第一篇：婚禮致辭(李全銀)

各位來賓：

大家中午好！

歌聲飛揚，天賜良緣，在這個美好的日子里，我謹代表慶陽市興慶建設工程咨詢有限公司全體職工為這對新人送上最真誠、最美好的祝福！同時，對今天遠道而來的各位親朋好友、各位嘉賓致以衷心的感謝！

今天的白馬王子是我們監理公司的一名業務骨干，他英俊瀟灑、溫文爾雅；在日常工作中，踏實勤奮，任勞任怨，深受單位領導的一致好評，就是這位出類拔萃的小伙子，以他非凡的實力，打開了這位美麗姑娘愛情的心扉，他就是今天的白雪公主小姐。她溫柔可愛、美麗大方、是一個典型東方現代女性的形象代表。真可謂：天生一對，地造一雙。志同道合結連理、海枯石爛共百年，這對新人終于甜蜜攜手，共同組建了新的家庭。

從今天起，你們將成為人生旅途中的伴侶。希望你們倍加珍惜這百年修得的姻緣，恩恩愛愛，舉案齊眉，用勤勞智慧之手，創造美好的明天。希望你們事業上相互支持，相互勉勵。生活上相互關心，相敬如賓。單位上尊敬領導，團結同事。家庭中孝敬父母，恩愛甜蜜。

最后，讓我們共同祝福這對新人：婚姻甜蜜！白頭偕老！家庭幸福！歡樂永遠！

也祝愿在座的各位：身體健康，萬事如意!

第二篇：李銀畢業論文

齊 齊 哈 爾 大 學

畢業設計（論文）

題

目

用概率論的方法證明組合恒等式

學

院

理

學

院

專業班級

信息與計算科學 082

學生姓名

李 銀

指導教師

崔 繼 賢

成績

****年**月**日

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)

摘要

組合恒等式是組合數學中的一個組成部分，也是組合數學研究的一個重要內容.本文主要探討如何利用概率方法研究組合恒等式，主要從不同的角度解答同一概率問題，得到同一事件的概率兩種不同的表達形式，由其相等導出組合恒等式.通過構造概率模型，利用“必然事件的概率等于1”和“不可能事件的概率等于0”證明組合恒等式，或者利用古典概率方法證明組合恒等式，也就是在實際問題中將需要證明的組合恒等式引證出來。對于需要被證明的組合恒等式，將所構造概率模型中相關事件的概率計算出來以后，從而推導出式子兩端相等。每種論證方法中首先總的介紹這種方法是用的什么思想，然后列舉例子加以論證，使所述問題更加透徹.關鍵字：組合恒等式；概率模型； 古典概率； 數字特征

I

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)

Abstract Combinatorial identity is an important part and research field of combinatorics.This paper explores using probabilistic method to derive combinatorial identities.We count a probabilistic problem by using different ways to obtain different expresses for the question.We build a probabilistic model on a classical probability to find or prove some identities by constructing the event whose probability equals 1 or 0, that is，the

the equatin will be drawn from the concrete problems.We investigate combinatorial identities using probability properties and numeral characters of a random variable with discrete type.Each method was first demonstrated the general description of what this method is thought, and then held some examples discussed.Keywords: Combinatorial identity;probabilistic model;classical probability;numeral characters

II

目 錄

摘要............................................................................................................................I Abstract........................................................................................................................II 第1章

緒

論..........................................................................錯誤！未定義書簽。

1.1引言......................................................................................................................1 1.2課題背景............................................................................錯誤！未定義書簽。1.3實際應用方面的價值..........................................................................................2

1.4本文主要的研究內容..........................................................................................3 1.5相關工作..............................................................................................................3 第2章 運用概率論的基本理論證明組合恒等式......................................................4 2.1運用完備事件組證明組合恒等式......................................................................4 2.2運用全概率公式證明組合恒等式......................................................................7

2.3運用概率性質證明組合恒等式..........................................................................8 第3章 運用概率理論構造數學模型證明組合恒等式............................................11 3.1運用隨機變量的數字特征證明組合恒等式....................................................11 3.2運用構造概率模型證明組合恒等式................................................................18 3.3運用等概率法證明組合恒等式........................................................................22 第4章 由概率方法引申出的恒等式證明................................................................26 4.1 級數恒等式的證明............................................................................................26 4.2 初等恒等式的證明............................................................................................27 4.3級數組合恒等式的證明....................................................................................27 總結..............................................................................................................................31 參考文獻......................................................................................................................32 致謝..............................................................................................................................33

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)

第1章

緒

論

1.1引言

當前，組合恒等式無論是在中學還是大學都應用廣泛，很多問題都涉及到這方面的解法.在組合數學中，有很多類型的組合恒等式.這么多紛繁復雜的組合恒等式，我們必須尋求一種最簡便的方法使問題得以解決，查閱過很多資料，通過很多證明方法的檢驗，我們尋求除了一種組合恒等式的證明方法－組合恒等式的概率方法.對于較為簡單的組合恒等式，我們可以一步就分析出結果，稍復雜的需要我們演算一兩步達到欲求的結果，但是并不是所有的組合恒等式都是那么的簡單，有的組合恒等式很復雜，我們要深入了解，就必須通過一步步的證明、深究，證明組合恒等式的方法有很多，譬如有分類法、概率法、求導法等一系列方法證明組合恒等式.本文，我們選用利用概率方法來證明組合恒等式，我主要介紹這幾種方法：構造模型法、概率性質法、數字特征法，這些都是前人通過比較發現的較為好的方法，我們加以更好的應用，我們應當看到組合恒等式與概率二者的結合，只要把握了這一點，相信就能夠從中受益匪淺，感觸頗多.含有組合數的恒等式叫做組合恒等式.簡單的組合恒等式的化簡和證明，可以直接運用課本所學的基本組合恒等式.事實上，許多試題中出現的較復雜的組合數計算或恒等式證明，也往往運用這些基本組合恒等式，通過轉化，分解為若干個簡單的組合恒等式而加以解決.我們簡單的介紹四種組合恒等式：二項式組合恒等式、關于Catalan三角數的組合恒等式、基于格路模型的組合恒等式、由概率引起的組合恒等式.通過對一些組合恒等式的了解，我們就選用各種概率的方法加以證明它們，達到一個比較完善的效果.1.2課題背景

組合數學是以離散結構為主要研究對象的一門學科，它主要研究滿足一定條 件的組態(一種安排)的存在性、計數及構造等方面的問題.近幾年，隨著計算機科學的產生與發展，組合數學得到了迅速的發展。

概率起源于歐洲國家的一種賭博方式——擲骰子。隨著科學技術發展的迫切需要，概率論在20世紀迅速地發展起來。柯爾莫哥洛夫首次用測度理論定義了什么是概率。他的公理化方法不僅成為現代概率論的基礎，還使概率論成為嚴謹的數學分支。

由于其他學科、技術的推動，概率論得到飛速發展，理論課題不斷擴大與深

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)入，應用范圍大大拓寬。俄羅斯的彼得堡數學學派，繼承和發展了古典概率論之精華，拯救了瀕臨危機的概率論；變革和制定了一系列研究方法，振興了概率論學科；提出和創立了概率論新思想，開拓了概率論新領域。由于資料的限制、語言的困難和文化的差異使得國內外系統研究彼得堡數學學派概率思想者還甚少，有關資料相當匱乏，一些相關論述大都出現在綜合性的書籍中，傾向于按照現代數學的習慣給出一般性的解釋，且多為簡要性介紹，讀者難以了解其精髓所在。鑒于彼得堡數學學派在概率論發展史上的重要地位，本文以概率論思想為主線，通過建立概率模型,對概率思想證明恒等式方面進行了簡單的應用。

組合數學和概率論的產生都可以追溯到十七世紀，從17世紀到20世紀30年代，組合數學受到娛樂及數論、概率論、化學等學科的推動而迅速發展，得到了一般的存在定理和計數原理，如抽屜原理、容斥原理、波利亞計數定理等，還解決了一系列著名而有趣的組合學問題，如更列問題、家政問題、36軍官問題等，自20世紀以來，許多理論學科和應用學科給組合數學提出了大量的具有理論和實際意義的課題，促使了許多新理論的產生，如區組設計、組合算法等，從而解決了一系列理論上的以及與經濟發展密切相關的課題。此外證明常見的組合恒等式中概率的方法也有所應用。

1.3實際應用方面的價值

大家都知道，在證明初等恒等式的時候，如果我們采用初等方法，在一般情況下比較困難，在許多數學分支中，有很多的組合恒等式的形式通常不是顯而易見的，證明它們有一定的難度，這就會使得它們的應用受到限制。如果可以對于會有帶來很多的便利。用概率論的方法去解決一些分析學中的問題或者證明一些組合恒等式，是概率論與數理統計研究的重要方向之一，根據有關資料的例子可以看出，運用概率論的方法來證明組合恒等式，是值得我們探討的一個十分有意義的新問題。因為在運用概率論的方法證明組合恒等式時，它的思維靈活，背景生動并且容易理解，表達方式單間，并且效率高而被許多數學家所喜愛。但是要熟練掌握這種證明方法，需要掌握知識的內部聯系，而且必須了解知識的客觀背景，弄清楚知識的來龍去脈，編制知識的網絡結構，抓住問題的主要特征。如果在教學中利用好這類綜合性解題的良好教材，則可以沖發揮這種類型題材的應用。

在學習概率論中，我們首先接觸到得的是古典概型，這些概率模型的特點是所研究的樣本容量中樣本的個數是有限的，常利用排列組合方法去解決古典概型中的問題，如分配問題，伯努利概型等。對于一些離散型隨機變量，也可用排列組合方法進行討論，如超幾何分布等。反過來，可以通過構造這些特殊的概率模型，利用概率模型的性質，如概率函數的規范性，可以求解一些用常規方法難證

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)明的恒等式。有些恒等式用常用的分析方法證明是很不易的，如中學中的排列組合恒等式、或者更復雜的恒等式的證明，建立了概率模型后，通過求概率的思想，能很方便地把恒等式證明出來。

1.4本文主要的研究內容

本課題研究的內容是利用概率論的知識，巧妙地將其與組合恒等式有關的概率構造出來并對其計算，分析，同時對組合恒等式加以證明，并由此給出了組合恒等式概率論的方法證明的方法和思路。

用概率論的方法證明組合恒等式的主要思想是在證明組恒等式的時候，如果我們從概率論的角度去分析它們可以使問題變得簡單，也就是說對于需要被證明的組合恒等式，在構造構造好概率模型之后，從不同角度的角度考慮其概率或隨機變量的數字特征，在運用概率論的公式，有關性質，結論等，將所構造的模型相關事件的概率計算出來，從而可以推導出需要證明的結論，從而對于組合恒等式的證明更加即便容易掌握。

1.5相關工作

用概率論的方法證明一些關系式或者解決其他一些分析學中的問題，是概率論的研究方向之一，本篇論文就是這方面應用的結果。關于組合恒等式的證明我們通常采用的是分析學的方法，但是用概率論的方法證明一些組合恒等式卻更加的簡便。對于如何使用概率論的方法證明組合恒等式，經過本人得仔細思考，大致總結了以下幾個方法：

（1）運用完備事件組證明組合恒等式（2）運用全概率公式證明組合恒等式

（3）運用隨機變量的數字特征證明組合恒等式（4）運用構造概率模型證明組合恒等式（5）運用等概率法證明組合恒等式（6）運用概率性質證明組合恒等式

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)第2章 用概率論的基本理論證明組合恒等式

2.1 運用完備事件組證明組合恒等式

這種方法的基本思想是：我們對于一些組合恒等式，可以構造出適當的模型，并且選擇出與組合恒等式相關的隨機變量，并求出它的分布列

P{??i}?Pi(i?1,2,?,n)?

接著我們再利用完備事件組的性質?Pi?1，于是我們便達到了證明組合和恒等

i?1式的目的。

引理 設{A1,A2,?,An}構成一個完備事件組，即A1,A2,?,An互斥，nni?Ai?1??，則?P(Ai)?1。[1]

i?1n例

1證明組合恒等式：

?Ck?0kn22(m?k)Cn?k2(m?k)?C2n2m

證明

我們可以利用完備事件組的性質，構造成如下概率模型：

假設盒子里有n副大小不同的手套，現在我們從中隨機抽取2m只（2m

pk?CpCm?kk2m?2k12m?2k(C2)2m2nC(k?0,1,2,?,m)

m根據完備事件組的性質知道：

n?Pk?0k?1

于是可以得到

?Ck?0kn22(m?k)Cn?k2(m?k)?C2n2m

例

2證明組合恒等式

Cnk?1?Cnk?Cnk?1

證明

首先我們將公式變形為

CnCkkn?1?CnCk?1kn?1?1

現在我們利用完備事件組的性質，構造如下概率模型：一批貨物共n?1個，準備批發出廠.若已知其中有一個是廢品，現在從中隨機地抽取k個貨物出來?1?k ?n?1?，問廢品被抽到的概率是多少？抽出k個貨物中沒有廢品的概率又

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)是多少？

若記事件A1為“抽出k個貨物中沒有廢品”的事件，那么事件A2?A1就是“抽到k個貨物中有廢品”的事件，即A1和A2為兩個對立事件.有

P?A1??CnCkkn?1.P?A2??PA1???C1Cnk1k?1Cn?1.由于A1,A2構成完備事件組，所以，有

P?A1??P?A2??1.從而有

成立，即有

Cnk?1?Cnk?Cnk?1 成立.例

3證明組合恒等式

CmCn?CmCn0k1k?1CnkkCn?1?Cnk?1kCn?1?1

???CmCn?CmCm?Cm?n(其中m,n,k?N,k?m,k?n)

k?11k0k證明

現在我們利用完備事件組的性質，構造如下概率模型：設盒子中有m張紅色卡片和n張白色卡片，每次取出k(k?m?n)張卡片，求得到i(i?m)張卡片的概率。(i?0,1,2,??,k)

記事件Ai為“取得i張紅色卡片和k-i張白色卡片”(i?0,1,2,??,k)則A0?A1???Ak??，且A0,A1,A2,?,Ak互不相容，kk于是

1?P(?)?P(?Ai)?i?0?P(A)

ii?0k又因為P(Ai)?CmCnik?ikkCm?n這樣得出

?Ci?0imCmk?i?Cm?n

0k1k?1k?11k0kCn?CmCn???CmCn?CmCm?Cm?n 所以

Cm123nn?1?2Cn?3Cn???nCn?n2例

4證明組合恒等式

Cn

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)證明

現在我們利用完備事件組的性質，構造如下概率模型：將n個箱子排成一列，從紅黑白三種顏色的M張卡片中任取n(n?M)張卡片放到這n個箱子里，如果n張卡片中恰有一張紅色卡片，則包含的基本事件為n2n?1。

記事件Ai為“恰有n-i張白色卡片”（i?n?1），則這n?i張白色卡片放在n個箱子里共有Cnn?1種放法，而對于其他i個箱子只能放1張紅色卡片和i?1張黑色卡片，又有i種方法。所以，事件Ai包含的基本事件數為iCnn?1 于是

P(Ai)?iCnn2n?1n?1

顯然，A0,A1,A2,?,An互不相容，并且A0?A1???An??

nnin所以

1?P(?)?P(?Ai)?i?1?P(A)??i?1i?1iCnn2n?1n?1

又由于

Cnn?i?Cni

123nn?1?2Cn?3Cn???nCn?n2于是

Cn

例5 證明范德蒙（Vendermonde）恒等式

CnCm?CnCm0k1k?1??CnCm?Cn?mk0k

證明 我們首先來構造一個如下的概率模型：

設一個盒子中有n?m張不同的卡片，其中n張紅色卡片m張白色卡片，我們隨機的從中取出k張卡片并且不放回作為一組。

記隨機變量?為取出的n張卡片所包含的紅色卡片數，我們可以容易的計算出?的分布列為

P{??i}?CnCmkik?iCn?mi?0,1,2,?,min(n,k)

并且由分布列的性質我們可以得出

min(n,k)min(n,k)?P{?i?0?i}?1即

?Ci?0inCbk?i?Cn?m

kk1k?1k0k?CnCm??CnCm?Cn?m 但是當m?n時 Cnm?0 所以Cn0Cm

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)2.2 運用全概率公式證明組合恒等式

引理

設{Bn}為?的一個有限劃分，即BkBi??（k?i），（k,i?1,2,?,n.）

n?Bk?1k則?A?F?1且P(Bk)?0(k?1,2,?,n)，n，P(A)??P(Bk?1i)P(ABi)成立。

[1]

例

證明組合恒等式

Cnk?1?Cnk?1?Cnk??11?Cnk?1 證明

首先我們將公式變形為

CnCk?1kn?1?Cn?1Ck?1kn?1?Cn?1Ckn?1k?1

接著我們利用全概率公式，構造如下概率模型：

設箱子中有n?m張卡片，但是其中有一張黑色卡片，一張白色卡片，現在隨機從中抽取k張卡片（1?k?n?1）

記事件A為“抽取的k張卡片中含有黑色卡片”

事件A為“抽取的k張卡片中含有白色卡片” 則P(A)?C1CnCkn?10k,由全概率公式：

C1Cnk1k?1P(A)?P(B)P(AB)?P(B)P(AB)?Cn?1?C1Cn?1Cnk?11k?2?C1CnCn?1k0k?C1Cn?1Cnk1k?1?Cn?1kk?2Cn?1?Cn?1kk?1Cn?1由于

P?A??P?A??1 從而得出

CnCk?1kn?1?Cn?1Ck?1kn?1?Cn?1Ckn?1k?1

即

Cnk?1?Cnk?1?Cnk??11?Cnk?1

如果將上述摸卡片模型稍微需做一下改變，設箱子中有n?1張卡片，其中僅有一張黑色卡片，其余均為白色卡片，就可以證得組合加法公式：

Cnk?1?Cnk?Cnk?1

如果我們建立如下摸卡片模型：設箱子里有m張黑色卡片和n張白色卡片，現在從中隨機抽取k（0?k?m?n）張卡片，仿照此例子，利用伯努利概率公式

Pk?Cnkpkqn?k 我們可以證明組合公式

CmCn?CmCn0k1k?1???CmCn?CmCm?Cm?n

k?11k0k

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)2.3 運用概率性質證明組合恒等式

我們利用概率的性質來證明組合恒等式，這是一種方便的證明方法，而且簡單易懂，通常用“必然事件的概率等于1”和“不可能事件的概率等于0”來證明。

例1 證明組合恒等式 ?Cnk?k?k?0n?112k?2n

證明 我們構造如下概率模型：

設一個人有兩瓶牙簽，每瓶n根，每次用牙簽時，他在兩瓶中任取一瓶．然后抽出一根，使用若干次后，發現一瓶牙簽已經用完，求另一盒中還有r根牙簽的概率.如果用 A1，A2分別表示甲瓶或者乙瓶中余下r根牙簽.用 Ar 表示一瓶用完，而另一瓶中有r根的事件，則Ar?A1?A2.注意到，當發現一瓶已空時．這一瓶必定在前面已用過n次，另一瓶余下r根，從而另一瓶已用過n?r次，故共用了2n?r?1次.每次取到甲(乙)瓶的概率是12.所以

PAr?P?A1?A2??P?A1??P?A2? ?? =C21n2n?r?1??1???????2??2?2n?rnn?r?12Cn2n?r?1??1???????2??2?nn?r

?1?=C2nn?r???2?

n由于r 的取值必定是1,2,?,n之一，故?Ar為必然事件，即

r?1?n?P??Ar??1，?r?1??1?也就是 ?C2nn?r???2?r?1n2n?r?1

令k?n?r, 則k?0,1,?,n?1，?1?所以 ?Cnk?k???2?k?0n?1n?kn?1?1或?Cn?kkk?012k?2.n例2 證明組合恒等式當k?n時，齊齊哈爾大學畢業設計(論文)

kkk1?2?n?1??n2?n?1?C?1???Cn?1???????1?Cn?1???1

n?n?n????1n證明 我們建立如下概率模型：

設有k張卡片，等可能地投入n個箱子，求每一個箱子中至少有一張卡片的概率.記事件B為每一箱子中至少有一張卡片

事件Ai為第i個箱子中沒有卡片（i?1,2,?,n）則 B?A1?A2?A3???An 根據容斥原理，得

PB?P?A1?A2?A3???An???

?n?P?A???P?A1i?1i1i2?1nni1?Ai2???

??1?n??i1i2?in?1?1i1?i2??in?1kPAi1Ai2?Ain?1???1??n?1P?A1A2?An?

因為P?Ai???n?1?knk1????1??（i?1,2,?,n）

n??2????1??(對任意的i1?i2)

n??kPAi1Ai2????n?2?knk依次類推，對任意的i1?i2???in，我們有

PAi1Ai2Ai3?????3????1??n??k

PAi1Ai2?Ain?1?n?1????1??n??kk

n??P?A1A2?An???1??n??于是

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)n?i?1n1?1?P?Ai??Cn?1??n??k ?P?AiAi12?i1i2?1i1?i22?2??Cn?1??n??k

??所以1?2?n?1??n2?n?1?PB?C?1???Cn?1???????1?Cn?1??

n?n?n??????kkk1n從而 P?B??1?P?B?

kkk?1?1?2n?1????n即 P?B??1??Cn?1???Cn2?1???????1?Cnn?1?1??nnn????????????

但是由于k?n ,事件B每一箱子中至少有一張卡片為一不可能事件，故

P(B)?0,從而當k?nk時.kk1?2?n?1???? C?1???Cn2?1?????(?1)nCnn?1?1??nnn??????1n?1.1232n?1?2Cn?3Cn???nCn?2n 例3 證明組合恒等式 Cn證明 我們構造如下概率模型：

有一枚均勻的硬幣，我們重復投擲n次，求它正面向上的次數的期望。顯然，我們知道?~B(n,)，于是便得出：

2nnn1 E???kp(?i?0?k)??kCi?0kn1n()?2?kCi?0kn2n

而且 ?k???1,第k次試驗正面朝上?0,第k次試驗反面朝上nnk?1,2,?,n

所以便得到 E(?)?E(??k)?k?1n?i?0E?k?n2

?kC那么

i?0kn2n?n2

1232n?1?2Cn?3Cn???nCn?2n 整理后，得 Cn

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)第3章 運用概率理論構造數學模型證明組合恒等式

3.1 運用隨機變量的數字特征證明組合恒等式

在概率論中，我們可以討論隨機變量的數字特征，并且通過隨機變量的數學期望而進一步證明一些恒等式。而運用隨機變量的數字特征來證明組合恒等式就是我們依照需要被證明的組合恒等式的特點，然后構造出合適的隨機變量，并且利用隨機變量的數字特征的定義，性質來證明組合恒等式成立的方法，其中可以利用數學期望，數學方差等。利用數字特征法是證明組合恒等式的一種比較重要的方法，我們在了解了具體概念后就用一系列的例子加以說明并且具體闡述，從而讓我們了解到這種方法是怎樣的一種方法。

引理3.1.1

若隨機變量?的方差D(?),則D(?)=E(?2)?E2(?)引理3.1.2

伯努利概型設有服從二項分布

Ai?{??i},i?0,.1,2,?,n(其中0?p?1，n為非負整數n[1])，并有

?Ci?ninp(1?p)in?i?1[1]

k例1

證明組合恒等式

?Ck?minCk?Cn2mmn?m

證明

當m=1和m=2時，我們可以用以下證明方法： 設?~b（n，p），Pk?Cnkpkqn?k(k?0,1,2,?,n),0?p?1且p?q?1

n當m=1時：

E(?)?12n?kCk?0nknpqkn?k?np

令p=，則?kC?n2knk?1n?11n?1，也就是?Ck1Cnk?Cn 2k?1當m=2時：

nE(?)?E[?(??1)??]?E[?(??1)]?E(?)?2?k(k?1)Ck?1knknPqkn?k?np

n根據公式D(?)=E(?)?E(?)，從而得出npq?12n22?k(k?1)Ck?2?n(n?1)2n?2

令p=，則

?k(k?1)Ck?2kn?n(n?1)2n?2

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)以上兩個是特例，它的一般性情況證明如下：

運用推廣的伯努利概型和多項式分布，我們構造如下概率模型：

設一個盒子中有紅黃白三種顏色的卡片若干，每次隨機抽取一張，取后放回，這樣連續做n次，p1和p2表示每次抽取紅色卡片與黃色卡片的概率，?1和?2表示每次抽到的紅色卡片與黃色卡片的次數。于是（?1，?2）服從多項分布，其分布律為

P{?i?i,?j?j}?令p1?14,p2?12n!i!j!(n?i?j)!p1p2(1?p1?p2)ijn?i?j，則聯合分布率為：

n!i!j!(n?i?j)!?122n?1

P{?i?i,?j?j}?n?m

它的邊緣分布為：P(?2?m)?1?i?0p{?1?i,?12?m} 112n同時

?2~B(n,),P(?2?m)?Cnm()m()n?m?Cnm222

因為多項分布的邊緣分布是二項分布，從而兩式相等，也就是：

n?m

?Ci?0m?inCm?i?Cn2imn?m

k所以證得原組合恒等式?CniCkm?Cnm2n?m成立。

k?mm?1例2

證明組合恒等式

?Ci?1Ci?1i?1n?mm?n?m?1n?1

證明

我們利用隨機變量的數字特征，構造出一下概率模型：

設一個盒子中裝有n張白色卡片，m張黑色卡片，一張接一張地將卡片取出，直到取出白色卡片為止，求平均要取多少張卡片。

這是求一個隨機變量X的期望值：

記事件{X?i}={取出的前i-1張卡片全是黑色卡片}，?1(X?i)令Xi???0(X?i)?，那么

xi?ixi?

?Xi?0??Xi?0??Xi?x?1??1??0?x

i?1i?x?1

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)

i?1x?im?!由于Xi非負，所以EX??E(Xi?0)??P(Xi?1?i)??Ci?1Cmi?1n?m

但是我們可以將EX更簡單的表示形式計算出來，于是我們假設已經把所有的同時令X1表示第一張白色卡片之前的黑色卡片n?m張卡片從盒子中取出來了，張數,?,最后Xn?1表示最末一張白色卡片之后的黑色卡片張數，根據X1的定義：

X1?X2???Xn?1?m,Ex1?Ex2??Exn?!?m

n!m!(n?m)!在考慮x1,x2,?,xn?1的聯合分布為P{X1?i1,X2?i2,?,Xn?1?in?1}=中i1,i2,?,in?1是非負整數，它們的和為m。，其這是因為從盒中取出的n?m張卡片一共有(n?m)!種可能方法。而且，取出的先是i1張黑色卡片，接著是一張白色卡片，再接著是i2張黑色卡片，接著又是一張白色卡片等等，很明顯，共有n!m!種可能方式。因此，就可以得到上述式子。

于是我們可以得到：X1,X2,?,Xm?1的聯合分布是i1,i2,?,in?1的對稱函數，所以對任意n個變量求和，所得到的結果是相同的，于是我們知道xi的邊緣分布相同。從而

EXi?mn?1(i?1,2,?,n?1),EX?[1?Xi]?1?m?1mn?1?n?m?1n?1

于是我們得出

?Ci?1Ci?1i?1n?mm?n?m?1n?1

如果采用分析學的方法來證明這個組合恒等式是非常難的，所以我們采用數字特征法來證明。

nnkn例3

證明組合恒等式

?kCk?1?n2n?1，?kk?12Cn?n(n?1)2kn?2.證明

我們可以考慮下列隨機變量的數字特征.設一名籃球運動員在條件相同下向同一籃筐投籃n次，每次進球的概率為12，考慮“投進籃筐次數”這個隨機變量X的數字特征.?1,第k次投進籃筐

記 Xk???0,第k次沒有進籃筐

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)則X1、X2、X3、?、Xn獨立同為二點分布：P?Xi?1??P?Xi?0??（i?1,2,?,n）, 且X?X1?X2???Xn服從二項分布B(n,所以

EX?E(X1?X2???Xn)=?E?Xk??k?1nn1212)

?k?1P?X1?1??n2

D?X??D?X1?X2???Xn??nn?k?1D?Xk??nD?X1??n4

而

E?X??12nn?kP?Xk?0kn?k??12nnn?kCk?1knkn

?

?kCk?1n2?n

2即

?kCk?1?n2n?1

又

E?X???kP?X2k?0?k??12nn?kk?12kCn

E?X2??D?X??E?X?

2?

12nn?kk?12Ckn?n?????

即 4?2?rn2nkCn?n(n?1)2k?12kn?2

例

4證明組合恒等式

?Ck?0kmCnr?k?Cm?n

r證明 考察從由n?m個大人和n個孩子組成的家庭隊伍中選取r?1個人參加親子比賽的問題.所選r?1個人中大人的人數用X 表示，則隨機變量X服從超幾何分布，且

P?X?k??Cm?1Cnr?1kr?1?kCm?n?1（k?0,1,?,r?1）

于是

E?X??r?1?kk?0Cm?1CnCrkr?1?k ?r?1m?n?1??m?1??r?1?r?1k?1r?1?kCmCn?r?m?n?1?Cm?nk?1?m?1??r?1?kr?kCmCn?r?m?n?1?Cm?nk?0

令

?1,第k個大人被選中Xk???0,第k個大人未被選中?

P?Xk?1??r?1m?n?（k?1,2,?,m?1）

r?1m?n?1;E?Xk??P?Xk?1??, k?1,2,?,m?1.齊齊哈爾大學畢業設計(論文)?

X?X1?X2???Xm?1

?

E?X???E?X???P?Xkk?1k?1nm?1m?1k?1???r?1??m?1?m?n?1k

例

5證明組合恒等式

?k?1Cn?1/Cm?n?1?k?1m?nm(m?1)

證明 一個盒子中裝有m張白色卡片n張黑色卡片，我們進行連續不放回地抽取卡片，直至摸到白色卡片時為止，下面考察取黑色卡片數的數學期望.設隨機變量?表示取黑色卡片數

?1,前（i-1）次都是取到的黑色卡?i???0,前（i-1）次至少取到白色卡片n片，第i次也取到黑色卡片一次，或第i次取到白色卡片其中i?1,2，?，n則

????i?1i

又

p??i?1??n(n?1)??n?i?1??m?n??m?n?1???m?n?i?1?

且

E?i?p??i?1? 于是我們得出

nniE????E?i?1???m?n??m?n?1???m?n?i?1?i?1n?n?1???n?i?1?n?m?n??m?n??m?n?1??m?n???m?3??m?2??m?n???m?2??m?1?nn?n?1?n?n?1??4n?n?1??4?3??m?1??2????????m?n??m?n??m?n?1??m?n???m?4??m?n???m?3??m?1?nn?n?1?n?n?1??5n?n?1??4??m?1??3????????m?n??m?n??m?n?1??m?n???m?5??m?n???m?4??m?1?nn?n?1??????m?n??m?n??m?1??nm?1?n?n?1????n?n?1??3?2?n?n?1??3?2?1?化簡時，每一次只將最后兩項通分?k個?????????

同時，???k???黑，黑，?黑，白??????? 其中k?0,1,2,?,n.k?1??k?1?.則p???k??Cnk?m/Cm?n

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)從而

E????k?p??k?0nk?1n?1k?1n?k??kn?K?Ck?1kn?m/?k?1??Ck?1m?n?m?n?Cn?1/?m?n??C?m?n??1k?1k?1n?k?1??1

?Cm?nmn/Cm?n?1n 由E?的唯一性知：nmnm?n?k?1Cn?1/Cm?n?1?k?1knm?1

k整理即得：?Cnk??11/Cm??n?1k?1m?nm?m?1?n.例6

證明組合和恒等式

?k?2k?0k?C2n?k??2n?1??C2n?2nn2n

證明

首先，我們構造如下概率模型：

設某人有兩瓶牙簽，每一瓶都有n根，每次用牙簽的時候，他在兩盒中任取一盒，然后抽出一根適用若干次后，發現一瓶牙簽已經用完，求另一瓶中有k根牙簽的概率。

如果用 A1，A2分別表示甲或乙瓶中余下 k根牙簽.用 Ar 表示一盒用完，而另一盒中有 k根的事件，則Ar?A1?A2.注意到，當發現一盒已空時． 這一盒必定在前面已用過 n次，另一盒余下k根，從而另一盒已用過n—k 次，故共用了2 n —k +1 次.每次取到甲(乙)瓶的概率是

12.所以

PAr?P?A1?A2??P?A1??P?A2? ???1??1?

=C2nn?r?????2?2??2?1nn?r?1??1?n?C2n?r?????2?2??2?1nn?r

=C于是我們得出：

n2n?r?1????2?2n?r

p???k??C2n?kn?1?????2?2n?k,k?0,1,2,?,n.下面用不同的方法計算隨機變量?的期望值.齊齊哈爾大學畢業設計(論文)

2n?k根據定義：E??122n?k?p??k?0nn?k??n?k?Ck?0n2n?k?1?????2?

=?K?2k?0kn?C2n?k

另一方面，設E??u，由?p???k??1知：

k?0nnnn?u?n??p???k??k?0?K?P??k?0n?1k?0?K??K???n?k??P??k?0n?k???1?????2???n?k??P??2n?k????n?k??Ck?0n?1n?k2n?k???n?k??Ck?0n?1n?1n?k2n?k?1?????2?2n?k??????2n?k??Ck?0n?1k?0n?k?12n?k?1?1????2?2n?k?1?1?????2???2n?k??p??2n?122n?12?k?1??112n?1?p??k?0n?1?k?1??2k?0??k?1??p???k?1??1?p???0????/2

2n?122n移項整理得：E???2n?1??p???0??1?由E?的唯一性知：n?C2n?1

nn122nn?k?0k?2?C2n?k?kn2n?122nC2n?1

整理即得：?k?2k?C2nn?k??2n?1??C2nn?22n

k?0n?1例7 證明組合恒等式 ?k(k?1)(n?k)?2Cn4?1

k?2證明 我們構造如下概率模型：

設有n張撲克牌，其中只有3張是K,我們將撲克牌洗一遍之后再從中隨機不放回抽取，直到抽取到第二張K為止，此時抽出的紙牌數為?，求它的期望。

首先我們先需要計算出?的分布列，按照古典概率的計算：

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)P(??k)?3!(n?3)!(k?1)(n?k)n!?6(k?1)(n?k)n(n?1)(n?2),k?2,3,?,n?1

然后根據數學期望的定義我們可以得出：

n?1E???kp(?k?2?k)?k(k?1)(n?k)? ?n(n?1)(n?2)k?26n?1另外，我們假設從最低下開始一張一張地翻牌，直到抽取到第二張K出現為止，此時抽出的紙牌數目為?，由對稱性可知，?與?有相同的分布列，于是也有相同的數學期望，即E??E?,而且它們有關系：????n?1 對這個式子兩邊求期望：E??E??n?1 所以E??n?12然后將其帶入?式可得

n?1?k(k?1)(n?k)?2C

4n?1k?23.2 運用構造概率模型證明組合恒等式

運用構造概率模型證明組合和恒等式大體上分為兩步：

n 第一步，將待證明的組合恒等式改寫為?Pi?1的形式；

i?1 第二步，通過構造出合適的概率模型，使得完備事件組Ai(i?1,2,?,n)互斥，n并且?Ai??，同時P(Ai)?pi(i?1,2,?,n)。

i?1 其中第一步需要掌握靈活的恒等式變形能力，以及敏銳的觀察力，而要完成關鍵的第二步，必須對于古典概率問題有深刻的理解，還要把握許多的綜合條件，同時具有豐富的聯想能力。由于證明中的關鍵是對隨機事件概率的逆過程的求解——我們需要由Pk去尋找Ak,故在思考過程中起主導作用的是發散性思維，創造性思維。

例1 證明組合恒等式 Cnk?1?Cnk?1?Cnk??11?Cnk?1 證明 首先我們將公式變形為

CnCk?1kn?1?Cn?1Ck?1kn?1?Cn?1Ckn?1k?1

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)接下來，我們構造這樣的概率模型：

一個盒子里裝有n?1張卡片，其中有一張紅色卡片，一張黑色卡片，n?1張白色卡片，現隨機地從盒子中抽取k張卡片.設事件A為k張卡片中有紅色卡片的事件，事件A的逆事件記為A.則 P?A??C1CnC1k?1kn?1;

設事件B為k張卡片中有黑色卡片的事件，事件B的逆事件記為B,由事件間的關系有

A?A?B?B??AB?AB.從而 P?A??P?AB?AB?

?P?AB??P?AB? 所以 P?A??C1C1Cn?1Ckn?101k?1?C1C1Cn?1CCnkn?100k.k?1k由對立事件和得性質P?A??P?A??1.可得

k?1kCn?1?Cn?1Cn?1?Cn?1Cn?1kk?1

從而 Cnk?1?Cnk?1?Cnk??11?Cnk?1

例2 證明組合恒等式 1?Cn?mC1n?11?Cn?m?Cn?m?1C1n?111?C1n?2??Cn?m?C3C2C1C1n?11111?C1m?1C1m?nm.證明 我們首先將公式變形為 CmCn11?CmCn?mCnCn?11111?CmCn?mCn?m?1CnCn?1Cn?2111111???CmCn?m?C3C2C1CnCn?1?Cm?1Cm111111111?1

接下來，我們構造這樣的概率模型：

一個盒子中中裝有n張卡片，其中有m張紅色卡片，現在從中連續取出卡片并且不放回，求取得紅色卡片的概率。

記事件A為取得紅色卡片，事件Ai為第i次取得紅色卡片 于是我們得到 A=A1??A1A2???A1A2A3?????A1A2?An?m?An?m?1? 由加法公式、乘法公式及條件概率的定義，得

P?A??CmC1n1?Cn?mC1n1?CmC1n?11???Cn?mC1n1?Cn?m?1C1n?11??C1C11m?1?CmC1m1

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)顯然，只要逐個取卡片，早晚是要取得紅色卡片的.即事件A為一必然事件，故P(A)?1.所以1?Cn?mCn?111?Cn?m?Cn?m?1Cn?1?Cn?21111??Cn?m?C3C2C1Cn?1?Cm?1Cm1111111?nm.古典概率與組合數有著十分密切的聯系，某些組合式本身或稍加整理，就具有某種明顯的概率意義.例如

CmCn?mCrnkr?k就可視為下面概率問題的解：“某盒中有n個球，其中有紅球m個，今從盒中任取 r個球，求恰有k個紅球的概率”，基于這一點，對某些組合恒等式，我們可采用古典概率的方法來證明.n?kkn例3 證明組合恒等式 ?CmCr?k?Cm?r?1 ?n?m? ?kk?0n證明 我們構造如下古典模型：

一個城市的道路是經緯均勻網狀，李某的家庭住址和上班地點恰好分別處于兩個交叉點.以李某的家庭住址所在的兩條路為坐標軸、交叉點為坐標原點，建立直角坐標系，并使李某的上班地點處于坐標系第一象限之中.設李某的上班地點位于點(m?n?r?1,n).考慮李某從家庭住址到上班地點走過的路最短時所選擇的路徑問題，（即在以(0,0)、(0,n)、(m?n?r?1,n)、(m?n?r?1,0)為頂點的矩形內，李某從住處到單位上班沿與X軸平行的方向行走時只能向左拐，沿與Y軸平行的方向行走時只能向右拐）.易知，李某從家庭住址到上班地點走過的路最短所選擇經過的路徑共有Cm?r?1種不同方式.n記Ak表示事件“李某經過端點為(r,k)和(r?1,k)的路徑數”

Ak所包含的基本事件個數為:從(0,0)點到(r,k)點走過的路徑數乘以從(r?1,k)點到(m?n?r?1,n)點的路徑條數.n?kkn?k?Cr?kCm?k 即為 Crk?kCm?n?r?1?(r?1)?n?k? P?Ak??Cr?kCm?kCnm?r?1kn?k（k?1,2,?,n）

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)由Ak的定義知，A0、A1、?Ar構成一個完備事件組.?r? ? 1?P?A??k????k?0?n?P?A???kk?0k?0rrCr?kCm?kCnm?r?1kn?k

n?kn上式整理得： ?Crk?kCm?Cm?r?1 ?kk?0令m?n得： Cr0?Cr1???Crn?n?Crn?n?1

n例4 證明組合恒等式 Cnn?r?1??Ci?0n?in?i?r?2

證明 我們構造如下古典概率模型：

設將n張相同的卡片放到r個不同的盒子中，把這一實驗結果作為一個向量(x1,x2,?,xr)，其中xi表示被分到第i個盒子中的卡片數，于是滿足 x1?x2???xr?n(?)的向量(x1,x2,?,xr)的個數。

考慮n張白色卡片與r?1張黑色卡片組成的排列，將每一個這樣的排列與(?)式按照下面的方式對應起來：使x1等于排列中第一張黑色卡片左邊的白色卡片的張數，x2等于第二張黑色卡片間白色卡片的張數，如此繼續到xr，它等于最后一張黑色卡片右邊的白色卡片的張數。很容易得到n張白色卡片與r?1張黑色卡片的所有排列與方程(?)的全體解一一對應，由于排列共有

(n?r?1)!n!(r?1)!n?Cnn?r?1個，即解也有Cnn?r?1個，所以得到Cnn?r?1??Ci?0n?in?i?r?2

或者還可以如下：我們很明顯看出x1可取0,1,2,?,n的n?1個值，x2,?,xr可以組成一個r?1維向量(x2,?,xr)

令A0：當x1=0時，(x2,?,xr)的解的個數為Cnn??rn?

2;?;

An：當x1=n時，(x2,?,xr)的解的個數為Cnn?r?2

nn?Ci?0n?in?i?r?2由于 ?P(Ai)?i?0Cn?r?121

n?1

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)所以得到 Cnnn?r?1??Ci?0n?in?i?r?2

r例5 證明組合恒等式 Crr?m??Cj?0jm?j?1

?1r證明 之前的例子我們證明過這樣一個組合恒等式：Cnr?Cnr??Cn?1 1這個需要被證明的組合恒等式實際就是該組合恒等式的推廣，于是我們建立如下古典概率模型：

現在將m?r張卡片從1進行編號，并從中抽取r張卡片作為一組，用n來表示1,2,?,n號都被選出而n?1號未被選出的最大值，如1號未被選出那么n?0.若1號選上了而2號未被選上，則n?1，如此等等，令n?i，不同組的卡片數顯然等于從編號為i?2,i?3,?,i?m的卡片中抽出r?i張卡片的選法總數。于是

rn?i的組有Cr?im?r?i?1個，因此總數Crm?r滿足Crrm?r??Ci?0r?im?r?i?1

我們令j?r?i得 Crr?m??Cj?0jm?j?1

3.3運用等概率法證明組合恒等式

我們從不同的角度解答同一個概率問題，就可以得到同一事件的概率兩種不同的表達形式，并且由它們相等來證明組合恒等式。在概率問題中，我們往往不能局限在一種思維，其實可以用多角度的思想去解答，這樣也會給證明帶來便利。

1nn???Cn?2 例1 證明Cn0?Cn證明 這是一個重要的組合恒等式, 這里用概率的思想證明.為此我們構造如下概率模型：

“某人投籃命中率，現獨立地重復投籃了n次，問投進的概率是多

21少？”

記事件Ak為投籃n次投進了k次（k?1,2?,n）, 于是問題是求P?A1?A2???An?.由于A1,A2,A3?An兩兩互斥，得

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)P?A1?A2???An???P?A?

kk?1n1??1? =?Cnk??????2??2?k?1nkn?kn??k?1Cn2nk

又因A1?A2???An的對立事件是A1?A2?An，問題可以轉化為求1?PA1?A2?An，而 ?? P?A1?A2?An??Cn2n0

Cn2n01?PA1?A2?An?1???

1nn???Cn?2.即Cn0?Cn1例2 證明組合恒等式 ?Cn0???Cn?????Cnn??C2nn

222證明 根據組合式的性質.Cnr?Cnn?r, 原式左邊可變形為：

CnCn?CnCn0n1n?1???CnCn?C2nn0n

兩端同除以C2nn，得：

CnCnC2nn0n?CnCnC2nnkn?1???CnCnC2nnn0?1

我們來觀察上面這個式子式的概率意義，可以構造下面的模型：

“一盒子里有2n張卡片，其中n張白色卡片n張紅色卡片，今從中任取n張卡片，求至少有一張紅色卡片的概率.”

記事件A為抽得的n個球中至少有一張紅色卡片；

事件Ai為抽得的n個球中恰有i張紅色卡片

則 P?Ai??CnCnCn2nin?i（i?1,2?,n）

而 A?A1?A2???An 且 Ai?Aj?? ?i?j? 根據有限可加性，得

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)P?A??P?A1??P?A2????P?An? ?CnCnC2nn1n?1?CnCnC2nn2n?2???CnCnC2nnn0

另一方面 A?{ 抽得的 n 張卡片都是白色卡片 } 而 P?A??CnCnCn2n0n

CnCnC2nn0n于是

P?A??1?PA?1???

所以 CnCnCn2n1n?1?CnCnCn2n2n?2??CnCnCn2nn0?1?CnCnCn0nn2n CnCn?CnCn2001n?1???CnCn?C2n2n01即 ?Cn0???Cn?????Cnn??C2nn

2m例3 證明組合恒等式 ?CniCnm??ii?Cnm?2m

i?0證明 我們構造以下概率模型：

設箱子中有n付大小不同的手套，現在我們隨機從中取出m只，計算取出的手套全不配對的概率.把從2n只手套中取出m只不同手套的組合作為樣本點，則樣本點總數為C2nm.記事件A為取出的m只手套全不配對，接下來計算P(A).方法一 A發生要求m只手套必須取自于不同型號種類的手套，而手套的種類有n種，因而m只手套可有n種可供選取，共有Cnm個選取種數.同時，在每一

1種類型號的手套中又有“左”、“右”兩只手套可選擇，有C2種取法，這樣，取11??C（出m只手套共有C2m個）種取法.綜合上述，A的基本事件數目為Cnm?2m，2則P?A??Cnm?2m/C2mn.方法二 令Ai?取出的m只手套中含有i個“左”只手套，i?0,1,?m.顯然

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)A??Ai 且 AiAj??（i?j)則 P?A??i?0m?P?A?.又因為A中的i只“左”

imii?0手套可有n種“左”手套可供選取，共有Cni種取法.其余另外的m?i只手套全是“右”手套，為了使得取出的m只手套全不配對，那么，這n?i只“右”手套只能在剩下的n?i種型號的手套所對應的n?i“右”手套中選取，共有Cnm??ii種取法.于是，由乘法原理可得，Ai的基本事件數目為CniCnm??ii（i?0,1,2?m）那么

P?Aii??Cim?nCn?i/Cm2n mm由此可得 P?A???P?A?im?ii??CnCn?i/Cm2n

i?0i?0綜合上述可得組合恒等式:

m?Cim?imnCn?i?Cn?2m i?0n例4 證明組合恒等式 ?Cin?iaCb?Cna?b?Cnb

i?1證明 我們構造如下的概率模型：

設一個盒子中有a張黑色卡片，b張白色卡片，我們現在從中隨機抽取

(n?min(a,b))張卡片，求所取的卡片中至少有一張黑色卡片的概率。

記事件A為任取的n張卡片中至少有一張黑色卡片；

事件Ai為任取的n張卡片中至少有一張黑色卡片（i?1,2,?,n）

nn那么A1,A2,?,An是互不相容事件并且?Ai??，則?P(Ai)?1

i?1i?1in?i而

P(AaCbi)?Cn(iC?1,2,?,n)

a?bni?in?CaCnb于是

P(A)??P(A)?i?1in

i?1Ca?b記事件A為任取的n張卡片中沒有黑色卡片

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)

n則

P(A)?CbCna?b

Cbnn那么

P(A)?1?P(A)?1?nCa?b

所以我們得到

?Ci?1iaCbn?iCna?b?1?CbCnna?b

n整理可得

?Ci?1iaCbn?i?Ca?b?Cbnn

第4章 由概率論方法引申出的恒等式證明

4.1 級數恒等式的證明

?例 證明級數恒等式 ?n?1n(n?1)!?1

證明 我們建立如下概率模型：

設有一個盒子，里面裝有黑色卡片和白色卡片，設其為事件A，其中白色卡片一張，黑色卡片無數張，則事件A只包含兩個基本事件摸出為黑色卡片（設為事件B）和摸出白色卡片（設為事件C）的隨機試驗，我們進行有放回的隨機抽取卡片，并且為獨立重復n次試驗，則在第k次試驗中，B出現的概率P(k)，不出現的概率為Q(k)，則Q(k)?1?P(k)。

現令T(n)表示在n次獨立試驗中B首次出現在第n次試驗中的概率，于是有T(1)?P(1)，T(2)?Q(1)P(2)，??，T(n)?Q(1)Q(2)??Q(n?1)P(n), 令P(N)??T(n)，?(N)??Q(n)，則有P(N)??(N)?1。

n?1n?1NN取P(n)?nn?1，則?(N)??Q(n)??n?1NNn?1NNN1n?1n，N故P(N)??(N)??T(n)??Q(n)??n?1Nn?1n?1（n?1）!???n?11n?1?1

由于N??，lim?1n?1N??n?1?0，所以有?n?1n(n?1)!?1，齊齊哈爾大學畢業設計(論文)4.2 初等組合恒等式的證明

例

證明下面兩個組合恒等式

?1(1)Cnr?Cnr?1?Cnr?1

其中n,r,s,?N

(2)Cns?1?Cn?1?Cn?2????Cs 其中n,r,s,?N sss證明

(1)我們建立如下概率模型：

設一個盒子中裝有n張卡片,其中僅有一張紅色卡片，現從盒子中取出r張卡片，則有Cnr種取法。于是我們可將這Cnr種取法分為兩類：一類是包含紅色卡片的，取定了那個紅色卡片之外，還需在剩下的n?1張卡片中取出r?1張卡片來，?1共有C11Cnr?種取法；另一類是不含紅色卡片，應在除去紅色卡片后的n?1張卡片1中取出r張卡片，因此共有C10Cnr?1種取法，并且這兩類取法之和即為取法總數，即Cnr種取法。所以有

Cn?C1Cn?1?C1Cn?1?Cn?1?Cn?1，故(1)式得證。

下面證(2)式：

對(2)式作變換：令r?s?1有

Cns?1r1r?10rr?1r?Cn?1?Cn?1

s?1ss?1s再令n?n?1有

Cn?1?Cn?2?Cn?2

以此類推…

Cs?2?Cs?1?Cs?1?Cs?Cs?1

s?1sss把上面的式子左右各相加，化簡有 Cn?Cn?1?Cn?2?......?Cs。

s?1s?1s?1sss(2)式得證。

4.3 級數組合恒等式的證明

例

證明下面的級數組合恒等式

ki?0(1)?CCimk?in?Ckn?mki?0

(2)?CC?Ciminnn?mki?0

(3)?CnCn?ii(2n)!(n!)2

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??0當1?r?nn?kkr?(?1)C(n?k)?當r?n(4)?n!nk?0?n(n?1)?n!當r?n+1?2證明

(1)我們構造如下概率模型：

設一個盒子中有n張白色卡片和m張黑色卡片，我們現從中隨機地取出k張卡片，考慮取出的k張卡片中有i張白色卡片的事件Ai(i=0，1，?，k)的概率，于是可得

P?Ai???A0,A1，??，AkkkCmCnCik?ikn?m，i?0,1,2??????k，是互不相容的事件，且這k?1個事件之并是必然事件，即UAi??，則?P(Ai)?P(?)?1，i?0i?0k于是?CmCnkik?iki?0i?0Cn?m?1，即?CmCnik?i?Cn?m.k(2)令k?n，由式(1)可得式(2)；(3)令n?m，由式(2)可得式(3)。(4)欲證此等式，首先引入一個引理

引理：設隨機事件A1，A2,??????,An滿足

P(Ai)?p1,(i?1??n)

P(Ai1Ai2)?p2,(1?i1?i2?n)

P(Ai1Ai2Ai3)?p3,(1?i1?i2?i3?n)

??，P(A1A2??An)?pn，nk?1nk?1則有P(?Ak)??(?1)k?1CnP(k)

（1）

k為了證明本式，我們建立如下概率模型：

從1到n這n個自然數中每次任取一數，有放回地抽取r次，令Ai={取出的r個

齊齊哈爾大學畢業設計(論文)數均不等于i，i?1，2，??，n則

pk?P(Ai1Ai2??????Aik)?(nk?1nk?1n?knk?1),(1?i1?i2????ik?n,k?1,2??n)

n?knr則由(1)式P(?Ak)??(?1)Cn(k)，（2）

nr當1?r?n時，必存在i使得取出的r個數均不等于i，因此?Ai是必然事件，于

i?1是，由(2)式有

n?(?1)k?1k?1C(knn?kn_r)?P(?Ai)?1?C，即

?(?1k)?1Cnkn(?k)?，0

rni?10nnk?1① 當r?n時，Ai={取出的n個數中至少有一個等于i}，i = 1,2,?,n，于是，n?Ai?{取出的n個數均不相同}，由[7]知其概率為i?1n!nn，從而有

n!nnni?1ni?1P(UAi)?1?P(?Ai)?1?n

kkr(?k)?n!把上式代入(2)式整理可得

?(?1)Cnnk?0ni?1ni?1② 當r?n?1時，則?Ai?{取出的n?1個數恰有兩個數相同}，其概率P(?Ai)，n于是得出可知 P(?Ai)?i?1n!nnn?1Cn?1，2n!2P(UA)?1?P?(A?)?1C從而有

iin?1 n?1i?1i?1nnnk?o代入(2)式整理可得?(?1)Cn(n?k)?n!Cn?1?kkr2n(n?1)2n!

③ 當r?0時，考慮隨機試驗：從大于n的自然數中任取一數，令Ai={取出的數大于i}，i =1,?,n，則顯然

pk?P(Ai1Ai2??Aik)?1,(1?i1?i2????ik?n,k?1.2.?.n)

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kk且?P(UAi)?1?C，代入(1)式整理可得?(?1)Cn?0，k?oi?10nnnnk?o??0當1?r?nn?kkr當r?n所以有 ?(?1)Cn(n?k)??n!

k?0綜上所述，證明完畢。

??n(n?1)?2n!當r?n+130

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總 結

本文通過概率理論給出了證明組合恒等式的方法，主要應用了概率論中的古典概率，完備事件，互不相容，基本事件總數等相關知識。其主要思想是針對所要證明的組合恒等式構造出適當的概率模型，求出該模型中有關事件的概率。而構造概率模型來證明組合恒等式的基本方法是：首先根據需要被證明的組合恒等式特點建立相對應的概率模型；然后在概率模型中分析思考問題。然后根據概率的一些性質，推出應有的結論。組合恒等式的證明方法有很多，而用概率論的方法來證明組合恒等式不僅提供了組合恒等式的不同證明途徑，而且有助于加深我們對概率論基礎知識的理解和掌握。

本文主要研究了如何運用概率論的方法證明一些組合恒等式，一共分為三章：

第一章緒論中，簡單介紹了概率論方法研究的背景和發展狀況，自然引出了需要研究的問題；

第二章主要介紹如何運用概率論的基本理論來證明組合恒等式； 第三章主要介紹如何運用概率理論構造數學模型；來證明組合恒等式； 第四章針對前面的證明方法進行推廣證明一些其他的恒等式，以便于更加深刻理解這種用概率理論證明恒等式的好處。

組合恒等式的證明問題通常需要超高的技巧，有意識的積累一些組合恒等式的證明方法是很有益的。特別是運用概率論的方法證明，構造出適當的概率模型加以說明和解釋則非常有助于恒等式的記憶，理解與運用。

通過對本文的深入研究，不但使我對于概率論的方法證明組合恒等式有了更深一步了解，而且了解概率論在科學研究和實際生活中的很多應用，這更堅定了我努力研究數學知識并將這些知識應用于生活中的決心。

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參考文獻

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致 謝

我要感謝我的導師崔繼賢老師，他為人隨和熱情，治學嚴謹細心。在閑聊中他總是能像知心朋友一樣鼓勵我，在論文的寫作和措辭方面他總會以“專業標準” 嚴格要求我，從選題定題開始，一直到論文最后的反復修改，潤色，崔老師始終認真負責地給與我深刻而細致地指導，幫助我開拓研究思路，熱心點撥，熱忱鼓勵。正是崔老師的無私幫助與熱忱鼓勵，我的畢業論文才能夠得以順利完成，再次謝謝崔老師。

然后還要感謝大學四年來所有的老師，為我打下數學專業知識的基礎，感謝李學院和我的母校——齊齊哈爾大學四年來對我的大力栽培。

最后我要感謝我四年的大學同學，感謝我的家人和那些永遠忘不了的朋友，他們的支持與情感，是我永遠的財富

第三篇：李旭杰婚禮領導致辭

李旭杰婚禮致辭

尊敬的各位來賓，女士們、先生們：

在這個浪漫溫馨、吉慶祥和的日子里，我們歡聚一堂，為李旭杰、陶世禎兩位新人舉行婚禮，請允許我代表沙井驛街道全體干部職工向兩位新人表示熱烈的祝賀和衷心的祝福，向前來參加婚禮的各位來賓和朋友表示誠摯的謝意！

今天，能夠和各位來賓共同見證這美好的時刻，分享兩位新人的幸福甜蜜，我感到非常高興，也非常榮幸。李旭杰在沙井驛街道黨政辦工作，自參加工作以來，認真學習，勤奮工作，尊敬領導，團結同事，受到了街道領導的充分肯定和同志們的廣泛贊揚。作為單位領導，看到李旭杰找到了一位同樣優秀善良、溫柔美麗的同事陶世禎作為愛人和伴侶，攜手人生，共結連理，在高興之余我更感到非常欣慰。

千里姻緣一線牽，百年修得同船渡。李旭杰家在甘肅平涼市，陶世禎家在蘭州市安寧區，相距近千里之遙，兩人因為同事能夠相識、相知、相戀，直到今天走進婚姻的殿堂，可以說是天作之合促成了這段美好的姻緣，美好的姻緣寫就了這段感人的佳話。希望你們珍惜這份緣分，永結同心，恩愛百年！

婚姻既是愛情的升華，更是責任的開始，是人生的重要篇章，也是走向社會的重要一步。今天，你們在所有來賓的見證下，共同組建了新的家庭，在今后的人生道路上，就要肩負起這份愛的責任，互幫互助，攜手共進，共同面對人生的喜怒哀樂，共同分擔生活的酸甜苦辣。把戀愛時期的浪漫和激情，在婚姻現實和物質生活中，一直保留到永遠。要互相包容、互相理解、互相關心，孝敬雙方父母，團結雙方親人，把自己的小家打造成溫馨幸福的港灣，同時為雙方的大家庭增添和諧和歡樂。以工作上的進步、事業上的成功、生活上的幸福報答各位長輩和親朋的厚愛。

最后，讓我們共同祝福兩位新人百年好合，婚姻幸福。祝各位來賓身體健康，萬事如意，吉祥滿堂！謝謝大家！

第四篇：婚禮致辭

尊敬的各位來賓，各位親朋大家中午好！

今天，風和日麗、喜氣盈門，在這個大好日子，我兒子XX和兒媳XX喜結良緣，攜手走進婚姻的殿堂，即將開始他們的幸福生活，身為父母我們感到十分高興。

大家在百忙之中抽出時間，共同齊聚這里為兩個孩子的婚事祝福、慶賀。你們的光臨給今天的新婚喜宴增添了光彩，使婚禮宴廳貴賓滿堂、蓬蓽生輝。為此，我代表全家及兒子兒媳向各位親朋好友表示熱烈歡迎和衷心的感謝。

在這里我要對兩個孩子說：結婚是人生一件大喜事，標志著從此你們成家立業了，從今天起你們的人生又樹立了一個新的里程碑，我衷心希望兒子兒媳在新的里程碑面前有新的打算、新的起點。在今后相濡以沫的日子里，相互多一些寬容和厚愛，少一些埋怨和爭吵。你們未來的生活道路是非常美好的，愛情基礎也很深厚，但是在長期的共同生活中，難免會出現磕磕碰碰，希望你們用純真的愛情做橋梁，用理解和寬容去化解，只有這樣，在寒冷的冬天也會變成溫暖的春天，喧囂的家庭就會變成寧靜的港灣。希望你們互相支持、互相理解、互相配合，共同達到互敬互愛、互幫互助、互慰互勉。希望你們在家庭中尊老愛幼、孝敬父母；在工作中互相支持、百尺竿頭、更近一步；在社會中，與人為善、和睦相處。我們老人的最大心愿是希望你們和和美美、恩愛百年，攜起手來，用你們的勤勞和智慧共創美好的未來。

最后，祝愿各位來賓身體健康、合家歡樂、工作順利、萬事如意。祝愿大家在今天的喜宴上吃得舒心、喝得痛快、玩得高興。

謝謝大家！

第五篇：婚禮致辭

致辭

（注意：向來賓鞠躬）

尊敬的各位領導、各位來賓、各位親朋，女士們、先生們：

大家中午好！

秋去冬來，喜事連連。在舉國上下歡度“中秋”“國慶”盛大節日之后、喜迎黨的“十八大”勝利召開之際，我的女兒和女婿旅游結婚啦，今天在這里隆重舉行答謝宴會。大家不辭辛勞，大駕光臨，歡聚一堂，共同祝賀我的女兒和女婿喜結良緣，我非常地高興和激動。為此，我謹代表女兒、女婿的雙方父母及他們本人，向出席今天答謝宴會的各位領導、各位來賓、各位親朋表示最誠摯的歡迎和衷心的感謝！

結婚是人生的大事，子女結婚也是父母的大事。在這美好而重要的時候，我要對女兒、女婿說：祝愿你們夫妻恩愛、婚姻幸福！從今以后，無論貧困還是富有，無論健康還是疾病，無論順利還是挫折，無論年青還是變老，都要相敬如賓，相愛一生。在工作中互相支持，在生活中互相照顧，在人生的征途中心心相印，比翼雙飛！我也要對女兒、女婿說：希望你們任何時候都要擁有一顆感恩的心，不要忘記關心、幫助和支持你們成長的各位領導、各位長輩、各位老師、各位親朋、各位同仁，做到尊敬領導、團結同志、幫助他人、惦記親朋、孝順父母、努力工作、瀟灑生活。我還要對我的女兒、女婿說：你們結婚了，意味著你們的父母漸漸老啦，愿你們撐起一片藍天，開創新的時代，常回家看看那漸漸老去的父母！

今天，請允許我再一次代表女兒、女婿的雙方父母及他們本人，衷心祝愿在座的各位領導、各位來賓、各位親朋事業興旺，家庭幸福，身體健康，萬事如意！在這里，我提議，斟滿酒，舉起杯，為祝福我女兒、女婿的幸福和我們全體同胞的友誼干杯！

很抱歉，由于條件有限，酒菜不好，接待不周，加之我和親家不勝酒力，不能帶領女兒、女婿前來逐席敬酒，多有失禮，敬請大家多多包涵。謝謝！