第一篇：三角函數定義的教學反思

三角函數定義的教學反思

許欽彪

教育部制訂的普通高中《數學課程標準》（人民教育出版社2003年4月版）第31頁關于必修4《三角函數》的內容與要求是：①借助單位圓理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義。根據這個要求，人民教育出版社《數學必修4》（2007年2月版）第12頁給出的任意角的三角函數定義為（本文稱為定義1）：

設?是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點p(x,y)，那么y叫做?的正弦，記作sin?，即sin??y，x叫做?的余弦，記作cos?，即cos??x，yy叫做?的正切，記作tan?，即tan??。xx而把原教材中的三角函數定義，在第13頁用注釋給出（本文稱為定義2）： 一般地，設角?終邊上任意一點的坐標為（x,y），它與原點的距離為r，則sin??yxr,cos??,tan??。并要學生證明。rrx在實際教學中，定義1的優點是簡潔明了，缺點是缺乏一般性，在實際解題中不能直接應用。而定義2不但簡潔明了，而且在一般性問題中都可以直接應用。例如教材第12頁的例題：

例2：已知角?的終邊經過點P0(?3,?4)，求角?的正弦、余弦和正切值。

教材中是先求出r?OP0?5，再用相似三角形的比例關系轉化成單位圓與終邊的交點坐標來得到解。由于涉及到相似比以及符號，結果把這個簡單明了的問題搞得復雜化。而且這種相似比及符號問題沒有一般性。如果?在其它象限，其比值符號仍是一個困難。在講解和學習時，學生普遍反映思維別扭、理解不清、難以接受。

如果利用定義2，其解法就自然、清楚而且不受象限及符號的影響。

解：∵P0(?3,?4)在?的終邊上，?x??3,y??4,r?5。據定義2，得sin??y4x3y4??,cos????,tan???。r5r5x3同樣，第15頁的練習2，第20頁的習題1.2的2以及須由定義解答的問題都是利用定義2容易解答，這是因為很少有問題會在已知中給出終邊上的點剛好是單位圓上的條件，所以用定義1解答必須涉及相似比以及符號問題等困難，這是沒有必要的。

根據以上分析，建議在教學時，把定義2作為任意角三角函數的定義，而把定義1作為簡化定義。這一節的主要教學步驟可設計為：

1、定義引入：

①學生復習直角三角形中銳角?的正弦sin?,余弦cos?,正切tan?。

提出問題：現在角?是任意角，這種定義應擴展。

②將角?放在直角坐標系中，先以簡單的情況為例研究。設?是第一象限角（如圖），如何定義?的三角函數，要考慮兩個因素：

aba，來定義，現在擴大的定義要包含以前的定義。ccb第二，sin?,cos?,tan?要由?唯一確定（否則不是函數）。第一，初中中用比學生經過討論基本上能認同找一個Rt?OPM，教師指出,這個Rt?的實質 是終邊上的點P(x,y)。記。OP?r?定義sin?,cos?,tan?。

進一步討論這個比值是否由?唯一確定？與P在終邊上的位置有否關系？假如另外取一點P1(x1,y1),r1，學生易知關，由?唯一確定。

于是這個定義是合理的，也就是說以?的終邊上的一點P(x,y)的坐標x,y和OP?r的比值來定義三角函數是符合函數要求的。

③進一步可以考慮，以上定義與?所在的象限有否關系（無），?有否大小限制（無）。④所以，任意角?的三角函數的定義是：設角?的終邊上任意一點的坐標為P(x,y)，它與原點O的距離為r，則sin??yxyx2?y2.。聯想第一個因素，可以用比值，來

rrxy1yx1xyy?，?，?1。即比值與P點在終邊上的位置無

r1rr1rxx1yyx,cos???,tan??。rrx⑤說明：A：定義中的P點是?終邊上的任一點。

B：因為r?0，所以對任何?，sin?,cos?總有確定值，而x?0即??k??2

時，tan?沒有意義。

C：因為角?可以用弧度（實數）表示，所以三角函數建立了角的集合（弧度

表示）與實數集之間的一一對應關系。

⑥給出單位圓概念。

⑦探討三角函數的簡化定義：角?的終邊與單位圓交于點P(x,y)，則r?1，此時定義簡化為：sin??y,cos??x,tan??y。x2、定義的應用：

① 已知角?終邊上一點求三角函數值，講練課本12頁例2，15頁練2。可用一般 定義解決（點已知代定義）

②已知角?的大小求三角函數（課本12頁例1）可用單位圓與?終邊的交點（點未 知，自己取），進而練習特殊角0,????6432，，?,3?的三角函數值，并記憶。

23、三角函數的定義域：

由定義知定義域，學生填表（課本13頁）并記憶。

4、三角函數值的符號：

由定義和點角?終邊上一點P(x,y)在各象限的符號探討三角函數值在各象限的符 號，學生填表（課本13頁）。記憶和應用（課本13頁例3）。

5、誘導公式一：

學生探討，由定義知終邊相同的同名三角函數值相等。誘導公式一的作用是把任意 角化為一周內的角。應用（課本14頁例4，例5，練習15頁5，6）。

6、小結：布置課外練習。

第二篇：任意角三角函數定義

“任意角三角函數定義”的教學認識與設計

浙江金華第一中學 孔小明

本文首先對三角函數定義的教學進行從整體到局部的分析，并在此基礎上給出定義教學的主干問題設計.1．整體把握，使教學線索清晰，層次分明

三角函數是以函數為主線，刻畫周期現象的數學模型.高中學習的三角函數是在初中學習銳角三角函數的基礎上，通過用旋轉的觀點將角的概念推廣到任意角，并使角與實數建立一一對應關系，然后結合坐標系和單位圓重新定義任意角的三角函數.因此，三角函數是函數的下位概念，同時又是銳角三角函數的上位概念，教學要以函數思想為指導，以坐標系和單位圓為定義工具，以初中銳角三角函數概念為認知的起點，促進任意角三角函數定義的有效生成.教科書在完成任意角三角函數定義基礎上衍生出：(1)三角函數值在各個象限的符號；(2)單位圓中的三角函數線；(3)同角三角函數的基本關系；(4)三角函數的誘導公式；(5)三角函數的圖象與性質等.可見，三角函數的定義在三角函數教學中可謂重中之重,是整個三角部分的奠基石,它貫穿于與三角有關的各部分內容并起著關鍵作用.本節課的學習目標是理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義，經歷從銳角三角函數定義過渡到任意角三角函數定義的推廣過程,體驗三角函數概念的產生、發展過程,領悟直角坐標系和單位圓的功能,豐富數形結合的經驗.由于三角函數的定義內涵豐富、外延廣泛等原因，同時，用單位圓上點的坐標表示的任意角三角函數定義,與學生初中學習的銳角三角函數定義有一定的距離,一個側重幾何的邊與邊的比值表示,一個側重代數的坐標（比值）表示.與學生熟悉的一般函數定義也有距離,一般函數是實數到實數的對應,而三角函數首先是實數（弧度數）到點的坐標的對應,然后才是實數（弧度數）到實數（橫坐標或縱坐標）的對應.學生理解該定義很難一步到位，需要分成若干個層次，逐步加深提高.促進學生理解定義的關鍵是讓學生經歷定義的形成過程,增強學習活動的體驗,在教師的引導下獨立思考、自主探究,完成定義的意義建構.教材中任意角三角函數定義的得出經歷了以下四個循序漸進、不斷深化的過程：（1）回憶用直角三角形邊長的比產生的銳角三角函數的定義；（2）把銳角α放在直角坐標系中，用角的終邊上點的坐標表示銳角α的三角函數；（3）由相似三角形的知識可知，三角函數值只與α的大小有關，與點在終邊上的位置無關，因此可用單位圓上點的坐標表示銳角α的三角函數；（4）類比得出用單位圓定義任意角三角函數，并將它納入到一般函數概念的范疇.教科書這樣設計改變了以往純學術形態的形式,一定程度上具有了教育形態的特征,體現了數學知識的產生、發展過程,反映了數學的“來龍去脈”,通過有效的鋪墊,使之符合學生的認知規律,使從銳角三角函數到任意角三角函數過渡自然,有利于學生步步加深對三角函數定義本質的理解.因此,筆者認為,教學設計時無須“另起爐灶”,只要在此基礎上,依據學生的認知特點,進行教學法的深加工即可.2．抓住關鍵，使教學精煉、簡約而高效

由于教科書自身特點的限制,教科書還不能成為教師教學用的教學設計,根據教材的內容、要求以及編寫意圖,教師還需要一個再加工、再創造的過程.具體的,就是將教材中得出任意角三角函數定義經歷的四個環節進一步教學化,使之符合學生的認知特點和規律,包括內容研究的必要性，坐標系、單位圓引入的自然性，以及用單位圓定義的可行性、合理性等.把它變成適合學生認知特點的具體的教育形態,使學生感受“數學是自然的、清楚的、水到渠成的”.當前,高中數學課標課程比大綱課程的內容有所增加，初中數學對高中數學支持減弱，新課程賦予數學教學更多的價值取向，要讓課堂的所有環節都讓學生有深度思考、自主探究并展示結果是不現實也是沒必要的.事實上，學生在校以學習間接經驗為主,學生的學習主要是“接受——建構”式的,因此,對教學起關鍵作用的內容，要留足時間讓學生充分思考、交流與展示,其它內容教師可多講授與引導，發揮先行組織者作用,使教與學達到平衡，讓教學效益達到最大化.在引導學生回憶初中銳角三角函數定義之前,先解決“學習的必要性”問題,明確要研究的內容.教材將“三角函數”作為重要的基本初等函數,是周期現象的基本模型,教師可借助本章的章頭語,完成課題的引入.由于初中的銳角三角函數定義不能推廣到任意角的情形，從而引發學生認知沖突，激發學生進一步探究的欲望.用什么定義、怎樣定義、這樣定義是否合理等,成為繼續研究的自然問題.之前,在任意角內容的學習中,學生已經有了在直角坐標系內討論角的經驗，但教學實踐表明,學生仍不能自然想到引入坐標系工具,利用坐標來定義任意角三角函數.筆者認為，從幫助學生理解定義的實質，體會坐標思想與數形結合思想的角度，教師可利用適當的語言,引導學生重點解決“如何用坐標表示銳角三角函數”的關鍵問題.需要提及的是,陶老師的問題設計具有啟示性：

現在，角的范圍擴大了,由銳角擴展到了0°~360°內的角,又擴展到了任意角,并且在直角坐標系中,使得角的頂點與原點重合,始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環境中,你認為,對于任意角α，sinα怎樣定義好呢？

上述問題提得“大氣”，既能使學生的學習圍繞關鍵問題展開，又突出正弦函數的概念分析.當然，若能依教材先作銳角情形的鋪墊，教學更符合學生“最近發展區”，提高效率.這里，需要引導學生從函數的觀點認識用坐標表示的銳角三角函數，有助于從函數的本質特征來認識三角函數.在第三個環節中，首先是如何自然引入單位圓的問題.用單位圓上點的坐標定義三角函數有許多優點，其中最主要的是使正弦函數、余弦函數從自變量（角的弧度數）到函數值（單位圓上點的橫、縱坐標）之間的對應關系更清楚、簡單，突出了三角函數的本質，有利于學生利用已有的函數概念來理解三角函數，其次是使三角函數反映的數形關系更直接，為后面討論函數的性質奠定了基礎.但單位圓的這些“優點”要在引入單位圓后才能逐步體會到.因此，引入單位圓的“理由”應該另辟蹊徑，白老師在引導學生完成用角的終邊上任意一點的坐標表示銳角三角函數之后，從求簡的角度設置問題,不愧為“棋高一招”：

大家有沒有辦法讓所得到的定義式變得更簡單一點？

在學生得出時定義式最簡單后,白老師引入單位圓,引導學生利用單位圓定義銳角三角函數.至此，學生就有了第四環節中用單位圓定義任意角三角函數的認知準備.由于“定義”是一種“規定”，因此，第四環節中，教師可類比用單位圓定義銳角三角函數情形，直接給出任意角三角函數定義，對學生而言，關鍵是理解這樣“規定”的合理性，對定義合理性認知基礎就是三角函數的“函數”本質——定義要符合一般函數的內涵（函數三要素）.3．精心設計問題，讓課堂成為學生思維閃光的舞臺 基于上述認識，對定義部分的教學，給出如下先行組織者和主干問題設計.先行組織者1：周期現象是社會生活和科學實踐中的基本現象，大到宇宙運動，小到粒子變化，這些現象的共同特點是具有周期性，另外，如潮汐現象、簡諧振動、交流電等，也具有周期性，而“三角函數”正是刻畫這些變化的基本函數模型.三角函數到底是一種怎樣的函數？它具有哪些特別的性質？在解決具有周期性變化規律的問題中到底能發揮哪些作用？本課從研究第一個問題入手.意圖：明確研究方向與內容.問題1：在初中，我們已經學習了銳角三角函數，它是怎樣定義的？ 意圖：從學生已有的數學經驗出發，為用坐標定義三角函數作準備.問題2：現在，角的概念已經推廣到了任意角，上述定義方法能推廣到任意角嗎？ 意圖：引發學生的認知沖突，激發學生求知欲望.問題3：如何定義任意角的三角函數？ 意圖：引導學生探索任意角三角函數的定義.先行組織者2：我們知道，直角坐標系是展示函數規律的載體，是構架“數形結合”的天然橋梁，上堂課我們把任意角放在平面直角坐標系內進行研究，借助坐標系，可以使角的討論簡化，也能有效地表現出角的終邊位置“周而復始”的現象.坐標系也為我們從“數”的角度定義任意角三角函數提供有效載體.意圖：引導學生借助坐標系來定義任意角三角函數.問題4：先考慮銳角的情形，如圖1，在平面直角坐標系中，你能用點的坐標來表示銳角α的三角函數嗎？

意圖：引導學生用坐標表示銳角三角函數.問題5：各個比值與角之間有怎樣的關系？比值是角的函數嗎？

意圖：扣準函數概念的內涵，把三角函數知識納入函數知識結構，突出變量之間的依賴關系或對應關系，增強函數觀念.先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，得出結論：三個比值分別是以銳角α為自變量、以比值為函數值的函數.問題6：既然可在終邊上任取一點，那有沒有辦法讓所得的對應關系變得更簡單一點？ 意圖：為引入單位圓進行鋪墊.教師給出單位圓定義之后，可引導學生進一步明確：正弦、余弦、正切都是以銳角α為自變量、以單位圓上點的坐標（或比值）為函數值的函數.問題7：類比上述做法，設任意角α的終邊與單位圓交點為P（x，y），定義正弦函數為，余弦函數為，正切函數為.你認為這樣定義符合函數定義要求嗎? 意圖：給出任意角三角函數的定義,引導學生用函數三要素說明定義的合理性，明確任意角三角函數的對應法則、定義域、值域.引導學生思考定義的合理性，先讓學生作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明，得出結論：正弦、余弦、正切都是以任意角α為自變量、以單位圓上的坐標或坐標的比值（如果存在的話）為函數值的函數.接著給出任意角三角函數的定義域、值域.“任意角三角函數的概念”教學設計

陶維林（江蘇南京師范大學附屬中學，210003）

一．內容和內容解析

三角函數是一個重要的基本初等函數，它是描述周期現象的重要數學模型．它的基礎主要是幾何中的相似形和圓，研究方法主要是代數中的圖象分析和式子變形，三角函數的研究已經初步把幾何與代數聯系起來．它在物理學、天文學、測量學等學科中都有重要的應用，它是解決實際問題的重要工具，它是學習數學中其他學科的基礎．

角的概念已經由銳角擴展到0°~360°內的角，再擴充到任意角，相應地，銳角三角函數概念也必須有所擴充．任意角三角函數概念的出現是角的概念擴充的必然結果．

比較銳角三角函數與任意角三角函數這兩個概念，共同點是，它們都是“比值”，不同點是銳角三角函數是“線段長度的比值”，而任意角三角函數是直角坐標系中“坐標與長度的比值，或者是坐標的比值”．正是由于“比值”這一與在角的終邊上所取點的位置無關的特點，因此，可以用角的終邊與單位圓的交點的坐標（或坐標的比值）來表示任意角的三角函數，這是概念的核心．這樣定義，不僅簡化了任意角三角函數的表示，也為后續研究它的性質帶來了方便．

從銳角三角函數到任意角三角函數類似于從自然數到整數擴充的過程，產生了“符號問題”．因此，學習任意角三角函數可以與銳角三角函數相類比，借助銳角三角函數的概念建立起任意角三角函數的概念．

任意角三角函數概念的重點是任意角的正弦、余弦、正切的定義．它們是本節，乃至本章的基本概念，是學習其他與三角函數有關內容的基礎，具有根本的重要的作用．解決這一重點的關鍵，是學會用直角坐標系中，角的終邊上的點的坐標來表示三角函數．因為正切函數并不獨立，最主要的是正弦函數與余弦函數．

任意角三角函數自然具有函數的一切特征，有它的定義域，對應法則以及值域．任意角三角函數的定義域是實數集（或它的子集），這是因為，在建立弧度制以后，角的集合與實數集合間建立了一一對應關系，從這個意義上說，“角是實數”，三角函數是定義在實數集上的函數．各種不同的三角函數定義了不同的對應法則，因而可能有不同的定義域與值域．

任意角三角函數概念是核心概念，它是解決一切三角函數問題的基點．無論是研究三角函數在各象限中的符號、特殊角的三角函數值，還是同角三角函數間的關系，以及三角函數的性質，等等，都具有基本的重要的意義．

在建立任意角三角函數這個定義的過程中，學生可以感受到數與形結合，以及類比、運動、變化、對應等數學思想方法． 二．目標和目標解析

本節課的目標是，理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義．

學生已經學習過銳角三角函數sinα，cosα，tanα，了解三角函數是直角三角形中邊長的比值，這個比值僅與銳角的大小有關，是隨著銳角取值的變化而變化的，其值是惟一確定的，等函數的要素．這是任意角三角函數概念的“生長點”．

理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）定義的關鍵是由銳角三角函數這個線段長度的比值擴展為點的坐標或坐標的比值．因此，對銳角三角函數理解得怎樣，對理解任意角三角函數有決定意義，復習銳角三角函數，加深對銳角三角函數的理解是必要的．

要實現讓學生“理解”任意角三角函數定義的教學目標，莫過于讓學生參與任意角三角函數定義的過程．讓學生感受到因角的概念的擴展，銳角三角函數概念擴展的必要性，任意角三角函數是銳角三角函數概念的自然延伸．反過來，既然銳角集合是任意角集合的子集，那么，銳角三角函數也應該是任意角三角函數的特殊情況，是一個包含關系．讓學生參與定義，可以感受到這樣定義的合理性，感受到這個定義是自然的．

三．教學問題診斷分析

從銳角三角函數到任意角三角函數的學習，從認知結構發展的角度來說，是屬于“下、上位關系學習”，是一個從特殊到一般的過程，“先行組織者”是銳角三角函數的概念．教學策略上先復習包容性小、抽象概括程度低的銳角三角函數的概念，然后讓學生“再創造”抽象程度高的上位概念（參與定義），并形成新的認知結構，讓原有的銳角三角函數的概念類屬于抽象程度更高的任意角三角函數的概念之中．

學生過去在直角三角形中研究過銳角三角函數，這對研究任意角三角函數在認識上會有一定的局限性，所以學生在用角的終邊上的點的坐標來研究三角函數可能會有一定的困難．可以讓學生在原有的對銳角三角函數的幾何認識的基礎上，嘗試讓學生建立用終邊上的點的坐標定義任意角三角函數，或者嘗試用終邊上的點的坐標定義銳角三角函數，然后再定義任意角的三角函數．

教學的另一個難點是，任意角三角函數的定義域是實數集（或它的子集）．因為學生剛剛接觸弧度制，未必能理解“把角的集合與實數集建立一一對應”到底是為了什么．可以在復習銳角三角函數時，把銳角說成區間（0，四．教學支持條件分析

利用幾何畫板軟件，可以動態改變角的終邊位置，從而改變角的終邊上點的坐標大小的特點，便于學生認識任意角的位置的改變，所對應的三角函數值也改變的特點，感受函數的本質；感受終邊相同的角具有相同的三角函數值；也便于觀察各三角函數在各象限中符號的變化情況，加深對任意角三角函數概念的理解，增強教學效果．）內的角，以便分散這個難點． 五．教學過程設計 1．理解銳角三角函數

要理解任意角三角函數首先要理解銳角三角函數．銳角三角函數是任意角三角函數的先行組織者．

問題1 任意畫一個銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．

教師用幾何畫板任意畫一個銳角．要求學生自己任意也畫一個銳角，利用手中的三角板畫直角三角形，度量角α的對邊長、斜邊長，計算比值．

意圖：復習初中所學習過的銳角三角函數，加深對銳角三角函數概念的理解，它是學習任意角三角函數的基礎．突出：

（1）與點的位置的選取無關；（2）是直角三角形中線段長度的比值． 問題2 能否把某條線段畫成單位長，有些三角函數值不用計算就可以得到？

意圖：學生根據自己實際畫圖操作，以及計算比值的體驗，會很快認為把斜邊畫成單位長比較方便，為后續任意角三角函數的“單位圓定義法”做鋪墊．

問題3 銳角三角函數sinα作為一個函數，自變量以及與之對應的函數值分別是什么？

意圖：以便與后面的任意角三角函數的自變量是角（的弧度，對應一個實數），對應的函數值是α的終邊與單位圓交點的縱坐標比較．

銳角三角函數sinα作為一個函數，自變量是銳角．由于角的弧度值與實數可以一一對應，所以，α是（0，）上的實數．而與之對應的函數值sinα是線段長度的比值，是區間（0，1）上的實數．

問題4 你產生過這個疑問嗎：“三角函數只有這三個？”

意圖：這個問題具有元認知提示的特點，引導學生勤于思考，逐步學會發現問題、提出問題、研究問題．

三條邊相互比，可以產生六個比．還有哪三個呢？再把已知的三個倒過來． 2．任意角三角函數定義的“再創造”

教師利用幾何畫板，把角α的頂點定義為原點，一邊與x軸的正半軸重合，轉動另一條邊，表現任意角．

問題5 現在，角的范圍擴大了．在直角坐標系中，使得角的頂點在原點，始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環境下，你認為，對于任意角α，sinα，cosα，tanα怎樣來定義好呢？

意圖：可以打破知識結構的平衡，感受到學習新知識的必要性——角的范圍擴大了，銳角三角函數也應該“與時俱進”，并不顯得突然．把定義的主動權交給學生，引導學生參與定義過程，發展思維．

有兩種可能的回答．

可能一：在α的終邊上任意畫一點P（x，y），|OP|＝r．

可能二：設角α的終邊與單位圓的交點為P（x，y）．

不論出現可能一還是可能二，都再問：“都是這樣的嗎？”

引導學生議論，以確認兩種定義方法的一致性、各自特點．再問“你贊成哪一種？”，統一認識，建立任意角三角函數的定義．（板書）

因為前面已經有引導，學生可能很快接受“可能二”． 3．任意角三角函數的認識（對定義的體驗）

問題6（1）求下列三角函數值：

問題6（2）說出幾個使得cosα＝1的α的值． 意圖：通過定義的簡單應用，把握定義的內涵．

逐題給出，對于每一個答案，都要求學生說出“你是怎樣得到的．”突出“畫終邊，找交點坐標，算比值（對正切函數）”的步驟．

問題6（3）指出下列函數值：

意圖：角的終邊位置決定了三角函數值的大小．終邊位置相同的角同一三角函數值相等．于是有 sin（α＋2kπ）＝sinα，cos（α＋2kπ）＝cosα，tan（α＋2kπ）＝tanα．（其中k∈Z）問題6（4）

①確定下列三角函數的符號：

②θ在哪個象限？請說明理由．反過來呢？

③角α的哪些三角函數值在第二、三象限都是負數？為什么？ ④tanα在哪些象限中取正數？為什么？ 意圖：認識三角函數在各象限中的符號．

問題7 做了這么多題，要反思．你是否發現了任意角三角函數的一些性質？還有些什么體會？ 意圖：體驗以后的概括，階段小結．（1）抓住各三角函數的定義不放；（2）各象限中三角函數的符號特點，等．

教師板書學生獲得的成果、感受． 4．任意角三角函數的定義域

問題8 α是任意角，作為函數的sinα，cosα，tanα，它們的定義域分別是什么？

意圖：三角函數也是函數，自然應該關心它的定義域．

建立了角的弧度制，角的集合與實數集合之間建立了一一對應關系，因此，sinα，cosα的定義域是R；tanα＝中，x≠0，于是tanα的定義域是

仍然緊扣定義，并引導以弧度制表示它的定義域． 5．練習

（1）確定下列三角函數值的符號，并借助計算器計算：

（2）求下列三角函數值：

6．小結

問題9 下課后，你走出教室，如果有人問你：“過去你就學習過銳角三角函數，今天又學習了任意角的三角函數，它們的差別在哪里呢？”你怎么回答他？

意圖：通過問題小結．不追求面面俱到，突出銳角三角函數是三角形中，邊長的比值，而任意角的三角函數是直角坐標系中角的終邊與單位圓交點的坐標，或者是坐標的比值．

若時間允許，再問：“還有其他收獲嗎？”比如，終邊相同的角的同一三角函數相等；各象限三角函數的符號；任意角三角函數的定義域，等． 六．目標檢測設計

（1），寫出α的終邊與單位圓交點的橫坐標，并寫出tanα的值．

（2）求下列三角函數的值：

（3）角α的終邊與單位圓的交點是Q，點Q的縱坐標是1/2，說出幾個滿足條件的角α．

（4）點P（3，－4）在角α終邊上，說出sinα，cosα，tanα分別是多少？

（1）實際教學片段

上課始，教師用幾何畫板任意畫一個銳角，提出問題1：“任意畫一個銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．”然后走進學生中間，觀察他們的學習行為．結果發現，有一部分同學畫出角之后，一片茫然．教師又不愿意把結果告訴學生，提示同桌的兩位同學可以商量一下，并提示，完成的同學請舉手示意，以便教師了解情況，結果舉手的人很少．之后，教師提問一位舉手的學生，問：“你是怎么做的？”她要求上黑板，教師非常贊成．她在黑板上畫出一個直角三角形，并不熟練地寫出一個銳角的正弦是它的對邊比斜邊以及余弦、正切等三個三角函數．之后，教師又與學生討論了問題2：能否把某條線段畫成單位長，有些三角函數值不用計算就可以得到？學生比較一致認為把斜邊長畫成單位長比較好，為“單位圓定義法”做必要的鋪墊．接著討論問題3：銳角三角函數sinα作為一個函數，自變量以及與之對應的函數值分別是什么？在教師類比正方形的面積s＝a2的提示下，學生說出銳角三角函數中自變量以及與之對應的函數值分別是角、比值，最后討論問題4：你產生過這個疑問嗎：“三角函數只有這三個？”有學生舉手，表示想過這個問題，應該是六個，另外三個可以把現有的三個倒一下得到．至此，時間已經過去20多分鐘．

教師本以為，學生在初中既然學習過銳角三角函數，對給出的一個銳角，借助三角板構造直角三角形，找出它的正弦、余弦的近似值是很容易的事，而恰恰在這一點上，學生耗費了大量的時間，而教師又不想越俎代庖地告訴學生，這就嚴重影響了后續建立任意角三角函數的概念，并通過特殊角的求值體驗、把握內涵的時間保證，造成體驗不夠，概括

過早，應用更少的現象．

（2）問題出在哪里

問題在教學設計不夠合理，當中的“教學問題診斷分析”不夠準確．沒有準確把握學生的知識基礎與認識能力，對學生在學習中可能出現的困難估計不足．尤其是，對學生關于銳角三角函數的理解估計過高．主要表現在兩個方面，一是初中學習銳角三角函數是在直角三角形中進行的，并不要求給出一個銳角，兩邊是射線，求出它的三角函數值．二是并不要求把“銳角三角函數”作為函數來認識，比如關注它的自變量是角，對應的函數值是比值，更不關心它的定義域、值域以及對應法則這些函數的要素．只要求運用符號sinA，cosA，tanA的意義來進行有關的計算，等．現在，要求學生從函數角度建立任意角三角函數概念這就失去了概念的上位支持．

關于銳角三角函數，在《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》中，是在“空間與圖形”的“圖形與變換”部分．標準指出：“通過實例認識銳角三角函數（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函數值；會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值求它對應的銳角．”以及“運用三角函數解決與直角三角形有關的簡

單實際問題．”

筆者查閱了按照“課程標準”編寫的幾套初中教材，給出sinA的方式基本上一致，是：

如圖（圖略），在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正弦（sine），記作sinA，即”（對cosA，tanA有類似的定義）并指出“銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函

數．”

以后的內容（包括解實際問題），都是有關三角函數值的計算，并不強調它們的函數特征．有的教材雖然指出“對于銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應，所以sinA是A的函數．同樣地，cosA，tanA也是A的函數．”作出了銳角三角函數是一種特殊的函數的提示，由于缺少必要的練習，作用并不大．應該說，這些都不違背“課程標準” 的要求．可見學生在初中學習過的函數有正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數，銳角三角函數并不納入“函

數”這個系統．

初中學習銳角三角函數有一個特定的載體，這就是直角三角形，因此，當他們面對任意畫出的一個銳角，其兩條邊是射線，要求出這個角的三角函數的近似值這個新情境時，竟不知如何是好，手足無措，無計可施，也說明學生對銳角三角函數并不理解．這樣看來，畫出一個銳角，要求學生會取點、畫垂線、度量、計算比值的要求是必要的．

有教師認為，不必復習銳角三角函數，直接提出問題“同學們已經學習過銳角三角函數，你認為應該怎樣來定義任意角的三角函數？”這種“大撒手”的問題跨度太大，學生更難回答．原因是對銳角三角函數的“函數”特征認識不足、理解不到位，要讓學生直接建立任意角的三角函數，又要突出“函數”這一特征，很困難．因此，為建立任意角的三角函數的概念，需要先復習初中銳角三角函數的概念，因為從銳角（三角函數）到任意角（三角函數）又是由下位到上位的學習．教材要求首先把直角三角形中邊長的比值擴展到坐標或者坐標的比值，在直角坐標系中認識銳角三角函數，并引導學生從“函數”的角度認識它，也就是弄清自變量以及與之對應的函數分別是什么是必要的．

（3）對教學的反思

高中教師應該了解義務教育階段的數學課程標準，了解初中教材，了解學生在初中學習過哪些內容，尤其是相應的教學目標是什么，關注學生的認知結構．應該做好初、高中的銜接工作，不僅注意知識的銜接，還要注意思想方法、能力要求等各方面的銜接，為學習高中的相關內容做好鋪墊．以為已經學習過銳角三角函數，學生就能夠把它理解為一種特殊的函數，是一個明顯的例子．

教科書在節首提出的“思考”是：“我們已經學過銳角三角函數，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數值的函數，你能用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角三角函數嗎”其實，學生只知道銳角三角函數是直角三角形中邊長的比值，并不完全知道“它們都是以銳角為自變量，以比值為函數值的函數”，這就需要通過復習，來幫助學生

補上這一點．

2．其他反思

（1）由于學生在復習階段花了較多的時間，影響了新課的學習，用任意角三角函數概念解題的時間不多，體驗不夠，有教師提出“下課后練習不好做”，說明復習銳角三角函數沒有必要．筆者認為，當“預設”與“生成”發生矛盾時，教師寧可選擇“生成”．尊重學生的認知水平，尊重學生的認知心理過程，決不簡單化，把結論直接告訴給學生，追求“結果”，追求“完成”教學任務．教師不能認為我已經把這個概念告訴你了，你就應該知道了．數學教學不是“告訴教學”，概念不能靠學生“復制”，對概念需要的是理解，需要學生用自己的體驗建立起對概念的理解．什么是“教學任務”，不能僅限于知識要求，要注意學生的全面發展．比如，當學生不能正確選擇在角的一邊上取點，畫垂線時，啟示學生互相討論、啟發一下，借助于同伴的幫助解決問題．當學生不能說出“作為函數的銳角三角函數，自變量以及它的函數分別是什么”（屬性）意義不清，不好回答時，教師降低難度，啟發類比S＝a2中a表示邊長，而S表示正方形的面積．突出線段長、面積，等等．

“任意角三角函數的概念”與作為第一節課的“任意角三角函數的概念”不是同一個概念．對“任意角三角函數的概念”的認識、理解不是一蹴而就的，不是一節課可以完成的任務，需要一個長期的過程．比如，把角度化成弧度到底是為了什么？即便化成弧度，又為什么省略不寫呢？建立角的弧度與實數間的一一對應有什么必要呢？任意角三角函數的自變量明明白白是角，為什么偏要把它說成實數呢？剛剛接觸任意角三角函數就要求理解這一切是十分困難的．隨著學習的深入，尤其是三角函數的應用，學生才能慢慢消除這些疑問，逐漸理解它．比如，在三相交流電路中，某一相電路中的電流強度IA＝Imsin（ωt）（其中Im是電路中電流強度的峰值），三角函數是刻畫現實世界中周期現象的基本數學模型；再比如，當學生接觸到函數y＝sin（cosx）后，再來看三角函數的定義域，會認識到抽象后的任意角三角函數的自變量作為實數更具廣泛性．

這一節課把教學的基本要求定位在，弄清任意角三角函數與銳角三角函數的區別，接受用坐標（或坐標的比值）表示三角函數就夠了．如同在建立數軸之后，一個知道把向東2公里表示為2公里而向西2公里表示成－2公里，接受“路程也可以是負數”的學生，就已經開始接受有理數，逐漸成為中學生了．

還需要注意的是，應該通過什么方式讓學生建立起用坐標（或比值）表示任意角三角函數，以及領會建立這個概念過程

中所蘊涵的數學思想方法．

（2）在求cosπ時，一個學生說出的結果是0.9985．教師追問“你是怎么算出來的？”他回答：“用計算器．”后來，筆者用計算器做了實驗，發現他用計算器計算時，把計算器中的角度模式（Mode）設置成了角度制（Degree）．在這種模式下，計算cosπ可以得到0.9985（即計算的是cosπ°）．如果把角度模式設置成了弧度制（Radian），計算cosπ仍可以得到－1．這件事的出現給我以及所有聽課教師引發諸多思考．第一，這位同學沒有關注到這節課剛學習過的概念，運用新概念解決當前的問題，而是停留在“三角函數值是能夠用計算器算出來的”這個認識水平上；第二，反映了計算器的過度使用，會形成對學具的依賴，影響學生思維能力的發展．學具的功能越全面越強大不一定是好事．比如，具有解方程（Solve）功能的計算器在初中使用可能會削弱解一元二次方程的學習；具有圖象功能的計算器的過早使用可能會干擾函數的學習．因此，教師應該注意技術在教學中的“輔助”作用，適度使用教具，重視算理分析，重視算法的來源，重視思維能力的培養，而不是追求計算結果．

借班上課，對學生的不熟悉是教師的苦惱，加上教學進度等問題，學生的知識儲備不足（在教學任意角三角函數概念之前僅上過一堂“任意角”的課），是教學并不理想的一個重要原因．教學過程是師生雙邊活動的過程，離不開師生之間的交流，生疏是交流的障礙之一，生疏更難以做到師生之間配合默契．另外，學生對教師的教學風格的適應或認可也有一個過程，比如教師希望學生積極發言而不僅是聽講，等等．

（3）討論中，老師們提出了許多有價值的教學應該遵循的一般規律以及一些先進的教學理念，但是，要求一節課全面體現各種先進教學理念，去承擔反映數學教學規律中太多的東西是不現實，也是不應該的．

課堂教學是一項實踐性很強的工作，除了認真的課前準備外，對教學過程中出現的“突發事件”，隨機應變十分重要．教師需要關注學生的學習行為，關注學生的認識過程，隨時修改自己的教學設計，調整教學內容、教學要求，改變策略，選擇恰當的方法實施教學，以達到最佳教學效果．這一切都需要教師有很強的基本功．

第三篇：三角函數教學反思1

三角函數教學反思

2月份是本學期的第一個月，我們開始了高中數學必修四的內容，必修四主要在講三角函數，既然是函數，就和必修一聯系起來了，可是學生們在面對必修一的知識時，卻大多數都回憶不起來，比如說今天上課時的函數性質——奇偶性，大部分學生已經不知道判斷奇偶性的方法種類和具體方法，所以我們必須先將舊知識進行回顧然后再教授新知識。

三角函數其實是一個初中就接觸過的概念，只是在這里把它又放到單位圓中來研究了，因為只有這樣我們才能研究三角函數線，才能把角擴展到全體實數范圍內，才能研究三角函數的誘導公式，再通過三角函數線來畫出正（余）弦函數的圖象，然后在研究性質。近段時間的內容表面看起來復雜，但實則簡單，需要記憶的東西比較多，雖然也可以現推公式圖象，但還是有簡單記憶做題會快得多。

這學期以來感覺兩個班的學習氣氛明顯不同，第一個班少數學生帶動，整個班級課堂氣氛、學習氛圍都要好得多，而第二個班就不同了。這是一個不好的開始，希望第二個班能盡快調整過來，作為老師我也會盡自己最大的努力讓兩個班成績相當。

第四篇：銳角三角函數教學反思

教學反思

本節課是銳角三角形這章的第一節課，是學生在學了直角三角形及勾股定理基礎上再來研究直角三角形邊與角的關系的內容，本章的知識通過解直角三角形與實際問題中的坡度、方向角方位角建立聯系，解決問題。本章是中考必考的知識點,特別是特殊角的三角函數值，一定要熟記。本節課雖考慮到本班學生自從分班以后，學習氛圍不濃，而基礎又較差，因而必須將難度降低想辦法調動學生的學習積極性；但在引入時，既用了直角三角形在數學中的重要地位，用：“黑夜給了我一個黑色的眼睛，我用它來尋找光明”類比數學中的“上帝給了我一雙黑色的眼睛，我用它來尋找直角三角形”說明尋找直角三角形對解決數學問題的重要性；然后又引入用學生最近反應學習苦，學習累和不愛護公共財物的情況，從引入課桌要到了到其他貧困地區孩子午休誰桌子下的情況引入愛護公共財物，今兒從而引出本節課相關的知識。雖然大家都在說這節課的亮點就是將德育與數學知識結合起來，注重學科之間的聯系。但我始終覺得這樣的結合不免顯得優點牽強，下來我將在思考如何讓本節課的引入與內容結合得更好。

還有一個問題就是我在設計教學時，想到學生函數的基礎不好，很怕函數，沒有考慮到和函數的定義聯系起來，而學生雖然會計算一個銳角的三角函數了，但對為什么把這些值成為這個銳角的三角函數并不清楚，在教學中我忽視了這一細節，也沒有一個學生提出疑問，這說明學生只停留在定義的表面，并沒有深入思考。因此，在下次教學時，我要設計這么一個問題：“為什么把它們成為函數值？”來啟發學生。

第五篇：《銳角三角函數》教學反思

《銳角三角函數》教學反思

這節課是銳角三角函數的第一節課，是一節概念課，教學目標是讓學生認識直角三角形的邊角關系，即銳角的四個三角函數的概念。通過集體備課、講課、作業反饋幾個環節，進行以下幾方面的反思。

一、數學概念課教學

數學概念教學要使學生明確概念的背景、作用、概念中有哪些規定、限制等問題。

（一）概念的引出

這節課引入銳角三角函數概念的時候，從學生的認知水平出發先提出問題：（1）

如圖Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，求AB=？

（2）

如圖Rt△ABC中，AC＝3，∠B＝40°，求AB=? 對于第一個問題，學生在對勾股定理的已有認知基礎上，很容易求出AB，但對第二個問題，則不夠條件求AB了。從而引出課題。

在教學設計中，針對學生思維的多樣性，集備時對課本中的探索進行改動。探索1得出直角三角形中，銳角A的對邊與鄰邊的比值是唯一確定的。在此基礎上，設計一個開放性的探索2。讓學生從探索1中得到啟發去找找直角三角形中其他兩邊的比值是否也是唯一確定的。按照集備時的設想，是希望能充分拓展學生思維，找到各種不同的比值，從而比較自然的引出四種比值，即四個三角函數。但是在實際教學過程中，存在兩個極端，一部分學生很快找到四個比值。另一部分則感覺摸不著頭腦，需要不同程度的提示。在課后反思中，我們打算在下一次教學設計進行修改。對于水平比較低的班級，在探索1得出，通過填空提示學生找出其它兩邊比值，再進行探索2。

（二）概念講解

新課標提倡學生自主思考探索，但是數學概念畢竟是需要教師進行講解，特別 是一些規定限制必須由教師強調。這節課上我是結合圖形小結等。但還應注意定義的中文說法即還是應該回到漢字，這樣有助于學生記憶定義。在下一節課開始的復習，我用了這種方法，發現學生的確容易記憶。

二、教學中注重解題方法的總結 本節課有一道例題，是這樣設計的

例1：求出如圖所示的Rt△ABC中∠A的四個三角函數值.解：在Rt△ABC中，BC=8,AC=15, ∵

∴AB＝ =

＝

sin A=

＝

cos A=

＝

tan A=

＝

以填空的形式，給學生一定的提示，也給了一個規范的格式。在實際教學過程中，學生都能做出這題，所以我只是略略講解后就開始進行相關練習。可是在做A組第一題：“Rt△DEC中，∠E＝90゜，CD＝10，DE＝6，求出∠D的四個三角函數值。”這道題中，有部分學生出現不知怎么下筆的情況。這就提示我們在例題講解中，一定要幫助學生歸納出求三角函數的方法。應該指出為什么要運用勾股定理，讓學生明確求四個三角函數必須知道三條邊。這樣在做練習時他們就能確定解題思路，明確預見利用勾股定理求出CE。