算術(shù)平方根，然后再求兩個(gè)算術(shù)平方根的商，根據(jù)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)可以進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算．

例1 化簡(jiǎn)：

（1） ； （2） ； （3） ；

解∶（1）

（2）

（3）

說明：如果被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，在運(yùn)算時(shí)，一般先化成假分?jǐn)?shù)；本節(jié)根號(hào)下的字母均為正數(shù)。

例2 化簡(jiǎn)：

（1） ； (2) ；

解：（1）

（2）

讓學(xué)生觀察例題中分母的特點(diǎn)，然后提出， 的問題怎樣解決？

再總結(jié)：這一小節(jié)開始講的二次根式的化簡(jiǎn)，只限于所得結(jié)果的式子中分母可以完全開的盡方的情況， 的問題，我們將在今后的學(xué)習(xí)中解決。

學(xué)生討論本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并進(jìn)行小結(jié)．

(三)小結(jié)

1．商的算術(shù)平方根的性質(zhì)．(注意公式成立的條件)

2．會(huì)利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式的化簡(jiǎn)．

(四)練習(xí)

1．化簡(jiǎn)：

（1） ； （2） ； （3） 。

2．化簡(jiǎn)：

（1） ； （2） ； (3)

六、作業(yè)

教材P．183習(xí)題11．3；A組1．

七、板書設(shè)計(jì)

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)9

1．能用二次根式表示實(shí)際問題中的數(shù)量及數(shù)量關(guān)系，體會(huì)研究二次根式的必要性；(難點(diǎn))

2．能根據(jù)算術(shù)平方根的意義了解二次根式的概念及性質(zhì)，會(huì)求二次根式中被開方數(shù)中字母的取值范圍．(重點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入

問題1：你能用帶有根號(hào)的式子填空嗎？

(1)面積為3的正方形的邊長(zhǎng)為________，面積為S的正方形的邊長(zhǎng)為________．

(2)一個(gè)長(zhǎng)方形圍欄，長(zhǎng)是寬的2倍，面積為130m2，則它的寬為________m.

(3)一個(gè)物體從高處自由落下，落到地面所用的時(shí)間t(單位：s)與落下的高度h(單位：m)滿足關(guān)系h＝5t2，如果用含有h的式子表示t，則t＝______．

問題2：上面得到的式子，，，分別表示什么意義？它們有什么共同特征？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：二次根式的定義

下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？

(1)；(2)；(3)；

(4)；(5)；(6)(x≤3)；

(7)(x≥0)；(8)；(9)；

(10)(ab≥0)．

解析：要判斷一個(gè)根式是不是二次根式，一是看根指數(shù)是不是2，二是看被開方數(shù)是不是非負(fù)數(shù)．

解：因?yàn)椋剑?x≤3)，，(ab≥0)中的根指數(shù)都是2，且被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，所以都是二次根式.的根指數(shù)不是2，，(x≥0)，的被開方數(shù)小于0，所以不是二次根式．

方法總結(jié)：判斷一個(gè)式子是不是二次根式，要看所給的式子是否具備以下條件：(1)帶二次根號(hào)“”；(2)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．

探究點(diǎn)二：二次根式有意義的條件

【類型一】 根據(jù)二次根式有意義求字母的取值范圍

求使下列式子有意義的x的取值范圍．

(1)；(2)；(3).

解析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于或等于0且分母不等于0，列不等式(組)求解．

解：(1)由題意得4－3x＞0，解得x＜.當(dāng)x＜時(shí)，有意義；

(2)由題意得解得x≤3且x≠2.當(dāng)x≤3且x≠2時(shí)，有意義；

(3)由題意得解得x≥－5且x≠0.當(dāng)x≥－5且x≠0時(shí)，有意義．

方法總結(jié)：含二次根式的式子有意義的條件：

(1)如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是各個(gè)二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)；(2)如果所給式子中含有分母，則除了保證二次根式中的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．

【類型二】 利用二次根式的非負(fù)性求解

(1)已知a、b滿足＋|b－|＝0，解關(guān)于x的方程(a＋2)x＋b2＝a－1；

(2)已知x、y都是實(shí)數(shù)，且y＝＋＋4，求yx的平方根．

解析：(1)根據(jù)二次根式的非負(fù)性和絕對(duì)值的非負(fù)性求解即可；(2)根據(jù)二次根式的非負(fù)性即可求得x的值，進(jìn)而求得y的值，進(jìn)而可求出yx的平方根．

解：(1)根據(jù)題意得解得則(a＋2)x＋b2＝a－1，即－2x＋3＝－5，解得x＝4；

(2)根據(jù)題意得解得x＝3.則y＝4，故yx＝43＝64，±＝±8，∴yx的平方根為±8.

方法總結(jié)：二次根式和絕對(duì)值都具有非負(fù)性，幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0.

探究點(diǎn)三：和二次根式有關(guān)的規(guī)律探究性問題

先觀察下列等式，再回答下列問題．

①＝1＋－＝1；

②＝1＋－＝1；

③＝1＋－＝1.

(1)請(qǐng)你根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，寫出的結(jié)果；

(2)請(qǐng)你按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出用

含n的式子表示的等式(n為正整數(shù))．

解析：(1)從三個(gè)等式中可以發(fā)現(xiàn)，等號(hào)右邊第一個(gè)加數(shù)都是1，第二個(gè)加數(shù)是個(gè)分?jǐn)?shù)，設(shè)分母為n，第三個(gè)分?jǐn)?shù)的分母就是n＋1，結(jié)果是一個(gè)帶分?jǐn)?shù)，整數(shù)部分是1，分?jǐn)?shù)部分的分子也是1，分母是前項(xiàng)分?jǐn)?shù)的分母的積；(2)根據(jù)(1)找的規(guī)律寫出表示這個(gè)規(guī)律的式子．

解：(1)＝1＋－＝1；

(2)＝1＋－＝1(n為正整數(shù))．

方法總結(jié)：解答規(guī)律探究性問題，都要通過仔細(xì)觀察找出字母和數(shù)之間的關(guān)系，通過閱讀找出題目隱含條件并用關(guān)系式表示出來．

三、板書設(shè)計(jì)

1．二次根式的定義

一般地，我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式．

2．二次根式有意義的條件

被開方數(shù)(式)為非負(fù)數(shù)；有意義?a≥0.

通過將新知識(shí)與舊知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系與對(duì)比，隨后由學(xué)生熟悉的實(shí)際問題出發(fā)，用已有的知識(shí)進(jìn)行探究，由此引入二次根式．在教學(xué)過程中讓學(xué)生感受到研究二次根式是實(shí)際的需要，體會(huì)到數(shù)學(xué)與實(shí)際生活間的緊密聯(lián)系，以此充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣．

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)

《二次根式》教學(xué)反思

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)10

一、教學(xué)目標(biāo)

1．掌握二次根式的混合運(yùn)算．

2．掌握混合運(yùn)算的應(yīng)用．

3．通過二次根式的混合運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力．

4．通過混合運(yùn)算知識(shí)拓展，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

小結(jié)、歸納、提高

三、重點(diǎn)、難點(diǎn)解決辦法

1．教學(xué)重點(diǎn)：二次根式的混合運(yùn)算．

2．教學(xué)難點(diǎn)：混合運(yùn)算的應(yīng)用．

四、課時(shí)安排

1課時(shí)

五、教具學(xué)具準(zhǔn)備

投影儀、膠片、多媒體

六、師生互動(dòng)活動(dòng)設(shè)計(jì)

復(fù)習(xí)小結(jié)，歸納整理，應(yīng)用提高，以學(xué)生活動(dòng)為主

七、教學(xué)過程

【例題】

例1 化簡(jiǎn)：

（1） ； （2） ．

解：（1）

（2）

說明：在計(jì)算過程中要注意各個(gè)式子的特點(diǎn)，能否約分或消項(xiàng)（第2小題）達(dá)到化簡(jiǎn)的目的，又要善于在規(guī)則允許的情況下可變換相鄰項(xiàng)的位置，如 ，結(jié)果為－1，繼續(xù)運(yùn)算易出現(xiàn)符號(hào)上的差錯(cuò)，而把 先變?yōu)?，這樣 則為1，繼續(xù)運(yùn)算可避免錯(cuò)誤．

例2 解下列方程（組）：

（1）

（2）

（3）

解：（1）

．

（2）①× ，得

③

②× ，得

④

③－④，得

把 代入①，得

解得 ．

∴

是原方程組的解．

（3）由②，得

③

①× ，得

④

③－④，得

把 代入①，得

．

∴ 是原方程組的解．

例3 已知 ， ，求 的值．

解： ．

．

， ，

∴ ．

例4 已知 ， ，求 的值．

解： ， ．

．

（二）隨堂練習(xí)

1．教材中P206中8．

2．解不等式： ．

解：

∴

．

3．已知 ， ，求 的值．

解：3． ，或 ．

．

∴

．

4．已知 ， ，求： 的值．

解 4．

．

5．已知 ，求 的值．

解 5． ．

．

6．不求方根的值比較 與 的大小．

解 6．∵

∴

∴

（三）總結(jié)、擴(kuò)展

根據(jù)已知條件，求一個(gè)代數(shù)的值，要注意條件或代數(shù)式的化簡(jiǎn)，有時(shí)條件和要求的代數(shù)式都需要化簡(jiǎn)，當(dāng)把條件化簡(jiǎn)后，代數(shù)式的化簡(jiǎn)要朝著條件化簡(jiǎn)的結(jié)果去化簡(jiǎn)．

（四）布置作業(yè)

教材中P207B組1、3和補(bǔ)充作業(yè)．

補(bǔ)充作業(yè)：

1．已知 ，求 的值．

2．已知 ， ，求 的值．

（五）板書設(shè)計(jì)

標(biāo) 題

1．例題……

3．例題……

2．練習(xí)題

4．練習(xí)題

八、背景知識(shí)與課外閱讀

二次根式的混和運(yùn)算方法和順序

1．方法 （1）應(yīng)用二次根式乘法、除法和加減法運(yùn)算法則．

（2）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)運(yùn)算律仍適用．

（3）二次根式的乘法，與多項(xiàng)式的乘法相類似，遇運(yùn)用多項(xiàng)式乘法公式時(shí)，也可以運(yùn)用乘法公式．

2．順序 先乘方、后乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的數(shù)．

第三篇：二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)1

【知識(shí)與技能】

1、理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意義解答具體題目、

2、理解（a≥0）是非負(fù)數(shù)和2=a、

3、理解=a（a≥0）并利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)、

【過程與方法】

1、提出問題，根據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實(shí)際問題、

2、通過復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導(dǎo)出（）2=a（a≥0），最后運(yùn)用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題、

3、通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究并利用這個(gè)結(jié)論解決具體問題、

【情感態(tài)度】

通過具體的數(shù)據(jù)體會(huì)從特殊到一般、分類的.數(shù)學(xué)思想，理解二次根式的概念及二次根式的有關(guān)性質(zhì)、

【教學(xué)重點(diǎn)】

1、形如（a≥0）的式子叫做二次根式、

2、（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；（）2=a（a≥0）及其運(yùn)用、

【教學(xué)難點(diǎn)】

利用“（a≥0）”解決具體問題、

關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出a（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；用探究的方法導(dǎo)出

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

回顧：

當(dāng)a是正數(shù)時(shí)，表示a的算術(shù)平方根，即正數(shù)a的正的平方根、

當(dāng)a是零時(shí)，等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算術(shù)平方根、

當(dāng)a是負(fù)數(shù)時(shí)，沒有意義、

【教學(xué)說明】通過對(duì)算術(shù)平方根的回顧引入二次根式的概念、

二、思考探究，獲取新知

概括：（a≥0）表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，也就是說，（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，它的平方等于a、即有：

（1）≥0；（2）（）2=a（a≥0）、

形如（a≥0）的式子叫做二次根式、

注意：在中，a的取值必須滿足a≥0，即二次根式的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)、

思考：等于什么？

我們不妨取a的一些值，如2，—2，3，—3等，分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的的值，看看有什么規(guī)律、

概括：當(dāng)a≥0時(shí)，=a；當(dāng)a＜0時(shí)，=—a、

三、運(yùn)用新知，深化理解

1、x取什么實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式有意義？

2、計(jì)算下列各式的值：

【教學(xué)說明】可由學(xué)生搶答完成，再由老師總結(jié)歸納、

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

1、師生共同回顧二次根式的概念及有關(guān)性質(zhì)：（1）（）2=a（a≥0）；（2）當(dāng)a≥0時(shí)，=a；當(dāng)a＜0時(shí)，=—a、

2、通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些新知識(shí)，還有哪些疑問？請(qǐng)與同伴交流、

【教學(xué)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生回顧知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生大膽發(fā)言，進(jìn)行知識(shí)提煉和知識(shí)歸納、

1、布置作業(yè)：從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題21、1”中選取、

2、完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí)的“課時(shí)作業(yè)”部分、

本節(jié)課從復(fù)習(xí)算術(shù)平方根入手引入二次根式的概念，再通過特殊數(shù)據(jù)的計(jì)算，理解二次根式的有關(guān)性質(zhì)，經(jīng)歷觀察、歸納、分類討論等思維過程，從中獲得數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，體驗(yàn)教學(xué)活動(dòng)的方法、

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)2

一、教學(xué)目標(biāo)：

（一）知識(shí)與技能：

1．了解二次根式的概念，會(huì)確定二次根式成立的條件。

2、會(huì)用二次根式性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。

3、

了解逆用公式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解。

（二）過程與方法：體驗(yàn)性質(zhì)的推導(dǎo)過程，感受由特殊到一般的方法。

（三）情感態(tài)度：激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。

二、教學(xué)重點(diǎn)：

二次根式成立的條件，雙重非負(fù)性；

用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。

三、教學(xué)難點(diǎn)

性質(zhì)的逆用。

四、教學(xué)準(zhǔn)備：課件

五、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)提問

1．什么叫二次根式？

2．下列各式是二次根式，求式子中的字母所滿足的條件：

（3）∵x取任何值都有2x2≥0，所以2x2+1＞0，故x的取值為任意實(shí)數(shù)．

（二）二次根式的簡(jiǎn)單性質(zhì)

上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式的定義，并了解了第一個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)

我們知道，正數(shù)a有兩個(gè)平方根，分別記作零的平方根是零。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出，其中，就是一個(gè)非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根。將符號(hào)“”看作開平方求算術(shù)平方根的運(yùn)算，看作將一個(gè)數(shù)進(jìn)行平方的運(yùn)算，而開平方運(yùn)算和平方運(yùn)算是互為逆運(yùn)算，因而有：

這里需要注意的是公式成立的條件是a≥0，提問學(xué)生，a可以代表一個(gè)代數(shù)式嗎？

請(qǐng)分析：引導(dǎo)學(xué)生答如時(shí)才成立。時(shí)才成立，即a取任意實(shí)數(shù)時(shí)都成立。我們知道如果我們把，同學(xué)們想一想是否就可以把任何一個(gè)非負(fù)數(shù)寫成一個(gè)數(shù)的平方形式了．

例1

計(jì)算：

分析：這個(gè)例題中的四個(gè)小題，主要是運(yùn)用公式。其中（2）、（3）、（4）題又運(yùn)用了整式乘除中學(xué)習(xí)的積的冪的運(yùn)算性質(zhì)．結(jié)合第（2）小題中的.，說明，這與帶分?jǐn)?shù)。因此，以后遇到，應(yīng)寫成，而不宜寫成。

例2

把下列非負(fù)數(shù)寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式：

（1）5；

（2）11；

（3）1、6；

（4）0、35．

例3

把下列各式寫成平方差的形式，再分解因式：

（1）4x2—1；（2）a4—9；

（3）3a2—10；（4）a4—6a2+9．

解：（1）4x2—1

=（2x）2—12

=（2x+1）（2x—1）．

（2）a4—9

=（a2）2—32

=（a2+3）（a2—3）

（3）3a2—10

（4）a4—6a2+32

=（a2）2—6a2+32

=（a2—3）2

（三）小結(jié)

1．繼續(xù)鞏固二次根式的定義，及二次根式中被開方數(shù)的取值范圍問題．

2．關(guān)于公式的應(yīng)用。

（1）經(jīng)常用于乘法的運(yùn)算中．

（2）可以把任何一個(gè)非負(fù)數(shù)寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式，解決在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解等方面的問題．

（四）練習(xí)和作業(yè)

練習(xí)：

1．填空

注意第（4）題需有2m≥0，m≥0，又需有—3m≥0，即m≤0，故m=0．

2．實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如下圖所示：

分析：通過本題滲透數(shù)形結(jié)合的思想，進(jìn)一步鞏固二次根式的定義、性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生分析：由于a＜0，b＞0，且｜a｜＞｜b｜．

3．計(jì)算

二、作業(yè)

教材P．172習(xí)題11．1；A組2、3；B組2．

補(bǔ)充作業(yè)：

下列各式中的字母滿足什么條件時(shí)，才能使該式成為二次根式？

分析：要使這些式成為二次根式，只要被開方式是非負(fù)數(shù)即可，啟發(fā)學(xué)生分析如下：

（1）由—｜a—2b｜≥0，得a—2b≤0，但根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，有｜a—2b｜≥0，∴

｜a—2b｜=0，即a—2b=0，得a=2b．

（2）由（—m2—1）（m—n）≥0，—（m2+1）（m—n）≥0

∴

（m2+1）（m—n）≤0，又m2+1＞0，∴

m—n≤0，即m≤n．

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)3

教學(xué)準(zhǔn)備

1、教學(xué)目標(biāo)

（1）學(xué)生能用二次根式表示實(shí)際問題中的數(shù)量和數(shù)量關(guān)系，體會(huì)研究二次根式的必要性．

（2）學(xué)生能根據(jù)算術(shù)平方根的意義了解二次根式的概念，知道被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由，知道二次根式本身是一個(gè)非負(fù)數(shù)，會(huì)求二次根式中被開方數(shù)字母的取值范圍．2、教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)

理解二次根式的雙重非負(fù)性、

3、教學(xué)用具

4、標(biāo)簽

教學(xué)過程

1．創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

問題1你能用帶有根號(hào)的的式子填空嗎？

（1）面積為3的正方形的邊長(zhǎng)為_______，面積為S的正方形的'邊長(zhǎng)為_______．

（2）一個(gè)長(zhǎng)方形圍欄，長(zhǎng)是寬的2倍，面積為130m？，則它的寬為______m．

（3）一個(gè)物體從高處自由落下，落到地面所用的時(shí)間t（單位：s）與開始落下的高度h（單位：m）滿足關(guān)系h =5t？，如果用含有h的式子表示t，則t= _____．

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成上述問題，用算術(shù)平方根表示結(jié)果，教師進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)和評(píng)價(jià)、

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在填空過程中初步感知二次根式與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系，體會(huì)研究二次根式的必要性．

問題2上面得到的式子

分別表示什么意義？它們有什么共同特征？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生說出各式的意義，概括它們的共同特征：都表示一個(gè)非負(fù)數(shù)（包括字母或式子表示的非負(fù)數(shù)）的算術(shù)平方根．

【設(shè)計(jì)意圖】為概括二次根式的概念作鋪墊．

2．抽象概括，形成概念

問題3你能用一個(gè)式子表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生小組討論，全班交流．教師由此給出二次根式的定義：一般地，我們把形如

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)由特殊到一般的過程，培養(yǎng)學(xué)生的概括能力．

追問：在二次根式的概念中，為什么要強(qiáng)調(diào)“a≥0”？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生討論，知道二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由．

【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理解．3．辨析概念，應(yīng)用鞏固

問題4你能比較與0的大小嗎？

4．綜合運(yùn)用，鞏固提高

練習(xí)1完成教科書第3頁的練習(xí)、

練習(xí)2當(dāng)x是什么實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式有意義

課堂小結(jié)

教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題、

（1）本節(jié)課你學(xué)到了哪一類新的式子？

（2）二次根式有意義的條件是什么？二次根式的值的范圍是什么？

（3）二次根式與算術(shù)平方根有什么關(guān)系？

課后習(xí)題

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)4

1、通過二次根式混合運(yùn)算的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步了解二次根式運(yùn)算法則，知道二次根式混合運(yùn)算順序，會(huì)進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算。

2、在進(jìn)行二次根式混合運(yùn)算的過程中，體會(huì)類比思想，逐步養(yǎng)成認(rèn)真仔細(xì)的學(xué)習(xí)品質(zhì)，進(jìn)一步提高運(yùn)算能力。

教學(xué)重點(diǎn)：二次根式混合運(yùn)算算理的理解。

教學(xué)難點(diǎn)：類比整式運(yùn)算準(zhǔn)確快速的進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算。

教學(xué)過程：

一、情境誘導(dǎo)

《二次根式混合運(yùn)算習(xí)題課》教學(xué)設(shè)計(jì)-楊桂花

二、練習(xí)指導(dǎo)

(學(xué)生完成練習(xí)提綱,可以討論,老師做必要的板書準(zhǔn)備,然后巡回指導(dǎo),了解情況、)

練習(xí)提綱：《二次根式混合運(yùn)算習(xí)題課》教學(xué)設(shè)計(jì)-楊桂花

三、展示歸納

1、學(xué)生匯報(bào)解題過程,生說師寫;

2、發(fā)動(dòng)其他學(xué)生評(píng)價(jià)補(bǔ)充完善;

3、師畫龍點(diǎn)睛強(qiáng)調(diào):

(1)二次根式混合運(yùn)算的`運(yùn)算順序跟有理數(shù)運(yùn)算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減。

（2）二次根式混合運(yùn)算與整式的運(yùn)算有很多相似之處，因此可類比整式的運(yùn)算進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算。

四、變式練習(xí)

(先讓學(xué)生獨(dú)立完成，老師做必要的板書準(zhǔn)備后巡回指導(dǎo)，了解情況； 然后讓有一定問題的學(xué)生匯報(bào)展示，發(fā)動(dòng)學(xué)生評(píng)價(jià)完善，老師強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵地方，總結(jié)思想方法。）

《二次根式混合運(yùn)算習(xí)題課》教學(xué)設(shè)計(jì)-楊桂花

五、小結(jié)

本節(jié)課你有哪些收獲？還有什么要提醒同學(xué)們注意的。（學(xué)生總結(jié)，百花齊放，老師不做限定，沒說到的，老師補(bǔ)充。）

六、布置作業(yè)

《二次根式混合運(yùn)算習(xí)題課》教學(xué)設(shè)計(jì)-楊桂花

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)5

一、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：

1、理解二次根式的概念。

2、理解二次根式的基本性質(zhì)。

過程與方法：

能運(yùn)用二次根式的概念解決有關(guān)問題、

情感態(tài)度與價(jià)值觀：

經(jīng)歷觀察、比較、總結(jié)和應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動(dòng)，感受數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿了探索性和創(chuàng)造性，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的快樂，并提高應(yīng)用的意識(shí)。

二、學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“整式”、“平方根”、“算術(shù)平方根”等知識(shí)，已經(jīng)具備了學(xué)習(xí)二次根式的知識(shí)基礎(chǔ)和心理基礎(chǔ)，但學(xué)生剛認(rèn)識(shí)二次根式，學(xué)習(xí)將有一定難度。學(xué)生知識(shí)障礙點(diǎn)是二次根式的概念及運(yùn)算，如果學(xué)生在此不能很好地理解和正確的認(rèn)知，將對(duì)今后學(xué)習(xí)產(chǎn)生很大影響，所以要求學(xué)生積極探究、思考，及時(shí)加以鞏固，克服學(xué)習(xí)困難，真正“學(xué)會(huì)”。

三、重點(diǎn)難點(diǎn)

1、教學(xué)重點(diǎn)為了解二次根式的概念，知道被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由，知道二次根式本身是一個(gè)非負(fù)數(shù)，會(huì)求二次根式中被開方數(shù)字母的取值范圍．

2、教學(xué)難點(diǎn)為：理解二次根式的雙重非負(fù)性、

四、教學(xué)過程

活動(dòng)1【導(dǎo)入】活動(dòng)一

問題1你能用帶有根號(hào)的的式子填空嗎？

（1）面積為3的正方形的邊長(zhǎng)為_______，面積為S的正方形的邊長(zhǎng)為_______．

（2）一個(gè)長(zhǎng)方形圍欄，長(zhǎng)是寬的2倍，面積為130m？，則它的寬為______m．

（3）一個(gè)物體從高處自由落下，落到地面所用的時(shí)間t（單位：s）與開始落下的高度h（單位：m）滿足關(guān)系h =5t？，如果用含有h的式子表示t，則t= _____．

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成上述問題，用算術(shù)平方根表示結(jié)果，教師進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)和評(píng)價(jià)。

問題2上面得到的式子√3，√s，√h5分別表示什么意義？它們有什么共同特征？

活動(dòng)2【活動(dòng)】講授

問題3你能用一個(gè)式子表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生小組討論，全班交流．教師由此給出二次根式的定義：一般地，我們把形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，“√ ”稱為二次根號(hào)．

追問：在二次根式的概念中，為什么要強(qiáng)調(diào)“a≥0”？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生討論，知道二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由．

活動(dòng)3【講授】辨析概念

例1當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，√x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生從概念出發(fā)進(jìn)行思考，鞏固學(xué)生對(duì)二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)的理解．

例2當(dāng)x是怎樣的.實(shí)數(shù)時(shí)，√x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？√x3呢？

師生活動(dòng)：先讓學(xué)生獨(dú)立思考，再追問．

問題4你能比較√a與0的大小嗎？

師生活動(dòng)：通過分a>0和a= 0這兩種情況的討論，比較√a與0的大小，引導(dǎo)學(xué)生得出√a ≥0的結(jié)論，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)二次根式本身為非負(fù)數(shù)的理解，活動(dòng)4【練習(xí)】練習(xí)

練習(xí)當(dāng)x是什么實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式有意義、

（1）√x2；（2）√34x（3）√x2√2x；（4）√xx1 、

練習(xí)1完成教科書第3頁的練習(xí)、

練習(xí)2當(dāng)x是什么實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式有意義、

（1）√x2；（2）√34x（3）√x2√2x；（4）√xx1 、

練習(xí)1完成教科書第3頁的練習(xí)、

練習(xí)2當(dāng)x是什么實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式有意義、

（1）√x2；（2）√34x（3）√x2√2x；（4）√xx1 、

練習(xí)1完成教科書第3頁的練習(xí)、

練習(xí)2當(dāng)x是什么實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式有意義、

（1）√x2；（2）√34x（3）√x2√2x；（4）√xx1 、

活動(dòng)5【活動(dòng)】小結(jié)

小結(jié)：

1、二次根式的意義：√a（a≥0）

2、二次根式的性質(zhì)：

性質(zhì)1 √a2 = a（a≥0）

活動(dòng)6【測(cè)試】目標(biāo)檢測(cè)

1、下列各式中，一定是二次根式的是

A、√a B√3 、C√x2+1 、D、3√5

2、當(dāng)x取什么時(shí)，二次根式√3x無意義．

3、當(dāng)x取何值時(shí)，二次根式√x+3有最小值，其最小值是．

4、對(duì)于√3a1a3，小紅根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，得出a的取值范圍是a ≥ 13．小慧認(rèn)為還應(yīng)考慮分母不為0的情況．你認(rèn)為小慧的想法正確嗎？試求出a的取值范圍．

活動(dòng)7【作業(yè)】布置作業(yè)

教科書習(xí)題16、1第1，3，5，7，10題．

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)6

1教學(xué)目標(biāo)

（1）利用歸納類比的方法得出二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)；

（2）會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式的除法運(yùn)算;

（3） 理解最簡(jiǎn)二次根式的概念

2學(xué)情分析

本節(jié)內(nèi)容主要是在做二次根式的除法運(yùn)算時(shí)，分母含根號(hào)的處理方式上，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)困難或容易失誤，在除法運(yùn)算中，可以先計(jì)算后利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)來進(jìn)行，也可以先利用分式的性質(zhì)，去掉分母中的根號(hào)，再結(jié)合乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)來進(jìn)行。二次根式的除法與分式的運(yùn)算類似，如果分子、分母中含有相同的因式，可以直接約去，以簡(jiǎn)化運(yùn)算。教學(xué)中不能只是列舉題型，應(yīng)以各級(jí)各類習(xí)題為載體，引導(dǎo)學(xué)生把握運(yùn)算過程，估計(jì)運(yùn)算結(jié)果，明確運(yùn)算方向。

3重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：二次根式的乘法法則與積的算術(shù)平方根的性質(zhì)．

難點(diǎn)：二次根式的除法法則與商的算術(shù)平方根的性質(zhì)之間的關(guān)系和應(yīng)用。

4教學(xué)過程

4。1 第一學(xué)時(shí)

教學(xué)活動(dòng)

活動(dòng)1【導(dǎo)入】復(fù)習(xí)提問，探究規(guī)律

問題1 二次根式的乘法法則是什么內(nèi)容？化簡(jiǎn)二次根式的一般步驟怎樣？

師生活動(dòng) 學(xué)生回答。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生回憶探究乘法法則的過程，類比該過程，學(xué)生可以探究除法法則．

2．觀察思考，理解法則

問題2 教材第8頁“探究”欄目，計(jì)算結(jié)果如何？有何規(guī)律？

師生活動(dòng) 學(xué)生回答，給出正確答案后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考，并總結(jié)二次根式除法法則：。

問題3 對(duì)比乘法法則里字母的取值范圍，除法法則里字母的取值范圍有何變化？

師生活動(dòng) 學(xué)生思考，回答。學(xué)生能說明根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義知道，分母不為零就可以了。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過自主探究，采用類比的方法，得出二次根式的除法法則后，要明確字母的取值范圍，以免在處理更為復(fù)雜的二次根式的運(yùn)算時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

問題4 對(duì)例題的運(yùn)算你有什么看法？是如何進(jìn)行的？

師生活動(dòng) 學(xué)生利用法則直接運(yùn)算，一般根號(hào)下不含分母和開得盡方的因數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生初步利用二次根式的性質(zhì)、乘除法法則進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算。

問題5 對(duì)比積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，商的算術(shù)平方根有沒有類似性質(zhì)？

師生活動(dòng) 學(xué)生類比地發(fā)現(xiàn)，商的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的商，即 。利用該性質(zhì)可以進(jìn)行二次根式的'化簡(jiǎn)。

活動(dòng)2【講授】觀察思考，理解法則

問題2 教材第8頁“探究”欄目，計(jì)算結(jié)果如何？有何規(guī)律？

師生活動(dòng) 學(xué)生回答，給出正確答案后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考，并總結(jié)二次根式除法法則：。

問題3 對(duì)比乘法法則里字母的取值范圍，除法法則里字母的取值范圍有何變化？

師生活動(dòng) 學(xué)生思考，回答。學(xué)生能說明根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義知道，分母不為零就可以了。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過自主探究，采用類比的方法，得出二次根式的除法法則后，要明確字母的取值范圍，以免在處理更為復(fù)雜的二次根式的運(yùn)算時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

問題4 對(duì)例題的運(yùn)算你有什么看法？是如何進(jìn)行的？

師生活動(dòng) 學(xué)生利用法則直接運(yùn)算，一般根號(hào)下不含分母和開得盡方的因數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生初步利用二次根式的性質(zhì)、乘除法法則進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算。

問題5 對(duì)比積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，商的算術(shù)平方根有沒有類似性質(zhì)？

師生活動(dòng) 學(xué)生類比地發(fā)現(xiàn)，商的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的商，即 。利用該性質(zhì)可以進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)。

活動(dòng)3【活動(dòng)】例題示范，學(xué)會(huì)應(yīng)用

例1 計(jì)算： （1） ； （2） ； （3） 。

師生活動(dòng) 提問：你有幾種方法去掉分母中的根號(hào)？去分母的依據(jù)分別是什么？

再提問：第（2）用什么方法計(jì)算更簡(jiǎn)捷？第（3）題根號(hào)下含字母在移出根號(hào)時(shí)應(yīng)注意什么？

【設(shè)計(jì)意圖】通過具體問題，讓學(xué)生在實(shí)際運(yùn)算中培養(yǎng)運(yùn)算能力，訓(xùn)練運(yùn)算技能，

問題5 你能從例題的解答過程中，總結(jié)一下二次根式的運(yùn)算結(jié)果有什么特征嗎？

師生活動(dòng) 學(xué)生總結(jié)，師生共同補(bǔ)充、完善。要總結(jié)出：

（1）這些根式的被開方數(shù)都不含分母；

（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；

（3）分母中不含根號(hào)；

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，提出最簡(jiǎn)二次根式的概念，要強(qiáng)調(diào)，在二次根式的運(yùn)算中，一般要把最后結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式。

問題6 課件展示一組二次根式的計(jì)算、化簡(jiǎn)題。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生用總結(jié)出的結(jié)論進(jìn)行二次根式的運(yùn)算。

活動(dòng)4【練習(xí)】鞏固概念，學(xué)以致用

例2 教材第9頁例7。

師生活動(dòng) 提問 本題是以長(zhǎng)方形面積為背景的數(shù)學(xué)問題，二次根式的除法運(yùn)算在此發(fā)揮什么作用？

再提問 章引言中的問題現(xiàn)在能解決了嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】鞏固性練習(xí)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用二次根式的乘除運(yùn)算法則解決實(shí)際問題的能力。

活動(dòng)5【測(cè)試】目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

1．在 、、中，最簡(jiǎn)二次根式為 。

【設(shè)計(jì)意圖】考查對(duì)最簡(jiǎn)二次根式的概念的理解。

2．化簡(jiǎn)下列各式為最簡(jiǎn)二次根式： ； 。

【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)二次根式的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)。鼓勵(lì)學(xué)生用不同方法進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于分母含二次根式的處理，要結(jié)合整式的乘法公式進(jìn)行計(jì)算。

3．化簡(jiǎn)：（1） ； （2） 。

【設(shè)計(jì)意圖】綜合運(yùn)用二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算法則進(jìn)行二次根式的運(yùn)算。

活動(dòng)6【作業(yè)】布置作業(yè)

教科書第10頁練習(xí)第1，2，3題；

教科書習(xí)題16。2第10，11題。

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)7

教學(xué)建議

知識(shí)結(jié)構(gòu)：

重點(diǎn)難點(diǎn)分析：

是商的二次根式的性質(zhì)及利用性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算，利用分母有理化化簡(jiǎn)。商的算術(shù)平方根的性質(zhì)是本節(jié)的主線，學(xué)生掌握性質(zhì)在二次根使得化簡(jiǎn)和運(yùn)算的運(yùn)用是關(guān)鍵，從化簡(jiǎn)與運(yùn)算由引出初中重要的內(nèi)容之一分母有理化，分母有理化的理解決定了最簡(jiǎn)二次根式化簡(jiǎn)的掌握。

教學(xué)難點(diǎn)是與商的算術(shù)平方根的關(guān)系及應(yīng)用。與乘法既有聯(lián)系又有區(qū)別，強(qiáng)調(diào)根式除法結(jié)果的一般形式，避免分母上含有根號(hào)。由于分母有理化難度和復(fù)雜性大，要讓學(xué)生首先理解分母有理化的意義及計(jì)算結(jié)果形式。

教法建議：

1。 本節(jié)內(nèi)容是在有積的二次根式性質(zhì)的基礎(chǔ)后學(xué)習(xí)，因此可以采取學(xué)生自主探索學(xué)習(xí)的模式，通過前一節(jié)的復(fù)習(xí)，讓學(xué)生通過具體實(shí)例再結(jié)合積的性質(zhì)，對(duì)比、歸納得到商的二次根式的性質(zhì)。教師在此過程當(dāng)中給與適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，提出問題讓學(xué)生有一定的探索方向。

2。 本節(jié)內(nèi)容可以分為三課時(shí)，第一課時(shí)討論商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，并運(yùn)用這一性質(zhì)化簡(jiǎn)較簡(jiǎn)單的二次根式（被開方數(shù)的分母可以開得盡方的二次根式）；第二課時(shí)討論法則，并運(yùn)用這一法則進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算以及二次根式的乘除混合運(yùn)算，這一課時(shí)運(yùn)算結(jié)果不包括根號(hào)出現(xiàn)內(nèi)出現(xiàn)分式或分?jǐn)?shù)的情況；第三課時(shí)討論分母有理化的概念及方法，并進(jìn)行二次根式的乘除法運(yùn)算，把運(yùn)算結(jié)果分母有理化。這樣安排使內(nèi)容由淺入深，各部分相互聯(lián)系，因此及彼，層層展開。

3。 引導(dǎo)學(xué)生思考“想一想”中的內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，教師組織學(xué)生思考、討論過程當(dāng)中，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，積極探索，運(yùn)用類比、歸納和從特殊到一般的思考方法激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性的思維。

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

一、教學(xué)目標(biāo)

1．掌握商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，能利用性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算；

2．會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算;

3．使學(xué)生掌握分母有理化概念，并能利用分母有理化解決二次根式的化簡(jiǎn)及近似計(jì)算問題；

4。 培養(yǎng)學(xué)生利用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)與計(jì)算的能力；

5。 通過二次根式公式的引入過程，滲透從特殊到一般的歸納方法，提高學(xué)生的歸納總結(jié)能力；

6。 通過分母有理化的教學(xué)，滲透數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性。

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

1．重點(diǎn)：會(huì)利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算，還要使學(xué)生掌握采用分母有理化的方法進(jìn)行．

2．難點(diǎn)：與商的算術(shù)平方根的關(guān)系及應(yīng)用．

三、教學(xué)方法

從特殊到一般總結(jié)歸納的方法以及類比的方法，在學(xué)習(xí)了二次根式乘法的基礎(chǔ)上本小節(jié)

內(nèi)容可引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)，進(jìn)行總結(jié)對(duì)比．

四、教學(xué)手段

利用投影儀．

五、教學(xué)過程

(一) 引入新課

學(xué)生回憶及得算數(shù)平方根和性質(zhì)： （a≥0，b≥0）是用什么樣的方法引出的？(上述積的算術(shù)平方根的性質(zhì)是由具體例子引出的.．)

學(xué)生觀察下面的例子，并計(jì)算：

由學(xué)生總結(jié)上面兩個(gè)式的關(guān)系得：

類似地，每個(gè)同學(xué)再舉一個(gè)例子，然后由這些特殊的例子，得出：

(二)新課

商的算術(shù)平方根．

一般地，有 （a≥0，b＞0）

商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根．

讓學(xué)生討論這個(gè)式子成立的條件是什么？a≥0，b＞0，對(duì)于為什么b＞0，要使學(xué)生通過討論明確，因?yàn)閎＝0時(shí)分母為0，沒有意義．

引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)算順序看，等號(hào)左邊是將非負(fù)數(shù)a除以正數(shù)b求商，再開方求商的算術(shù)平方根，等號(hào)右邊是先分別求被除數(shù)、除數(shù)的算術(shù)平方根，然后再求兩個(gè)算術(shù)平方根的商，根據(jù)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)可以進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算．

例1 化簡(jiǎn)：

（1） ； （2） ； （3） ；

解∶（1）

（2）

（3）

說明：如果被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，在運(yùn)算時(shí)，一般先化成假分?jǐn)?shù)；本節(jié)根號(hào)下的字母均為正數(shù)。

例2 化簡(jiǎn)：

（1） ； (2) ；

解：（1）

（2）

讓學(xué)生觀察例題中分母的特點(diǎn)，然后提出， 的問題怎樣解決？

再總結(jié)：這一小節(jié)開始講的二次根式的化簡(jiǎn)，只限于所得結(jié)果的式子中分母可以完全開的盡方的情況， 的問題，我們將在今后的學(xué)習(xí)中解決。

學(xué)生討論本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并進(jìn)行小結(jié)．

(三)小結(jié)

1．商的算術(shù)平方根的性質(zhì)．(注意公式成立的條件)

2．會(huì)利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式的化簡(jiǎn)．

(四)練習(xí)

1．化簡(jiǎn)：

（1） ； （2） ； （3） 。

2．化簡(jiǎn)：

（1） ； （2） ； (3)

六、作業(yè)

教材P．183習(xí)題11．3；A組1．

七、板書設(shè)計(jì)

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)8

一、教學(xué)目標(biāo)

1．掌握二次根式的混合運(yùn)算．

2．掌握混合運(yùn)算的應(yīng)用．

3．通過二次根式的混合運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力．

4．通過混合運(yùn)算知識(shí)拓展，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

小結(jié)、歸納、提高

三、重點(diǎn)、難點(diǎn)解決辦法

1．教學(xué)重點(diǎn)：二次根式的混合運(yùn)算．

2．教學(xué)難點(diǎn)：混合運(yùn)算的應(yīng)用．

四、課時(shí)安排

1課時(shí)

五、教具學(xué)具準(zhǔn)備

投影儀、膠片、多媒體

六、師生互動(dòng)活動(dòng)設(shè)計(jì)

復(fù)習(xí)小結(jié)，歸納整理，應(yīng)用提高，以學(xué)生活動(dòng)為主

七、教學(xué)過程

【例題】

例1 化簡(jiǎn)：

（1） ； （2） ．

解：（1）

（2）

說明：在計(jì)算過程中要注意各個(gè)式子的特點(diǎn)，能否約分或消項(xiàng)（第2小題）達(dá)到化簡(jiǎn)的目的，又要善于在規(guī)則允許的情況下可變換相鄰項(xiàng)的位置，如 ，結(jié)果為－1，繼續(xù)運(yùn)算易出現(xiàn)符號(hào)上的差錯(cuò)，而把 先變?yōu)?，這樣 則為1，繼續(xù)運(yùn)算可避免錯(cuò)誤．

例2 解下列方程（組）：

（1）

（2）

（3）

解：（1）

．

（2）①× ，得

③

②× ，得

④

③－④，得

把 代入①，得

解得 ．

∴

是原方程組的解．

（3）由②，得

③

①× ，得

④

③－④，得

把 代入①，得

．

∴ 是原方程組的解．

例3 已知 ， ，求 的值．

解： ．

．

， ，

∴ ．

例4 已知 ， ，求 的值．

解： ， ．

．

（二）隨堂練習(xí)

1．教材中P206中8．

2．解不等式： ．

解：

∴

．

3．已知 ， ，求 的值．

解：3． ，或 ．

．

∴

．

4．已知 ， ，求： 的值．

解 4．

．

5．已知 ，求 的值．

解 5． ．

．

6．不求方根的值比較 與 的大小．

解 6．∵

∴

∴

（三）總結(jié)、擴(kuò)展

根據(jù)已知條件，求一個(gè)代數(shù)的'值，要注意條件或代數(shù)式的化簡(jiǎn)，有時(shí)條件和要求的代數(shù)式都需要化簡(jiǎn)，當(dāng)把條件化簡(jiǎn)后，代數(shù)式的化簡(jiǎn)要朝著條件化簡(jiǎn)的結(jié)果去化簡(jiǎn)．

（四）布置作業(yè)

教材中P207B組1、3和補(bǔ)充作業(yè)．

補(bǔ)充作業(yè)：

1．已知 ，求 的值．

2．已知 ， ，求 的值．

（五）板書設(shè)計(jì)

標(biāo) 題

1．例題……

3．例題……

2．練習(xí)題

4．練習(xí)題

八、背景知識(shí)與課外閱讀

二次根式的混和運(yùn)算方法和順序

1．方法 （1）應(yīng)用二次根式乘法、除法和加減法運(yùn)算法則．

（2）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)運(yùn)算律仍適用．

（3）二次根式的乘法，與多項(xiàng)式的乘法相類似，遇運(yùn)用多項(xiàng)式乘法公式時(shí)，也可以運(yùn)用乘法公式．

2．順序 先乘方、后乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的數(shù)．

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)9

教學(xué)目的

1．使學(xué)生掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義，并會(huì)應(yīng)用此定義判斷一個(gè)根式是否為最簡(jiǎn)二次根式；

2．會(huì)運(yùn)用積和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把一個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式。

教學(xué)重點(diǎn)

最簡(jiǎn)二次根式的定義。

教學(xué)難點(diǎn)

一個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式的方法。

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

1．把下列各根式化簡(jiǎn)，并說出化簡(jiǎn)的根據(jù)：

2．引導(dǎo)學(xué)生觀察考慮：

化簡(jiǎn)前后的根式，被開方數(shù)有什么不同？

化簡(jiǎn)前的被開方數(shù)有分?jǐn)?shù)，分式；化簡(jiǎn)后的被開方數(shù)都是整數(shù)或整式，且被開方數(shù)中開得盡方的因數(shù)或因式，被移到根號(hào)外。

3．啟發(fā)學(xué)生回答：

二次根式，請(qǐng)同學(xué)們考慮一下被開方數(shù)符合什么條件的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式？

二、講解新課

1．總結(jié)學(xué)生回答的.內(nèi)容后，給出最簡(jiǎn)二次根式定義：

滿足下列兩個(gè)條件的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式：

(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；

(2)被開方數(shù)中不含能開得盡的因數(shù)或因式。

最簡(jiǎn)二次根式定義中第(1)條說明被開方數(shù)不含有分母；分母是1的例外。第(2)條說明被開方數(shù)中每個(gè)因式的指數(shù)小于2；特別注意被開方數(shù)應(yīng)化為因式連乘積的形式。

2．練習(xí)：

下列各根式是否為最簡(jiǎn)二次根式，不是最簡(jiǎn)二次根式的說明原因：

3．例題：

例1 把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：

例2 把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：

4．總結(jié)

把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式的根據(jù)是什么？應(yīng)用了什么方法？

當(dāng)被開方數(shù)為整數(shù)或整式時(shí)，把被開方數(shù)進(jìn)行因數(shù)或因式分解，根據(jù)積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把開得盡方的因數(shù)或因式用它的算術(shù)平方根代替移到根號(hào)外面去。

當(dāng)被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)或分式時(shí)，根據(jù)分式的基本性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化去分母。

此方法是先根據(jù)分式的基本性質(zhì)把被開方數(shù)的分母化成能開得盡方的因式，然后分子、分母再分別化簡(jiǎn)。

三、鞏固練習(xí)

1．把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：

2．判斷下列各根式，哪些是最簡(jiǎn)二次根式？哪些不是最簡(jiǎn)二次根式？如果不是，把它化成最簡(jiǎn)二次根式。

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)10

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

1．使學(xué)生了解最簡(jiǎn)二次根式的概念和同類二次根式的概念．

2．能判斷二次根式中的同類二次根式．

3．會(huì)用同類二次根式進(jìn)行二次根式的加減．

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力并提高學(xué)生的運(yùn)算能力．

（三）德育滲透點(diǎn)

從簡(jiǎn)單的同類二次根式的合并，層層深入，從解題的過程中，讓學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化的思維，滲透辯證唯物主義思想．

（四）美育滲透點(diǎn)

通過二次根式的加減，滲透二次根式化簡(jiǎn)合并后的形式簡(jiǎn)單美．

二、學(xué)法引導(dǎo)

1．教師教法引導(dǎo)法、比較法、剖析法，在比較和剖析中，不斷糾正錯(cuò)誤，從而樹立牢固的計(jì)算方法．

2．學(xué)生學(xué)法通過不斷的練習(xí)，從中體會(huì)、比較、二次根式加減法中，正確的方法使用，并注重小結(jié)出二次根式加減法的法則．

三、重點(diǎn)·難點(diǎn)·疑點(diǎn)及解決辦法

1．教學(xué)重點(diǎn)二次根式的加減法運(yùn)算．

2．教學(xué)難點(diǎn)二次根式的化簡(jiǎn)．

3．疑點(diǎn)及解決辦法二次根式的加減法的關(guān)鍵在于二次根式的化簡(jiǎn)，在適當(dāng)復(fù)習(xí)二次根的化簡(jiǎn)后進(jìn)行一步引入幾個(gè)整式加減法的，以引起學(xué)生的求知欲與興趣，從而最后引入同類二次根式的'加減法，可進(jìn)行階梯式教學(xué)，由淺到深、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的教學(xué)方法，以利于學(xué)生的理解、掌握和運(yùn)用，通過具體例題的計(jì)算，可由教師引導(dǎo)，由學(xué)生總結(jié)出計(jì)算的步驟和注意的問題，還可以通過反例，讓學(xué)生去偽存真，這種比較法的教學(xué)可使學(xué)生對(duì)概念的理解、法則的運(yùn)用更加準(zhǔn)確和熟練，并能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，以達(dá)到更好的學(xué)習(xí)效果．

四、課時(shí)安排

2課時(shí)

五、教具學(xué)具準(zhǔn)備

投影片

六、師生互動(dòng)活動(dòng)設(shè)計(jì)

1．復(fù)習(xí)最簡(jiǎn)二根式整式及的加減運(yùn)算，引入二次根式的加減運(yùn)算，盡量讓學(xué)生回答問題．

2．教師通過例題的示范讓學(xué)生了解什么是二次根式的加減法，并引入同類的二次根式的定義．

3．再通過較復(fù)雜的二次根式的加減法計(jì)算，引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)歸納出二次根式的加減法的法則．

4．通過學(xué)生的反復(fù)訓(xùn)練，發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)糾正，并引導(dǎo)學(xué)生從解題過程中體會(huì)理解二次根式加減法的實(shí)質(zhì)及解決的方法．

七、教學(xué)步驟

（一）明確目標(biāo)

學(xué)習(xí)二次根式化簡(jiǎn)的目的是為了能將一些最終能化為同類二次根式項(xiàng)相合并，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的，本節(jié)課就是研究二次根式的加減法．

（二）整體感知

同類二次根式的概念應(yīng)分二層含義去理解（1）化簡(jiǎn)后（2）被開方數(shù)還相同．通過正確理解二次根式加減法的法則來準(zhǔn)確地實(shí)施二次根式加減法的運(yùn)算，應(yīng)特別注意合并同類二次根式時(shí)僅將它們的系數(shù)相加減，根式一定要保持不變，并可對(duì)比整式的加減法則以增加對(duì)合并同類二次根式的理解，增強(qiáng)綜合運(yùn)算的能力．

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)11

一、教學(xué)目標(biāo)

1、了解二次根式的意義；

2、掌握用簡(jiǎn)單的一元一次不等式解決二次根式中字母的取值問題；

3、掌握二次根式的性質(zhì)和，并能靈活應(yīng)用；

4、通過二次根式的計(jì)算培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力；

5、通過二次根式性質(zhì)和的介紹滲透對(duì)稱性、規(guī)律性的數(shù)學(xué)美。

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：（1）二次根的意義；（2）二次根式中字母的取值范圍。

難點(diǎn)：確定二次根式中字母的取值范圍。

三、教學(xué)方法

啟發(fā)式、講練結(jié)合。

四、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)提問

1、什么叫平方根、算術(shù)平方根？

2、說出下列各式的意義，并計(jì)算：

通過練習(xí)使學(xué)生進(jìn)一步理解平方根、算術(shù)平方根的概念。

觀察上面幾個(gè)式子的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)它們的被平方數(shù)都大于或等于零，其中，表示的是算術(shù)平方根。

（二）引入新課

我們已遇到的這樣的式子是我們這節(jié)課研究的內(nèi)容，引出：

新課：二次根式

定義：式子叫做二次根式。

對(duì)于請(qǐng)同學(xué)們討論論應(yīng)注意的'問題，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：

（1）式子只有在條件a0時(shí)才叫二次根式，是二次根式嗎？

若根式中含有字母必須保證根號(hào)下式子大于等于零，因此字母范圍的限制也是根式的一部分。

（2）是二次根式，而，提問學(xué)生：2是二次根式嗎？顯然不是，因此二次

根式指的是某種式子的外在形態(tài)、請(qǐng)學(xué)生舉出幾個(gè)二次根式的例子，并說明為什么是二次根式。下面例題根據(jù)二次根式定義，由學(xué)生分析、回答。

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)12

一、教學(xué)目標(biāo)：

（一）知識(shí)與技能：

1、了解二次根式的概念，會(huì)確定二次根式成立的條件。

2、會(huì)用二次根式性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。

3、了解逆用公式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解。

（二）過程與方法：體驗(yàn)性質(zhì)的推導(dǎo)過程，感受由特殊到一般的方法。

（三）情感態(tài)度：激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。

二、教學(xué)重點(diǎn)：

二次根式成立的條件，雙重非負(fù)性；

用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。

三、教學(xué)難點(diǎn)

性質(zhì)的逆用。

四、教學(xué)準(zhǔn)備：

課件

五、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)提問

1．什么叫二次根式？

2．下列各式是二次根式，求式子中的字母所滿足的條件：

（3）∵x取任何值都有2x2≥0，所以2x2+1＞0，故x的取值為任意實(shí)數(shù)．

（二）二次根式的簡(jiǎn)單性質(zhì)

上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式的定義，并了解了第一個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)

我們知道，正數(shù)a有兩個(gè)平方根，分別記作零的.平方根是零。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出，其中，就是一個(gè)非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根。將符號(hào)“”看作開平方求算術(shù)平方根的運(yùn)算，看作將一個(gè)數(shù)進(jìn)行平方的運(yùn)算，而開平方運(yùn)算和平方運(yùn)算是互為逆運(yùn)算，因而有：

這里需要注意的是公式成立的條件是a≥0，提問學(xué)生，a可以代表一個(gè)代數(shù)式嗎？

請(qǐng)分析：引導(dǎo)學(xué)生答如時(shí)才成立。時(shí)才成立，即a取任意實(shí)數(shù)時(shí)都成立。我們知道如果我們把，同學(xué)們想一想是否就可以把任何一個(gè)非負(fù)數(shù)寫成一個(gè)數(shù)的平方形式了．

（三）小結(jié)

1．繼續(xù)鞏固二次根式的定義，及二次根式中被開方數(shù)的取值范圍問題．

2．關(guān)于公式的應(yīng)用。

（1）經(jīng)常用于乘法的運(yùn)算中．

（2）可以把任何一個(gè)非負(fù)數(shù)寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式，解決在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解等方面的問題．

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)13

一、情境導(dǎo)入

問題1：你能用帶有根號(hào)的式子填空嗎？

（1）面積為3的正方形的邊長(zhǎng)為xx，面積為S的正方形的邊長(zhǎng)為xx

（2）一個(gè)長(zhǎng)方形圍欄，長(zhǎng)是寬的2倍，面積為130m2，則它的寬為xxm。

（3）一個(gè)物體從高處自由落下，落到地面所用的時(shí)間t（單位：s）與落下的高度h（單位：m）滿足關(guān)系h＝5t2，如果用含有h的式子表示t，則t＝xx。

問題2：上面得到的式子，分別表示什么意義？它們有什么共同特征？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：二次根式的定義

下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？

解析：要判斷一個(gè)根式是不是二次根式，一是看根指數(shù)是不是2，二是看被開方數(shù)是不是非負(fù)數(shù)。

解：因?yàn)閤x＝，（x≤3），（ab≥0）中的根指數(shù)都是2，且被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，所以都是二次根式的根指數(shù)不是2，（x≥0），的被開方數(shù)小于0，所以不是二次根式。

方法總結(jié)：判斷一個(gè)式子是不是二次根式，要看所給的式子是否具備以下條件：

（1）帶二次根號(hào)；

（2）被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)。

探究點(diǎn)二：二次根式有意義的條件

類型一根據(jù)二次根式有意義求字母的取值范圍

求使下列式子有意義的x的取值范圍。

解析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于或等于0且分母不等于0，列不等式（組）求解。

解：（1）由題意得4－3x＞0，解得x＜、當(dāng)x＜時(shí)，有意義；

（2）由題意得解得x≤3且x≠2、當(dāng)x≤3且x≠2時(shí)，有意義；

（3）由題意得解得x≥－5且x≠0、當(dāng)x≥－5且x≠0時(shí)，有意義。

方法總結(jié)：含二次根式的式子有意義的條件：

（1）如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的'條件是各個(gè)二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)；（2）如果所給式子中含有分母，則除了保證二次根式中的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零。

類型二利用二次根式的非負(fù)性求解

（1）已知a、b滿足＋|b－|＝0，解關(guān)于x的方程（a＋2）x＋b2＝a－1；

（2）已知x、y都是實(shí)數(shù)，且y＝＋＋4，求yx的平方根。

解析：（1）根據(jù)二次根式的非負(fù)性和絕對(duì)值的非負(fù)性求解即可；（2）根據(jù)二次根式的非負(fù)性即可求得x的值，進(jìn)而求得y的值，進(jìn)而可求出yx的平方根。

解：（1）根據(jù)題意得解得則（a＋2）x＋b2＝a－1，即－2x＋3＝－5，解得x＝4；

（2）根據(jù)題意得解得x＝3、則y＝4，故yx＝43＝64，±＝±8，∴yx的平方根為±8。

方法總結(jié)：二次根式和絕對(duì)值都具有非負(fù)性，幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0。

探究點(diǎn)三：和二次根式有關(guān)的規(guī)律探究性問題

先觀察下列等式，再回答下列問題。

①＝1＋－＝1；

②＝1＋－＝1；

③＝1＋－＝1、

（1）請(qǐng)你根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，寫出的結(jié)果；

（2）請(qǐng)你按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出用

含n的式子表示的等式（n為正整數(shù)）。

解析：（1）從三個(gè)等式中可以發(fā)現(xiàn)，等號(hào)右邊第一個(gè)加數(shù)都是1，第二個(gè)加數(shù)是個(gè)分?jǐn)?shù)，設(shè)分母為n，第三個(gè)分?jǐn)?shù)的分母就是n＋1，結(jié)果是一個(gè)帶分?jǐn)?shù)，整數(shù)部分是1，分?jǐn)?shù)部分的分子也是1，分母是前項(xiàng)分?jǐn)?shù)的分母的積；（2）根據(jù)（1）找的規(guī)律寫出表示這個(gè)規(guī)律的式子。

解：（1）＝1＋－＝1；

（2）＝1＋－＝1（n為正整數(shù)）．

方法總結(jié)：解答規(guī)律探究性問題，都要通過仔細(xì)觀察找出字母和數(shù)之間的關(guān)系，通過閱讀找出題目隱含條件并用關(guān)系式表示出來。

三、板書設(shè)計(jì)

1．二次根式的定義

一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式。

2．二次根式有意義的條件

被開方數(shù)（式）為非負(fù)數(shù)；有意義？a≥0。

通過將新知識(shí)與舊知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系與對(duì)比，隨后由學(xué)生熟悉的實(shí)際問題出發(fā)，用已有的知識(shí)進(jìn)行探究，由此引入二次根式。在教學(xué)過程中讓學(xué)生感受到研究二次根式是實(shí)際的需要，體會(huì)到數(shù)學(xué)與實(shí)際生活間的緊密聯(lián)系，以此充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

二次根式教學(xué)設(shè)計(jì)14

教學(xué)目標(biāo)

1、使學(xué)生理解最簡(jiǎn)二次根式的概念；

2、掌握把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式的方法。

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：化二次根式為最簡(jiǎn)二次根式的方法。

難點(diǎn)：最簡(jiǎn)二次根式概念的理解。

一、導(dǎo)入新課

計(jì)算：

我們?cè)倏聪旅娴膯栴}：

簡(jiǎn)，得到

從上面例子可以看出，如果把二次根式先進(jìn)行化簡(jiǎn)，會(huì)對(duì)解決問題帶來方便。

二、新課

答：

1、被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或整式；

2、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。

滿足上面兩個(gè)條件的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式。

例1 試判斷下列各式中哪些是最簡(jiǎn)二次根式，哪些不是？為什么？

解

（1）不是最簡(jiǎn)二次根式。因?yàn)閍3=a2·a，而a2可以開方，即被開方數(shù)中有開得盡方的.因式。整數(shù)。

（3）是最簡(jiǎn)二次根式。因?yàn)楸婚_方數(shù)的因式x2＋y2開不盡方，而且是整式。

（4）是最簡(jiǎn)二次根式。因?yàn)楸婚_方數(shù)的因式a－b開不盡方，而且是整式。

（5）是最簡(jiǎn)二次根式。因?yàn)楸婚_方數(shù)的因式5x開不盡方，而且是整式。

（6）不是最簡(jiǎn)二次根式。因?yàn)楸婚_方數(shù)中的因數(shù)8=22·2，含有開得盡的因數(shù)22。

指出：從（1），（2），（6）題可以看到如下兩個(gè)結(jié)論。

1、在二次根式的被開方數(shù)中，只要含有分?jǐn)?shù)或小數(shù)，就不是最簡(jiǎn)二次根式；

2、在二次根式的被開方數(shù)中的每一個(gè)因式（或因數(shù)），如果冪的指數(shù)等于或大于2，也不是最簡(jiǎn)二次根式。

例2 把下列各式化為最簡(jiǎn)二次根式：

分析：把被開方數(shù)分解因式或因數(shù)，再利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)

例3 把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：

分析：題（1）的被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)把它變成假分?jǐn)?shù)，然后將分母有理化，把原式化成最簡(jiǎn)二次根式。

題（2）及題（3）的被開方數(shù)是分式，先應(yīng)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)把原式表示為兩個(gè)根式的商的形式，再把分母有理化，把原式化成最簡(jiǎn)二次根式。

通過例2、例3，請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)出把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式的方法。

答：如果被開方數(shù)是分式或分?jǐn)?shù)（包括小數(shù)）先利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把它寫成分式的形式，然后利用分母有理化化簡(jiǎn)。

如果被開方數(shù)是整式或整數(shù)，先把它分解因式或分解因數(shù)，然后把開得盡方的因式或因數(shù)開出來，從而將式子化簡(jiǎn)。

三、課堂練習(xí)

1、在下列各式中，是最簡(jiǎn)二次根式的式子為 [ ]的二次根式的式子有_____個(gè)。 [ ]

A、2 B、3

C、1 D、0

3、把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：

答案：

1、B

2、B

四、小結(jié)

1、最簡(jiǎn)二次根式必須滿足兩個(gè)條件：

（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；

（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。

2、把一個(gè)式子化為最簡(jiǎn)二次根式的方法是：

（1）如果被開方數(shù)是整式或整數(shù)，先把它分解成因式（或因數(shù)）的積的形式，把開得盡方的因式（或因數(shù)）移到根號(hào)外；

（2）如果被開方數(shù)含有分母，應(yīng)去掉分母的根號(hào)。

五、作業(yè)

1、把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：

2、把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：

第四篇：八年級(jí)數(shù)學(xué)《二次根式》

杰瑞學(xué)院《二次根式》專題訓(xùn)練

一、細(xì)心填一填（每小題3分，共30分）、1、當(dāng)m時(shí)，式子3?m有意義.2、若a<0,則a23、計(jì)算：3132?3122=.4、計(jì)算：3?1113??，?3335、長(zhǎng)方形的一邊的長(zhǎng)是2，面積為6，則另一邊的長(zhǎng)為.6、若(a?2)2?2?a,則a的取值范圍是_______.7、a?2??3?0,則（a-b)2?________.8、計(jì)算：(3?2)2005(3?2)2006?

9、當(dāng)?x有最小值.10、觀察下列式子:?111111?2,2??3,3??4?,請(qǐng)你將猜想到的規(guī)律用含自然數(shù)33445

5n(n≥1)的代數(shù)式表示出來的是.二、精心選一選（每小題3分，共30分）

11、下列代數(shù)式中，x能取一切實(shí)數(shù)的是（）A

1xB.x?1CxDx2?

412、化簡(jiǎn)?32的結(jié)果是（）

A．3B.-3C.±3D.913、若1?x?3,則?x?(x?3)的值是（）

A．-2B.4C.2X-4D.214、若2aa成立，則（）?bB.a?0,b?0;C.a?0bD.a?0 bA.a?0,b?0;

15、若x?x?6?x(x?6)，則（）

A.x≥6B.x≥0C.0≤X≤6D.x為一切實(shí)數(shù).16、若x,y都是實(shí)數(shù)，且2x?1??2x?y?0,則xy的值為（）

A、0 B、0.5 C、2D、不能確定

17、下列四個(gè)等式中不成立的是（）

A.2?1?2(3?1)

(3?1)(?1)?2(?1)??12B.2(2?3)?2?6

C.(1?2)2?3?22D.(?2)2?3?218、計(jì)算：48?23?75的結(jié)果是（）

AB.1C.5D.6?7519、已知x、y為實(shí)數(shù)，y?x?2?2?x?4，則yx的值等于（）

A.8B.4C.6D.1620、若正三角形的邊長(zhǎng)為2cm，則這個(gè)正三角形的面積是（）

AB.C.5D.53三、認(rèn)真做一做（共40分）

21、化簡(jiǎn)或計(jì)算（每題5分，共20分）

（1）45?380（2）

2? 7

（3）（3?3)?（4）(2?2)(3?22)822、已知a??2,b?2?

3（6分）,求a2b?ab2的值。

23、解方程：x?2?23x（6分）

24、如圖，某水壩的橫斷面是梯形，壩頂寬CD為8米，壩高為20米，斜坡AD的坡比為1：3，斜坡AD的坡比為1：2，求壩底AB的長(zhǎng)（精確到0.1米）（8分）

四、努力試一試（共20分）

1、如圖，數(shù)軸上表示12的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)C，則C點(diǎn)表示

2、已知m是的整數(shù)部分，n是的小數(shù)部分，則n2-

3、已知實(shí)數(shù)a、b滿足4a?b?11?

4、國(guó)慶佳節(jié)，李老師喬遷新居。一大早他就趕到家具城購買家具，當(dāng)卡車裝滿家具后高4米、寬2.8米。這輛卡車能否通過如圖所示的住宅社區(qū)大門。

21ab1?(?)的值。b?4a?3?0，求2abab3

第五篇：二次根式 教學(xué)設(shè)計(jì)

二次根式

第1課時(shí) 二次根式的概念和性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo) 【知識(shí)與技能】

1.了解二次根式及最簡(jiǎn)二次根式的概念.2.會(huì)化簡(jiǎn)二次根式.3.理解并掌握二次根式的性質(zhì).【過程與方法】

經(jīng)歷觀察、分析、討論、歸納二次根式及最簡(jiǎn)二次根式的過程,發(fā)展學(xué)生的歸納概括能力和語言表達(dá)能力.【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】

積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng),感受數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿了探索性和創(chuàng)造性,體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣.教學(xué)重難點(diǎn) 【重點(diǎn)】

理解并掌握二次根式及最簡(jiǎn)二次根式的概念,化簡(jiǎn)二次根式.【難點(diǎn)】

化簡(jiǎn)二次根式.教學(xué)過程

一、知識(shí)回顧,引入新課

師:同學(xué)們還記得平方根的概念嗎?

生:記得.一般地,如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根.師:什么叫做算術(shù)平方根呢? 生:正數(shù)的正的平方根以及零的平方根,統(tǒng)稱算術(shù)平方根.師:很好!非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根用(a≥0)表示.一般地,例如(a≥0)的式子,我們叫做二次根式.這就是今天這節(jié)課我們要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.二、講授新課

師:請(qǐng)同學(xué)們觀察下列代數(shù)式,你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特征嗎? ，，(其中b=24,c=25).生:它們都含有開方運(yùn)算,并且被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù).師:很好!一般地,例如(a≥0)的式子,叫做二次根式,a叫做被開方數(shù).那么二次根式具有什么性質(zhì)呢?下面我們一起來探究一下.請(qǐng)同學(xué)們完成以下填空:

=

,×=

;=

,×=

;= ,×=;=

,÷=

.學(xué)生獨(dú)立完成填空,然后集體訂正.并根據(jù)上面的猜想,估計(jì)下列式子是否相等,再借助計(jì)算器驗(yàn)證.=

,÷=

.師:請(qǐng)同學(xué)們比較左右兩邊的等式,你發(fā)現(xiàn)了什么?你能用字母表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎? 學(xué)生分組討論交流,然后由小組代表發(fā)言,教師予以補(bǔ)充完善.師:通過剛才的探究,我們可以發(fā)現(xiàn)積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根性質(zhì).即:(1)積的算術(shù)平方根的性質(zhì):積的算術(shù)平方根,等于積中各因式的算術(shù)平方根的積(各因式必須是非負(fù)數(shù)),即=·(a≥0,b≥0);

(2)商的算術(shù)平方根的性質(zhì):商的算術(shù)平方根,等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.(被除式必須是非負(fù)數(shù),除式必須是正數(shù)),即=(a≥0,b>0).師:知道了二次根式的這些性質(zhì),下面我們來看幾個(gè)例題,加深理解.三、例題講解

【例1】 化簡(jiǎn):(1);(2);(3).【答案】(1)=×=9×8=72;(2)=×=5;(3)==.例1的化簡(jiǎn)結(jié)果5,中,被開方數(shù)中都不含分母,也不含能開得盡方的因數(shù).一般地,被開方數(shù)不含分母,也不含能開得盡方的因數(shù)或因式,這樣的二次根式,叫做最簡(jiǎn)二次根式.化簡(jiǎn)時(shí),通常要求最終結(jié)果中分母不含有根號(hào),而且各個(gè)二次根式是最簡(jiǎn)二次根式.【例2】 化簡(jiǎn):(1);(2);(3).【答案】(1)==×=5;(2)===;(3)==.判斷最簡(jiǎn)二次根式的方法:通常將不含分母的被開方數(shù)分解因數(shù)或因式后,不含能開得盡方的因數(shù)或因式,即為最簡(jiǎn)二次根式.【例3】 先化簡(jiǎn),再求出下面算式的近似值(精確到0.01).(1);(2);(3).(合理應(yīng)用二次根式的性質(zhì),可以幫助我們簡(jiǎn)化實(shí)數(shù)的運(yùn)算.)【答案】(1)===·=12≈20.78;(2)===≈1.01;

(3)===×=10-2×=0.01×≈0.02.四、鞏固練習(xí)

1.化簡(jiǎn):;(2);(3);(4)

【答案】(1)165(2)4(3)(4)2.化簡(jiǎn):-

【答案】 原式=-=.3.若b>0,x<0,化簡(jiǎn):-.【答案】 原式=-=-=-=.五、課堂小結(jié)

師 :通過這節(jié)課的學(xué)習(xí),同學(xué)們有什么收獲?能與大家分享一下嗎? 學(xué)生發(fā)言,教師予以點(diǎn)評(píng).第2課時(shí) 二次根式的運(yùn)算(1)

教學(xué)目標(biāo) 【知識(shí)與技能】

1.了解二次根式的運(yùn)算法則是由二次根式的性質(zhì)得到的.2.會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式乘除以及加減運(yùn)算.3.會(huì)進(jìn)行二次根式的四則混合運(yùn)算.【過程與方法】

讓學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)知識(shí)之間是相互聯(lián)系的.【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】 培養(yǎng)學(xué)生努力探索事物之間內(nèi)在聯(lián)系的學(xué)習(xí)習(xí)慣.教學(xué)重難點(diǎn) 【重點(diǎn)】

二次根式的乘除以及加減運(yùn)算.【難點(diǎn)】

熟練地進(jìn)行二次根式的四則混合運(yùn)算.教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)歸納

1.二次根式的性質(zhì):(1)()2=a(a≥0)(2)=(3=·)(a≥0,b≥0)(4)=(a≥0,b>0)

2.想一想:你能計(jì)算嗎?(1)×;(2)×;(3)×.師:先計(jì)算每組數(shù)中的左邊的式子,再計(jì)算右邊的式子.它們相等嗎?你發(fā)現(xiàn)了什么? 學(xué)生先獨(dú)立完成,然后分組討論交流,再集體訂正.3.提出問題.(1)兩列火車分別運(yùn)煤2x噸和3x噸,問這兩列火車共運(yùn)煤多少噸?

(2)兩列火車分別運(yùn)煤2x噸和3y噸,問這兩列火車共運(yùn)煤多少噸?

這是以前學(xué)過的多項(xiàng)式加減法,同類項(xiàng)可以合并,想一想在計(jì)算二次根式加減法的時(shí)候能運(yùn)用此類方法嗎?請(qǐng)嘗試計(jì)算以下幾題.(1)3+4;(2)+;(3)++4.二、講授新課

1.在學(xué)生進(jìn)行練習(xí)后進(jìn)行總結(jié).①二次根式的乘除運(yùn)算法則.=·(a≥0,b≥0)=(a≥0,b>0)

即將二次根式的性質(zhì)等式左右兩邊對(duì)換,就得到二次根式的乘法法則和除法法則.②二次根式的加減運(yùn)算法則.師:與合并同類項(xiàng)類似,我們可以把相同二次根式的項(xiàng)合并.下列計(jì)算結(jié)果哪些正確,哪些不正確? +=;a+=a;-=;a+b=(a+b);-=-=0.學(xué)生回答,教師予以訂正.③二次根式的四則混合運(yùn)算.二次根式即可以進(jìn)行乘除運(yùn)算,也可以進(jìn)行加減運(yùn)算.以前學(xué)習(xí)的實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則、運(yùn)算律仍然適用.說說下列算式的運(yùn)算順序,并計(jì)算出結(jié)果.(+)·(+)·56 ×+× 2.例題學(xué)習(xí).【例1】 計(jì)算.(1)×;(2);(3).(歸納二次根式的乘除運(yùn)算的一般步驟:(1)運(yùn)用法則,化歸為根號(hào)內(nèi)的實(shí)數(shù)運(yùn)算;(2)完成根號(hào)內(nèi)乘除運(yùn)算;(3)化簡(jiǎn)二次根式.)【答案】(1)×===;(2)==;(3)====.【例2】 計(jì)算:(1)3×2;(2)×-5;(3)(+1)2;(4)(+3)(-3);(5)-×;(6)

【答案】(1)3×2=3×2×=6;(2)×-5=-5=-5=6-5=1;

(3)(+1)2=()2+2+1=5+2+1=6+2;(4)(+3)(-3)=()2-32=13-9=4;(5)(-)×=×-×=-=6-1=5;(6)=+=+=2+3=5.【例3】 計(jì)算:(1)+;(2)-;(3)(+)×.【答案】(1)+3=+=×+=4+=5;(2)-=-=-=;

(3)(+)×=+=+=2+3=5.三、課堂小結(jié)

師:本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)?還有什么疑惑的地方嗎? 師生共同總結(jié).第3課時(shí) 二次根式的運(yùn)算(2)

教學(xué)目標(biāo) 【知識(shí)與技能】

1.鞏固對(duì)二次根式的四則混合運(yùn)算的掌握.2.進(jìn)一步學(xué)會(huì)應(yīng)用整式的運(yùn)算法則進(jìn)行二次根式的運(yùn)算.【過程與方法】

引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般,用總結(jié)歸納的方法以及類比的方法解決數(shù)學(xué)問題.【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】

體驗(yàn)并掌握遷移、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想與方法.教學(xué)重難點(diǎn) 【重點(diǎn)】

進(jìn)一步應(yīng)用二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行二次根式的四則混合運(yùn)算.【難點(diǎn)】

熟練進(jìn)行二次根式的四則混合運(yùn)算.教學(xué)過程

一、引入新課

師:通過上節(jié)課的學(xué)習(xí),同學(xué)們已經(jīng)掌握了二次根式的相關(guān)運(yùn)算法則,這節(jié)課我們進(jìn)一步來學(xué)習(xí)二次根式的加減乘除混合運(yùn)算.二、例題講解

【例1】 先化簡(jiǎn),再求出近似值(精確到0.01).--

(二次根式加減運(yùn)算的一般步驟是:先化簡(jiǎn),再合并.)【答案】 原式=--=2--=(2--)=≈1.73.【例2】 計(jì)算.(1)-3×;(2)(-3)·;(3)(-)÷.(說明:(1)二次根式混合運(yùn)算的運(yùn)算次序是:先乘除,后加減;(2)整式運(yùn)算的運(yùn)算法則和運(yùn)算律對(duì)二次根式同樣適用;(3)二次根式的運(yùn)算結(jié)果能化簡(jiǎn)的必須化簡(jiǎn).)

【答案】(1)原式=3-6=-3;(2)原式=·-3·=-3=-9;(3)原式=÷-÷=-=4-3=1.【例3】 計(jì)算:(1)-;(2)-8+;(3)(-)÷;(4)+-.【答案】(1)-=-=-=;

(2)-+=-+ =3-2+=;

(3)(-)÷=÷-÷ =-=-=-=2-=;

(4)+-=+-=+-3=-+.在上面第(4)題中,很容易看出,化成最簡(jiǎn)二次根式后與,化簡(jiǎn)后的被開方數(shù)不可能相同,因此,結(jié)果中可以保留,不必將它化成最簡(jiǎn)二次根式.三、課堂小結(jié)

師:本堂課我們學(xué)到了什么新知識(shí)? 學(xué)生發(fā)言,教師予以補(bǔ)充.