第一篇：2012高考總復習《走向清華北大》精品36

第三十六講 直接證明與間接證明

班級________ 姓名________ 考號________ 日期________ 得分________

一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題后的括號內．)

1．命題“對于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的證明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”過程應用了()

A．分析法

B．綜合法

C．綜合法、分析法綜合使用

D．間接證明法

解析：因為證明過程是“從左往右”，即由條件?結論．

故選B.答案：B

xn·(x2n＋3)2．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝n＝1,2，?)，試證：“數列{xn}對任意的正整3xn＋1

數n，都滿足xn>xn＋1，”當此題用反證法否定結論時應為()

A．對任意的正整數n，有xn＝xn＋1

B．存在正整數n，使xn≤xn＋1

C．存在正整數n，使xn≥xn－1，且xn≥xn＋1

D．存在正整數n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0

解析：根據全稱命題的否定，是特稱命題，即“數列{xn}對任意的正整數n，都滿足xn>xn＋1”的否定為“存在正整數n，使xn≤xn＋1”，故選B.答案：B

3．要證：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明()

A．2ab－1－a2b2≤0

a4＋b4B．a＋b－1－≤0 222

(a＋b)2－1－a2b2≤0 2

D．(a2－1)(b2－1)≥0

解析：因為a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0，故選D.答案：D

4．已知a、b是非零實數，且a>b，則下列不等式中成立的是()

ba

C．|a＋b|>|a－b|B．a2>b2 11abab

b－ab解析：??a(a－b)>0.aa

∵a>b，∴a－b>0.而a可能大于0，也可能小于0，因此a(a－b)>0不一定成立，即A不一定成立；

a2>b2?(a－b)(a＋b)>0，∵a－b>0，只有當a＋b>0時，a2>b2才成立，故B不一定成立；

|a＋b|>|a－b|?(a＋b)2>(a－b)2?ab>0，而ab<0也有可能，故C不一定成立；

11a－b?>0?(a－b)·a2b2>0.ababab∵a，b非零，a>b，∴上式一定成立，因此只有D正確．故選D.答案：D

1?x?a＋b，B＝fab)，5．(2009·杭州市模擬)已知函數f(x)＝?，a，b∈(0，＋∞)，A＝f?2??22abC＝f?a＋b，則A、B、C的大小關系為()??

A．A≤B≤C

C．B≤C≤AB．A≤C≤B D．C≤B≤A

a＋b1?x2ab解析：因為當a，b∈(0，＋∞)時，ab≥f(x)＝??2?，在R上為減2a＋b

函數，所以A≤B≤C，故選A.答案：A

16．設0

A．a

C．cB．b D．不能確定

解析：易得1＋x>2x2x.∵(1＋x)(1－x)＝1－x2<1，又00.1∴1＋x<.1－x

答案：C

二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．)

7．否定“任何三角形的外角都至少有兩個鈍角”其正確的反設應是________． 解析：本題為全稱命題，其否定為特稱命題．

答案：存在一個三角形，它的外角至多有一個鈍角

8．已知a，b是不相等的正數，xab，ya＋b，則x，y的大小關系是________． 2(a＋b)(a＋b)2

2解析：y＝a＋b)＝a＋b＝＝x.2222

答案：x

199．已知a，b，μ∈(0，＋∞)且1，則使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范圍是________． ab

19b9ab9a＝＋10≥16(＝解析：因為a＋b＝(a＋b)?即b＝3a時取等號)，?ababab

a＋b≥μ恒成立?μ≤(a＋b)min，所以μ≤16.又μ∈(0，＋∞)，故0<μ≤16.答案：(0,16]

10．(原創題)如果a＋b>b＋a，則a、b應滿足的條件是________． 解析：∵aa＋bb>ab＋a?(a－b)2(a＋b)>0?a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b

三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟．)

11．已知a，b，c是不等正數，且abc＝1.111a＋b＋c＋＋.abc

證明：∵a，b，c是不等正數，且abc＝1，111111＋1bccaab111＝ab222abc∴a＋b＋c＝1bc1＋ca12．已知：a>0，b>0，a＋b＝1.求證： 1a＋21b＋2.2

b＋≤2.2

(ab≤4，22證明：要證 a＋211只要證：a＋b＋＋22

∵由已知知a＋b＝1，故只要證：(a＋)(b＋≤1，22

11只要證：(a＋)(b＋≤1，22

1只要證：ab 4

1∵a>0，b>0,1＝a＋b≥ab，∴ab≤，4

故原不等式成立．

13．(精選考題·浦東模擬)△ABC的三個內角A，B，C成等差數列，a，b，c分別為三

內角A，B，C的對邊．求證：113＝a＋bb＋ca＋b＋c

a＋b＋ca＋b＋c113ca解：要證明＝，只需證明3，只需證明a＋bb＋ca＋b＋ca＋bb＋ca＋bb＋c

＝1，只需證明c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)·(b＋c)，只需證明c2＋a2＝ac＋b2.∵△ABC的三個內角A，B，C成等差數列，∴B＝60°，則余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，∴c2＋a2＝ac＋b2成立．故原命題成立，得證．

第二篇：2012高考總復習《走向清華北大》精品21

第二十一講 三角函數的性質 班級________ 姓名________ 考號________ 日期________ 得分________

一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題后的括號內．)

ππ1．(精選考題·重慶)下列函數中，周期為π，且在??42上為減函數的是()

ππ2x＋?B．y＝cos?2x＋? A．y＝sin?2?2???

πx＋?C．y＝sin??2? πx D．y＝cos??2πππ2x＋＝cos2x的最小正周期為π，且在?上是減函數，故選解析：由于y＝sin?2??42A.答案：A

2．(精選考題·陜西)函數f(x)＝2sinxcosx是()

A．最小正周期為2π的奇函數

B．最小正周期為2π的偶函數

C．最小正周期為π的奇函數

D．最小正周期為π的偶函數

解析：因為f(x)＝2sinxcosx＝sin2x是奇函數，T＝π，所以選C.答案：C

3．(精選考題·陜西)對于函數f(x)＝2sinxcosx，下列選項中正確的是()

ππ?A．f(x)在??42?上是遞增的B．f(x)的圖象關于原點對稱

C．f(x)的最小正周期為2π

D．f(x)的最大值為2

ππ?解析：f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，故f(x)在??42?上是遞減的，A錯；f(x)的最小正周期

為π，最大值為1，C、D錯．故選B.答案：B

4．在下列關于函數y3sin2x＋cos2x的結論中，正確的是()

kπ，＋kπ?(k∈Z)上是增函數 A．在區間?6?3?

πB．周期是

2C．最大值為1，最小值為－1

D．是奇函數

答案：A

ππ－?上是增函數，那么()5．ω是正實數，函數f(x)＝2sin(ωx)在??34?

3A．0＜ω≤ B．0＜ω≤2 2

C．0＜ω≤24 D．ω≥2 7

ππωπωπππ－，則ωx∈?－，.又y＝sinx是?－，上的單調增函數，解析：x∈??34?34?22?

則?ωππ－≥－?32

答案：A ωππ≤423?0＜ω≤2

1－1，?，則b－a的值不可能是()6．已知函數y＝sinx定義域為[a，b]，值域為?2??

π2π4πA.B.C．πD.333

2π4π?解析：畫出函數y＝sinx的草圖分析知b－a的取值范圍為??33?，故選A.答案：A

二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．)

π2x－?－22sin2x的最小正周期是________． 7．(精選考題·浙江)函數f(x)＝sin?4??

1－cos2xπ2222x－?－22sin2x＝sin2x－cos2x－22×解析：f(x)＝sin?＝sin2x＋4??2222

π22π2x＋?2＝π.cos2x－2＝sin?4??22

答案：π

0，上的函數y＝6cosx的圖象與y＝5tanx的圖象8．(精選考題·江蘇)設定義在區間??2交于點P，過點P作x軸的垂線，垂足為P1，直線PP1與函數y＝sinx的圖象交于點P2，則線段P1P2的長為________．

??y0＝6cosx0解析：設P(x0，y0)，則由?消去y0得，6cosx0＝5tanx0?6cos2x0＝5sinx0，即?y0＝5tanx0?

326sin2x0＋5sinx0－6＝0，解得sinx0＝－舍去)或，∵PP1⊥x軸，且點P、P1、P2共線，∴|P1P2|2

32＝sinx0＝.3

2答案： 3

9．(精選考題·山東濰坊模擬)對于函數

??sinx，sinx≤cosxf(x)＝?給出下列四個命題： ?cosx，sinx>cosx?

①該函數是以π為最小正周期的周期函數；

②當且僅當x＝π＋kπ(k∈Z)時，該函數取得最小值是－1；

5π③該函數的圖象關于x＝＋2kπ(k∈Z)對稱； 4

π2④當且僅當2kπ

其中正確命題的序號是________．(請將所有正確命題的序號都填上)

答案：③④

10．給出下列五個命題，其中正確命題的序號為______．

π1π2x＋－的最小正周期是； sin?①函數y＝?33??2

3π3πx－?在區間?π?上單調遞減； ②函數y＝sin?2?2???

③直線x＝5π5π2x＋的圖象的一條對稱軸； 是函數y＝sin?2?4

4，x∈(0，π)的最小值是4； sinx④函數y＝sinx＋xcosx⑤函數y＝tan的一個對稱中心為點(π，0)． 2sinx

5π?3解析：①最小正周期是π，②y在區間[π，π]上單調遞增，③4，0?為對稱中心，2

④sinx≠2，∴y的最小值不是4.答案：⑤

三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟．)

111．已知函數f(x)＝log(sinx－cosx)． 2

(1)求它的定義域和值域；

(2)判定它的奇偶性；

(3)判定它的周期性，若是周期函數，求出它的最小正周期．

πx>0，解：(1)由sinx－cosx>0?2sin??4

π5π2kπ＋，2kπ＋(k∈Z)． ∴定義域為?44?

π1x－?∈(02]，∴值域為?－，＋∞?.∵2sin??4??2?(2)∵定義域關于原點不對稱，∴f(x)是非奇非偶函數．

1(3)∵f(x＋2π)＝log[sin(x＋2π)－cos(x＋2π)] 2

1＝log(sinx－cosx)＝f(x)，2

∴已知函數是周期函數，且最小正周期T＝2π.1312．求當函數y＝sin2x＋acosx－1時a的值． 22

分析：先通過變形化為關于cosx的二次函數，配方后，根據函數式的特點，對a進行分類討論．

a2a2a1a1132?解：y＝1－cosx＋acosx－a－cosx＋acosx?cosx－2＋－22224222

設cosx＝t，∵－1≤cosx≤1，∴－1≤t≤1.aaa1t－?2＋－－1≤t≤1.∴y＝－??2?422

a33(1)當1，即a＜－2時，t＝－1，y有最大值－a－.222335由已知條件可得－a－1，∴a＝－＞－2(舍去)． 223

aaa2a1(2)當－1≤≤1時，即－2≤a≤2時，t＝，y有最大值－－22422

a2a1由已知條件可得－＝1，解得a＝1－7或a＝1＋7(舍去)． 422

aa3(3)當1，即a＞2時，t＝1，y有最大值.222a3由已知條件可得＝1，∴a＝5.22

綜上可得a＝1－7或a＝5.評析：解答此類問題的一般步驟：

(1)化為關于sinx或cosx的二次函數；

(2)利用配方法或換元法，轉化為閉區間上二次函數的最值問題；

(3)對于字母系數的問題需進行分類討論．

π13．(精選考題·廣東)已知函數f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞，＋∞),0<φ<π)在x＝12

時取得最大值4.(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)的解析式；

2π12＋?＝sinα.(3)若f312?5

解：(1)T2π3

π3×φ?＝1，(2)由題設可知A＝4且sin??12?

πππ則φ＋＝2kπ(k∈Z)，得φ＝2kπ(k∈Z)． 424

ππ3x＋?.∵0<φ<π，∴φ＝.∴f(x)＝4sin?4??4

2ππ12＋?＝4sin?2α＋＝4cos2α＝(3)∵f2312??5

3∴cos2α5

115∴sin2α＝(1－cos2α).∴sinα＝.255

第三篇：2012高考總復習《走向清華北大》精品32

第三十二講 一元二次不等式及其解法

班級________ 姓名________ 考號________ 日期________ 得分________

一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題后的括號內．)

1．在R上定義運算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，則滿足x⊙(x－2)<0的實數x的取值范圍為

()

A．(0,2)B．(－2,1)

D．(－1,2)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

解析：x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0?x2＋x－2<0?－2

x＋52．不等式2的解集是()(x－1)11－3，?B.?－3? A.?2???2?

1?11∪(1,3]D.?－1?∪(1,3] C.??2??2?

12???2x≤3，?x＋5≥2(x－1)x＋5解析：≥2????(x－1)?x－1≠0???x≠1.1－1?∪(1，3].故選D.∴x∈??2?

答案：D

x>0??2，3．設函數f(x)＝?若f(－4)＝f(0)，x?bx?c,x≤0,?2

f(－2)＝0，則關于x的不等式f(x)≤1的解集為()

A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)

B．[－3，－1]

C．[－3，－1]∪(0，＋∞)

D．[－3，＋∞)

b解析：由f(－4)＝f(0)，得函數f(x)＝x2＋bx＋c(x≤0)的對稱軸x＝－2＝－，所以b＝4.f(－2

2)＝0得c＝4.??x>0時－2≤1，不等式f(x)≤1等價于? 2?x≤0時x＋4x＋4≤1，?

解得x>0或－3≤x≤－1.故選C.答案：C

44．不等式≤x－1的解集是()x－1

A．(－∞，－1]∪[3，＋∞)

B．[－1,1)∪[3，＋∞)

C．[－1,3]

D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

x2－2x－3解析：原不等式化為0，由數軸標根法解得－1≤x<1或x≥3.x－1

答案：B

10，?成立，則a的取值范圍是()5．若不等式x2＋ax＋1≥0對于一切x∈??2?

A．a≥0

B．a≥－2 D．a≥－3 5C．a≥－2

1aa10，?解析：設f(x)＝x2＋ax＋1，則對稱軸為x若－≥，即a≤－1時，則f(x)在??2?222

1?5上是減函數，應有f?≥0?－≤a≤－1 ?2?2

1a0，上是增函數，應有f(0)＝1>0恒成立，故a≥0 0，即a≥0時，則f(x)在??22

aa2a2a1a2?若0≤即－1≤a≤0，則應有f?－2＝＋1＝1－0恒成立，故－1≤a≤0.2242

45綜上，有－a.2

答案：C

評析：考查一元二次不等式與函數相結合，利用函數的性質解不等式問題．

6．已知函數f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，對任意實數x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若當x∈[－1,1]時，f(x)>0恒成立，則b的取值范圍是()

A．－1

B．b>2 D．不能確定 C．b<－1或b>2

a解析：由f(1－x)＝f(1＋x)，知f(x)的對稱軸為x＝1，故a＝2.2

又f(x)開口向下，所以當x∈[－1,1]時，f(x)為增函數，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，f(x)>0恒成立，即f(x)min＝b2－b－2>0恒成立，解得b<－1或b>2.答案：C

二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．)

7．若關于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，則m＝________.解析：根據不等式與方程之間的關系知1為方程ax2－6x＋a2＝0的根，即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3，當a＝2時，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1,2)，符合要求；當a＝－3時，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m＝2.答案：2

8．(2009·青島市模擬)已知不等式ax2＋bx＋a<0(ab>0)的解集是空集，則a2＋b2－2b的取值范圍是________．

解析：∵不等式ax2＋bx＋a<0(ab>0)的解集是空集，∴a>0，b>0，且Δ＝b2－4a2≤0，∴b2≤4a2.4b22544b－?2≥－.∴a＋b－2b≥b－2b＝445?5522

4∞?.∴a2＋b2－2b的取值范圍是??5?

4－? 答案：??5?

9．(精選考題·西城模擬)已知二次函數f(x)的二次項系數為a，且不等式f(x)>0的解集為(1,2)，若f(x)的最大值小于1，則a的取值范圍是________．

解析：由題意知a<0，可設f(x)＝a(x－1)(x－2)＝ax2－3ax＋2a，又a<0，∴f(x)max＝8a2－(－3a)2－a2－a＝<1，∴－4

答案：(－4,0)

x－110．(2009·石家莊質檢一)若不等式m<0的解集為{x|x<3或x>4}，則m的值為x＋m

________．

x－1(1＋m)x＋m2－1解析：由＋m<0，得，即當1＋m<0時有(x＋m－1)(x＋m)>0，其x＋mx＋m

大根為1－m，小根為－m.??1－m＝4所以?，推得m＝－3，故填：－3.?－m＝3?

答案：－3

三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟．)

11．已知函數f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.17(1)若函數f(x)有最大值a的值； 8

(2)解不等式f(x)>1(a∈R)．

11＋4ax＋2－解：(1)a≥0時不合題意，f(x)＝a? ?2a4a

1＋4a217當a<0時，f(x)有最大值，且－＝ 4a8

1解得a＝－2或a＝－.8

(2)f(x)>1，即ax2＋x－a>1，(x－1)(ax＋a＋1)>0，①當a＝0時，解集為{x|x>1}；

1x＋1＋>0，②當a>0時，(x－1)?a?

1解集為{x|x>1或x<－1}； a

1③當a＝－(x－1)2<0，解集為?； 2

11x＋1＋<0，④當－a<0時，(x－1)?a?2

1解集為{x|1

11x＋1＋?<0，⑤當a<－時，(x－1)?a??2

1解集為{x|－1－x<1}． a

ax－112．解關于x的不等式：x－a

1解：當a＝0時，不等式化為－>0，解得x<0； x

1xa??ax－a若a≠0，則原不等式可化為11當0； aa

x－1當a＝1，解得x∈R且x≠1； x－1

11當a>1時，ax<或x>a； aa

1x－a若a<0，則不等式可化為x－a

11當a<－1時，a

當a＝－1時，不等式可化為x＋1<0，其解集為?； x＋1

11當－1，解得

1??綜上，當a<－1時，不等式解集為?x|a

當a＝－1時，不等式解集為?；

當－1

a

當a＝0時，不等式解集為{x|x<0}；

當0

a?；

當a＝1時，不等式解集為{x|x∈R且x≠1}； 當a>1時，不等式解集為???x|x<1?

a或x>a??.13．關于x的不等式組??2

?x－x－2>0，??2x2＋(2k＋5)x＋5k<0，取值范圍．

?

解：原不等式組等價于?x>2或x<－1，?????x＋52(x＋k)<0.x>2或x<－1，由題意知－k>5??

2??5?－2x<－k.又知解集內僅有一整數－2，所以－2<－k≤3，即－3≤k<2.的整數解的集合為{－2}，求實數k的

第四篇：2012高考總復習《走向清華北大》精品31

第三十一講 不等關系與不等式

班級________ 姓名________ 考號________ 日期________ 得分________

一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題后的括號內．)

1．若a>b>0，則下列不等式中一定成立的是()

A．a＋11b>baB．a11bb－a

bb

a＋1

a＋1D.2a＋b

a＋2bab

解析：由已知a>b>0及不等式的基本性質易得a＋1b>b＋1aA.答案：A

2．下列命題中，真命題有()

①若a>b>011

ab；

②若a>b，則c－2a

③若a>b，e>f，則f－ac

④若a>b，則11abA．1個B．2個C．3個D．4個

解析：①②為真命題，故選B.答案：B

3．(2011·濰坊市模擬)已知0

A．loga(xy)<0B．0

C．12

解析：由0logaa2＝2，故選D.答案：D

4．已知a>b，則下列不等式一定成立的是()

A．lga>lgb

11C.abB．a2>b2 D．2a>2b

解析：只有指數函數y＝2x在R上為增函數，所以D正確，而A、C顯然不是對于一切實數都成立的，B的等價條件是|a|>|b|，顯然也錯誤，故選D.答案：D

5．(2011·德州市模擬)若1

A．(－1,3)

C．(－3,3)B．(－3,6)D．(1,4)

解析：∵－4

cd6．(2009·菏澤市模擬)已知三個不等式：①ab>0；②bc－ad>0；③>0(其中a、b、c、ab

d均為實數)，用其中兩個不等式作為條件，余下的一個不等式作為結論組成一個命題，可組成的正確命題的個數是()

A．0

C．2B．1 D．3

1解析：若①②bc－ad)>0，ab

cd∴，故③成立； ab

cd若①③成立，則ab??ab>0，∴bc－ad>0，故②成立；

若②③成立，即bc－ad>0，bc－ad>0，ab

∴ab>0，故①成立．

故正確命題的個數為3，應選D.答案：D

二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．)

117．以下四個不等式：①a<0

件是________．

11解析：在①中：a<0，b>0，則； ab

11在②中：b； ba

11在④中：0； ba

11在③中：當b＝－2，a＝1 ab

答案：①②④

8．設函數f(x)＝ax＋b(0≤x≤1)，則a＋2b>0是f(x)>0在[0,1]上恒成立的________條件．(充分但不必要，必要但不充分，充要，既不充分也不必要)

??f(0)>0?b>0，解析：??? ?f(1)>0??a＋b>0.∴a＋2b>0.而僅有a＋2b>0，無法推出f(0)>0和f(1)>0同時成立．

答案：必要但不充分

9．若－1＜a＜b＜1，－2＜c＜3則(a－b)·c的取值范圍是________．

解析：∵－1＜a＜b＜1，∴－2＜a－b＜0

∴2＞－(a－b)＞0

當－2＜c＜0時，2＞－c＞0，∴4＞(－c)[－(a－b)]＞0，即4＞c·(a－b)＞0；

當c＝0時，(a－b)·c＝0

當0＜c＜3時，0＜c·[－(a－b)]＜6

∴－6＜(a－b)·c＜0

綜上得：當－2＜c＜3時，－6＜(a－b)·c＜4.答案：－6＜(a－b)·c＜4

10．(精選考題·青島質檢題)給出以下四個命題：

①a>b?an>bn(n∈N*)；

②a>|b|?an>bn(n∈N*)；

11③a； ab

11④a

解析：①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；②a>|b|，得a>0，∴an>bn成立；③aa，故<，④不成立． aba－ba

答案：②③

三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟．)

11．設m∈R，x∈R，比較x2－x＋1與－2m2－2mx的大小．

解：解法一：(x2－x＋1)－(－2m2－2mx)＝x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1)．

關于x的二次三項式x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1)的判別式為Δ＝(2m－1)2－4(2m2＋1)＝－4m2－4m－3.二次三項式－4m2－4m－3的判別式為Δ′＝(－4)2－4×(－4)×(－3)＝－32<0，∴Δ<0恒成立．

∴(x2－x＋1)－(－2m2－2mx)>0，即x2－x＋1>－2m2－2mx.解法二：∵(x2－x＋1)－(－2m2－2mx)

＝x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1)

＝x2＋(2m－1)x＋?2m－1?22m－12＋2m2＋1－??2??2?

2m－123＝?x＋＋m2＋m＋ 42?

1?2?3?1?22m－12?2＝?x＋＋?m＋m＋??2??＋4?2? 2?

12112m－12?＝?x＋＋?m2＋2≥2>0，2?

∴x2－x＋1>－2m2－2mx.12．已知a、b、c∈{正實數}，且a2＋b2＝c2，當n∈N且n>2時，比較cn與an＋bn的大小．

分析：考慮比較的是冪的形式，作差不可行，作商處理．

解：∵a、b、c∈{正實數}，∴an，bn，cn>0

an＋bn?an?bn而＝?c＋?c ca2?b2∵a2＋b2＝c2，∴??c＋?c＝1

ab∴0<<1,0<<1 cc

ana2?bn?b2∵n∈N，n>2，∴c

an＋bn?an?bna2＋b2

∴＝?c＋?c<1 cc∴an＋bn

評析：作商法比較大小，作商——變形——判斷商與1的關系．

13．有三個實數m、a、b(a≠b)，如果在a2(m－b)＋m2b中，把a和b互換，所得的代數式的值比原式的值小，那么關系式a＜m＜b是否可能成立？請說明你的理由．

解：不妨設P＝a2(m－b)＋m2b，Q＝b2(m－a)＋m2a.由題意知Q＜P，即Q－P＜0.∴b2(m－a)＋m2a－a2(m－b)－m2b＜0，(a－b)m2＋(b2－a2)m＋ab(a－b)＜0.∴(a－b)(m－a)(m－b)＜0.(*)

若a＜m＜b成立，則a＜b，這時不等式(*)的解為m＞b或m＜a，矛盾． 故a＜m＜b不可能成立．

第五篇：2012高考總復習《走向清華北大》精品2

第二講命題及其關系?充分條件與必要條件

班級________姓名________考號________日期________得分________

一?選擇題:(本大題共6小題,每小題6分,共36分,將正確答案的代號填在題后的括號內.)

1.“紅豆生南國,春來發幾枝.愿君多采擷,此物最相思.”這是唐代詩人王維的《相思》詩,在這4句詩中,哪句可作為命題()

A.紅豆生南國B.春來發幾枝

C.愿君多采擷D.此物最相思

解析:因為命題是能判斷真假的語句,它必須是陳述句,所以首先我們要憑借語文知識判斷這4句詩哪句是陳述句,然后再看能否判定其真假.“紅豆生南國”是陳述,意思是“紅豆生長在中國南方”,這在唐代是事實,故本語句是命題;

“春來發幾枝”中的“幾”是概數,無法判斷其真假,故不是命題;

“愿君多采擷”是祈使句,所以不是命題;

“此物最相思”是感嘆句,故不是命題.答案:A

2.“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

解析:由|x-1|<2得-1

評析:如果p q,q?p,則p是q的必要不充分條件.3.“a=1”是“直線x+y=0和直線x-ay=0互相垂直”的()

A.充分而不必要條件D.既不充分也不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析:當a=1時,直線x+y=0和直線x-ay=0互相垂直;當直線x+y=0和直線x-ay=0互相垂直時,有a=1.故選C.答案:C

評析:如果p?q,q?p,則p是q的充要條件.4.x<4的必要不充分條件是()

A.-2≤x≤2B.-2

C.0

解析:x<4即為-2

5.(精選考題·天津)命題“若f(x)是奇函數,則f(-x)是奇函數”的否命題是()

A.若f(x)是偶函數,則f(-x)是偶函數

B.若f(x)不是奇函數,則f(-x)不是奇函數

C.若f(-x)是奇函數,則f(x)是奇函數

D.若f(-x)不是奇函數,則f(x)不是奇函數

解析:否命題是既否定題設又否定結論.因此否命題應為“若函數f(x)不是奇函數,則f(-x)不是奇函數.”

答案:B

6.設p:x<-精選考題或x>精選考題;q:x<-2011或x>精選考題,則?p是?q的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析:∵p:x<-精選考題或x>精選考題;

q:x<-2011或x>精選考題,∴?p:-精選考題≤x≤精選考題,?q:-2011≤x≤精選考題.22

2∵?x∈[-精選考題,精選考題],都有x∈[-2011,精選考題],∴?p??q,而?x0∈[-2011,精選考題],且x0 ? [-精選考題,精選考題],如x0=-精選考題.5,∴?p是?q的充分不必要條件.故選A.答案:A

二?填空題:(本大題共4小題,每小題6分,共24分,把正確答案填在題后的橫線上.)

7.(2011·江蘇金陵中學三模)若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命題,則x的取值范圍是____________________________.解析:x?[2,5]且x?{x|x<1或x>4}是真命題.由??x?2或x?5,得1≤x<2,故x∈[1,2).?1≤x≤4,答案:[1,2)

8.設p?r都是q的充分條件,s是q的充要條件,t是s的必要條件,t是r的充分條件,那么p是t的________條件,r是t的________條件.(用充分?必要?充要填空)

解析:由題意可畫出圖形:

由圖形可看出p是t的充分條件,r是t的充要條件.答案:充分充要

9.令P(x):ax+3x+2>0,若對任意x∈R,P(x)是真命題,則實數a的取值范圍是__________.解析:對任意x∈R,P(x)是真命題,就是不等式ax+3x+2>0對一切x∈R恒成立.(1)若a=0,不等式僅為3x+2>0不能恒成立.(2)若?22?a?09,解得a>.8???9?8a?0.8(3)若a<0,不等式顯然不能恒成立.綜上所述,實數a>

答案:a>9 8

10.已知p:log?(|x|-3)>0,q:x-?x+21>0,則p是q的________條件.6

解析:由log?(|x|-3)>0可得0<|x|-3<1,解得30可得x<或x>?, 63

1所以q:x<或x>?.3由x-?x+2

故p是q的充分不必要條件.答案:充分不必要

三?解答題:(本大題共3小題,11?12題13分,13題14分,寫出證明過程或推演步驟.)

11.主人邀請張三?李四?王五三個人吃飯聊天,時間到了,只有張三?李四準時赴約,王五打電話說:“臨時有急事,不能來了.”主人聽了隨口說了句:“你看看,該來的沒有來.”張三聽了,臉色一沉,起來一聲不吭地走了,主人愣了片刻,又道了句:“哎喲,不該走的又走了.”李四聽了大怒,拂袖而去.請你用邏輯學原理解釋二人的離去原因.解:張三走的原因是:“該來的沒有來”的逆否命題是“來了不該來的”,張三覺得自己是不該來的.李四走的原因:“不該走的又走了”的逆否命題是“該走的沒有走”,李四覺得自己是應該走的.評析:利用原命題與逆否命題同真同假解題非常方便,要注意用心體會!

12.已知p:?的取值范圍.解:由?x?122≤2,q:x-2x+1-m≤0(m>0).若?p是?q的充分不必要條件,求實數m3x?1≤2,得-2≤x≤10.3

“?p”:A={x|x>10或x<-2}.由x-2x+1-m≤0,得1-m≤x≤1+m(m>0).∴“?q”:B={x|x>1+m或x<1-m,m>0}.∵?p是?q的充分而不必要條件,∴A?B.22

?m?0,?結合數軸有?1?m≤10,解得0

評析:將充要條件問題用集合的關系來進行轉化是解此類題目的關鍵.13.(精選考題·濰坊質檢)設p:實數x滿足x-4ax+3a<0,其中a>0,命題q:實數x滿足2??x?x?6≤0,?2??x?2x?8?0.22

(1)若a=1,且p∧q為真,求實數x的取值范圍;

(2)若?p是?q的充分不必要條件,求實數a的取值范圍.解:先解不等式,把命題p,q具體化,第(1)問利用真值表求x;第(2)問由互為逆否命題等價確定p、q之間的關系,確定關于a的不等式,問題可解.(1)由x-4ax+3a<0得(x-3a)(x-a)<0,又a>0,所以a

當q為真時,實數x的取值范圍是23},則03,所以實數a的取值范圍是1