第一篇：李銀畢業論文

齊 齊 哈 爾 大 學

畢業設計（論文）

題

目

用概率論的方法證明組合恒等式

學

院

理

學

院

專業班級

信息與計算科學 082

學生姓名

李 銀

指導教師

崔 繼 賢

成績

****年**月**日

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)

摘要

組合恒等式是組合數學中的一個組成部分，也是組合數學研究的一個重要內容.本文主要探討如何利用概率方法研究組合恒等式，主要從不同的角度解答同一概率問題，得到同一事件的概率兩種不同的表達形式，由其相等導出組合恒等式.通過構造概率模型，利用“必然事件的概率等于1”和“不可能事件的概率等于0”證明組合恒等式，或者利用古典概率方法證明組合恒等式，也就是在實際問題中將需要證明的組合恒等式引證出來。對于需要被證明的組合恒等式，將所構造概率模型中相關事件的概率計算出來以后，從而推導出式子兩端相等。每種論證方法中首先總的介紹這種方法是用的什么思想，然后列舉例子加以論證，使所述問題更加透徹.關鍵字：組合恒等式；概率模型； 古典概率； 數字特征

I

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)

Abstract Combinatorial identity is an important part and research field of combinatorics.This paper explores using probabilistic method to derive combinatorial identities.We count a probabilistic problem by using different ways to obtain different expresses for the question.We build a probabilistic model on a classical probability to find or prove some identities by constructing the event whose probability equals 1 or 0, that is，the

the equatin will be drawn from the concrete problems.We investigate combinatorial identities using probability properties and numeral characters of a random variable with discrete type.Each method was first demonstrated the general description of what this method is thought, and then held some examples discussed.Keywords: Combinatorial identity;probabilistic model;classical probability;numeral characters

II

目 錄

摘要............................................................................................................................I Abstract........................................................................................................................II 第1章

緒

論..........................................................................錯誤！未定義書簽。

1.1引言......................................................................................................................1 1.2課題背景............................................................................錯誤！未定義書簽。1.3實際應用方面的價值..........................................................................................2

1.4本文主要的研究內容..........................................................................................3 1.5相關工作..............................................................................................................3 第2章 運用概率論的基本理論證明組合恒等式......................................................4 2.1運用完備事件組證明組合恒等式......................................................................4 2.2運用全概率公式證明組合恒等式......................................................................7

2.3運用概率性質證明組合恒等式..........................................................................8 第3章 運用概率理論構造數學模型證明組合恒等式............................................11 3.1運用隨機變量的數字特征證明組合恒等式....................................................11 3.2運用構造概率模型證明組合恒等式................................................................18 3.3運用等概率法證明組合恒等式........................................................................22 第4章 由概率方法引申出的恒等式證明................................................................26 4.1 級數恒等式的證明............................................................................................26 4.2 初等恒等式的證明............................................................................................27 4.3級數組合恒等式的證明....................................................................................27 總結..............................................................................................................................31 參考文獻......................................................................................................................32 致謝..............................................................................................................................33

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)

第1章

緒

論

1.1引言

當前，組合恒等式無論是在中學還是大學都應用廣泛，很多問題都涉及到這方面的解法.在組合數學中，有很多類型的組合恒等式.這么多紛繁復雜的組合恒等式，我們必須尋求一種最簡便的方法使問題得以解決，查閱過很多資料，通過很多證明方法的檢驗，我們尋求除了一種組合恒等式的證明方法－組合恒等式的概率方法.對于較為簡單的組合恒等式，我們可以一步就分析出結果，稍復雜的需要我們演算一兩步達到欲求的結果，但是并不是所有的組合恒等式都是那么的簡單，有的組合恒等式很復雜，我們要深入了解，就必須通過一步步的證明、深究，證明組合恒等式的方法有很多，譬如有分類法、概率法、求導法等一系列方法證明組合恒等式.本文，我們選用利用概率方法來證明組合恒等式，我主要介紹這幾種方法：構造模型法、概率性質法、數字特征法，這些都是前人通過比較發現的較為好的方法，我們加以更好的應用，我們應當看到組合恒等式與概率二者的結合，只要把握了這一點，相信就能夠從中受益匪淺，感觸頗多.含有組合數的恒等式叫做組合恒等式.簡單的組合恒等式的化簡和證明，可以直接運用課本所學的基本組合恒等式.事實上，許多試題中出現的較復雜的組合數計算或恒等式證明，也往往運用這些基本組合恒等式，通過轉化，分解為若干個簡單的組合恒等式而加以解決.我們簡單的介紹四種組合恒等式：二項式組合恒等式、關于Catalan三角數的組合恒等式、基于格路模型的組合恒等式、由概率引起的組合恒等式.通過對一些組合恒等式的了解，我們就選用各種概率的方法加以證明它們，達到一個比較完善的效果.1.2課題背景

組合數學是以離散結構為主要研究對象的一門學科，它主要研究滿足一定條 件的組態(一種安排)的存在性、計數及構造等方面的問題.近幾年，隨著計算機科學的產生與發展，組合數學得到了迅速的發展。

概率起源于歐洲國家的一種賭博方式——擲骰子。隨著科學技術發展的迫切需要，概率論在20世紀迅速地發展起來。柯爾莫哥洛夫首次用測度理論定義了什么是概率。他的公理化方法不僅成為現代概率論的基礎，還使概率論成為嚴謹的數學分支。

由于其他學科、技術的推動，概率論得到飛速發展，理論課題不斷擴大與深

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)入，應用范圍大大拓寬。俄羅斯的彼得堡數學學派，繼承和發展了古典概率論之精華，拯救了瀕臨危機的概率論；變革和制定了一系列研究方法，振興了概率論學科；提出和創立了概率論新思想，開拓了概率論新領域。由于資料的限制、語言的困難和文化的差異使得國內外系統研究彼得堡數學學派概率思想者還甚少，有關資料相當匱乏，一些相關論述大都出現在綜合性的書籍中，傾向于按照現代數學的習慣給出一般性的解釋，且多為簡要性介紹，讀者難以了解其精髓所在。鑒于彼得堡數學學派在概率論發展史上的重要地位，本文以概率論思想為主線，通過建立概率模型,對概率思想證明恒等式方面進行了簡單的應用。

組合數學和概率論的產生都可以追溯到十七世紀，從17世紀到20世紀30年代，組合數學受到娛樂及數論、概率論、化學等學科的推動而迅速發展，得到了一般的存在定理和計數原理，如抽屜原理、容斥原理、波利亞計數定理等，還解決了一系列著名而有趣的組合學問題，如更列問題、家政問題、36軍官問題等，自20世紀以來，許多理論學科和應用學科給組合數學提出了大量的具有理論和實際意義的課題，促使了許多新理論的產生，如區組設計、組合算法等，從而解決了一系列理論上的以及與經濟發展密切相關的課題。此外證明常見的組合恒等式中概率的方法也有所應用。

1.3實際應用方面的價值

大家都知道，在證明初等恒等式的時候，如果我們采用初等方法，在一般情況下比較困難，在許多數學分支中，有很多的組合恒等式的形式通常不是顯而易見的，證明它們有一定的難度，這就會使得它們的應用受到限制。如果可以對于會有帶來很多的便利。用概率論的方法去解決一些分析學中的問題或者證明一些組合恒等式，是概率論與數理統計研究的重要方向之一，根據有關資料的例子可以看出，運用概率論的方法來證明組合恒等式，是值得我們探討的一個十分有意義的新問題。因為在運用概率論的方法證明組合恒等式時，它的思維靈活，背景生動并且容易理解，表達方式單間，并且效率高而被許多數學家所喜愛。但是要熟練掌握這種證明方法，需要掌握知識的內部聯系，而且必須了解知識的客觀背景，弄清楚知識的來龍去脈，編制知識的網絡結構，抓住問題的主要特征。如果在教學中利用好這類綜合性解題的良好教材，則可以沖發揮這種類型題材的應用。

在學習概率論中，我們首先接觸到得的是古典概型，這些概率模型的特點是所研究的樣本容量中樣本的個數是有限的，常利用排列組合方法去解決古典概型中的問題，如分配問題，伯努利概型等。對于一些離散型隨機變量，也可用排列組合方法進行討論，如超幾何分布等。反過來，可以通過構造這些特殊的概率模型，利用概率模型的性質，如概率函數的規范性，可以求解一些用常規方法難證

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)明的恒等式。有些恒等式用常用的分析方法證明是很不易的，如中學中的排列組合恒等式、或者更復雜的恒等式的證明，建立了概率模型后，通過求概率的思想，能很方便地把恒等式證明出來。

1.4本文主要的研究內容

本課題研究的內容是利用概率論的知識，巧妙地將其與組合恒等式有關的概率構造出來并對其計算，分析，同時對組合恒等式加以證明，并由此給出了組合恒等式概率論的方法證明的方法和思路。

用概率論的方法證明組合恒等式的主要思想是在證明組恒等式的時候，如果我們從概率論的角度去分析它們可以使問題變得簡單，也就是說對于需要被證明的組合恒等式，在構造構造好概率模型之后，從不同角度的角度考慮其概率或隨機變量的數字特征，在運用概率論的公式，有關性質，結論等，將所構造的模型相關事件的概率計算出來，從而可以推導出需要證明的結論，從而對于組合恒等式的證明更加即便容易掌握。

1.5相關工作

用概率論的方法證明一些關系式或者解決其他一些分析學中的問題，是概率論的研究方向之一，本篇論文就是這方面應用的結果。關于組合恒等式的證明我們通常采用的是分析學的方法，但是用概率論的方法證明一些組合恒等式卻更加的簡便。對于如何使用概率論的方法證明組合恒等式，經過本人得仔細思考，大致總結了以下幾個方法：

（1）運用完備事件組證明組合恒等式（2）運用全概率公式證明組合恒等式

（3）運用隨機變量的數字特征證明組合恒等式（4）運用構造概率模型證明組合恒等式（5）運用等概率法證明組合恒等式（6）運用概率性質證明組合恒等式

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)第2章 用概率論的基本理論證明組合恒等式

2.1 運用完備事件組證明組合恒等式

這種方法的基本思想是：我們對于一些組合恒等式，可以構造出適當的模型，并且選擇出與組合恒等式相關的隨機變量，并求出它的分布列

P{??i}?Pi(i?1,2,?,n)?

接著我們再利用完備事件組的性質?Pi?1，于是我們便達到了證明組合和恒等

i?1式的目的。

引理 設{A1,A2,?,An}構成一個完備事件組，即A1,A2,?,An互斥，nni?Ai?1??，則?P(Ai)?1。[1]

i?1n例

1證明組合恒等式：

?Ck?0kn22(m?k)Cn?k2(m?k)?C2n2m

證明

我們可以利用完備事件組的性質，構造成如下概率模型：

假設盒子里有n副大小不同的手套，現在我們從中隨機抽取2m只（2m

pk?CpCm?kk2m?2k12m?2k(C2)2m2nC(k?0,1,2,?,m)

m根據完備事件組的性質知道：

n?Pk?0k?1

于是可以得到

?Ck?0kn22(m?k)Cn?k2(m?k)?C2n2m

例

2證明組合恒等式

Cnk?1?Cnk?Cnk?1

證明

首先我們將公式變形為

CnCkkn?1?CnCk?1kn?1?1

現在我們利用完備事件組的性質，構造如下概率模型：一批貨物共n?1個，準備批發出廠.若已知其中有一個是廢品，現在從中隨機地抽取k個貨物出來?1?k ?n?1?，問廢品被抽到的概率是多少？抽出k個貨物中沒有廢品的概率又

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)是多少？

若記事件A1為“抽出k個貨物中沒有廢品”的事件，那么事件A2?A1就是“抽到k個貨物中有廢品”的事件，即A1和A2為兩個對立事件.有

P?A1??CnCkkn?1.P?A2??PA1???C1Cnk1k?1Cn?1.由于A1,A2構成完備事件組，所以，有

P?A1??P?A2??1.從而有

成立，即有

Cnk?1?Cnk?Cnk?1 成立.例

3證明組合恒等式

CmCn?CmCn0k1k?1CnkkCn?1?Cnk?1kCn?1?1

???CmCn?CmCm?Cm?n(其中m,n,k?N,k?m,k?n)

k?11k0k證明

現在我們利用完備事件組的性質，構造如下概率模型：設盒子中有m張紅色卡片和n張白色卡片，每次取出k(k?m?n)張卡片，求得到i(i?m)張卡片的概率。(i?0,1,2,??,k)

記事件Ai為“取得i張紅色卡片和k-i張白色卡片”(i?0,1,2,??,k)則A0?A1???Ak??，且A0,A1,A2,?,Ak互不相容，kk于是

1?P(?)?P(?Ai)?i?0?P(A)

ii?0k又因為P(Ai)?CmCnik?ikkCm?n這樣得出

?Ci?0imCmk?i?Cm?n

0k1k?1k?11k0kCn?CmCn???CmCn?CmCm?Cm?n 所以

Cm123nn?1?2Cn?3Cn???nCn?n2例

4證明組合恒等式

Cn

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)證明

現在我們利用完備事件組的性質，構造如下概率模型：將n個箱子排成一列，從紅黑白三種顏色的M張卡片中任取n(n?M)張卡片放到這n個箱子里，如果n張卡片中恰有一張紅色卡片，則包含的基本事件為n2n?1。

記事件Ai為“恰有n-i張白色卡片”（i?n?1），則這n?i張白色卡片放在n個箱子里共有Cnn?1種放法，而對于其他i個箱子只能放1張紅色卡片和i?1張黑色卡片，又有i種方法。所以，事件Ai包含的基本事件數為iCnn?1 于是

P(Ai)?iCnn2n?1n?1

顯然，A0,A1,A2,?,An互不相容，并且A0?A1???An??

nnin所以

1?P(?)?P(?Ai)?i?1?P(A)??i?1i?1iCnn2n?1n?1

又由于

Cnn?i?Cni

123nn?1?2Cn?3Cn???nCn?n2于是

Cn

例5 證明范德蒙（Vendermonde）恒等式

CnCm?CnCm0k1k?1??CnCm?Cn?mk0k

證明 我們首先來構造一個如下的概率模型：

設一個盒子中有n?m張不同的卡片，其中n張紅色卡片m張白色卡片，我們隨機的從中取出k張卡片并且不放回作為一組。

記隨機變量?為取出的n張卡片所包含的紅色卡片數，我們可以容易的計算出?的分布列為

P{??i}?CnCmkik?iCn?mi?0,1,2,?,min(n,k)

并且由分布列的性質我們可以得出

min(n,k)min(n,k)?P{?i?0?i}?1即

?Ci?0inCbk?i?Cn?m

kk1k?1k0k?CnCm??CnCm?Cn?m 但是當m?n時 Cnm?0 所以Cn0Cm

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)2.2 運用全概率公式證明組合恒等式

引理

設{Bn}為?的一個有限劃分，即BkBi??（k?i），（k,i?1,2,?,n.）

n?Bk?1k則?A?F?1且P(Bk)?0(k?1,2,?,n)，n，P(A)??P(Bk?1i)P(ABi)成立。

[1]

例

證明組合恒等式

Cnk?1?Cnk?1?Cnk??11?Cnk?1 證明

首先我們將公式變形為

CnCk?1kn?1?Cn?1Ck?1kn?1?Cn?1Ckn?1k?1

接著我們利用全概率公式，構造如下概率模型：

設箱子中有n?m張卡片，但是其中有一張黑色卡片，一張白色卡片，現在隨機從中抽取k張卡片（1?k?n?1）

記事件A為“抽取的k張卡片中含有黑色卡片”

事件A為“抽取的k張卡片中含有白色卡片” 則P(A)?C1CnCkn?10k,由全概率公式：

C1Cnk1k?1P(A)?P(B)P(AB)?P(B)P(AB)?Cn?1?C1Cn?1Cnk?11k?2?C1CnCn?1k0k?C1Cn?1Cnk1k?1?Cn?1kk?2Cn?1?Cn?1kk?1Cn?1由于

P?A??P?A??1 從而得出

CnCk?1kn?1?Cn?1Ck?1kn?1?Cn?1Ckn?1k?1

即

Cnk?1?Cnk?1?Cnk??11?Cnk?1

如果將上述摸卡片模型稍微需做一下改變，設箱子中有n?1張卡片，其中僅有一張黑色卡片，其余均為白色卡片，就可以證得組合加法公式：

Cnk?1?Cnk?Cnk?1

如果我們建立如下摸卡片模型：設箱子里有m張黑色卡片和n張白色卡片，現在從中隨機抽取k（0?k?m?n）張卡片，仿照此例子，利用伯努利概率公式

Pk?Cnkpkqn?k 我們可以證明組合公式

CmCn?CmCn0k1k?1???CmCn?CmCm?Cm?n

k?11k0k

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)2.3 運用概率性質證明組合恒等式

我們利用概率的性質來證明組合恒等式，這是一種方便的證明方法，而且簡單易懂，通常用“必然事件的概率等于1”和“不可能事件的概率等于0”來證明。

例1 證明組合恒等式 ?Cnk?k?k?0n?112k?2n

證明 我們構造如下概率模型：

設一個人有兩瓶牙簽，每瓶n根，每次用牙簽時，他在兩瓶中任取一瓶．然后抽出一根，使用若干次后，發現一瓶牙簽已經用完，求另一盒中還有r根牙簽的概率.如果用 A1，A2分別表示甲瓶或者乙瓶中余下r根牙簽.用 Ar 表示一瓶用完，而另一瓶中有r根的事件，則Ar?A1?A2.注意到，當發現一瓶已空時．這一瓶必定在前面已用過n次，另一瓶余下r根，從而另一瓶已用過n?r次，故共用了2n?r?1次.每次取到甲(乙)瓶的概率是12.所以

PAr?P?A1?A2??P?A1??P?A2? ?? =C21n2n?r?1??1???????2??2?2n?rnn?r?12Cn2n?r?1??1???????2??2?nn?r

?1?=C2nn?r???2?

n由于r 的取值必定是1,2,?,n之一，故?Ar為必然事件，即

r?1?n?P??Ar??1，?r?1??1?也就是 ?C2nn?r???2?r?1n2n?r?1

令k?n?r, 則k?0,1,?,n?1，?1?所以 ?Cnk?k???2?k?0n?1n?kn?1?1或?Cn?kkk?012k?2.n例2 證明組合恒等式當k?n時，齊齊哈爾大學畢業設計(論文)

kkk1?2?n?1??n2?n?1?C?1???Cn?1???????1?Cn?1???1

n?n?n????1n證明 我們建立如下概率模型：

設有k張卡片，等可能地投入n個箱子，求每一個箱子中至少有一張卡片的概率.記事件B為每一箱子中至少有一張卡片

事件Ai為第i個箱子中沒有卡片（i?1,2,?,n）則 B?A1?A2?A3???An 根據容斥原理，得

PB?P?A1?A2?A3???An???

?n?P?A???P?A1i?1i1i2?1nni1?Ai2???

??1?n??i1i2?in?1?1i1?i2??in?1kPAi1Ai2?Ain?1???1??n?1P?A1A2?An?

因為P?Ai???n?1?knk1????1??（i?1,2,?,n）

n??2????1??(對任意的i1?i2)

n??kPAi1Ai2????n?2?knk依次類推，對任意的i1?i2???in，我們有

PAi1Ai2Ai3?????3????1??n??k

PAi1Ai2?Ain?1?n?1????1??n??kk

n??P?A1A2?An???1??n??于是

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)n?i?1n1?1?P?Ai??Cn?1??n??k ?P?AiAi12?i1i2?1i1?i22?2??Cn?1??n??k

??所以1?2?n?1??n2?n?1?PB?C?1???Cn?1???????1?Cn?1??

n?n?n??????kkk1n從而 P?B??1?P?B?

kkk?1?1?2n?1????n即 P?B??1??Cn?1???Cn2?1???????1?Cnn?1?1??nnn????????????

但是由于k?n ,事件B每一箱子中至少有一張卡片為一不可能事件，故

P(B)?0,從而當k?nk時.kk1?2?n?1???? C?1???Cn2?1?????(?1)nCnn?1?1??nnn??????1n?1.1232n?1?2Cn?3Cn???nCn?2n 例3 證明組合恒等式 Cn證明 我們構造如下概率模型：

有一枚均勻的硬幣，我們重復投擲n次，求它正面向上的次數的期望。顯然，我們知道?~B(n,)，于是便得出：

2nnn1 E???kp(?i?0?k)??kCi?0kn1n()?2?kCi?0kn2n

而且 ?k???1,第k次試驗正面朝上?0,第k次試驗反面朝上nnk?1,2,?,n

所以便得到 E(?)?E(??k)?k?1n?i?0E?k?n2

?kC那么

i?0kn2n?n2

1232n?1?2Cn?3Cn???nCn?2n 整理后，得 Cn

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)第3章 運用概率理論構造數學模型證明組合恒等式

3.1 運用隨機變量的數字特征證明組合恒等式

在概率論中，我們可以討論隨機變量的數字特征，并且通過隨機變量的數學期望而進一步證明一些恒等式。而運用隨機變量的數字特征來證明組合恒等式就是我們依照需要被證明的組合恒等式的特點，然后構造出合適的隨機變量，并且利用隨機變量的數字特征的定義，性質來證明組合恒等式成立的方法，其中可以利用數學期望，數學方差等。利用數字特征法是證明組合恒等式的一種比較重要的方法，我們在了解了具體概念后就用一系列的例子加以說明并且具體闡述，從而讓我們了解到這種方法是怎樣的一種方法。

引理3.1.1

若隨機變量?的方差D(?),則D(?)=E(?2)?E2(?)引理3.1.2

伯努利概型設有服從二項分布

Ai?{??i},i?0,.1,2,?,n(其中0?p?1，n為非負整數n[1])，并有

?Ci?ninp(1?p)in?i?1[1]

k例1

證明組合恒等式

?Ck?minCk?Cn2mmn?m

證明

當m=1和m=2時，我們可以用以下證明方法： 設?~b（n，p），Pk?Cnkpkqn?k(k?0,1,2,?,n),0?p?1且p?q?1

n當m=1時：

E(?)?12n?kCk?0nknpqkn?k?np

令p=，則?kC?n2knk?1n?11n?1，也就是?Ck1Cnk?Cn 2k?1當m=2時：

nE(?)?E[?(??1)??]?E[?(??1)]?E(?)?2?k(k?1)Ck?1knknPqkn?k?np

n根據公式D(?)=E(?)?E(?)，從而得出npq?12n22?k(k?1)Ck?2?n(n?1)2n?2

令p=，則

?k(k?1)Ck?2kn?n(n?1)2n?2

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)以上兩個是特例，它的一般性情況證明如下：

運用推廣的伯努利概型和多項式分布，我們構造如下概率模型：

設一個盒子中有紅黃白三種顏色的卡片若干，每次隨機抽取一張，取后放回，這樣連續做n次，p1和p2表示每次抽取紅色卡片與黃色卡片的概率，?1和?2表示每次抽到的紅色卡片與黃色卡片的次數。于是（?1，?2）服從多項分布，其分布律為

P{?i?i,?j?j}?令p1?14,p2?12n!i!j!(n?i?j)!p1p2(1?p1?p2)ijn?i?j，則聯合分布率為：

n!i!j!(n?i?j)!?122n?1

P{?i?i,?j?j}?n?m

它的邊緣分布為：P(?2?m)?1?i?0p{?1?i,?12?m} 112n同時

?2~B(n,),P(?2?m)?Cnm()m()n?m?Cnm222

因為多項分布的邊緣分布是二項分布，從而兩式相等，也就是：

n?m

?Ci?0m?inCm?i?Cn2imn?m

k所以證得原組合恒等式?CniCkm?Cnm2n?m成立。

k?mm?1例2

證明組合恒等式

?Ci?1Ci?1i?1n?mm?n?m?1n?1

證明

我們利用隨機變量的數字特征，構造出一下概率模型：

設一個盒子中裝有n張白色卡片，m張黑色卡片，一張接一張地將卡片取出，直到取出白色卡片為止，求平均要取多少張卡片。

這是求一個隨機變量X的期望值：

記事件{X?i}={取出的前i-1張卡片全是黑色卡片}，?1(X?i)令Xi???0(X?i)?，那么

xi?ixi?

?Xi?0??Xi?0??Xi?x?1??1??0?x

i?1i?x?1

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)

i?1x?im?!由于Xi非負，所以EX??E(Xi?0)??P(Xi?1?i)??Ci?1Cmi?1n?m

但是我們可以將EX更簡單的表示形式計算出來，于是我們假設已經把所有的同時令X1表示第一張白色卡片之前的黑色卡片n?m張卡片從盒子中取出來了，張數,?,最后Xn?1表示最末一張白色卡片之后的黑色卡片張數，根據X1的定義：

X1?X2???Xn?1?m,Ex1?Ex2??Exn?!?m

n!m!(n?m)!在考慮x1,x2,?,xn?1的聯合分布為P{X1?i1,X2?i2,?,Xn?1?in?1}=中i1,i2,?,in?1是非負整數，它們的和為m。，其這是因為從盒中取出的n?m張卡片一共有(n?m)!種可能方法。而且，取出的先是i1張黑色卡片，接著是一張白色卡片，再接著是i2張黑色卡片，接著又是一張白色卡片等等，很明顯，共有n!m!種可能方式。因此，就可以得到上述式子。

于是我們可以得到：X1,X2,?,Xm?1的聯合分布是i1,i2,?,in?1的對稱函數，所以對任意n個變量求和，所得到的結果是相同的，于是我們知道xi的邊緣分布相同。從而

EXi?mn?1(i?1,2,?,n?1),EX?[1?Xi]?1?m?1mn?1?n?m?1n?1

于是我們得出

?Ci?1Ci?1i?1n?mm?n?m?1n?1

如果采用分析學的方法來證明這個組合恒等式是非常難的，所以我們采用數字特征法來證明。

nnkn例3

證明組合恒等式

?kCk?1?n2n?1，?kk?12Cn?n(n?1)2kn?2.證明

我們可以考慮下列隨機變量的數字特征.設一名籃球運動員在條件相同下向同一籃筐投籃n次，每次進球的概率為12，考慮“投進籃筐次數”這個隨機變量X的數字特征.?1,第k次投進籃筐

記 Xk???0,第k次沒有進籃筐

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)則X1、X2、X3、?、Xn獨立同為二點分布：P?Xi?1??P?Xi?0??（i?1,2,?,n）, 且X?X1?X2???Xn服從二項分布B(n,所以

EX?E(X1?X2???Xn)=?E?Xk??k?1nn1212)

?k?1P?X1?1??n2

D?X??D?X1?X2???Xn??nn?k?1D?Xk??nD?X1??n4

而

E?X??12nn?kP?Xk?0kn?k??12nnn?kCk?1knkn

?

?kCk?1n2?n

2即

?kCk?1?n2n?1

又

E?X???kP?X2k?0?k??12nn?kk?12kCn

E?X2??D?X??E?X?

2?

12nn?kk?12Ckn?n?????

即 4?2?rn2nkCn?n(n?1)2k?12kn?2

例

4證明組合恒等式

?Ck?0kmCnr?k?Cm?n

r證明 考察從由n?m個大人和n個孩子組成的家庭隊伍中選取r?1個人參加親子比賽的問題.所選r?1個人中大人的人數用X 表示，則隨機變量X服從超幾何分布，且

P?X?k??Cm?1Cnr?1kr?1?kCm?n?1（k?0,1,?,r?1）

于是

E?X??r?1?kk?0Cm?1CnCrkr?1?k ?r?1m?n?1??m?1??r?1?r?1k?1r?1?kCmCn?r?m?n?1?Cm?nk?1?m?1??r?1?kr?kCmCn?r?m?n?1?Cm?nk?0

令

?1,第k個大人被選中Xk???0,第k個大人未被選中?

P?Xk?1??r?1m?n?（k?1,2,?,m?1）

r?1m?n?1;E?Xk??P?Xk?1??, k?1,2,?,m?1.齊齊哈爾大學畢業設計(論文)?

X?X1?X2???Xm?1

?

E?X???E?X???P?Xkk?1k?1nm?1m?1k?1???r?1??m?1?m?n?1k

例

5證明組合恒等式

?k?1Cn?1/Cm?n?1?k?1m?nm(m?1)

證明 一個盒子中裝有m張白色卡片n張黑色卡片，我們進行連續不放回地抽取卡片，直至摸到白色卡片時為止，下面考察取黑色卡片數的數學期望.設隨機變量?表示取黑色卡片數

?1,前（i-1）次都是取到的黑色卡?i???0,前（i-1）次至少取到白色卡片n片，第i次也取到黑色卡片一次，或第i次取到白色卡片其中i?1,2，?，n則

????i?1i

又

p??i?1??n(n?1)??n?i?1??m?n??m?n?1???m?n?i?1?

且

E?i?p??i?1? 于是我們得出

nniE????E?i?1???m?n??m?n?1???m?n?i?1?i?1n?n?1???n?i?1?n?m?n??m?n??m?n?1??m?n???m?3??m?2??m?n???m?2??m?1?nn?n?1?n?n?1??4n?n?1??4?3??m?1??2????????m?n??m?n??m?n?1??m?n???m?4??m?n???m?3??m?1?nn?n?1?n?n?1??5n?n?1??4??m?1??3????????m?n??m?n??m?n?1??m?n???m?5??m?n???m?4??m?1?nn?n?1??????m?n??m?n??m?1??nm?1?n?n?1????n?n?1??3?2?n?n?1??3?2?1?化簡時，每一次只將最后兩項通分?k個?????????

同時，???k???黑，黑，?黑，白??????? 其中k?0,1,2,?,n.k?1??k?1?.則p???k??Cnk?m/Cm?n

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)從而

E????k?p??k?0nk?1n?1k?1n?k??kn?K?Ck?1kn?m/?k?1??Ck?1m?n?m?n?Cn?1/?m?n??C?m?n??1k?1k?1n?k?1??1

?Cm?nmn/Cm?n?1n 由E?的唯一性知：nmnm?n?k?1Cn?1/Cm?n?1?k?1knm?1

k整理即得：?Cnk??11/Cm??n?1k?1m?nm?m?1?n.例6

證明組合和恒等式

?k?2k?0k?C2n?k??2n?1??C2n?2nn2n

證明

首先，我們構造如下概率模型：

設某人有兩瓶牙簽，每一瓶都有n根，每次用牙簽的時候，他在兩盒中任取一盒，然后抽出一根適用若干次后，發現一瓶牙簽已經用完，求另一瓶中有k根牙簽的概率。

如果用 A1，A2分別表示甲或乙瓶中余下 k根牙簽.用 Ar 表示一盒用完，而另一盒中有 k根的事件，則Ar?A1?A2.注意到，當發現一盒已空時． 這一盒必定在前面已用過 n次，另一盒余下k根，從而另一盒已用過n—k 次，故共用了2 n —k +1 次.每次取到甲(乙)瓶的概率是

12.所以

PAr?P?A1?A2??P?A1??P?A2? ???1??1?

=C2nn?r?????2?2??2?1nn?r?1??1?n?C2n?r?????2?2??2?1nn?r

=C于是我們得出：

n2n?r?1????2?2n?r

p???k??C2n?kn?1?????2?2n?k,k?0,1,2,?,n.下面用不同的方法計算隨機變量?的期望值.齊齊哈爾大學畢業設計(論文)

2n?k根據定義：E??122n?k?p??k?0nn?k??n?k?Ck?0n2n?k?1?????2?

=?K?2k?0kn?C2n?k

另一方面，設E??u，由?p???k??1知：

k?0nnnn?u?n??p???k??k?0?K?P??k?0n?1k?0?K??K???n?k??P??k?0n?k???1?????2???n?k??P??2n?k????n?k??Ck?0n?1n?k2n?k???n?k??Ck?0n?1n?1n?k2n?k?1?????2?2n?k??????2n?k??Ck?0n?1k?0n?k?12n?k?1?1????2?2n?k?1?1?????2???2n?k??p??2n?122n?12?k?1??112n?1?p??k?0n?1?k?1??2k?0??k?1??p???k?1??1?p???0????/2

2n?122n移項整理得：E???2n?1??p???0??1?由E?的唯一性知：n?C2n?1

nn122nn?k?0k?2?C2n?k?kn2n?122nC2n?1

整理即得：?k?2k?C2nn?k??2n?1??C2nn?22n

k?0n?1例7 證明組合恒等式 ?k(k?1)(n?k)?2Cn4?1

k?2證明 我們構造如下概率模型：

設有n張撲克牌，其中只有3張是K,我們將撲克牌洗一遍之后再從中隨機不放回抽取，直到抽取到第二張K為止，此時抽出的紙牌數為?，求它的期望。

首先我們先需要計算出?的分布列，按照古典概率的計算：

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)P(??k)?3!(n?3)!(k?1)(n?k)n!?6(k?1)(n?k)n(n?1)(n?2),k?2,3,?,n?1

然后根據數學期望的定義我們可以得出：

n?1E???kp(?k?2?k)?k(k?1)(n?k)? ?n(n?1)(n?2)k?26n?1另外，我們假設從最低下開始一張一張地翻牌，直到抽取到第二張K出現為止，此時抽出的紙牌數目為?，由對稱性可知，?與?有相同的分布列，于是也有相同的數學期望，即E??E?,而且它們有關系：????n?1 對這個式子兩邊求期望：E??E??n?1 所以E??n?12然后將其帶入?式可得

n?1?k(k?1)(n?k)?2C

4n?1k?23.2 運用構造概率模型證明組合恒等式

運用構造概率模型證明組合和恒等式大體上分為兩步：

n 第一步，將待證明的組合恒等式改寫為?Pi?1的形式；

i?1 第二步，通過構造出合適的概率模型，使得完備事件組Ai(i?1,2,?,n)互斥，n并且?Ai??，同時P(Ai)?pi(i?1,2,?,n)。

i?1 其中第一步需要掌握靈活的恒等式變形能力，以及敏銳的觀察力，而要完成關鍵的第二步，必須對于古典概率問題有深刻的理解，還要把握許多的綜合條件，同時具有豐富的聯想能力。由于證明中的關鍵是對隨機事件概率的逆過程的求解——我們需要由Pk去尋找Ak,故在思考過程中起主導作用的是發散性思維，創造性思維。

例1 證明組合恒等式 Cnk?1?Cnk?1?Cnk??11?Cnk?1 證明 首先我們將公式變形為

CnCk?1kn?1?Cn?1Ck?1kn?1?Cn?1Ckn?1k?1

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)接下來，我們構造這樣的概率模型：

一個盒子里裝有n?1張卡片，其中有一張紅色卡片，一張黑色卡片，n?1張白色卡片，現隨機地從盒子中抽取k張卡片.設事件A為k張卡片中有紅色卡片的事件，事件A的逆事件記為A.則 P?A??C1CnC1k?1kn?1;

設事件B為k張卡片中有黑色卡片的事件，事件B的逆事件記為B,由事件間的關系有

A?A?B?B??AB?AB.從而 P?A??P?AB?AB?

?P?AB??P?AB? 所以 P?A??C1C1Cn?1Ckn?101k?1?C1C1Cn?1CCnkn?100k.k?1k由對立事件和得性質P?A??P?A??1.可得

k?1kCn?1?Cn?1Cn?1?Cn?1Cn?1kk?1

從而 Cnk?1?Cnk?1?Cnk??11?Cnk?1

例2 證明組合恒等式 1?Cn?mC1n?11?Cn?m?Cn?m?1C1n?111?C1n?2??Cn?m?C3C2C1C1n?11111?C1m?1C1m?nm.證明 我們首先將公式變形為 CmCn11?CmCn?mCnCn?11111?CmCn?mCn?m?1CnCn?1Cn?2111111???CmCn?m?C3C2C1CnCn?1?Cm?1Cm111111111?1

接下來，我們構造這樣的概率模型：

一個盒子中中裝有n張卡片，其中有m張紅色卡片，現在從中連續取出卡片并且不放回，求取得紅色卡片的概率。

記事件A為取得紅色卡片，事件Ai為第i次取得紅色卡片 于是我們得到 A=A1??A1A2???A1A2A3?????A1A2?An?m?An?m?1? 由加法公式、乘法公式及條件概率的定義，得

P?A??CmC1n1?Cn?mC1n1?CmC1n?11???Cn?mC1n1?Cn?m?1C1n?11??C1C11m?1?CmC1m1

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)顯然，只要逐個取卡片，早晚是要取得紅色卡片的.即事件A為一必然事件，故P(A)?1.所以1?Cn?mCn?111?Cn?m?Cn?m?1Cn?1?Cn?21111??Cn?m?C3C2C1Cn?1?Cm?1Cm1111111?nm.古典概率與組合數有著十分密切的聯系，某些組合式本身或稍加整理，就具有某種明顯的概率意義.例如

CmCn?mCrnkr?k就可視為下面概率問題的解：“某盒中有n個球，其中有紅球m個，今從盒中任取 r個球，求恰有k個紅球的概率”，基于這一點，對某些組合恒等式，我們可采用古典概率的方法來證明.n?kkn例3 證明組合恒等式 ?CmCr?k?Cm?r?1 ?n?m? ?kk?0n證明 我們構造如下古典模型：

一個城市的道路是經緯均勻網狀，李某的家庭住址和上班地點恰好分別處于兩個交叉點.以李某的家庭住址所在的兩條路為坐標軸、交叉點為坐標原點，建立直角坐標系，并使李某的上班地點處于坐標系第一象限之中.設李某的上班地點位于點(m?n?r?1,n).考慮李某從家庭住址到上班地點走過的路最短時所選擇的路徑問題，（即在以(0,0)、(0,n)、(m?n?r?1,n)、(m?n?r?1,0)為頂點的矩形內，李某從住處到單位上班沿與X軸平行的方向行走時只能向左拐，沿與Y軸平行的方向行走時只能向右拐）.易知，李某從家庭住址到上班地點走過的路最短所選擇經過的路徑共有Cm?r?1種不同方式.n記Ak表示事件“李某經過端點為(r,k)和(r?1,k)的路徑數”

Ak所包含的基本事件個數為:從(0,0)點到(r,k)點走過的路徑數乘以從(r?1,k)點到(m?n?r?1,n)點的路徑條數.n?kkn?k?Cr?kCm?k 即為 Crk?kCm?n?r?1?(r?1)?n?k? P?Ak??Cr?kCm?kCnm?r?1kn?k（k?1,2,?,n）

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)由Ak的定義知，A0、A1、?Ar構成一個完備事件組.?r? ? 1?P?A??k????k?0?n?P?A???kk?0k?0rrCr?kCm?kCnm?r?1kn?k

n?kn上式整理得： ?Crk?kCm?Cm?r?1 ?kk?0令m?n得： Cr0?Cr1???Crn?n?Crn?n?1

n例4 證明組合恒等式 Cnn?r?1??Ci?0n?in?i?r?2

證明 我們構造如下古典概率模型：

設將n張相同的卡片放到r個不同的盒子中，把這一實驗結果作為一個向量(x1,x2,?,xr)，其中xi表示被分到第i個盒子中的卡片數，于是滿足 x1?x2???xr?n(?)的向量(x1,x2,?,xr)的個數。

考慮n張白色卡片與r?1張黑色卡片組成的排列，將每一個這樣的排列與(?)式按照下面的方式對應起來：使x1等于排列中第一張黑色卡片左邊的白色卡片的張數，x2等于第二張黑色卡片間白色卡片的張數，如此繼續到xr，它等于最后一張黑色卡片右邊的白色卡片的張數。很容易得到n張白色卡片與r?1張黑色卡片的所有排列與方程(?)的全體解一一對應，由于排列共有

(n?r?1)!n!(r?1)!n?Cnn?r?1個，即解也有Cnn?r?1個，所以得到Cnn?r?1??Ci?0n?in?i?r?2

或者還可以如下：我們很明顯看出x1可取0,1,2,?,n的n?1個值，x2,?,xr可以組成一個r?1維向量(x2,?,xr)

令A0：當x1=0時，(x2,?,xr)的解的個數為Cnn??rn?

2;?;

An：當x1=n時，(x2,?,xr)的解的個數為Cnn?r?2

nn?Ci?0n?in?i?r?2由于 ?P(Ai)?i?0Cn?r?121

n?1

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)所以得到 Cnnn?r?1??Ci?0n?in?i?r?2

r例5 證明組合恒等式 Crr?m??Cj?0jm?j?1

?1r證明 之前的例子我們證明過這樣一個組合恒等式：Cnr?Cnr??Cn?1 1這個需要被證明的組合恒等式實際就是該組合恒等式的推廣，于是我們建立如下古典概率模型：

現在將m?r張卡片從1進行編號，并從中抽取r張卡片作為一組，用n來表示1,2,?,n號都被選出而n?1號未被選出的最大值，如1號未被選出那么n?0.若1號選上了而2號未被選上，則n?1，如此等等，令n?i，不同組的卡片數顯然等于從編號為i?2,i?3,?,i?m的卡片中抽出r?i張卡片的選法總數。于是

rn?i的組有Cr?im?r?i?1個，因此總數Crm?r滿足Crrm?r??Ci?0r?im?r?i?1

我們令j?r?i得 Crr?m??Cj?0jm?j?1

3.3運用等概率法證明組合恒等式

我們從不同的角度解答同一個概率問題，就可以得到同一事件的概率兩種不同的表達形式，并且由它們相等來證明組合恒等式。在概率問題中，我們往往不能局限在一種思維，其實可以用多角度的思想去解答，這樣也會給證明帶來便利。

1nn???Cn?2 例1 證明Cn0?Cn證明 這是一個重要的組合恒等式, 這里用概率的思想證明.為此我們構造如下概率模型：

“某人投籃命中率，現獨立地重復投籃了n次，問投進的概率是多

21少？”

記事件Ak為投籃n次投進了k次（k?1,2?,n）, 于是問題是求P?A1?A2???An?.由于A1,A2,A3?An兩兩互斥，得

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)P?A1?A2???An???P?A?

kk?1n1??1? =?Cnk??????2??2?k?1nkn?kn??k?1Cn2nk

又因A1?A2???An的對立事件是A1?A2?An，問題可以轉化為求1?PA1?A2?An，而 ?? P?A1?A2?An??Cn2n0

Cn2n01?PA1?A2?An?1???

1nn???Cn?2.即Cn0?Cn1例2 證明組合恒等式 ?Cn0???Cn?????Cnn??C2nn

222證明 根據組合式的性質.Cnr?Cnn?r, 原式左邊可變形為：

CnCn?CnCn0n1n?1???CnCn?C2nn0n

兩端同除以C2nn，得：

CnCnC2nn0n?CnCnC2nnkn?1???CnCnC2nnn0?1

我們來觀察上面這個式子式的概率意義，可以構造下面的模型：

“一盒子里有2n張卡片，其中n張白色卡片n張紅色卡片，今從中任取n張卡片，求至少有一張紅色卡片的概率.”

記事件A為抽得的n個球中至少有一張紅色卡片；

事件Ai為抽得的n個球中恰有i張紅色卡片

則 P?Ai??CnCnCn2nin?i（i?1,2?,n）

而 A?A1?A2???An 且 Ai?Aj?? ?i?j? 根據有限可加性，得

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)P?A??P?A1??P?A2????P?An? ?CnCnC2nn1n?1?CnCnC2nn2n?2???CnCnC2nnn0

另一方面 A?{ 抽得的 n 張卡片都是白色卡片 } 而 P?A??CnCnCn2n0n

CnCnC2nn0n于是

P?A??1?PA?1???

所以 CnCnCn2n1n?1?CnCnCn2n2n?2??CnCnCn2nn0?1?CnCnCn0nn2n CnCn?CnCn2001n?1???CnCn?C2n2n01即 ?Cn0???Cn?????Cnn??C2nn

2m例3 證明組合恒等式 ?CniCnm??ii?Cnm?2m

i?0證明 我們構造以下概率模型：

設箱子中有n付大小不同的手套，現在我們隨機從中取出m只，計算取出的手套全不配對的概率.把從2n只手套中取出m只不同手套的組合作為樣本點，則樣本點總數為C2nm.記事件A為取出的m只手套全不配對，接下來計算P(A).方法一 A發生要求m只手套必須取自于不同型號種類的手套，而手套的種類有n種，因而m只手套可有n種可供選取，共有Cnm個選取種數.同時，在每一

1種類型號的手套中又有“左”、“右”兩只手套可選擇，有C2種取法，這樣，取11??C（出m只手套共有C2m個）種取法.綜合上述，A的基本事件數目為Cnm?2m，2則P?A??Cnm?2m/C2mn.方法二 令Ai?取出的m只手套中含有i個“左”只手套，i?0,1,?m.顯然

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)A??Ai 且 AiAj??（i?j)則 P?A??i?0m?P?A?.又因為A中的i只“左”

imii?0手套可有n種“左”手套可供選取，共有Cni種取法.其余另外的m?i只手套全是“右”手套，為了使得取出的m只手套全不配對，那么，這n?i只“右”手套只能在剩下的n?i種型號的手套所對應的n?i“右”手套中選取，共有Cnm??ii種取法.于是，由乘法原理可得，Ai的基本事件數目為CniCnm??ii（i?0,1,2?m）那么

P?Aii??Cim?nCn?i/Cm2n mm由此可得 P?A???P?A?im?ii??CnCn?i/Cm2n

i?0i?0綜合上述可得組合恒等式:

m?Cim?imnCn?i?Cn?2m i?0n例4 證明組合恒等式 ?Cin?iaCb?Cna?b?Cnb

i?1證明 我們構造如下的概率模型：

設一個盒子中有a張黑色卡片，b張白色卡片，我們現在從中隨機抽取

(n?min(a,b))張卡片，求所取的卡片中至少有一張黑色卡片的概率。

記事件A為任取的n張卡片中至少有一張黑色卡片；

事件Ai為任取的n張卡片中至少有一張黑色卡片（i?1,2,?,n）

nn那么A1,A2,?,An是互不相容事件并且?Ai??，則?P(Ai)?1

i?1i?1in?i而

P(AaCbi)?Cn(iC?1,2,?,n)

a?bni?in?CaCnb于是

P(A)??P(A)?i?1in

i?1Ca?b記事件A為任取的n張卡片中沒有黑色卡片

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)

n則

P(A)?CbCna?b

Cbnn那么

P(A)?1?P(A)?1?nCa?b

所以我們得到

?Ci?1iaCbn?iCna?b?1?CbCnna?b

n整理可得

?Ci?1iaCbn?i?Ca?b?Cbnn

第4章 由概率論方法引申出的恒等式證明

4.1 級數恒等式的證明

?例 證明級數恒等式 ?n?1n(n?1)!?1

證明 我們建立如下概率模型：

設有一個盒子，里面裝有黑色卡片和白色卡片，設其為事件A，其中白色卡片一張，黑色卡片無數張，則事件A只包含兩個基本事件摸出為黑色卡片（設為事件B）和摸出白色卡片（設為事件C）的隨機試驗，我們進行有放回的隨機抽取卡片，并且為獨立重復n次試驗，則在第k次試驗中，B出現的概率P(k)，不出現的概率為Q(k)，則Q(k)?1?P(k)。

現令T(n)表示在n次獨立試驗中B首次出現在第n次試驗中的概率，于是有T(1)?P(1)，T(2)?Q(1)P(2)，??，T(n)?Q(1)Q(2)??Q(n?1)P(n), 令P(N)??T(n)，?(N)??Q(n)，則有P(N)??(N)?1。

n?1n?1NN取P(n)?nn?1，則?(N)??Q(n)??n?1NNn?1NNN1n?1n，N故P(N)??(N)??T(n)??Q(n)??n?1Nn?1n?1（n?1）!???n?11n?1?1

由于N??，lim?1n?1N??n?1?0，所以有?n?1n(n?1)!?1，齊齊哈爾大學畢業設計(論文)4.2 初等組合恒等式的證明

例

證明下面兩個組合恒等式

?1(1)Cnr?Cnr?1?Cnr?1

其中n,r,s,?N

(2)Cns?1?Cn?1?Cn?2????Cs 其中n,r,s,?N sss證明

(1)我們建立如下概率模型：

設一個盒子中裝有n張卡片,其中僅有一張紅色卡片，現從盒子中取出r張卡片，則有Cnr種取法。于是我們可將這Cnr種取法分為兩類：一類是包含紅色卡片的，取定了那個紅色卡片之外，還需在剩下的n?1張卡片中取出r?1張卡片來，?1共有C11Cnr?種取法；另一類是不含紅色卡片，應在除去紅色卡片后的n?1張卡片1中取出r張卡片，因此共有C10Cnr?1種取法，并且這兩類取法之和即為取法總數，即Cnr種取法。所以有

Cn?C1Cn?1?C1Cn?1?Cn?1?Cn?1，故(1)式得證。

下面證(2)式：

對(2)式作變換：令r?s?1有

Cns?1r1r?10rr?1r?Cn?1?Cn?1

s?1ss?1s再令n?n?1有

Cn?1?Cn?2?Cn?2

以此類推…

Cs?2?Cs?1?Cs?1?Cs?Cs?1

s?1sss把上面的式子左右各相加，化簡有 Cn?Cn?1?Cn?2?......?Cs。

s?1s?1s?1sss(2)式得證。

4.3 級數組合恒等式的證明

例

證明下面的級數組合恒等式

ki?0(1)?CCimk?in?Ckn?mki?0

(2)?CC?Ciminnn?mki?0

(3)?CnCn?ii(2n)!(n!)2

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)

??0當1?r?nn?kkr?(?1)C(n?k)?當r?n(4)?n!nk?0?n(n?1)?n!當r?n+1?2證明

(1)我們構造如下概率模型：

設一個盒子中有n張白色卡片和m張黑色卡片，我們現從中隨機地取出k張卡片，考慮取出的k張卡片中有i張白色卡片的事件Ai(i=0，1，?，k)的概率，于是可得

P?Ai???A0,A1，??，AkkkCmCnCik?ikn?m，i?0,1,2??????k，是互不相容的事件，且這k?1個事件之并是必然事件，即UAi??，則?P(Ai)?P(?)?1，i?0i?0k于是?CmCnkik?iki?0i?0Cn?m?1，即?CmCnik?i?Cn?m.k(2)令k?n，由式(1)可得式(2)；(3)令n?m，由式(2)可得式(3)。(4)欲證此等式，首先引入一個引理

引理：設隨機事件A1，A2,??????,An滿足

P(Ai)?p1,(i?1??n)

P(Ai1Ai2)?p2,(1?i1?i2?n)

P(Ai1Ai2Ai3)?p3,(1?i1?i2?i3?n)

??，P(A1A2??An)?pn，nk?1nk?1則有P(?Ak)??(?1)k?1CnP(k)

（1）

k為了證明本式，我們建立如下概率模型：

從1到n這n個自然數中每次任取一數，有放回地抽取r次，令Ai={取出的r個

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)數均不等于i，i?1，2，??，n則

pk?P(Ai1Ai2??????Aik)?(nk?1nk?1n?knk?1),(1?i1?i2????ik?n,k?1,2??n)

n?knr則由(1)式P(?Ak)??(?1)Cn(k)，（2）

nr當1?r?n時，必存在i使得取出的r個數均不等于i，因此?Ai是必然事件，于

i?1是，由(2)式有

n?(?1)k?1k?1C(knn?kn_r)?P(?Ai)?1?C，即

?(?1k)?1Cnkn(?k)?，0

rni?10nnk?1① 當r?n時，Ai={取出的n個數中至少有一個等于i}，i = 1,2,?,n，于是，n?Ai?{取出的n個數均不相同}，由[7]知其概率為i?1n!nn，從而有

n!nnni?1ni?1P(UAi)?1?P(?Ai)?1?n

kkr(?k)?n!把上式代入(2)式整理可得

?(?1)Cnnk?0ni?1ni?1② 當r?n?1時，則?Ai?{取出的n?1個數恰有兩個數相同}，其概率P(?Ai)，n于是得出可知 P(?Ai)?i?1n!nnn?1Cn?1，2n!2P(UA)?1?P?(A?)?1C從而有

iin?1 n?1i?1i?1nnnk?o代入(2)式整理可得?(?1)Cn(n?k)?n!Cn?1?kkr2n(n?1)2n!

③ 當r?0時，考慮隨機試驗：從大于n的自然數中任取一數，令Ai={取出的數大于i}，i =1,?,n，則顯然

pk?P(Ai1Ai2??Aik)?1,(1?i1?i2????ik?n,k?1.2.?.n)

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kk且?P(UAi)?1?C，代入(1)式整理可得?(?1)Cn?0，k?oi?10nnnnk?o??0當1?r?nn?kkr當r?n所以有 ?(?1)Cn(n?k)??n!

k?0綜上所述，證明完畢。

??n(n?1)?2n!當r?n+130

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總 結

本文通過概率理論給出了證明組合恒等式的方法，主要應用了概率論中的古典概率，完備事件，互不相容，基本事件總數等相關知識。其主要思想是針對所要證明的組合恒等式構造出適當的概率模型，求出該模型中有關事件的概率。而構造概率模型來證明組合恒等式的基本方法是：首先根據需要被證明的組合恒等式特點建立相對應的概率模型；然后在概率模型中分析思考問題。然后根據概率的一些性質，推出應有的結論。組合恒等式的證明方法有很多，而用概率論的方法來證明組合恒等式不僅提供了組合恒等式的不同證明途徑，而且有助于加深我們對概率論基礎知識的理解和掌握。

本文主要研究了如何運用概率論的方法證明一些組合恒等式，一共分為三章：

第一章緒論中，簡單介紹了概率論方法研究的背景和發展狀況，自然引出了需要研究的問題；

第二章主要介紹如何運用概率論的基本理論來證明組合恒等式； 第三章主要介紹如何運用概率理論構造數學模型；來證明組合恒等式； 第四章針對前面的證明方法進行推廣證明一些其他的恒等式，以便于更加深刻理解這種用概率理論證明恒等式的好處。

組合恒等式的證明問題通常需要超高的技巧，有意識的積累一些組合恒等式的證明方法是很有益的。特別是運用概率論的方法證明，構造出適當的概率模型加以說明和解釋則非常有助于恒等式的記憶，理解與運用。

通過對本文的深入研究，不但使我對于概率論的方法證明組合恒等式有了更深一步了解，而且了解概率論在科學研究和實際生活中的很多應用，這更堅定了我努力研究數學知識并將這些知識應用于生活中的決心。

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致 謝

我要感謝我的導師崔繼賢老師，他為人隨和熱情，治學嚴謹細心。在閑聊中他總是能像知心朋友一樣鼓勵我，在論文的寫作和措辭方面他總會以“專業標準” 嚴格要求我，從選題定題開始，一直到論文最后的反復修改，潤色，崔老師始終認真負責地給與我深刻而細致地指導，幫助我開拓研究思路，熱心點撥，熱忱鼓勵。正是崔老師的無私幫助與熱忱鼓勵，我的畢業論文才能夠得以順利完成，再次謝謝崔老師。

然后還要感謝大學四年來所有的老師，為我打下數學專業知識的基礎，感謝李學院和我的母校——齊齊哈爾大學四年來對我的大力栽培。

最后我要感謝我四年的大學同學，感謝我的家人和那些永遠忘不了的朋友，他們的支持與情感，是我永遠的財富

第二篇：李銀澤事跡

李銀澤，彝族，中共黨員，1980年12月出生，1999年12月入伍，2003年11月入黨，現任昆明市公安消防支隊特勤大隊一中隊專勤班班長，二級士官。入伍5年來，李銀澤同志始終牢記全心全意為人民服務的宗旨，正確樹立革命人生觀、價值觀、世界觀，忠實履行一名消防戰士的職責和神圣使命，他一直戰斗在滅火救援保衛第一線，把5年最美好的青春年華無私地獻給了昆明消防特勤事業。5年來，李銀澤同志在艱苦的訓練場上摸爬滾打，與肆虐的大火拼殺搏斗，用青春、汗水和熱血保衛著春城人民生活的安寧，體驗著追求理想的艱辛與幸福，展現著自己人生的價值。他先后參與了全市及省內部分地區的多起重、特大火災撲救以及化學泄漏、山體滑坡等特殊災害事故的處置，屢立戰功，為保衛國家經濟建設和人民群眾生命財產的安全做出了突出貢獻。在5.12安寧泥磷泄漏火災撲救戰斗中，李銀澤再一次深入險境，勇挑重擔，完成了最危險、最艱巨的任務，為部隊撲救火災、處置泄漏作出了突出貢獻，用自己的青春年華在烈火中譜寫出壯麗詩篇。

一、不畏犧牲迎難而上深入險地偵察堵漏

2005年5月12日凌晨零時，云南馬龍產業集團股份有限公司安寧分公司儲存有100余噸泥磷物料的4號沉降濃縮槽發生泄漏事故。泥磷燃燒生成的刺激有毒煙霧籠罩了整個廠區，彌漫至附近村莊，情況十分危急，如果泄漏擴大，災害蔓延，引發鄰近儲罐事故，后果將更加不堪設想。關鍵時刻，特勤官兵臨危受命，迅速出動，苦戰4天3夜，打下硬仗，再顯神威。

李銀澤隨首批出動力量于12日4時50分左右達到現場，這樣的場面對于他來說也是第一次，許多新同志都有點發懵，但李銀澤清楚自己是老同志，不能亂了陣腳，一切聽從中隊指揮員的命令。現場濃煙滾滾，情況不明，處置事故無從下手。李銀澤整頓好自己帶領的人員，做好個人防護主動請戰，同副中隊長一起前往火場深處進行偵察。高溫和濃煙讓他們難以靠近，但還是初步了解和熟悉了沉降槽底部泄漏和燃燒的基本情況。李銀澤撤出燃燒區域，脫下厚重的避火服頭盔，來不及擦去汗水便開始向指揮員匯報情況，得到燃燒區域的一些寶貴情況，現場官兵決定首先出水進行強攻，力爭先滅火再想辦法堵漏。兩個小時過去了，大火滅了又燃，燃了又滅，特勤官兵反復近戰強攻，然而事與愿違，由于燃燒時間較長，罐底泄漏更加嚴重，火勢更加猛烈，強攻方案被迫取消。12日上午，現場情況進一步變化，剛成立的指揮部決定由支隊參謀長和特勤大隊顏副大隊長帶領3名士官再次偵察，白天能見度有所好轉，偵察組到了罐底泄漏處，正當同志們進行勘察觀測時，泄漏口泄漏量瞬間加大。突然，成塊的泥磷落下來，顏華副大隊長躲閃不及,火團濺起的磷水混合物沾染上左腿，不幸被自燃的黃磷燒傷，受傷較重。此時，李銀澤距離顏華副大隊長不足1米，下落的火團濺起的磷水混合物朝他撲去，他往后用力一蹬，濺起的泥磷正好掉在他的戰斗鞋面上，不論是僥幸，還是身手敏捷，他又一次與危險擦肩而過。

顏副大隊長受傷的不幸并沒有使李銀澤在巨大的危險面前退卻，他毅然領受了堵漏的命令，和戰友穿戴好避火服，準備好各種可能用到的堵漏器材，來到泄漏罐前待命，一旦局部圍堰成功就增加水槍強攻并掩護堵漏。等待是需要勇氣和毅力的，剛才那一幕悲壯的場景，仍是如此清晰，歷歷在目，對此，每一個人都會害怕、恐懼，心理都會產生一定的想法……然而李銀澤的目光是那樣的堅毅，一旦時機成熟，指揮員發出命令，他會如猛虎下山一般，毫不猶豫地沖上前去完成那可能付出生命代價的艱巨任務！最終，因為泄漏量太大，火勢猛烈，指揮部被迫決定取消堵漏任務，但當零距離接觸泄漏燃燒區域，犧牲的危險隨時迫近時，李銀澤那種深入險境，臨危不懼，義無反顧的大無畏精神仍然令在場的官兵無不欽佩。

二、堅守陣地獨當一面光榮負傷堅持戰斗

無法近戰達到速戰速決的目的，特勤官兵只能轉入冷卻控制，配合圍堰填埋，處置進入僵持階段。李銀澤帶領本班人員把滿腔熱血轉化到了周圍的水槍陣地上，對泄漏罐實施冷卻，掩護工人進行筑堤圍堰。火場是千變萬化的，危險隨時會發生，由于現場風向改變，空氣流動加劇，泥磷燃燒迅速，瞬間濃煙滾滾，遮天蔽日，燃燒的泥磷四處飛濺，火勢瞬間增大，李銀澤和戰友占據的水槍陣地受到威脅。中隊指揮員“轉移水槍陣地，確保冷卻水不見斷”的命令傳來，為避免供水線路受損，他和一名戰友拖著近30米的水帶干線，翻越重重障礙，把水槍陣地轉移到上風方向的圍堰沙堆上，繼續戰斗。由于對環境不熟悉，又要掩護、協助戰友，加之能見度太低，李銀澤不慎一腳踩空，側翻在斜坡上，左腿膝關節韌帶嚴重拉傷。然而，這個消息卻是在一天后他撤出現場時才被戰友們發現。環境異常艱險，身體傷痛陣陣，可李銀澤哪里顧得上這些，他控制著水槍變換射流，立體冷卻罐體并撲救外圍火點，在全隊官兵的連續奮戰和共同努力下，四個水槍陣地持續射水實施滅火、掩護和冷卻，持續射水將近5000噸，確保了圍堰封堵工程順利合圍，將張狂蔓延的火勢死死封在罐底。

很快，暮色降臨，當地氣壓降低，大量煙氣沉降并籠罩在部隊宿營地，休整的戰士都戴著防毒口罩席地而眠，李銀澤卻還在忙碌著。身為專勤車駕駛員，他主動趕到火場指揮部前，將車載照明燈升起，對指揮部和周圍區域實施照明。只見他一會鉆進火場與肆虐的火魔展開殊死搏斗，一會又利用輪換休息時間檢查維護車輛和照明裝備，確保指揮部和處置現場的照明到位，就像一部上足了發條的機器，不知疲倦的工作。13日18時，火勢相對穩定，看著雙眼通紅，精疲力竭的李銀澤，大隊領導再也不忍心讓他留在火場，命令他返回中隊休息。直到登車時，李銀澤緩慢的抬起左腳，舉步為艱，戰友們才發現他的膝蓋受了傷，這時，李銀澤已瞞著領導和戰友，帶傷堅持戰斗了37個小時。在他心中，與國家和人民的利益比起來，這點傷痛算得了什么呢？15日上午，火魔被徹底縛住，勝利的消息傳來，還扎著繃帶的李銀澤盡管沒能親眼看到勝利的場面，但也無比振奮，自己和全隊戰友又一次經歷了血與火的洗禮，成為火場中一面屹立不倒的旗幟！戰斗中的成績并非偶然，在長期的工作、訓練中，李銀澤又何嘗不是一根樹立表率、創造一流業績的標桿。

三、戰功赫赫屢獲殊榮刻苦訓練勇攀高峰

入伍5年多來，他刻苦訓練、積極進取，業務素質不斷提高，各項工作成績突出，所帶班集體更是在全隊脫穎而出，從業務考核到年終評比樣樣拿第一，多次被評為優秀班集體。他堅持“練為戰”的指導思想，立足本職崗位，苦練精兵，在總隊、支隊歷次考核、競賽中屢屢取得優異成績。在執勤崗位練兵活動中，他緊緊瞄準現代火場的需求，刻苦鉆研訓練新法，努力探索高科技器材裝備與人結合發揮最佳效果的有效途徑，不斷加強業務學習，成為云南省消防部隊小有名氣的技術能手，被戰友們譽為云嶺“特勤尖兵”。他連續三年參加總隊、支隊執勤崗位練兵競賽，以優異成績獲得“訓練標兵”、“技術能手”等稱號，并被榮記“三等功”二次，獲得2002和2003全國執勤崗位練兵“先進個人”和“技術能手”稱號，受到公安部通報表彰。

去年以來，李銀澤先后參加了宜良中巴車墜河搜救遇難者，昆明南窯下水道搶救5名中毒人員，東川挖掘機翻車事故搶救被困司機，碧雞關水庫打牢溺水民工等大小搶險救援任務20余起，舍生忘死，救死扶傷，戰功顯赫。作為“火鳳凰”突擊隊的主力成員和中隊特種車駕駛員，李銀澤工作成績一流，模范表率作用突出，成為干部眼中的好士官，戰士眼中的好班長。

第三篇：李媛畢業論文

目 錄

一、概述...........................................................2

二、法醫學鑒定意見與其他證據之間的關系...........................3

（一）法醫學鑒定結論同證人證言、被害人陳述等言詞證據的主要區別3

（二）法醫學鑒定與物證、書證、視聽資料和勘驗、檢查筆錄等實物證據的區別.......................................................3

三、法醫學鑒定意見在訴訟中的證據價值.............................4

（一）法醫學鑒定在現場勘查中的作用............................4

（二）在民事訴訟和行政訴訟中的證據價值.......................6

四、如何提高法醫學鑒定人的證據意識...............................7

（一）充分認識法醫學鑒定的局限性..............................7

（二）高度重視法醫學鑒定的程序性..............................7

（三）充實法醫學鑒定工作者的法律知識..........................7 參考文獻：........................................................8

一、概述

司法實踐中，科學鑒定涉及的領域非常廣泛按照鑒定對象的特點及鑒定所應用的原理、手段和方法的不同，較為常見的專業技術鑒定，主要包括法醫鑒定、物證技術鑒定、司法精神病鑒定和司法會計鑒定等，其中法醫學鑒定構成了司法鑒定的重要內容。

法醫學是以醫學、生物學及其他自然科學的理論技術，研究并解決司法實踐中有關人體傷亡、病理和生理狀態等問題的一門科學。在實踐中，對法醫學鑒定的理解有兩層含義：其一，法醫學鑒定是指法醫學鑒定人接受指派和委托，對案件中涉及的醫學問題進行檢驗和分析的活動；其二，法醫學鑒定是指法醫學鑒定人運用法醫學知識和方法，按照司法、執法機關的送檢目的和要求，在對需要鑒定的活體、尸體或物證進行科學的檢驗、分析、判斷后所作出的鑒定結論。一般所涉及的法醫學鑒定是指第二層含義。

法醫學鑒定的主要特征：

1、法醫學鑒定是法醫學鑒定人運用自己的專業知識對案件中涉及的醫學問題進行檢驗、分析鑒定的結果，是一種有醫學科學根據的意見。科學性，是法醫學鑒定的靈魂，也是法醫學鑒定發揮證據效力的源泉。

2、法醫學鑒定以法醫學鑒定書或檢驗報告為表現形式。法醫學鑒定書是法醫學鑒定人將司法、執法機關送檢的材料進行檢驗、鑒定后，根據檢查結果和結論寫成的書面報告。其基本格式包括緒言、案情摘要、檢驗、說明及結論五個部分。法醫學檢驗報告是法醫學鑒定人根據委托人送檢的目的和要求，運用專業知識和技能對檢材進行檢查（實驗）后所作的客觀記錄。鑒定人對實驗或檢查結果不加任何主觀分析、推理，如毒物檢驗報告、物證檢驗報告等。無論何種表現形式，法醫學鑒定只解決與案件有關的醫學問題，而不解決法律問題。

3、作為證據的是法醫學鑒定，而非法醫學鑒定人。法醫學鑒定人出庭舉證接受訴訟參加人的詢問，是法醫學鑒定人參加質證的重要環節。

證據價值是有關證據能力和證據力大小的綜合量值。證據能力是指證據能被采用而必須具備的條件，即被法律所容許的證據資格，體現了證據的合法性。法醫學鑒定的證據能力是指法醫學鑒定成為法定證據必須具備的條件，其主要體現在鑒定意見的形式要件上：（1）鑒定機構和鑒定人具有合法的資質；（2）鑒定程序符合法律及有關規定；（3）檢材的來源、取得、保管、送檢符合法律及有關規定，而且證據鏈完整；（4）鑒定意見的形式要件完備，注明了鑒定是由、委托人、鑒定機構、鑒定要求、鑒定過程、檢驗方法、鑒定文書的日期等相關內容，由鑒定機構加蓋鑒定專用章，并由鑒定人簽名蓋章；（5）鑒定意見明確。

研究法醫學鑒定的證據價值，能更好的理解和掌握各類證據的功能、地位與證明規則，充分認識到法醫學鑒定與各類證據的區別及其在訴訟中的證據作用，加強鑒定人科學舉證責任意識，維護法律的尊嚴和公正。

二、法醫學鑒定意見與其他證據之間的關系

法醫學鑒定意見與其他證據既有聯系又有區別，他們都屬于法定的證據形式，因而都具有客觀性、關聯性、合法性。從證據存在和表現形式上來看，法醫學鑒定意見與當事人陳述證人證言等證據都屬于能言詞證據，因而具有言詞證據共有的特點。另一方面，從法律自身的屬性來講，法醫學鑒定意見與其他證據還存在很大的區別。

（一）法醫學鑒定結論同證人證言、被害人陳述等言詞證據的主要區別

1、法律對主體的要求不同。為保證醫學鑒定的科學性，根據我國訴訟法和《司法鑒定人管理辦法》的規定，法醫學鑒定人必須具有一定的法醫學理論知識和實踐經驗，具備法醫學鑒定資格，并由公安、司法機關指派或聘請；而證人證言等言詞證據的陳述者則不要求具備任何專業知識和技能。

2、法律對證據形式的要求不同。法醫學鑒定屬于要式證據，即法律要求法醫學鑒定意見必須具備法定的格式要求，例如鑒定人在書寫鑒定書時，除了要求鑒定人和復核人簽名以外，還必須加蓋法醫學鑒定專用章，只有這樣鑒定書才具有證據效力，而證人證言等言詞證據，除了要求陳述者簽名外，沒有其他形式上的要求。

3、證據內容所體現的性質不同。法醫學鑒定屬于鑒定意見的一種，是法醫學鑒定人對案件中涉及尸體、人身、物證等的法醫學問題進行檢驗、分析后作出符合事實的科學結論，而不是對所見事實的直觀描述；但證人證言等言詞證據是陳述者對所感知或親歷事實的描述。

（二）法醫學鑒定與物證、書證、視聽資料和勘驗、檢查筆錄等實物證據的區別

1、證明方式和功能不同。物證、書證、視聽資料等實物證據都是以各種實物、形象、痕跡、符號等客觀載體和客觀存在的自然狀態、屬性為表現形式的一種證據；而法醫學鑒定是以物證等證據材料為對象，進行檢驗、分析、鑒別，最終使各類證據材料產生證據價值，因而法醫學鑒定意見具有轉化證 據的功能，而其他證據沒有這一功能。

2、檢驗結果不同。勘驗、檢查筆錄是公安、司法人員對案件有關的場所、物品、人身、尸體等進行直觀檢查、檢驗所做的客觀記錄，不加任何分析判斷；法醫學鑒定意見是在此基礎上運用法醫學知識和技能，進行科學分析和判斷而得出的意見。

法醫學鑒定意見與其他證據相互作用、相互印證，共同為查明案件真實性發揮證明作用。一方面，法醫學鑒定意見通過印證和轉化證據功能使各類證據實現證明價值；另一方面，各類證據通過證據價值的實現來輔助公安、司法人員對法醫學鑒定意見的審查判斷，使法醫學鑒定意見更真實更科學。

三、法醫學鑒定意見在訴訟中的證據價值

我國《刑事訴訟法》第48條第2款將刑事證據分為以下八種：物證；書證；證人證言；被害人陳述；犯罪嫌疑人、被告人供述和辯解；鑒定意見；勘驗、檢查、辨認、偵查實驗筆錄；視聽資料；電子數據。其中鑒定意見是指受公安司法機關指派或聘請的鑒定人，對案件中的專門性問題進行鑒定后做出的書面意見。

我國《刑法》中明確規定，公安、司法機關辦案，要“以事實為根據，以法律為準繩”，因此，對于犯罪的立案，需要有充分的事實和證據作為依據，同時我國《刑事訴訟法》也規定，用于證明案件事實的鑒定意見可以作為證據，鑒定人可以作為證人出庭作證。這些都充分證明了法醫學在刑事訴訟的立案、偵查、審查起訴、審判等各個環節中起著重要作用。

因此，法醫學鑒定意見作為刑事訴訟證據的一種，在訴訟中具有十分重要的意義，同時又是鑒定案件中其他證據是否真實的重要手段。

（一）法醫學鑒定在現場勘查中的作用

《中華人民共和國刑事刑訴法》第 126 條規定：“偵查人員對于與犯罪有關的場所、物 品、人身、尸體應當進行勘驗或者檢查。在必要的時候，可以指派或者聘請具有專門知識的人，在偵查人員的主持下進行勘驗、偵查。”在這個法條中明確了法醫在偵查作用中的合法性。法醫在偵查過程中，最基本的，也是最不可缺少的就是及時確定以下幾方面：（1）案件發生時間；（2）案件發生地點；（3）案件涉及人物；（4）案件作案方式；（5）案件性質。

法醫學如何解決這些實際問題。（1）推測損傷、死亡時間：確認死亡時間是法醫學尸體檢查的重要內容之一，特別是對兇殺案或死亡情況經過不明的案件，偵查工作要求檢查人員盡可能準確地推測死亡時間。（2）確定案件 發生地點：發現尸體的地點很大程度上并非是案發的地點。按照常理來說，案發的地點會保留更多的案件證據，給警方迅速偵查破案提供了條件。（3）辨別死者身份：在法醫學實踐中，需要驗明正身的情況是相當多的，如遇見身份不明的活體、尸體、尸骨時，便要辨明該人是誰。這種辨明身份和驗明正身的工作，即個人識別。例如對交通事故的遇難者、江河湖海的浮尸等，除按常規檢查以鑒定死亡原因和死亡時間等外，必須進行個人識別。（4）推敲兇手殺人方式：通過對尸體體傷的檢驗，能夠得出兇手所使用的 兇器種類以及作用部位。（5）確定案件性質：有時候，僅僅通過法醫的鑒定就能決定一個案件的性質。例如，法醫通過對一名上吊死者的鑒定，能夠判斷出此人是自殺還是被他人殺害后偽裝成自殺。從而影響案件性質以及公安機關的后續行動。

2、法醫學在破案中的作用——應用法醫學手段偵破案件舉例

例1：某年春節前夕，某市連續發生數起男子深夜入室強奸的案件。為此，該市公安局成立了專案小組，偵察人員雖布下了天羅地網，但罪犯狡猾多變，未能捕獲。一次，在作案 現場發現了微量“五色纖維”，經化驗后，在破案中起到了重大作用，經偵察抓住了罪犯，起初罪犯拒不認罪，經法醫化驗精斑的報告證實，罪犯低頭認罪，受到法律嚴懲。

例2：美國某地，有位久病的丈夫死后，經過醫生檢查，開了死亡證明書。舉行了宗教儀式的葬禮，尸體已火化，但是聯邦調查局接受了死者親屬對死因的懷疑起訴，于是著手清查。在骨灰無法用化學方法測定的情況下，他們采用了“中子活化分析”的新方法，使骨灰接受中子轟擊從而產生相應的輻射，由此發現死者生前曾長期受到微量砒霜毒害。在證據面前，死者的妻子不得不承認長時期地在丈夫的咖啡中下毒，待他變得衰弱時將他悶死。

可見，隨著科學的進步發展和現代科學技術手段的應用，法醫學作為偵查破案中的中堅力量，也在不斷進步，在偵查破案中的作用也日益突出。從理論到實踐，有很多實際案例都充分證明了法醫學在刑事訴訟中的王牌作用，給公、檢、法三機關有效執行各自任務提供了保障。

3、法醫學鑒定書在刑事訴訟各階段的作用

我國《刑事訴訟法》第48條規定鑒定意見可以作為證據；第145條規定，鑒定人進行鑒定后，應當寫出鑒定意見，并且簽名。鑒定人故意作虛假鑒定的，應當承擔法律責任；第146條規定，偵查機關應當將用作證據的鑒定意見告知犯罪嫌疑人、被害人。如果犯罪嫌疑人、被害人提出申請，可以補充 鑒定或者重新鑒定。可見，刑訴法的修改將以前的鑒定結論給為鑒定意見（在這里不討論修改的意義），無論怎樣稱呼，寫出鑒定結論或者稱為鑒定意見的文章就是鑒定書。法醫學鑒定書是法醫工作者對親臨現場檢驗或者將司法機關交驗的案件材料（人或物）進行檢驗鑒定后，根據檢驗、鑒定的經過和結果所寫成的書面報告。法醫學鑒定書能反應案情檢查對象、鑒定事由、科學的檢查經過與檢查結果的說明等等。它不僅是法律規定的證據之一，更是一種科學的證據。它在刑事訴訟中的價值是為偵查、起訴和審判提供科學的鑒定證據。

在偵查階段，公安偵查機關的法醫學鑒定為謀殺案件揭露犯罪，為兇殺案件提供鑒定證據，為死因不明者澄清事實，為活體進行損傷鑒定并提供偵察破案線索；在起訴階段，檢察機關的法醫鑒定書為批捕、起訴案件認定證據，為自訴案件提供證據，為公訴案件出庭作證，為醫療糾紛、控告申訴案件區別性質。例如，開庭審理時，檢察機關的法醫宣讀法醫學鑒定書，協助法庭查清事實，正確認定案件性質，這是對公訴案件的出庭作證。在案件性質區分中，對于控告申訴中涉及人身傷亡等間題，需要檢查機關的法醫運用醫學理論和技術查明死因，澄清事實與性質，及時解決矛盾，防止矛盾的激化和轉化，相對減少刑事案件的發案率，做到不枉不縱。另外，檢察機關的法醫還應該參與各級醫療事故鑒定、司法精神病鑒定等項工作，明確事故原因，分清責任，為訴訟提供科學證據。在訴訟階段，為活體的損傷程度做出正確判斷，對醫療事故鑒定提供控告證據，對所交物證進行復核鑒定，鑒定人出庭鑒定等等。法醫學鑒定書作為一種書面文件，是法醫工作者智慧的結晶，在偵查、起訴和審判各個不同階段都作為一種證據，使得這三個階段的工作能順序下去，最終完成，因此，法醫學鑒定書在偵查、起訴和審判中所起的作用是非常重要的。

（二）在民事訴訟和行政訴訟中的證據價值

法醫學鑒定意見作為法定證據的一種在民事訴訟和行政訴訟中仍然具有很重要的證據價值，其主要表現在以下幾個方面：

1、為審判人員認定案件爭議事實提供證據。例如：因監護、繼承、子女撫養發生爭議而進行的血清關系的法醫學鑒定。

2、通過對活體傷殘等級及傷殘原因、勞動能力的鑒定，為人身傷害案件（包括行政賠償案件、人身保險索賠案件和國家賠償案件）確認因果關系和賠償范圍提供證據。

3、通過尸體解剖鑒定確定死亡原因，為醫療糾紛案件的審理提供依據。

四、如何提高法醫學鑒定人的證據意識

法醫學鑒定實踐中經常會出現一些因鑒定人證據意識淡薄而表現出的問題，而且這些問題通常被鑒定機構或鑒定人所忽視，嚴重影響鑒定意見的證據價值。這些問題主要表現為（1）忽視對鑒定原始證據的審查；（2）重結果，輕程序；（3）不重視鑒定原始記錄在出庭時的證明作用；（4）對鑒定意見作為法定證據的嚴肅性認識不到位。因此，要保障鑒定結論的證據效力，法醫學鑒定人的證據意識的提高迫在眉睫。

（一）充分認識法醫學鑒定的局限性

承認法醫學鑒定的局限性，正是追求鑒定科學性的具體體現。實事求是地記錄檢驗過程，客觀真實地反映鑒定結果是司法鑒定科學性的靈魂。司法鑒定活動與科學研究活動的區別在于，鑒定的實驗檢材、比對樣本或案件信息在一定的時期通常是非常有限的，有時即使使用再尖端的設備或再高水平的專家也無法得出確切的結論。

（二）高度重視法醫學鑒定的程序性

終結論，輕程序是法醫學鑒定長期以來存在的問題。鑒定程序大致可分為三類：國家法律規定、鑒定行業規范、程序性技術標準。遵循鑒定程序是鑒定結論合法性的重要標志，也是證明鑒定客觀公正的標尺和依據。鑒定程序違法，鑒定結論必然會失去可采性，而鑒定結論若沒有可采性，其準確性就失去了意義。法醫學鑒定是為法律服務的，它必須按照法律的要求和程序進行，體現出法對法醫學鑒定程序的規范作用。培養法醫學鑒定人的程序意識，是保障鑒定質量及其證據能力的重要手段。

（三）充實法醫學鑒定工作者的法律知識

從法律角度來看，證據部分是訴訟法的核心內容之一。可以說整個訴訟過程主要是發現、收集證據和運用證據證明案件事實的過程。法醫學鑒定人才的培養不能只追求單一的“技術化”，而且還要“法律化”。因此，學習掌握證據學對從事法醫學鑒定的工作者來說具有非常重要的意義。參考文獻：

[1]王克峰.法醫法學[M].北京：中國人民公安大學出版社，2002． [2]陳世賢.法醫學[M].北京：法律出版社，2007．

[3]郭景元.法醫物證學[M].北京：中國人民公安大學出版社，2005． [4]常林.試論法醫學鑒定與案情的關系[J].法律與醫學雜志，2007（4）．

[5]朱廣友.科學證據的基本特征——兼談法醫 學鑒定意見的審查[J].中國司法鑒定，2007（5）． [6]魯滌.試論法醫學鑒定人的證據意識[J].中國司法鑒定，2010（6）．

第四篇：培訓感想--李銀鳳

ISO9001培訓感想

外貿部：李銀鳳日期：2013年10年24日

印象中在2002年就認識了ISO,當時在日企工作，公司請來了外部的老師給我們培訓，還命了內審員證書。這次學習GB/T19000-2008版培訓，可以說是一種很好的機會，學習了不少新版的質量管理系統知識。首先掌握了ISO9000的幾個重要概念，如下:

GB/T19000-2008的組成由八項質量管理原則，12項質量管理體系基礎知識，84條術語和定義，并用概念圖表達各相關術語的關系。

1、質量

質量是企業生存的基礎，質量不只是質管部門的事情，是全公司每一個人的事情，每個人都把好質量關，才能夠使產品質量提高，質量的提高必然帶來效益的提高，所以提高質量不是浪費錢，而是節約錢、創造錢的。

2、質量管理體系

質量管理體系是全面質量管理理念，是全過程的，涉及到公司所有部門，是全員參與的一個項目。全面質量管理是公司管理體系得核心，其重要的特征是“四全，一科學”。

3、標準

ISO（International Standardization Organization）是國際標準化組織的簡稱，ISO9000的總標題是“質量管理和質量保證”，是“由ISO/TC176技術委員會制定的所有國際標準”，它是在總結世界各國，特別是工業發達國家質量管理經驗的基礎上產生的，1987年頒發，1994年又作了補充修訂。我國1992年等同采用了這套標準，此后又等同采用了94版新標準。ISO9000是寶貴的軟件財富，它的核心質量管理標準和質量保證標準，現已被90多個國家采用并轉化為本國的國家標準。

其次知道了ISO9000又分四種：

ISO9001質量體系:設計、開發、生產、安裝和服務的質量保證模式。當需要證實供方設計和生產合格產品的過程控制能力時應選擇和使用此種模式的標準；

ISO9002質量體系:生產、安裝和服務的質量保證模式。當需要證實供方生產合格產品的過程控制能力時，應選擇和使用此種模式的標準；

ISO9003質量體系:最終檢驗和試驗的質量保證模式。當僅要求供方最終檢驗和試驗符合規定要求時，應選擇和使用此種模式的標準；

以上都是質量保證標準，用于供方證明其能力和外部（如客戶、第三方）對其能力進行評定。三種模式中對供方質量體系要求的多或少，反映了不同復雜

程度的產品所要求的質量保證能力不同，不應將其理解為質量保證程度的高或低。

ISO9004質量管理和質量體系要素:是用于指導組織進行質量管理和建立質量體系的。

4、PDCA

P——策劃；D——執行；C——檢查；A——處置；

5、四個凡事：

凡事有依據；凡事有證據；凡事有檢查；凡事有改進；

以上四個凡事是我們要在工作中堅持的原則，要力求凡事有依據，對工作中的任何事情要有立項審核，不能說做就做，盡量減少工作的隨意性，并凡事有證據，將所做的工作文檔化、證據化，為今后的問題定位提供有力的保證。凡事有檢查，我們的原則是事事檢查，爭取將問題消除在萌芽狀態，為下一個環節的工作提供一個完美的開始。凡事有改進，解決問題周而復始的辦法在于改進，不斷地改進我們工作方法，規避問題的發生，使我們的管理工作趨于完美，使我們要長期堅持的一個工作態度。

而我做為公司的一員，通過學習ISO9000質量體系標準，從中體會到行業的標準化對我們個人發展也是有益處的，通過執行ISO9000的標準定能規范我的工作流程與行為準則，并伴隨著公司的發展壯大而發展，也使我堅信公司會取得輝煌的戰果。在今后的工作中我將努力學習深化ISO9000標準，嚴格按照規章辦事，為公司的發展、壯大貢獻自己一份微薄的力量。

第五篇：李銀雪個人總結

工 作 總 結

（白沙鄉黨委委員、副鄉長 李銀雪）

2011年5月10日

近五年來，我始終力求做好本職工作、學習黨的理論知識、團結務實、開拓創新、堅持科學發展觀，在同志們的關心、支持和幫助下，以“服從領導、團結同志、認真學習、扎實工作”為準則，始終堅持高標準、嚴要求，在學習、思想和工作等方面取得了一定的成績。現總結如下：

一、加強學習，提高了自身素質

加強學習是提高自身素質的最好方法，是提高工作水平和能力最重要的途徑。五年來，我始終堅持把政治理論學習和業務知識學習作為重要任務來對待，以積極的態度和飽滿的熱情學習馬克思主義理論、十六、十七大精神，以及各種法律法規。通過學習提高了自身素質，加強了黨性修養，增強了公仆意識和宗旨意識，提高了自己的政治敏銳性和鑒別力。

二、拒腐防變，抓好了思想建設

思想道德素質是正確行使黨和人民賦予的權力，完成黨和人民交給的工作不可缺少的主觀條件。作為一名共產黨員領導干部，本人能夠擺正自己的位臵，認清自己的角 色，樹立正確的權力觀，堅持立黨為公，執政為民，以飽滿的精神狀態投入到全心全意為人民服務中去。我深明“政者、正也”的道理。有一腔浩然正氣，工作才能無所畏懼，在前進的路上不搖擺、不迷失、不跌倒。我在平時工作中注意樹立良好的思想作風，做“三個代表”堅定的信仰者、傳播者、實踐者，時刻保持正確的政治方向和政治立場，加強廉潔自律，在思想上筑牢拒腐防變的防線，始終保持清醒的頭腦，自尊、自重、自省、自警、自勵，在任何情況下都耐得住寂寞，守得住清貧，頂得住誘惑，經得住考驗，做到一身正氣，一塵不染。在大事大非面前，講黨性原則，是非分明，立場堅定，不信謠傳謠，思想上、政治上始終同黨中央保持高度一致。

三、恪盡職守，做好了本職工作

㈠做教師時（2006年至2007年11月）。認真求知悟教，探索素質教育真諦，大膽以寓教于樂的開放式教學方法，與學生共同吸食語文課本上的人文食糧和掌握語文基礎知識及技能，教會學生學會做人、學會學習、學會生活。2006年所教的小學六年級取得全鎮同年級第一名、三年級取得全鎮同年級第二名的成績。2007年所教的初中九年級班級語文平均分為74分，所教學生有1人考取興義八中、2人考取興義一中、4人考取興義五中。很好地完 成了各學期的教育、教學任務。

㈡當鄉長助理期間（2007年11月至2009年9月）。調到白沙后，我及時進入角色，緊緊圍繞鄉黨委、政府的各項中心工作，充分發揮作為一個鄉長助理應有的參謀助手作用。一是準確把握工作難點和重點，掌握情況，協助完善，較好地貫徹好鄉黨委、政府的決策部署。二是緊貼鄉黨委、政府的中心工作，圍繞難點問題，積極調研苗頭性、傾向性、預測性的事物和工作，努力為鄉黨委、政府領導決策提供全方位、多領域、多角度的決策意見和建議。一直努力協助鄉長工作、分管過“整臟治亂”工作、負責過黨政辦公室工作、協助過政法委書記抓黨建和人事工作、兼任過白沙社區黨支部書記等。“整臟治亂”工作方面，2007、2008全年考核均在全縣前五名以前。黨政辦公室工作方面，一是接待和會議工作多次得到州縣領導的好評；二是協調督辦好全鄉各口工作，使全鄉工作在2008和2009的績效考核中均獲得全縣第一名；三是信訪維穩工作扎實開展，沒有出現群體上訪事件；四是把黨政辦公室的幾位新同志培養成了業務骨干。黨建工作方面，積極探索和創新第三批深入學習實踐科學發展觀活動試點工作方法，為全縣開展該項活動提供了經驗。全面調研，為白沙社區做了五至十五年的發展規劃。特別 是在負責黨政辦公室工作中，我首先盡快熟悉白沙鄉的三定方案和各項規定，在實踐中深刻領會黨政辦的職責、定位和作用，樹立好大局意識、發展意識和服務意識，把握好在領導面前的參謀輔政和部門之間的協調服務的定位以及單位內部的工作領班的定位。接著狠抓班子建設，發揮團隊精神，我請鄉里懂辦公室工作的領導幫助指導，充分整合黨政辦全體人員力量，形成合力，讓辦文、辦會、辦事、接待、值班、衛生等各項工作的質量都得到提高，使鄉黨政班子成員間的分工負責、相互支持、相互補位漸成風尚，使全鄉各項工作做到忙而不亂、協調有序，辦事效率大為提高。

㈢任黨委委員、副鄉長后（2009年9月至今）。根據班子分工，我分管電力、郵政、電信、民宗、氣象、糧食、供銷等工作，主要在人口與計生工作中包鐵廠村。各項工作，我都深入群眾進行調研，跑部門協調，爭取領導支持。為全鄉多個自然村寨爭取農網改造工程13.5公里，受益群眾247戶1529人；冰災、風災時多次帶領部門工作人員檢修、搶修通信設施確保通信盡快暢通；為更好地開展白沙鄉的民族宗教工作，到各個少數民族村寨進行認真調研，組織撰寫了《白沙鄉民族宗教資源調研報 告》；到鐵廠村家家戶戶進行人口與計劃生育的宣傳工作和排查工作，以堅定的政治立場和對黨的無比忠誠開展和完成好所包村的計生工作，集中精力，團結干部職工，以宣傳教育為主，以行政措施為輔，將優質服務與落實節育措施有機結合起來，按對象就是任務的思路開展工作，落實男扎術1例、女扎術47例（其中二女結扎術4例）、上環術63例、引產術4例，征收社會撫養費6.9萬元，超額完成了各季度計劃生育工作任務，在全鄉計生隊伍中起到了很好的表率作用。

四、存在的不足和今后努力的方向

一是政治理論學習，特別是科學發展觀的學習，還有待進一步加強，與新時期、新任務的要求還有較大差距；二是綜合協調能力還有待進一步提高。

在今后的工作中，我要認真總結以往的經驗教訓，以更高的標準要求自我，不斷提升工作水平，不遺余力地投入到自己的工作中去，不辜負黨和人民的重托，力爭讓組織放心、人民滿意。