第一篇：九年級數學競賽圓的基本性質優化教案

九年級數學競賽圓的基本性質優化教案

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【例題求解】

【例1】在半徑為1的⊙o中，弦AB、Ac的長分別為和，則∠BAc度數為

．

作出輔助線，解直角三角形，注意AB與Ac有不同的位置關系．

注：由圓的對稱性可引出許多重要定理，垂徑定理是其中比較重要的一個，它溝通了線段、角與圓弧的關系，應用的一般方法是構造直角三角形，常與勾股定理和解直角三角形知識結

合起來．

圓是一個對稱圖形，注意圓的對稱性，可提高解與圓相關問題周密性．

【例2】

如圖，用3個邊長為1的正方形組成一個對稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為

A．

B．

c．

D．

思路點撥

所作最小圓圓心應在對稱軸上，且最小圓應盡可能通過圓形的某些頂點，通過設未知數求解．

【例3】如圖，已知點A、B、c、D順次在⊙o上，AB=BD，Bm⊥Ac于m，求證：Am=Dc+cm．

思路點撥

用截長或補短證明，將問題轉化為線段相等的證明，證題的關鍵是促使不同量的相互轉換并突破它．

【例4】

如圖甲，⊙o的直徑為AB，過半徑oA的中點G作弦cE⊥AB，在cB上取一點D，分別作直線cD、ED，交直線AB于點F，m．

求∠coA和∠FDm的度數；

求證：△FDm∽△com；

如圖乙，若將垂足G改取為半徑oB上任意一點，點D改取在EB上，仍作直線cD、ED，分別交直線AB于點F、m，試判斷：此時是否有△FDm∽△com?證明你的結論．

思路點撥在Rt△coG中，利用oG=oA=oc；證明∠com=∠FDm，∠cmo=

∠FmD；利用圖甲的啟示思考．

注：善于促成同圓或等圓中不同名稱的相互轉化是解決圓的問題的重要技巧，此處，要努力把圓與直線形相合起來，認識到圓可為解與直線形問題提供新的解題思路，而在解與圓相關問題時常用到直線形的知識與方法．

【例5】已知：在△ABc中，AD為∠BAc的平分線，以c為圓心，cD為半徑的半圓交Bc的延長線于點E，交AD于點F，交AE于點m，且∠B=∠cAE，EF：FD＝4：3．

求證：AF＝DF；

求∠AED的余弦值；

如果BD＝10，求△ABc的面積．

思路點撥證明∠ADE＝∠DAE；作AN⊥BE于N，cos∠AED＝，設FE=4x，FD＝3x，利用有關知識把相關線段用x的代數式表示；尋找相似三角形，運用比例線段求出x的值．

注：本例的解答，需運用相似三角形、等腰三角形的判定、面積方法、代數化等知識方法思想，綜合運用直線形相關知識方法思想是解與圓相關問題的關鍵．

學歷訓練

．D是半徑為5cm的⊙o內一點，且oD＝3cm，則過點D的所有弦中，最小弦AB=

．

2．閱讀下面材料：

對于平面圖形A，如果存在一個圓，使圖形A上的任意一點到圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這個圓所覆蓋．

對于平面圖形A，如果存在兩個或兩個以上的圓，使圖形A上的任意一點到其中某個圓的圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這些圓所覆蓋．

例如：圖甲中的三角形被一個圓所覆蓋，圖乙中的四邊形被兩個圓所覆蓋．

回答下列問題：

邊長為lcm的正方形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是

cm；

邊長為lcm的等邊三角形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是

cm；

長為2cm，寬為lcm的矩形被兩個半徑都為r的圓所覆蓋，r的最小值是

cm．

3．世界上因為有了圓的圖案，萬物才顯得富有生機，以下來自現實生活的圖形中都有圓：它們看上去多么美麗與和諧，這正是因為圓具有軸對稱和中心對稱性．

請問以下三個圖形中是軸對稱圖形的有

，是中心對稱圖形的有

．

請你在下面的兩個圓中，按要求分別畫出與上面圖案不重復的圖案．

a．是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形．

b．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．

4．如圖，AB是⊙o的直徑，cD是弦，若AB=10cm，cD＝8cm，那么A、B兩點到直線cD的距離之和為

A．12cm

B．10cm

c．8cm

D．6cm

5．一種花邊是由如圖的弓形組成的，AcB的半徑為5，弦AB＝8，則弓形的高cD為

A．2

B．

c．3

D．

6．如圖，在三個等圓上各自有一條劣弧AB、cD、EF，如果AB+cD=EF，那么AB+cD與E的大小關系是（）

A．AB+cD＝EF

B．AB+cD=F

c．AB+cD

D．不能確定

7．電腦cPU芯片由一種叫“單晶硅”的材料制成，未切割前的單晶硅材料是一種薄形圓片，叫“晶圓片”．現為了生產某種cPU芯片，需要長、寬都是1cm的正方形小硅片若干．如果晶圓片的直徑為10．05cm，問：一張這種晶圓片能否切割出所需尺寸的小硅片66張?請說明你的方法和理由．

8．如圖，已知⊙o的兩條半徑oA與oB互相垂直，c為AmB上的一點，且AB2+oB2=Bc2，求∠oAc的度數．

9．不過圓心的直線交⊙o于c、D兩點，AB是⊙o的直徑，AE⊥，垂足為E，BF⊥，垂足為F．

在下面三個圓中分別補畫出滿足上述條件的具有不同位置關系的圖形；

請你觀察中所畫圖形，寫出一個各圖都具有的兩條線段相等的結論；

請你選擇中的一個圖形，證明所得出的結論．

0．以AB為直徑作一個半圓，圓心為o，c是半圓上一點，且oc2＝Ac×Bc，則∠cAB=

．

1．如圖，把正三角形ABc的外接圓對折，使點A落在Bc的中點A′上，若Bc=5，則折痕在△ABc內的部分DE長為

．

2．如圖，已知AB為⊙o的弦，直徑mN與AB相交于⊙o內，mc⊥AB于c，ND⊥AB于D，若mN=20，AB=，則mc—ND=

．

3．如圖，已知⊙o的半徑為R，c、D是直徑AB同側圓周上的兩點，Ac的度數為96°，BD的度數為36°，動點P在AB上，則cP+PD的最小值為

．

4．如圖1，在平面上，給定了半徑為r的圓o，對于任意點P，在射線oP上取一點P′，使得oP×oP′=r2，這種把點P變為點P′的變換叫作反演變換，點P與點P′叫做互為反演點．

如圖2，⊙o內外各有一點A和B，它們的反演點分別為A′和B′，求證：∠A′=∠B；

如果一個圖形上各點經過反演變換得到的反演點組成另一個圖形，那么這兩個圖形叫做互為反演圖形．

①選擇：如果不經過點o的直線與⊙o相交，那么它關于⊙o的反演圖形是

A．一個圓

B．一條直線

c．一條線段

D．兩條射線

②填空：如果直線與⊙o相切，那么它關于⊙o的反演圖形是，該圖形與圓o的位置關系是

．

5．如圖，已知四邊形ABcD內接于直徑為3的圓o，對角線Ac是直徑，對角線Ac和BD的交點為P，AB=BD，且Pc=0．6，求四邊形ABcD的周長．

16．如圖，已知圓內接△ABc中，AB>Ac，D為BAc的中點，DE⊥AB于E，求證：BD2-AD2=AB×Ac．

7．將三塊邊長均為l0cm的正方形煎餅不重疊地平放在圓碟內，則圓碟的直徑至少是多少?

8．如圖，直徑為13的⊙o′，經過原點o，并且與軸、軸分別交于A、B兩點，線段oA、oB的長分別是方程的兩根．

求線段oA、oB的長；

已知點c在劣弧oA上，連結Bc交oA于D，當oc2=cD×cB時，求c點坐標；

在⊙o，上是否存在點P，使S△PoD=S△ABD?若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

第二篇：人教版九年級圓的基本性質復習課教案

圓的基本性質復習課

教學目標：

1、在例題的分析過程中回顧并進一步理解圓的軸對稱性和旋轉不變性；

2、在知識框架的建立過程中進一步掌握由這兩個性質得到的垂徑定理及逆定理，以及圓心角定理、圓周角定理及推論；

3、通過例題的探究，進一步培養學生的探究能力、思維能力和解決問題的能力。

4、通過課堂學習，熏陶學生樂于探究、善于總結的數學學習品質。教學重點：圓的軸對稱性、旋轉不變性 教學難點：相關性質的應用

一、引入：

師：同學們已經發現，老師在黑板上畫了好幾個圓，我們今天上課的主角就是這些圓。圓是一切平面圖形中最美的圖形，它的美體現在哪些方面呢？讓我們一起來感受一下。今天，老師也帶來了一個圓，但圓心找不到了，你能通過折紙的方法幫老師來找到這個圓心嗎？

生：對折兩次，兩條折痕的交點就是圓心。

師：非常好，兩條折痕其實是圓的什么？對折后能完全重合，說明圓具有什么性質？ 生：折痕是直徑。圓具有軸對稱性。

師：剛才這位同學其實就抓住了圓的這個性質，直徑所在直線就是圓的對稱軸，輕而易舉地找到了這個圓心。這兩條直徑所夾的弧相等嗎？為什么？ 生：因為它們所對的圓心角相等。

師：在一個圓中，只要圓心角相等，它們所對的弧一定相等。這說明圓具有一種旋轉不變性。圓的這兩種性質使得圓中五種基本量：圓心角、圓周角、弧、弦、弦心距之間具有特殊的關系。今天這節課我們來復習圓的基本性質。—出示課題《圓的基本性質復習》。

二、圓的基本性質復習：

例

1、（1）如圖，AB是⊙O直徑，C是⊙O上一點，OD是半徑，且OD//AC。求證：CD=BD 師：在圓中，你想到用什么方法證明弦相等呢？下面我們以小組為單位，合作交流各自的想法，盡可能多角度、多途徑來證明這兩條弦相等。每組選派一位代表，整理組員的意見，待會來匯報展示。（學生分組交流，一會后學生匯報成果。）,?ACO??COD組一：連接OC，?AC//OD

??A??BOD

?OA?OC??A??ACO??COD??DOB

?CD?BD

師：這是通過證圓心角相等，得到弦相等。還有其他證明方法嗎？

?AC//OD，組二：連接AD，OA=OD

??CAD??ODA??OAD

?弧CD=弧BD

?CD=BD 師：由圓周角相等，我們可以得到弧相等（或圓心角相等），從而得到弦相等。這種證法利用了圓心角、圓周角與弧的關系。在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于所對圓心角的一半；相等的圓周角所對的弧相等。這樣，證弦相等，又多了兩條途徑：可以考慮弧相等，也可以考慮去證圓周角相等。（邊總結，邊在黑板上抽離基本圖形）

去證

師：還有其他方法嗎？

組三：連接BC，?AB是直徑

??ACB?90

0?AC//OD

?BC?OD

由垂徑定理可以得到弧CD=弧BD

?CD=BD 師：這就利用了垂徑定理的基本圖形。（同時在黑板上畫出這個基本圖形）

垂徑定理及逆定理體現了直徑、弧、弦三種量之間的關系：直徑垂直弦、直徑平分弦、直徑平分弧，這三個結論中，只要有一個成立，則另兩個也同時成立。但要注意，若條件是直徑平分弦，則這條弦必須不是直徑，另兩個結論才會成立。垂徑定理及逆定理體現的是圓的軸對稱性。

而在圓中，要構造直角，大家要想到直徑所對的圓周角是直角；而90的圓周角所對的弦是直徑。（同時在黑板上抽離這個基本圖形。）連直徑，作直角是圓中常添的輔助線方法。在圓中構造直角，還常作弦心距，弦心距、弦的一半、半徑構成一個直角三角形，這在計算題中用得較多。師：還有其他方法嗎？

組四：延長DO交⊙O于點E，連接AE。

?AC//OD

?弧AE=弧CD

?AE=CD

??AOE??BOD

?AE?BD

?CD=BD 師：這也是圓中的一種基本圖形，由弦平行，可以得到所夾弧相等。這個結論我們書上證明過，可以證一對內錯角又是圓周角相等得到。

若不添加任何輔助線，你能證明出來嗎？（提示：已知的相等兩角?A、?BOD的度數分別與弧的度數有什么關系？）

m1組五：??A?弧BC

?BOD?弧BD

21?弧BC=弧BD=弧CD

?CD=BD 2m0師：圓周角度數等于所對弧度數的一半，圓心角度數等于所對弧的度數。

同學們真是太了不起了，一道題目想出這么多種證法，同學們的思路很開闊。在圓中還有一對基本量，我們剛才提到過，是什么？——弦心距。弦心距于圓心角、弧、弦之間也有一定的聯系。在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距中有一對量相等，其余各對量都相等。（同時抽離出基本圖形）而圓周角又與圓心角、弧之間有這樣的關系，這使得弦心距與圓周角之間也有一定聯系。這五種量的關系體現了圓的旋轉不變性。圓的軸對稱性和旋轉不變性構成了圓的基本性質。這四個基本圖形集中體現了圓的基本性質。同學們在平時的學習中要注意積累一些基本圖形，它有時是解

題的關鍵。

（這個例題分析完后，黑板上出現這些量之間的關系圖。）

（2）：延長AC、BD交于點E，連接BC，正確的是______________。

①AB=AE ②BD=DE ③∠E=2∠EBC ④

⑤△

ECD

∽△EBA

（3）過點D做DG⊥AE，垂足為G，則四邊形DGCF為什么四邊形？為什么？

（4）移動點D位置，使點D在弧AB中點處，令點C在弧AD之間，過D做DF⊥BC，DG⊥AE，垂足為E、F，則四邊形DGCF是什么四邊形？為什么？

師：首先這個四邊形已經是一個什么四邊形？——矩形。

那再證一個什么條件，矩形就能成為正方形了？

由弧AD=弧BD，你能得到哪些結論？由弧你想到了什么？

請判斷：下面結論中生1：連接OD，?D是弧AB中點

??BOD?90

??BCD?01?BOD?450

?DF=CF ?矩形CFDG是正方形 生2：連接AD,BD

?弧AD=弧BD

?AD=BD

??GAD??FBD,?AGD??DFB?90

??DAG??DBF

?DG?DF

?矩形CFDG是正方形

師：在圓中，我們不要忽視弧的作用，它是弦與角轉化的橋梁。

三、小結：

師：通過本節課的學習，你對圓的基本性質又有哪些認識呢？你還有什么收獲？

通過本節課的復習，我們又重新梳理了圓心角、圓周角、弧、弦、弦心距五種量之間的關系，以及直徑與弧、弦之間的關系定理——垂徑定理及逆定理。從這些關系中我們發現，證明圓中一對量相等的道路是四通八達的，可以考慮證明圓中的其它幾對量相等。圓的這些性質是我們計算角、線段及證明角、線段、弧相等的基本依據和方法。

四、圓的基本性質的妙用：

師：復習了圓的基本性質后，老師出了道思考題：

例：圓內接八邊形的四條邊長為1，另四條邊長為2，如圖：AB=BC=CD=DE=1,EF=FG=GH=HA=2,求此八邊形的面積。師：九（3）班有幾位愛探究的同學課后在一起討論解決此題。

小慧覺得很困惑：“這個八邊形又不是特殊的八邊形，這能求出

0

它的面積嗎？怎么求哦？“

同學們是否也有這樣的困惑呢？ 小聰有想法了：“但八邊形是放在圓中，我們能不能利用圓的性質，把八邊形的八條邊重新排列一下，讓它變成比較特殊的八邊形呢？”

小聰的想法可行嗎？對同學們可有幫助？你們有思路了嗎？ 生：把長邊和短邊間隔排列。

師：這樣排列后，形狀改變了，難道面積不變嗎？為什么？ 生：利用圓的旋轉不變性。

師：現在如何來求這個八邊形的面積呢？

生：向外補成一個正方形，因為這個八邊形的一個內角是1450。師：多邊形的問題就可以轉化為四邊形和三角形的問題來解決。

這道題的解決完美體現了圓的旋轉不變性的妙用。

第三篇：九年級數學圓教案4

第二十四章“圓”簡介

課程教材研究所

李海東

與三角形、四邊形等一樣，圓也是基本的平面圖形，也是“空間與圖形”的主要研究對象，是人們生活中常見的圖形。本章將在學生前面學習了一些基本的直線形──三角形、四邊形等的基礎上，進一步研究一個基本的曲線形──圓，探索圓的有關性質，了解與圓有關的位置關系等，并結合一些圖形性質的證明，進一步發展學生的邏輯思維能力。本章共安排四個小節和兩個選學內容，教學時間大約需要17課時，具體安排如下（僅供參考）：

24.1 圓

5課時 24.2 與圓有關的位置關系

6課時 24.3 正多邊形和圓

2課時 24.4 弧長和扇形的面積

2課時 數學活動

小結

2課時

一、教科書內容和課程學習目標

（一）本章知識結構框圖

本章知識結構如下圖所示：

（二）教科書內容

本章是在學習了直線圖形的有關性質的基礎上，來研究一種特殊的曲線圖形──圓的有關性質。圓也是常見的幾何圖形之一，不僅日常生活中的許多物體是圓形的，而且在工農業生產、交通運輸、土木建筑等方面都可以看到圓。圓的有關性質，也被廣泛的應用。圓也是平面幾何中最基本的圖形之一，它不僅在幾何中有重要地位，而且是進一步學習數學以及其他科學的重要的基礎。圓的許多性質，比較集中地反映了事物內部量變與質變的關系、一般與特殊的關系、矛盾的對立統一關系等等。結合圓的有關知識，可以對學生進行辯證唯物主義世界觀的教育。所以這一章的教學，在初中的學習中也占有重要地位。

本章是在小學學過的一些圓的知識的基礎上，系統的研究圓的概念、性質、圓中有關的角、點與圓、直線與圓、圓與圓、圓與正多邊形之間的位置、數量關系。本章共分為四個小節，第1小節是“圓”，主要是圓的有關概念和性質，圓的概念和性質是進一步研究圓與其他圖形位置、數量關系的主要依據，是全章的基礎。這一節包括“圓”“垂直于弦的直徑”“弧、弦、圓心角”“圓周角”四個部分。“24.1.1 圓”的主要內容是圓的定義和圓中的一些相關概念。圓的定義是研究圓的有關性質的基礎。在小學，學生接觸過圓，對它有一定的認識。教科書首先結合生活中一些圓的實際例子，在學生小學學過的畫圓的基礎上，通過設置一個觀察欄目，用“發生法”給出了圓的定義。進一步的教科書又分析了圓上每一個點與圓心的距離都等于定長，同時到定點的距離等于定長的點都在圓上，這樣實際上從點和集合的角度進一步認識圓，這樣再認識之后，學生對圓的 認識就加深了。接下來，是與圓有關的一些概念，如半徑、直徑、弦、弧等，對于這些概念要讓學生結合圖形進行認識，并多進行比較，以搞清他們的異同。在接下來的幾部分，教科書探究并證明了垂徑定理、弧、弦、圓心角的關系定理、圓周角定理。垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質，是圓的軸對稱性的具體化，也是證明線段相等、角相等、垂直關系的重要依據，同時也為進行圓的計算和作圖提供了方法和依據；圓周角定理及其推論對于角的計算、證明角相等、弧、弦相等等問題提供了十分簡便的方法。所以垂徑定理及其推論、圓周角定理及其推論是本小節的重點，也是本章的重點內容。而垂徑定理及其推論的條件和結論比較復雜，容易混淆，圓周角定理的證明要用到完全歸納法，學生對與分類證明的必要性不易理解，所以這兩部分內容也是本節的難點。

“24.2 與圓有關的位置關系”包括三部分內容，點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系。在“點與圓的位置關系”中，教科書首先結合射擊問題，給出了點與圓的三種不同位置關系，接下來討論了過三點的圓，并結合“過同一直線上的三點不能作圓”介紹了反證法。在“直線與圓的位置關系”中，教科書首先討論了直線與圓的三種位置關系，然后重點研究了直線與圓相切的情況，給出了直線與圓相切的判定定理、性質定理、切線長定理，在此基礎上介紹了三角形的內切圓。在“圓與圓的位置關系”中，重點是討論圓與圓的不同位置關系。本小節中，直線與圓的位置關系是中心內容，切線的判定定理、性質定理、切線長定理等則是研究直線與圓的有關問題時常用的定理，是本節的重點內容。反證法的思想在前面章節有所滲透，在這一小節正式提出，它是一種間接證法，學生接受還是有一定的困難，所以對于反證法的教學是本節的一個難點；另外切線的判定定理和性質定理的題設和結論容易混淆，證明性質定理又要用到反證法，因此這兩個定理的教學也是本節的難點，這些也同時是本章的難點。正多邊形是一種特殊的多邊形，它有一些類似于圓的性質。例如，圓有獨特的對稱性，它不僅是軸對稱圖形、中心對稱圖形，而且它的任意一條直徑所在直線都是它的對稱軸，繞圓心旋轉任意一個角度都能和原來的圖形重合。正多邊形也是軸對稱圖形，正n邊形就有n條對稱軸，當n為偶數時，它也是中心對稱圖形，而且繞中心每旋轉，都能和原來的圖形重合，可見正多邊形和圓有很多內在的聯系。另外，正多邊形也在生產和生活中有著廣泛的應用，所以教科書接下來安排了“正多邊形和圓”的內容。教科書回顧學生已經了解的正多邊形概念的基礎上，以正五邊形為例，證明了利用等分圓周得到正五邊形的方法，接下來介紹了正多邊形的有關概念，如中心、半徑、中心角、邊心距等，并進一步介紹了畫正多邊形的方法。正多邊形的有關計算是本節的重點內容，這些計算都是幾何中的基礎知識，正確掌握它們也要綜合運用以前所學的知識，這些知識在生產和生活中也常要用到。本節的教學難點在學生對正n邊形中“n”的接受和理解上。學生對三角形、四邊形、圓等這些具體圖形比較習慣，對于泛指的n邊形

不習慣。為了降低難度，教科書涉及的證明、計算等問題都是結合具體的多邊形為例的，教學時要注意把這種針對具體圖形的結論和方法推廣，使學生實現由具體到抽象，特殊到一般的認識上的飛躍，提高學生的思維能力。

教科書接下來的24.4節的主要內容是一些與圓有關的計算，包括兩部分“弧長和扇形的面積”“圓錐的側面積和全面積”。“弧長和扇形的面積”是在小學學過的圓周長、面積公式的基礎上推導出來的，應用這些公式，就可以計算一些與圓有關的簡單組合圖形的周長和面積。由于圓錐的側面展開圖是扇形，所以教科書接下來介紹了圓錐的側面積和全面積的計算。這些計算不僅是幾何中基本的計算，也是日常生活中經常要用到的，運用這些知識也可以解決一些簡單的實際問題。圓錐的側面積的計算還可以培養學生的空間觀念，因此對這部分內容的教學也要重視。

（三）課程學習目標

1．理解圓及其有關概念，理解弧、弦、圓心角的關系，探索并了解點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系，探索并掌握圓周角與圓心角的關系、直徑所對的圓周角的特征。

2.了解切線的概念，探索并掌握切線與過切點的半徑之間的位置關系，能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線。

3.了解三角形的內心和外心，探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓。

4.了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內接正多邊形的方法；會計算弧長及扇形的面積、圓錐的側面積及全面積。

5.結合相關圖形性質的探索和證明，進一步培養學生的合情推理能力，發展學生的邏輯思維能力和推理論證的表達能力；通過這一章的教學，進一步培養學生綜合運用知識的能力，運用學過的知識解決問題的能力，同時對學生進行辯證唯物主義世界觀的教育。

二、本章編寫特點

（一）突出圖形性質的探索過程，重視直觀操作和邏輯推理的有機結合 圓是日常生活中常見的圖形之一，也是平面幾何中的基本圖形，本章重點研究了與圓有關的一些性質。教科書在編寫時，注意突出圖形性質的探索過程，重

視直觀操作和邏輯推理的有機結合，通過多種手段，如觀察度量、實驗操作、圖形變換、邏輯推理等來探索圖形的性質。

例如結合圓的軸對稱性，發現垂徑定理及其推論；利用圓的旋轉對稱性，發現圓中弧、弦、圓心角之間的關系；通過觀察、度量，發現圓心角與圓周角、圓周角之間的數量關系；利用直觀操作，發現點與圓、直線與圓、圓與圓之間的位置關系等等。在學生通過觀察、操作、變換探究出圖形的性質后，還要求學生能對發現的性質進行證明，使直觀操作和邏輯推理有機的整合在一起，使推理論證成為學生觀察、實驗、探究得出結論的自然延續。

（二）注意聯系實際

圓是人們日常生活和生產中應用較廣的一種幾何圖形，不僅日常生活中許多物體是圓形的，而且在工農業生產、交通運輸、土木建筑等方面都可以見到圓。這部分內容與實際聯系比較緊密。在教科書編寫時，也充分注意到這一點。例如，在引入圓、正多邊形等概念時，舉出了大量的實際生活中的例子；在介紹點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系時，也是注意從它們在實際生活中的應用引入；利用垂徑定理解決求趙州橋的主橋拱半徑的問題；根據海洋館中人們視野的關系引出研究圓周角與圓心角、圓周角之間的關系；利用正多邊形的有關計算求亭子的地基；實際問題中有關弧長、扇形的面積、圓錐的側面積和全面積的計算問題等等。教科書的例、習題中也有一些實際應用的例子等等。這些材料都是從實際中提煉出來的，要通過這些知識的教學，幫助學生從實際生活中發現數學問題、運用所學知識解決實際問題。教學時，還可以根據本地區的實際，選擇一些實際問題，引導學生加以解決，提高他們應用知識解決問題的能力。

（三）重視滲透數學思想方法

教學中不僅要教知識，更重要的是教方法，本章重涉及的數學思想方法也比較多。例如，圓周角定理證明中的通過分類討論，把一般問題轉化為特殊情況來證明；研究點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系時的分類的思想；研究正多邊形的有關問題是通過把問題轉化為解直角三角形來解決的；正多邊形的畫圖是通過等分圓來完成的；等等。通過這些知識的教學，使學生學會化未知為已知、化復雜為簡單、化一般為特殊或化特殊為一般的思考方法，提高學生分析問題和解決問題的能力。

另外，在本章，通過理論聯系實際，對學生進行唯物論認識論的教育；通過圓的許多性質之間的內在聯系，圓與其他圖形之間量變與質變的關系，一般與特殊之間的關系等，對學生進行辯證唯物主義觀點的教育；使學生增強民族的自豪感和振興中華的使命感，對他們進行學習目的的教育，培養他們良好的個性品質。

三、幾個值得關注的問題

（一）進一步培養推理論證能力

從培養學生的邏輯思維能力來說，“圓”這一階段處于學生初步掌握了推理論證方法的基礎上進一步鞏固和提高的階段，不僅要求學生能熟練地用綜合法證明命題，熟悉探索法的推理過程，而且要求了解反證法。教學中要重視推理論證的教學，進一步提高學生的思維能力。教科書在這方面也還是很重視的。在推理與證明的要求方面，除了要求學生對經過觀察、實驗、探究得出的結論進行證明以外，有一些圖形的性質是直接由已有的結論經過推理論證得出的。另外，為了鞏固并提高學生的推理論證能力，本章的定理證明中，除了采用了規范的證明方法外，還有一些采用了探索式的證明方法。這種方法不是先有了定理再去證明它，而是根據題設和已有知識，經過推理，得出結論。這些對激發學生的學習興趣，活躍學生的思維，對發展學生的思維能力有好處。教學中要注意啟發和引導，使學生在熟悉“規范證明”的基礎上，推理論證能力有所提高和發展。

另外，這部分內容所涉及的圖形很多是圓和直線形的組合，而且題目也相對以前比較復雜，教學時應注意多幫助學生復習有關直線形的知識，做到以新帶舊、新舊結合，而且要加強解題思路的分析，幫助學生樹立已知與未知、簡單與復雜、特殊與一般在一定條件下可以轉化的思想，使學生學會把未知化為已知，把復雜問題化為簡單問題，把一般問題化為特殊問題的思考方法。如對于圓周角定理的證明，可以先從最簡單的情況──角的一邊經過圓心時入手，再推廣到一般情形。通過這樣的訓練，可以提高學生邏輯思維能力和分析解決實際問題的能力。

（二）重視知識間的聯系與綜合

圓是學生學習的第一個曲線形。學生由學習直線形到曲線形，在認識上是一個飛躍。在教學時，應注意充分利用學生在小學學過的圓的知識，搞好銜接。同時要注意加強圓和直線形的聯系，把圓和直線形的有關問題對照講解。如在講“不在同一直線上的三個點確定一個圓”時，可以和“兩點確定一條直線”相對照，這樣可以加深學生對知識的理解。教科書在編寫時，也注意從學生學習的規律出發，加強新舊知識的聯系，發揮知識的遷移作用。例如，在講圓的定義時，先回顧小學學過的定義，在分析圓上的點的特征的基礎上，用集合語言重新給出描述；在學習圓及正多邊形的計算時，注意將新知識與直角三角形的知識、小學學過的圓的周長與面積的知識聯系起來，使新知識在學生眼里不陌生，容易接受。

圓是一種特殊曲線，它有獨特的對稱性。它不僅是軸對稱圖形、中心對稱圖形，而且它的任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。繞圓心旋轉任意一個角度都能與原來的圖形重合（旋轉對稱性）。圓的對稱性在日常生活和生產中有著廣泛的應用，因此應當讓學生很好地掌握。在研究圓的有關性質時，充分利用圓的 對稱性也是本章編寫的一個特點。如垂徑定理，弧、弦、圓心角的關系，切線長定理等，都是讓學生充分利用圓的這些對稱性，通過觀察、實驗等探究出性質，再進行證明，體現圖形的認識、圖形的變換、圖形的證明的有機結合。這些也是教學時應當重點注意的。

（三）注意把握好教學要求

本章教學內容與以往教材內容相比，刪減幅度比較大（原義教大綱教材53課時，現在17課時），教學時要注意把握好教學要求。教學內容應當限制在課標和教材所出現的范圍，按照課標要求刪減的內容，教學中不要再揀回，以免影響學生對基礎知識的學習。對于推理論證的要求，課程標準中在本章沒有明確規定。教科書中是按照整套教科書對于推理證明的要求來處理的。在本章，要求學生對于一些圓的有關性質進行證明，并利用這些性質去證明一些相關的結論。但要注意，這里的證明也要控制難度，對于一般學生，控制在教科書“綜合應用”的題目難度內，對于學有余力的學生，可以要求他們完成“拓廣探索”欄目的習題。

反證法的思想在七年級上冊教科書代數部分就有涉及，在后續的相關章節也有應用。但當時只是滲透反證法的思想，沒有作為一種方法提出。在本章，結合“過同一直線上的三點不能作圓”，正式提出了反證法，并且在后續內容，如“圓的切線垂直于過切點的半徑”的證明時也有應用。由于反證法是一種間接證法，學生接受起來有一定困難。因此，教科書主要是要求讓學生理解反證法的思想，后續習題也沒有安排相應的習題。這里也要注意把握好對反證法的要求，不要讓學生作過多過難的關于反證法的習題。

另外，圓有許多重要性質，其中最主要的是圓的對稱性（軸對稱和旋轉不變性），教科書在證明圓的許多重要性質時，都運用了它的對稱性。但是，因為用對稱的定義證明問題，對學生來說比較困難，所以在本章的教學中，一方面要重視利用圓的對稱性（教科書中在使用圓的對稱性）；另一方面又不應要求學生嚴格地利用對稱性寫出證明過程。教學中要把握好這個要求。

（四）重視信息技術的應用

在本章的教學中，有條件的學校還是要重視信息技術工具的使用。利用信息技術工具，可以很方便地制作圖形，可以很方便地讓圖形動起來。許多計算機軟件還具有測量功能，這也有利于我們在圖形運動變化的過程中去發現其中不變的位置關系和數量關系，有利于發現圖形的性質。

例如，本章許多圖形的性質都可以利用計算機軟件設置一些探究活動，讓圖形動起來，在這種運動變化中發現圖形的性質。如弧、弦、圓心角之間的關系。

有許多計算機軟件具有測量功能，可以方便地測出角的大小和線段的長度，這也有利于在運動變化中觀察它們的關系，發現圖形的性質。如圓周角定理。另外還可以通過計算機軟件讓圖形動起來，在動態變化過程中去發現點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系，還可以通過測量，去發現這種位置關系所對應的數量關系，如直線與圓的位置關系中直線到圓心的距離與圓的半徑的關系，兩圓位置關系中圓心距與圓半徑的關系等。

第四篇：九年級數學上冊圓教案

九年級《數學》上冊《圓》教案

教學內容：正多邊形與圓 第二課時

教學目標：（1）理解正多邊形與圓的關系；

（2）會正確畫相關的正多邊形

（3）進一步向學生滲透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辯證法思想．

教學重點：

會正確畫相關的正多邊形（定圓心角與弧長）

教學難點：

會正確畫相關的正多邊形（定圓心角與弧長）

教學活動設計：

（一）觀察、分析、歸納：實際生活中，經常會遇到畫正多邊形的問題，舉例（見課本如畫一個六角螺帽的平面圖，畫一個五角星等等。

觀察、分析：如何等分圓周，畫正多邊形？

教師組織學生進行，并可以提問學生問題．

（二）回憶正多邊形的概念，正確畫正多邊形：

（1）概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．如果一個正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形．

問題：正多邊形與圓有什么關系呢？

發現：正三角形與正方形都有外接圓。

分析：正三角形三個頂點把圓三等分；正方形的四個頂點把圓四等分．要將圓五等分，把等分點順次連結，可得正五邊形．要將圓六等分呢？

可得：把圓分成n(n≥3)等份：

依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形；

（2）以畫正六邊形為例： 分析：由于同圓中相等的圓心角所對的弧相等，因此作相等的圓心角就可以等分圓，從而得到相應的正多邊形。例如，畫一個邊長為2cm的正六邊形時，我們可以以2cm為半徑作一個⊙O，用量角器畫一個等于3600/6=600的圓心角，它對著一段弧，然后在圓上依次截取與這條弧相等的弧，就得到圓的6個等分點，順次連接各分點，即可得出正六邊形（如圖）

對于一些特殊的正多邊形，還可以用圓規和直尺來作。例如，我們可以這樣來作正六邊形。（見課本）等等

（三）初步應用

1．畫一個半徑為2cm的正五邊形，再作出這個正五邊形的各條對角線，畫出一個五角星。

2．用等分圓的方法畫出下列圖案：（見課本107頁）

（四）歸納小結：

（五）作業布置； 107-108

第五篇：九年級數學下冊 24.2 圓的基本性質教案1 滬科版

第24章 圓

24.2 圓的基本性質（1）

【教學內容】圓的兩種定義、弦、弧等概念 【教學目標】 知識與技能

明確圓的兩種定義、弦、弧等概念，澄清“圓是圓周而非圓面”、“等弧不是長度相等的弧”等模糊概念。過程與方法

通過觀察、比較、分析，發展學生的合情推理能力和演繹推理能力。情感、態度與價值觀

在觀察、比較、分析中，激發學生的好奇心和求知欲。【教學重難點】 重點：“圓是圓周而非圓面”、“等弧不是長度相等的弧” 等模糊概念

難點：“圓是圓周而非圓面”、“等弧不是長度相等的弧” 等模糊概念

【導學過程】 【知識回顧】

1、舉例說出生活中的圓。

2、你是怎樣畫圓的？你能講出形成圓的方法有多少種嗎？ 【情景導入】

自學課本，思考下列問題：

1.分別用不同的方法作圓，標明圓心、半徑，體會圓的形成過程。2.圓的兩個定義各是什么？

3.弄清圓的有關概念？怎樣用數學符號表示？

【新知探究】 探究

一、1、車輪為什么做成圓形的？

2、為什么說“直徑是圓中最長的弦”？試說說你的理由.3、什么是弦、直徑、弧、半圓、等圓、等弧、優弧、弧劣？

4、什么是圓？圓可以看作什么？

探究

二、教學例1

【知識梳理】

圓的兩種定義法（1）旋轉法（2）集合法 2.直徑、半徑 3.弧 4.關系

【隨堂練習】

判斷正誤： 1）、弦是直徑（）2）半圓是弧；（）3）過圓心的線段是直徑；（）4）過圓心的直線是直徑；（）5)半圓是最長的弧；（）6)直徑是最長的弦；（）7)圓心相同，半徑相等的兩個圓是同心圓;（）8)半徑相等的兩個圓是等圓；（）9）等弧就是拉直以后長度相等的弧。（）