第一篇：直線與平面垂直的判定的教學設計

直線與平面垂直的判定的教學設計

阜陽市城郊中學

吳桃李

一、內容和內容解析

本節課是在學生學習了空間點、直線、平面之間的位置關系和直線、平面平行的判定及其性質之后進行的，其主要內容是直線與平面垂直的定義、直線與平面垂直的判定定理及其應用．直線與平面垂直是通過直線和平面內的任意一條直線（無一例外）都垂直來定義的，定義本身也表明了直線與平面垂直的意義，即如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內的所有直線，這也可以看成是線線垂直的一個判定方法；直線與平面垂直的判定定理本節是通過折紙試驗來感悟的，即一條直線只要與平面內的兩條相交直線垂直就可以判定直線與平面垂直了，它把原來定義中要求與任意一條（無限）垂直轉化為只要與兩條（有限）相交直線垂直就行了，概言之，線不在多，相交就行．直線與平面垂直的判定方法除了定義法、判定定理外，還有如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面，這是直線與平面垂直判定的一種間接方法，也是十分重要的．本節學習內容蘊含豐富的數學思想，即“空間問題轉化為平面問題”，“無限轉化為有限”“線線垂直與線面垂直互相轉化”等數學思想．直線與平面垂直是研究空間中的線線關系和線面關系的橋梁，為后繼面面垂直的學習、距離的學習奠定基礎．

二、教學目標和解析

1.借助對實例、圖片的觀察，提煉直線與平面垂直的定義，并能正確理解直線與平面垂直的定義；

2.通過直觀感知，操作確認，歸納直線與平面垂直的判定定理，并能運用判定定理證明一些空間位置關系的簡單命題；

3.在探索直線與平面垂直判定定理的過程中發展合情推理能力，同時感悟和體驗“空間問題轉化為平面問題”、“線面垂直轉化為線線垂直”、“無限轉化為有限”等數學思想.三、教學問題診斷分析

學生已有的認知基礎是熟悉的日常生活中的具體直線與平面垂直的直觀形象（學生的客觀現實）和直線與直線垂直的定義、直線與平面平行的判定定理等數學知識結構（學生的數學現實），這為學生學習直線與平面垂直定義和判定定理等新知識奠定基礎．學生學習的困難在于如何從直線與平面垂直的直觀形象中提煉出直線與平面垂直的定義，感悟直線與平面垂直的意義；以及如何從折紙試驗中探究出直線與平面垂直的判定定理．

教學的重點是直線與平面垂直的定義和直線與平面垂直判定定理的探究； 教學的難點是操作確認并概括出直線與平面垂直的判定定理及初步運用．

四、學習行為分析

本節課安排在立體幾何的初始階段，是學生空間觀念形成的關鍵時期，課堂上學生通過感知、觀察、提煉直線與平面垂直的定義，進而通過辨析討論，深化對定義的理解．進一步，在一個具體的數學問題情境中猜想直線與平面垂直的判定定理，并在教師的指導下，通過動手操作、觀察分析、自主探索等活動，切身感受直線與平面垂直判定定理的形成過程,體會蘊涵在其中的思想方法．繼而，通過例1的學習概括直線與平面垂直的幾種常用判定方法．再通過練習與課后小結，使學生進一步加深對直線與平面垂直的判定定理的理解．

五、教學支持條件分析

觀察和展示現實生活中的實例與圖片，以直觀感知直線與平面垂直的形象；準備三角形紙片，用于探究直線與平面垂直的判定定理；制作多媒體課件動態演示，以加深對直線與平面垂直定義及判定定理的感知與理解．

六、教學過程設計

1.從實際背景中感知直線與平面垂直的形象

問題1：空間一條直線和一個平面有哪幾種位置關系？

設計意圖：此問基于學生已有的數學現實，通過對已學相關知識的追憶，尋找新知識學習的“固著點”． 問題2：在日常生活中你見得最多的直線與平面相交的情形是什么？請舉例說明．

設計意圖：此問基于學生的客觀現實，通過對生活事例的觀察，讓學生直觀感知直線與平面相交中一種特例：直線與平面垂直的初步形象，激起進一步探究直線與平面垂直的意義．

2.提煉直線與平面垂直的定義

問題3：你能給出直線和平面垂直的定義嗎？回憶一下直線與直線垂直是如何定義的？

設計意圖：兩直線垂直有相交垂直和異面垂直，而異面直線垂直是轉化為兩直線相交垂直，實質上是將空間問題轉化為平面問題，讓學生回憶直線與直線垂直的定義，旨在由此得到啟發：用“平面化”的思想來思考問題，即能否用一條直線垂直于一個平面內的直線，來定義這條直線與這個平面垂直？

問題4：結合對下列問題的思考，試著給出直線和平面垂直的定義．(1)陽光下，旗桿AB與它在地面上的影子BC所成的角度是多少？

(2)隨著太陽的移動,影子BC的位置也會移動,而旗桿AB與影子BC所成的角度是否會發生改變?

(3)旗桿AB與地面上任意一條不過點B的直線B1C1的位置關系如何?依據是什么？

設計意圖：第（1）與（2）兩問旨在讓學生發現旗桿AB所在直線始終與地面上任意一條過點B的直線垂直，第（3）問進一步讓學生發現旗桿AB所在直線始終與地面上任意一條不過點B的直線也垂直，在這里，主要引導學生通過觀察直立于地面的旗桿與它在地面的影子的位置關系來分析、歸納直線與平面垂直這一概念．

（學生敘寫定義，并建立文字、圖形、符號這三種語言的相互轉化）思考：（1）如果一條直線垂直于一個平面內的無數條直線，那么這條直線是否與這個平面垂直？

（2）如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線是否垂直于這個平面內的所有直線？（對問（1），在學生回答的基礎上用直角三角板在黑板上直觀演示；對問（2）可引導學生給出符號語言表述：若，則)

設計意圖：通過對問題（1）的辨析討論，深化直線與平面垂直的概念．通過對問題（2）的辨析討論旨在讓學生掌握線線垂直的一種判定方法． 通常定義可以作為判定依據，但由于利用直線與平面垂直的定義直接判定直線與平面垂直需要考察平面內的每一條直線與已知直線是否垂直，這給我們的判定帶來困難，因為我們無法去一一檢驗．這就有必要去尋找比定義法更簡捷、可行的直線與平面垂直的判定方法． 3.探究直線與平面垂直的判定定理 創設情境 猜想定理：某公司要安裝一根8米高的旗桿，兩位工人先從旗桿的頂點掛兩條長10米的繩子，然后拉緊繩子并把繩子的下端放在地面上兩點（和旗桿腳不在同一直線上）．如果這兩點都和旗桿腳距離6米，那么表明旗桿就和地面垂直了，你知道這是為什么嗎？

設計意圖：引導學生根據直觀感知以及已有經驗，進行合情推理，猜想判定定理． 師生活動：（折紙試驗）請同學們拿出一塊三角形紙片，我們一起做一個試驗：過三角形的頂點A翻折紙片，得到折痕AD（如圖1），將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）

問題5：（1）折痕AD與桌面垂直嗎？

（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？（組織學生動手操作、探究、確認）

設計意圖：通過折紙讓學生發現當且僅當折痕AD是BC邊上的高時，且B、D、C不在同一直線上的翻折之后豎起的折痕AD才不偏不倚地站立著，即AD與桌面垂直（如圖2），其它位置都不能使AD與桌面垂直．

問題6：在你翻折紙片的過程中，紙片的形狀發生了變化，這是變的一面，那么不變的一面是什么呢？（可從線與線的關系考慮）如果我們把折痕抽象為直線，把BD、CD抽象為直線，把桌面抽象為平面(如圖3)，那么你認為保證直線與平面垂直的條件是什么？

對于兩條相交直線必須在平面內這一點，教師可引導學生操作：將紙片繞直線AD（點D始終在桌面內）轉動，使得直線CD、BD不在桌面所在平面內．問：直線AD現在還垂直于桌面所在平面嗎？（此處引導學生認識到直線CD、BD都必須是平面內的直線）

設計意圖：通過操作讓學生認識到兩條相交直線必須在平面內，從而更凸現出直線與平面垂直判定定理的核心詞：平面內兩條相交直線．

問題7：如果將圖3中的兩條相交直線、的位置改變一下，仍保證，（如圖4）你認為直線還垂直于平面嗎？

設計意圖：讓學生明白要判定一條已知直線和一個平面是否垂直，取決于在這個平面內能否找出兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點，這是無關緊要的．

根據試驗，請你給出直線與平面垂直的判定方法．

（學生敘寫判定定理，給出文字、圖形、符號這三種語言的相互轉化）問題8：（1）與直線與平面垂直的定義相比,你覺得這個判定定理的優越性體現在哪里?（2）你覺得定義與判定定理的共同點是什么? 設計意圖：通過和直線與平面垂直定義的比較，讓學生體會“無限轉化為有限”的數學思想，通過尋找定義與判定定理的共同點，感悟和體會“空間問題轉化為平面問題”、“線面垂直轉化為線線垂直”的數學思想.思考：現在，你知道兩位工人是根據什么原理安裝旗桿的嗎？為什么要求繩子在地面上兩點和旗桿腳不在同一直線上？

如果安裝完了，請你去檢驗旗桿與地面是否垂直，你有什么好方法？

設計意圖：用學到手的知識解釋實際生活中的問題，增強學生用數學的意識，同時通過提出 “為什么要求繩子在地面上兩點和旗桿腳不在同一直線上？”（對該問題可引導學生用三角形紙片來驗證），從而來深化對直線與平面垂直判定定理的理解．

4.直線與平面垂直判定定理的應用

如圖５，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，請列舉與平面ABCD垂直的直線．并說明這些直線有怎樣的位置關系？

思考：如圖６，已知，則嗎？請說明理由．

（分別用直線與平面垂直的判定定理、直線與平面垂直的定義證明；并讓學生用語言敘述：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面）設計意圖：這個例題給出了判斷直線和平面垂直的一個常用的命題，這個命題體現了平行關系與垂直關系之間的聯系．

練習：如圖７，在三棱錐V-ABC中，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中點． 求證：AC⊥平面VKB

思考：

(1)在三棱錐V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求證：VB⊥AC；

(2)在⑴中，若E、F分別是AB、BC 的中點，試判斷EF與平面VKB的位置關系；

(3)在⑵的條件下，有人說“VB⊥AC，VB⊥EF，∴VB⊥平面ABC”，對嗎？ 設計意圖：例2重在對直線與平面垂直判定定理的應用．變式（1）在例2的基礎上，應用了直線與平面垂直的意義；變式（2）是對例1判定方法的應用；變式（3）的判斷在于進一步鞏固直線與平面垂直的判定定理．3個小題環環相扣，匯集了本節課的學習內容，突出了知識間內在聯系和融會貫通．

5.小結回授

（1）本節課你學會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？試用自己理解的語言敘述．（2）直線與平面垂直的判定定理中體現了哪些數學思想方法？

設計意圖：以問題討論的方式進行小結，培養學生反思的習慣，鼓勵學生運用自己理解的語言對問題進行質疑和概括．

七、目標檢測設計

1．PA⊥平面ABC，BC⊥AC，寫出圖中所有的直角三角形．

第二篇：《直線與平面垂直的判定》教學設計

《直線與平面垂直的判定》教學設計

一、背景分析：

直線與平面垂直是直線和平面相交中的一種特殊情況，它是空間中線線垂直位臵關系的拓展，又是面面垂直的基礎，是空間中垂直位臵關系間轉化的重心，同時它又是直線和平面所成的角等內容的基礎，因而它是點、直線、平面間位臵關系中的核心概念之一．

對直線與平面垂直的定義的研究遵循“直觀感知、抽象概括”的認知過程展開，而對直線與平面垂直的判定定理的研究則遵循“直觀感知、操作確認、歸納總結、初步運用”的認知過程展開，通過該內容的學習，能進一步培養學生空間想象能力，發展學生的合情推理能力和一定的推理論證能力，同時體會“平面化”思想和“降維”思想．

教學重點：直觀感知、操作確認，概括出直線與平面垂直的定義和判定定理．

二、學情分析：

學生已經學習了直線、平面平行的判定及性質，學習了兩直線（共面或異面）互相垂直的位臵關系，有了“通過觀察、操作并抽象概括等活動獲得數學結論”的體會，有了一定的空間想象能力、幾何直觀能力和推理論證能力．

在直線與平面垂直的判定定理中，為什么至少要兩條直線，并且是兩條相交直線，學生的理解有一定的困難，因為定義中“任一條直線”指的是“所有直線”，這種用“有限”代替“無限”的過程導致學生形成理解上的思維障礙．同時，由于學生的空間想象能力、推理論證能力有待進一步加強，在直線與平面垂直判定定理的運用中，不知如何選擇平面內的兩條相交直線證線面垂直（抑或選擇平面證線面垂直從而得到線線垂直）導致證明過程中無從著手或發生錯誤． 教學難點：操作確認并概括出直線與平面垂直的判定定理及初步運用．

三、教學目標：

1.借助對圖片、實例的觀察，抽象概括出直線與平面垂直的定義．

2.通過直觀感知、操作確認，歸納、概括出直線與平面垂直的判定定理．

3.能運用直線與平面垂直的判定定理，證明與直線和平面垂直有關的簡單命題。

四、教學過程：

環節一：（復習引入）

1.直線和平面的位臵關系是什么?

（1）直線在平面內（無數個公共點）（2）直線和平面相交（有且只有一個公共點）（3）直線和平面平行（沒有公共點）2.線面平行的判定定理的內容是什么?

如果平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.3.線面平行的性質定理的內容是什么?

如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行

設計意圖：通過對所學知識的提問與回答能使學生較快的進入到課堂情景 環節二：觀察歸納直線與平面垂直的定義 1.直觀感知

問題1：請同學們觀察圖片，說出旗桿與地面、大橋橋柱與水面是什么位臵關系？你能舉出一些類似的例子嗎？

設計意圖：從實際背景出發，直觀感知直線和平面垂直的位臵關系，使學生在頭腦中產生直線與地面垂直的初步印象，為下一步的數學抽象做準備．

師生活動：觀察圖片，引導學生舉出更多直線與平面垂直的例子，如教室內直立的墻角線和地面位臵關系，桌子腿與地面的位臵關系，直立書的書脊與桌面的位臵關系等，由此引出課題．

2.探究:什么叫做直線和平面垂直呢?當直線與平面垂直時，此直線與平面內的所有直線的關系又怎樣呢?

我們已經學過直線和平面平行的判定和性質，知道直線和平面平行的問題可轉化為考察直線和平面內直線平行的關系, 直線和平面垂直的問題同樣可以轉化為考察一條直線和一個平面內直線的關系，然后加以解決．

問題2：（1）如圖1，在陽光下觀察直立于地面旗桿AB及它在地面的影子BC，旗桿所在的直線與影子所在直線位臵關系是什么？

（2）旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部B的直線B1C1的位臵關系又是什么？

隨著時間的變化，盡管影子的位臵在移動，但是旗桿所在的直線始終與影子所在的直線垂直（如圖），事實上，旗桿AB所在直線與地面內任意一條不過點B的直線也是垂直的。設計意圖：引導學生用“平面化”的思想來思考問題，通過觀察，感知直線與平面垂直的本質屬性．

師生活動：教師用多媒體課件演示旗桿在地面上的影子隨著時間的變化而移動的過程，引導學生得出旗桿所在直線與地面內的直線都垂直．

3.抽象概括

問題

3、通過上述觀察分析，你認為應該如何定義一條直線與一個平面垂直？

設計意圖：讓學生歸納、概括出直線與平面垂直的定義．

師生活動：學生思考作答，教師補充完善，指出定義中的“任意一條直線”與“所有直線”是同意詞，定義是說這條直線和平面內所有直線垂直．同時給出線面垂直的記法與畫法．

定義：如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線 l與平面α互相垂直，記作： l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足．

畫法：畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，4.辯析舉例

辨析：下列命題是否正確，為什么？

（1）如果一條直線垂直于一個平面內的無數條直線，那么這條直線與這個平面垂直．

（2）如果一條直線垂直一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內的任一直線．

設計意圖：通過問題辨析，加深概念的理解，掌握概念的本質屬性．由（1）使學生明確定義中的“任意一條直線”是“所有直線”的意思，定義的實質就是直線與平面內所有直線都垂直．由（2）使學生明確，線面垂直的定義既是線面垂直的判定又是性質，線線垂直與線面垂直可以相互轉化．

師生活動：命題（1）判斷中引導學生用三角板兩直角邊表兩垂直直線，桌面表平面舉出反例．教師利用三角板和教鞭進行演示，將一塊大直角三角板的一條直角邊AC放在講臺上演示，這時另一 條直角邊BC就和講臺上的一條直線（即三角板與桌面的交線AC）垂直，但它不一定和講臺桌面垂直.在此基礎上在講臺上放一根和AC平行的教鞭EF并平行移動，那么BC始終和EF垂直，但它不一定和講臺桌面垂直，如圖3．

對命題（2）的判斷 歸納常用命題。

利用定義，我們得到了判定線面垂直的最基本方法，同時也得到了線面垂直的最基本的性質

環節三：探究發現直線與平面垂直的判定定理

1.觀察猜想

雖然可以根據定義判定直線與平面垂直，但這種方法實際上難以實施．有沒有比較方便可行的方法來判斷直線和平面垂直呢？

問題

4、（1）如果直線與平面內一條直線垂直，則直線和平面是否垂直？

（2）如果直線 與平面內兩條直線垂直，則直線與平面是否垂直？

如果兩條直線平行 如果兩條直線相交?

設計意圖：采用類比思想將線面關系引導到線線關系。

問題5：觀察跨欄、簡易木架等實物，你能猜想出判斷一條直線與一個平面垂直的方法嗎？

設計意圖：通過問題思考與實例分析，尋找具有可操作性的判定方法，體驗有限與無限之間的辯證關系．

師生活動：引導學生觀察思考，給出猜想：一條直線與一個平面內兩相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．

2.操作確認

問題6：如圖4，請同學們拿出準備好的一塊（任意）三角形的紙片，我們一起來做一個實驗：過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放臵在桌面上，（BD、DC與桌面接觸）.觀察并思考：

（1）折痕AD與桌面垂直嗎？如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

（2）由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關系，即AD⊥CD，AD⊥BD發生變化嗎？由此你能得到什么結論？ 設計意圖：通過實驗，引導學生獨立發現直線與平面垂直的條件，培養學生的動手操作能力和幾何直觀能力．

師生活動：在折紙試驗中，學生會出現“垂直”與“不垂直”兩種情況，引導學生進行交流，根據直線與平面垂直的定義分析“不垂直”的原因．學生再次折紙，進而探究直線與平面垂直的條件，經過討論交流，使學生發現只要保證折痕AD是BC邊上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD就與桌面垂直，再利用多媒體演示翻折過程，增強幾何直觀性．

3.合情推理

問題7：根據上面的試驗，結合兩條相交直線確定一個平面的事實，你能給出直線與平面垂直的判定方法嗎？

設計意圖：引導學生根據直觀感知及已有知識經驗，進行合情推理，獲得判定定理．

師生活動：教師引導學生回憶出“兩條相交直線確定一個平面”，以及直觀過程中獲得的感知，將“與平面內所有直線垂直”逐步歸結到“與平面內兩條相交直線垂直”，進而歸納出直線與平面垂直的判定定理．同時指出要判斷一條直線與一個平面是否垂直,取決于在這個平面內能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點是無關緊要的.定理充分體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”相互轉化的數學思想．

定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．

用符號語言表示為：

環節四：例題示范,鞏固新知

例

1、如圖，已知a∥b，a⊥α 求證：b⊥α

師生活動：教師引導學生分析思路，可利用線面垂直的定義證，也可用判定定理證，提示輔助線的添法，將思路集中在如何在平面內α內找到兩條與直線b垂直的相交直線上．另外，再引導學生將已知條件具體化的過程中，逐步明確根據異面直線所成角的概念解決問題．學生練習本上完成，對照課本完善自己的解題步驟．同時指出：本例結果可以作為直線和平面垂直的又一個判定定理.這樣判定一條直線與已知平面垂直，可以用這條直線垂直于平面兩條相交直線來證明，也可以用這條直線的平行直線垂直于平面來證明.設計意圖：初步感受如何運用直線與平面垂直的判定定理與定義解決問題，明確運用線面垂直判定定理的條件．

環節五：鞏固練習，強化新知

鞏固練習1：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，(1)請找出與平面ABCD垂直的棱所在的直線 ；(2)請列舉與直線A1A垂直的平面 ；

(3)你能找出一條與平面D1DBB1垂直的直線嗎?

設計意圖：進一步感受如何運用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直，體會轉化思想在證題中的作用，發展學生的幾何直觀能力與一定的推理論證能力，同時教師板書證明格式。

鞏固練習2：若把正方體切成四棱錐（1）

嗎？

嗎？

嗎？

（2）若在PC的中點為E，則（3）若AD中點為M，PB的中點為N，則設計意圖：圍繞正方體的切割，通過一系列有梯度問題的設計，給學生一種既熟悉又陌生的感覺，讓學生動腦，進一步圍繞判定定理來解決問題，使知識升華。

環節六：小結升華： 小結：

1、思路引領：要證明線面垂直的問題，可以通過證明線線垂直來實現.2、友情提示：平面內的這兩條直線必須相交；

3、學習重點：直線與平面垂直的定義及判定定理

4、數學思想及方法:

空間問題轉化為平面問題”、“線面垂直轉化為線線垂直”、“無限轉化為有限

第三篇：《直線與平面垂直的判定》教學設計（最終版）

《直線與平面垂直的判定》教學設計

一、內容和內容解析

本節課是在學生學習了空間點、直線、平面之間的位置關系和直線、平面平行的判定及其性質之后進行的，其主要內容是直線與平面垂直的定義、直線與平面垂直的判定定理及其應用。直線與平面垂直是直線和平面相交中的一種特殊情況，它是空間中直線與直線垂直位置關系的拓展，又是平面與平面垂直的基礎，是空間中垂直位置關系間轉化的重心，同時它又是直線和平面所成的角、直線與平面、平面與平面距離等內容的基礎，因而它是空間點、直線、平面間位置關系中的核心概念之一。

直線與平面垂直是通過直線和平面內的任意一條直線（無一例外）都垂直來定義的，定義本身也表明了直線與平面垂直的意義，即如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內的所有直線，這也可以看成是線線垂直的一個判定方法；直線與平面垂直的判定定理，本節是通過折紙試驗來感悟的，即一條直線只要與平面內的兩條相交直線垂直就可以判定直線與平面垂直了，它把原來定義中要求與任意一條（無限）垂直轉化為只要與兩條（有限）相交直線垂直就行了，概言之，線不在多，相交就行。直線與平面垂直的判定方法除了定義法、判定定理外，還有如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面，這是直線與平面 垂直判定的一種間接方法，也是十分重要的。

本節學習內容蘊含豐富的數學思想，即“空間問題轉化為平面問題”，“無限轉化為有限”“線線垂直與線面垂直互相轉化”等數學思想。直線與平面垂直是研究空間中的線線關系和線面關系的橋梁，為后繼面面垂直的學習、距離的學習奠定基礎。

二、學情分析

（1）學生的起點能力分析

學生已有的認知基礎是熟悉的日常生活中的具體直線與平面垂直的直觀形象（學生的客觀現實）和直線與直線垂直的定義、直線與平面平行的判定定理等數學知識結構（學生的數學現實），這為學生學習直線與平面垂直定義和判定定理等新知識奠定基礎。

學生學習的困難在于如何從直線與平面垂直的直觀形象中提煉出直線與平面垂直的定義，感悟直線與平面垂直的意義；以及如何從折 紙試驗中探究出直線與平面垂直的判定定理。（2）學習行為分析

本節課安排在立體幾何的初始階段，是學生空間觀念形成的關鍵時期，課堂上學生通過感知、觀察、提煉直線與平面垂直的定義，進而通過辨析討論，深化對定義的理解。進一步，在一個具體的數學問題情境中猜想直線與平面垂直的判定定理，并在教師的指導下，通過動手操作、觀察分析、自主探索等活動，切身感受直線與平面垂直判定定理的形成過程,體會蘊涵在其中的思想方法。繼而，通過課本例1的學習概括直線與平面垂直的幾種常用判定方法。再通過練習與課后小結，使學生進一步加深對直線與平面垂直的判定定理的理解。

三、教學目標

知識與技能目標：通過觀察圖片和折紙試驗，使學生理解直線與平面

垂直的定義，歸納和確認直線與平面垂直的判定定理，并能簡單應用定義和判定定理；

過程與方法目標：通過對判定定理的探究和運用，初步培養學生的幾

何直觀能力和抽象概括能力；

情感態度與價值觀目標：通過對探索過程的引導，努力提高學生學習

數學的熱情，培養學生主動探究的習慣．

四、教學重難點

教學重點：對直線與平面垂直的定義和判定定理的理解及其簡單應用。教學難點：探究、歸納直線與平面垂直的判定定理，體會定義和定理中所包含的轉化思想．

五、教學方式

啟發式與試驗探究式相結合。

六、教學過程設計

（一）、觀察歸納直線與平面垂直的定義

1、直觀感知

問題1：請同學們觀察圖片，說出旗桿與地面、大橋橋柱與水面是什么位置 關系？你能舉出一些類似的例子嗎？

設計意圖：從實際背景出發，直觀感知直線和平面垂直的位置關系，使學生在頭腦中產生直線與地面垂直的初步印象，為下一步的數學抽象做準備。

師生活動：觀察圖片，引導學生舉出更多直線與平面垂直的例子，如教室內直立的墻角線和地面位置關系，桌子腿與地面的位置關系，直立書的書脊與桌面的位置關系等，由此引出課題。

2、觀察思考

思考：如何定義一條直線與一個平面垂直呢？

我們已經學過直線和平面平行的判定和性質，知道直線和平面平行的問題可轉化為考察直線和平面內直線平行的關系, 直線和平面垂直的問題同樣可以轉化為考察一條直線和一個平面內直線的關系，然后加以解決。

問題2：（1）如圖1，在陽光下觀察直立于地面旗桿AB及它在地面的影子BC，旗桿所在的直線與影子所在直線位置關系是什么？

（2）旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部B的直線B1C1的位置關系又是什么？

設計意圖：引導學生用“平面化”的思想來思考問題，通過觀察，感知直線與平面垂直的本質屬性。

師生活動：教師用多媒體課件演示旗桿在地面上的影子隨著時間的變化而移動的過程，引導學生得出旗桿所在直線與地面內的直線都垂直。

3、抽象概括

問題

3、通過上述觀察分析，你認為應該如何定義一條直線與一個平面垂直？

設計意圖：讓學生歸納、概括出直線與平面垂直的定義。

師生活動：學生思考作答，教師補充完善，指出定義中的“任意一條直線”與“所有直線”是同意詞，定義是說這條直線和平面內所有直線垂直。同時給出線面垂直的記法與畫法。

定義：如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線

l與平面α互相垂直，記作： l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足。

畫法：畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖2。

4、辯析舉例

辨析：下列命題是否正確，為什么？

（1）如果一條直線垂直于一個平面內的無數條直線，那么這條直線與這個平面垂直。

（2）如果一條直線垂直一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內的任一直線。

設計意圖：通過問題辨析，加深概念的理解，掌握概念的本質屬性。由（1）使學生明確定義中的“任意一條直線”是“所有直線”的意思，定義的實質就是直線與平面內所有直線都垂直。由（2）使學生明確，線面垂直的定義既是線面垂直的判定又是性質，線線垂直與線面垂直可以相互轉化。

師生活動：命題（1）判斷中引導學生用鐵絲表直線，用三角板兩直角邊表兩垂直直線，桌面表平面舉出反例。教師利用三角板和教鞭進行演示，將一塊大直角三角板的一條直角邊AC放在講臺上演示，這時另一 條直角邊BC就和講臺上的一條直線（即三角板與桌面的交線AC）垂直，但它不一定和講臺桌面垂直.在此基礎上在講臺上放一根和AC平行的教鞭EF并平行移動，那么BC始終和EF垂直，但它不一定和講臺桌面垂直，最后教師用多媒體課件展示反例的直觀圖，如圖3。

由命題（2）給出下列常用命題：

這個命題體現了平行關系與垂直關系的聯系，它是判斷線線垂直的常用方法。

（二）、探究發現直線與平面垂直的判定定理

1、觀察猜想

思考：我們該如何檢驗學校廣場上的旗桿是否與地面垂直？ 雖然可以根據定義判定直線與平面垂直，但這種方法實際上難以實施。有沒有比較方便可行的方法來判斷直線和平面垂直呢？

問題

4、觀察跨欄、簡易木架等實物，你能猜想出判斷一條直線與一個平面垂直的方法嗎？

設計意圖：通過問題思考與實例分析，尋找具有可操作性的判定方法，體驗有限與無限之間的辯證關系。

師生活動：引導學生觀察思考，給出猜想：一條直線與一個平面內兩相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

2、操作確認

問題5：如圖4，請同學們拿出準備好的一塊（任意）三角形的紙片，我們一起來做一個實驗：過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC與桌面接觸）.觀察并思考：

（1）折痕AD與桌面垂直嗎？如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

（2）由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關系，即AD⊥CD，AD⊥BD發生變化嗎？由此你能得到什么結論？ 設計意圖：通過實驗，引導學生獨立發現直線與平面垂直的條件，培養學生的動手操作能力和幾何直觀能力。

師生活動：在折紙試驗中，學生會出現“垂直”與“不垂直”兩種情況，引導學生進行交流，根據直線與平面垂直的定義分析“不垂直”的原因。學生再次折紙，進而探究直線與平面垂直的條件，經過討論交流，使學生發現只要保證折痕AD是BC邊上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD就與桌面垂直，再利用多媒體演示翻折過程，增強幾何直觀性。

3、合情推理

問題6：根據上面的試驗，結合兩條相交直線確定一個平面的事實，你能給出直線與平面垂直的判定方法嗎？

設計意圖：引導學生根據直觀感知及已有知識經驗，進行合情推理，獲得判定定理。

師生活動：教師引導學生回憶出“兩條相交直線確定一個平面”，以及直觀過程中獲得的感知，將“與平面內所有直線垂直”逐步歸結到“與平面內兩條相交直線垂直”，進而歸納出直線與平面垂直的判定定理。同時指出要判斷一條直線與一個平面是否垂直,取決于在這個平面內能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點是無關緊要的.定理充分體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”相互轉化的數學思想。定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。用符號語言表示為：

4、質疑深化

辨析：如果一條直線與一個梯形的兩條邊垂直，那么這條直線垂直于梯形所在的平面嗎？

設計意圖：通過辨析，強化定理中“兩條相交直線”的條件。師生活動：學生思考作答，教師再次強調“相交”條件。

（三）、直線與平面垂直的判定定理的初步應用

嘗試練習

1、求證：與三角形的兩條邊同時垂直的直線必與第三條邊垂直。

設計意圖：初步感受如何運用直線與平面垂直的判定定理與定義解決問題，明確運用線面垂直判定定理的條件。

師生活動：學生根據題意畫圖（如圖6），將其轉化為幾何命題：不妨設a⊥AC,a⊥BC求證：a⊥AB。請兩位同學板演，其余同學在練習本上完成，師生共同評析，明確運用線面垂直判定定理時的具體步驟，防止缺少條件，特別是“相交”的條件。

嘗試練習

2、如圖7，已知a∥b，a⊥α，求證：b⊥α。

設計意圖：進一步感受如何運用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直，體會轉化思想在證題中的作用，發展學生的幾何直觀能力與一定的推理論證能力。

師生活動：教師引導學生分析思路，可利用線面垂直的定義證，也可用判定定理證，提示輔助線的添法，將思路集中在如何在平面內α內找到兩條與直線b垂直的相交直線上。另外，再引導學生將已知條件具體化的過程中，逐步明確根據異面直線所成角的概念解決問題。學生練習本上完成，對照課本P73例1,完善自己的解題步驟。同時指出：本例結果可以作為直線和平面垂直的又一個判定定理.這樣判定一條直線與已知平面垂直，可以用這條直線垂直于平面兩條相交直線來證明，也可以用這條直線的平行直線垂直于平面來證明.（四）、總結反思

（1）通過本節課的學習，你學會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？（2）上述判斷直線與平面垂直的方法體現的什么數學思想？（3）關于直線與平面垂直你還有什么問題？

設計意圖：培養學生反思的習慣，鼓勵學生對問題多質疑、多概括。師生活動：學生發言，互相補充，教師點評完善，歸納出判斷直線與平面垂直的方法，給出框圖（投影展示）。

七、目標檢測設計

1、如圖，點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，O是對角線AC與BD的交點，且PA=PC，PB=PD.求證：PO⊥平面ABCD

2、課本P74 練習1、2

3、課本P86 A組10

4、如圖，PA⊥圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，則圖中有幾個直角三角形?由此你認為三棱錐中最多有幾個直角三角形？

（板書設計）

第四篇：直線與平面垂直的判定的教學反思

2013年5月13日《直線與平面垂直的判定》的教學反思

一、復習引入部分

在復習回顧過程中，我首先提出了一個問題：問直線和平面有幾種位置關系。我們研究了直線和平面平行，直線在平面內是平面幾何的內容，今天我們來研究直線和平面相交的一種特殊情況，同學們都一起回答是：垂直。這樣激發了學習的興趣。

新課標提倡數學教學應當注意創設生活情境，使數學學習更貼近學生，在數學課堂學習中，精心創設問題情景，誘發學生思維的積極性，用卓有成效的啟發引導，促使學生的思維活動持續發展。學生對學習有無興趣和求知欲，是能否積極思維的重要的動機因素。要引起學生對數學學習的興趣和求知欲望，行之有效的方法是創設合適的問題情景，引起學生對數學知識本身的興趣。在數學問題情景中，新的需要和學生原有的數學水平之間產生了認知沖突，這種認知沖突能誘發學生數學思維的積極性。因此，合適的問題情景，成為誘發和促進學生思維發展的動力因素。在本節課的設計中，我引入了生活中的場景，如教室的門與地面、立在桌上的課本和桌面的關系、旗桿和地面等等，來激發學生學習數學的興趣。

二、判定定理講解過程

在直線與平面垂直的性質定理講解設計中，我讓學生先觀察實例，再從實際情境中抽象出數學模型，通過兩個數學小實驗，讓學生動一動手，學生自主探究得出判定定理。在這里，我仍然要求學生會用三種語言來表達這個判定定理，并和學生一起去分析定理中的三個條件。講解后，我設計了幾道判斷題，主要目的是希望學生自己去發現判定定理中的三個條件都是不能少的，缺少一個結論均不成立。這個設計得到了老師們的肯定，課后也給我提出了更好的處理意見。比如說，可以充分利用多媒體技術，不妨直接將三個條件投影出來，然后依次擦去一個或者兩個條件，讓學生自己去證明結論是否仍然成立。我覺得在以后的教學中，我可以嘗試采用這樣的處理方式，在此過程中，讓學生通過實踐體驗知識形成的過程，自主完成知識的建構，讓學生體會知識獲得的喜悅，自己做出來的才是印象最深刻的。

三、反思例題講解與隨堂練習部分

在例題講解中，我選取的是教材中的例1，先給學生分析了題意，再板書了證明過程。但是，在分析過程中，但板書不夠詳細。這是一個不足，雖然有緊張的原因，但是作為一名老師，應該給學生做好榜樣，起到示范的作用。最后，由于時間不夠，例2講解非常詳細，如果平面中沒有現成的直線，那么需要我們自己去做兩條輔助線。例3不僅充分應用判定定理去證明線面垂直，而且還應用例2的結果，過度自然。

當然，本節課的教學還是達到了預期目標。學生基本上能知道直線與平面垂直的判定定理的內容，會注意到定理中的三個條件一個都不能少。通過例題的講解，學生知道了證明直線與平面垂直的方法，一種是利用定義，一種是運用判定定理，而利用判定定理關鍵是要去平面內去找兩條條直線與已知直線垂直線。對于這條直線怎么找，除了課上提到正方體的性質，我最后還提出了問題，讓學生課下思考平面幾何中還有哪些證明線線垂直的方法。在我的教學設計中以及課堂教學中還是存在著這樣或那樣的不足，有待以后的教學中改進。比如要先熟悉學生搞好課堂氛圍，讓課堂活躍起來；在教學過程中，引入新課部分稍顯拖拉，有點不太緊湊，導致最后時間不夠。以上是我對這一節課的反思，作為老師，我有必要在一些細節上更加完善地做好本職工作，比如最基本的知識點的教授工作，扎實的數學基本功等。同時還必須注意對學生綜合能力的培養，包括獨立發現問題--解決問題--回過頭來再尋求更好解決途徑的過程。

第五篇：直線與平面垂直的判定教學反思

《直線與平面垂直的判定》的教學反思

焉耆一中數學組李新華

本節是高一《必修2》第二章第三節第一課時的內容。本節課所要達到的知識目標是：（1）掌握線面垂直的定義;（2）掌握線面垂直的判定定理，并能利用判定定理證明一些簡單的線面垂直問題。所要達到的知識目標很明確，但學生的實際情況是空間想象能力較弱。所以本節課我先是以生活實例讓學生比較直觀的認識線面垂直，同時讓學生自己動手比劃找出線面垂直的條件，鼓勵學生自己給出線面垂直的定義。然后，引導學生探索發現線面垂直的判定定理。最后，利用判定定理證明一些簡單線面垂直問題。

本節課我最滿意的地方是線面垂直定義、定理的引入。最大亮點是我依次給出了三個設問，大膽鼓勵讓學生自己動手比劃，再結合生活實例，得出結論。設問：（1）如果一條直線和平面內的一條直線垂直，那么這條直線一定能和這個平面垂直嗎？（2）如果一條直線和平面內的無數條直線都垂直，那這條直線一定與這個平面垂直嗎？（3）如果一條直線和平面內的任意一條直線都垂直，那這條直線一定和這個平面垂直嗎？完全放開讓學生自己動手比劃，讓學生在動手的過程中發現問題，最后由他們自己總結出定義。這個過程使學生很有成就感，而且極大的調動了學生學習興趣和積極性。好些學生說:“立體幾何太有興趣了，根本沒有想象的難嘛！”之后，我又給出設問：如果一條直線和平面內的兩條直線垂直，那這條直線一定與這個平面垂直嗎？然后還是由學生動手比劃得出結論。為了使他們的結論更具有說服力，我又舉了生活中的實例，比如教室的墻拐角所體現的線面垂直等。最后得出本節課的重點知識線面垂直的判定定理。這部分之所以感到滿意，是因為所有的內容基本都是讓學生親自動手比劃得出的，這使他們對定義的理解更到位，更深刻。以至于在后面的實踐證明中原本很愁人的地方反而比較順手，學生也一直比較興奮，課堂氣氛很活躍。之后的作業反饋，大部分學生都能證明出一些簡單的線面垂直問題，這也說明我的這堂課的確是比較成功的一堂課。

通過這堂課，讓我對立體幾何這部分的教學有了全新的看法：一定要以最大的可能讓學生自己動手，自己比劃，發現問題，試著自己總結規律，得出結論。要努力把他們的態度從“要我學”變為“我要學”升華為“我愛學”。