第一篇：《線性代數(shù)》教學的一些思考論文（定稿）

[摘要]

《線性代數(shù)》是工科高校中頗為重要的一門課，也是較抽象難學的一門課程。本文從理論與實踐兩方面以作者的體會與認識，提出《線性代數(shù)》教學抽象概念的講解應注意的幾點問題，闡釋了如何進行《線性代數(shù)》課程的課堂教學，并且能收到良好的教學效果。

[關(guān)鍵詞]

線性代數(shù)；數(shù)學概念；教學方法

《線性代數(shù)》是高等院校理、工類專業(yè)重要的數(shù)學基礎課。它不但廣泛應用于概率統(tǒng)計、微分方程、控制理論等數(shù)學分支，而且其知識已滲透到自然科學的其它學科，如工程技術(shù)、經(jīng)濟與社會科學等領(lǐng)域。不僅如此，這門課程對提高學生的數(shù)學素養(yǎng)、訓練與提高學生的抽象思維能力與邏輯推理能力都有重要作用。但由于“線性代數(shù)”本身的特點，對其內(nèi)容學生感到比較抽象，要深入理解與掌握代數(shù)的基本概念與基本理論學生感到相當吃力、難以理解。因此，為培養(yǎng)與提高學生應用數(shù)學知識、解決實際問題的能力，進一步研究這門課程的教學思想和方法對提高教學效果甚為重要。

一、加強基本概念的教與學

線性代數(shù)這一抽象的數(shù)學理論和方法體系是由一系列基本概念構(gòu)成的。行列式、矩陣、逆矩陣、初等矩陣、轉(zhuǎn)置、線性表示、線性相關(guān)、特征值與特征向量等抽象概念根植于客觀的現(xiàn)實世界，有著深刻的實際背景，即是比較直接抽象的產(chǎn)物。高等數(shù)學與初等數(shù)學在含義與思維模式上的變化必然會在教學中有所反映。線性代數(shù)作為中學代數(shù)的繼續(xù)與提高，與其有著很大不同，這不僅表現(xiàn)在內(nèi)容上，更重要的是表現(xiàn)在研究的觀點和方法上。在研究過程中一再體現(xiàn)由具體事物抽象出一般的概念，再以一般概念回到具體事物去的辨證觀點和嚴格的邏輯推理。新生剛進入大學，其思維方式很難從初等數(shù)學的那種直觀、簡潔的方法上升到線性代數(shù)抽象復雜的方式，故思維方式在短期內(nèi)很難達到線性代數(shù)的要求。大部分同學習慣于傳統(tǒng)的公式，用公式套題，不習慣于理解定理的實質(zhì)，用一些已知的定理、性質(zhì)及結(jié)論來推理、解題等。

在概念的教學中，教師要研究概念的認識過程的特點和規(guī)律性，根據(jù)學生的認識能力發(fā)展的規(guī)律來選擇適當?shù)慕虒W方式。因此，在概念教學中應注意以下幾點。

1.合理借助概念的直觀性

盡管抽象性是《線性代數(shù)》這門課的突出特點，直觀性教學同樣可應用到這門課的教學上，且在教學中占有重要地位。歐拉認為：“數(shù)學這門科學，需要觀察，也需要實驗，模型和圖形的廣泛應用就是這樣的例子?！敝庇^有助于概念的引入和形成。如介紹向量的概念，盡管抽象，但它具有幾何直觀背景，在二維空間、三維空間中，向量都是有向線段，由此教學中可從向量的幾何定義出發(fā)講解抽象到現(xiàn)有形式的過程，降低學生抽象思考的難度。

2.充分利用概念的實際背景和學生的經(jīng)驗

教師在教學中應充分利用學生已有的數(shù)學現(xiàn)實和生活經(jīng)驗，引導和啟發(fā)學生進行概念發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造。如在講解n階行列式，首先從學生已掌握的二元、三元一次方程組的求解入手，然后求出方程組的解由二階、三階行列式表示，分析二階、三階行列式的特點。

二階行列式，不難看出：它含有兩項，若不考慮符號，每項均是來自不同行不同列的兩個元素的乘積，那么會提出這樣的問題：右邊各項之前所帶的正負號有什么規(guī)律？同樣的，三階行列式若不考慮符號，它含有3！=6項，每項也是來自不同行不同列的三個元素的乘積，并且包含了所有由不同行不同列的三個元素的組合。為解決n階行列式，又引出排列的概念、性質(zhì)，介紹奇偶排列后，又回到我們提出的問題上，可以發(fā)現(xiàn)，行標按自然排列，列標排列為奇排列時，該項為負；列標排列為偶排列時，該項為正（問題得到解決）。經(jīng)過這一過程，學生對n階行列式已有接觸和了解，此時可給出n階行列式定義，這樣一來，學生就容易理解和掌握n階行列式的性質(zhì)了。

3.注意概念體系的建立

R.斯根普指出：“個別的概念一定要融入與其它概念合成的概念結(jié)構(gòu)中才有效用。”數(shù)學中的概念往往不是孤立的，理解概念間的聯(lián)系既能促進新概念的引入，也有助于接近已學過概念的本質(zhì)及整個概念體系的建立。如矩陣的秩與向量組的秩的聯(lián)系：矩陣的秩等于它的行向量組的秩，也等于它的列向量組的秩；矩陣行(列)滿秩，與向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)也有一定的聯(lián)系。

二、學生要掌握科學的學習方法

學習重在理解，學生必須在理解、領(lǐng)悟其深刻含義的基礎上記憶定義、定理及一些結(jié)論，才能收到理想的效果。線性代數(shù)的最大特點就是：知識體系是一環(huán)扣一環(huán)，環(huán)環(huán)相連的。前面的知識是后面學習的基礎，如用初等變換求矩陣的秩熟練與否，直接影響求向量組的秩及極大無關(guān)組，進一步影響到求由向量組生成的向量空間的基與維數(shù)；又如求解線性方程組的通解熟練與否，會影響到后面特征向量的求解，以及利用正交變換將二次型化為標準型等。因此，學習線性代數(shù)，一定要堅持溫故而知新的學習方法，及時復習鞏固，為此，教師課前的知識回顧以及學生提前預習是十分必要的。

三、加強對學生解題的基本訓練

一定量的典型練習題能有助于學生深化對所學知識的理解，培養(yǎng)學生一題多解的能力，解題后反思，及時總結(jié)解題思路和方法。如證明抽象矩陣的可逆，就有很多方法，一是用定義。二是用秩的有關(guān)命題。三是借助于特征值理論。四是證明矩陣的行列式不為零等。

四、培養(yǎng)與激發(fā)學生的學習興趣

興趣是最好的老師。教師一方面在傳授知識，另一方面要鼓勵學生有針對性的設計他們的目標，這樣，他們才肯自覺鉆研，樂于鉆研。同時，課堂教學中可選擇近年來研究生入學考題及一些與實際聯(lián)系較緊的題目講解或練習，以激發(fā)學生的學習欲望，并給他們帶來成功的滿足。此外，還可以適當介紹一些有趣的應用典范或教學史來激發(fā)學生的學習熱情，提高他們的學習興趣。

五、發(fā)揮多媒體優(yōu)勢，增強教學效果

多媒體教學成為當前高校教學模式的重要手段。教師只有把傳統(tǒng)教學手段、教師自己的特色和多媒體輔助教學三者有機結(jié)合起來，才能真正發(fā)揮多媒體課堂教學的效果?？傊?，教師在教學中所做的一切，其目的應在于既教會他們有用的知識，又教會學生有益的思考方式及良好的思維習慣。

參考文獻：

[1]張向陽．線性代數(shù)教學中的幾點體會．山西財經(jīng)大學學報(高等教育版)，2006.[2]于朝霞．線性代數(shù)與空間解析幾何．北京：中國科學技術(shù)出版社，2003.

第二篇：《線性代數(shù)》課程教學中的幾點思考

【摘 要】針對線性代數(shù)課程中存在學時少、內(nèi)容多、概念抽象、學生學習積極性不高等問題，提出改進線性代數(shù)教學方法的幾點想法，以激發(fā)學生學習的興趣和積極性，從而提高線性代數(shù)的教學效果。

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù)；學生；學習

《線性代數(shù)》是各類高等院校的的一門重要基礎理論課程，是學習許多后續(xù)課程不可缺少的工具。它在自然科學、社會科學和工程技術(shù)等諸多領(lǐng)域都有廣泛的應用。相比于《高等數(shù)學》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》，《線性代數(shù)》具有高度的理論性、邏輯性和抽象性，所以它對培養(yǎng)學生的抽象思維能力、嚴密的邏輯論證能力具有重要作用。但從教學實踐看，線性代數(shù)課程存在學時少、內(nèi)容多、概念抽象、學生學習積極性不高等問題。筆者認為建立融洽的師生關(guān)系，注重課程的知識結(jié)構(gòu)，在教學中注重數(shù)學思想方法的使用和知識的實際應用以及易錯問題的講解，這些措施有助于激發(fā)學生學習的興趣和積極性，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新意識，提高線性代數(shù)的教學效果。

一、建立融洽的師生關(guān)系

師生關(guān)系在教育實踐中的功效是巨大的，它的和諧與否很大程度上決定了高等教育質(zhì)量的高低。學生的學習興趣、學習動機與師生關(guān)系間存在較高的相關(guān)性。學生經(jīng)常會把“喜歡教師”作為學習努力的原因之一，“不喜歡教師”也常常是學生對某門課失去興趣的原因。教師在線性代數(shù)教學中應該不斷提高自己的教學水平，展現(xiàn)積極的情感、嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度和高尚的人格；應該尊重、愛護、了解學生，帶動學生一起探究知識，進行學業(yè)和思想上的交流。這樣可以取得學生的尊重和認可，進而喜歡上線性代數(shù)這門課。

因此，建立融洽的師生關(guān)系對提高教育教學質(zhì)量是必要而且可行的。

二、注重課程的知識結(jié)構(gòu)

我國現(xiàn)行的《線性代數(shù)》教材中，主要遵循行列式―矩陣―線性方程組―向量―相似矩陣與矩陣對角化―二次型這樣順序安排教學內(nèi)容。這些分散的塊狀結(jié)構(gòu)使得學生普遍感到線性代數(shù)知識點較多，內(nèi)容不連貫，雜亂無章，抓不住重點。行列式、矩陣、向量、二次型都是學生不曾接觸過的內(nèi)容，而線性方程組是他們稍微熟悉的內(nèi)容。因此，在實際教學中，要注重課程的知識結(jié)構(gòu)，在內(nèi)容的組織上就要有精心的設計，要分析五部分內(nèi)容間的關(guān)系，讓這些內(nèi)容聯(lián)系起來。以線性方程組求解為主線，漸次引進行列式、矩陣和向量這些新工具，有了這些工具，就可以理解方程組的類型和通解及解集的結(jié)構(gòu)，也就是本課程第一到第四章的內(nèi)容。而后圍繞相似矩陣與矩陣對角化和化二次型為標準形展開，而這些問題則完全可以看作是行列式、矩陣、線性方程組的的應用。因此，教師在線性代數(shù)的教學過程中，通過理清課程主線，構(gòu)建知識體系，可以使學生掌握線性代數(shù)的整個知識脈絡，了解各知識點之間的聯(lián)系及在整個知識體系中的地位和作用，能夠突破學習線性代數(shù)的重點和難點，充分夯實基礎。

三、注重數(shù)學思想方法的使用

學生在學習線性代數(shù)課程時，通常感到內(nèi)容抽象，邏輯性強，趣味性少，推導和計算繁瑣，對學習缺乏興趣。所以，在教學的過程中，我們要注意教學方法的運用。在教學中可以將數(shù)學思想方法，例如，化歸、歸納、演繹、類比等思想方法融入線性代數(shù)課程教學中。例如，每一章節(jié)或單元的內(nèi)容可以建立知識鏈或通過運用圖像圖表進行歸納總結(jié)； 在二階行列式逆矩陣的計算中可以歸納為兩調(diào)一除原則；在講解逆矩陣的性質(zhì)時，引入穿脫原理這樣的比喻。這樣可以激發(fā)學生學習的興趣和積極性，提高線性代數(shù)課程教學效果，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新意識。

四、注重實際應用價值

在教學中，經(jīng)常會有學生問這樣的問題：“老師，學習線性代數(shù)課程有什么用？”這反映了當前線性代數(shù)課程的教學存在著與實際應用脫節(jié)的問題，教師只重視概念、定理，強調(diào)計算的傳統(tǒng)教學模式，這大大削弱了學生的學習積極性，阻礙了創(chuàng)新應用人才的培養(yǎng)目標。所以，教學過程中，教師更應注重知識的實際應用價值，讓學生體會學有所用。教師可以聯(lián)系實際應用講解，例如，講授矩陣的定義時，以生活中城市間航線問題作為實例；講授向量定義時，以本班學生的身高、一個本科學生的在校成績作為實例。通過這些實例的講解，可以加深學生對概念和定理的理解，拓寬學生的思路，激發(fā)學生學習的興趣。

五、注重易錯問題的講解

線性代數(shù)課程的概念、定理繁多，學生在解題時常常會出現(xiàn)困難或錯誤。教師應在學生學習中出現(xiàn)的若干普遍性問題作一些重點分析和講解。例如，有些學生把矩陣的初等變換與行列式的性質(zhì)混為一談。學習了行列式的性質(zhì)，又學習矩陣的初等變換，學生在矩陣的初等變換時，前后兩個矩陣用等號連接。教師就應該在此特別強調(diào)矩陣的相等必須是同型矩陣對應元素相等，矩陣的初等變換已經(jīng)改變了矩陣的元素，前后兩個矩陣一定不能用等號連接。再如，在計算（a+b）（a-b）時，很多學生就把它當成和數(shù)的運算一樣寫成a2-b2，作為教師，在這里就要特別強調(diào)只有a和b可以交換時才成立。因此，教師在教學過程中通過對易錯問題進行有意地反復的強調(diào)，可以使學生深刻理解這些知識，達到鞏固和深化知識的目的。

以上是作者近幾年在線性代數(shù)課程教學過程中的一些心得和體會，如何提高課堂教學的有效性，還需要我們在教學中不斷地總結(jié)經(jīng)驗，不斷地探索方法。

第三篇：線性代數(shù)發(fā)展簡史論文

華北水利水電學院

線性代數(shù)發(fā)展簡史

課程名稱：線性代數(shù) 專業(yè)班級： 成員組成：

聯(lián)系方式：

2011年11月6日

摘要:代數(shù)學可以籠統(tǒng)地解釋為關(guān)于字母運算的學科。線性代數(shù)是高等代數(shù)的一大分支，是研究如何求解線性方程組而發(fā)展起來的。線性代數(shù)的主要內(nèi)容有行列式、矩陣、向量、線性方程組、線性空間、線性變換、歐氏空間和二次型等。關(guān)鍵詞：高等代數(shù) 行列式 矩陣 向量

線性代數(shù)發(fā)展簡史 代數(shù)學可以籠統(tǒng)地解釋為關(guān)于字母運算的學科。在中學所學的初等代數(shù)中，字母僅用來表示數(shù)。初等代數(shù)從最簡單的一元一次方程開始，一方面進而討論二元及三元的一次方程組，另一方面研究二次以上及可以轉(zhuǎn)化為二次的方程組。沿著這兩個方向繼續(xù)發(fā)展，代數(shù)學在討論任意多個未知數(shù)的一次方程組，也叫線性方程組的同時，還研究次數(shù)更高的一元方程及多元方程組。發(fā)展到這個階段，就叫做高等代數(shù)。

線性代數(shù)是高等代數(shù)的一大分支，是研究如何求解線性方程組而發(fā)展起來的。線性代數(shù)的主要內(nèi)容有行列式、矩陣、向量、線性方程組、線性空間、線性變換、歐氏空間和二次型等。在線性代數(shù)中，字母的含義也推廣了，它不僅用來表示數(shù)，也可以表示行列式、矩陣、向量等代數(shù)量。籠統(tǒng)地說，線性代數(shù)是研究具有線性關(guān)系的代數(shù)量的一門學科。線性代數(shù)不僅在內(nèi)容上，更重要的是在觀點和方法上比初等代數(shù)有很大提高。

在線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是行列式和矩陣。雖然表面上看，行列式和矩陣不過是一種語言或速記，但從數(shù)學史上來看，優(yōu)良的數(shù)學符號和生動的概念是數(shù)學思想產(chǎn)生的動力和鑰匙。

行列式出現(xiàn)于線性方程組的求解。行列式的概念最早是由十七世紀日本數(shù)學家關(guān)孝和提出來的，他在1683年寫了一部叫做《解伏題之法》的著作，標題的意思是“解行列式問題的方法”，書里對行列式的概念和它的展開已經(jīng)有了清楚的敘述。歐洲第一個提出行列式概念的是德國的數(shù)學家、微積分學奠基人之一萊布尼茲(Leibnitz)。1750年克萊姆(Cramer)在他的《線性代數(shù)分析導言》中發(fā)表了求解線性方程組的重要基本公式(即人們熟悉的 Cramer 克萊姆法則)。1764年，法國數(shù)學家貝佐特(Bezout)把確定行列式每一項的符號的手續(xù)系統(tǒng)化了。對給定了含n個未知量的n個齊次線性方程，Bezout證明了系數(shù)行列式等于零是該方程組有非零解的條件。法國數(shù)學家范德蒙(Vandermonde)是第一個對行列式理論進行系統(tǒng)的闡述(即把行列式理論與線性方程組求解相分離)的人，并且給出了一條法則，用二階子式和它們的余子式來展開行列式。就對行列式本身進行研究這一點而言，他是這門理論的奠基人。法國數(shù)學家拉普拉斯(Laplace)在1772年的論文《對積分和世界體系的探討》中，證明了Vandermonde的一些規(guī)則，并推廣了他的展開行列式的方法，用r行中所含的子式和它們的余子式的集合來展開行列式，這個方法現(xiàn)在仍然以他的名字命名。德國數(shù)學家雅可比(Jacobi)也于1841年總結(jié)并提出了行列式的系統(tǒng)理論。另一個研究行列式的是法國數(shù)學家柯西(Cauchy)，他大大發(fā)展了行列式的理論，在行列式的記號中他把元素排成方陣并首次采用了雙重足標的新記法，與此同時發(fā)現(xiàn)兩行列式相乘的公式及改進并證明了Laplace的展開定理。行列式現(xiàn)在的兩條豎線記法是英國數(shù)學家凱萊(Cayley)最先給出的。相對而言，最早利用矩陣概念的是拉格朗日(Lagrange)在1700年后的雙線性型工作中體現(xiàn)的。拉格朗日期望了解多元函數(shù)的最大、最小值問題，其方法就是人們知道的拉格朗日乘數(shù)法。為了判定多元函數(shù)的最大、最小值，他首先需要一階偏導數(shù)為0，另外還要有二階偏導數(shù)矩陣的條件。這個條件就是今天所謂的正、負定二次型及正、負定矩陣的定義。盡管拉格朗日沒有明確地提出利用矩陣。1848年英格蘭數(shù)學家西爾維斯特(Sylvester)首先提出了矩陣這個詞，它來源于拉丁語，代表一排數(shù)。1855年英國數(shù)學家凱萊(Cayley)建立了矩陣運算的規(guī)則。Cayley研究了線性變換的組成并提出了矩陣乘法的定義，使得復合變換ST的系數(shù)矩陣變?yōu)榫仃嘢和矩陣T的乘積。他還進一步研究了那些包括矩陣逆在內(nèi)的代數(shù)問題。著名的凱萊-哈密爾頓(Cayley-Hamilton)理論即斷言一個矩陣的平方就是它的特征多項式的根，就是由Cayley在1858年在他的矩陣理論文集中提出的。利用單一的字母A來表示矩陣是對矩陣代數(shù)發(fā)展至關(guān)重要的。在發(fā)展的早期公式det(AB)= det(A)det(B)為矩陣代數(shù)和行列式間提供了一種聯(lián)系。數(shù)學家Cauchy首先給出了特征方程的術(shù)語，并證明了階數(shù)超過3的矩陣有特征值及任意階實對稱行列式都有實特征值；給出了相似矩陣的概念，并證明了相似矩陣有相同的特征值。1878年德國數(shù)學家弗羅伯尼(Frobenius)發(fā)表了關(guān)于矩陣論的很有影響的論文，提出矩陣的最小多項式(即以矩陣為根的次數(shù)最低的多項式)是特征多項式的因式而且是唯一的。他又將不變因子和初等因子的概念引進到矩陣理論中來，得到矩陣等價的充分必要條件是它們有相同的初等因子或不變因子的結(jié)論。他還發(fā)表了埃爾米特使用過的正交矩陣這個術(shù)語的正式定義，引進了矩陣的秩的概念。他的論述還涉及矩陣的相似變換，合同矩陣等。高斯(Gauss)大約在1800年提出了高斯消元法并用它解決了天體計算和后來的地球表面測量計算中的最小二乘法問題。(這種涉及測量、求取地球形狀或當?shù)鼐_位置的應用數(shù)學分支稱為測地學。)雖然高斯由于這個技術(shù)成功地消去了線性方程的變量而出名，但早在兩千多年前我國的數(shù)學名著《九章算術(shù)》中就出現(xiàn)了解釋如何運用“高斯”消去的方法求解帶有三個未知量的三方程系統(tǒng)。在當時的幾年里，高斯消去法一直被認為是測地學發(fā)展的一部分，而不是數(shù)學。而高斯-約當消去法則最初是出現(xiàn)在由Wilhelm Jordan撰寫的測地學手冊中。許多人把著名的法國數(shù)學家約當(Camille Jordan)誤認為是“高斯-約當”消去法中的約當。

向量的概念，從數(shù)學的觀點來看不過是有序三元數(shù)組的一個集合，然而它以力或速度作為直接的物理意義，并且數(shù)學上用它能立刻寫出物理上所說的事情。向量用于梯度、散度、旋度就更有說服力。第一個涉及一個不可交換向量積(即v×w不等于w×v)的向量代數(shù)是1844年由德國數(shù)學家格拉斯曼(Grassmann)在他的《線性擴張論》一書中提出的。在這部名著中，他引入了歐幾里得n維空間概念，研究了點、直線、平面、兩點間距離等概念，并把這些概念推廣到n維空間。在19世紀末美國數(shù)學物理學家吉布斯(Gibbs)發(fā)表了關(guān)于《向量分析基礎》的著名論述。其后英國物理學家迪拉克(Dirac)提出了行向量和列向量的乘積為標量。我們習慣的列矩陣和向量都是在20世紀由物理學家給出的。

西爾維斯特在二次型的化簡和創(chuàng)立標準形理論方面起了重要作用。在二次型化簡的研究中西爾維斯特得到了兩個二次型等價的充分必要條件是它們有相同的秩和相同的指數(shù)，相繼得到的另一個重要結(jié)果就是著名的“慣性定律”，即秩為r的一個實二次型f(x1,x2,...,xn)可以通過非奇異的線性變換化成規(guī)范形

y12+ y22+?+ yp2-yp+12-?-yr2

其中指數(shù)p是唯一確定的，現(xiàn)在教科書中稱為正慣性指數(shù)．當時西爾維斯特沒有給出證明，這個定律后來被J．雅可比(Jacobi)重新發(fā)現(xiàn)并證明．判定二次型是否正定具有重要的理論和實用價值。將二次型化為規(guī)范形來判定是方法之一，但是能否不用化簡，只用二次型的系數(shù)進行判定呢？西爾維斯特對這個問題進行了研究，得到著名的西爾維斯特定理：一個n元實二次型正定的充分必要條件是該二次型的n個順序主子式全為正數(shù)。

線性代數(shù)的主要理論成熟于十九世紀。由于代數(shù)運算是有限次的，而且缺乏連續(xù)性的概念，也就是說，代數(shù)學主要是關(guān)于離散性的。盡管在現(xiàn)實中連續(xù)性和不連續(xù)性是辯證的統(tǒng)一的，但是為了認識現(xiàn)實，有時候需要把它分成幾個部分，然后分別地研究認識，再綜合起來，就得到對現(xiàn)實的總的認識。這是我們認識事物的簡單但是科學的重要手段，也是代數(shù)學的基本思想和方法。代數(shù)學注意到離散關(guān)系，并不能說明這是它的缺點，時間已經(jīng)多次、多方位的證明了代數(shù)學的這一特點是有效的。其次，代數(shù)學除了對物理、化學等科學有直接的實踐意義外，就數(shù)學本身來說，代數(shù)學也占有重要的地位。代數(shù)學中產(chǎn)生的許多新的思想和概念，大大地豐富了數(shù)學的許多分支，成為眾多學科的共同基礎。二次世界大戰(zhàn)后隨著現(xiàn)代數(shù)字計算機的飛速發(fā)展和廣泛應用，許多實際問題可以通過離散化的數(shù)值計算得到定量的解決。于是作為處理離散問題的線性代數(shù)，成為從事科學研究和工程設計的科技人員必備的數(shù)學基礎。

參考文獻

【1】 上海交通大學數(shù)學系線性代數(shù)（第二版）科學教育出版社

分工情況

第一部分由 孫紅超 完成第二部分由 安亦斐 完成

第四篇：線性代數(shù)教學建議

關(guān)于線性代數(shù)的教學建議

張夢雅

一、引言：

《線性代數(shù)》是一門比較難懂難學的高等數(shù)學學科，作為軟件學院的一員在學習線性代數(shù)的同時還要學習一元函數(shù)微積分課程。兩門課程都不容易學習，而且同學們剛邁入大學大門，還不能很好地適應大學中的學習方式（即為自學占主要部分）。沒有老師的督促和指引，同學們學起來比較困難，故而線性代數(shù)的學習更加需要兩位老師的幫助。而我作為課堂成員的一員，在此結(jié)合我平常的學習經(jīng)驗和上課體會，來給老師提出一些建議。

二、線性代數(shù)學習教學方法的分析：

之優(yōu)點：

1、課堂分為兩個部分

部分一：星期

一、星期四的課上同學們學習課本上的知識內(nèi)容，老師帶領(lǐng)同學們過一遍新的知識點，講解書本上的習題。

部分二：星期五的課上老師則帶領(lǐng)同學們做一些有關(guān)上節(jié)知識點的習題（通常為課本上的或老師PPT上的），幫助同學們加深知識點的理解和記憶。

2、課堂老師提問

本學期的線性代數(shù)課全是上午的1、2兩節(jié)課程，往往這個時候大部分同學剛起床就趕過來。老師上課提問可以讓同學們緊張起來，集中注意力，讓同學們好好聽講，而不是繼續(xù)趴在桌上睡覺。另外，提問這一環(huán)節(jié)能調(diào)動同學們課下復習的積極性，給同學們施加壓力，讓同學們及時的復習課本。并且，課上提問能讓同學們加深對某些重要知識點的理解。

3、新穎的講課內(nèi)容或方式：

有次課上老師用自己和家人的圖片為同學們講解矩陣的排列問題，引起了同學們的好奇心和興趣，讓同學們更加地在課堂上集中精神。偶爾老師的幾個冷笑話或其他的小幽默也能引起同學們的注意，但這些東西只是為了幫助同學們學習的小插曲，不宜過多而失掉課堂上應有的學術(shù)氛圍，理應適當才有益處。

4、老師能夠顧及同學們的聽課感受：

當投影儀上的字體過小時，老師及時調(diào)整字體以便教室中的每位同學都能看清楚；當同學們跟不上老師講課的節(jié)奏時，老師會適當?shù)胤怕v課速度；當講到某些關(guān)鍵內(nèi)容時，老師總會提醒同學們此內(nèi)容為重點等等以便同學們有重點的學習。三：線性代數(shù)學習教學方法的分析： 之建議：

1、若時間充裕，我認為老師可以效仿張波老師，每每講完部分知識點就會問同學們關(guān)于這部分的知識同學們有什么問題，而后老師再把同學們問的問題清楚地表達出來（贊！）然后進行講解。私下認為這樣的做法能讓同學們及時的把疑惑問出來并解決，有時若是等到下課后再問同學們可能忘記剛才的疑惑或是因為要補覺而選擇不去或等會去，這樣可能導致同學們的問題不能及時解決，等到考試時遇見困難就追悔莫及了。

2、希望老師在講課時語速能稍微放慢一些，聲音更加大一些。個人提出幾點建議：

（1）、老師號召同學們盡量坐在前排位置，不要過于分散（我注意到第一排的位置經(jīng)常少有人坐，估計是害怕老師提問）

（2）、老師可以如李忠偉老師一樣手中拿一個類似于擴音器的物品，以便于隨時放大聲音；或是佩戴擴音器等提高音量。

（3）、老師可以時不時的詢問同學們是否聽清，防止同學們錯過某些知識。

3、關(guān)于某些難以記憶的知識點，老師可以傳授自己的記憶技巧或在課堂上向同學們征集記憶方法，以便大家能夠快速牢固的記住知識點。

在最近學習的第六章的“基變換和坐標變換”中，矩陣A（過渡矩陣）和新、舊坐標、基的位置容易混淆。比如

A在后

A在前，還有A的逆出現(xiàn)等等

這樣有時就不能導出正確答案，同學們難以分辨出A的位置和A和A逆的使用。

4、希望老師能夠在每節(jié)課上花費幾分鐘的時間或是用一節(jié)課的時間來串講一下知識點，幫助同學們形成網(wǎng)絡框架圖，更加清晰的掌握所學內(nèi)容。

個人認為隨著學習內(nèi)容的增多以及難度的增加，同學們學習的越來越吃力，內(nèi)容混在一起亂成一團，在做題的時候往往不能準確而又迅速的找到合適的方法以及公式來解決問題。若是能夠梳理一下所學內(nèi)容則會大有益處。

5、建議老師把課后習題的答案發(fā)到教育在線上或是向同學們推薦有關(guān)書籍，老師推薦書籍更能與課本上所學內(nèi)容相契合，避免了同學們盲目地選購復習資料而選擇不當（我買了同濟版的輔導書，但覺得內(nèi)容有些不符合）還望老師多費一些心思幫助同學們選購以及推薦。

6、建議老師督促學生不要上課遲到或是踩著鈴聲來上課，有時再交作業(yè)則會出現(xiàn)上課鈴響教室還嘈雜聲一片的情況。（最近經(jīng)常出現(xiàn)這種情況）也許適當?shù)妮p微懲罰或者督促能夠改善這種不良現(xiàn)象。

7、老師偶爾點名時間一般在5分鐘左右，本來課上時間僅僅只有45分鐘，所以在課上點名浪費少許時間。個人建議老師可以在第一節(jié)下課課間或是第二節(jié)下課后（有20分鐘的休息時間）點名，這樣也能防止某些學生投機取巧，第一節(jié)課來，第二節(jié)課走。

四、總結(jié)：

已經(jīng)學習線性代數(shù)大半年左右，但是有些同學還是不知如何去學習，足以見得這門課的難度和深度。況且，線性代數(shù)是極為重要的一門課程，培養(yǎng)同學們的計算能力以及邏輯分析能力，學好這門課程是必須且很有必要的。接下來的時間里，只有同學和老師的共同努力才能讓大家更好地學習這門課程。

五、參考文獻：

《高等代數(shù)》第四版 北大 王萼芳著 2 “基變換與坐標變換” 百度文庫

六、作者介紹：

張夢雅（1997-12-21生），女，河南省周口人，畢業(yè)于河南省漯河市高級中學。南開大學軟件學院2014級，學號1412706。多次獲得市級三號學生稱號，獲得化學競賽一等獎。

第五篇：線性代數(shù)教學體會[定稿]

《線性代數(shù)》教學的一點體會

線性代數(shù)歷來是讓學生感到既愛又恨的一門課程，剛學時做運算興趣昂然，到后來發(fā)現(xiàn)該課知識結(jié)構(gòu)錯綜復雜，就又束手無策，恐懼心理油然而生。分析原因，一方面是因為線性代數(shù)確實是一門較為抽象的課程，里面充斥著符號演算和邏輯推導；另一方面是線性代數(shù)教材多是基于理論的準確和證明的嚴格，以及知識內(nèi)容的相對獨立性來編寫的，自然學起來就不太容易。

同微積分一樣，線性代數(shù)是一門傳統(tǒng)的課程，具有十分豐富的運用價值，特別是由于計算機技術(shù)信息技術(shù)的飛速發(fā)展，線性代數(shù)對于科技人員已經(jīng)是必不可少的，若學好了它則能成為他們發(fā)展的有利工具，否則就是一種障礙。因而如何教好學好線性代數(shù)就是一項十分緊迫而重要的任務。

在教學過程中，經(jīng)過思考，探索與改革，我有了一些教學體會。

1.注意保持學生的興趣和好奇心

只有有了濃厚的興趣，學生才會保持旺盛的學習激情。線性代數(shù)的前面部分特別是行列式計算對于學生來說還算是相當有趣的，因為只要做一做簡單的加減乘除就能將一個個龐然大物化為一個數(shù)。這個階段，我在教學中注意利用學生的這種情緒，碰到問題盡量讓學生自己去想去猜測，去演算，在課上遇到較復雜的行列式（n階），我也先不說明做法，而是在n階行列式的旁邊寫上一個低階的（如5階，6階）同類行列式，然后給學生留下三五分鐘讓他們自己思索，討論，求解。最后當我將完整正確的解答闡述明白后，許多學生面露喜色，搖頭晃腦不亦樂乎，看來他們想對了，做對了，而且之所以得意忘形是因為有了莫大的成就感。考慮到線性代數(shù)后面的知識較抽象和難于解釋，所以保持學生學習的這種興趣就是十分重要的。只有這樣學生才能主動積極的學習，將全章的難點和疑點各個擊破，贏取學習的勝利。

2.注意讓學生從全局和總體把握課程

“線性代數(shù)要做什么？”這是我上第一次課時說的第一句話。當然學生們無法回答，但他們很期待答案。之所以這么問，我是想從一開始就給學生們樹立一個觀念，那就是這樣一門課，這樣一本書，雖然它的知識點很多，可能也較困難，但是它要達到的目的是簡單的是容易把握的。

我自己回答了這個問題，線性代數(shù)的主要目的是尋求m個n元一次（線性）方程組成的方程組的求解方法：當n＝m時，我們會使用一種工具：矩陣；當n不等于m時我們要使用另一種工具：矩陣；為了使得到的解表達得更確切，我們要有新的一些觀念：線性表達和線性空間等。當然這些工具和觀念本身又成為除解方程但之外線性代數(shù)的主要內(nèi)容。

在教學過程的始終，我總是讓學生認清這一主要目的，而我們之所以做的一切不過是在發(fā)展一種符號系統(tǒng)，例如行列式其實只是高斯消元法的一種簡化書寫的記號，矩陣只是一個數(shù)表，它實際上就是沒有寫出變量的方程組，所以方程組消元和矩陣運算實際 1

上是一樣的，我們研究矩陣的運算和運算技巧以及標準形，只是為了解決代數(shù)的問題。

學生了解了矩陣和行列式在代數(shù)中的地位和作用，自然學習就有了主線，有了方向性和目的性，就會去主動的考慮一些問題，總結(jié)和掌握一些方法。

3.注意將抽象內(nèi)容直觀化，幾何化

單獨地學習一套抽象的符號系統(tǒng)及演算，對于學生來說確實會存在一些困難，特別是非數(shù)學專業(yè)，本身對數(shù)學的演繹和推理就是模糊和陌生的，大多數(shù)情況下他們并不清楚這套體系后面所蘊涵的背景和實質(zhì)。有些教師認為不敢給學生講得太多，特別是有些觀念和定理的幾何背景?；蛟S是怕學生無法理解和掌握，從而更加影響教學的效果。但我認為只有在講解時把握適當?shù)臏蚀_性和深入性，是有助于加深學生對知識點的理解的，也有助于他們數(shù)學思維的形式，從而為以后課程的學習奠定較好的數(shù)學基礎。在講到向量組的線性關(guān)系時，我會用“共線”、“共面”等概念來加深他們的印象，在講到向量組的秩時，我會用“三個向量的一個平面上”，“四個向量在一個三維空間重”等來幫助理解；在講施密特正交化過程時，我會在黑板上用簡單的圖形演示該過程的實質(zhì)，以利于我們理解這些向量是怎樣“逐個”正交地；在講矩陣的特征值和特征向量時，我會簡單的說明該矩陣代表的線性變換在各個特征方向是怎樣“壓縮”或“拉長”的。這些講解當然不能太難，而且必須適可而止，只要達到學生能夠理解的地步即可。學生學習一門課程的目的并不是單純的會演算該門課的各樣習題，而是要掌握課程的實質(zhì)和思想而加以運用，我想在這方面做如此的嘗試是有益的。

4．注重各知識點的銜接、使知識點組織成網(wǎng)，提高學生分析能力

就線性代數(shù)本身而言，雖然知識塊不多，但各塊的知識點卻非常多，從內(nèi)容上看縱橫交錯，前后聯(lián)系密切，環(huán)環(huán)相扣，相互參透，學生要將如此多的知識點組織起來確實困難。因此，在課堂上除了要有對上次課內(nèi)容精煉的復習之外，更要時刻注意提醒學生當前知識與以往知識的聯(lián)系與區(qū)別，以利于學生對此掌握。如在講線性方程組解的結(jié)構(gòu)時，我會讓學生回憶第一章的克拉默法則，第三章的用初等變換解題的方法，并用新的知識來看待舊的問題，找出聯(lián)系，比較異同，在講向量組的秩時，注意及時復習矩陣秩的各種判定法及行列式的若干性質(zhì)，從而讓學生弄清兩種秩的關(guān)系。在課程的后半部分，我會讓學生們下去后自己總結(jié)一下行列式、矩陣的各種用途，是他們能自主地將各種知識串接起來，以加深理解。

當然關(guān)于線性代數(shù)的教學方法很多，因人而異，也各有特點。我想不管什么方法，其主要目的都是為了幫助學生學好這門重要的課程，培養(yǎng)出學生良好的數(shù)學思維能力和運用這種思維去解決日后學習和工作中遇到的各種困難的能力。因此作為教師，我們應該學會在教學實踐中不斷地掌握，比較，總結(jié)，從而形成一套行之有效而獨具特色的教學方法，是我們的數(shù)學教育生動起來。

線性代數(shù)教學體會

線性代數(shù)課程內(nèi)容多，比較抽象，具有一套特有的理論體系、思維方法及解題技巧。通過第一章的教學，感覺學生在開始時不易接受。比方說在第一章學完后他們在求三階行列式時仍用定義來求，計算量大，而且容易出錯。這說明一方面對求行列式的基本技巧沒有掌握，另一方面，對課本知識比如行列式的性質(zhì)沒熟練掌握，比較生疏。我感覺很大程度上是因為線性代數(shù)不同于高等數(shù)學的特點。

根據(jù)前一段時間的教學我覺得應作好以下幾個方面的工作：

要學會正確處理教材。任何學科的教學都不是把教材照搬到課堂上，而是要分清難點和重點，從而有針對性地講解，這樣便于學生接受。由于課本例題較多，課時少，更應該突出重點，所以在教學過程中應分清主次，及時提醒學生注意重點掌握的知識點，在必要的時候還應對有關(guān)的知識點做一下總結(jié)傳授給學生。特別是在上習題課時要準備的充分一些，把解決重要類型的題目的方法系統(tǒng)的傳授給學生。從中能培養(yǎng)學生的數(shù)學素質(zhì)，數(shù)學思維。

多與學生和其他教師交流。僅有教學理論還不夠，在實踐中我難免還是把握不住“度”的問題，于是這就要求我要多與其他有經(jīng)驗的教師交流，從中了解一些要注意的問題，我感覺在與其他教師的交流中學到了很多，比如教材如何處理，哪些知識學生不易接受，容易出現(xiàn)什么錯誤等。同時還要聽取學生的反饋意見，以及時彌補教學中的漏洞。從學生的作業(yè)中，發(fā)現(xiàn)了許多細節(jié)問題，比如字母書寫不規(guī)范，一些約定的表達方式不會用，有時還用錯，做題步驟混亂等。多數(shù)學生都有這些小毛病，而且他們本身也意識不到。這就要求平時就要及時給他們指出。由于學生學習程度不同，因此在教學工作中一方面要照顧“吃不了，消化不好”的同學，另一方面又要兼顧“吃不飽，還嫌少”的同學。

在教學中，還應注意總結(jié)，注意概念，注意實際，注意方法，使同學們在學習中取得好成績。在教學工作中，注意階段性的總結(jié)和隨時有針對性的小結(jié)。階段性總結(jié)，是要在章，期中，或期末告一段落時，進行總結(jié)。其目的是讓同學們掌握那些是重點，那些是難點，各種概念，定義，公式的聯(lián)系及區(qū)別，使學習的知識系統(tǒng)化。注意概念，由于同學們的學習經(jīng)歷了從高等數(shù)學到線性代數(shù)的轉(zhuǎn)化，在概念的掌握上就顯得特別重

要。注意實際意味著注意實際的應用，線性代數(shù)從實際中來，應當讓它回到實際中去。在教學中注意聯(lián)系實際的問題，無論對掌握知識本身，還是將來的同學們運用這些知識，都是至關(guān)重要的。在教學中，如矩陣的引入，就可由注實際背景引入。注意方法，在教學中，針對學生的專業(yè)特點和個性，注意教學方法，由淺入深，由此及彼，努力擴大同學們的知識面，加強對學生數(shù)學素質(zhì)的培養(yǎng)。

最后也是非常重要的一點就是要培養(yǎng)學生學習的興趣。興趣是最好的老師。往往學得好的學生都會有較強的學習欲望。所以平時要多鼓勵他們，幫他們克服剛接觸新知識時的畏難情緒。最后希望能變“要我學”為“我要學”。