第一篇：直線的兩點式方程教學困惑解惑與感悟教育論文

一、問題提出

在上到必修2第三章《直線與方程》時，我們學校同年級教文科的一位新教師問我“直線的兩點式方程要不要上”？對于她問這個問題的原因我可以理解，甚至有同感，教給學生干嗎呢？理由一：既然已經學了點斜式方程，直接由直線上的兩點、求出直線的斜率，再由直線的點斜式不就把方程求出來了嘛。理由二：兩點式方程結構復雜，即使教給學生，學生也未必能記住，如果記錯了還不如不教，得不償失。理由三：兩點式方程限制條件多，垂直于坐標軸的直線不能用兩點式來表示。正巧，我們學校和海鹽高級中學、平湖當湖中學期中考試時是三校聯考的，到平湖當湖中學去商討期中考試的范圍時，借此機會我也拿這個問題請教了兩所學校的備課組長，一致認為直線的兩點式該弱化處理，學生容易算錯。種種理由顯示直線的兩點式方程似乎沒有“立足之地”了。在新課標下到底如何定位、把握直線的兩點式方程的教學呢？

二、課前分析

1.學情分析

在初中，學生學了一點平面幾何的知識，那時他們還僅限于圖形的處理。到了高中從《直線與方程》、《圓與方程》到選修1-1《圓錐曲線》這三章他們開始接觸解析幾何。解析幾何的本質就是用代數方法研究圖形的幾何性質，體現了數形結合的重要數學思想。在《直線與方程》這一章中，以平面直角坐標系為平臺，給直線插上方程的“翅膀”，通過直線的方程研究直線之間的位置關系：平行、垂直，以及兩條直線的交點坐標，點到直線的距離公式等等。

從幾何直觀到代數表示從代數表示到幾何直觀

（建立直線的方程）（通過方程研究幾何性質和度量）

直線的方程起了一個“橋梁”的作用。直線的方程重要性不言而喻了。

2.兩點式本身的優點分析

直線的兩點式體現了“兩點確定一條直線”這一樸素的數學理念；斜率不存在時的直線方程可用兩點式的變形寫出，向直線的一般式方程完成過渡；研究兩點式方程的目的不是說這種形式比較簡單或是好用，兩點式方程起著承上啟下的作用，它保持了知識的完整性和系統性，在思想與方法層面上，對學生分析問題解決問題的能力的培養應該有好處；兩點式方程的表達式工整，結構優美，如果設它等于一個參數，馬上可以得到直線的參數方程，為將來選修模塊中的直線的參數方程做了鋪墊，這是其它方程所不能代替的。

如果按照點斜式的程度來上這節課的話，會不會真的“上了還不如不上”呢？帶著這個困惑我決定進行一次“詳細上這堂課”的教學嘗試。

三、上課實錄

因為上節課學過了直線方程的點斜式，所以我上課一開始給出了一道小練習：已知直線經過兩點,求直線的方程.讓學生獨立當場完成。做完之后我統計了一下，用點斜式方法來求的占，還有的同學是用初中學過的待定系數設求一次函數的方法。前者用時較短，后者用時較長。看到這個結果，我基本心中有數，故意不做點評我開始了新課的教學。

師：前面我們已經探索了確定直線位置的幾何要素有哪些？

生眾：兩點確定一條直線。

師：對。還有嗎？

生：已知一個點和傾斜角。

師：很好。傾斜角和斜率都表示直線的傾斜程度，所以已知一個點和直線的斜率也可以確定一條直線。已知直線過點和它的斜率（或傾斜角）可以求出直線的方程為，我們把這個方程稱為直線的點斜式，那么已知直線過了兩個點怎么求直線的方程呢？比如開頭那個小練習，我們可以怎么做呢？

讓兩個學生起立作答。對于這兩種做法我都給予了肯定。那么已知直線上兩點求直線方程有沒有更快捷的方法呢？我們一起探討吧。

師：已知、，如何求直線的方程？

生1：先求出直線的斜率，再寫出直線的點斜式方程：。

師：能不能變形？上式的形式不便于記憶及應用，可以把上式進行變形，使它的形式比較對稱和美觀，能夠體現數學之美。你認為什么形式更美觀些？

生2：。

師：這是等價變形嗎？兩邊除以時，必須。

生3：。

師：同理時才為等價變形。我們可以用方程

表示過兩點、的直線方程了。這個方程形式體現了“對稱美”，突出了兩點的坐標，根據直線所過的兩點的坐標可以立即寫出直線的方程，所以我們就把這個形式的方程就叫做直線的兩點式方程，簡稱兩點式。

師：注意到方程后面的兩個限制條件，兩點式方程不能表示哪些直線呢？

生：當時，直線傾斜角是90°，當時，直線的傾斜角是0°。這兩種直線不能用兩點式方程表示。

師：真聰明。那這兩種直線就沒有方程嗎？

生：有的。當，直線傾斜角是90°時，直線垂直于軸，直線上的每一點橫坐標都是，所以可用表示。同理當，直線的傾斜角是0°時，直線可用方程表示。

師：非常好。直線的兩點式方程不能表示垂直于坐標軸的直線，就如同直線的點斜式不能表示斜率不存在的直線一樣，有點殘缺美。但是有沒有辦法彌補這點小遺憾呢？把直線的兩點式方程怎么變一變就能表示平面上的任意一條直線？ 生4：分式化成整式，去分母。沒有分母它就沒有限制條件了。

師：真的太棒了。對角相乘把方程化為就可以了。

書上之所以不化成這種形式，是為了講究和諧美和對稱美。以后大家在直接使用兩點式求直線方程時，可要看清楚兩個點的坐標喲，能不能用兩點式表示才是關鍵。

（后面就是例題講解和練習的鞏固，在此省略。）

通過課堂上學生熱烈的討論探究以及例題講解、課后練習的鞏固，我發現教學前的困惑，基本消除了。上完了《直線的一般式》之后，我觀察學生的作業，再碰到已知兩點求直線的方程時，他們用的多的還是直線方程的兩點式。不用擔心學生會算錯，要算錯的話不管什么方法都會算錯。結構復雜也不是問題，一節課的探究下來，對結構也是理解的比較清楚了。通過這節課的備課、教學，我發現教科書給了我們一個新觀念、新方法，也為數學教學提供了新思路。

四、課后反思

1、研讀課標，準確定位教學目標

新課標準提出：“高中數學應該返璞歸真，努力揭示數學概念的發展過程和本質，使學生理解數學概念的逐步形成的過程，體會蘊含其中的思想方法；教學中要注意溝通各個部分內容之間的聯系，通過類比、聯想、知識的遷移和應用等方式，使學生體會知識之間的有機聯系，感受數學的整體性，進一步理解數學的本質，提高解決問題的能力。”

課程標準是教學的依據，務必認真、反復地研讀，深刻領會、把握課程標準的精神，領悟新課改的理念。教學必須以課程標準為“綱”，孰輕孰重，清清楚楚，才能切實地貫徹新課改的精神和課標的理念。

通過兩點式方程的教學，使學生認識到“兩點確定一條直線”這一樸素的數學文化理念；讓學生知道直線的方程有五種形式，增強了知識的系統性，擴大了學生的視野。教學中讓學生分析方程的不同，以便于學生形成批判性的思維習慣；通過分析兩點式方程的結構，讓學生體會到數學的對稱美。達成以上目標只需十幾分鐘，如果放棄這么好的一個教學時機，對學生的終生發展會留有遺憾。

2、研讀教材，準確把握教學目標

教科書是解讀課程標準的范本。它凝聚著編者對課標的準確理解的心血，蘊藏著豐富的數學教育內涵，體現著數學的科學性和編排的合理性、藝術性。作為一線教師只有研讀教科書，才能準確把握教學目標，悟出教科書的精髓，發揮教科書的教育作用。

在人教A版中，直線的斜截式和截距式是通過兩道例題的形式給出的，在課標中明確提到“根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式），體會斜截式與一次函數的關系。”教材的編寫者在編寫教材時的良苦用心可見一斑。我們只有不斷對教材中的每個細節深入研究，領悟教材編寫者的意圖，才是真正的“用教材”，才能提高個人的教學水平，才能真正把課堂教學落到實處。

3、研究學法，提高效率、貫徹理念

對于高中生來說，多進行一些學法指導，在教學時盡可能遵循方法和知識雙重走向，讓學生體驗教科書分段設計、分層推進的策略，學會自主探究、合作交流的學習方式，為后續學習提出一個模式，學生自然而然地適應高中數學的學習。

在這節直線的兩點式教學課中，老師著眼于“引”，啟發學生“探”，把“引”和“探”有機地結合起來，采用探究、討論的教學方式，通過問題激發學生求知欲，使學生主動參與直線的兩點式方程的探索、應用活動。

通過這一節“直線的兩點式”的教學前的課前困惑、上課解惑、課后反思。筆者深刻地感悟到：教學就是一種過程的經歷、一種過程的體驗、一種過程的感悟。

第二篇：直線的兩點式方程教學設計

3.2.2

直線的兩點式方程

三維目標

1、知識與技能

（1）掌握直線方程的兩點的形式特點及適用范圍；（2）了解直線方程截距式的形式特點及適用范圍。

2、過程與方法

讓學生在應用舊知識的探究過程中獲得到新的結論，并通過新舊知識的比較、分析、應用獲得新知識的特點。

3、情態與價值觀

（1）認識事物之間的普遍聯系與相互轉化；（2）培養學生用聯系的觀點看問題。教學重點、難點：

1、重點：直線方程兩點式。

2、難點：兩點式推導過程的理解。教學過程：

一、復習準備：

1． 寫出下列直線的點斜式、斜截式方程,并求直線在y軸上的截距.①經過點A(-2,3),斜率是-1；②經過點B(-3,0),斜率是0；③經過點C?2,2,傾斜角是60?；

??

二、講授新課：

1.直線兩點式方程的教學:

① 探討:已知直線l經過p1(x1,y1),p2(x2,y2)(其中x1?x2,y1?y2)兩點,如何求直線的點斜式方程?

y?y1?y2?y1(x?x1)x2?x1兩點式方程:由上述知, 經過p1(x1,y1),p2(x2,y2)(其中x1?x2,y1?y2)兩點的直線方程為y?y1x?x⑴，我們稱⑴為直線的兩點式方程,簡稱兩點式.?y2?y1x2?x1(x1,x2),P2(x2,y2)中有x1若點P12．舉例

?x2，或y1?y2，此時這兩點的直線方程是什么？

例1:求過A(2,1),B(3,?3)兩點的直線的兩點式方程,并轉化成點斜式.練習：教材P97面1題 例2：已知直線l與x軸的交點為A（a，0），與y軸的交點為B（0，b），其中a≠0，b≠0

求l的方程

② 當直線l不經過原點時,其方程可以化為其中

直線l與x軸交于點(a,0),與y軸交于點(0,b),即l與x軸、y軸的截距分別為a,b.xy??1 ⑵, 方程⑵稱為直線的截距式方程,abx2?x1?x???2③ 中點:線段AB的兩端點坐標為A(x1,y1),B(x2,y2),則AB的中點M(x,y),其中?

y?y1?y?2?2?例2:已知直線經過A(2,0),B(0,3)兩點,則AB中點坐標為______,此直線截距式方程為______、與x軸y軸的截距分別為多少？

練習：教材P97面2題、3題

例

3、已知?ABC的三個頂點是A(0,7)B(5,3)C(5,-3)，求

（1）三邊所在直線的方程；（2）中線AD所在直線的方程；（3）高AE所在直線的方程。3．小結:（1）、兩點式.截距式.中點坐標.（2）到目前為止，我們所學過的直線方程的表達形式有多少種？它們之間有什么關系？

（3）要求一條直線的方程，必須知道多少個條件？

4．作業：《習案》第二十課時。.5．板書設計

直線的兩點式方程

一． 復習準備

三。應用示例 二． 公式的教學

四。練習與小結

6．教學反思：本節課的內容學生學起來還是比較容易接受的，課后注意鞏固與練習，部分太差的學生才用個別輔導。

第三篇：直線的兩點式方程教案

直線的兩點式方程教案

一、教學目標

1、知識與技能

（1）握直線方程的兩點的形式特點及適用范圍；（2）了解直線方程截距式的形式特點及適用范圍。

2、過程與方法

讓學生在應用舊知識的探究過程中獲得到新的結論，并通過新舊知識的比較、分析、應用獲得新知識的特點。

3、情態與價值觀

（1）認識事物之間的普遍聯系與相互轉化；（2）培養學生用聯系的觀點看問題。

二、教學重點、難點：

1、重點：直線方程兩點式。

2、難點：兩點式推導過程的理解。

三、教學設想

問

題

1、利用點斜式解答如下問題：

（1）已知直線l經過兩點P1(1,2),P2(3,5),求直線l的方程.（2）已知兩點P1(x1,x2),P2(x2,y2)其中(x1?x2,y1?y2)，求通過這兩點的直線方程。

設計意圖

遵循由淺及深，由特殊到一般的認知規律。使學生在已有的知識基礎上獲得新結論，達到溫故知新的目的。師生活動

教師引導學生：根據已有的知識，要求直線方程，應知道什么條件？能不能把問題轉化為已經解決的問題呢？在此基礎上，學生根據已知兩點的坐標，先判斷是否存在斜率，然后求出直線的斜率，從而可求出直線方程：（1）y?2?32(x?1)y2?y1x2?x1（2）y?y1?(x?x1)

教師指出：當y1?y2時，方程可以寫成

y?y1y2?y1 ?x?x1x2?x1(x1?x2,y1?y2)

由于這個直線方程由兩點確定，所以我們把它叫直線的兩點式方程，簡稱兩點式 問

題

2、若點P1(x1,x2),P2(x2,y2)中有x1?x2，或y1?y2，此時這兩點的直線方程是什么？

設計意圖

使學生懂得兩點式的適用范圍和當已知的兩點不滿足兩點式的條件時它的方程形式。

師生活動

教師引導學生通過畫圖、觀察和分析，發現當x1?x2時，直線與x軸垂直，所以直線方程為：x?x1；當y1?y2時，直線與y軸垂直，直線方程為：y?y1。

問

題

3、例題教學

已知直線l與x軸的交點為A(a,0)，與y軸的交點為B(0,b)，其中a?0,b?0，求直線l的方程。

設計意圖

使學生學會用兩點式求直線方程；理解截距式源于兩點式，是兩點式的特殊情形。

師生活動

教師引導學生分析題目中所給的條件有什么特點？可以用多少方法來求直線l的方程？那種方法更為簡捷？然后由求出直線方程：

xa?yb?1

教師指出：a,b的幾何意義和截距式方程的概念。

問

題

4、例題教學

已知三角形的三個頂點A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC邊所在直線的方程，以及該邊上中線所在直線的方程。

設計意圖

讓學生學會根據題目中所給的條件，選擇恰當的直線方程解決問題。

師生活動

教師給出中點坐標公式，學生根據自己的理解，選擇恰當方法求出邊BC所在的直線方程和該邊上中線所在直線方程。在此基礎上，學生交流各自的作法，并進行比較。

5、課堂練習

學生獨立完成，教師檢查、反饋。

6、小結

增強學生對直線方種四種形式（點斜式、斜截式、兩點式、截距式）互相之間的聯系的理解。

教師提出：

（1）到目前為止，我們所學過的直線方程的表達形式有多少種？它們之間有什么關系？（2）要求一條直線的方程，必須知道多少個條件？

7、布置作業

鞏固深化，培養學生的獨立解決問題的能力。學生課后完成

第四篇：3.2.2《直線的兩點式方程》教案

3.2.2 直線的兩點式方程

教學目標

1、知識與技能

（1）掌握直線方程的兩點的形式特點及適用范圍；（2）了解直線方程截距式的形式特點及適用范圍。

2、過程與方法

讓學生在應用舊知識的探究過程中獲得到新的結論，并通過新舊知識的比較、分析、應用獲得新知識的特點。

3、情態與價值觀

（1）認識事物之間的普遍聯系與相互轉化；（2）培養學生用聯系的觀點看問題。教學重點、難點：

1、重點：直線方程兩點式。

2、難點：兩點式推導過程的理解。教學過程：

一、復習準備：

1． 寫出下列直線的點斜式、斜截式方程.①經過點A(-2,3),斜率是-1；②已知直線經過兩點程.設計意圖：遵循由淺及深，由特殊到一般的認知規律。使學生在已有的知識基礎上獲得新結論，達到溫故知新的目的。,求直線的方

二、講授新課：

1.直線兩點式方程的教學:

① 探討:已知直線l經過p1(x1,y1),p2(x2,y2)(其中x1?x2,y1?y2)兩點,如何求直線的點斜式方程?

y?y1?y2?y1(x?x1)x2?x1兩點式方程:由上述知, 經過p1(x1,y1),p2(x2,y2)(其中x1?x2,y1?y2)兩點的直線方程為y?y1x?x1?

⑴，我們稱⑴為直線的兩點式方程,簡稱兩y2?y1x2?x1-1

（3）要求一條直線的方程，必須知道多少個條件？

4．布置作業：①課本100頁A組第9題，101頁第11題，B組第1題（通用）

②課時作業A組1-9(通用)，10（985，實驗班）

課時作業B組（985，實驗班）

第五篇：3.2.2直線的兩點式與截距式方程(教學設計)

3.2.2 直線的兩點式與截距式方程（復習設計）

教學目標

1、知識與技能

（1）掌握直線方程的兩點的形式特點及適用范圍；（2）了解直線方程截距式的形式特點及適用范圍.2、過程與方法

讓學生掌握直線的兩點式方程的推導過程，學會分析、比較，有特殊情況特殊處理的意識.3、情態與價值觀

感受兩點確定一條直線這一幾何意義的代數轉化，體驗解析幾何的代數美感.教學重點、難點：

1、重點：直線方程兩點式。

2、難點：兩點式推導過程的理解及截據式方程.教學過程

（一）復習回顧，新課導入

復習：已經學過的點斜式方程和斜截式方程及其特點

思考：已知直線經過兩點P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，(x1?x2 ,y1?y2),如何求出這兩個點的直線方程呢？

生：經過一點，且已知斜率的直線，可以寫出它的點斜式方程.可以先求出斜率，再選擇一點，得到點斜式方程.（二）師生互動，講解新課 例1：利用點斜式解答如下問題：

（1）已知直線l經過兩點P1,2),P2(3,5),求直線l的方程.1(（2）已知兩點P其中(x11(x1,x2),P2(x2,y2)?x2,y1?y2)，求通過這兩點的直線方程.教師引導學生：根據已有的知識，要求直線方程，應知道什么條件？能不能把問題轉化為已經解決的問題呢？在此基礎上，學生根據已知兩點的坐標，先判斷是否存在斜率，然后求出直線的斜率，從而可求出直線方程：

3（1）y?2?(x?1)

2（2）y ?y1?y2?y1(x?x1)

x2?x1教師指出：當y1?y2時，方程可以寫成

y?y1x?x1?(x1?x2,y1?y2)

y2?y1x2?x1由于這個直線方程由兩點確定，所以我們把它叫直線的兩點式方程，簡稱兩點式（two-point form）.若點P中有x11(x1,x2),P2(x2,y2)?x2，或y1?y2，此時這兩點的直線方程是什么？

直線與x軸垂直，所以直線方程為：x?x1；當y1?y2?x2時，教師引導學生通過畫圖、觀察和分析，發現當x1時，直線與y軸垂直，直線方程為：y?y1.變式訓練1：（課本P97練習NO：1）例2： 已知直線l與x軸的交點為A(a,0)，與y軸的交點為B(0,b)，其中a?0,b?0，求直線l的方程.教師引導學生分析題目中所給法更為簡捷？然后由求出直線方程：

教師指出：a,b的幾何意義和截距式方程的概念.變式訓練2：（課本P97練習NO：2）

例3：（課本P96例4）已知三角形的三個頂點A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC邊所在直線的方程，以及該邊上中線所在直線的方程.引入中點坐標公式：

若點P1，P2的坐標分別為P1（x1,y1），P2(x2,y2)，且線段P1P2的中點M的坐標為M(x,y)，則：

xy??1ab的條件有什么特點？可以用多少方法來求直線l的方程？那種方x1?x2?x???2 ?y?y2?y?1??2解:直線AB過A(-5,0)、B（3，-3）兩點，由兩點式得

y?0x?(?5)? ?3?03?(?5)整理得：3x?8y?15?0，即直線AB的方程.2?(?3)5??, 直線BC過C(0,2),斜率是k?0?335由點斜式得:y?2??(x?0)

3整理得:5x?3y?6?0,即直線BC的方程.y?0x?(?5)?直線AC過A(-5,0),C(0,2)兩點,由兩點式得: 2?00?(?5)整理得：2x?5y?10?0，即直線AC的方程.說明：例3中用到了直線方程的點斜式與兩點式,說明了求解直線方程的靈活性,應讓學生引起注意.變式訓練3：（課本P97練習NO：3）

(三)課堂小結，鞏固反思

（1）到目前為止，我們所學過的直線方程的表達形式有多少種？它們之間有什么關系？（2）要求一條直線的方程，必須知道多少個條件？

（四）課時必記：

y?y1x?x1?(x1?x2,y1?y2)，y2?y1x2?x1其中x1,y1,x2,y2是直線兩點(x1,y1),(x2,y2)的坐標.xy2、直線方程的截距式:??1,其中a,b分別為直線在x軸和y軸上截距，a為橫截距，b為縱截ab距.1、直線方程的兩點式:

3、中點坐標公式：

x1?x2?x???2若點P1，P2的坐標分別為P1（x1,y1），P2(x2,y2)，且線段P1P2的中點M的坐標為M(x,y)，則：?

y?y2?y?1??2

（五）布置作業

A組：

1、（課本P100習題3.2 A組：NO：1（4）（5）（6））

2、（課本P100習題3.2 A組：NO：4）

3、（課本P100習題3.2 A組：NO：7）

4、（課本P100習題3.2 A組：NO：8）

5、（課本P100習題3.2 A組：NO：9）

6、(tb1706703)已知?ABC的三個頂點坐標為：A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2)，D是BC邊的中點，求中線AD所在的直線的方程。

（答：10x+11y+8=0）

B組：

1、（課本P100習題3.2 B組：NO：1）

2、(tb2507202)過點(4,-3)的直線L在兩坐標軸上截距相等，求L的方程。（答：x+y-1=0或3x+4y=0）

C組：

1、(tb2507303)已知直線L過點M(0,2)，且與以兩點A(1,4)、B(3,1)為端點的線段AB相交，求直線L的斜率的取值范圍。（答：? 1?k?2）3 3