第一篇：非線性動力學數據分析

時間序列分析讀書報告與數據分析

劉愉

200921210001

時間序列分析是利用觀測數據建模，揭示系統規律，預測系統演化的方法。根據系統是否線性，時間序列分析的方法可分為線性時間序列分析和非線性時間序列分析。

一、時間序列分析涉及的基本概念

對于一個動力系統，我們可以用方程表示其對應的模型，如有限差分方程、微分方

1、測量

程等。如果用Xt或X(t)表示所關心系統變量的列向量，則系統的變化規律可表示成

Xt?1?f(Xt)或

dXdt?F(X)

其中X可以是單變量，也可以是向量，F是函數向量。通過這類方程，我們可以研究系統的演化，如固定點、周期、混沌等。

在實際研究中，很多時候并不確定研究對象數據何種模型，我們得到的是某類模型（用Xt或X(t)表示）的若干觀測值（用Dt或D(t)表示），構成觀測的某個時間序列，我們要做的是根據一系列觀測的數據，探索系統的演化規律，預測未來時間的數據或系統狀態。

2、噪聲

測量值和系統真實值之間不可避免的存在一些誤差，稱為測量誤差。其來源主要有三個方面：系統偏差（測量過程中的偏差，如指標定義是否準確反映了關心的變量）、測量誤差（測量過程中數據的隨機波動）和動態噪音（外界的干擾等）。高斯白噪聲是一類非常常見且經典的噪聲。所謂白噪聲是指任意時刻的噪聲水平完全獨立于其他時刻噪聲。高斯白噪聲即分布服從高斯分布的白噪聲。這類噪聲實際體現了觀測數據在理論值（或真實值）周圍的隨機游走，它可以被如下概率分布刻畫：

p(x)dx?12??22exp?(x?M)2?2dx

（1）

其中M和?均為常數，分別代表均值和標準差。

3、均值和標準差

最簡單常用的描述時間序列的方法是用均值和標準差表示序列的整體水平和波動情況。（1）均值

如果M是系統真實的平均水平，我們用觀測的時間序列估計M的真實水平方法是：認為N個采樣值的水平是系統水平的真實反映，那么最能代表這些觀測值（離所有觀測值最近）的Mest即可作為M的估計。于是定義Dt與Mest的偏離為(Dt?Mest),所以，使下面E最小的M的估計值即為所求：

N22E??(Dtt?1?Mest)

（2）

1/11 經過求道計算，得到

M?1NNest?Dtt?

1（3）

即樣本的均值即為系統真是均值的估計值。

（2）標準差

標準差代表了系統在均值兩側的波動情況。對時間樣本有：

Vt?Dt?Mest

（4）

為了分析所有時間上平均的波動情況，我們也可以嘗試對波動取平均，即：

1NN?t?1(Dt?Mest?1)???N?N?t?1?Dt???Mest?0

（5）?我們發現，這樣平均的結果是正負波動抵消了，波動的平均恒為零，為了避免這種情況，改用波動的平方的平均水平代替，即

?2?1NN?Vtt?12?1NN?(Mestt?1?Dt)

（6）

2?即為標準差。（3）均值的標準誤差

我們用Mest估計M，存在一定偏差或不確定性，即：

Mest?M?uncertainty

（7）

實際上，這種不確定性來自每次測量偏差的平均，通常每次測量偏差是服從高斯分布的，所以平均的不確定性計算得：

?N

（8）

我們稱之為均值的標準誤差。

二、線性時間序列分析方法及模型舉例

對于線性時間序列，主要的分析方法有：均值和標準差、線性相關分析和功率譜分析。

1、均值和標準差分析前面已經講過；

例：模型一（模型本身是確定的（無外界干擾等隨機波動），觀測序列是真實值加上高斯白噪聲；）

有限差分方程系統：xt?1?A??xt，其平穩狀態為xt?A/(1??)?M；觀測時間序列Dt?xt?Wt，其中，Wt 獨立的服從均值為0，標準差為?的高斯分布。從系統的差分方程我們可以看到，系統本身不受外界干擾，是確定性模型。所以觀測得到時間序列的波動完全來自于測量過程。

對于上述模型，可以通過均值、方差的估計即可估計模型、作出預測。

2、線性相關分析

2/11 這種分析方法用于研究時間上相關的序列，即后一時刻的值完全或部分由前一時刻的或前幾個時刻的值決定。在模型一中，我們假設Wt之間是獨立的；當這種假設不成立時，取另一種極端，即后一時刻完全取決于前一時刻的值：

Vt?1?f(Vt)

（9）

我們以簡單的線性函數為例：

Vt?1??Vt

（10）

如果結合完全獨立的情形與式（10），則有以下情況：

Vt?1??Vt?W

（11）

ρ在-1到1之間取值，ρ越接近0，數據間越不相關；ρ接近1，表示線性正相關；ρ接近-1，表示線性負相關

通過時間序列的一系列觀測值Dt減去均值得到Vt，我們可以通過以下公式計算相關系數，?est??t?1N?1Vt?1VtVtVt?t?1N?

1（12）

例：模型二（模型本身有不確定因素（外界干擾），觀測序列是真實值加上高斯白噪聲）

受外界因素影響的有限差分方程：xt?1?A??xt?vt，引入的vt是外界干擾造成的系統本身的波動，測量過程仍然像Model One一樣，Dt?xt?Wt，這是如果做Vt?1對Vt的變化圖（見課本figure 6.7），發現二者之間有強烈的線性關系。對于這類模型，我們即可用線性相關分析來建模、預測。

如果將線性相關加以推廣，可以得到自相關函數，它反映的是Vt與Vt?k之間的關系：

R(k)??t?1N?kVt?kVtVtVt?t?1N?k

（13）

3、功率譜分析（1）傅里葉變換

對線性系統，一個信號可以分解成為不同頻率的正弦波。

（a）頻率為ω的正弦輸入，它的輸出也是同頻率的正弦信號，但是幅度和相位可能發生改變。輸出正弦波的振幅與輸入正弦波的振幅滿足：

Aoutput(?)?G(?)Ainput(?)

（14）

輸出相位相對輸入相位在每個頻率上有固定的偏移，即：

?(?)??output(?)??input(?)3/11

（15）G(?)稱為系統的增益，它在不同頻率上通常不一樣。?(?)稱為相移，在不同的頻率成分通常相移也不同。

（b）線性疊加的輸入的輸出結果等于各個輸入分別輸入時的輸出的疊加。把一個信號分解成不同頻率正弦信號的方法即傅里葉變換。

特殊的，輸入為白噪聲時，Ainput(?)是一個與噪聲標準差成正比的常數，與頻率無關，即白噪聲可以認為是所有不同頻率成分信號之和，所以稱之為“白”。（c）傳輸函數

如果已知輸入和輸出，可以得到：

G(?)?Aoutput(?)Ainput(?)

?(?)??outp(?)??inpu(?)utt

（16）

（16）中兩個函數成為出傳輸函數，可以用于描述系統特性。

（d）功率譜

如果我們不能準確得到輸入信號，但是我們知道或假設它是白噪聲。則Ainput(?)就是常數，進而有：

G(?)?constAoutput(?)

（17）

G(?)的平方稱為功率譜。功率譜包含了與自相關函數完全一樣的信息。事實上，功率譜就是自相關函數的傅里葉變換。盡管它們蘊含的信息是一樣的，但不同形式使它們在分析數據時又具有各自的優勢。所以有時使用功率譜來分析數據比用自相關函數更有優勢。

三、非線性時間序列分析方法及模型

前面列舉了一系列線性時間序列的分析方法，但是對于非線性系統，存在一種特殊的狀態，即混沌狀態，對于混沌狀態的時間序列，我們無法用線性的分析方法區分。

例：第一章的有限差分方程：

xt?1??xt(1?xt)

（18）

Dt?xt

（19）

觀測值即使不引入噪聲，其時間序列也在不斷波動，當?=4時，系統進入混沌狀態，用線性自相關函數分析，如圖6.14，發現我們無法區分這個非線性模型與模型一。

我們需要探索一些分析非線性時間序列的方法。對于非線性時間序列分析，主要包括兩部：重構系統動態模型和系統特征的刻畫。

1、系統動態模型的重構：

（1）對于有限差分方程——構建return map

Return map 是觀測值Dt?1關于Dt的圖像（回歸曲線），反映的是xt?1與xt的關系。（2）對于微分方程——重構相平面

一維高階微分方程可以轉化為多維一階微分方程組，以二階微分方程為例，4/11

dxdt22??bx

（20）

轉化為兩個一階微分方程組：

?dx?y??dt??dy??bx??dt

（21）

要做變量x與y的相平面，首先要做如下離散化和近似： 觀測值D0,D1,?，將x關于t的導數近似為：

dx(t)dtx(t?h)?x(t)hdDtdtDt?h?Dth?limh?0??

（22）

其中h只能取整數，最小取1，事實上，h去較大值也可以得到合適得結果。重建相平面實際是做Dt?h?Dthdxdt關于Dt的圖，有時候，只可以只做Dt?h關于Dt的圖。

dydt對于更一般的微分方程：

?f(x,y),?g(x,y)

（23）

雖然情況更復雜，但也可以通過這種方法重建相平面，圖6.17-6.19可以說明這一過程的合理性。

（3）嵌入時間序列

對于更高維的時間序列（p維），需要用嵌入時間序列的方法構建相平面（相空間），p維的的嵌入時間序列構成如下：

Dt?(Dt,Dt?h,Dt?2h,?,Dt?(p?1)h)

（24）

其中p是嵌入維數，h是嵌入延遲。

經過上述三種方法，可以基本得到模型的基本特征。

2、系統特征的描述：

在模型重構后，可以通過擬合等方式對系統特征做進一步刻畫。

四、混沌時間序列的刻畫

混沌定義：bounded, deterministic dynamics that are aperiodic and display sensitive dependence on initial conditions.根據定義中體現的混沌系統的特征，用時間序列分析的方法研究。

1、有界

有界的定義是當時間趨于無窮時，系統永遠保持在有限空間內運動。這個定義直接用于時間序列分析并不是很有效，因為測量的時間序列是時間上是有限的，變化范圍也是一定的。

在時間序列分析中可以用另一種方法研究系統是否有界——穩態，即時間序列在演化過程中是否體現了相同的行為特性。相似的行為可以用均值和方差衡量。一種常用的衡量方法是將時間序列等分（三分、四分或十分等等），計算每段的均值和方差是否相近或統

5/11 計意義上可以認為相同。

如果一個時間序列是分平穩的，我們可以通過對時間序列做一些變換使之平穩，如一階差分或后一時刻與前一時刻相除等。

2、非周期

混沌的系統是非周期的，由于噪聲因素，即使周期的序列也可能出現非周期，那么如何判定時間序列是否存在周期呢？對于一維時間序列或p維的嵌入時間序列 Dt，我們定義時間i和j的測量值之間的距離定義為：

?i,j?|Di?Dj|

（25）

嚴格的周期T定義是當|i?j|?nT,n?0,1,2,?時，?i,j?0，對于有噪聲的時間序列，我們定義一個距離r，當?i,j?r時，我們就在坐標(i, j)處打點，我們將這樣做出的圖成為recurrence plots，它可以看出重建的軌線如何重復自身的演化。（圖6.26和圖6.27是r取不同值時的圖，都可以看出系統的周期，圖6.28和6.29是混沌的情形）。對于混沌的時間序列，圖的形狀可能和r的選取有關，于是定義出這樣一個correlation integral：

C(r)?numberoftimes|Di?Dj|?rN(N?1)

（26）

這是一個對于混沌系統很重要的指標，它的重要意義不在于某個r處C(r)的取值，而在于C(r)如何隨r變化。

（1）對周期序列，r微小的變化不會引起C(r)明顯的變化；

（2）對混沌序列，r微小的變化會使C(r)明顯增大，即打點明顯增多；（3）對于白噪聲，r微小變化時C(r)增大更快。

事實上，C(r)與分形維數密切相關，取一點做參考點，隨著r增加，距離參考點r范圍內的點與rv成正比，其中v是系統，所以有：

C(r)?Arv

（27）

A是比例常數，兩邊取log得到：

logC(r)?vlogr?logA

（28）

所以，只要對log C(r)與log r擬合，即可推算出維數。用相關維數可以分析混沌時間序列的吸引子，當嵌入時間維數p≥2v+1時，可以重構出系統吸引子，有時候p≥v也足夠了。

3、確定性

如果已知t時刻的值，在預測下一時刻值過程中沒有隨機因素，那么系統就是確定的，如模型一；如果混入了隨機因素（外界干擾），則系統是不確定的。但是，在觀測時間序列中，噪聲是不可避免的，如果預測是完美的，就成系統完全確定，如果預測是好的但不完美，就說系統有一個確定成分。

假設觀測數據最后時刻是T，我們可以用一下方法預測T+1時刻的值：（1）產生嵌入時間序列Dt；（2）找到時間T的嵌入點列：

DT?(DT,DT?h,?,DT?(p?1)h)

6/11 找到其他的嵌入時間序列中與DT最接近的點Da；

（3）基于系統的確定性，Da+1可以看做是由Da預測出來的，所以將Da+1作為是T+1時刻的預測值，記PT+1。

另一種預測方法是用與DT最接近的K個點Dai的下一時刻Dai?1的平均值作為T+1時刻的預測值，即：

?T?1?1KK?Da?（29）

ii?1既然是預測，一定有預測誤差，衡量預測誤差，通常是將觀測數據分為兩半，用前一半數據預測后一半數據，后一半數據測量值與預測值比較，衡量預測誤差，即：

??1TT?(Di?1T?k?PT?k)（30）

ε越小，說明預測越好，至于ε小到什么程度算預測足夠好，可以與最差的預測（如所有觀測值序列的平均值，喪失了所有時間信息，只保留了系統的平均水平）的誤差做比較，?lazy?1TT?(DT?kk?1?Plazy)

（31）

當Plazy?Mest時，?lazy其實就是時間序列的方差σ，所以用

2??2即可衡量預測誤差的大小，比值越小越好。

4、對初值的敏感性

混沌系統的另一重要特征就是對初值敏感，衡量系統對初值的敏感性可以用Lyapunov指數，其計算步驟可以如下概括：

（1）在給定初值后，經迭代產生序列x0,x1,?,xn?1（2）計算每點處的斜率（3）計算李氏指數：

1????n?1?t?0df?nxt? ?dx?（4）當給定兩個初始值x0，y0時，n步迭代后的值xn和yn的差距約為：

n?1xn?yn??t?0dfdxxt|x0?y0|

五、混沌和非線性的檢測

混沌是一種復雜的現象，判定一個時間序列是否來自對非線性系統或混沌系統的觀測，更嚴格的方法是假設檢驗。

1、零假設：數據來自線性系統

7/11 xt?1?a0xt?a1xt?1?a2xt?2???ap?1xt?(p?1)?vt

2、構造檢驗統計量：在零假設條件下用觀測時間序列計算統計量，常用的三種統計量有：非線性系統的預測方差、李氏指數、相關維數等，當然還有一些其他的統計量也可以用來假設檢驗。

3、假設檢驗：在零假設下觀測時間序列得到的檢測統計量如果落在拒絕域內，則認為系統為非線性的或混沌的，否則接受原假設，認為是線性系統。

六、實例數據分析

P4.txt、TP8.txt是2個時間序列信號的數據文件，該數據的采樣率是500Hz。試實現：

1、在時間軸上顯示原始數據波形；

2、求每個信號的功率譜，在頻率軸上顯示結果，并對結果進行簡單地討論；

3、求每個信號的自相關函數，在時間軸顯示結果，并對結果進行簡單地討論；

4、求2個信號的互相關函數，在時間軸顯示結果，并對結果進行簡單地討論。分析結果：

1、時間軸上數據波形：

從時間序列上看，兩組數據基本維持在一個平衡水平，但是都存在尖峰，從時間序列看不出更豐富的信息，需要用其他方法進一步分析。

2、功率譜：

功率譜的計算有兩種方式：

（1）計算時間序列的自相關函數，再對自相關函數做傅里葉變換的幅度譜；（2）時間序列傅里葉變換的幅度譜的平方除以點數N。這里采用的第一種方法，結果如下圖：

8/11

從兩個時間序列的功率譜看，能量主要集中在了低頻部分，高頻部分能量分布極少，為了更清晰的看能量在低頻的分布，我們截取0-20Hz部分的頻率譜，如下圖：

從圖上可以看出，兩個時間序列的低頻成分中能量最大的頻率大概都在1.7Hz左右，TP8的能量分布更集中，P4還有較多能量分布在0.5Hz左右。

3、自相關函數：

自相關函數反映的是t時刻與前t-k時刻記錄值的關系，如果信號本身是周期的，其自相關函數保持與時間序列相同的周期，從下面兩個序列的自相關函數圖中，數據沒有周期現象，而且相關函數隨k增大很快降到0.2一下，并在-0.2和0.2之間震蕩，TP8震蕩的頻率更高。

9/11

截取前1000個點，進一步觀察：

從上圖可以更好的體現出相關系數的變化，而且可以看出兩個時間序列變化的一致性，TP8比P4相關程度衰減得更快。為了更好的研究兩組數據的相關性，我們下面將做兩組數據的相關函數。

4、兩組數據的互相關函數：

10/11

截取兩側各500個點觀察：

上圖反映了兩個時間序列數據的相關性，在k=0時，互相關函數最大，所以兩個時間序列是同步的。

11/11

第二篇：動力學分析方法

動力學分析方法

結構動力學的研究方法可分為分析方法（結構動力分析）和試驗方法（結構動力試驗）兩大類。[7-10]

分析方法的主要任務是建模（modeling），建模的過程是對問題的去粗取精、去偽存真的過程。在結構動力學中，著重研究力學模型（物理模型）和數學模型。建模方法很多，一般可分為正問題建模方法和反問題建模方法。正問題建模方法所建立的模型稱為分析模型（或機理模型）。因為在正問題中，對所研究的結構（系統）有足夠的了解，這種系統成為白箱系統。我們可以把一個實際系統分為若干個元素或元件（element），對每個元素或元件直接應用力學原理建立方程（如平衡方程、本構方程、漢密爾頓原理等），再考慮幾何約束條件綜合建立系統的數學模型。如果所取的元素是一無限小的單元，則建立的是連續模型；如果是有限的單元或元件，則建立的是離散模型。這是傳統的建模方法，也稱為理論建模方法。反問題建模方法適用于對系統了解（稱黑箱系統——black box system）或不完全了解（稱灰箱系統——grey box system）的情況，它必須對系統進行動力學實驗，利用系統的輸入（載荷）和輸出（響應——response）數據，然后根據一定的準則建立系統的數學模型，這種方法稱為試驗建模方法，所建立的模型稱為統計模型。

在動力平衡方程中，為了方便起見一般將慣性力一項隔離出來，單獨列出，因此通常表達式為：

???I?P?0……………………………………(2)Mu其中M為質量矩陣，通常是一個不隨時間改變的產量；I和P是與位移和速度有關的向量，而與對時間的更高階導數無關。因此系統是一個關于時間二級導數的平衡系統，而阻尼和耗能的影響將在I和P中體現。可以定義：

??………………………………………(3)I?Ku?Cu如果其中的剛度矩陣K和阻尼矩陣C為常數，系統的求解將是一個線性的問題；否則將需要求解非線性系統。可見線性動力問題的前提是假設I是與節點位移和速度是線性相關的。

將公式(2)代入(1)中，則有

???Cu??Ku?P…………………………………(4)Mu上述平衡方程是動力學中最一般的通用表達式，它適合與描述任何力學系統的特征，并且包含了所有可能的非線性影響。求解上述動力問題需要對運動方程在時域內積分，空間有限元的離散化可以把空間和時間上的偏微分基本控制方程組在某一時間上轉化為一組耦合的、非線性的、普通微分方程組。

線性動力問題是建立在結構內各點的運動和變形足夠小的假設基礎之上的，能夠滿足線性疊加原理，且系統的各階頻率都是常數。因此結構系統的響應可以由每個特征向量的線性疊加而得到，通常所說的模態疊加法由此而來。

在靜力分析中，結構響應與施加在結構上的載荷和邊界條件有關，使用有限元方法可以求解得到應力、應變和位移在空間上的分布規律；在動力分析中，結構響應不但與載荷和邊界條件有關，還和結構的初始狀態有關，在時域的任何一點上都可以使用有限元方法求解空間上的應力、應變和位移，然后可以使用一些數值積分技術來求解得到時域中各個點上的響應。

某特定系統動力分析方法的選擇在很大程度上依賴于是否需要詳細考慮非線性的影響。如果系統是線性的，或者系統能夠被合理地線性化，最好選用模態分析的方法，因為程序對線性問題分析的效率較高，而且同時在頻域和時域范圍內求解將更有利于洞察系統的動力特性。1.1 模態疊加法

對于多自由度系統，如果考慮粘性阻尼，則其受迫振動的微分方程為：

???Cu??Ku?f(t)…………………………………(5)Mu解此運動方程一般有兩類方法，一類是直接積分法，就是按時間歷程對上述微分方程直接進行數值積分，即數值解法。另一類解法就是模態（振型）疊加法。

若已解出系統的各階固有頻率?1，?2，?，?n和各階主振型（模態）?1，?2，?，?n，并有：

T?i??a1i，a2i，?，ani?………………………………(6)因為主振型的正交性，可知主振型是線性無關的，設有常數?1，?2，?，?n使

???i?1nii?0……………………………………………(7)上式兩端左乘?TjM有：

???ii?1nTjM?i?0………………………………………(8)注意到主振型關于質量陣的正交性：?TjM?i?0，并代入上式，可推出?1??2????n?0，這就是證明了?1，?2，?，?n線性無關。

于是，由線性代數理論知向量?1，?2，?，?n構成了n維空間的一組向量基，因此對于n個自由度系統的任何振動形式（相當于任何一個n維矢量），都可以表示為n個正交的主振型的線性組合，即

u???i?i……………………………………………(9)

i?1n寫成矩陣的形式為：

u???………………………………………………(10)上式就是展開定理。用模態（振型）疊加法求系統響應就是建立在展開定理的基礎上。在實際問題的應用中，應注意的是系統自由度太多，而高階模態對應的影響通常又很小，所以應用時在滿足工程精度的前提下，只取低階模態(N<

根據展開定理，對方程(2)實行坐標變換，再以模態矩陣的轉置?T乘方程的兩邊，得：

????TC??????TK??????Tf(t)………………(11)?TM??若系統為比例阻尼，則可利用正交條件使上述方程變位一系列相互獨立的方程組：

???C????K????f………………………………(12)M?其中M、C和K都是對角矩陣，它們的對角線元素分別為：

mi??iTM?i

ci??iTC?i?2?i?iMi

ki??iTK?i??i2Mi

?i2?kimi

i?1,2,?,n…………………………(13)其廣義力為：

fi??iTf(t)………………………………………(14)這樣方程組(11)可寫為： ???C????K????f

i?1,2,?,n

(15)M?iiii這是n個相互獨立的單自由度系統的運動方程，每一個方程都可以按自由度系統的振動理論去求解。

如果fi為任意激振力，對于零初始條件的系統可以借助于杜哈梅積分公式求出響應，即：

?i??hi(?)fi(t??)d?…………………………………(16)

0t其中hi(?)為單位脈沖響應函數。如果fi為簡諧激勵，即：

fi?fi0ej?t………………………………………(17)則系統的穩態響應為：

?i??i0ej?t………………………………………(18)將上式代入(14)，可解得：

?i?或

fiki?mi??j?ci2…………………………………(19)?i?fifi ………………(20)?ki(1??i2?j2?i?i)mi?i2(1??i2?j2?i?i)其中，?i???i，在主坐標?i解出之后，應返回到原廣義坐標ui上，利用公式(9)和(20)得：

?iTf?i……………………………(21)u??2i?1ki?mi??j?cin上式表示了多自由度系統在簡諧激振力f作用下的穩態響應。從中可以看出激振響應除了與激振力f有關外，還與系統各階主模態及表征系統動態特性的各個參數有關。

通過以上的內容可以看出在以模態理論為基礎的各種分析過程中，必須首先進行模態分析，提取結構的自然頻率。對于自由振動方程在數學上講就是固有（特征）值方程(eigen-equations)。特征值方程的解不僅給出了特征值(eigenvalues)，即結構的自振頻率和特征矢量——振型或模態(eigenmodes)，而且還能使結構在動力載荷作用下的運動方程解耦，即所謂振型分解法或叫振型疊加法(modal summation methods)。

特征值或特征頻率的提取是建立在一個無阻尼自由振動系統上的，即振動方程中沒有阻尼項的影響：

???Ku?0………………………………………(22)Mu特征值和結構振動模態描述了結構在自由振動下的振動特點和頻率特征。通過使用振型分解法解得振興和頻率，能夠很容易地求得任何線性結構的響應。在結構動態分析中，響應通常與低階響應有關。而且在通常實際問題中，只需要考慮前面幾個振型就能獲得相當精度的解。對于只有幾個自由度的力學模型，只需要考慮一個或者兩個自由度就能求得動力響應的近似解，而對于具有幾百個甚至上千個自由度的高度復雜有限元模型，就需要考慮數十個甚至上百個振型對響應的影響。

第三篇：彈道動力學分析

導引彈道動力學分析與動態特性分析在導彈總體設計中的作用

在導引彈道動力學分析中，我們需要設定的參數有目標的初速度、目標的初始x向位置、目標的初始y向速度，發動機的推力、發動機的工作時間、升力變化系數、阻力變化系數。經計算我們便可以得到導彈的速度曲線、彈道曲線、需用法向過載時間曲線、攻角時間曲線、舵偏角時間曲線、推力時間曲線。例如設定參數如下

可得導彈的速度曲線、彈道曲線、需用法向過載時間曲線、攻角時間曲線、舵偏角時間曲線、推力時間曲線分別如圖所示：

導引彈道運動學分析對總體工作是一個相當不錯的工具，使得總體能夠在方案論證階段就能掌握系統需用過載的情況，從而為后續的彈體結構設計、氣動設計以及控制系統設計提供依據。而導引彈道動力學分析能對導引彈道運動學分析的功能進行擴展，使得總體工程師在總體方案設計過程中隨著定量數據信息的積累能夠采用導引彈道分析方法獲得更多的系統特征量的需用值。

導引彈道動力學分析是基于“瞬時平衡”假設的。所謂“瞬時平衡”就是認為導彈繞彈體軸的轉動是無慣性的，即導彈的姿態運動是沒有過度過程的，更進一步說就是從舵偏角到法向加速度的動力學變成了一個比例環節。在“瞬時平衡”假設下，導彈在整個飛行過程中的任意時刻都處于平衡狀態。

為了給出導引彈道動力學分析的方法的思路，首先對導彈質點彈道運動方程組進行分析。導彈在鉛錘平面內的質心運動方程組為

?dV?mdt?Pcos?B?X?mgsin?????①??mVd??Psin??Y?mgcos????②B?dt??dx?Vcos????????????????????????????????????③ ?dt??dy?Vsin????????????????????????????????????④?dt??dm??mc??????????????????????????????????????⑤?dt?加入控制方程

?B??mzzmz???z

就可以實現方程組的閉合。同樣，我們可以將質點彈道與導引彈道運動學方程組結合，就能構造出一組新的封閉方程組，作為導引彈道動力學分析的工具。

對于動態特性分析的重要性，因為總體工程師的一個主要目標是保證導彈作為一個被控運動體具有良好的被控特性，而被控特性從不同的控制理論出發來理解是不同的，對于古典控制理論，我們所關注的被控對象特性集中體現在增益、阻尼和固有頻率這三個特征量上。對于現代控制理論，我們更關心系統的可鎮定性和可檢測性。

對于一名總體工程師，只有真正了解了導彈作為一個被控的動力學系統，其動力學特性的特點、抽象的“被控特性”與實際物理參數之間的關系乃至從控制角度對導彈動力學所提出的主要要求，才能夠真正在總體設計中把握住明確的目標，理清工作的脈絡。

通過以上分析，我們可以得出結論，在進行導彈導引動力學分析時，設計的主要學科有： 1.理論力學

2.導彈飛行力學——導引彈道運動學分析 在進行動態特性分析時，涉及的主要學科有： 1.自動控制原理 2.導彈飛行力學

第四篇：無碳小車動力學分析

2、相關計算：

原動機構的作用是將重物下降的重力勢能轉化為小車的動能。

在重物下降過程中，驅動軸轉動，為小車提供動力，設重物質量為M,下降高度為h，則其重力勢能為Mgh,轉化為自身的動能EK1、小車的動能EK2、小車行走過程中的摩擦及損耗

W損，Mgh?12Mv12，E1k1?EK2?W損

其中，EK1?12Mv12，EK1?v為重物下降的速度，也是驅動軸的線速度；

n周，v2為同一時刻小車的行進速度，也是后輪的線速度；設驅動軸轉動一周，后輪轉動所以，vv

12?d驅動軸nd后輪

設重物下降過程中加速度為a, 繩子的拉力為T, 有：

T?M(g?a)

由此產生的力矩為：

M1?T?R驅動軸??（其中?為考慮摩擦影響而設置的系數）

分析可得：

1.當拉力一定時，驅動軸半徑越大，產生的力矩越大，驅動軸半徑越小，產生的力矩越小； 2.當力矩M達到一定的大小保持不變，驅動軸半徑越小，拉力T越大，從而使物塊減速。

3、機構設計

根據前面的分析與計算，將驅動軸設計為階梯軸：

3.1.3動力學分析模型 a、驅動

如圖：重物以加速度向下加速運動，繩子拉力為T，有T?m(g?a)

產生的扭矩M2?T?r2??1，（其中?1是考慮到摩擦產生的影響而設置的系數。）

驅動輪受到的力矩MA，曲柄輪受到的扭矩M1，NA為驅動輪A受到的壓力，FA為驅動輪A提供的動力，有

MA?M1?M2??2i（其中?2是考慮到摩擦產生的影響而設置的系數）

MA?NA???FA?R

b、轉向

假設小車在轉向過程中轉向輪受到的阻力矩恒為MC，其大小可

Nc1?BRc1??11??2?(?)E1E222?c?由赫茲公式求得，Nc??c?B?2b

由于b比較小，故 Mc???cbB142

對于連桿的拉力Fc，有

sin?c2??c?1r1?sin?1 l?2???arcsinc?(1?cos?)l?cos?c2

Mc?Fc?cos?c2?c?sin?c1M1?Fc?c?sin(???c2)c、小車行走受力分析

設小車慣量為I，質心在則此時對于旋轉中心O?的慣量為I?

22?I?I?m[(?A?a1)?a3]（平行軸定理）

Nc??NB??22I????FA??A??(?A?a1)?d?(?A?a1?a2)rcR

小車的加速度為：

aA????A

aAa?Rr2

整理上述表達式得：

第五篇：動力學論文

《結構動力學》小論文

利用對稱性求解動力問題

組員姓名：

專業班級:

土木班

指導老師：

完成時間：2014年X月

《結構動力學》小論文

——動力計算中對稱性的運用問題

一、摘要

用柔度法計算對稱結構的振動頻率和周期時，選取半結構可以簡化計算。學習之初，對如何建立等效的半結構模型存在一些疑問，通過老師的講解以及自己的摸索，逐漸形成了一個比較清晰的概念，這篇小論文將就這一問題和如何選取對稱結構進行一個小結。

二、對稱法理論分析簡介

1.利用對稱性求解多自由度體系的自振頻率及其相應的主振型

（a）

結構對稱，質量分布也對稱。該類結構不僅可以利用對稱性求自振頻率和主振型；而且應充分的利用對稱性進行簡化計算。

圖（1）

圖1為一對稱結構，質量分布也對稱，其自由振動的微分方程為

yi=-j=14mjyjδij

（i=1,2,3,4）

（a）

由于對稱性，有：

m1=m4，m2=m3

δ11=δ44，δ22=δ33，δ13=δ42，δ21=δ34

根據位移互等定理，有δij=δji（i不等于j）。將式（a）的第一式和第四式相加，第二式和第三式相加，分別得：

y1’=-m1y1’δ11‘-m2y2’δ12’

（b）

y2’=-m1y1’δ21‘-m2y2’δ22‘

（b）

式中：

y1’=y1+y4，y2’=y2+y3

δ11，=δ11+δ14，δ22，=δ22+δ23

δ12，=δ21，=δ12+δ13=δ21+δ24

再將式（a）的第一式減去第四式，第二式減去第三式，分別可得：

y1‘’=-m1y1‘’δ11‘’-m2y2‘’δ12‘’

（c）

y2‘’=-m1y1‘’δ21‘’-m2y2‘’δ22‘’

（c）

式中：

y1‘’=y1-y4，y2‘’=y2-y3

δ11‘’=δ11-δ14，δ22‘’=δ22-δ23，δ12‘’=δ21‘’=δ12-δ13=δ21-δ24

至此，把一組四元二階方程式（a)簡化為兩組二元二階微分方程式（b)和(c)，也就是說，求四個自由度體系的頻率和主振型簡化成求兩個自由度體系的頻率和主振型。

利用對稱性計算頻率和主振型時，通常可取半邊結構計算。圖1所示體系，其主振型不外乎圖2，3和4，5所示的四種形式。圖2，3為對稱振型，圖4，5為對稱振型。它們分別可取圖6和7所示的半邊結構進行計算.下面給一算例：

例：求圖示結構的自振頻率及相應的主振型，EI為常數

圖一

圖二

對稱結構，計算正對稱振型時，B截面既不能轉動，又不能移動，如圖二，可取半邊結構如下圖三

圖三

圖四

計算反對稱振型時，振型如圖五，B截面只能轉動，不能移動，可取半邊結構如圖六

圖六

圖五

圖七

兩種振型見圖二和圖五，由計算結果可知，該結構反對稱主振型為第一主振型，其對應頻率為第一主頻率。

因此不管是靜定結構還是超靜定結構，是計算靜態問題還是動態問題，對稱結構在計算時通常可以簡化，我們應充分利用對稱性，使求解得以簡化，以加快解題速度，達到更好的效果。

但對稱法中還有很多值得商榷的小問題，以例題的形式開始討論：

三、建立等效半結構模型

1、自由振動時半結構的選取

例1

試求圖示剛架的自振頻率。

L

EI

EI

EI

L

m

m

解：（1）結構對稱，可取半結構。計算簡圖如下：

根據柔度系數的定義，在質量m處作用單位力，畫出結構的彎矩圖，圖乘即得到柔度系數。

EIE

EI

EI

L

L/2

半結構計算簡圖

彎矩圖

需注意，由于取了半結構，在計算自振頻率時，質量應由原來的2m變為m進行計算。

（2）求整個結構的柔度系數，計算簡圖如下：

計算簡圖

彎矩圖

繪彎矩圖時，由于結構對稱，可取半結構進行計算。但最終對整個結構進行圖乘。

注意，此題實際上并沒有取半結構，因此計算頻率時質量仍為2m，雖然柔度系數為取半結構計算時的二倍，但與質量相乘可以約分，所得結果與取半結構計算是一樣的。

（3）結論：

①

計算對稱結構的自振頻率時，如果取半結構，則質量應為原來的二分之一；對于半結構求柔度系數，應按柔度系數的定義在結構上施加單位力，繪出半結構的彎矩圖并圖乘，即所有的計算都是基于半結構的；

②

若僅僅對于繪彎矩圖階段取半結構，則單位力應變為原來的二分之一，求出整個結構的彎矩圖并圖乘，即計算是基于整個結構的，因此最后求頻率時質量不變，實際上對于整個題目而言并沒有取半結構；

2、受迫振動時半結構的選取

例2

圖示結構在柱頂有電動機，試求電動機轉動時的最大水平位移和柱端彎矩的幅值。已知電動機的質量集中于柱頂，W=20kN，電動機水平離心力的幅值，電動機轉速，柱的線剛度。

h=6m

W

I=∞

解：（1）此題結構對稱，仍可取半結構計算。根據結構的振動形式（水平振動），其半結構的選取以及彎矩圖如下所示。

半結構計算簡圖

彎矩圖

圖乘，得：

注意，由于取了半結構，質量變為原來的一半（），外力幅值也應取原來的二分之一，即。

（2）求整個結構的柔度系數，僅在繪彎矩圖時取半結構。則與例1相同，求柔度系數時施加在半結構的單位力變為，但結構的質量與施加在結構上的外力大小不變。計算過程如下。

彎矩圖

圖乘得：

注意，解法二實際上仍是基于整個結構的，僅僅在繪彎矩圖時應用了對稱性，因此質量與外力均不變。

（3）結論：

受迫振動時，有外力作用于對稱結構上，如果選取半結構進行計算，則不僅質量變為原來一半，外力幅值也應變為原來的二分之一。但外力的頻率不變。

四、總結

如何選取半結構（如什么時候該用滑動支座和鉸支座），選取半結構之后各物理量應如何做出相應變化（如，求柔度系數時單位力是否變為原來一半，外力幅值是否變化等），以及如何避免計算結果與正確值相差二倍。對此，我們組經過討論以及在做題的過程中也思考了很多。其實，現在看來，這個問題就變得很簡單了，只要明白，如果一開始就利用對稱性取了半結構，那么后面的求解都是基于半結構的；而如果僅僅在求柔度系數繪彎矩圖時取半結構，那么計算還是基于整個結構的，這樣就能明白到底哪些量應變為原來的一半，哪些不用變了。最后感謝龍老師對我們的諄諄教誨，讓我們對結構有了更深的了解。