第一篇：2.3 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 教學(xué)設(shè)計 教案

教學(xué)準(zhǔn)備

1.教學(xué)目標(biāo)

1、知識與技能

（1）使學(xué)生正確理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“兩個平面互相垂直”的概念；

（2）使學(xué)生掌握兩個平面垂直的判定定理及其簡單的應(yīng)用；（3）使學(xué)生理會“類比歸納”思想在數(shù)學(xué)問題解決上的作用。

2、過程與方法

（1）通過實(shí)例讓學(xué)生直觀感知“二面角”概念的形成過程；

（2）類比已學(xué)知識，歸納“二面角”的度量方法及兩個平面垂直的判定定理。

2.教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)

通過揭示概念的形成、發(fā)展和應(yīng)用過程，使學(xué)生理會教學(xué)存在于觀實(shí)生活周圍，從中激發(fā)學(xué)生積極思維，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、解決問題能力。

3.教學(xué)用具

投影儀等.4.標(biāo)簽

數(shù)學(xué)，立體幾何

教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

問題1：平面幾何中“角”是怎樣定義的？

問題2：在立體幾何中，“異面直線所成的角”、“直線和平面所成的角”又是怎樣定義的？它們有什么共同的特征？

以上問題讓學(xué)生自由發(fā)言，教師再作小結(jié)，并順勢拋出問題：在生產(chǎn)實(shí)踐中，有許多問題要涉及到兩個平面相交所成的角的情形，你能舉出這個問題的一些例子嗎？如修水壩、發(fā)射人造衛(wèi)星等，而這樣的角有何特點(diǎn)，該如何表示呢？下面我們共同來觀察,研探。

（二）研探新知

1、二面角的有關(guān)概念

老師展示一張紙面，并對折讓學(xué)生觀察其狀，然后引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考，并對以上問題類比，歸納出二面角的概念及記法表示（如下表所示）

2、二面角的度量

二面角定理地反映了兩個平面相交的位置關(guān)系，如我們常說“把門開大一些”，是指二面角大一些，那我們應(yīng)如何度量二兩角的大小呢？師生活動：師生共同做一個小實(shí)驗(yàn)（預(yù)先準(zhǔn)備好的二面角的模型）在其棱上位取一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)各作一射線（如圖2.3-3），通過實(shí)驗(yàn)操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。教師特別指出：

（1）在表示二面角的平面角時，要求“OA⊥L”，OB⊥L；（2）∠AOB的大小與點(diǎn)O在L上位置無關(guān)；（3）當(dāng)二面角的平面角是直角時，這兩個平做法：教師引導(dǎo)學(xué)生分析題意，先讓學(xué)生自己動手推理證明，然后抽檢學(xué)生掌握情況，教師最后講評并板書證明過程。

（四）運(yùn)用反饋，深化鞏固 問題：課本P.73的探究問題

做法：學(xué)生思考（或分組討論），老師與學(xué)生對話完成。

（五）小結(jié)歸納，整體認(rèn)識

（1）二面角以及平面角的有關(guān)概念；

（2）兩個平面垂直的判定定理的內(nèi)容，它與直線與平面垂直的判定定理有何關(guān)系？

（六）課后鞏固，拓展思維

1、課后作業(yè)：自二面角內(nèi)一點(diǎn)分別向兩個面引垂線，求證：它們所成的角與二兩角的平面角互補(bǔ)。

2、課后思考問題：在表示二面角的平面角時，為何要求“OA⊥L、OB⊥L”？為什么∠AOB 的大小與點(diǎn)O在L上的位置無關(guān)？

課堂小結(jié)

（1）二面角以及平面角的有關(guān)概念；（2）兩個平面垂直的判定定理的內(nèi)容，它與直線與平面垂直的判定定理有何關(guān)系？

課后習(xí)題

1、課后作業(yè)：自二面角內(nèi)一點(diǎn)分別向兩個面引垂線，求證：它們所成的角與二兩角的平面角互補(bǔ)。

2、課后思考問題：在表示二面角的平面角時，為何要求“OA⊥L、OB⊥L”？為什么∠AOB 的大小與點(diǎn)O在L上的位置無關(guān)？

板書 略

第二篇：直線與平面垂直的判定的教學(xué)設(shè)計

直線與平面垂直的判定的教學(xué)設(shè)計

阜陽市城郊中學(xué)

吳桃李

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系和直線、平面平行的判定及其性質(zhì)之后進(jìn)行的，其主要內(nèi)容是直線與平面垂直的定義、直線與平面垂直的判定定理及其應(yīng)用．直線與平面垂直是通過直線和平面內(nèi)的任意一條直線（無一例外）都垂直來定義的，定義本身也表明了直線與平面垂直的意義，即如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內(nèi)的所有直線，這也可以看成是線線垂直的一個判定方法；直線與平面垂直的判定定理本節(jié)是通過折紙試驗(yàn)來感悟的，即一條直線只要與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直就可以判定直線與平面垂直了，它把原來定義中要求與任意一條（無限）垂直轉(zhuǎn)化為只要與兩條（有限）相交直線垂直就行了，概言之，線不在多，相交就行．直線與平面垂直的判定方法除了定義法、判定定理外，還有如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面，這是直線與平面垂直判定的一種間接方法，也是十分重要的．本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想，即“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”，“無限轉(zhuǎn)化為有限”“線線垂直與線面垂直互相轉(zhuǎn)化”等數(shù)學(xué)思想．直線與平面垂直是研究空間中的線線關(guān)系和線面關(guān)系的橋梁，為后繼面面垂直的學(xué)習(xí)、距離的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．

二、教學(xué)目標(biāo)和解析

1.借助對實(shí)例、圖片的觀察，提煉直線與平面垂直的定義，并能正確理解直線與平面垂直的定義；

2.通過直觀感知，操作確認(rèn)，歸納直線與平面垂直的判定定理，并能運(yùn)用判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題；

3.在探索直線與平面垂直判定定理的過程中發(fā)展合情推理能力，同時感悟和體驗(yàn)“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”、“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”、“無限轉(zhuǎn)化為有限”等數(shù)學(xué)思想.三、教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)是熟悉的日常生活中的具體直線與平面垂直的直觀形象（學(xué)生的客觀現(xiàn)實(shí)）和直線與直線垂直的定義、直線與平面平行的判定定理等數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)（學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)），這為學(xué)生學(xué)習(xí)直線與平面垂直定義和判定定理等新知識奠定基礎(chǔ)．學(xué)生學(xué)習(xí)的困難在于如何從直線與平面垂直的直觀形象中提煉出直線與平面垂直的定義，感悟直線與平面垂直的意義；以及如何從折紙試驗(yàn)中探究出直線與平面垂直的判定定理．

教學(xué)的重點(diǎn)是直線與平面垂直的定義和直線與平面垂直判定定理的探究； 教學(xué)的難點(diǎn)是操作確認(rèn)并概括出直線與平面垂直的判定定理及初步運(yùn)用．

四、學(xué)習(xí)行為分析

本節(jié)課安排在立體幾何的初始階段，是學(xué)生空間觀念形成的關(guān)鍵時期，課堂上學(xué)生通過感知、觀察、提煉直線與平面垂直的定義，進(jìn)而通過辨析討論，深化對定義的理解．進(jìn)一步，在一個具體的數(shù)學(xué)問題情境中猜想直線與平面垂直的判定定理，并在教師的指導(dǎo)下，通過動手操作、觀察分析、自主探索等活動，切身感受直線與平面垂直判定定理的形成過程,體會蘊(yùn)涵在其中的思想方法．繼而，通過例1的學(xué)習(xí)概括直線與平面垂直的幾種常用判定方法．再通過練習(xí)與課后小結(jié)，使學(xué)生進(jìn)一步加深對直線與平面垂直的判定定理的理解．

五、教學(xué)支持條件分析

觀察和展示現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)例與圖片，以直觀感知直線與平面垂直的形象；準(zhǔn)備三角形紙片，用于探究直線與平面垂直的判定定理；制作多媒體課件動態(tài)演示，以加深對直線與平面垂直定義及判定定理的感知與理解．

六、教學(xué)過程設(shè)計

1.從實(shí)際背景中感知直線與平面垂直的形象

問題1：空間一條直線和一個平面有哪幾種位置關(guān)系？

設(shè)計意圖：此問基于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，通過對已學(xué)相關(guān)知識的追憶，尋找新知識學(xué)習(xí)的“固著點(diǎn)”． 問題2：在日常生活中你見得最多的直線與平面相交的情形是什么？請舉例說明．

設(shè)計意圖：此問基于學(xué)生的客觀現(xiàn)實(shí)，通過對生活事例的觀察，讓學(xué)生直觀感知直線與平面相交中一種特例：直線與平面垂直的初步形象，激起進(jìn)一步探究直線與平面垂直的意義．

2.提煉直線與平面垂直的定義

問題3：你能給出直線和平面垂直的定義嗎？回憶一下直線與直線垂直是如何定義的？

設(shè)計意圖：兩直線垂直有相交垂直和異面垂直，而異面直線垂直是轉(zhuǎn)化為兩直線相交垂直，實(shí)質(zhì)上是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，讓學(xué)生回憶直線與直線垂直的定義，旨在由此得到啟發(fā)：用“平面化”的思想來思考問題，即能否用一條直線垂直于一個平面內(nèi)的直線，來定義這條直線與這個平面垂直？

問題4：結(jié)合對下列問題的思考，試著給出直線和平面垂直的定義．(1)陽光下，旗桿AB與它在地面上的影子BC所成的角度是多少？

(2)隨著太陽的移動,影子BC的位置也會移動,而旗桿AB與影子BC所成的角度是否會發(fā)生改變?

(3)旗桿AB與地面上任意一條不過點(diǎn)B的直線B1C1的位置關(guān)系如何?依據(jù)是什么？

設(shè)計意圖：第（1）與（2）兩問旨在讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)旗桿AB所在直線始終與地面上任意一條過點(diǎn)B的直線垂直，第（3）問進(jìn)一步讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)旗桿AB所在直線始終與地面上任意一條不過點(diǎn)B的直線也垂直，在這里，主要引導(dǎo)學(xué)生通過觀察直立于地面的旗桿與它在地面的影子的位置關(guān)系來分析、歸納直線與平面垂直這一概念．

（學(xué)生敘寫定義，并建立文字、圖形、符號這三種語言的相互轉(zhuǎn)化）思考：（1）如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個平面垂直？

（2）如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線是否垂直于這個平面內(nèi)的所有直線？（對問（1），在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上用直角三角板在黑板上直觀演示；對問（2）可引導(dǎo)學(xué)生給出符號語言表述：若，則)

設(shè)計意圖：通過對問題（1）的辨析討論，深化直線與平面垂直的概念．通過對問題（2）的辨析討論旨在讓學(xué)生掌握線線垂直的一種判定方法． 通常定義可以作為判定依據(jù)，但由于利用直線與平面垂直的定義直接判定直線與平面垂直需要考察平面內(nèi)的每一條直線與已知直線是否垂直，這給我們的判定帶來困難，因?yàn)槲覀儫o法去一一檢驗(yàn)．這就有必要去尋找比定義法更簡捷、可行的直線與平面垂直的判定方法． 3.探究直線與平面垂直的判定定理 創(chuàng)設(shè)情境 猜想定理：某公司要安裝一根8米高的旗桿，兩位工人先從旗桿的頂點(diǎn)掛兩條長10米的繩子，然后拉緊繩子并把繩子的下端放在地面上兩點(diǎn)（和旗桿腳不在同一直線上）．如果這兩點(diǎn)都和旗桿腳距離6米，那么表明旗桿就和地面垂直了，你知道這是為什么嗎？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直觀感知以及已有經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行合情推理，猜想判定定理． 師生活動：（折紙試驗(yàn)）請同學(xué)們拿出一塊三角形紙片，我們一起做一個試驗(yàn)：過三角形的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD（如圖1），將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）

問題5：（1）折痕AD與桌面垂直嗎？

（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？（組織學(xué)生動手操作、探究、確認(rèn)）

設(shè)計意圖：通過折紙讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時，且B、D、C不在同一直線上的翻折之后豎起的折痕AD才不偏不倚地站立著，即AD與桌面垂直（如圖2），其它位置都不能使AD與桌面垂直．

問題6：在你翻折紙片的過程中，紙片的形狀發(fā)生了變化，這是變的一面，那么不變的一面是什么呢？（可從線與線的關(guān)系考慮）如果我們把折痕抽象為直線，把BD、CD抽象為直線，把桌面抽象為平面(如圖3)，那么你認(rèn)為保證直線與平面垂直的條件是什么？

對于兩條相交直線必須在平面內(nèi)這一點(diǎn)，教師可引導(dǎo)學(xué)生操作：將紙片繞直線AD（點(diǎn)D始終在桌面內(nèi)）轉(zhuǎn)動，使得直線CD、BD不在桌面所在平面內(nèi)．問：直線AD現(xiàn)在還垂直于桌面所在平面嗎？（此處引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到直線CD、BD都必須是平面內(nèi)的直線）

設(shè)計意圖：通過操作讓學(xué)生認(rèn)識到兩條相交直線必須在平面內(nèi)，從而更凸現(xiàn)出直線與平面垂直判定定理的核心詞：平面內(nèi)兩條相交直線．

問題7：如果將圖3中的兩條相交直線、的位置改變一下，仍保證，（如圖4）你認(rèn)為直線還垂直于平面嗎？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生明白要判定一條已知直線和一個平面是否垂直，取決于在這個平面內(nèi)能否找出兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)，這是無關(guān)緊要的．

根據(jù)試驗(yàn)，請你給出直線與平面垂直的判定方法．

（學(xué)生敘寫判定定理，給出文字、圖形、符號這三種語言的相互轉(zhuǎn)化）問題8：（1）與直線與平面垂直的定義相比,你覺得這個判定定理的優(yōu)越性體現(xiàn)在哪里?（2）你覺得定義與判定定理的共同點(diǎn)是什么? 設(shè)計意圖：通過和直線與平面垂直定義的比較，讓學(xué)生體會“無限轉(zhuǎn)化為有限”的數(shù)學(xué)思想，通過尋找定義與判定定理的共同點(diǎn)，感悟和體會“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”、“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”的數(shù)學(xué)思想.思考：現(xiàn)在，你知道兩位工人是根據(jù)什么原理安裝旗桿的嗎？為什么要求繩子在地面上兩點(diǎn)和旗桿腳不在同一直線上？

如果安裝完了，請你去檢驗(yàn)旗桿與地面是否垂直，你有什么好方法？

設(shè)計意圖：用學(xué)到手的知識解釋實(shí)際生活中的問題，增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識，同時通過提出 “為什么要求繩子在地面上兩點(diǎn)和旗桿腳不在同一直線上？”（對該問題可引導(dǎo)學(xué)生用三角形紙片來驗(yàn)證），從而來深化對直線與平面垂直判定定理的理解．

4.直線與平面垂直判定定理的應(yīng)用

如圖５，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，請列舉與平面ABCD垂直的直線．并說明這些直線有怎樣的位置關(guān)系？

思考：如圖６，已知，則嗎？請說明理由．

（分別用直線與平面垂直的判定定理、直線與平面垂直的定義證明；并讓學(xué)生用語言敘述：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面）設(shè)計意圖：這個例題給出了判斷直線和平面垂直的一個常用的命題，這個命題體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的聯(lián)系．

練習(xí)：如圖７，在三棱錐V-ABC中，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中點(diǎn)． 求證：AC⊥平面VKB

思考：

(1)在三棱錐V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求證：VB⊥AC；

(2)在⑴中，若E、F分別是AB、BC 的中點(diǎn)，試判斷EF與平面VKB的位置關(guān)系；

(3)在⑵的條件下，有人說“VB⊥AC，VB⊥EF，∴VB⊥平面ABC”，對嗎？ 設(shè)計意圖：例2重在對直線與平面垂直判定定理的應(yīng)用．變式（1）在例2的基礎(chǔ)上，應(yīng)用了直線與平面垂直的意義；變式（2）是對例1判定方法的應(yīng)用；變式（3）的判斷在于進(jìn)一步鞏固直線與平面垂直的判定定理．3個小題環(huán)環(huán)相扣，匯集了本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，突出了知識間內(nèi)在聯(lián)系和融會貫通．

5.小結(jié)回授

（1）本節(jié)課你學(xué)會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？試用自己理解的語言敘述．（2）直線與平面垂直的判定定理中體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

設(shè)計意圖：以問題討論的方式進(jìn)行小結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣，鼓勵學(xué)生運(yùn)用自己理解的語言對問題進(jìn)行質(zhì)疑和概括．

七、目標(biāo)檢測設(shè)計

1．PA⊥平面ABC，BC⊥AC，寫出圖中所有的直角三角形．

第三篇：直線與平面垂直的判定教案

《直線與平面垂直的判定》

選自人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》必修2第二章第三節(jié)

一、教學(xué)目標(biāo) 1.知識與技能目標(biāo)

(1).掌握直線與平面垂直的定義

(2).理解并掌握直線與平面垂直的判定定理(3).會判斷一條直線與一個平面是否垂直

(4).培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和對新知識的探索能力

2.過程與方法目標(biāo)

(1).加強(qiáng)學(xué)生空間與平面之間的轉(zhuǎn)化意識，訓(xùn)練學(xué)生的思維靈活性

(2).要善于應(yīng)用平移手法將分散的條件集中到某一個圖形中進(jìn)行研究，特別是輔助線的添加

3.情感態(tài)度價值觀目標(biāo)

(1).培養(yǎng)學(xué)生的探索精神(2).加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣

二、重點(diǎn)難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：直線與平面垂直的定義及其判定定理 2.教學(xué)難點(diǎn)：直線與平面垂直判定定理的理解

三、課時安排

本課共安排一課時

四、教學(xué)用具

多媒體、三角形紙片、三角板或直尺

五、教學(xué)過程設(shè)計 1.創(chuàng)設(shè)情境

問題1：空間一條直線和一個平面有哪幾種位置關(guān)系？

設(shè)計意圖：此問基于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，通過對已學(xué)相關(guān)知識的追憶，尋找新知識學(xué)習(xí)的“固著點(diǎn)”。

問題2：列舉在日常生活中你見到的可以抽象成直線與平面相交的事例？ 尋找特殊的事例并引入課題。設(shè)計意圖：此問基于學(xué)生的客觀現(xiàn)實(shí)，通過對生活事例的觀察，讓學(xué)生直觀感知直線與平面相交中一種特例：直線與平面垂直的初步形象，激起進(jìn)一步探究直線與平面垂直的意義。

2.提煉定義

問題3：結(jié)合對下列問題的思考，試著給出直線和平面垂直的定義．(1)陽光下，旗桿AB與它在地面上的影子BC所成的角度是多少？

(2)隨著太陽的移動,影子BC的位置也會移動,而旗桿AB與影子BC所成的角度是否會發(fā)生改變?

(3)旗桿AB與地面上任意一條不過點(diǎn)B的直線B1C1的位置關(guān)系如何?依據(jù)是什么？ 設(shè)計意圖：第（1）與（2）兩問旨在讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)旗桿AB所在直線始終與地面上任意一條過點(diǎn)B的直線垂直，第（3）問進(jìn)一步讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)旗桿AB所在直線始終與地面上任意一條不過點(diǎn)B的直線也垂直，在這里，主要引導(dǎo)學(xué)生通過觀察直立于地面的旗桿與它在地面的影子的位置關(guān)系來分析、歸納直線與平面垂直這一概念。

（學(xué)生敘寫定義，并建立文字、圖形、符號這三種語言的相互轉(zhuǎn)化）

思考：（1）如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個平面垂直？

（2）如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線是否垂直于這個平面內(nèi)的所有直線？（對問（1），在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上用直角三角板在黑板上直觀演示；對問（2）可引導(dǎo)學(xué)生給出符號語言表述：若，則)

設(shè)計意圖：通過對問題（1）的辨析討論，深化直線與平面垂直的概念。通過對問題（2）的辨析討論旨在讓學(xué)生掌握線線垂直的一種判定方法。

通常定義可以作為判定依據(jù)，但由于利用直線與平面垂直的定義直接判定直線與平面垂直需要考察平面內(nèi)的每一條直線與已知直線是否垂直，這給我們的判定帶來困難，因?yàn)槲覀儫o法去一一檢驗(yàn)。這就有必要去尋找比定義法更簡捷、可行的直線與平面垂直的判定方法。

3.探究新知

創(chuàng)設(shè)情境

猜想定理：某公司要安裝一根8米高的旗桿，兩位工人先從旗桿的頂點(diǎn)掛兩條長10米的繩子，然后拉緊繩子并把繩子的下端放在地面上兩點(diǎn)（和旗桿腳不在同一直線上）。如果這兩點(diǎn)都和旗桿腳距離6米，那么表明旗桿就和地面垂直了，你知道這是為什么嗎？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直觀感知以及已有經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行合情推理，猜想判定定理。師生活動：（折紙試驗(yàn)）請同學(xué)們拿出一塊三角形紙片，我們一起做一個試驗(yàn)：過三角形的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD（如圖1），將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）

問題4：（1）折痕AD與桌面垂直嗎？

（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

（組織學(xué)生動手操作、探究、確認(rèn)）

設(shè)計意圖：通過折紙讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時，且B、D、C不在同一直線上的翻折之后豎起的折痕AD才不偏不倚地站立著，即AD與桌面垂直（如圖2），其它位置都不能使AD與桌面垂直。

問題5：在你翻折紙片的過程中，紙片的形狀發(fā)生了變化，這是變的一面，那么不變的一面是什么呢？（可從線與線的關(guān)系考慮）如果我們把折痕抽象為直線，把BD、CD抽象為直線 m，n，把桌面抽象為平面件是什么？

(如圖3)，那么你認(rèn)為保證直線與平面

垂直的條

對于兩條相交直線必須在平面內(nèi)這一點(diǎn)，教師可引導(dǎo)學(xué)生操作：將紙片繞直線AD（點(diǎn)D始終在桌面內(nèi)）轉(zhuǎn)動，使得直線CD、BD不在桌面所在平面內(nèi)。問：直線AD現(xiàn)在還垂直于桌面所在平面嗎？（此處引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到直線CD、BD都必須是平面內(nèi)的直線）設(shè)計意圖：通過操作讓學(xué)生認(rèn)識到兩條相交直線必須在平面內(nèi)，從而更凸現(xiàn)出直線與平面垂直判定定理的核心詞：平面內(nèi)兩條相交直線。

問題6：如果將圖3中的兩條相交直線、的位置改變一下，仍保證

嗎？，（如圖4）你認(rèn)為直線還垂直于平面設(shè)計意圖：讓學(xué)生明白要判定一條已知直線和一個平面是否垂直，取決于在這個平面內(nèi)能否找出兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)，這是無關(guān)緊要的。

根據(jù)試驗(yàn)，請你給出直線與平面垂直的判定方法。

（學(xué)生敘寫判定定理，給出文字、圖形、符號這三種語言的相互轉(zhuǎn)化）

問題7：（1）與直線與平面垂直的定義相比,你覺得這個判定定理的優(yōu)越性體現(xiàn)在哪里?（2）你覺得定義與判定定理的共同點(diǎn)是什么?

設(shè)計意圖：通過和直線與平面垂直定義的比較，讓學(xué)生體會“無限轉(zhuǎn)化為有限”的數(shù)學(xué)思想，通過尋找定義與判定定理的共同點(diǎn)，感悟和體會“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”、“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”的數(shù)學(xué)思想.思考：現(xiàn)在，你知道兩位工人是根據(jù)什么原理安裝旗桿的嗎？為什么要求繩子在地面上兩點(diǎn)和旗桿腳不在同一直線上？

如果安裝完了，請你去檢驗(yàn)旗桿與地面是否垂直，你有什么好方法？

設(shè)計意圖：用學(xué)到手的知識解釋實(shí)際生活中的問題，增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識，同時通過提出 “為什么要求繩子在地面上兩點(diǎn)和旗桿腳不在同一直線上？”（對該問題可引導(dǎo)學(xué)生用三角形紙片來驗(yàn)證），從而來深化對直線與平面垂直判定定理的理解。

4.練習(xí)提高

如圖5，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，請列舉與平面ABCD垂直的直線。并說明這些直線有怎樣的位置關(guān)系？

思考：如圖6，已知，則嗎？請說明理由。

（分別用直線與平面垂直的判定定理、直線與平面垂直的定義證明；并讓學(xué)生用語言敘述：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面）

設(shè)計意圖：這個例題給出了判斷直線和平面垂直的一個常用的命題，這個命題體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的聯(lián)系。

5.小結(jié)回授

（1）本節(jié)課你學(xué)會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？試用自己理解的語言敘述。（2）直線與平面垂直的判定定理中體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

設(shè)計意圖：以問題討論的方式進(jìn)行小結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣，鼓勵學(xué)生運(yùn)用自己理解的語言對問題進(jìn)行質(zhì)疑和概括。

第四篇：直線與平面垂直的判定和性質(zhì)練習(xí)題

直線與平面垂直的判定和性質(zhì)、平面與平面垂直的判定和性質(zhì)（6.8）出題人：婁媛審題人：劉福義

一、選擇題

1．兩異面直線在平面α內(nèi)的射影（）A．相交直線B．平行直線

C．一條直線—個點(diǎn)D．以上三種情況均有可能 2．若兩直線a與b異面，則過a且與b垂直的平面（）A．有且只有—個B．可能存在也可能不存在 C．有無數(shù)多個D．—定不存在3．若平面α的斜線l在α上的射影為l′，直線b∥α，且b⊥l′，則b與l（）

A．必相交B．必為異面直線C．垂直D無法確定 4．如果兩個平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面的位置關(guān)系是（）．

A.互相垂直 B.互相平行 C.一定相交 D.平行或相交 5．已知平面???，直線l??，直線m??，l?m，則l與?的位置關(guān)系是（）． A．l?? B．l//? C．l??

D．以上都有可能

6．過平面外一點(diǎn)P：①存在無數(shù)個平面與平面?平行；②存在無數(shù)個平面與平面?垂直；③存在無數(shù)條直線與平面?垂直；④只存在一條直線與平面?平行．其中正確的是（）

A．1個B．2個C．3個D．4個 7．在二面角?-l-?的一個面?內(nèi)有一條直線AB，若

AB與棱l的夾角為45?，AB與平面?所成的角為30?，則此二面角的大小是（）．

A．30?

B．30?

或150?C．45?D．45?或135?

8下列命題

①平面的每條斜線都垂直于這個平面內(nèi)的無數(shù)條直線；②若一條直線垂直于平面的斜線，則此直線必垂直于斜線在此平面內(nèi)的射影；

③若平面的兩條斜線段相等，則它們在同一平面內(nèi)的射影也相等；

④若一條線段在平面外并且不垂直于這個平面，則它的射影長一定小于線段的長．

其中，正確的命題有（）

A．1個B．2個C．3個D.4個

二、填空題

9．正方體ABCD?A1B1C1D1中，二面角D?A1C1?B的大小是________．

10．在空間四面體的四個面中，為直角三角形的最多有____________個．

11.已知二面角A?BC?D、A?CD?B、A?BD?C都相等，則A點(diǎn)在平面BCD上的射影是?BCD的___心． 12．?、?、?是相交于點(diǎn)O，且兩兩垂直的三個平面，點(diǎn)P到?、?、?的距離分別為4cm，6cm，12cm，則PO=________．

三、解答題

13．在四面體SABC中，?ASC?90?，?ASB??BSC?60?，SA?SB?SC，求證：平面ASC?平面ABC

14如圖，在長方體AC1中，已知AB＝BC＝a，BB1＝b（b＞a），連結(jié)BC1，過Bl作B1E⊥BC1交CC1于E，交BC1于Q，求證：AC1⊥平面EBlD1

15已知???，???，????a，????b，a//b，求證：?//?．

第五篇：《直線與平面垂直的判定》教學(xué)設(shè)計（最終版）

《直線與平面垂直的判定》教學(xué)設(shè)計

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系和直線、平面平行的判定及其性質(zhì)之后進(jìn)行的，其主要內(nèi)容是直線與平面垂直的定義、直線與平面垂直的判定定理及其應(yīng)用。直線與平面垂直是直線和平面相交中的一種特殊情況，它是空間中直線與直線垂直位置關(guān)系的拓展，又是平面與平面垂直的基礎(chǔ)，是空間中垂直位置關(guān)系間轉(zhuǎn)化的重心，同時它又是直線和平面所成的角、直線與平面、平面與平面距離等內(nèi)容的基礎(chǔ)，因而它是空間點(diǎn)、直線、平面間位置關(guān)系中的核心概念之一。

直線與平面垂直是通過直線和平面內(nèi)的任意一條直線（無一例外）都垂直來定義的，定義本身也表明了直線與平面垂直的意義，即如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內(nèi)的所有直線，這也可以看成是線線垂直的一個判定方法；直線與平面垂直的判定定理，本節(jié)是通過折紙試驗(yàn)來感悟的，即一條直線只要與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直就可以判定直線與平面垂直了，它把原來定義中要求與任意一條（無限）垂直轉(zhuǎn)化為只要與兩條（有限）相交直線垂直就行了，概言之，線不在多，相交就行。直線與平面垂直的判定方法除了定義法、判定定理外，還有如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面，這是直線與平面 垂直判定的一種間接方法，也是十分重要的。

本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想，即“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”，“無限轉(zhuǎn)化為有限”“線線垂直與線面垂直互相轉(zhuǎn)化”等數(shù)學(xué)思想。直線與平面垂直是研究空間中的線線關(guān)系和線面關(guān)系的橋梁，為后繼面面垂直的學(xué)習(xí)、距離的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

二、學(xué)情分析

（1）學(xué)生的起點(diǎn)能力分析

學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)是熟悉的日常生活中的具體直線與平面垂直的直觀形象（學(xué)生的客觀現(xiàn)實(shí)）和直線與直線垂直的定義、直線與平面平行的判定定理等數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)（學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)），這為學(xué)生學(xué)習(xí)直線與平面垂直定義和判定定理等新知識奠定基礎(chǔ)。

學(xué)生學(xué)習(xí)的困難在于如何從直線與平面垂直的直觀形象中提煉出直線與平面垂直的定義，感悟直線與平面垂直的意義；以及如何從折 紙試驗(yàn)中探究出直線與平面垂直的判定定理。（2）學(xué)習(xí)行為分析

本節(jié)課安排在立體幾何的初始階段，是學(xué)生空間觀念形成的關(guān)鍵時期，課堂上學(xué)生通過感知、觀察、提煉直線與平面垂直的定義，進(jìn)而通過辨析討論，深化對定義的理解。進(jìn)一步，在一個具體的數(shù)學(xué)問題情境中猜想直線與平面垂直的判定定理，并在教師的指導(dǎo)下，通過動手操作、觀察分析、自主探索等活動，切身感受直線與平面垂直判定定理的形成過程,體會蘊(yùn)涵在其中的思想方法。繼而，通過課本例1的學(xué)習(xí)概括直線與平面垂直的幾種常用判定方法。再通過練習(xí)與課后小結(jié)，使學(xué)生進(jìn)一步加深對直線與平面垂直的判定定理的理解。

三、教學(xué)目標(biāo)

知識與技能目標(biāo)：通過觀察圖片和折紙試驗(yàn)，使學(xué)生理解直線與平面

垂直的定義，歸納和確認(rèn)直線與平面垂直的判定定理，并能簡單應(yīng)用定義和判定定理；

過程與方法目標(biāo)：通過對判定定理的探究和運(yùn)用，初步培養(yǎng)學(xué)生的幾

何直觀能力和抽象概括能力；

情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：通過對探索過程的引導(dǎo)，努力提高學(xué)生學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生主動探究的習(xí)慣．

四、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：對直線與平面垂直的定義和判定定理的理解及其簡單應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：探究、歸納直線與平面垂直的判定定理，體會定義和定理中所包含的轉(zhuǎn)化思想．

五、教學(xué)方式

啟發(fā)式與試驗(yàn)探究式相結(jié)合。

六、教學(xué)過程設(shè)計

（一）、觀察歸納直線與平面垂直的定義

1、直觀感知

問題1：請同學(xué)們觀察圖片，說出旗桿與地面、大橋橋柱與水面是什么位置 關(guān)系？你能舉出一些類似的例子嗎？

設(shè)計意圖：從實(shí)際背景出發(fā)，直觀感知直線和平面垂直的位置關(guān)系，使學(xué)生在頭腦中產(chǎn)生直線與地面垂直的初步印象，為下一步的數(shù)學(xué)抽象做準(zhǔn)備。

師生活動：觀察圖片，引導(dǎo)學(xué)生舉出更多直線與平面垂直的例子，如教室內(nèi)直立的墻角線和地面位置關(guān)系，桌子腿與地面的位置關(guān)系，直立書的書脊與桌面的位置關(guān)系等，由此引出課題。

2、觀察思考

思考：如何定義一條直線與一個平面垂直呢？

我們已經(jīng)學(xué)過直線和平面平行的判定和性質(zhì)，知道直線和平面平行的問題可轉(zhuǎn)化為考察直線和平面內(nèi)直線平行的關(guān)系, 直線和平面垂直的問題同樣可以轉(zhuǎn)化為考察一條直線和一個平面內(nèi)直線的關(guān)系，然后加以解決。

問題2：（1）如圖1，在陽光下觀察直立于地面旗桿AB及它在地面的影子BC，旗桿所在的直線與影子所在直線位置關(guān)系是什么？

（2）旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部B的直線B1C1的位置關(guān)系又是什么？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生用“平面化”的思想來思考問題，通過觀察，感知直線與平面垂直的本質(zhì)屬性。

師生活動：教師用多媒體課件演示旗桿在地面上的影子隨著時間的變化而移動的過程，引導(dǎo)學(xué)生得出旗桿所在直線與地面內(nèi)的直線都垂直。

3、抽象概括

問題

3、通過上述觀察分析，你認(rèn)為應(yīng)該如何定義一條直線與一個平面垂直？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生歸納、概括出直線與平面垂直的定義。

師生活動：學(xué)生思考作答，教師補(bǔ)充完善，指出定義中的“任意一條直線”與“所有直線”是同意詞，定義是說這條直線和平面內(nèi)所有直線垂直。同時給出線面垂直的記法與畫法。

定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線

l與平面α互相垂直，記作： l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足。

畫法：畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖2。

4、辯析舉例

辨析：下列命題是否正確，為什么？

（1）如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線與這個平面垂直。

（2）如果一條直線垂直一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內(nèi)的任一直線。

設(shè)計意圖：通過問題辨析，加深概念的理解，掌握概念的本質(zhì)屬性。由（1）使學(xué)生明確定義中的“任意一條直線”是“所有直線”的意思，定義的實(shí)質(zhì)就是直線與平面內(nèi)所有直線都垂直。由（2）使學(xué)生明確，線面垂直的定義既是線面垂直的判定又是性質(zhì)，線線垂直與線面垂直可以相互轉(zhuǎn)化。

師生活動：命題（1）判斷中引導(dǎo)學(xué)生用鐵絲表直線，用三角板兩直角邊表兩垂直直線，桌面表平面舉出反例。教師利用三角板和教鞭進(jìn)行演示，將一塊大直角三角板的一條直角邊AC放在講臺上演示，這時另一 條直角邊BC就和講臺上的一條直線（即三角板與桌面的交線AC）垂直，但它不一定和講臺桌面垂直.在此基礎(chǔ)上在講臺上放一根和AC平行的教鞭EF并平行移動，那么BC始終和EF垂直，但它不一定和講臺桌面垂直，最后教師用多媒體課件展示反例的直觀圖，如圖3。

由命題（2）給出下列常用命題：

這個命題體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系的聯(lián)系，它是判斷線線垂直的常用方法。

（二）、探究發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的判定定理

1、觀察猜想

思考：我們該如何檢驗(yàn)學(xué)校廣場上的旗桿是否與地面垂直？ 雖然可以根據(jù)定義判定直線與平面垂直，但這種方法實(shí)際上難以實(shí)施。有沒有比較方便可行的方法來判斷直線和平面垂直呢？

問題

4、觀察跨欄、簡易木架等實(shí)物，你能猜想出判斷一條直線與一個平面垂直的方法嗎？

設(shè)計意圖：通過問題思考與實(shí)例分析，尋找具有可操作性的判定方法，體驗(yàn)有限與無限之間的辯證關(guān)系。

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，給出猜想：一條直線與一個平面內(nèi)兩相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

2、操作確認(rèn)

問題5：如圖4，請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的一塊（任意）三角形的紙片，我們一起來做一個實(shí)驗(yàn)：過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC與桌面接觸）.觀察并思考：

（1）折痕AD與桌面垂直嗎？如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

（2）由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關(guān)系，即AD⊥CD，AD⊥BD發(fā)生變化嗎？由此你能得到什么結(jié)論？ 設(shè)計意圖：通過實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的條件，培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力和幾何直觀能力。

師生活動：在折紙試驗(yàn)中，學(xué)生會出現(xiàn)“垂直”與“不垂直”兩種情況，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行交流，根據(jù)直線與平面垂直的定義分析“不垂直”的原因。學(xué)生再次折紙，進(jìn)而探究直線與平面垂直的條件，經(jīng)過討論交流，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要保證折痕AD是BC邊上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD就與桌面垂直，再利用多媒體演示翻折過程，增強(qiáng)幾何直觀性。

3、合情推理

問題6：根據(jù)上面的試驗(yàn)，結(jié)合兩條相交直線確定一個平面的事實(shí)，你能給出直線與平面垂直的判定方法嗎？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直觀感知及已有知識經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行合情推理，獲得判定定理。

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶出“兩條相交直線確定一個平面”，以及直觀過程中獲得的感知，將“與平面內(nèi)所有直線垂直”逐步歸結(jié)到“與平面內(nèi)兩條相交直線垂直”，進(jìn)而歸納出直線與平面垂直的判定定理。同時指出要判斷一條直線與一個平面是否垂直,取決于在這個平面內(nèi)能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)是無關(guān)緊要的.定理充分體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。用符號語言表示為：

4、質(zhì)疑深化

辨析：如果一條直線與一個梯形的兩條邊垂直，那么這條直線垂直于梯形所在的平面嗎？

設(shè)計意圖：通過辨析，強(qiáng)化定理中“兩條相交直線”的條件。師生活動：學(xué)生思考作答，教師再次強(qiáng)調(diào)“相交”條件。

（三）、直線與平面垂直的判定定理的初步應(yīng)用

嘗試練習(xí)

1、求證：與三角形的兩條邊同時垂直的直線必與第三條邊垂直。

設(shè)計意圖：初步感受如何運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理與定義解決問題，明確運(yùn)用線面垂直判定定理的條件。

師生活動：學(xué)生根據(jù)題意畫圖（如圖6），將其轉(zhuǎn)化為幾何命題：不妨設(shè)a⊥AC,a⊥BC求證：a⊥AB。請兩位同學(xué)板演，其余同學(xué)在練習(xí)本上完成，師生共同評析，明確運(yùn)用線面垂直判定定理時的具體步驟，防止缺少條件，特別是“相交”的條件。

嘗試練習(xí)

2、如圖7，已知a∥b，a⊥α，求證：b⊥α。

設(shè)計意圖：進(jìn)一步感受如何運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直，體會轉(zhuǎn)化思想在證題中的作用，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力與一定的推理論證能力。

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析思路，可利用線面垂直的定義證，也可用判定定理證，提示輔助線的添法，將思路集中在如何在平面內(nèi)α內(nèi)找到兩條與直線b垂直的相交直線上。另外，再引導(dǎo)學(xué)生將已知條件具體化的過程中，逐步明確根據(jù)異面直線所成角的概念解決問題。學(xué)生練習(xí)本上完成，對照課本P73例1,完善自己的解題步驟。同時指出：本例結(jié)果可以作為直線和平面垂直的又一個判定定理.這樣判定一條直線與已知平面垂直，可以用這條直線垂直于平面兩條相交直線來證明，也可以用這條直線的平行直線垂直于平面來證明.（四）、總結(jié)反思

（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？（2）上述判斷直線與平面垂直的方法體現(xiàn)的什么數(shù)學(xué)思想？（3）關(guān)于直線與平面垂直你還有什么問題？

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣，鼓勵學(xué)生對問題多質(zhì)疑、多概括。師生活動：學(xué)生發(fā)言，互相補(bǔ)充，教師點(diǎn)評完善，歸納出判斷直線與平面垂直的方法，給出框圖（投影展示）。

七、目標(biāo)檢測設(shè)計

1、如圖，點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，O是對角線AC與BD的交點(diǎn)，且PA=PC，PB=PD.求證：PO⊥平面ABCD

2、課本P74 練習(xí)1、2

3、課本P86 A組10

4、如圖，PA⊥圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，則圖中有幾個直角三角形?由此你認(rèn)為三棱錐中最多有幾個直角三角形？

（板書設(shè)計）