第一篇：直線與平面垂直的判定教案說明

《直線與平面垂直的判定》教案說明

《直線與平面垂直的判定》教案說明

北京市第五中學熊丹

一、教學內容的分析

本節課的內容包括直線與平面垂直的定義和判定定理兩部分．直線與平面垂直的研究是直線與直線垂直研究的繼續，也為平面與平面垂直的研究做了準備；這三類垂直問題的研究主線是類似的，都是以定義——判定——性質為主線．判定定理的教學，盡管新課標在必修課程中不要求證明，但通過定理的探索過程，培養和發展學生的幾何直覺以及運用圖形語言進行交流的能力，是本節課的重要任務．

二、教學目標的確定

新課標中立體幾何的體系和內容都發生了較大的變化，要求能通過直觀感知、操作確認，歸納出直線和平面垂直的判定定理．

根據教材特點、新課標的教學要求和學生的認知水平，我確定了如下教學目標：

1．通過觀察圖片和折紙試驗，使學生理解直線與平面垂直的定義，歸納和確認直線與平面垂直的判定定理，并能對定義和判定定理進行簡單應用；

2．通過對判定定理的探究和運用，初步培養學生的幾何直觀能力和抽象概括能力；

3．通過對探索過程的引導，努力提高學生學習數學的熱情，培養學生主動探究的習慣．

三、教學方法的特點

本節課采用啟發式與試驗探究式相結合的教學方式．

在啟發式教學過程中，以問題引導學生的思維活動．教學設計突出了對問題鏈的設計，教學中，結合學生的思維發展變化不斷追問，使學生對問題本質的思考逐步深入，思維水平不斷提高．

嘗試通過試驗的方法進行立體幾何的教學．本節課主要是通過直觀感知、操作確認歸納出直線和平面垂直的判定定理．但借助什么去感知？怎樣操作才能歸納出判定定理？確認到什么程度，才能在不對定理進行證明的情況下，不失數學的邏輯性和嚴謹性？本節課立足教材，重視對具體實例的觀察、分析，并且給學生提供動手操作的機會，引導學生通過自己的觀察、操作等活動獲得數學結論，把合情推理作為一個重要的推理方式融入到學生的學習過程中．

第1頁（共3頁）

四、教學診斷分析

學生在學習本節內容時主要有以下兩個困難：

1．理解直線與平面垂直的定義，讓學生認識到線面垂直是用線線垂直來刻畫的，逐步形成概念體系，體會其中的轉化思想，這對于高一的學生來講是比較困難的．

所以在設計教學時，首先通過一組圖片讓學生直觀感知直線與平面垂直的具體形象，然后將其抽象為幾何圖形，再用數學語言對幾何圖形進行精確的描述，讓學生在此過程中體會直線與平面垂直定義的合理性．

2．用定義去判定直線與平面垂直是不方便的，如何在較短的時間內，讓多數學生找到判定直線與平面垂直的簡便方法，這需要一個較好的載體，去引導學生探究直線與平面垂直的判定定理，同時完成對定理條件的確認．

所以，在教學過程中，通過折紙試驗，精心設置問題，引導學生歸納出直線與平面垂直的判定定理．并且引導學生通過操作、擺出反例模型，對定理的兩個關鍵條件“雙垂直”和“相交”進行理解和確認．

五、教學效果分析

本節課的實施從整體上說是比較順利的，學生的思維活動在教師的引導下展開的比較充分，基本達到了教學目標．具體給出兩個教學片斷加以說明．

教學片斷一：

在折紙試驗的過程中，教師提出問題1：折痕AD與桌面一定垂直嗎？

生：不一定．（學生手拿紙片，折出不與桌面垂直的折痕）

師：為什么你認為這條折痕不與桌面垂直？

生：因為它與BD不垂直，與CD也不垂直．

師：這能說明它與桌面不垂直嗎？

生：能，因為定義說如果折痕與桌面垂直，那么它就和桌面的任意一條直線都垂直． 師：非常好，其實這也是從另一個角度對定義進行理解：如果想說一條直線與平面不垂直，只要在平面內找到一條直線與它不垂直就夠了．

通過這個片斷的教學，使學生加深了對定義的認識和理解．

教學片斷二：

仍然是在折紙試驗過程中，教師提出問題2：如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面?垂直？

生1：當折痕AD是BC邊上的高時，AD所在直線與桌面所在平面?垂直．

師：如何保證此時折痕和桌面是垂直的？

生1：因為折痕AD與BD、CD所成的角都是直角．

師：那折痕AD與BD、CD兩條直線垂直，就能說它與平面?垂直嗎？

生1：因為BD、CD是兩條相交直線，所以它們確定一個平面．

師：兩條平行直線也確定一個平面，能說如果一條直線與兩條平行直線都垂直，那么就和平面垂直嗎？

生2：以AD邊為軸將三角形紙片繞軸旋轉，剛才已經說明了折痕AD與BD、CD兩條直線垂直，旋轉的過程中AD與BD、AD與CD的垂直關系沒有發生改變，從而保證AD與桌面上過D點的直線都垂直，其他不過D點的直線可以平行移到D點說明與AD垂直，滿足直線與平面垂直的定義．

以上的教學過程中，通過老師的不斷追問，促使學生對問題深入思考，在發現定理的過程中，不僅有直觀上的感知，提高了幾何直觀能力，而且通過理性的說理，增加了邏輯思維的成分．

在教師的引導下，學生的思維活動展開的比較充分，學生在課堂上認真參與，積極探索，學習熱情較高，在基礎知識的理解、基本思想的體會、以及幾何直觀能力和抽象概括能力的提高等方面都有較大的進步．

第二篇：直線與平面垂直的判定教案

《直線與平面垂直的判定》

選自人教版《普通高中課程標準實驗教科書·數學》必修2第二章第三節

一、教學目標 1.知識與技能目標

(1).掌握直線與平面垂直的定義

(2).理解并掌握直線與平面垂直的判定定理(3).會判斷一條直線與一個平面是否垂直

(4).培養學生的空間想象能力和對新知識的探索能力

2.過程與方法目標

(1).加強學生空間與平面之間的轉化意識，訓練學生的思維靈活性

(2).要善于應用平移手法將分散的條件集中到某一個圖形中進行研究，特別是輔助線的添加

3.情感態度價值觀目標

(1).培養學生的探索精神(2).加強學生對數學的學習興趣

二、重點難點

1.教學重點：直線與平面垂直的定義及其判定定理 2.教學難點：直線與平面垂直判定定理的理解

三、課時安排

本課共安排一課時

四、教學用具

多媒體、三角形紙片、三角板或直尺

五、教學過程設計 1.創設情境

問題1：空間一條直線和一個平面有哪幾種位置關系？

設計意圖：此問基于學生已有的數學現實，通過對已學相關知識的追憶，尋找新知識學習的“固著點”。

問題2：列舉在日常生活中你見到的可以抽象成直線與平面相交的事例？ 尋找特殊的事例并引入課題。設計意圖：此問基于學生的客觀現實，通過對生活事例的觀察，讓學生直觀感知直線與平面相交中一種特例：直線與平面垂直的初步形象，激起進一步探究直線與平面垂直的意義。

2.提煉定義

問題3：結合對下列問題的思考，試著給出直線和平面垂直的定義．(1)陽光下，旗桿AB與它在地面上的影子BC所成的角度是多少？

(2)隨著太陽的移動,影子BC的位置也會移動,而旗桿AB與影子BC所成的角度是否會發生改變?

(3)旗桿AB與地面上任意一條不過點B的直線B1C1的位置關系如何?依據是什么？ 設計意圖：第（1）與（2）兩問旨在讓學生發現旗桿AB所在直線始終與地面上任意一條過點B的直線垂直，第（3）問進一步讓學生發現旗桿AB所在直線始終與地面上任意一條不過點B的直線也垂直，在這里，主要引導學生通過觀察直立于地面的旗桿與它在地面的影子的位置關系來分析、歸納直線與平面垂直這一概念。

（學生敘寫定義，并建立文字、圖形、符號這三種語言的相互轉化）

思考：（1）如果一條直線垂直于一個平面內的無數條直線，那么這條直線是否與這個平面垂直？

（2）如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線是否垂直于這個平面內的所有直線？（對問（1），在學生回答的基礎上用直角三角板在黑板上直觀演示；對問（2）可引導學生給出符號語言表述：若，則)

設計意圖：通過對問題（1）的辨析討論，深化直線與平面垂直的概念。通過對問題（2）的辨析討論旨在讓學生掌握線線垂直的一種判定方法。

通常定義可以作為判定依據，但由于利用直線與平面垂直的定義直接判定直線與平面垂直需要考察平面內的每一條直線與已知直線是否垂直，這給我們的判定帶來困難，因為我們無法去一一檢驗。這就有必要去尋找比定義法更簡捷、可行的直線與平面垂直的判定方法。

3.探究新知

創設情境

猜想定理：某公司要安裝一根8米高的旗桿，兩位工人先從旗桿的頂點掛兩條長10米的繩子，然后拉緊繩子并把繩子的下端放在地面上兩點（和旗桿腳不在同一直線上）。如果這兩點都和旗桿腳距離6米，那么表明旗桿就和地面垂直了，你知道這是為什么嗎？

設計意圖：引導學生根據直觀感知以及已有經驗，進行合情推理，猜想判定定理。師生活動：（折紙試驗）請同學們拿出一塊三角形紙片，我們一起做一個試驗：過三角形的頂點A翻折紙片，得到折痕AD（如圖1），將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）

問題4：（1）折痕AD與桌面垂直嗎？

（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

（組織學生動手操作、探究、確認）

設計意圖：通過折紙讓學生發現當且僅當折痕AD是BC邊上的高時，且B、D、C不在同一直線上的翻折之后豎起的折痕AD才不偏不倚地站立著，即AD與桌面垂直（如圖2），其它位置都不能使AD與桌面垂直。

問題5：在你翻折紙片的過程中，紙片的形狀發生了變化，這是變的一面，那么不變的一面是什么呢？（可從線與線的關系考慮）如果我們把折痕抽象為直線，把BD、CD抽象為直線 m，n，把桌面抽象為平面件是什么？

(如圖3)，那么你認為保證直線與平面

垂直的條

對于兩條相交直線必須在平面內這一點，教師可引導學生操作：將紙片繞直線AD（點D始終在桌面內）轉動，使得直線CD、BD不在桌面所在平面內。問：直線AD現在還垂直于桌面所在平面嗎？（此處引導學生認識到直線CD、BD都必須是平面內的直線）設計意圖：通過操作讓學生認識到兩條相交直線必須在平面內，從而更凸現出直線與平面垂直判定定理的核心詞：平面內兩條相交直線。

問題6：如果將圖3中的兩條相交直線、的位置改變一下，仍保證

嗎？，（如圖4）你認為直線還垂直于平面設計意圖：讓學生明白要判定一條已知直線和一個平面是否垂直，取決于在這個平面內能否找出兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點，這是無關緊要的。

根據試驗，請你給出直線與平面垂直的判定方法。

（學生敘寫判定定理，給出文字、圖形、符號這三種語言的相互轉化）

問題7：（1）與直線與平面垂直的定義相比,你覺得這個判定定理的優越性體現在哪里?（2）你覺得定義與判定定理的共同點是什么?

設計意圖：通過和直線與平面垂直定義的比較，讓學生體會“無限轉化為有限”的數學思想，通過尋找定義與判定定理的共同點，感悟和體會“空間問題轉化為平面問題”、“線面垂直轉化為線線垂直”的數學思想.思考：現在，你知道兩位工人是根據什么原理安裝旗桿的嗎？為什么要求繩子在地面上兩點和旗桿腳不在同一直線上？

如果安裝完了，請你去檢驗旗桿與地面是否垂直，你有什么好方法？

設計意圖：用學到手的知識解釋實際生活中的問題，增強學生用數學的意識，同時通過提出 “為什么要求繩子在地面上兩點和旗桿腳不在同一直線上？”（對該問題可引導學生用三角形紙片來驗證），從而來深化對直線與平面垂直判定定理的理解。

4.練習提高

如圖5，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，請列舉與平面ABCD垂直的直線。并說明這些直線有怎樣的位置關系？

思考：如圖6，已知，則嗎？請說明理由。

（分別用直線與平面垂直的判定定理、直線與平面垂直的定義證明；并讓學生用語言敘述：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面）

設計意圖：這個例題給出了判斷直線和平面垂直的一個常用的命題，這個命題體現了平行關系與垂直關系之間的聯系。

5.小結回授

（1）本節課你學會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？試用自己理解的語言敘述。（2）直線與平面垂直的判定定理中體現了哪些數學思想方法？

設計意圖：以問題討論的方式進行小結，培養學生反思的習慣，鼓勵學生運用自己理解的語言對問題進行質疑和概括。

第三篇：直線和平面垂直教案

直線和平面垂直教案

教學目的

1．進一步理解直線與平面垂直定義的兩種用法； 2．理解并掌握直線與平面垂直的判定定理2； 3．理解并掌握直線與平面垂直的性質定理． 教學重點和難點

這節課的重點是使學生進一步理解、掌握直線和平面垂直的定義和判定定理．這節課的難點是直線和平面垂直的性質定理的證明．

教學設計過程

一、復習，講練上節課所留的作業

師：先請一位同學講他所做的第32頁習題四中的第1題．（教師寫出已知、求證并畫出直觀圖）

已知：△ABC，l⊥AB，l⊥AC．（如圖1）求證：l⊥BC．

生：因為l⊥AB，l⊥AC，所以 l⊥平面ABC．（線面垂直的判定定理）故 l⊥BC．（線面垂直的定義）

師：對，在上一節我們講直線和平面垂直的定義時，就強調過在立體幾何中這是一個很重要的定義，我們一定要很好地理解、應用．線面垂直的定義既是線面垂直最基本的判定方法，在線面垂直判定定理的證明思路就是回到定義去．關于這一應用在上節課中已經做了詳細的說明．線面垂直的定義又是線面垂直的最基本的性質，當我們知道直線和平面垂直后，這平面的垂線就和平面內任何一直線都垂直，所以應用線面垂直的定義是證明兩直線垂直常用的方法之一． 師：現在我們來看第32頁習題四的第2題．請一個同學回答．（寫出已知、求證和根據已知條件而畫的直觀圖，我們叫它為起始圖）

已知：直線a∥平面α，直線b⊥平面α．（如圖2（1））求證：b⊥a．

生：過a作平面β，設β∩α＝c，因為a∥α，所以a∥c．（線面平行的性質定理）

又因為b⊥α，因此b⊥c，故b⊥a． 師：我們怎樣想到要過a作平面β的呢？

生：這是線面平行的性質定理的要求．因為在線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行．在圖中沒有這條交線，所以我們就要作平面β∩α＝c，作出這條交線，以滿足定理的要求a平行交線c．

師：這是定理要求我們作輔助面．在立體幾何解題過程中，我們經常要作輔助線、輔助面，我們根據什么原則來作輔助線、輔助面呢？有兩條原則：一是用概念來指導作圖，這在求異面直線所成的角時，我們曾反復強調；二是用定理來指導作圖．這就是今天我們在證明這個題時要明確的．這是在立體幾何中作輔助線、輔助面的兩條基本原則，遵循這兩條原則就說明解題的思路是正確的，就使解題的正確性有了基本的保證；反之，如果違背了這兩條原則，那就說明了第一步就走錯了方向．這一題肯定不可能做對．所以作輔助線、輔助面這兩條原則我

們一定要理解、記住，并且在解題過程中應用．當然，以后隨著課程內容不斷的展開，我們還會反復強調這兩條原則．

以前我們還講過要使直觀圖有好的視覺效果，還要注意視角的選擇，這一題的起始圖（根據已知條件所畫出的直觀圖）看起來它的視覺效果并不好，但當我們證完這道題，看到它的終止圖（解完題后的直觀圖）視覺效果就比較好，所以視角選擇好與不好要以終止圖的視覺效果好與不好為標準．這樣在解完一道題后，有時要重新設計起始圖的畫法，以保證終止圖有最好的視覺效果．

二、直線與平面垂直的判定定理2．

師：這是課本第25頁的例1，我們把它正式升格為判定定理2．我們來看下面的模型就很容易了解定理的內容．（這時拿出兩根小棍平行地放在課桌面上，并使其中一根與桌面垂直，讓學生觀察另一根與桌面的關系）a∥b，如果a⊥平面α，那么b與平面α是什么關系？

生：b也垂直平面α．

師：這就是線面垂直的判定定理2．

判定定理

2如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面．

已知：a∥b，a⊥α．（如圖3）求證：b⊥α．

師：判定定理

1、判定定理2，這里的1，2不是人為的排列，而是有它內在的邏輯關系，也就是說我們可以應用判定定理1來證明判定定理2，那么我們如何用判定定理1來證明判定定理2呢？

生：為了用判定定理1，我們可以首先在平面α內作兩條相交直線m，n． 因為 a⊥α，所以 a⊥m，a⊥n．（線面垂直的定義）

又因為 a∥b，所以 b⊥m，b⊥n．（一條直線垂直于平行線中的一條也就垂直于另一條）故 b⊥α．（線面垂直的判定定理1）

三、直線和平面垂直的性質定理

師：現在我們來研究直線和平面垂直的性質定理，先來看模型．（這時教師用兩根小棍都垂直于桌面，讓學生觀察、回答）

生：這兩直線平行．

師：這就是直線和平面垂直的性質定理．

直線和平面垂直的性質定理

如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行．

已知：a⊥平面α，（如圖4）b⊥平面α，求證：a∥b．

師：我們講過了線面垂直的判定定理1、2．也曾經在講線面垂直的定義時，把課本中的兩句話（第24頁）升格為兩個定理，即：

定理

過一點有且只有一條直線和一個平面垂直． 定理 過一點有且只有一個平面和一條直線垂直． 現在可以根據上述定理來證明線面垂直的性質定理：

生：可用反證法，假設b a，設b∩α＝O，過O點作b′∥a，因為a⊥α，所以b′⊥α（判定定理2），所以過點O有兩條直線b，b′都與平面α垂直，與垂線的唯一性矛盾，所以b

a不能成立，所以b∥a．

師：用反證法證明可以，也可以用同一法，即在證明的開始不做假設b a，證完b′⊥α后，根據垂線的唯一性b′應與b重合，所以b∥a．當然，對反證法和同一法，我們主要要掌握反證法，對同一法只要求有所了解．

四、兩個定義

1．點到平面的距離

從平面外一點引一個平面的垂線，這個點和垂足間的距離叫做這個點到這個平面的距離．

（教師可先用一根小棍垂直于桌面演示，然后給點到平面的距離下定義，下完定義后可指出，點到平面的距離可轉化為兩點間的距離，即這個點和垂足之間的距離）

2．平行的直線和平面的距離

一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離．

（教師可先用一根小棍和平面平行，演示讓學生觀察，如何給平行的直線和平面的距離下定義，定義給出后，教師可指出平行的直線和平面的距離可能轉化為點到平面的距離，當然也就可轉化為兩點間的距離）

師：在這定義中，是這條直線上任意一點到平面的距離叫做這條直線和平面的距離，那會不會因在直線上所取的點不同，而使距離不同呢？

生：不會，它們之間的距離都相等．

師：對，但為了在理論上說明這個定義的合理性，我們來看下面這個例題． 例

已知：l∥平面α，A∈l，B∈l，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′．（如圖5）

求證：AA′＝BB′．

生：因為AA′⊥α，BB′⊥α，所以AA′∥BB′（性質定理），所以過AA′，BB′作平面β，設β∩α＝A′B′，因為l∥α，所以l∥A′B′，故AA′＝BB′．（平行線間的距離處處相等）

師：通過這個例題的證明，我們就了解了定義的合理性．可以在直線上任意取點．這對于以后我們求平行的直線和平面的距離，提供了很好的思路． 今天我們講了直線和平面垂直的第2個判定定理，講了直線和平面垂直的性質定理，在這個基礎上還講了點到平面的距離、平行的直線和平面的距離兩個定義．

作業

課本第32頁習題四第3，5，8題． 補充題

1．已知：平面α∩平面β＝直線l．A∈α，AB⊥β于B，BC⊥α于C． 求證：AC⊥l．

［提示：證明直線l⊥平面ABC］

2．已知：AB是圓O的直徑，C是圓O上不同于A和B的點，PA⊥⊙O所在的平面．

求證：BC⊥PC．

［提示：證明BC⊥平面PAC］

3．已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，PB⊥平面ABC，BD⊥PC于D． 求證：（1）AC⊥BD；（2）BD⊥PA．

［提示：（1）證明AB⊥平面PBC：（2）證明BD⊥平面PAC］ 課堂教學設計說明

1．立體幾何第一章直線和平面主要研究的是空間兩條直線、空間直線和平面、空間兩個平面的位置關系，其中以直線與直線的垂直、直線與平面的垂直、平面與平面垂直為重點．而直線與平面的垂直是其中的最重要的一個環節，它是三垂線定理及其逆定理、兩平面垂直的判定和性質的基礎．所以對直線與平面垂直的定義與判定定理一定要讓學生深刻理解、牢固記憶、靈活應用．

2．直線與平面垂直的定義，既是直線與平面垂直的最基本的判定方法，別的判定定理都是根據定義和有關定理經過演繹推理而得，在這個意義上，我們說直線與平面垂直的定義是最基本的判定方法；直線與平面垂直的定義又是直線與平面垂直最基本的性質．別的性質定理是根據定義和有關定理經過演繹推理而得，在這個意義上，我們說直線與平面垂直的定義是直線與平面最基本的性質． 為了使學生理解直線與平面垂直的定義這兩種用法，以平面幾何中的平行四邊形的定義為例．平行四邊形的定義既是平行四邊形的最基本的判定方法，也是平行四邊形的最基本的性質．別的判定定理和性質定理都是根據定義和有關定理經過演繹推理而得．

在這里一定要讓學生深刻的理解并掌握應用直線與平面垂直的定義是證明兩直線垂直最常用的方法．

3．在課本第24頁給直線與平面垂直下定義后的這兩句話：“過一點有且只有一條直線和一個平面垂直；過一點有且只有一個平面和一條直線垂直．”是兩個定理．關于垂線的唯一性和垂面的唯一性的這兩個定理是可以證明的．關于這兩個定理的證明可以參看1989年出版的《立體幾何全一冊（甲種本）教學參考書》第47頁第11題（1）、（2）．要讓學生了解這兩個定理，并會應用這兩個定理，在證明直線和平面垂直的性質定理時，用到垂線的唯一性，以后在證課本第38頁習題五第4題時還要用到垂線的唯一性和垂面的唯一性．

為什么課本在這里只是提出兩個唯一性沒有明確是兩個定理也沒有證明呢？這是課本的編者為了降低學習立體幾何的難度而這樣處理的．但我以為還是明確垂線的唯一性、垂面的唯一性是兩個定理，但可以不予證明而直接應用為好． 4．前面我們提出了“視覺語言”這個概念，既然作為一種“語言”它應該而且必須與思維過程相一致．所以這里我們又提出“起始圖”（根據題中的條件而出現的“視覺語言”）和“終止圖”（解完題后，或思維過程完結時出現的“視覺語言”）這兩個概念．

前面我們也提到過為了使“視覺語言”達到最佳的視覺效果，必須注意視角的選擇，我們認為視角的選擇要以終止圖有最佳的視覺效果為標準，這樣有時會出現起始圖視覺效果較好而終止圖視覺效果并不好；或者起始圖視覺并不太好而終止圖視覺效果較好這樣不一致情況，所以這樣就要求教立體幾何的教師對于直觀圖要精心地、反復地設計，務必使終止圖有最佳的視覺效果，這樣才能使這個“視覺語言”起到它應有正面效應；否則，這個“視覺語言”不但不能起到它應有正面效應，相反，卻起到負面效應．增加了學生在學習立體幾何中的困難．這是每一個教立體幾何的教師務必要理解并切實掌握的基本功．

起始圖和終止圖不僅僅是形式上的不同，而且它們之間還應該有“時間差”．因為這兩個圖是與思維過程相一致，思維既然以一個過程而出現，所以與這抽象思維過程相一致，或者說要以具體形象來表現這個抽象思維過程的“視覺語言”當然也要以一個過程而展現．這兩個過程當然是一致的，但是“視覺語言”展現的過程應該比思維過程慢“半拍”，而不是同步，也就是說動腦先于動手．我們說以概念指導作圖，以定理指導作圖，也就是說在我們動手作圖前，腦中得先有有關概念和定理．

在一篇文章中，我看到中國畫畫家在總結他們的創作國畫經驗時，用“蓄圖在胸、意在筆先”這八個字來概括．當我看過這篇文章后，這八個字就牢記在心，感到對于立體幾何的教學很有啟發、很有教益．我們在腦中所蓄的圖應該是由起始圖到終止圖一個不斷的展現過程，而以終止圖為主．這里的所謂意，就是思想，就是有關的概念和定理．

最后我還想以江澤民同志在1998年一次講話中所引用的李白的《春夜宴桃李園序》“夫天地者，萬物之逆旅也，光陰者，百代之過客也”．后說李白已經意識到了四維空間．明確指出“視覺語言”是要在二維平面來展現“四維空間”。不論用什么手段進行教學，一定要把這“時間差”表現出來．即展現出一個隨時間的變化而變化的有“動感”的空間圖形．

當然有的立體幾何題的起始圖和終止圖是同一個圖形，不要作任何的輔助線和輔助面，如這節課所講的課本第32頁習題四中的第1題．但伴隨著思維過程的進展，作為對起始圖的認識到對作為終止的認識（由直線與直線的垂直，到直線與平面的垂直，再到直線與直線的垂直）也同樣有一個過程．

科學和藝術在一定條件下是可以統一的．記得在《新華月報》上曾看到有名的華人物理學家請中國有名的美術家用他們的繪畫來展現高深抽象的物理內容．因此在立體幾何教學中我們有可能也有必要把科學和藝術統一起來，即所畫的每一個空間圖形既要展示它所包含的數學科學的內涵，又要展示它的形式的藝術的美．把數學中（立體圖形）的美滲透在每一節課中，這樣可以培養學生對美的感受，可以更好吸引學生的注意力，從而達到更好的教學效果．

每一個聽過我的課的人，都表揚我所畫的圖很美．在上課時有時讓學生做練習，我踱步向教室后面走去，回過頭來也很自我欣賞所畫圖的美．因為從某種意義上來說，每一個圖都是一幅美術作品——空間圖形的素描．當然我們在立體幾何畫“素描”的方法用的是平行投影中的斜二測畫法，而在美術課中畫素描的方法用的是中心投影中的透視法．（可參看1989年版，人民教育出版社出版《立體幾何（甲種本）全一冊教學參考書》第78頁）

第四篇：直線與平面垂直的判定定理練習

直線與平面垂直的判定定理

1、如果直線a?b,且a?平面?，則b與?的位置關系是

2、過一點有

3、下列說法中正確的有（1）平行于同一條直線的兩條直線互相平行；（2）垂直于同一條直線的兩條直線互相平行（3）平行于同一個平面的兩條直線互相平行；（4）垂直于同一個平面的兩條直線互相平行（5）一條直線和一個平面平行，則它和這個平面內的任何直線平行；（6）一條直線和一個平面垂直，則它和這個平面內的任何直線垂直；

（7）如果一條直線平行于平面內無數條直線，那么這條直線和這個平面平行；

P

（8）如果一條直線垂直于平面內無數條直線，那么這條直線和這個平面垂直。

4、如圖，四邊形ABCD是矩形，AC是對角線，PA?平面ABCD 則圖中共有個直角三角形 A5、正方體ABCD?A1BC11D1中，AC與BD1的位置關系是與棱AB垂直的面有，與對角線AC1垂直的面有B6、如圖?ABC中，?ACB?90，直線l過點A且垂直于平面ABC

P

?

C

D

動點P?l，當點P遠離點A時，?PCB變化情況是

7、正方形SG1G2G3中，E,F分別為G1G2,G2G3的中點，D是EF 的中點，現在沿SE,SF,EF把這個正方形折成一個四面體，使G1,G2,G3

S

Al

C

B

G3

重合，記為G，則（1）SG??EFG所在平面；（2）GD??EFG所在平面

G1（3）GF??SEF所在平面；（4）GD??SEF所在平面

10、如圖，在五面體ABF?CDE中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，棱EF//BC且

F

E

G2

EF?

BC，求證：FO//平面CDE 2

FE

AD

O

B

C11、已知四棱錐P?ABCD,PD?底面ABCD，底面ABCD為正方形，且PD?CD，E,F分別為PB,PC的中點，求證：（1）AC?平面PBD（2）PA?AB（3）PC?平面ADFE

A

P

F

D

E

C

第五篇：直線與平面垂直的判定和性質練習題

直線與平面垂直的判定和性質、平面與平面垂直的判定和性質（6.8）出題人：婁媛審題人：劉福義

一、選擇題

1．兩異面直線在平面α內的射影（）A．相交直線B．平行直線

C．一條直線—個點D．以上三種情況均有可能 2．若兩直線a與b異面，則過a且與b垂直的平面（）A．有且只有—個B．可能存在也可能不存在 C．有無數多個D．—定不存在3．若平面α的斜線l在α上的射影為l′，直線b∥α，且b⊥l′，則b與l（）

A．必相交B．必為異面直線C．垂直D無法確定 4．如果兩個平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面的位置關系是（）．

A.互相垂直 B.互相平行 C.一定相交 D.平行或相交 5．已知平面???，直線l??，直線m??，l?m，則l與?的位置關系是（）． A．l?? B．l//? C．l??

D．以上都有可能

6．過平面外一點P：①存在無數個平面與平面?平行；②存在無數個平面與平面?垂直；③存在無數條直線與平面?垂直；④只存在一條直線與平面?平行．其中正確的是（）

A．1個B．2個C．3個D．4個 7．在二面角?-l-?的一個面?內有一條直線AB，若

AB與棱l的夾角為45?，AB與平面?所成的角為30?，則此二面角的大小是（）．

A．30?

B．30?

或150?C．45?D．45?或135?

8下列命題

①平面的每條斜線都垂直于這個平面內的無數條直線；②若一條直線垂直于平面的斜線，則此直線必垂直于斜線在此平面內的射影；

③若平面的兩條斜線段相等，則它們在同一平面內的射影也相等；

④若一條線段在平面外并且不垂直于這個平面，則它的射影長一定小于線段的長．

其中，正確的命題有（）

A．1個B．2個C．3個D.4個

二、填空題

9．正方體ABCD?A1B1C1D1中，二面角D?A1C1?B的大小是________．

10．在空間四面體的四個面中，為直角三角形的最多有____________個．

11.已知二面角A?BC?D、A?CD?B、A?BD?C都相等，則A點在平面BCD上的射影是?BCD的___心． 12．?、?、?是相交于點O，且兩兩垂直的三個平面，點P到?、?、?的距離分別為4cm，6cm，12cm，則PO=________．

三、解答題

13．在四面體SABC中，?ASC?90?，?ASB??BSC?60?，SA?SB?SC，求證：平面ASC?平面ABC

14如圖，在長方體AC1中，已知AB＝BC＝a，BB1＝b（b＞a），連結BC1，過Bl作B1E⊥BC1交CC1于E，交BC1于Q，求證：AC1⊥平面EBlD1

15已知???，???，????a，????b，a//b，求證：?//?．