第一篇：數學大師啟示錄_帕斯卡和費馬[小編推薦]

這是驚人的，起源于賭博的概率理論，竟會成為人類知識的最重要的對象。

——拉普拉斯 我找到了許許多多極其優美的定理。

——費馬

出類拔萃

在法國中南部僻靜的克萊蒙費朗城，有一座雅致的白色樓房，四周大樹環抱，前面綠草如茵。1623年6月19日，一個嬰兒呱呱 地哭叫著在這里誕生。他就是法國杰出的數學家、物理學家、哲學 家和文學家——布萊斯·帕斯卡。

布萊斯的父親埃利納·帕斯卡是地方救護會會長，學識淵博，樂善好施，在當地很有名望。母親安東尼達·白戈妮是位心地善良、容貌美麗的婦女。可惜紅顏薄命，在一次突發的急病中，她撇下年 僅4歲的布萊斯和他的姐妹吉爾帕蒂和杰克琳，猝然去世。1630年，帕斯卡一家由克萊蒙費朗遷到巴黎。這時候布萊斯剛 7歲。孩子早熟，普通學校里的課程他學起來毫不費力。可是，他 體弱多病。父親為了避免孩子用腦過度，親自指導他學習，只教他 古典語言，不讓他接觸數學。誰知“弄巧成拙”，埃利納對數學諱 莫如深的態度，反而激起孩子強烈的好奇心。他常常詢問父親有關 數學的問題，埃利納總是避而不答。布萊斯12歲了。有一回他又纏 著父親，提出他的老問題：“爸爸，幾何是什么?您給講講吧!”經 不住孩子不斷的請求，埃利納終于給他做了一個簡明而生動的介紹。這不啻在干柴上點了一把火。長期被壓抑的熱情一下子迸發出來。幾何學的大門雖然剛露出一道細縫，里面透出來的誘人光芒已經使 布萊斯頭暈目眩，如醉如癡。他按捺不住心頭的激動，決心用自己 的智慧和毅力去敲開這扇莊嚴的大門。

布萊斯·帕斯卡鉆研幾何的事跡，在數學史上傳為美談。一開 始，沒有任何書本暗示，他證明出一個重要的幾何定理：三角形三 內角之和等于兩直角。這一了不起的成就使他大受鼓舞。父親更是 高興得熱淚盈眶。這件事似乎還不夠神奇。據姐姐吉爾帕蒂說，布 萊斯在看到歐幾里得《幾何原本》以前，就獨立發現了這本書的前 32個定理，甚至連順序也完全相同。“三角形三內角之和等于兩直 角”，恰好是《幾何原本》的第32個定理。一般認為，布萊斯無疑 是獨立地發現和證明了《幾何原本》的一部分定理，但是吉爾帕蒂 的說法可能言過其實，因為這幾乎是不可思議的事。

兩年以后，14歲的布萊斯就跟隨父親到明尼茲修道院，參加梅 森神甫主持的每周討論會。會員都是著名的學者：費馬、德札爾 格、羅貝瓦爾、??笛卡兒從荷蘭和他們保持經常的通信。這個 小團體后來發展為自由學院，到1699年演變為法國科學院。

神秘六邊形

正當小帕斯卡在幾何上披荊斬棘，迅速向新高峰攀登的時候，老帕斯卡在事業上意外地遇到麻煩。由于極端的誠實和正直，在一 項征稅問題上，他同紅衣主教黎塞留發生了爭執。讀者一定記得，慷慨許諾過笛卡兒可以自由發表自己著作的就是這位主教。不過，這一次他似乎沒有那么寬容。埃利納只得帶著全家到鄉下躲起來。事情后來是怎樣了結的，說法不一。據說是美麗的杰克琳拯救了她 父親和家庭。有一次主教去看演出，一位年輕女演員的精彩表演使 他大為傾倒。喚到面前來一問，原來她是埃利納的小女兒。主教二 話未說，痛快地把舊賬一筆勾銷，還把埃利納安排到法國北部城市 魯昂的稅務局工作。

課稅員的工作相當辛苦。埃利納常常抱著賬本一直計算到深夜。小帕斯卡在旁邊默默地觀察著父親的工作，他又一次表現出超乎尋 常的才能。他發現一切加減運算都可以用機械來完成。經過一段時 間的摸索和改進，他終于創造出世界上第一臺可以實際使用的計算 機。這是一臺手搖操作的齒輪系統。每個齒輪有10個齒。順時針方 向旋轉是加，逆時針方向旋轉是減。齒輪每轉過10個齒，帶動旁邊 的高階位的齒輪轉一個齒，數字就進了一位。這樣，一個年剛18歲 的孩子成了數字計算機的發明者。

在這以前，小帕斯卡廢寢忘食的研究還取得一項重要進展。他 發現了幾何學中一個非常優美的定理——帕斯卡定理。好在它的一 個特殊情形只用直尺就可以說明，我們在這里把這個定理介紹一下。

設有l和l’兩條不平行的直線。在它們上面各任意取三點A、B、C和A’、B’、C’。分別把A和B’、A’和B、B和C’、B’和C、C和A’、C’和A連接起來，就得到三對直線；AB’和A’B，BC’和B’C，CA’和C’A。如果每對直線都有一個交點，設它們分別為D、E、F。帕斯卡證明了：D、E、F三點必定在同一條直線上。進而他把這三對直線換成圓內接六邊形的三對對邊，帕斯卡又證明：如果

這些對邊的延長線分別相交，那么，它們的交點也在同一條直線上。他把這種六邊形稱為“神秘六邊形”。

帕斯卡并不就此滿足。他利用德札爾格所發明的投射法把這個 定理進一步推廣。設想一只燈泡被一張開了一個小孔的紙遮住，于 是通過小孔射出一束圓錐狀的光線。如果取一張紙伸到這束光線中 去，那么根據紙片角度的變化，在紙上可以看到光束的邊界呈現不 同的圖形：圓、橢圓、拋物線和雙曲線。這些都是圓錐曲線。帕斯 卡發現，上述定理中圓內接六邊形的這種性質，如果把圓換成其他 的圓錐曲線，例如橢圓，同樣是正確的。這在直觀上并不難接受。從下圖可以看出，如果在光束和紙片之間插進一塊玻璃，在玻璃上

畫一個“神秘六邊形”，當光束穿過玻璃投射到紙面上的時候，出 現的就是“神秘六邊形”的影子。這影子也是一個“神秘六邊形”，因為它的三對對邊的交點也在一條直線上。

帕斯卡發現這個有趣的定理那年才16歲。根據德札爾格建議，聰明的帕斯卡環繞這個定理寫了兩篇論文，把有關圓錐曲線的不下 400條定理——其中包括阿波羅尼奧斯和其他前人的成果——用投 射法作了系統總結，把它們歸納成少數幾條基本定理。論文所涉及 的是和過去希臘幾何完全不同的全新領域——射影幾何。這里研 究的圖形，它的線段長短和角度大小，在射影對應下可以不同，但 是在射影對應中圖形的某些性質仍舊保持不變。例如，把圓換成其 他的圓錐曲線，它的內接六邊形三對對邊的交點共線的性質是始終 保持的。可惜這兩篇珍貴的文稿從來沒有發表，并且旋即失傳；其 中的一篇只有薄薄8頁，題為《圓錐截線論》，于1779年重新找到。德國數學家萊布尼茲曾經看到過它的手抄本，還對帕斯卡的外甥談 起過里面的內容。笛卡兒在1640年讀過這兩篇論文，可是他不相 信，這樣出色的論文竟會出自一個16歲孩子之手!

雙重折磨

年輕的帕斯卡為這一連串令人驚羨的成就付出沉重的代價。通 宵達旦的工作使他的健康遭到極大損害。從17歲起，他的生活幾乎 每天都在難忍的病痛中度過。嚴重消化不良引起鉆心的胃痛，把他 折磨得汗如雨下。長期的失眠，使漫漫長夜成為可怕的惡魔。更糟 糕的事情還在后面：宗教狂熱開始感染帕斯卡的家庭。這并不奇怪。當人類智慧的陽光還不能透過層層迷霧把世界真面目揭開的時候，宗教就有它存在的空間。當生活的道路崎嶇坎坷，而人們還無法掌 握自己命運的時候，迷信就會乘虛而入。在當時名目繁多的教派中 有一個叫詹森派。它由荷蘭神學家科爾內留斯·詹森所創。詹森派 既不屬于天主教，也不是新教。它偏激狂熱，蔑視意志自由，鼓吹 神力不可反抗。信徒們為表示忠誠，要通過各種方式虐待和折磨自 己。十分不幸，好端端的帕斯卡竟迷上了這乖怪離奇的教派。原因 雖然是多方面的，但是他體弱多病無疑起了重要作用。限于當時的 醫學水平，醫生們開出的種種處方解除不了帕斯卡的病痛，他只好 求助于神。宗教成了他擺脫疾病無情折磨的救命稻草。從23歲起。帕斯卡從數學研究的高峰一步步陷入詹森派的泥潭而不能自拔。這 位數學史上罕見的天才，在他短促的生命歷程中，從此遭受著病魔 和宗教狂的雙重折磨。

但是天才的火花并沒有熄滅。他還要為物理學作出貢獻。他對 重力和密閉液體壓強的傳遞等進行一系列重要試驗，發現著名的關 于液壓傳遞的帕斯卡定律。意大利物理學家托里拆利做了一個著名 實驗，測定一個標準大氣壓的水銀柱高度為760毫米。帕斯卡進一 步把它引申。他建議姐夫彼埃爾帶著氣壓計到家鄉附近多姆山上去 測量大氣壓強。他認為，由于高度升高，氣壓減小，水銀柱的高度 應該隨著下降。后來帕斯卡和妹妹杰克琳在返回巴黎的時候也做了 同樣的實驗。

這時候父親已經退休。不久帕斯卡和杰克琳來巴黎和他住在一 起。有一次浪跡四方的笛卡兒來帕斯卡家訪問。笛卡兒當時是譽滿 全球的大學者；帕斯卡比他年輕近30歲，但是在科學界也已經頭角 嶄露，蜚聲遐邇。他們兩人從數學、物理、文學，一直討論到哲學。臨別的時候笛卡兒還真摯地給這位年輕朋友提出不少忠告。他勸帕 斯卡學他的樣子，每天躺到上午11點鐘起床；對于時時給帕斯卡帶 來煩惱的胃，笛卡兒建議他只喝肉湯，不要吃別的食物。可惜這些 健身之道聽起來近乎怪誕，帕斯卡沒有重視。

在巴黎住的時間不長，全家又回到克萊蒙費朗。家鄉清幽的氣 氛比豪華的巴黎更加吸引人。在家鄉，帕斯卡開始創作《思緒錄》。這是法國文學史上一部自我暴露和自我剖析的不可多得的杰作。從 中我們可以清楚地看到帕斯卡矛盾的性格：他熱愛大自然，熱愛生 活，可是他卻不自然地壓制著這些正當的欲望。為了做到這一點，他只能到怪誕的詹森教派的教義中去尋求支持。怪不得心理學家說，乖謬的教義和反常的生理現象是一對難舍難分的孿生兄弟。

在克萊蒙費朗住了兩年，全家又來到巴黎。第二年父親不幸病 逝。杰克琳在帕斯卡支持下進了波特羅耶爾的修道院。不久，她作 為女修道院的圣職志愿人，不斷來動員她哥哥也去波特羅耶爾，攪 得帕斯卡心緒不寧，思想斗爭異常激烈。1654年11月23日，他獨 自乘了一輛四駕馬車，在巴黎附近的鄉間道路上狂奔。在通過紐萊 河上一座橋的時候，領頭的一匹馬突然越過欄桿，躍入河中。幸虧 挽繩一下子被繃斷，馬車仍舊停留在馬路上。這一事件引起帕斯卡 的強烈震動。他認為能逃脫這場橫禍，無疑是神的意志——警告他 趕緊在世俗生活上懸崖勒馬。他決定皈依詹森教派，并且在貼胸處 掛起用羊皮紙做的護身符，以使自己克服淫邪的誘惑，以及時刻記 住上帝把他從地獄之門拯救出來的“偉大恩典”。從此他永遠擺脫 世俗，虔誠地來到波特羅耶爾，過起清心寡欲的修道者生活。值得 慶幸的是，在這以前，他對數學所作的最重要的貢獻已經完成。他 和費馬一起創立了概率論的數學理論。這一成就使他在數學史上享有不朽的地位。皮埃爾·費馬

和帕斯卡一起創立概率論的費馬是帕斯卡家的老朋友，兩人有 極親密的友誼，常年保持著書信往來。

費馬的一生很平靜，沒有什么戲劇性的插曲。父親杜美尼克是

位皮革商人，還是法國西南部小城蒙托邦附近小鎮皮厄蒙的行政長 官。母親克拉拉·德朗出身于議會律師的家庭。皮埃爾·費馬于 1601年8月17日誕生于皮厄蒙。他從小在家里接受教育。后來為 了擔任公職的需要，來到法國南部城市圖盧茲繼續他的學業。他一 生安分守己，不愛出頭露面。由于缺少一位像帕斯卡的姐姐吉爾帕 蒂那樣的人來給后代講述他童年的奇跡，因此除了作為學生，沒有 別的記載流傳下來。當然，從他獲得的成就來判斷，他在少年時代 一定是聰明絕頂并且具有驚人的直覺能力。他在數學特別是數論中 出神人化的工作，不能從他的學校教育里去找原因。因為在費馬當 學生的時候，他最偉大的工作所屬的那些領域的大門還是完全緊閉 著的。

1631年5月14日，費馬任圖盧茲地區咨詢委員。同年6月1 日，他和母親的小表妹路易絲·德朗小姐結婚。婚后生有一男二女。兒子后來成為科學遺囑的執行人。兩個女兒先后進了修道院。1648 年，他晉升為圖盧茲地方議會的王室律師。1665年1月12日在圖 盧茲附近的小鎮卡德雷斯逝世，享年64歲。這位誠實正直、一團和氣的學者，在數學史上有一則美麗動人 的故事，就是他在從事律師工作之余所進行的數學研究。

作為純粹數學家，牛頓在發明微積分的時候達到了頂峰。這項 偉大創造也獨立地為萊布尼茲所完成。但是，這樣說并不夸張：早 在牛頓出世前整整13年，在萊布尼茲呱呱墜地前17年，費馬已經 形成和應用了微積分的主要概念和方法。他在1637年的手稿《求最 大值和最小值的方法》給出求函數最大最小值和求曲線的切線的方 法，也就是微分學的方法。由于他和帕斯卡都求得過前幾個自然數 m次冪的和，他也就解決了冪函數積分問題。他還把冪指數推廣到 分數和負數的情況，這就能計算雙曲線圍成的面積。這說明他掌握 了積分的方法。可惜費馬在微積分和坐標幾何方面的著述都是在他 去世以后才由他兒子整理發表的，這不能不削弱他在當時本可以發 揮的巨大影響。

費馬和笛卡兒各自獨立地發明了坐標幾何。盡管他們交換意見，他們研究坐標幾何的目的和方法卻顯著不同。笛卡兒批評希臘的傳 統，主張同它決裂。費馬著眼于繼承希臘人的思想。認為自己的工 作只是用代數形式來表達希臘幾何學家阿波羅尼奧斯關于圓錐曲線 的研究。真正認識到代數威力的是笛卡兒，可是他開始只著重于幾 何作圖問題；費馬則強調軌跡的方程，現在看來這無疑更為恰當。在對曲線進行分類的時候，費馬糾正笛卡兒的一個錯誤。他指出： 對曲線分類應該根據方程的次數而不是其他，如一次方程表示直線，二次方程代表圓錐曲線。笛卡兒和費馬在學術上的分歧導致雙方長 期的激烈爭論。在爭論中，笛卡兒常常意氣用事，語言尖刻，甚至 諷刺費馬是“我們的極大和極小大臣”。可是我們這位大律師始終 心平氣和，保持著應有的禮貌。后來他倆的關系有所緩和。費馬在 1660年寫了一篇文章，在指出笛卡兒的《幾何學》中的一處錯誤的 同時，誠懇地說，他是這樣佩服笛卡兒的天才，即使他有錯誤，他 的工作甚至比別人沒有錯誤的工作更有價值。可惜已經去世的笛卡 兒不像費馬這樣寬宏大量。

費馬最偉大的工作是數論，或者用高斯樸實無華的名稱：算術。

在今天小學的教科書中，“算術”的內容在希臘時代被分成不 同的兩部分：算法和算術。前者一般是有關貿易和日常生活中應用 的計算；后者就是費馬和高斯意義上的算術，它研究數的性質。費 馬認為算術被人們忽視了。他抱怨說，幾乎沒有什么人提出或者懂 得算術問題。他相信，算術有它自己的特殊園地：整數論。他的辛 勤勞動為算術奠定基礎，并且決定了算術在高斯以前100多年的發 展方向。

人們關于貌似簡單的正整數研究雖然已有很長的歷史，但是對 它們的認識還很不夠。一些長期未解決的問題往往乍看不難，實際 上卻極難解決。為了證明一個有關正整數的命題，數學家往往不得不 先發掘代數和分析中許多微妙而深奧的定理，甚至建立全新的數學概 念和普遍有效的數學方法。結果新興的龐大的分支和如林的數學定理 掩蓋了它們發端的原始問題。這些導源于“樸素的”算術問題的新數 學常常同物理世界有密切的聯系，并且可以應用在數學的其他領域，特別是計算數學。說到數論對數學乃至科學技術，從而對整個人類社 會巨大的積極作用，我們不能不提到數論研究的先驅費馬。

要了解費馬，最好從所謂“費馬數”說起。請看下面的數列： 3，5，17，257，65537，··· 它們又可以表示為：

3=21+1，5=22+1，17=24+1，257=28+1，65537=216+1，?

這些數除了1和它本身以外，沒有別的整數可以整除它，所以 是素數。于是費馬就猜測：所有形如的數，后人稱為費馬 數，都是素數。不過，費馬坦率地承認，自己不能證明這個命題。事實上，他后來也對這個命題的正確性發生了懷疑。在費馬去世67 年以后，歐拉證明了n=5時=232+1=4294967297=641× 6700417不是素數。

幾乎整整過了200年，1796年3月30日，一位18歲的德國青 年卡爾·弗雷德里希·高斯解決了一個同初等幾何有關的問題：用 圓規直尺作出一個正十七邊形。這是2000多年來許多數學家竭力追 求的目標。他同時還證明了：當多邊形的邊數或者是費馬素數，或 者是不同的費馬素數的乘積，用圓規直尺作邊數為奇數的正多邊形 才是可能的。這就是說，可以用尺規作出正三角形、正五邊形、正 十七邊形、正二百五十七邊形、??，或正3×5=15邊形、正3× 17=51邊形，??但是不能作出正七邊形、正九邊形等。這個成就 使高斯異常振奮，以致放棄了他同樣喜愛的語言學，選擇數學作為 自己獻身的事業。

所謂“費馬小定理”，是費馬在數論中另一種類型的發現，它 是1640年10月18日費馬給好朋友倍西的信中傳出去的。這個定理 說，如果n是任意整數，P是素數，那么np一n就可以被P整除。舉 例來說，取P=3，n=5，53—5等于120，可以被3整除。

數論上有的定理被認為是“重要的”，而有的定理好不容易才 證明出來，卻被認為是“無關緊要”的。這是為什么?要說明其中 的道理并不容易。首先一個標準，當然不是絕對的，是它可以應用 于數學的其他分支；其次是它對數論或別的數學研究有啟發作用； 第三，它本身在某些方面具有普遍性。費馬小定理適合所有這些要 求；它對許多數學分支，包括群論在內，是一個不可缺少的結論。它啟發了許多重要的數學研究，甚至是某些研究的直接起因。由于 它是對任意的整數和素數來說的，所以有很大的普遍性。顯然，這 樣普遍的定理，要發現它是極不容易，也是非常罕見的。

缺少研究整數經驗的人，對等式27=25+2可能沒有什么感受，但是稍有經驗的人就會想到，27=3 3，25=52。因此，方程 y3=x2+2 有一個整數解：x=5，y=3。假如讀者想檢驗一下自己是不是有出眾的智力，不妨試試能不能證明：x=5，y=3，是這個方程惟一的整數解。專家們認為，要解決這個看起來似乎是兒戲般的問題，在智力上的要求比領悟相對論還要高!方程y3=x2+2是一個不定方程，因為未知數有兩個，而方程只有一個。如果不限制方程的解必須為整數，解這類方程沒有任何困難。任意給出x一個值，y就是x2+2的立方根，所以方程的解有無限多個。丟番圖首先提出求這種不定方程的整數解或有理數解。于是問題就不同于以前而變得非常困難了。費馬說他證明了上述方程只有惟一的整數解，可是沒有公布他的證明。他去世后不久，人們找到了他的證明。科學史研究證實，在1994年以前除了惟一的一個例外，凡是被費馬肯定過的命題，都被正確地證明了。那僅有的例外就是赫赫有名的“費馬大定理”。

標志著希臘代數最高峰的丟番圖的《算術》，在1621年有了它 的拉丁文譯本。費馬在工作之余讀的就是這個版本。他有個習慣，在看書的時候把思考的結論簡要地旁注在書的空白處。這些空白當 然不適宜于寫出證明的全過程。后來，他的兒子在1670年出版了著 名的《頁端筆記》。在《算術》第二冊上第8個問題，也就是由畢 達哥拉斯定理引出的求方程 x2+y2=z2 的有理數解的旁邊，人們看到費馬用拉丁文寫了如下的一段注解：

“相反，不可能把一個立方數分為兩個立方數的和，一個數的 四次冪不能分為兩個四次冪的和；一般說來，高于二次的任何次冪，不能分為兩個同次冪的和。我想出了這個論斷的一個真正奇妙的證 明，只是這里的空白太狹小，不容我把它寫下來。”

這就是費馬大約在1637年左右發現的、引起歷史上大大小小的 數學家注目的費馬大定理。用數學記號表示就是：正整數n大于2 時，方程

xn+yn=zn

沒有正整數解，當然也就沒有有理數解。

人們沒有見到費馬那個絕妙的證明，只是見到他對n=4時證明 的大意。后來歐拉作出了n=3和n=4的證明；以后只要對素數n 來證明了。1823年勒讓德證明了n=5的情形；1849年庫默爾引 入全新的理想數概念，證明當n=

37、n=

59、n=67時費馬大定理 成立。根據他的理論，n<100時費馬大定理成立。到20世紀80年 代，利用電子計算機證明n<125 000時結論成立。當然n取上述所 有整數的整數倍也都成立。但是這無限多的情形，還不是大于2的 一切整數。300多年來不計其數的優秀數學家，付出了艱巨的勞動，還是沒有找到問題的答案。20世紀有“神童”之稱、創立“控制 論”的卓越數學家維納，在試圖證明費馬大定理的時候感嘆：“每 次我所假設的論證都像愚人金一樣，很快就令人失望了”。鼎鼎大 名的數學家勒貝格曾經發表過對費馬大定理的證明。起初許多人 以為這個大難題果真被這位分析大師解決了。但是后來有人指出他 的證明中有錯誤。這真有點令人掃興。勒貝格盯著自己有錯的證明 喃喃地說道：“我想我可以消除這個錯誤。”可惜他最終并沒有成 功。無數大數學家花了大量心血也都沒有找到正確的證明。這使不 少數學家懷疑費馬發現的絕妙證明是不是搞錯了。包括高斯在內，不少數學家都認為一定是費馬搞錯了。

但是，也有許多人認為，我們不能像寓言中的狐貍那樣，因為 自己吃不著葡萄，就說葡萄是酸的。作為一位“業余的”數學家，費馬只滿足于自己享受研究的樂趣，并不介意把自己的思想完整地 寫出來公開發表。他大多數研究成果是通過和友人通信而聞名于世 的。他只寫過為數不多的幾篇論著，有的還是在他去世以后由后人 整理發表的。因此，根據他一貫的為人和非凡的才能，我們沒有理 由懷疑他曾經得到過一個絕妙的證明。

這樁歷史懸案的真相究竟如何，讀者可以作出自己的判斷。但 是，令人高興的是：英國數學家安德魯·維爾斯經過九年頑強拼搏，終于在1994年證明了費馬大定理。他證明費馬大定理的論文《模曲 線和費馬大定理》于1994年10月14日送交普林斯頓的《數學年 刊》。一周前，他和他的學生泰勒的合作論文《海克代數的環論性 質》已經寄去審查，這是證明上述定理不可缺少的工具。1995年5 月《數學年刊》一同發表了這兩篇論文，從而宣布困擾數學界350 多年的費馬大定理已被一舉攻克。維爾斯的證明運用了20世紀代數 幾何與代數數論一系列研究成果，顯示了現代數學整體的巨大力量。

涓涓細流

誰會想到一瀉千里的大江發端于高山上的涓涓細流?帕斯卡和 費馬也沒有料到，賭徒之間毫不引人注目的爭論，居然會發展出一 種非常有用的數學理論。這種理論已經幾乎深入到人類生活的各個 方面；它在近代物理學上的應用，迫使人們重新考慮對物理世界的 認識。

概率論最早是由貴族們在賭博中發生的問題引起的。有一天，性喜賭博的德·梅雷爵士向帕斯卡請教幾個在賭博中經常遇到的問 題。比如說，同時擲兩顆骰子出現兩個都是6點的機會是不是超過 1／24？

數學家以前沒有處理過這類問題。這類現象從個別來看是無規 則的。同時擲兩顆骰子，誰能預料它們出現的點數呢?這種不確定 性給研究帶來困難。不過這些不規則現象——在數學上稱為“隨機 現象”——通過大量實驗和觀察，就其整體來看，卻有一種嚴格的 非偶然的規律性。一顆骰子擲下去，出現的點數固然無法事先確定。但是如果投擲次數大量增加，那么出現某一個點數——比如說3點 ——的機會就非常接近于1／6。同樣，一個充滿氣體的密閉容器，雖然容器內每一個氣體分子的速度和方向是雜亂的，因而就個別分 子來說，它對器壁所產生的壓力是不確定的，它忽兒撞在這里，忽 兒撞在那里；忽兒撞得重，忽兒撞得輕；但是這些氣體分子的總體 對器壁的壓力卻有其規律性：它們總的壓力基本上是一個確定的值。概率論就是從數量上來研究這種規律性。

帕斯卡巧妙地解決了梅雷爵士的問題，并且在1654年7月29 日致費馬的信中談到它們的解答。從此，他和費馬就這一類問題開 始一系列通信，為概率論的數學理論奠定了基礎。

概率論的應用決不僅僅是限于在賭博上。正如荷蘭科學家惠更 斯(1629—1695)在《關于骰子游戲或賭博的計算》一書中指出： “在任何場合，我認為，如果讀者仔細考察一下研究對象就會發現，你所處理的不僅是賭博。這里實際上包含著很有趣很深刻的理論基 礎。”

的確是這樣。概率論深入到各個領域，連日常生活中最簡單的 問題，比如稱一個物體的重量，也離不開它。雖然物體的重量是確 定的客觀存在，可是它真實的數值你卻稱不出來。我們到商店去買 500克糖，實際得到的并不是真正的500克，而只是它的近似值。即使用最精密的天平也無法稱出絲毫不差的500克。當我們用某一 種儀器對它進行多次測量的時候，任意兩次的測量結果往往是不相 同的。但是根據概率統計的理論，由各次測量結果可以推算，真實 的重量落在某一個數值范圍內的可能性有多大。

在量子物理學中，同樣離不開概率理論，我們說不出某個電子 在原子中的確切位置，但是可以計算這個電子出現在某一區域里 的機會有多少。隨著科學技術的發展，概率論在保險、統計、誤差 理論、生物學、天文學、近代物理學以至整個工農業生產中得到日 益廣泛的應用，成為數學幾個最主要的分支之一。

智者千慮必有一失

“智者千慮必有一失”，就連最聰明的人也有糊涂的時候。帕斯 卡創立概率的數學理論，可是卻把它應用于完全錯誤的方面。

一個人在采取某個行動以前，通常要權衡一下利弊，想想它是 不是值得。從數學上說，就是要估計一下“期望”——成果和代價 的差額乘以成功的可能性。帕斯卡在他的名著《思緒錄》里，利用 這個數學理論來為自己選擇的生活道路辯解。他說，通過當修道士 來爭取得到永生的可能性固然極小，但是可能贏得的成果——永恒 的幸福——的價值卻有無限大。無限大乘上一個很小的數(即成功 的可能性)仍是無限大。于是帕斯卡得出結論：這才是一個人真正 值得遵循的道路!可悲的是，這位偉大的數學家不知道，企圖通過 刻苦修行來求得永生，不是機會大小的問題，而是根本不可能。對 不可能事件計算“期望”，它的結果當然只能是零。

這不能不說是個極大的諷刺。帕斯卡孜孜以求的，以為是具有 “無限大期望”的事業，竟是一場完全虛幻的夢境；而使他在歷史 上享有無上榮光的數學，他卻感到“是那么無用”，甚至“不愿為 它多走兩步”!至少帕斯卡在去世以前的那些日子采取了這種不幸 的態度。1660年8月10日，這時距離他去世已經不到兩年，他在 致費馬的信中這樣寫道：

“順便談到數學，我覺得它是對思維的最高鍛煉；但同時我又 覺得它是那么無用，以致使我感到一個單純的數學家同一個普通工 匠的差別極小。我承認它是世界上最可愛的職業，然而僅僅是一種 職業；我也常說，想學數學是件好事，但為此費力則不然。所以我 不愿為數學多走兩步。我想你也會有同感。”

當數學囿于貴族的沙龍之中，離開社會，離開生產實踐，只是 那些不必為生活奔波操心的有閑階層酒后飯余的話題，就可能產生 “有趣但是無用”的錯誤想法。這是帕斯卡的悲劇所在，也是數學 史上的一大憾事。要是帕斯卡的健康足夠好，而他的思想又不誤入 歧途，那么，這位才華出眾的學者一定能為數學作出更偉大的貢獻。

走向終點

懷著無限的期望，帕斯卡來到波特羅耶爾修心養性。可是，上 帝并沒有對他表現出憐憫之心。失眠和牙疼死纏著他不放。當時，誰牙疼就只好去找理發師——兼職的牙科醫生。那里沒有麻藥和其 他器械，只有一把嚇人的鉗子。疼痛使帕斯卡輾轉反側，不能入眠。上帝眼睜睜看著自己的信徒遭受可怕的折磨而愛莫能助。帕斯卡只 好向數學求救：他躺在床上，咬緊牙關，強制自己全神貫注地思索 各種數學問題。沒想到疼痛競不知不覺地消失了。他不知道這是注 意力轉移的結果。他認為這是神的顯靈，告訴他在這種情況下研究 數學不是罪過。于是他放心地研究下去。很快，作為向法國和英國 數學家的挑戰，一篇論擺線的重要論文，以阿莫斯·迪戈伐里的筆 名發表了。接著他又研究了一種點的軌跡，稱為帕斯卡蚶線，來紀 念他已故的父親。

為了回答異教徒對詹森派主要人物阿諾爾德的攻擊，帕斯卡撰 寫了著名的《外省信札》，共含書信18篇。他的文學才能和宗教熱 誠再一次得到充分表現。《外省信札》被推崇為法國散文的經典名 著和神學辯論中的非凡杰作。1658年，帕斯卡病情惡化。他無時無刻不在難忍的痛苦中煎 熬。現實生活的苦楚更激發他追求“在天國中永生”的熱誠。1662 年6月，他把房子送給一家患天花的窮人，自已住到姐姐吉爾帕蒂 家中。過了兩個月，年僅39歲的帕斯卡在一陣驚厥以后再也沒有復 蘇過來。逝世以后的檢查發現，他的胃和其他重要器官都有致命的 疾病，大腦也有嚴重損傷，但是盡管這樣，他在數學上作出了偉大 的貢獻，在文學上蜚聲遐邇。帕斯卡和他的同時代人笛卡兒、費馬 一樣，成為法蘭西民族的驕傲，受到進步人類深深的懷念和尊敬。

第二篇：馬云啟示錄

馬云啟示錄

【馬云：我最遺憾的錯誤】01年，我犯了一個錯誤，我告訴我的18位共同創業同仁，他們只能做小組經理，而所有的副總裁都得從外面聘請。現在十年過去了，我從外面聘請的人才都走了，而我之前曾懷疑過其能力的人都成了副總或董事。我相信兩個信條：態度比能力重要，選擇同樣也比能力重要！

【馬云：不能統一人的思想但可以統一人的目標】千萬不要相信你能統一人的思想，那是不可能的。30%的人永遠不可能相信你，不要讓你的同事為你干活，而讓他們為我們的共同目標干活，團結在一個共同的目標下，要比團結在一個人周圍容易的多。

【馬云提醒：細節好的人格局一般都差】1.有人覺得我牛，6分鐘說服了孫正義，其實是他說服了我。見孫正義之前，我在硅谷至少被拒絕了40次。2.做企業贏在細節，輸在格局。3.格局，“格”是人格，“局”是胸懷，細節好的人格局一般都差，格局好的人從來不重細節，兩個都干好，那叫太有才!

【馬云：領導比員工多什么？】領導永遠不要跟下屬比技能，下屬肯定比你強；如果不比你強，說明你請錯人了。1）要比眼光：比他看得遠；2）要比胸懷：男人的胸懷是委屈撐大的，要能容人所不容；3）要比實力：抗失敗的能力比他強；一個優秀的領導人的素質就是眼光、胸懷和實力。

【馬云：領導別當勞模】當干部之前你一定要讓他學習怎樣當干部，有很多干部是勞模干部，這類人很勤奮，如果你把他升為經理，他覺得領導喜歡我這樣當經理，凡是帶頭干，但他卻不能培養激勵下屬。真正優秀的領導是能讓下屬成為勞模的人，而不是自己當勞模。

【馬云：中國商人千萬別在“紅道”上混】①人一輩子要明白錢和權兩個東西是絕對不要碰在一起，當了官永遠不要想有錢，當了商人千萬別想權；②錢和權這兩個東西碰在一起就是炸藥和****碰在一起，必然要爆炸；③胡雪巖悲哀就悲在于他是紅頂商人；④中國商人千萬別在紅道上混。

【馬云：年輕人必須思考的4大問題】1.什么是失敗？放棄就是最大的失敗。2.什么叫堅強？經歷許多磨難、委屈、不爽，你才知道什么叫堅強。3.你的職責是什么？比別人多勤奮一點、多努力一點、多一點理想，這就是你的職責。4.傻瓜用嘴講話，聰明人用腦袋講話，智者用心講話。

【馬云：人生在世在做人，不是做事】我跟自己講我們到這個世界上不是來工作的，我們是來享受人生的，我們是來做人不是做事。如果一輩子都做事的話，忘了做人，將來一定會后悔。不管事業多成功、多偉大、多了不起，記住我們到這個世界就是享受經歷這個人生的體驗。忙著做事一定會后悔。

【馬云：工作不要太認真快樂就行】我特討厭認真工作的人，工作不要太認真，工作快樂就行，因為只有快樂讓你創新，認真只會更多的KPI、更多的壓力、更多的埋怨，真正把自己變成機器，我們不管多偉大、多勤奮、多痛苦，永遠記住做一個實實在在、舒舒服服的人，因為人才是讓我們最美。

【馬云:高手的競爭論】1.一定要爭得你死我活的商戰是最愚蠢的。2.眼睛中全是敵人,外面就全是敵人。3.競爭的時候不要帶仇恨,帶仇恨一定失敗。4.競爭樂趣就像下棋一樣,你輸了,我們再來過,兩個棋手不能打架。5.領導者的胸懷,就是被冤枉撐大的。6.真正做企業是沒有仇人的,心中無敵,天下無敵。

【馬云：胸懷是委屈撐大的】1）男人的胸懷是委屈撐大的；2）明白自己有什么，明白自己要什么，明白自己放棄什么；3）賺錢只是結果，不是我的目的；4）心中無敵就無敵于天下；5）我們缺的不是鈣而是愛。

【馬云：別把抱怨當習慣】人是退化最嚴重的動物。跟獸比人很“弱肢”，和狗比人很“聞盲”，但人類“進化”了抱怨。偶爾為之無大礙，但當抱怨成習慣，就如喝海水，喝的越多渴得越厲害。最后發現，走在成功路上的都是些不抱怨的“傻子們”。世界不會記得你說了什么，但一定不會忘記你做了什么！

【馬云給初創企業者的忠告】

1、大家看不清的機會，才是真正的機會。

2、讓員工笑著干活。

3、客戶第一、員工第二、股東第三。

4、少聽成功學，多聽失敗學。

5、搶在變化之前先變。

6、忘掉money，忘掉賺錢。

7、小聰明不如傻堅持。

8、心態決定姿態，姿態決定狀態。

【馬云談創業】：1.一個好的東西往往是說不清楚的，說得清楚的往往不是好東西！2.創業要找最合適的人，不一定要找最成功的人。3.這世界最不可靠的東西就是關系。4.免費是世界上最昂貴的東西。5.今天很殘酷，明天更殘酷，后天很美好。

【馬云“四不”創業智慧】

1、創業最怕就是看不見，看不起，看不懂，跟不上；

2、看不見對手在哪里，看不起對手，看不懂對手為什么可以變得那么強，然后就跟不上了；

3、即使對手很弱小，也一定要把對方看的很強大，即使對手很強大，也不一定要把自己看的很弱小。

【馬云當你決定要創業時】便意味著

1、沒有了穩定的收入；

2、沒有了請假的權利；

3、沒有了得紅包的機會。然而卻更意味著：

1、收入不再受限制；

2、時間運用更有效；

3、手心向下不求人，想法若不同，結果便不同；選擇不一樣，生活才變樣。

如果一個方案有90%的人說“好”的話，我一定要把它扔到垃圾桶里去。因為這么多人說好的方案，必然有很多人在做了，機會肯定不會是我們的了——馬云

第三篇：2016考研數學 費馬定理

考研交流學習群【198233974】

對于中值定理這部分的學習，很多同學都感到很困惑。然而中值定理又是我們考研數學中的難點，這部分的試題靈活性，綜合性比較強，對考生的思維要求比較高，同時這一部分在考試中經常是出證明題，學生的得分率比較低，這里我幫助同學們一起學習中值定理。首先是要理解并記憶定理的內容;二是記住定理的證明過程，并掌握這一部分試題主題的證明思想。費馬定理是三大中值定理的引理，很多同學在復習的時候經常忽略，下面中公考研數學輔導老師就帶大家來看費馬定理。

對于費馬定理這個內容主要是說明，如果要證函數發f(x)在一點的導數為零，只要證明在這點取極值(極大值或極小)，則存在導數等于零。

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羅爾定理的證明是會用到費馬定理的，對于費馬定理一定要掌握。

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第四篇：費馬點

費馬點定義費馬點定義費馬點定義費馬點定義 在一個多邊形中，到每個頂點距離之和最小的點叫做這個多邊形的費馬點費馬點費馬點費馬點。在平面三角形中:(1).三內角皆小于三內角皆小于三內角皆小于三內角皆小于120°的三角形的三角形的三角形的三角形，，分別以分別以分別以分別以 AB,BC,CA，，為邊為邊為邊為邊，，向三角形外側做正三角形向三角形外側做正三角形向三角形外側做正三角形向三角形外側做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后連接然后連接然后連接然后連接AA1,BB1,CC1,則三線交于一點則三線交于一點則三線交于一點則三線交于一點P,則點則點則點則點P就是所求的費馬點就是所求的費馬點就是所求的費馬點就是所求的費馬點.(2).若三角形有一內角大于或等于若三角形有一內角大于或等于若三角形有一內角大于或等于若三角形有一內角大于或等于120度度度度,則此鈍角的頂點就是所求則此鈍角的頂點就是所求則此鈍角的頂點就是所求則此鈍角的頂點就是所求.(3)當當當當△△△△ABC為等邊三角形時為等邊三角形時為等邊三角形時為等邊三角形時,此時外心與費馬點重合此時外心與費馬點重合此時外心與費馬點重合此時外心與費馬點重合 證明證明證明證明(1)費馬點對邊的張角為120度。△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1, △CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B 同理可得∠CBP=∠CA1P 由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度 同理,∠APB=120度，∠APC=120度(2)PA+PB+PC=AA1 將△BPC以點B為旋轉中心旋轉60度與△BDA1重合，連結PD，則△PDB為等邊三角形，所以∠BPD=60度 又∠BPA=120度，因此A、P、D三點在同一直線上，又∠APC=120度，所以A、P、D、A1四點在同一直線上，故PA+PB+PC=AA1。(3)PA+PB+PC最短 在△ABC內任意取一點M（不與點P重合），連結AM、BM、CM，將△BMC以點B為旋轉中心旋轉60度與△BGA1重合，連結AM、GM、A1G(同上)，則AA1

費馬在光學方面，確立了幾何光學的重要原理，命名為費馬原理。這一原理是幾何光學的最重要基本理論之一，對于笛卡兒的“光在密媒質中比在疏媒質中傳播要快”的觀點給予了有力的反駁，把幾何光學的發展推向了新的階段。

幾何光學已有悠久的發展歷史。公元前400年，我國《墨經》中便有光的直線傳播和各種面鏡對光的反射的記載。公元100年亞歷山大里亞的希羅（Hero）曾提出過光在兩點之間走最短路程的看法。托勒密在公元130年對光的折射進行過研究。公元1611年開普勒對光學的研究達到了較高的定量程度。最后，1621年斯涅爾總結出了光的折射定律。費馬則是用數學方法證明了折射定律的主要學者之一。費馬原理是根據經濟原則提出的，它指出：光沿著所需時間為極值的路徑傳播。可以理解為，光在空間沿著光程為極值的路傳播，即沿光程為最小、最大或常量路徑傳播。費馬定理不但是正確的，同時它與光的反射定律和折射定律具有同等的意義。由于費馬原理的確立，幾何光學發展到了費馬（Pierre De Fermat)是法國數學家，1601年8月17日出生于法國南部圖盧茲附近的博蒙·德·洛馬涅。費馬曾提出關于三角形的一個有趣問題：在三角形所在平面上，求一點，使該點到三角形三個頂點距離之和最小．人們稱這個點為“費馬點”.引例：有甲乙丙三個村莊，要在中間建一供水站向三地送水，現要確定供水站的位置以使所需管道總長最小？將此問題用數學模型抽象出來即為：在△ ABC中確定一點P，使P到三頂點的距離之和PA+PB+PC最小。解法如下：分別以AB AC為邊向外側作正三角形ABD ACE 連結CD BE交于一點，則該點 即為所求P點。證明：如下圖所示。連結PA、PB、PC,在△ABE和△ACD中，AB=AD AE=AC ∠BAE=∠BAC+60° ∠DAC=∠BAC+60°=∠BAE ∴△ABE全等△ACD。∴ ∠ABE=∠ADC 從而A、D、B、P四點共圓∴∠APB=120°，∠APD=∠ABD=60°同理：∠APC=∠BPC=120°以P為圓心，PA為半徑作圓交PD于F點，連結AF，以A為軸心將△ABP順時針旋轉60°，已證∠APD=60°∴△APF為正三角形。∴不難發現△ABP與△ADF重合。∴BP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD另在△ABC中任取一異于P的點G，同樣連結GA、GB、GC、GD，以B為軸心將△ABG逆時針旋轉60°，記G點旋轉到M點.。則△ABG與△BDM重合，且M或 在 線 段DG上 或 在DG外。GB+GA=GM+MD≥GDGA+GB+GC≥GD+GC>DC。從而CD為最短的線段。以上是簡單的費馬點問題，將此問題外推到四點，可驗證四邊形的對角線連線的交點即是所求點。較為完善的程度。

第五篇：太極大師馬虹個人簡歷

太極大師馬虹個人簡歷

馬虹(1927一)，原名郭毓，河北深州市前磨頭鎮人。陳氏太極拳第十一代傳人。現任河北省石家莊市武協副主席，石家莊陳氏太極拳研究會會長、河南溫縣國際太極學年會組委會副秘書長。1994年被國際太極拳年會評審委員會評為全國當代13名太極學大師之一。

1948年畢業于華北聯大中文系，長期從事教育、寫作和編輯工作。五十年代任機關秘書，整天加班加點，繁重的腦力勞動累垮了他的身體。起初是神經衰弱，夜不成眠，隨之是頭痛、胃痛、腎炎、關節炎、過敏性鼻炎接踵而來，本來瘦小的身材，一下子駝背、勾腰、腿軟，打壺開水上三樓也得中間喘氣定息，多方求醫問診，皆不奏效。無奈中他接受一位老中醫的指點，開始學練太極拳。不料想練掌練出奇跡，一年后周身疾病云消霧散。他大喜過望，深感太極拳健身除病的神妙，決心研究太極拳。1972年，北上京城，拜陳照奎為師，傾注全部心血刻苦實踐、潛心鉆研。前后隨師習拳達九年之久，盡得陳氏家傳傳統太極拳拳譜、拳理、拳法之奧秘。根據先師生前授拳時他的大量筆記資料和幾十年研究成果整理出版了《陳式太極拳體用全書》、《陳式太極拳技擊法》、《陳式太極拳拳理闡微》三部力著。

馬虹多次參加全省、全國太極拳比賽和邀請賽，均取得優異成績。1982年他倡導成立了第一個“陳氏太極拳研究會”，創辦了刊物《陳氏太極拳研究》，在全國22個省、市、自治區開辦傳授站80多個，他的學生遍及全國30個省、市、自治區和香港特區。并先后應邀到美國、馬來西亞、意大利、加拿大、新西蘭等國家講學、授拳。他還在海內外有關刊物上先后發表太極拳學術論文30多篇。

1988年，馬虹從石家莊市政協離休后，專心致志從事傳統陳氏太極拳的繼承、整理、研究和傳播工作，為弘揚陳氏太極學以造福人類，做出了重要貢獻。