第一篇：淺談高中數學新課程中“立體幾何”部分的內容與要求

淺談高中數學新課程中 “立體幾何”部分的內容與要求

張勁松

2003年4月教育部正式頒布實施《普通高中數學課程標準（實驗）》（以下簡稱《標準》）。與《標準》配套的《普通高中課程標準實驗教科書·數學》于2004年秋季開始在山東、廣東、海南、寧夏進行實驗，2005年秋季又擴大到江蘇，到2006年秋季，福建、浙江、安徽、遼寧、天津加入，共有10省（區、直轄市）使用《普通高中課程標準實驗教科書·數學》。

這次高中數學課程改革比較突出的特點是在“構建共同基礎，提供發展平臺”的前提下，“提供多樣課程，適應個性選擇”“強調本質”“注意提高學生的數學思維能力”“發展學生的數學應用意識”等等。具體做法是，課程內容分為諸多模塊和專題，突出數學教科書的“數學味”，注重從現實情景引入數學知識，用數學處理具體的實際問題等等。實事求是地講，《標準》設計的理念和思路都是非常好的，作為《標準》最主要的載體——教材在實驗過程中，有很多積極的評價。但也存在不少問題，比較突出的是《標準》把“內容與要求”合在一起寫。有些內容不明確，教還是不教，難以把握。本文結合《標準》《普通高中課程標準實驗教科書·數學》和實驗教師的反映，以“立體幾何”部分的內容與要求為例，談一下粗淺的認識，希望對教學有一定的幫助。

一、“立體幾何”部分到底包括哪些內容

“立體幾何”是高中數學非常經典的內容，也是非常重要的內容。回顧上個世紀90年代以后開始的近20年的高中數學課程改革，1997年前，“立體幾何”部分單獨成冊《立體幾何》，與《代數》（上冊）同時開設，在高一兩個學期完成，《立體幾何》約需57課時。1997年后，《全日制普通高級中學數學教學大綱》把“立體幾何”

部分的內容縮為一章“直線、平面、簡單幾何體”，再加上“研究性學習課題：多面體歐拉定理的發現”，共39課時。

翻看《全日制中學數學教學大綱（高中部分）》（修訂本）和《全日制普通高級中學數學教學大綱》，其教學內容和具體要求（或教學目標）都是分開表述，學什么，達到什么目標，比較清晰。

《普通高中數學課程標準（實驗）》中“立體幾何”部分的內容，放在《數學2》“立體幾何初步”，選修2-1“空間向量與立體幾何”，以及系列3和系列4的部分專題中，如“選修3-3球面上的幾何”中等等，而且必修課程和選修課程分得比較開。由于選修系列1的學生只學習《數學2》中的“立體幾何初步”，選修系列2的學生學習“空間向量與立體幾何”，所以，我們認為，現在的高中數學新課程中的“立體幾何”部分包括《數學2》中的“立體幾何初步”和選修2-1中“空間向量與立體幾何”，它們共30課時。

1、現在高中數學新課程中“立體幾何”部分的教學內容是不是過去“直線、平面、簡單幾何體”內容的真子集。實際是這種情況嗎？答案是否定的。

從《普通高中數學課程標準（實驗）》和《普通高中課程標準實驗教科書·數學2》（以下簡稱《數學2》）看，新課程“立體幾何”部分新增了一些內容：平行投影、中心投影、三視圖。這些內容與義務教育階段“空間與圖形”中的“視圖與投影”緊密銜接，而“直線、平面、簡單幾何體”沒有這部分內容。增加這部分內容的主要目的是進一步認識空間圖形，通過三視圖以及空間幾何體與其三視圖的互相轉化，對空間圖形有比較完整的認識，培養和發展學生的幾何直觀能力和空間想象能力，更全面地把握空間幾何體。投影是視圖的基礎，投影分為平行投影和中心投影。立體幾何中研究的圖形都是平行投影下的圖形。中心投影在日常生活中雖然非常普遍，但不是高中“立體幾何”研究的主要內容。有了投影，才有視圖。

除了“平行投影、中心投影、三視圖”的內容外，其他內容是“直線、平面、簡單幾何體”的真子集。

2、高中數學新課程中“立體幾何”部分的教學內容

結合《標準》的學習和教科書的編寫，概括一下，高中數學新課程中“立體幾何”部分的數學內容：

（1）空間幾何體

棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺、球。柱體、錐體、臺體、球體的簡單組合體。

簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，斜二側畫法，簡單空間圖形的直觀圖。

平行投影下的空間圖形，中心投影下的空間圖形。

球、棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積。（2）點、直線、平面之間的位置關系平面及其基本性質。

平行直線，對應邊分別平行的角，異面直線所成的角。

直線和平面平行的判定與性質，直線和平面垂直的判定與性質，點到平面的距離，斜線在平面的投影,直線和平面所成的角。

平面與平面平行的判定與性質。二面角及其平面角。兩個平面垂直的判定與性質。（3）空間向量與立體幾何

空間向量及其加法、減法與數乘運算。空間向量基本定理，空間向量的正交分解。

空間向量的坐標表示，空間向量的加法、減法與數乘運算的坐標表示。空間向量的數量積，空間向量數量積的坐標表示。

三垂線定理及其逆定理。直線的方向向量，平面的法向量。

3、關于夾角與距離

《標準》在“空間向量與立體幾何”中明確提出：“能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。”因此，異面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面所成的角等內容在“點、直線、平面之間的位置關系”必須介紹，穿插在相關內容之中，盡管在“點、直線、平面之間的位置關系”中沒有提到。

距離是“立體幾何”中的另一種度量。點到直線的距離、點到平面的距離、平行直線之間的距離、異面直線之間的距離、直線與平面之間的距離、平面與平面之間的距離的本質是兩點之間的距離，而兩點之間的距離是以這兩點為起點和終點的向量的模或長度。這樣，空間中的距離問題就轉化為向量的模或長度問題。

4、關于“三垂線定理及其逆定理”

很多老師都說，整個高中立體幾何就是“三垂線定理”。盡管說得過分些，但從另外一個角度說明，“三垂線定理”在整個高中“立體幾何”中的地位和作用。確實，“三垂線定理”是整個立體幾何內容的一個典型代表，處在整個立體幾何知識的樞紐位置，綜合了很多知識內容：直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直和平行。《標準》在“點、直線、平面之間的位置關系”中雖然沒有明確提到“三垂線定理”，但在“空間向量與立體幾何”中提到“能用向量方法證明有關線、面位置關系的一些定理（包括三垂線定理）”。按照這種提法，教材中必須明確提出“三垂線定理”，學生應該知道這個定理。至于放在《數學2》中，還是放在《選修2-1》中，則是另外一個問題。有了“三垂線定理”，“三垂線定理的逆定理”也就順理成章了，無非是斜線與斜線在平面內的射影的位置互換了一下。

在教材實驗過程中，老師非常關注“三垂線定理及其逆定理”的教學。一方面

是它在整個高中“立體幾何”中的地位和作用；另一方面，它也是高考的核心內容，目前的高考試卷中，如果是用綜合法處理的“立體幾何”方面的大題，都是關于“三垂線定理及其逆定理”的。但是，隨著空間向量及其運算引入“立體幾何”內容中，用空間向量及其運算的向量方法（或坐標方法）處理有關垂直和平行問題成為一種普遍適用的方法，用“三垂線定理及其逆定理”的綜合方法退居其次。高中數學新課程中強調用空間向量及其運算處理立體幾何中的角度、距離，淡化綜合方法處理角度問題和距離問題。

5、關于球

目前，《標準》只要求認識球的結構特征，了解球的表面積和體積的計算公式（不要求記憶）。由于在系列3中的“選修3-3球面上的幾何”專門講述涉及球以及球面的幾何，因此現在新課程中“立體幾何”部分不涉及球面上距離等內容，對球面的表面積和體積公式也不要求推導，教學時一定不要增加這方面的內容。

二、怎樣把握這部分的教學要求

由于《標準》把“內容與要求”合在一起寫，對教學要求的把握相對來說，容易一些。但在教材編寫和教材實驗中，也存在不少問題。

1、棱柱、棱錐、棱臺這些空間幾何體要求到什么程度

按照《標準》的要求，教材首先通過實物模型、計算機軟件觀察大量空間圖形，認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征。結構特征是這些空間幾何體的本質特征，我們需要抽象概括出這些空間幾何體的概念。以棱柱為例，抽象出它的本質特征后，要不要講斜棱柱、直棱柱、正棱柱以及楞住的一些性質？由于《標準》在“空間向量與立體幾何”的“參考案例”例1中明確提出“直三棱柱??”，所以必須講。至于放到哪部分內容中，下面我們談到體系結構時，會詳細闡述。棱錐也有類似的問題，正棱錐怎么講？在何處講？

2、關于三視圖與幾何直觀能力、空間想象能力

視圖和投影是《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》新增的內容，作為與初中數學課程內容的銜接，“空間幾何體”包括視圖和投影的內容。要求到什么程度？

——三視圖是不是要求到“長對正、寬平齊、高相等”？

——對于平行投影和中心投影下的視圖與直觀圖，如果只是“通過觀察用兩種方法（平行投與中心投影）畫出的視圖和直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式”，是不是要求太低了？

——如果不明確給出直棱柱、正棱柱、正棱錐等空間幾何體的概念，這些空間幾何體的三視圖是不是能講清楚？因為這些空間幾何體的三視圖都涉及點在平面的射影、空間幾何體的高等概念。

這些是老師在教學中非常關注的問題。如果上述問題作為基本的要求，《數學2》中“立體幾何初步”有限的18課時，顯得太緊張了，心有余而力不足。

增加三視圖的有關內容，對于進一步培養學生的空間想象能力和幾何直觀能力具有重要的促進作用。過去的“立體幾何”內容相對來說，這方面比較薄弱。三視圖的有關內容在一定程度上改善了這種狀況。對圖形既需要直觀地感覺，也需要思辨地論證。我們要求學生能夠畫出空間幾何體的三視圖和直觀圖，能夠從空間幾何體的直觀圖畫出它的三視圖，從三視圖畫出它的直觀圖等等。使得學生能夠通過“實物模型—三視圖—直觀圖”這樣一個相互轉化的過程認識空間幾何體。這些數學活動是培養學生空間想象能力的有效途徑。只有這樣，立體幾何的教學目標才更加全面。

3、關于推理論證的要求

從必修課程《數學2》、選修課程系列2·選修2-1的“內容與要求”看，“立體幾何”部分推理論證的要求不高，而且有關直線、平面位置關系的一些判定定理用向量方法加以證明。而經典的“立體幾何”除了培養學生的空間想象能力和幾何直觀能力外，非常強調推理論證能力，把推理論證能力放在最突出的位置。由于整個

義務教育階段對幾何的推理論證能力的要求有所降低，與義務教育階段相銜接的高中數學新課程這方面的教學要求自然有所降低。

是不是《標準》對幾何推理論證的要求降低了呢？對“立體幾何”部分的教學要求降低了呢？

這種看法有一定的片面性。從《標準》和整套教材看，不難發現，在“立體幾何”中對于推理論證的要求不是一步到位，而是分階段、分層次、多角度的：

（1）對空間幾何體的認識，先直觀感受、操作確認，不做任何推理論證的要求。（2）以長方體為載體（包括其他的實物模型、身邊的實際例子等）對圖形（模型）進行觀察、實驗和說理，引入合情推理。

（3）嚴格的推理論證，如直線、平面平行與垂直的判定定理的證明。（4）在選修課程系列2·選修2-1中的“空間向量與立體幾何”中引入空間向量處理平行、垂直、距離和夾角等問題。

幾何的現實性與論理性是幾何的兩個方面。歐幾里得公理體系把幾何與邏輯結合起來，幾何就與演繹推理結下了不解之緣，很久以來幾何學就成為訓練邏輯推理的素材，用主觀的東西去理解客觀世界，把握客觀世界，以期對客觀世界有更理性的認識。

從幾何推理的角度來看，既有合情推理，又有演繹推理，而且從數學自身發展的過程來看，即使演繹推理也并非幾何所獨有，它廣泛存在于數學的各個分支中。近幾十年的國際數學教育改革對幾何推理的要求發生了一些變化，適當弱化演繹推理，更多地強調從具體情境或前提出發，進行合情推理；從單純強調幾何的邏輯推理，轉向更全面地體現幾何的教育價值，特別是集合在發展學生空間觀念，以及觀察、操作、試驗、探索、合情推理等“過程性”方面的教育價值。立體幾何初步特別注意使學生經歷從特殊到一般，從具體到抽象的過程，逐步認識直線與平面、平面與平面的位置關系，在推理過程中滲透公理化思想，養成言必有據的理性思維精

神。

4、關于集合模型的作用與價值

《標準》中多次提到“數學模型”一詞，目的是進一步加強數學與現實世界的聯系。數學模型是把實際問題用數學語言抽象概括，再從數學角度來反映或近似地反映實際問題時，所得出的關于實際問題的描述。數學模型的形式是多樣的，他們可以是幾何圖形，也可以是方程式、函數解析式等等。實際問題越復雜，相應的數學模型也越復雜。

從形狀的角度反映現實世界的物體時，經過抽象得到的空間幾何體就是現實世界物體的幾何模型。由于立體幾何學習的知識內容與學生的聯系非常密切，空間幾何體是很多物體的幾何模型，這些模型可以描述現實世界中的許多物體。它們直觀、具體，對培養學生的幾何直觀能力有很大的幫助。空間幾何體，特別是長方體，其中的棱與棱、棱與面、面與面之間的位置關系，是研究直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系的直觀載體。學習時，一方面要引導學生從生活實際出發，把學習的知識與周圍的實物聯系起來，另一方面，要引導學生經歷從現實的生活抽象空間圖形的過程，注重探索空間圖形的位置關系，歸納、概括它們的判定定理和性質定理。比如，在有關直線與平面、平面與平面平行和垂直判定定理的教學中，要注重引導學生通過直觀感知、操作確認，歸納出直線與平面、平面與平面平行和垂直的判定定理；在直線與平面、平面與平面平行和垂直的性質定理的教學中，同樣不能忽視學生從實際問題出發，進行探究的過程。要引導學生借助圖形直觀，通過歸納、類比等合情推理以及演繹推理，探索直線與平面、平面與平面平行與垂直等性質定理及其證明。在此基礎上，進一步運用已經能夠獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題。

立體幾何在構建直觀、形象的數學模型方面有其獨特作用。圖形的直觀，不僅為學生感受理解抽象的概念提供有力的支撐，而且有助于培養學生合情推理和演繹

推理的能力。

三、怎樣看待幾何的研究對象和研究方法

1、幾何的研究對象

幾何學是研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系的數學學科。在“立體幾何”部分中，空間幾何體的結構特征、三視圖、直觀圖都是從形的角度研究現實世界中的物體。幾何體在空間都會占有空間的一部分，它的大小在一維空間中表現為長度，在二維空間中表現為面積，在三維空間中表現為體積。位置關系主要包括直線與直線的位置關系、直線與平面的位置關系、平面與平面的位置關系。位置關系中的平行、垂直是研究的重點。這是歐氏幾何研究的主要內容。另外《標準》系列3中安排了“選修3-3球面上的幾何”，它是非歐幾何模型之一，讓學生了解除歐氏幾何模型外，還有非歐幾何模型，都是反映客觀世界“形”的分支學科；系列4中安排了“選修3-5歐拉公式與閉曲面分類”，它使用變換對幾何圖形進行分類，揭示在不同變換下幾何圖形不變的性質或不變量，也是幾何學的重要內容。學習這些內容，會對幾何學有一個相對概貌的了解，對于更好地把握幾何學的研究對象有更深入的認識。

2、幾何的研究方法

研究對象確定后，研究方法的選擇是非常重要的。不同的研究方法體現了不同研究對象的特點，反映了不同研究對象不同的要求。《標準》中明確提出，認識和探索幾何圖形及其性質的主要方法是：直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算，這是非常經典的概括。它把具體與抽象、直觀與論理、感性與理性、動手與動腦有機地結合在一起。實際上，這四種方式是一個有機的整體，循序漸進，不同的知識內容要求的方式和方法不盡相同。

立體幾何內容中的“空間幾何體”主要是通過直觀感知、操作確認的方式讓學生認識人類生存的現實空間，通過空間圖形，培養和發展學生的空間想象能力。在“點、直線、平面之間的位置關系”中，借助長方體模型，通過直觀感知、操作確認先認識它們之間的位置關系，歸納關于平面、平行的一些公理以及直線與平面平行、平面與平面平行以及直線與平面垂直、平面與平面垂直的性質定理進行思辨論證，并且運用已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題，培養學生的推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力。

我們經常說，行萬里路，讀萬卷書。這說明認識世界的兩種方式：感性認識和理性認識。具體到數學學科中，觀察和推理是學習數學的兩種手段。由觀察（實踐）歸納出一些事實（如公理），在此基礎上，從這些事實出發，運用邏輯推理的方法，推導、證明一些新的事實。在立體幾何初步的內容中，我們采用了觀察和推理兩種方式。通過直觀感知、操作確認、思辯論證，認識和把握點、直線、平面之間的位置關系。

四、如何理解高中數學新課程中“立體幾何”部分的結構體系

與傳統立體幾何的體系結構相比，新課程中的立體幾何的體系結構有重大改革。傳統的立體幾何內容，常從點、直線、平面之間的位置關系開始，講述平面及其基本性質，點、直線、平面之間位置關系和有關公理、定理，在研究由空間幾何體，包括棱柱、棱錐、圓柱、臺、球的結構特征、體積、表面積等等，基本上按照從局部到整體的原則。現在，先從對空間幾何體的整體感受入手，再研究點、直線、平面之間的位置關系。

基于這種安排，我們認為，在講點、直線、平面的位置關系的內容中，應穿插介紹直棱柱、正棱柱、正棱錐等內容。直線與平面、平面與平面的平行和垂直等位置關系在這些空間幾何體中有具體的體現。如果放在“空間幾何體”中，這些位置關系沒有明確地界定，單純地“直觀感知、操作確認”，思維層面不高，很難從本質上把握這些空間幾何體的特征。所以，這部分的安排，我們認為應遵循“整體—局部—整體”的原則。

這種安排遵循人類認識世界的過程，也符合學生的認知特點。它有助于發展學生的空間觀念、培養學生的空間想象能力、幾何直觀能力，適當減輕幾何論證的難度，降低立體幾何學習入門的門檻，提高學生學習立體幾何的興趣。

整體和局部是一個有機的整體。沒有對整體的把握，也無從認識局部；同樣，如果沒有對局部更細致的認識，我們也無法更好地把握整體。因此，在學習完“點、直線、平面之間的位置關系”后，可引導學生從點、直線、平面的角度重新認識空間幾何體，從本質上把握空間幾何體的結構特征，對空間幾何體的結構特征有更全面的認識。

集合內容的體系結構、處理幾何內容的方式方法一直是數學課改的熱點問題。通過適當增加一些內容，培養學生的幾何直觀能力；削減一些內容，適當降低推理論證能力，特別是演繹論證能力；用空間向量及其運算這個工具，從新的視角處理立體幾何中的夾角、距離以及位置關系等都是幾何課改的具體舉措。更深層次的改革還需我們作進一步的探討，諸如，如何從幾何變換的角度看待幾何圖形，如何介紹非歐幾何模型，如何看待幾何的現實性與論理性之間的關系，如何更全面地看待幾何的教育價值等等。

（作者單位：課程教材研究所）

原載《中學數學教學參考》：高中版（西安），2006.7.

第二篇：高中數學“立體幾何”教學研究

高中數學“立體幾何”教學研究

一.“立體幾何”的知識能力結構

高中的立體幾何是按照從局部到整體的方式呈現的，在必修2中，先從對空間幾何體的整體認識入手，主通過直觀感知、操作確認，獲得空間幾何體的性質，此后，在空間幾何體的點、直線和平面的學習中，充分利用對模型的觀察，發現幾何體的幾何性質并通過簡單的“推理”得到一些直線和平面平行、垂直的幾何性質，從微觀上為進一步深入研究空間幾何體做了必要的準備.在選修2-1中，首先引入空間向量，在必修2的基礎上完善了幾何論證的理論基礎，在此基礎上對空間幾何體進行了深入的研究.首先安排的是對空間幾何體的整體認識，要求發展學生的空間想像能力，幾何直觀能力，而沒有對演繹推理做出要求.在“空間點、直線、平面之間的位置關系”的研究中，以長方體為模型，通過說理（歸納出判定定理，不證明）或簡單推理進行論證（歸納并論證明性質定理），在“空間向量與立體幾何”的學習中，又以幾何直觀、邏輯推理與向量運算相結合，完善了空間幾何推理論證的理論基礎，并對空間幾何中較難的問題進行證明.可見在立體幾何這三部分中，把空間想像能力，邏輯推理能力，適當分開，有所側重地、分階段地進行培養，這一編排有助于發展學生的空間觀念、培養學生的空間想象能力、幾何直觀能力，同時降低學習立體幾何的門檻，同時體現了讓不同的學生在數學上得到不同的發展的課標理念.二.“立體幾何”教學內容的重點、難點

1.重點：

空間幾何體的結構特征：柱、錐、臺、球的結構特征的概括； 空間幾何體的三視圖與直觀圖：幾何體的三視圖和直觀圖的畫法；

空間幾何體的表面積與體積：了解柱、錐、臺、球的表面積與體積的計算公式； 空間點、直線、平面的位置關系：空間直線、平面的位置關系； 直線、平面平行的判定及其性質：判定定理和性質定理的歸納； 直線、平面垂直的判定及其性質：判定定理和性質定理的歸納.2.難點：

空間幾何體結構特征的概括：柱、錐、臺球的結構特征的概括； 空間幾何體的三視圖與直觀圖：識別三視圖所表示的幾何體； 空間點、直線、平面的位置關系：三種語言的轉化； 直線、平面平行的判定及其性質：性質定理的證明； 直線、平面垂直的判定及其性質：性質定理的證明.三．空間幾何體的教學要與空間想象能力培養緊密結合

空間幾何體的教學要注意加強幾何直觀與空間想象能力的培養，在立體幾何的入門階段，建立空間觀念，培養空間想象能力是學習的一個難點，要注重培養空間想象能力的途徑，例如：

①注重模型的作用，讓學生動手進行模型制作，培養利用模型解決問題的意識與方法.②培養學生的畫幾何圖形能力，畫圖不是描字模（只模仿），而是要邊畫邊思考所畫圖與實際幾何體的對應關系.③空間想象不是簡單的觀察、空想，應與概念思辨相結合（前面已經談到）.④發揮三視圖與直觀圖培養空間想象能力的作用，利用空間幾何體的三視圖與直觀圖的轉化過程，可以使學生認識到：空間圖形向平面圖形的轉化有利于分析和表示較為復雜的空間圖形；變換觀察視角對空間幾何體進行觀察可以更容易理解較為復雜的空間圖形，把握空間圖形中元素之間的關系.四．加強對概念、定理的理解與把握的教學

①用圖形輔助理解概念、定理和性質

例如，我們可以按照推理的類別，用圖形刻畫幾何元素的關系，可以避免死記硬背文字和符號的機械式學習，更容易理解公理、定理、性質等的幾何本質，發現問題圖形中的元素關系關系.讓學生對照圖形敘述相關定理或性質，特別要求對定理或性質的使用條件加以說明.例如，用圖形表示平行關系

例如，用圖形表示垂直關系

②強化證明的言必有據

所謂“言必有據”，是指每一步推理的根據（即三段論推理的大前提）必須是課本中給出的公理、定義、定理，不可以自造理由，不可以隨意將習題的結論作為根據，不可以把平面幾何結論在立體幾何中不加證明地隨意使用.不僅在文字語言和符號語言的推理中，要言必有據，在幾何作圖中也是如此，因為幾何作圖是幾何推理的特珠形式.立體幾何作圖也必須步步有據.③梳理推理依據

例如，從確定平行、垂直關系梳理推理依據（如圖），在解決問題時由圖形中尋找依據.把推理依據轉化為系列圖形納入立體幾何的學習中，用圖形歸納立體幾何知識，串聯立體幾何推理的思路，形成對圖思考，以圖交流，使得邏輯推理與幾何直觀有機整合，提高了學生的空間想象能力和推理論證能力.五.總結《課程標準》與高考對“立體幾何初步專題”的要求 《課程標準》對“立體幾何初步專題”的要求

（1）空間幾何體

①利用實物模型、計算機軟件觀察大量空間圖形，認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構.②能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會使用材料（如：紙板）制作模型，會用斜二側法畫出它們的直觀圖.③通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.④完成實習作業，如畫出某些建筑的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎上，尺寸、線條等不作嚴格要求）.⑤了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）.（2）點、線、面之間的位置關系

①借助長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系的基礎上，抽象出空間線、面位置關系的定義，并了解如下可以作為推理依據的公理和定理：

◆公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內.◆公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.◆公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.◆公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.◆定理：空間中如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.②以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定.通過直觀感知、操作確認，歸納出以下判定定理：

◆平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行.◆一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.◆一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直.◆一個平面過另一個平面的垂線，則兩個平面垂直.通過直觀感知、操作確認，歸納出以下性質定理，并加以證明：

◆一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行.◆兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行.◆垂直于同一個平面的兩條直線平行.◆兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直.③能運用已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題.高考對“立體幾何初步專題”的要求（1）空間幾何體

①認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構.②能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖.③會用平行投影與中心投影兩種方法，畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.④會畫某些建筑物的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎上，尺寸、線條等不作嚴格要求）.⑤了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）.（2）點、直線、平面之間的位置關系

①理解空間直線、平面位置關系的定義，并了解如下可以作為推理依據的公理和定理.◆公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點在此平面內.◆公理2：過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.◆公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.◆公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.◆定理：空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補.②以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發點，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定.理解以下判定定理.◆如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.◆如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行.◆如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.◆如果一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直.理解以下性質定理，并能夠證明.◆如果一條直線與一個平面平行，經過該直線的任一個平面與此平面相交，那么這條直線就和交線平行.◆如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線相互平行.◆垂直于同一個平面的兩條直線平行.◆如果兩個平面垂直，那么一個平面內垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直.③能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題.

第三篇：高中數學知識點--立體幾何

【高中數學知識點】立體幾何學習的幾點建議.txt

一 逐漸提高邏輯論證能力

立體幾何的證明是數學學科中任一分之也替代不了的。因此，歷年高考中都有立體幾何論證的考察。論證時，首先要保持嚴密性，對任何一個定義、定理及推論的理解要做到準確無誤。符號表示與定理完全一致，定理的所有條件都具備了，才能推出相關結論。切忌條件不全就下結論。其次，在論證問題時，思考應多用分析法，即逐步地找到結論成立的充分條件，向已知靠攏，然后用綜合法(“推出法”)形式寫出。

二 立足課本，夯實基礎

直線和平面這些內容，是立體幾何的基礎，學好這部分的一個捷徑就是認真學習定理的證明，尤其是一些很關鍵的定理的證明。例如：三垂線定理。定理的內容都很簡單，就是線與線，線與面，面與面之間的關系的闡述。但定理的證明在初學的時候一般都很復雜，甚至很抽象。掌握好定理有以下三點好處：

(1)深刻掌握定理的內容，明確定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。(2)培養空間想象力。

(3)得出一些解題方面的啟示。

在學習這些內容的時候，可以用筆、直尺、書之類的東西搭出一個圖形的框架，用以幫助提高空間想象力。對后面的學習也打下了很好的基礎。

三 “轉化”思想的應用

我個人覺得，解立體幾何的問題，主要是充分運用“轉化”這種數學思想，要明確在轉化過程中什么變了，什么沒變，有什么聯系，這是非常關鍵的。例如：

1.兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線的夾角即過空間任意一點引兩條異面直線的平行線。斜線與平面所成的角轉化為直線與直線所成的角即斜線與斜線在該平面內的射影所成的角。

2.異面直線的距離可以轉化為直線和與它平行的平面間的距離，也可以轉化為兩平行平面的距離，即異面直線的距離與線面距離、面面距離三者可以相互轉化。而面面距離可以轉化為線面距離，再轉化為點面距離，點面距離又可轉化為點線距離。

3.面和面平行可以轉化為線面平行，線面平行又可轉化為線線平行。而線線平行又可以由線面平行或面面平行得到，它們之間可以相互轉化。同樣面面垂直可以轉化為線面垂直，進而轉化為線線垂直。

4.三垂線定理可以把平面內的兩條直線垂直轉化為空間的兩條直線垂直，而三垂線逆定理可以把空間的兩條直線垂直轉化為平面內的兩條直線垂直。

以上這些都是數學思想中轉化思想的應用，通過轉化可以使問題得以大大簡化。

四 培養空間想象力

為了培養空間想象力，可以在剛開始學習時，動手制作一些簡單的模型用以幫助想象。例如：正方體或長方體。在正方體中尋找線與線、線與面、面與面之間的關系。通過模型中的點、線、面之間的位臵關系的觀察，逐步培養自己對空間圖形的想象能力和識別能力。其次，要培養自己的畫圖能力。可以從簡單的圖形(如：直線和平面)、簡單的幾何體(如：正方體)開始畫起。最后要做的就是樹立起立體觀念，做到能想象出空間圖形并把它畫在一個平面(如：紙、黑板)上，還要能根據畫在平面上的“立體”圖形，想象出原來空間圖形的真實形狀。空間想象力并不是漫無邊際的胡思亂想，而是以提設為根據，以幾何體為依托，這樣就會給空間想象力插上翱翔的翅膀。

五 總結規律，規范訓練

立體幾何解題過程中，常有明顯的規律性。例如：求角先定平面角、三角形去解決，正余弦定理、三角定義常用，若是余弦值為負值，異面、線面取銳角。對距離可歸納為：距離多是垂線段，放到三角形中去計算，經常用正余弦定理、勾股定理，若是垂線難做出，用等積等高來轉換。不斷總結，才能不斷高。還要注重規范訓練，高考中反映的這方面的問題十分嚴重，不少考生對作、證、求三個環節交待不清，表達不夠規范、嚴謹，因果關系不充分，圖形中各元素關系理解錯誤，符號語言不會運用等。這就要求我們在平時養成良好的答題習慣，具體來講就是按課本上例題的答題格式、步驟、推理過程等一步步把題目演算出來。答題的規范性在數學的每一部分考試中都很重要，在立體幾何中尤為重要，因為它更注重邏輯推理。對于即將參加高考的同學來說，考試的每一分都是重要的，在“按步給分”的原則下，從平時的每一道題開始培養這種規范性的好處是很明顯的，而且很多情況下，本來很難答出來的題，一步步寫下來，思維也逐漸打開了。六 典型結論的應用

在平時的學習過程中，對于證明過的一些典型命題，可以把其作為結論記下來。利用這些結論可以很快地求出一些運算起來很繁瑣的題目，尤其是在求解選擇或填空題時更為方便。對于一些解答題雖然不能直接應用這些結論，但其也會幫助我們打開解題思路，進而求解出答案。

第四篇：高中數學立體幾何部分定理

高中數學立體幾何部分定理

公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有的點都在這個平面內。

公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線。

公理3： 過不在同一條直線上的三個點，有且只有一個平面。推論1: 經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面。推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面。

推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面。

公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等。

空間兩直線的位置關系：空間兩條直線只有三種位置關系：平行、相交、異面

1、按是否共面可分為兩類：

（1）共面：平行、相交

（2）異面：

異面直線的定義：不同在任何一個平面內的兩條直線或既不平行也不相交。異面直線判定定理：用平面內一點與平面外一點的直線，與平面內不經過該點的直線是異面直線。

兩異面直線所成的角：范圍為(0°，90°)esp.空間向量法 兩異面直線間距離: 公垂線段(有且只有一條)esp.空間向量法

2、若從有無公共點的角度看可分為兩類：

（1）有且僅有一個公共點——相交直線；（2）沒有公共點——平行或異面

直線和平面的位置關系： 直線和平面只有三種位置關系：在平面內、與平面相交、與平面平行

①直線在平面內——有無數個公共點

②直線和平面相交——有且只有一個公共點

直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個平面內的射影所成的銳角。esp.空間向量法(找平面的法向量)

規定：a、直線與平面垂直時，所成的角為直角，b、直線與平面平行或在平面內，所成的角為0°角

由此得直線和平面所成角的取值范圍為 [0°，90°]

最小角定理: 斜線與平面所成的角是斜線與該平面內任一條直線所成角中的最小角

三垂線定理及逆定理: 如果平面內的一條直線,與這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直

esp.直線和平面垂直

直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個平面 內的任意一條直線都垂直，我們就說直線a和平面 互相垂直.直線a叫做平面 的垂線，平面 叫做直線a的垂面。

直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。

直線與平面垂直的性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。

③直線和平面平行——沒有公共點

直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點，那么我們就說這條直線和這個平面平行。

直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

直線和平面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。

兩個平面的位置關系：

（1）兩個平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點

（2）兩個平面的位置關系：

兩個平面平行-----沒有公共點； 兩個平面相交-----有一條公共直線。a、平行

兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

兩個平面平行的性質定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么交線平行。

b、相交

二面角

（1）半平面：平面內的一條直線把這個平面分成兩個部分，其中每一個部分叫做半平面。

（2）二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為 [0°，180°]

（3）二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。

（4）二面角的面：這兩個半平面叫做二面角的面。

（5）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

（6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

esp.兩平面垂直

兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。記為 ⊥

兩平面垂直的判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直

兩個平面垂直的性質定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面。

Attention：

二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法（注意求出的角與所需要求的角之間的等補關系）

多面體

棱柱

棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱。

棱柱的性質

（1）側棱都相等，側面是平行四邊形

（2）兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形

（3）過不相鄰的兩條側棱的截面（對角面）是平行四邊形

棱錐

棱錐的定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐

棱錐的性質：

（1）側棱交于一點。側面都是三角形

（2）平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠棱錐高的比的平方

正棱錐

正棱錐的定義：如果一個棱錐底面是正多邊形，并且頂點在底面內的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。

正棱錐的性質：

（1）各側棱交于一點且相等，各側面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。

（3）多個特殊的直角三角形

esp： a、相鄰兩側棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。

b、四面體中有三對異面直線，若有兩對互相垂直，則可得第三對也互相垂直。且頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。

Attention：

1、注意建立空間直角坐標系

2、空間向量也可在無坐標系的情況下應用

多面體歐拉公式：V（角）+F（面）-E（棱）=

2正多面體只有五種：正四、六、八、十二、二十面體。

球

attention：

1、球與球面積的區別

2、經度（面面角）與緯度（線面角）

3、球的表面積及體積公式

4、球內兩平行平面間距離的多解性

cool2009-01-29 15:44

兩點確定一直線，兩直線確定一平面。

一條直線a與一個平面o垂直，則該直線與平面o內任何一條直線垂直。

一條直線a與一平面o內兩條相交直線都垂直，則該直線與該平面垂直。若直線a在平面y內，則平面y與平面o垂直。

平面o與平面y相交，相交直線為b，若平面o內衣直線a與直線b垂直，則平面o與平面y垂直。

一條直a與平面o內任何一條直線平行，則直線a與平面o平行。

直線a與平面o以及平面y都垂直，則平面o與平面y平行。

第五篇：高中數學立體幾何證明公式

線線平行→線面平行 如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

線面平行→線線平行 如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行。

線面平行→面面平行 如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

面面平行→線線平行 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。

線線垂直→線面垂直 如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。

線面垂直→線線平行 如果連條直線同時垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。

線面垂直→面面垂直 如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

線面垂直→線線垂直 線面垂直定義：如果一條直線a與一個平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線a垂直于平面α。

面面垂直→線面垂直 如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。

三垂線定理 如果平面內的一條直線垂直于平面的血現在平面內的射影，則這條直線垂直于斜線。