第一篇：線 性 代 數 試 卷(A)

線 性 代 數 試 卷(A)

一、選擇題（每題3分，共15分）

?1?若矩陣A??0?1?1.(A)(C)0-1*a?10?1a?12??2?的秩r(A)?2,則a的值為_____________2??(B)(D)0或-1-1或者1

2.設A為正交矩陣，且|A|??1,則A?__________(A)A T

(C)A

T___

(B)A

3.設?,?是n維列向量,??

?0,n階方陣A?E???,n?3，則

T在A的

n個特征值中,必然______________

(A)有n個特征值等于1(B)有n?1個特征值等于1(C)有1個特征值等于1(D)沒有1個特征值等于1

4.設A,B為n階方陣，且秩相等，既r(A)?r(B),則______________

(A)(C)r(A－B)?0r(A,B)?2r(A)m?n(B)(D)r(A?B)?2r(A)r(A,B)?r(A)?r(B)

5.設矩陣A的秩r(A)?n,則非齊次線性方程組Ax?b_____________(A)一定無解(B)可能有解

(C)一定有唯一解(D)一定有無窮多解

二、填空題（每題3分，共15分）

1.設A是n階方陣A的伴隨矩陣，行列式|A|?2，則 |2A|=_____________ **42.D中第二行元素的代數余子式的和

?j?1A2j=__________ ,其中

1111?111211?111111?12D =

正定,3.已知實二次型則實常數

a的取值范圍為________________

ABAf(x1,x2,x3)?x1?4x2?2x3?2ax1x1?2x2x34.2n階行列式

?a??0A?????0 ?0a?0B?________________ ,其中n階矩陣

????0b?0b??0????0??

????

0??0?0??a??

?0??0B?????b ?5.設為正整數，則

三、計算題(每題9分,共54分)1.計算n階行列式

x1?mDn??x1?x1x2x2?m?x2x3x3?x3????1??0?1A=?0201??0?，1??而n?

2A?2Ann?1?______

xnxn?xn?m?

2.求AX?BA?1

X矩

0?10陣

0??6??0?,B??0?01???0120??2?1??使

?2??1?ABX?0，其中,A??0?0?

?2x1?x2?a3x3?a4x4?d1??x1?2x2?b3x3?b4x4?d2?cx?cx?2x?3x?d3433.設非齊次線性方程組?1122有三個解向量

?1??2?????1?1??????2??1??????1??1? ?1＝??，?2＝???3????2??4?????，?3＝?2?

i

求此方程組系數矩陣的秩,并求其通解(其中a為已知常數)

4.已知實二次型 過正交 變換交矩陣Q X?QYf(x1,x2,x3),bj,ck,dt=

2x1?3x2?3x3?2?x2x3(??0)222經,化為標準形

y1?2y2?5y3222,求實參數?及正5.設線性方程組為，問a,b各取何值時，線性

方程組無解，有唯一解，有無窮多解？在有無窮多解時求出其通解

6.在四元實向量構成的線性空間R中,求a使?,?,?,?為R的基,并求由基?,?,?,?到?,?,?,?的過渡矩陣P,其中

41234?x1?x2?x3?3x4?0??2x1?x2?3x3?5x4?1??3x1?2x2?ax3?7x4?1?x1?x2?3x3?x4?b?412341234

四、證明題(每題8分,共16分)1.設 ?,?,? 是歐氏空間V的標準正交基,證明: 123?1??1??1??1?????????011???????1??1????2????3????4???0011?????????0??0??0??1??? ?? ?? ??

?1???1???1??1??????????111???????0??1????2???3???4???a2?a?0?0?????????1??1??0??0??? ?? ?? ?? ?1?13(2?1?2?2??3)?2?13(2?1??2?2?3)?3?13(?1?2?2?2?3)也是V的標準正交基

2.設f?XT1

TAX是n元實二次型,有n維實列向量XT21,X20,使

?0X1AXT?0，X0AX?0, 證明:存在n維列實向量X,使X0AX=0

線性代數考試A 參考答案

一、選擇題

1.(A)2.(B)3.(B)4.(D)5.(B)

二、填空題

1.n|2A|?2n?1*2n?1； 2.0； 3.|a|?72； 4.(a?b)22n；

5.A?2A?0

三、計算題

1.解 各列加到第一列，提出公因式

1nx2x2?m?2??xnxn?xn?mn1x2?m?0??xn0?Dn?(?xi?m)??i?11?0(?xi?m)??i?10?1x?

8分

n =

??m

= 分

2.3分(?1)n?1mn?1(?xi?m)i? 9

(AB?A)X?BA?1?1

?1?0???00020??3???2X?0???0???00?1?20??2?1??9分

3.由題設條件知?,?,?是AX123

?3?X?0???00?11/20??1/2??1??

?b的三個解，因此

?2??1?????1?3????6??3?????????3－?1＝?1?，?3－?2＝??1?

是對應的齊次線性方程組的線性無關解向量,因此,系數矩陣A的秩r(A)?2

21又A中有二階子式1?2，r(A)?2，因此r(A)＝2 3分

因此?－?，?－?為其導出組的基礎解系。由此可得線性方程組的通解： 3??5?0132

9分

?2????1??6????? k1?1??k2?1??3??????3??2??3??4??????1?????＋?2?，k1,k2為任意常數

?4.f的矩陣有特征值 ??1,??2,??5

由|A|?2(9??)????,??0,得??

22分

A對應的線性無關的特征向量

1232123?2?A??0?0?030????3??，5分

A對應的單位正交特征向量

?0?1???1??1?2???1??0????1??1??1????2?1?????0??0????3，?0?????1???1???，8分

于是正交變換X = QY中的正交矩陣

?1????2??0??0????0??1??3?1??2????1?

Q?(?9分

?1??2A??3??15.?1121,?2,?3)=

?01??12???1?2000??1??1??

13a3357?1?10??1??1??0??1?0???0b???11001?1a?4031?1?2???1?0??b?2??0 3分

當a?4時，方程組有唯一解

當a?4，b?2時，方程組無解

5分

當a?4，b?2時，r(A)?r(A)＝3 < 4，方程組有無窮多組解,其通解為

??2????1?k?1????0????1?????1??0????0?＋??，k為任意常數

9分

6.2分

設A?(?,?1解

2：

1a?1 ,?3,?4),B?(?,?2,?3,?4),則

?11?11001??0?0??0??

設(??1??0A??0?? ?01110011101??1?1??1??，,?2,?3,?4)?(?1,?2,?3,?4 4分)P,則

?2?21001??0?0??0??

?1???1B??a??1?2?a1

四、證明題 1.證：因為

?2???1?a?1P?AB??a?1??1?a?11?a1

9分(?1,?2)?19(4(?1,?1)?2(?2,?2)?2(?3,?3))?0,(?1,?3)?(?2,?3)?0

分 ?12?(?1,?1)?119所以?,?2,?3

是V的標準正交基。

(4(?1,?1)?4(?2,?2)?(?3,?3))?1，?22??32?18分

2.證:f是不定二次型,設f的正慣性指數為P,f的秩為r，則0?P?r, 2 分

f可經非退化線性變換X?QY化為規范形

y???y?y???y f=4分

22221PP?1r取 Y0??18分

0?01T00?0??0T ,則有 X0?PY0?0 使

X0AX=1?0??0?1?0??0?0

第二篇：線性代數試卷

廈門理工學院繼續教育學院20 第 學期期末試卷

線性代數（考試時間：120分鐘）

專業 姓名 層次形式 成績

一、選擇題（每小題4分，共16分）1.A，B為三階方陣，矩陣X滿足AXA?BXB?BXA?AXB?E則().22?1?1?1(A)X?(A?B);(B)X?(A?B)(A?B)(C)X?(A?B)(A?B)(D)以上答案都不對.2.?1?1；

A、B、C為n階方陣，且AB?C,A、B、C的列向量組分別為?1,?2,???,?n；?1,?2,???,?n(A)；

?1,?2,???,?n.若

?1,?2,???,?n線性相關，則().?1,?2,???,?n線性相關;(B)

?1,?2,???,?n線性相關；

(C)（A）與(B)都成立；(D)(A)或(B)成立.3.設A,B為三階矩陣，且r(A?3A?2E)?3，若r(B)?2則r(AB?B)?().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)無法判斷． ???A??2?2?3??34.設三階矩陣

???????B???2????2???，?3?，其中?,?,?2,?3均為三維行向量，已知A?18，2B?2，則A?B?().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)4.二、填空題（每小題4分，共16分）

?En?1?0AB?OB為n階非零矩陣，5.設A、，且A的階梯形為?1D?a1111b1111c1111n0??0?，則矩陣B的秩=.6.已知，則此行列式的所有代數余子式之和i,j?1?Aij?.1

?1A???0Tx?(1,1)?7.已知是1??a??的一個特征向量，則a?.8.為已知A是3階方陣，?1,?2,?3是三維線性無關的向量.若A?1??1??2，A?2??2??3，A?3??1??3，則A的行列式等于.三、計算下列各題（每小題7分，共28分）

01D?1?1101?11110?11??????111?01111?10.9.計算n階行列式

10.若二次型

1f(x1,x2,x3)?2x1?8x2?x3?2ax1x2222正定，求a的取值范圍.411.已知??(1,1,1),??(1,0,1)，且A???.求A.TTT

?2?A?0??2? 0301??1??0B?0????02??0?100??0?0??

12.已知矩陣X滿足AX?2B?BA?2X，求X．

四、解答下列各題（每小題14分，共28分）

?2x1?3x2?3x3?a?x1?x2?x3?1??3x?4x2?(a?2)x3?a?1x?2x?ax?12313.求a使方程組?1與?1有公共解，并求公共解.14.已知二次型

f(x1,x2,x3)?XAX?x1?x3?2ax1x2?2x1x3?2bx2x3T22的秩為2，Tf(x1,x2,x3)??(1,1,1)是A的特征向量.（1）求a,b的值；（2）求經正交變換所得的標準型，并寫出相應的正交矩陣.3

五.解答下列各題（每小題4分，共12分）

15.設?1,?2,???,?t是線性方程組Ax?O的基礎解系，向量?滿足A??b?O.證明?1,?2,???,?t,?線性無關.16.已知A是n階方陣且可對角化，問B?A?A?E可否對角化？證明你的結論.2 T17.已知A為n階矩陣.證明方程組Ax?O與AAx?O的解相同.

第三篇：線性代數試卷

線性代數試題

請考生按規定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上。

說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。

選擇題部分

一、單項選擇題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其選出并將“答題紙”的相應代碼涂黑。錯涂、多涂或未涂均無分。1．設行列式A.－3 C.1 2．設4階矩陣A的元素均為3，則r(A)= A.1 C.3 3．設A為2階可逆矩陣，若A?1??B.2 D.4 a1a2b1acab?c?1，11??2，則111? b2a2c2a2b2?c2B.－1 D.3 ??1?3?A.??

?2?5???5?3?C.?? ??21?A.r=m時，Ax=0必有非零解 C.r

?，則A= ?25??1B.??2??5D.??23?? 5?3?? ?1?4．設A為m×n矩陣，A的秩為r，則

B.r=n時，Ax=0必有非零解 D.r

2225．二次型f(xl，x2,x3)=x1?2x2?3x3?8x1x3?12x2x3的矩陣為

?1?A.?0??8??1?C.?0??4? 0?8??212? 123??0?4??26? 63???1?B.?0?0??1?D.??4?0?0?8??212? 03???40??26? 63??═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 2

非選擇題部分

注意事項：

用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將答案寫在答題紙上，不能答在試題卷上。

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）6．設A為3階矩陣，且|A|=2，則|2A|=______．

7．設A為2階矩陣，將A的第1行加到第2行得到B，若B=?8．設矩陣A=??12??，則A=______.?34?a12??a11a12??a11，B=???，且r(A)=1，則r（B）=______.?a21a22??a11?a21a12?a22?9．設向量α=(1，0，1)T，β=(3，5，1)T，則β－2α=________． 10．設向量α=(3，－4)T，則α的長度||α||=______．

11．若向量αl=(1，k)T，α2=(－1,1)T線性無關，則數k的取值必滿足______.12．齊次線性方程組xl+x2+x3=0的基礎解系中所含解向量的個數為______．

?122???100?????13．已知矩陣A=?212?與對角矩陣D=?0?10?相似，則數a=______ ?221??00a?????14．設3階矩陣A的特征值為－1，0，2，則|A|=______．

22215．已知二次型f(x1,x2,x3)=x1正定，則實數t的取值范圍是______． ?x2?tx

3三、計算題（本大題共7小題，每小題9分，共63分）

a?b?c16．計算行列式D=2a2a2b2cb?a?c2b.2cc?a?b17．已知向量α=（1，2，k），β=?1，?，且βαT=3，A=αTβ，求(1)數k的值；(2)A10． ?11??23??123??12?????18．已知矩陣A=?231?，B=?00?，求矩陣X，使得AX=B.?340???10?????19．求向量組α1=(1,0,2,0)T, α2=(－1,－1,－2,0)T, α3=(－3,4,－4,l)T, α4=（－6,14,－6,3）T的秩和一個極大線性無關組，并將向量組中的其余向量由該極大線性無關組線性表出．

?2x?3y?z?0?20．設線性方程組?2x?y?z?1，問：

?x?y??z?1?═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 3(1)λ取何值時，方程組無解？

(2)λ取何值時，方程組有解？此時求出方程組的解．

?001???21．求矩陣A=?010?的全部特征值與特征向量．

?100???2222．用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=2x1?2x2?4x1x3?8x2x3為標準形，并寫出所用的可逆線性變換．

四、證明題（本題7分）

23．設向量組α1，α2線性無關，且β=clα1+c2α2，證明：當cl+c2≠1時，向量組β－α1,β－α2線性無關．

═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════

第四篇：線性代數 試卷

浙江大學2008-2009學年秋冬學期 《線性代數I》課程期末考試試卷及參考答案

?2x1?1．解線性方程組?x1?x?1?5x2?2x2?4x2?4x3?x3?6x3?x4?x4?2x4?x5?x5?x5??3?5。?10解：略。

2．線性變換T:?2??2的定義是

T(x,y)?(3x?y,x?3y).設B?{(1,1),(1,?1)},B??{(2,4),(3,1)}。（a）證明B,B?是?2的兩組基。

（b）給出T關于基B的矩陣表示A和T關于基B?的矩陣表示A?。（c）求矩陣Q使A??Q?1AQ。

（a）證明：先證明B線性無關（略）。因為B所含的向量個數?2?dim?2，所以B是?2的一組基。B?類似可證。

（b）解：由定義即可（略）。

（c）解：矩陣Q是基B到基B?的過渡矩陣，由定義求之即可。

?00???103．設矩陣A??0?1?????00?n?2。解：

0?a1??0?0a2?0?0a3?。求行列式A?tI，其中I是n階單位陣，?????0??1an??0t?1A?tI?0?0000t?0000?0??0?000?ta1a2a3??1t?an?10??1t?an0?000?tn?antn?1???a2t?a1tn?1?antn?2???a3t?a2tn?2?antn?3???a4t?a3?t2?ant?an?1t?anRn?1?tRn?100?Rn?2?tRn?10?10???R1?tR2?00?00?

0?00??1?tn?antn?1???a2t?a14．令V為由全部在閉區間[0,1]上連續的實函數構成的集合，即

V?{f:[0,1]??|f連續}（a）給出V的向量加法和數乘法使V成為線性空間。（b）證明(f,g)??f(x)g(x)dx是V的內積。

01（a）解：對?f,g?V,????，定義

f?g:[0,1]??f(x)?g(x)，??f:x?[0,1]?x??(f(x))驗證上面定義的加法和數乘法使V成為線性空間。（b）證明：對?f,g,h?V,????，有

(f,g)??f(x)g(x)dx??g(x)f(x)dx?(g,f);0011(?f,g)???f(x)g(x)dx???f(x)g(x)dx??(f,g);0011(f?g,h)??(f(x)?g(x))h(x)dx??f(x)h(x)dx??g(x)h(x)dx?(f,h)?(g,h);000111(f,f)??f2(x)dx?001所以(f,g)??f(x)g(x)dx是V的內積。

015．設映射D:?[x]5??[x]5用D(f)?f?來定義，其中f?是f的導數。（a）證明D是線性變換。

（b）給出D的核，他的一組基和維數。（c）給出D的像，他的一組基和維數。（a）證明：對

?f?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4,g?b0?b1x?b2x2?b3x3?b4x4??[x]5,????，有

D(f?g)?D((a0?b0)?(a1?b1)x?(a2?b2)x2?(a3?b3)x3?(a4?b4)x4)?(a1?b1)?2(a2?b2)x?3(a3?b3)x2?4(a4?b4)x3?D(f)?D(g),D(?f)?D(?a0??a1x??a2x??a3x??a4x)??a1?2?a2x?3?a3x2?4?a4x3??D(f)所以D是線性變換。

234

（b）D的核kerD??，f?1是他的一組基，他的維數dimkerD?1。（c）D的像ImD??[x]4，1,x,x2,x3是他的一組基，他的維數dimImD?4。

?112???6．判斷實矩陣A???121?是否可對角化。若A可對角化，求矩陣Q使Q?1AQ?013???是對角矩陣D，并給出矩陣Q?1和D。解：略。

27．實二次型f:?2??的定義是f(x1,x2)?2x12?5x2?4x1x2。

（a）給出對應于f的實對稱矩陣A。

（b）給出A在相合（即合同）意義下的標準形（或規范形）。

（c）給出f的正慣性指數和負慣性指數，并判斷f是否正定或者負定。解：略。

8．設?,?是線性變換T:V?V的兩個互異的特征值，v和w分別是屬于?和?的特征向量。如果av?bw是T的特征向量，證明a?0或者b?0。證明：因為av?bw是T的特征向量，所以存在T的特征值?使得T(av?bw)??(av?bw)。因為v和w分別是屬于?和?的特征向量，所以?av??bw?T(av?bw)?aT(v)?bT(w)?a?v?b?w，即a(???)v?b(???)w?0。因為?,?是線性變換T:V?V的兩個互異的特征值，v和w分別是屬于?和?的特征向量，所以v,w線性無關。所以a(???)?0,b(???)?0。

如果a?0，則有???。因為?,?互異，所以????0，進而b?0。所以有a?0或者b?0。

9．證明或舉反例否定下面命題。

V)?dim(W，)則任何線性映射（a）若有限維線性空間V,W滿足dim(T:V?W都不是同構。

答：正確。因為T:V?W是同構?dim(V)?dim(W)。

（b）若方陣A,B有相同的特征多項式，則A和B是相似的。

?10?答：錯誤。例如A???,B?E2，則他們的特征多項式相同，均為

11??f(?)?(??1)2，但A和B不相似，因為A不可對角化。

（c）若可逆方陣A相合于方陣B，則他們的逆矩陣A?1,B?1也是相合的。

答：正確。這是因為：若可逆方陣A相合于方陣B，則存在可逆矩陣CT?1使得B?CTAC，進而B?1?(CTAC)?1?C?1A?1(C)?C?1A?1(C?1)T，即A?1,B?1相合。

（d）實正交矩陣一定可對角化。

?cos?答：錯誤。比如A???sin??sin???的特征多項式為cos??f(?)??2?2?cos??1，所以沒有實特征根，當然也不能對角化。

第五篇：線性代數2011年試卷

線性代數2011年試卷

一、填空題

1、n階矩陣A可對角化的充分必要條件是_____________________________________。

2、設A是3階可逆矩陣，若A的特征值是1,2,3，則|A|=______________________.3、含有n個未知量的線性方程組德 系數矩陣與增廣矩陣的秩都是r，則r ______________

時，方程組有唯一解；則r_____________________ 時，方程組有無窮多解；

3?521110?

54、設D?，其aij元素的代數余子式記做Aij，則?13132?4?1?3-2A11+6A12+2A13+6A14=__________________________

5、二次型

二、選擇題

1設A,B為n階方陣，滿足等式AB=0，則必有（）

A、A=0，或B=0;

B、A+B=0;

C、|A|=0或|B|=0;

D、|A|+|B|=0

2、設A,B為n階方陣，A與B等價，則下列命題中錯誤的是（）A、若|A|>0,則|B|>0;B、若|A|≠0,則B也可逆;C、若A與E等價，則B與E也等價；D、存在可逆矩陣P,Q，使得PAQ=B.?1?1203???

3、齊次線性方程組系數矩陣的行階梯型矩陣是?0013?2?，則自由未知量不能

?00006???取為（）

A、x4,x5;

B、x2,x3;

C、x2,x4;

D、x1,x3.4若R(?1,?2,?,?s)=r，則（）

A、向量 組中任意r-1個向量均線性無關；B、向量組中任意r個向量均線性無關； C、向量組中向量個數必大于r；D、向量組中任意r+1個向量均線性相關。

5、設A為3階方陣，1，-1，2是它的三個特征值，對應的特征向量依次為

?012???TTT ?1?(1,1,0),?2?(2,0,2),?3?(0,3,3),令P??310?，則P-1AP等于（）

?302????1???1???1?;

B、??;

2A、??????2?1??????1??2??2?;

D、?1?;C、???????1??1?????

三、計算題

a10?1b11、計算行列式0?1c00?100 1d02??31??

2、求矩陣?1?12?1?的秩

?13?44????10?1???

3、求A=?052?的逆

?00?1????1??1??1??3??????????1???1??1??1?

4、求向量組?1???，?2????3????4???的一個極大無關組，并用此極大2135?????????3??1??5??7?????????無關組線性表示其余向量。

5、求非齊次線性方程組??2x1?x2?2x3?3的通解

?3x1?2x2?4x3?1?123???

6、求?213?的特征值和特征向量

?336???

四、設 A為n階矩陣，?1和?2是A 的2個不同的特征值，?1,?2是分別屬于?1和?2的特征向量，證明：?1??2不是A的特征向量。