第一篇：海倫公式

海倫公式

與海倫在他的著作“Metrica”(《度量論》）中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則余弦定理為下述推導(dǎo)[1]

cosC =(a^2+b^2-c^2）/2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√（1-cos^2 C)

=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]

=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]

=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]

=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

設(shè)p=(a+b+c)/2

則p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

所以，三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

證明⑵

中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶在1247年也提出了“三斜求積術(shù)”。它與海倫公式基本一樣，其實在《九章算術(shù)》中，已經(jīng)有求三角形公式“底乘高的一半”，在實際丈量土地面積時，由于土地的面積并不是三角形，要找出它來并非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據(jù)三邊的長度來求三角形的面積？直到南宋，中國著名的數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”。

秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜。“術(shù)”即方法。三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個數(shù)，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個。相減后余數(shù)被4除，所得的數(shù)作為“實”，作1作為“隅”，開平方后即得面積。

所謂“實”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p為“隅”，q為“實”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以

q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}

當(dāng)P=1時，△ 2=q,△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}

因式分解得

△ ^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2）^2]

=1/4[(c+a)^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]

=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

=1/4[2p（2p-2a）（2p-2b）（2p-2c)]

=p(p-a)(p-b)(p-c)

由此可得：

S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中p=1/2(a+b+c)

這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”。

S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}.其中c>b>a.根據(jù)海倫公式，我們可以將其繼續(xù)推廣至四邊形的面積運算。如下題：

已知四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四邊形ABCD的面積

這里用海倫公式的推廣

S圓內(nèi)接四邊形= 根號下（p-a)(p-b)(p-c)(p-d)（其中p為周長一半，a,b,c,d，為4邊）

代入解得s=8√ 3

證明⑶

在△ABC中∠A、∠B、∠C對應(yīng)邊a、b、c

O為其內(nèi)切圓圓心，r為其內(nèi)切圓半徑，p為其半周長

有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1

r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）=r

∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2

∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）

=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2

=ptanA/2tanB/2tanC/2

=r

∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3

∴S^2=p^2r^2=(pr^3）/(tanA/2tanB/2tanC/2）

=p(p-a)(p-b)(p-c)

∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

第二篇：海倫公式原理簡介

原理簡介

我國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了“三斜求積術(shù)”，它與海倫公式基本一樣。

假設(shè)在平面內(nèi)，有一個三角形，邊長分別為a、b、c，三角形的面積S可由以下公式求得：

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

而公式里的p為半周長：

p=(a+b+c)/2

——————————————————————————————————————————————

注1：“Metrica”(《度量論》)手抄本中用s作為半周長，所以

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]兩種寫法都是可以的，但多用p作為半周長。

——————————————————————————————————————————————

由于任何n邊的多邊形都可以分割成n-2個三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地的面積的時候，不用測三角形的高，只需測兩點間的距離，就可以方便地導(dǎo)出答案。編輯本段證明過程 證明（1）

與海倫在他的著作“Metrica”(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則余弦定理為

cosC =(a^2+b^2-c^2)/2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 設(shè)p=(a+b+c)/2 則p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2，上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

所以，三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 證明（2）

我國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了“三斜求積術(shù)”。它與海倫公式基本一樣，其實在《九章算術(shù)》中，已經(jīng)有求三角形公式“底乘高的一半”，在實際丈量土地面積時，由于土地的面積并不是的三角形，要找出它來并非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據(jù)三邊的長度來求三角形的面積？直到南宋，我國著名的數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”。

秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜。“術(shù)”即方法。三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個數(shù)，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個。相減后余數(shù)被4除，所得的數(shù)作為“實”，作1作為“隅”，開平方后即得面積。

所謂“實”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p為“隅”，q為“實”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以

q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}

當(dāng)P＝1時，△ 2＝q，△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 因式分解得

△ ^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] =1/16[(c+a)^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=1/16 [2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] =p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得：

S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中p=1/2(a+b+c)

這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”。

S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}.其中c>b>a.根據(jù)海倫公式，我們可以將其繼續(xù)推廣至四邊形的面積運算。如下題：

已知四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四邊形ABCD的面積

這里用海倫公式的推廣

S圓內(nèi)接四邊形= 根號下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)（其中p為周長一半，a,b,c,d,為4邊）

代入解得s=8√ 3 證明（3）

在△ABC中∠A、∠B、∠C對應(yīng)邊a、b、c O為其內(nèi)切圓圓心，r為其內(nèi)切圓半徑，p為其半周長 有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1 r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r ∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2 ∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2 =ptanA/2tanB/2tanC/2 =r ∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3

∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)=p(p-a)(p-b)(p-c)∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)證明(4)通過正弦定理:和余弦定理的結(jié)合證明(具體可以參考證明方法1)編輯本段推廣

關(guān)于三角形的面積計算公式在解題中主要應(yīng)用的有：

設(shè)△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，ha為a邊上的高，R、r分別為△ABC外接圓、內(nèi)切圓的半徑，p =(a+b+c)/2,則

S△ABC

=1/2 aha

=1/2 ab×sinC

= r p

= 2R^2sinAsinBsinC

= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中，S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是著名的海倫公式，在希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作《測地術(shù)》中有記載。編輯本段海倫公式在解題中有十分重要的應(yīng)用。

一、海倫公式的證明

證一 勾股定理

如右圖

勾股定理證明海倫公式。

證二：斯氏定理

如右圖。

斯氏定理證明海倫公式

證三：余弦定理

分析：由變形② S = 可知，運用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 對其進行證明。

證明：要證明S =

則要證S =

=

= ab×sinC

此時S = ab×sinC/2為三角形計算公式，故得證。

證四：恒等式

恒等式證明(1)

恒等式證明(2)證五：半角定理

∵由證一，x = = －c = p－c

y = = －a = p－a

z = = －b = p－b

∴ r3 = ∴ r =

∴S△ABC = r·p = 故得證。

二、海倫公式的推廣

由于在實際應(yīng)用中，往往需計算四邊形的面積，所以需要對海倫公式進行推廣。由于三角形內(nèi)接于圓，所以猜想海倫公式的推廣為：在任意內(nèi)接與圓的四邊形ABCD中，設(shè)p= ,則S四邊形=

現(xiàn)根據(jù)猜想進行證明。

證明：如圖，延長DA，CB交于點E。

設(shè)EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180° ∠2+∠3 =180° ∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD ∴ = = =

解得： e = ① f = ②

由于S四邊形ABCD = S△EAB

將①，②跟b = 代入公式變形④，得到： ∴S四邊形ABCD = 所以，海倫公式的推廣得證。

編輯本段例題：

C語言版：

如圖四邊形ABCD內(nèi)接于圓O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.求：四邊形可能為等腰梯形。解：設(shè)BC = x 由海倫公式的推廣，得：(4－x)(2＋x)2 =27

x4－12x2－16x＋27 = 0

x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1)= 0(x－1)(x3＋x2－11x－27)= 0 x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0 當(dāng)x = 1時，AD = BC = 1 ∴ 四邊形可能為等腰梯形。在程序中實現(xiàn)(VBS): dim a,b,c,p,q,s a=inputbox(“請輸入三角形第一邊的長度”)b=inputbox(“請輸入三角形第二邊的長度”)c=inputbox(“請輸入三角形第三邊的長度”)a=1*a b=1*b c=1*c p=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c)q=sqr(p)s=(1/4)*q msgbox(“三角形面積為”&s), ,“三角形面積” 在VC中實現(xiàn)

#include #include main()int a,b,c,s;printf(“輸入第一邊n”);scanf(“%d”,&a);printf(“輸入第二邊n”);scanf(“%d”,&b);printf(“輸入第三邊n”);scanf(“%d”,&c);s=(a+b+c)/2;printf(“面積為:%fn”,sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)));C#版：

using System;using System.Collections.Generic;using System.Text;namespace CST09078 class Program static void Main(string[] args)

double a, b, c, p, s;

Console.WriteLine(“輸入第一條邊的長度：n”);a = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());Console.WriteLine(“輸入第二條邊的長度：n”);b = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());Console.WriteLine(“輸入第三條邊的長度：n”);c = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());p =(a+b+c)/2;s = Math.Sqrt(p*(pb)*(p-c));Console.WriteLine(“我算出來的面積是{0}”, s);Console.Read();

第三篇：海倫公式的證明

與海倫在他的著作“Metrica”(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則余弦定理為cosC =(a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]設(shè)p=(a+b+c)/2則p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

第四篇：海倫公式與四邊形面積公式

海倫公式與四邊形面積公式

2007年08月01日 星期三 00:43 我們知道，已知三角形的三條邊長度a，b，c（2p＝a+b+c），就可以由海倫公式得到三角形的面積：

所以：已知圓內(nèi)接三角形的三邊長，其面積公式為海倫公式。事實上，對于圓內(nèi)接四邊形，已知其四邊形的四邊長（不妨設(shè)其為a，b，c，d，2p＝a+b+c+d），也可以求其面積，而且公式的形式與海倫公式相類似：

證明：

設(shè)圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，設(shè)∠BAD=θ，則∠BCD=180°-θ，設(shè)其對角線BD＝x，由余弦定理有：

聯(lián)立兩式解得：

第五篇：高中數(shù)學(xué)必修五《海倫公式探究》

海倫公式探究

背景：海倫公式在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中使用非常廣泛，它方便了日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中三角形的面積計算，使我們只需知道任意三角形的三邊長度，就可以用公式求得三角形的面積大小。但是你知道海倫公式的證明方法嗎？本次探究，著手海倫公式的證明方法、推廣，使同學(xué)們能更深刻地記住海倫公式、容易證明，并且合理使用。

過程：海倫公式 證明 三斜求積術(shù) 推廣 運用 余弦定理

海倫公式又譯作希倫公式、海龍公式、希羅公式、海倫－秦九韶公式，傳說是古代的敘拉古國王 希倫（Heron,也稱海龍）二世發(fā)現(xiàn)的公式，利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。但根據(jù)Morris Kline在1908年出版的著作考證，這條公式其實是阿基米得所發(fā)現(xiàn)，以托希倫二世的名發(fā)表（未查證）。我國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了“三斜求積術(shù)”，它與海倫公式基本一樣。

如右圖，假設(shè)有一個三角形，邊長分別為a、b、c，三角形的面積S可由圖下公式求得。

證明Ⅰ：

與海倫在他的著作“Metrica”(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變

a2?b2?c2形來證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則余弦定理為：cosC?

2abS?1ab?sinC① 21?ab?1?cos2C② 21(a2?b2?c2)2③ ?ab?1?2224a?b141?41?41?4?4a2b2?(a2?b2?c2)④

(2ab?a2?b2?c2)(2ab?a2?b2?c2)⑤ [(a?b)2?c2][c2?(a?b)2]⑥

(a?b?c)(a?b?c)(a?b?c)(?a?b?b)⑦

a?b?b 2?a?b?ca?b?ca?b?c,p?b?,p?c?, 則p?a?222設(shè)p?上式?(a?b?c)(a?b?c)(a?b?c)(?a?b?c)

16?p(p?a)(p?b)(p?c)

所以，S△ABC?

p(p?a)(p?b)(p?c)

證明Ⅱ：我國著名的數(shù)學(xué)家九韶在《數(shù)書九章》提出了“三斜求積術(shù)”。

秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜。“術(shù)”即方法。三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個數(shù)小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個。相減后余數(shù)被4除馮所得的數(shù)作為“實”，作1作為“隅”，開平方后即得面積。

所謂“實”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p為“隅”，Q為“實”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜。

定理:若三角形的三條邊分別是:大斜、中斜、小斜，則三角形面積為：

原文見<數(shù)書九章>卷五第二題: 以小斜冪并大斜冪，減中斜冪，余，半之．同乘于上，以小斜冪并大斜冪，減上．余，四約之為實，開平方，得積．

證明：如 圖，a=u+v，b2=h2+u2，c2=h2+v2 所以，u2-v2=b2-c2

(u+v)(u-v)=(b+c)(b-c)a(u-v)=(b+c)(b-c)(u-v)=(b+c)(b-c)/a 因(u+v)=a，所以22又 h=b-u，三角形面積=a．h/2

此即：，其中c>b>a.將根號下的多項式分解因式，便成為可見，三斜求積術(shù)與古希臘海倫公式是等價的 所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”。

關(guān)于三角形的面積計算公式在解題中主要應(yīng)用的有：

設(shè)△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，ha為a邊上的高，R、r分別為△ABC外接圓、內(nèi)切圓的半徑，p =

1(a+b+c),則 211S△ABC =aha=ab×sinC = r p 22abc 4R = 2R----2sinAsinBsinC =

=p(p?a)(p?b)(p?c)

p(p?a)(p?b)(p?c)就是著名的海倫公式，在希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作《測地術(shù)》中有記其中，S△ABC =載。

海倫公式在解題中有十分重要的應(yīng)用。

一、海倫公式的變形

S=p(p?a)(p?b)(p?c)

(a?b?c)(a?b?c)(a?c?b)(b?c?a)

① [(a?b)2?c2][c2?(a?b)2] ②(a2?b2?c2?2ab)[?(a2?b2?c2?2ab)] ③ 4a2b2?(a2?b2?c2)④ 2a2b2?2a2c2?2b2c2?a4?b4?c4 ⑤ 141 =41 =41 =41 =4 =

證一：根據(jù)勾股定理證明。分析：先從三角形最基本的計算公式S△ABC =導(dǎo)出海倫公式。

1aha入手，運用勾股定理推2

證二：根據(jù)斯氏定理證明。

根據(jù)海倫公式，我們可以將其繼續(xù)推廣至四邊形的面積運算。如下題：

｛已知四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四邊形ABCD的面積｝

這里用海倫公式的推廣

S圓內(nèi)接四邊形?(p?a)(p?b)(p?c)(p?d)（其中p為周長一半，a,b,c,d,為4邊）

代入解得s?83

海倫公式在解題中有十分重要的應(yīng)用。

二、海倫公式的推廣

由于在實際應(yīng)用中，往往需計算四邊形的面積，所以需要對海倫公式進行推廣。由于三角形內(nèi)接于圓，所以猜想海倫公式的推廣為：在任意內(nèi)接與圓的四邊形ABCD中，設(shè)p==(p?a)(p?b)(p?c)(p?d)

現(xiàn)根據(jù)猜想進行證明。

證明：如圖，延長DA，CB交于點E。

設(shè)EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○ ∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD

a?b?c?d,則S

2四邊形

S?EABfbb2e∴== = a?ef?cdS四邊形ABCDd2?b2解得： e =b(ab?cd)b(ad?bc)① f = ②

d2?b2d2?b2d2?b2由于S四邊形ABCD =S△EAB

b2b(d2?b2)將①，②跟b =代入公式變形④，得：22d?b

所以，海倫公式的推廣得證。

三、海倫公式的推廣的應(yīng)用

海倫公式的推廣在實際解題中有著廣泛的應(yīng)用，特別是在有關(guān)圓內(nèi)接四邊形的各種綜合題中，直接運用海倫公式的推廣往往事半功倍。

例題：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O中，SABCD =求：四邊形可能為等腰梯形。解：設(shè)BC = x 由海倫公式的推廣，得：

33,AD = 1,AB = 1, CD = 2.4133(1?1?2?x)(1?1?x?2)(2?x?1?1)(2?x?1?1)= 44(4－x)(2＋x)2 =27 x4－12x2－16x＋27 = 0 x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1)= 0(x－1)(x3＋x2－11x－27)= 0 x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0 當(dāng)x = 1時，AD = BC = 1 ∴ 四邊形可能為等腰梯形。