第一篇：成人高考高等數(shù)學二

成人高考高等數(shù)學復習及考試方法

考生要在成人高考中取得好成績，必須深刻理解《復習考試大綱》所規(guī)定的內(nèi)容及相關的考核要求，在知識內(nèi)容上要分清主次、突出重點。在考核要求方面，弄清要求的深度和廣度。要全面復習、夯實基礎，要將相關知識點進行橫向和縱向的梳理，建立知識網(wǎng)絡，對考試大綱所列知識點，力求做到心中有數(shù)、融會貫通。

高數(shù)一大綱提示（總分150分、考試時間150分鐘、閉卷、筆試）：

高數(shù)二大綱提示（總分150分、考試時間150分鐘、閉卷、筆試）：

一元函數(shù)、極限連續(xù)大概占20多分，這些都是每年必須要考到的。一元微積分、微分學，這個占得挺多的，大概占40—50%。如果要是高數(shù)二，知識面考得少一些，集中一些，但是題的分量就重一些，比如說每年有二元的微積分，多元函數(shù)的微積分，這里面可能會出現(xiàn)比較難、刁鉆一些的題。高數(shù)

一、數(shù)二，不像高中起點的，可能差異稍稍大一點。考生可以根據(jù)不同的專業(yè)、考試類別，不管怎么樣，前面的一元函數(shù)、極限、一元函數(shù)的微分、積分是一個基本的東西，也是最拿分的東西，一定要把它們做熟了。比如說求極限的幾種方式，求微分的幾種方式，以及求倒數(shù)，都會面面俱到，學員還是要把握住歷年的考題，把握住大綱的要求，把握住考試卷，就應該能把握住會考什么。

1、注意以《大綱》為依據(jù)。

弄清《高等數(shù)學》

（一）和《高等數(shù)學》(二)在知識內(nèi)容及相關考核要求上的區(qū)別。這種區(qū)別主要體現(xiàn)在兩個方面：其一是在共有知識內(nèi)容方面，同一章中要求掌握的知識點，或同一知識點要求掌握的程度不盡相同。如在一元函數(shù)微分學中，《高等數(shù)學》(一)要求掌握求反函數(shù)的導數(shù)、掌握求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導方法，會求簡單函數(shù)的n階導數(shù)，理解羅爾定理、拉格朗日中值定理，但上述知識點對《高等數(shù)學》(二)并不做要求；又如在一元函數(shù)積分學中，《高等數(shù)學》(一)要求掌握三角換元求不定積分，其中包括正弦變換、正切變換和正割變換，而《高等數(shù)學》(二)對正割變換不做考核要求。

其二是在不同的知識內(nèi)容方面，《高等數(shù)學》

（一）考核內(nèi)容中有二重積分，而《高等數(shù)學》(二)對二重積分并不做考核要求；再有《高等數(shù)學》

（一）有無窮級數(shù)、常微分方程，高數(shù)(二)均不做要求。從試卷中可以看出，高等數(shù)學

（一）比《高等數(shù)學》(二)多出來的這部分知識點，在考題中大約能占到30%的比例。共計45分左右。所以理科、工科類考生應按照《大綱》的要求全面認真復習。

2、對概念的理解。

考生要加強對高等數(shù)學中基本概念、基本方法和基本技能的理解和掌握，要努力提高運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力，特別是綜合運用知識解決實際問題的能力。

3、要在學習方法上追求學習效益。

加強練習，注重解題思路和解題技巧的培養(yǎng)和訓練，對基本概念、基本理論、基本性質(zhì)能進行多側(cè)面、多層次、由此及彼、由表及里的思索和辨析，對基本公式、基本方法、基本技能要進行適度、適量的練習，在練習中加強理解和記憶，理解和記憶是相輔相承的，理解中加深記憶，記憶有助于更深入地理解，死記硬背是暫時的，只有理解愈深，才能記憶愈牢。

4、加強練習

熟悉考試中各種題型，要掌握選擇題、填空題和解答題等不同題型的解題方法與技巧。練習中要注意分析、總結、歸納、類比，掌握思考問題和處理問題的正確方法，尋求一般性的解題規(guī)律，從而提高解題能力。

在專升本考試中，《高等數(shù)學》是一門重要的公共基礎課程，也是考試成績上升空間較大的一門課程。學好數(shù)學同學好其他學科一樣，都要付出辛勤的汗水和艱辛的努力。

5、考前一個月沖刺備考建議 還有1個多月的時間，要是在這段時間里面設計一個自己復習計劃，至少在前十天看看題，一步一個腳印踏踏實實的掌握這些概念、公式。考試之前該背的要背，要上口背，這樣不容易忘。有的公式是根據(jù)特點去背，包括三角函數(shù)公式、導數(shù)公式、微積分的公式，這些都得背下來。不但背公式，還得掌握方法，方法如果會的話可以復習一下，如果不會的話可以從模仿入手。能夠把公式運用起來，多做幾道題對公式的運用和內(nèi)涵就了解了。這個時候可以做一些做過的題，或者是做一些自己能做的題，不要摳難題。難題之所以難有兩條，一個是綜合性強，一個是技巧性。綜合性太強的話，如果知識學的不牢固的話，我們還沒有適應綜合性的能力，往往會使你喪失信心。如果技巧性太強，技巧也有基本的方法，也有一些特殊的技巧。前兩年專升本也好，高中起點也好，都可能從里面出一些小技巧的東西，這也是想把一般考生和好的考生區(qū)分開來，增加試卷區(qū)分度，如果過分強調(diào)技巧，往往會在基本概念里面丟分，這樣會得不償失。所以說基本的東西不能丟。做一做常見的題，做一做做過的題，做一做會做的題，溫故而知新，做過的題要做懂了。考生把握住這兩條，應該可以在考試中取得好成績。

6、最后這段時間，單靠記公式行不行？

公式必須得會，歷年考得就那么幾道類型題，都弄會了也不是很難。建議考生循序漸進，一步一步的走，如果跳躍式學習，會覺得力不從心。所以一步一步的走，走到那兒是哪兒，這沒關系，如果非得滿分的話，也不現(xiàn)實，把自己會做的分都做出來。

7、考試過程中需要注意哪些地方

因為很多學員的高數(shù)學學習起來比較倉促，沒有像高中或者初中的數(shù)學學習那么扎實，沒做那么多作業(yè)，運算錯誤率特別高。有些比較相近的公式也容易記錯了，這就會造成不應該丟的分丟了，會做的題目，知道怎么做，就要仔細。平時可能一分丟了，還看不出來不覺得，但考試的時候不是這樣，這是要丟分的。還是要盡量少有失誤，爭取每做一道題，對一道題，不求做的多，只求做的準確。

8、基本公式

一、基本初等函數(shù)

1.常數(shù)函數(shù)： y=c，(c為常數(shù))2.冪函數(shù)： y=xn ,(n為實數(shù))3.指數(shù)函數(shù)： y=ax ,(a＞0、a≠1)4.對數(shù)函數(shù)： y=loga x ,(a＞0、a≠1)5.三角函數(shù)： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函數(shù)：y=arcsin x, y=arccon x 二、三角函數(shù)公式 1 兩角和公式 1 2

倍角公式 半角公式

4、和差化積

三、兩個重要極限

四、導數(shù)與微分 1 求導與微分法則1、2、3、（u +v）’=u’+ v’ 導數(shù)及微分公式

五、不定積分表（基本積分）

1、

第二篇：成人高考專升本高等數(shù)學二概念和筆記公式

成人高考專升本高等數(shù)學二概念和筆記公式

第一章節(jié)公式

由

（1）對數(shù)的性質(zhì)：

①負數(shù)和零沒有對數(shù)；②1的對數(shù)是零；③底數(shù)的對數(shù)等于1。

（2）對數(shù)的運算法則：

①

②

③

④

3、對數(shù)換底公式：

由換底公式推出一些常用的結論：

（1）

（2）

（3）

（4）

三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，的遞增區(qū)間是，數(shù)列極限的四則運算法則

如果那么

推廣：上面法則可以推廣到有限多個數(shù)列的情況。例如，若，有極限，則：

特別地，如果C是常數(shù)，那么

函數(shù)極限的四算運則

如果那么

推論設都存在，為常數(shù)，為正整數(shù)，則有：

無窮小量的比較：

x與n同時趨向+￥

由夾擠準則

第二章節(jié)公式

1.導數(shù)的定義：

函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率是

＝，我們稱它為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0即f′(x0)＝

.2．導數(shù)的幾何意義

函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)就是切線的斜率k，即k＝

＝f′(x0)．

3．導函數(shù)(導數(shù))

當x變化時，f′(x)便是x的一個函數(shù)，我們稱它為f(x)的導函數(shù)(簡稱導數(shù))，y＝f(x)的導函數(shù)有時也記作y′，即f′(x)＝y(tǒng)′＝

.4．幾種常見函數(shù)的導數(shù)

(1)c′＝0(c為常數(shù))，(2)(xn)′＝nxn－1(n∈Z)，(3)(ax)′＝axlna(a＞0,a1),(ex)′＝ex

(4)(lnx)′＝，(logax)′＝logae=(a＞0,a1)

(5)(sinx)′＝cosx，(6)(cosx)′＝－sinx

(7),(8)

(9),(10)

(11),(12)

5．函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)

(u±v)′＝u′±v′，(uv)′＝u′v＋uv′

′＝，(ku)′＝cu′(k為常數(shù))．

(uvw)′＝u′vw＋uv′w+

uvw′

微分公式：

（1）

(7),(8)

(9),(10)

(11),(12)

6．微分的四算運則

d(u±v)＝du±dv，d(uv)＝v

du＋udv

d(ku)＝kdu(k為常數(shù))．

洛必達法則：在一定條件下通過分子分母分別求導，再求極限來確定未定式的值的方法。

7.導數(shù)的應用：

=0的點為函數(shù)的駐點，求極值；

(1)時，;，;

(2)時，;，;

(3)

;

=0的點為函數(shù)的拐點，求凹凸區(qū)間；

第三章知識點概況

不定積分的定義：函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)稱為函數(shù)f(x)的不定積分，記作，并稱為積分符號，函數(shù)為被積函數(shù)，為被積表達式，x為積分變量。

不定積分的性質(zhì)：

基本積分公式：

換元積分（湊微分）法：

1.湊微分。對不定積分，將被積表達式g(x)dx湊成2.作變量代換。令3.用公式積分，并用換式中的u

常用的湊微分公式主要有：

分部積分法：適用于分部積分法求不定積分的常見題型及u和dv的選取法

上述式中的P（x)為x的多項式，a,b為常數(shù)。

一些簡單有理函數(shù)的積分，可以直接寫成兩個分式之和，或通過分子加減一項之后，很容易將其寫成一個整式與一個分式之和或兩個分式之和，再求出不定積分。

定積分:

(1)定積分的值是一個常數(shù)，它只與被積函數(shù)f(x)及積分區(qū)間[a,b]有關，而與積分變量的字母無關，即應有

（2）在定積分的定義中，我們假定a

如果a=b,則規(guī)定：

（3）對于定義在上的連續(xù)奇（偶）函數(shù)，有

為奇函數(shù)

為偶函數(shù)

定積分的性質(zhì)：

定積分的計算：

一、變上限函數(shù)

設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，并且設x為上的任一點，于是，在區(qū)間上的定積分為

這里x既是積分上限，又是積分變量，由于定積分與積分變量無關，故可將此改為

如果上限x在區(qū)間上任意變動，則對于每一個取定的x值，定積分有一個確定值與之對應，所以定積分在上定義了一個以x為自變量的函數(shù)，我們把稱為函數(shù)在區(qū)間上變上限函數(shù)

記為

推理：

定積分計算公式

利用定義計算定積分的值是十分麻煩的，有時甚至無法計算。因此，必須尋求計算定積分的簡便方法。

我們知道：如果物體以速度作直線運動，那么在時間區(qū)間上所經(jīng)過的路程s為

圖

5-11

另一方面，如果物體經(jīng)過的路程s是時間t的函數(shù)，那么物體從t=a到t=b所經(jīng)過的路程應該是（見圖5-11）

即

由導數(shù)的物理意義可知：即是一個原函數(shù)，因此，為了求出定積分，應先求出被積函數(shù)的原函數(shù)，再求在區(qū)間上的增量即可。

如果拋開上面物理意義，便可得出計算定積分的一般方法：

設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是的一個原函數(shù)，即，則

這個公式叫做牛頓-萊布尼茲公式。

為了使用方便，將公式寫成牛頓-萊布尼茲公式通常也叫做微積分基本公式。它表示一個函數(shù)定積分等于這個函數(shù)的原函數(shù)在積分上、下限處函數(shù)值之差。它揭示了定積分和不定積分的內(nèi)在聯(lián)系，提供了計算定積分有效而簡便的方法，從而使定積分得到了廣泛的應用。

定積分的換元公式：

計算要領是：定積分的分部積分法：

y

a

o

b

x

圖5.8

5.4.2定積分求平面圖形的面積

1.直角坐標系下面積的計算

(1)由曲線和直線所圍成曲邊梯形的面積的求法前面已經(jīng)介紹，此處不再敘述.(2)求由兩條曲線，及直線所圍成平面的面積（如圖5.8所示）.下面用微元法求面積.①取為積分變量，.②在區(qū)間上任取一小區(qū)間，該區(qū)間上小曲邊梯形的面積可以用高，底邊為的小矩形的面積近似代替，從而得面積元素

.③寫出積分表達式，即

.⑶求由兩條曲線，及直線所圍成平

o

x

y

d

y+dy

y

c

面圖形（如圖5.9）的面積.這里取為積分變量，用類似

(2)的方法可以推出：

.例5.4.1

求由曲線與

圖5.9

所圍圖形的面積.解

先畫出所圍的圖形（如圖5.10）

由方程組，得兩條曲線的交點為，取為積分變量，.由公式得

.o

x

A(2,-2)

y

B(8,4)

圖5.11

o

x

y

A

(1,1)

圖5.10

例5.4.2

求曲線與所圍圖形的面積.解

畫出所圍的圖形（如圖5.11）.由方程組得兩條曲線的交點坐標為，取為積分變量，.將兩曲線方程分別改寫為得所求面積為

.注

本題若以為積分變量，由于圖形在兩個區(qū)間上的構成情況不同，因此需要分成兩部分來計算，其結果應為：

.顯然，對于例5.4.2選取作為積分變量，不如選取作為積分變量計算簡便.可見適當選取積分變量，可使計算簡化.3．定積分求體積

(1)旋轉(zhuǎn)體的體積

旋轉(zhuǎn)體是一個平面圖形繞這平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)而成的立體.這條直線叫做旋轉(zhuǎn)軸.設旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線和直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成（如圖5.15）.取為積分變量，它的變化區(qū)間為，在上任取一小區(qū)間，相應薄片的體積近似于以為底面圓半徑，為高的小圓柱體的體積，從而得到體積元素為，于是，所求旋轉(zhuǎn)體體積為

.o

a

x

x+dx

b

x

y

圖5.15

o

x

y

d

y+dy

y

y

圖5.16

c

類似地，由曲線和直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成（如圖5.16），所得旋轉(zhuǎn)體的體積為

.例5.4.5

求由橢圓繞軸及軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解

(1)繞軸旋轉(zhuǎn)的橢球體如圖5.17所示,它可看作上半橢圓與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成.取為積分變量，由公式所求橢球體的體積為

.(2)繞軸旋轉(zhuǎn)的橢球體,可看作右半橢圓與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成（如圖5.18所示）,取為積分變量，由公式所求橢球體體積為

b

o

x

y

圖5.18

.當時,上述結果為,這就是大家所熟悉的球體的體積公式.(2)平行截面面積為已知的立體體積

設一物體被垂直于某直線的平面所截的面積可求，則該物體可用定積分求其體積.不妨設直線為軸，則在處的截面面積是的已知連續(xù)函數(shù)，求該物體介于和之間的體積（如圖5.19）.o

a

x

x+dx

b

x

圖5.19

取為積分變量，它的變化區(qū)間為，在微小區(qū)間上近似不變，即把上的立體薄片近似看作

為底，為高的柱片，從而得

到體積元素.于是該物體的體積為.第四章知識點多元函數(shù)微分學

§4.1

偏導數(shù)與全微分

一.主要內(nèi)容：

㈠.多元函數(shù)的概念

1.二元函數(shù)的定義：

2.二元函數(shù)的幾何意義：

二元函數(shù)是一個空間曲面。（而一元函數(shù)是平面上的曲線）

Z=ax+by+c表示一個平面；

表示球心在原點、半徑為R的上半個球面；，表示開口向上的圓錐面；，表示開口向上的旋轉(zhuǎn)剖物面。

㈡.二元函數(shù)的極限和連續(xù)：

1.極限定義：設z=f(x,y)滿足條件：

2.連續(xù)定義：設z=f(x,y)滿足條件：

㈢.偏導數(shù)：

㈣.全微分：

1.定義：z=f(x,y)

則稱

在點(x,y)處的全微分。

3.全微分與偏導數(shù)的關系

㈤.復全函數(shù)的偏導數(shù)：

1.2.㈥.隱含數(shù)的偏導數(shù)：

1.2.㈦.二階偏導數(shù)：

（八）隱函數(shù)的導數(shù)和偏導數(shù)

(九).二元函數(shù)的無條件極值

1.二元函數(shù)極值定義：

☆

極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點。

2.極值的必要條件：

兩個一階偏導數(shù)存在，則：

而非充分條件。

例：

∴駐點不一定是極值點。

3.極值的充分條件：

求二元極值的方法：

二倍角公式：(含萬能公式)

①

②

③

④

⑤

第五章排列與組合（1）加法原理：完成一件事情與分類有關，即每一類各自獨立完成，此事即可完成。

（2）乘法原理：完成一件事情與步驟有關，即一次完成每一步驟，此事才能完成。

排列：從n個不同元素里，任取個元素，按照一定的順序排列成一列，稱為從n個不同元素里取出m個元素的一個排列，計算公式：

組合：從n個不同元素里，任取個元素組成一組，叫做從n個不同元素里取出m個元素的一個組合，組合總數(shù)記為，計算公式：

第六章概率論

符號

概率論

集合論

樣本空間

全集

不可能事件

空集

基本事件

集合的元素

A

事件

子集

A的對立事件

A的余集

事件A發(fā)生導致

事件B發(fā)生

A是B的子集

A=B

A與B兩事件相等

集合A與B相等

事件A與事件B

至少有一個發(fā)生

A與B的并集

事件A與事件B同時發(fā)生

A與B的交集

A-B

事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生

A與B的差集

事件A與事件B互不相容

A與B沒有相同元素

由于隨機事件都可以用樣本空間中的某個集合來表示，于是事件間的關系和運算就可以用集合論的知識來討論和表示，為了直觀，可以用集合的韋恩圖來表示事件的各種關系和運算法則，一般用某個矩形區(qū)域表示樣本空間，該區(qū)域的一個子區(qū)域表示某個事件。于是各事件的關系運算如圖中的圖示所示。

各事件的關系運算如圖示：

9.完備事件組

n個事件，如果滿足下列條件：

（1）；

（2），則稱其為完備事件組。

顯然任何一個事件A與其對立事件構成完備事件組。

10.事件運算的運算規(guī)則：

（1）交換律

（2）結合律

（3）分配律

（4）對偶律

率的古典定義

定義：在古典概型中，若樣本空間所包含的基本事件總數(shù)為n，事件A包含的基本事件數(shù)為m，則事件A發(fā)生的概率為。

概率的基本性質(zhì)與運算法則

性質(zhì)1.0≤P(A)≤1

特別地，P(Φ)=0，P(Ω)=1

性質(zhì)2.若，則P(B-A)=P(B)-P(A)

性質(zhì)3.（加法公式）．對任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

推論1.若事件A，B互不相容（互斥），則P(A+B)=P(A)+P(B)

推論2.對任一事件A,有

推論3.對任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

條件概率、乘法公式、事件的獨立性

條件概率

定義1：設有事件A，B，且P(B)>0,稱

類似地，如果P(A)>0，則事件B對事件A的條件概率為

概率的乘法公式

乘法公式可推廣到有限多個事件的情況，例如對事件A,B,C,有

事件的獨立性

一般地說,P(A︱B)≠P(A)，即說明事件B的發(fā)生影響了事件A發(fā)生的概率。若P(A︱B)≠P(A)，則說明事件B的發(fā)生在概率意義下對事件A的發(fā)生無關,這時稱事件A，B相互獨立。

定義：對于事件A，B，若P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立。獨立試驗序列概型

在相同的條件下，獨立重復進行n次試驗，每次試驗中事件A可能發(fā)生或可能不發(fā)生，且事件A發(fā)生的概率為p，則在n次試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率為

一維隨機變量及其概率分布

（一）隨機變量

1.隨機變量

定義：設Ω為樣本空間，如果對每一個可能結果，變量X都有一個確定的實數(shù)值與之對應，則稱X為定義在Ω上的隨機變量，簡記作。

2.離散型隨機變量

定義：如果隨機變量X只能取有限個或無限可列個數(shù)值，則稱X為離散型隨機變量。

（二）分布函數(shù)與概率分布

1.分布函數(shù)

定義：設X是一個隨機變量，x是任意實數(shù)，則函數(shù)稱為隨機變量X的分布函數(shù)。

分布函數(shù)F(x)有以下性質(zhì)：

（2）F(x)是x的不減函數(shù)，即對任意

（4）F(x)是右連續(xù)的，即

（5）對任意實數(shù)a＜b,有P{a＜X≤b}=F(b)-F(a)

2.離散型隨機變量的概率分布

則稱上式為離散型隨機變量X的概率分布（或概率函數(shù)或分布列）。

離散型隨機變量X的概率分布也可以用下列列表形式來表示：

3.分布函數(shù)與概率分布之間的關系

若X為離散型隨機變量，則。

隨機變量的數(shù)字特征

1.數(shù)學期望

（1）數(shù)學期望的概念

定義：設X為離散型隨機變量，其概率函數(shù)為

若級數(shù)絕對收斂，則稱為X的數(shù)學期望，簡稱期望或均值，記作EX，即

（2）數(shù)學期望的性質(zhì)

①若C為常數(shù)，則E(C)=C

②若a為常數(shù)，則E(aX)=aE(X)

③若b為常數(shù)，則E(X+b)=E(X)+b

④若X,Y為隨機變量，則E(X+Y)=E(X)+E(Y)

2.方差

（1）方差的概念

定義：設X為隨機變量，如果存在，則稱為X的方差，記作DX，即

方差的算術平方根稱為均方差或標準差，對于離散型隨機變量X，如果X的概率函數(shù)為，則X的方差為

（2）方差的性質(zhì)

①若C為常數(shù)，則D(C)=0

②若a為常數(shù)，則

③若b為常數(shù)，則D(X+b)=D(X)

④

1、數(shù)列極限的存在準則

定理1.3（兩面夾準則）若數(shù)列{xn},{yn},{zn}滿足以下條件：

（1），（2），則

定理1.4

若數(shù)列{xn}單調(diào)有界，則它必有極限。

2、數(shù)列極限的四則運算定理。

（1）

（2），（3）當時，3、當x→x0時，函數(shù)f（x）的極限等于A的必要充分條件是

這就是說：如果當x→x0時，函數(shù)f（x）的極限等于A，則必定有左、右極限都等于A。

反之，如果左、右極限都等于A，則必有。

4、函數(shù)極限的定理

定理1.7（惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。

定理1.8（兩面夾定理）設函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)（可除外）滿足條件：

（1），（2），則有。

推論

：（1）

（2），（3）

5、無窮小量的基本性質(zhì)

性質(zhì)1　有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；

性質(zhì)2　有界函數(shù)（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的乘積是無窮小量。

性質(zhì)3　有限個無窮小量的乘積是無窮小量。

性質(zhì)4　無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。

6、等價無窮小量代換定理：

如果當時，均為無窮小量，又有且存在，則。

7、重要極限Ⅰ

8、重要極限Ⅱ是指下面的公式：

9、（2）

（3）

（4）

10、函數(shù)在一點處連續(xù)的性質(zhì)

由于函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而由極限的運算法則，可以得到下列連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

定理1.12（四則運算）設函數(shù)f（x），g（x）在x0處均連續(xù)，則

（1）f（x）±g（x）

在x0處連續(xù)，（2）f（x）·g（x）在x0處連續(xù)

（3）若g（x0）≠0，則在x0處連續(xù)。

定理1.13（復合函數(shù)的連續(xù)性）設函數(shù)u=g（x）在x=

x0處連續(xù)，y=f（u）在u0=g（x0）處連續(xù)，則復合函數(shù)y=f[g（x）]在x=

x0處連續(xù)。

定理1.14（反函數(shù)的連續(xù)性）設函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴格單調(diào)增加（或嚴格單調(diào)減少），則它的反函數(shù)x=f-1（y）也在對應區(qū)間上連續(xù)，且嚴格單調(diào)增加（或嚴格單調(diào)減少）

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x），有以下幾個基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）

如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在這個區(qū)間上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和m，則對于介于m和M之間的任何實數(shù)C，在[a，b]上至少存在一個ξ，使得

f（ξ）=C11、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x），有以下幾個基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）

如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在這個區(qū)間上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和m，則對于介于m和M之間的任何實數(shù)C，在[a，b]上至少存在一個ξ，使得

f（ξ）=C12、推論（零點定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號，則在[a，b]內(nèi)至少存在一個點ξ，使得

f（ξ）=013、初等函數(shù)的連續(xù)性

定理1.18　初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)。

利用初等函數(shù)連續(xù)性的結論可知：如果f（x）是初等函數(shù)，且x0是定義區(qū)間內(nèi)的點，則

f（x）在x0處連續(xù)

也就是說，求初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)某點處的極限值，只要算出函數(shù)在該點的函數(shù)值即可。

14、可導與連續(xù)的關系

定理2.1　如果函數(shù)y=f（x）在點x0處可導，則它在x0處必定連續(xù)。

15、由這個定理可知：若函數(shù)f（x）在x0不連續(xù)，則f（x）在x0處必定不可導。

16、導數(shù)的計算

1.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

（1）（C）＇=0

（2）（xμ）＇=μxμ-1

（3）（4）

（5）（ax）＇=axlna（a＞0,a≠1）

（6）（ex）＇=ex

（7）（8）

（9）（sinx）＇=cosx

（10）（cosx）＇=

-sinx

（11）（12）

（13）（secx）＇=secx·tanx

（14）（cscx）＇=

-cscx·cotx

（15）（16）

（17）（18）

2.導數(shù)的四則運算法則

設u=u（x），v=v（x）均為x的可導函數(shù)，則有

（1）（u±v）＇=u＇±v＇

（2）（u·v）＇=u＇·v+u·v＇

（3）（cu）＇=c·u＇

（4）

（5）

（6）（u·v·w）＇=u＇·v·w+u·v＇·w+u·v·w＇

3.復合函數(shù)求導法則

如果u=φ（x）在點x處可導，而y=f（u）在相應的點u=φ（x）處可導，則復合函數(shù)y=f[φ（x）]在點x處可導，且其導數(shù)為

同理，如果y=f（u），u=φ（v），v=ψ（x），則復合函數(shù)y=f[φ（ψ（x））]的導數(shù)為

4.反函數(shù)求導法則

如果x=φ（y）為單調(diào)可導函數(shù)，則其反函數(shù)y=f（x）的導數(shù)

17、微分的計算

dy=f′(x)dx

求微分dy只要求出導數(shù)f′(x)再乘以dx，所以我們前面學過的求導基本公式與求導法則完全適用于微分的計算。于是有下列的微分公式及微分法則：

（1）d（c）=0（c為常數(shù)）

（2）（為任意實數(shù)）

（6）d（ex）=exdx

（7）d（sin

x）=cos

xdx

（8）d（cos

x）=-sin

xdx

（17）d（c·u）=cdu18、微分形式不變性

設函數(shù)y=f(u)，則不論u是自變量還是中間變量，函數(shù)的微分dy總可表示為

dy=f′(u)du19、常用的湊微分公式：

1）、②，③

④，⑤，⑥

①，②③，④，⑤

⑥　⑦

20、常用的換元類型有：

被積函數(shù)類型

所用代換

代換名稱

正弦代換

正切代換

根式代換

21、定積分的基本性質(zhì)

（1）。（k為常數(shù)）。

（2）。

（3）。

（4）如果f（x）在區(qū)間[a,b]上總有f（x）≤g（x），則。

（5）

（6）設M和m分別為f（x）在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值，則有

（7）積分中值定理　如果f（x）在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在區(qū)間[a,b]上至少存在一點，使得

22、變上限定積分求導定理

1.變上限定積分定義

定義

積分上限x為變量時的定積分稱為變上限定積分。變上限定積分是積分上限x的函數(shù)，記作，一般有

2.變上限定積分求導定理

定理

如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則有

推論　①，②

③

23、計算定積分

1.牛頓——萊布尼茨公式

如果f(x)在區(qū)間[a,b]上的連續(xù)，且，則有

推論：(1)若f(x)為奇函數(shù)，則

(2)若f(x)為偶函數(shù)，則

2、定積分的分部積分法

24、定積分的應用

1.計算平面圖形的面積

(1)X型：曲線y=f(x)，y=g(x)(f(x)≥g(x))和直線x=a,x=b(a≤b)所圍成的平面圖形的面積A為。

(2)Y型：曲線和直線y=c,y=d(c≤d)，所圍成的平面圖形的面積A為。

2.旋轉(zhuǎn)體的體積

(1)X型

由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)≥0)和直線x=a,x=b(a

(2)Y型

由連續(xù)曲線和直線y=c,y=d(c

25、全微分

26、二元隱函數(shù)

設三元方程F(x,y,z)=0確定隱函數(shù)z=z(x,y)，如果F(x,y,z)對x,y,z存在連續(xù)偏導數(shù)，且，則z對x、y的偏導數(shù)為。

27、概率的基本性質(zhì)與運算法則

性質(zhì)1.0≤P(A)≤1，特別地，P(Φ)=0，P(Ω)=1

性質(zhì)2.若，則P(B-A)=P(B)-P(A)

性質(zhì)3.（加法公式）．對任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

推論1.若事件A，B互不相容（互斥），則P(A+B)=P(A)+P(B)

推論2.對任一事件A,有

推論3.對任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

28、條件概率

定義1：設有事件A，B，且P(B)>0,稱

29、概率的乘法公式，30、（1）數(shù)學期望的性質(zhì)

①若C為常數(shù)，則E(C)=C，②若a為常數(shù)，則E(aX)=aE(X)

③若b為常數(shù)，則E(X+b)=E(X)+b　④若X,Y為隨機變量，則E(X+Y)=E(X)+E(Y)

（2）方差的性質(zhì)

①若C為常數(shù)，則D(C)=0；②若a為常數(shù)，則

③若b為常數(shù)，則D(X+b)=D(X)；

④

第三篇：成人高考專升本高等數(shù)學二概念和筆記公式

第一章

函數(shù)、極限和連續(xù)

§1.1

函數(shù)

一、主要內(nèi)容

㈠

函數(shù)的概念

1.函數(shù)的定義:

y=f(x),x∈D

定義域:

D(f),值域:

Z(f).2.分段函數(shù):

3.隱函數(shù):

F(x,y)=

0

4.反函數(shù):

y=f(x)

→

x=φ(y)=f-1(y)

y=f-1

(x)

定理:如果函數(shù):

y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y

是嚴格單調(diào)增加(或減少)的；

則它必定存在反函數(shù)：

y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X

且也是嚴格單調(diào)增加(或減少)的。

㈡

函數(shù)的幾何特性

1.函數(shù)的單調(diào)性:

y=f(x),x∈D,x1、x2∈D

當x1＜x2時,若f(x1)≤f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)增加（）；

若f(x1)≥f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)減少（）；

若f(x1)＜f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)嚴格單調(diào)增加（）；

若f(x1)＞f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)嚴格單調(diào)減少（）。

2.函數(shù)的奇偶性：D(f)關于原點對稱

偶函數(shù)：f(-x)=f(x)

奇函數(shù)：f(-x)=-f(x)

3.函數(shù)的周期性：

周期函數(shù)：f(x+T)=f(x),x∈(-∞，+∞)

周期：T——最小的正數(shù)

4.函數(shù)的有界性：

|f(x)|≤M,x∈(a,b)

㈢

基本初等函數(shù)

1.常數(shù)函數(shù)：

y=c，(c為常數(shù))

2.冪函數(shù)：

y=xn,(n為實數(shù))

3.指數(shù)函數(shù)：

y=ax,(a＞0、a≠1)

4.對數(shù)函數(shù)：

y=loga

x,(a＞0、a≠1)

5.三角函數(shù)：

y=sin

x,y=con

x

y=tan

x,y=cot

x

y=sec

x,y=csc

x

6.反三角函數(shù)：y=arcsin

x,y=arccon

x

y=arctan

x,y=arccot

x

㈣

復合函數(shù)和初等函數(shù)

1.復合函數(shù)：

y=f(u),u=φ(x)

y=f[φ(x)],x∈X

2.初等函數(shù):

由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算（加、減、乘、除）和復合所構成的，并且能用一個數(shù)學式子表示的函數(shù)

§1.2

極

限

一、主要內(nèi)容

㈠極限的概念

1.數(shù)列的極限:

稱數(shù)列以常數(shù)A為極限;

或稱數(shù)列收斂于A.定理:

若的極限存在必定有界.2.函數(shù)的極限：

⑴當時，的極限：

⑵當時，的極限：

左極限：

右極限：

⑶函數(shù)極限存的充要條件：

定理：

㈡

無窮大量和無窮小量

1.無窮大量：

稱在該變化過程中為無窮大量。

X再某個變化過程是指：

2.無窮小量：

稱在該變化過程中為無窮小量。

3.無窮大量與無窮小量的關系：

定理：

4.無窮小量的比較：

⑴若,則稱β是比α較高階的無窮小量；

⑵若

（c為常數(shù)），則稱β與α同階的無窮小量；

⑶若，則稱β與α是等價的無窮小量，記作：β～α；

⑷若,則稱β是比α較低階的無窮小量。

定理：若：

則：

㈢兩面夾定理

1．數(shù)列極限存在的判定準則：

設：

（n=1、2、3…）

且：

則：

2．函數(shù)極限存在的判定準則：

設：對于點x0的某個鄰域內(nèi)的一切點

（點x0除外）有：

且：

則：

㈣極限的運算規(guī)則

若：

則：①

②

③

推論：①

②

③

㈤兩個重要極限

1．或

2．§1.3

連續(xù)

一、主要內(nèi)容

㈠

函數(shù)的連續(xù)性

1.函數(shù)在處連續(xù)：在的鄰域內(nèi)有定義，1o

2o

左連續(xù)：

右連續(xù)：

2.函數(shù)在處連續(xù)的必要條件：

定理：在處連續(xù)在處極限存在3.函數(shù)在處連續(xù)的充要條件：

定理：

4.函數(shù)在上連續(xù)：

在上每一點都連續(xù)。

在端點和連續(xù)是指：

左端點右連續(xù)；

右端點左連續(xù)。

a+

0

b-

x

5.函數(shù)的間斷點：

若在處不連續(xù)，則為的間斷點。

間斷點有三種情況：

1o在處無定義；

2o不存在；

3o在處有定義，且存在，但。

兩類間斷點的判斷：

1o第一類間斷點：

特點：和都存在。

可去間斷點：存在，但，或在處無定義。

2o第二類間斷點：

特點：和至少有一個為∞，或振蕩不存在。

無窮間斷點：和至少有一個為∞

㈡函數(shù)在處連續(xù)的性質(zhì)

1.連續(xù)函數(shù)的四則運算：

設，1o

2o

3o

2.復合函數(shù)的連續(xù)性：

則：

3.反函數(shù)的連續(xù)性：

㈢函數(shù)在上連續(xù)的性質(zhì)

1.最大值與最小值定理：

在上連續(xù)在上一定存在最大值與最小值。

y

y

+M

M

f(x)

f(x)

0

a

b

x

m

-M

0

a

b

x

a)

有界定理：

在上連續(xù)在上一定有界。

3.介值定理：

在上連續(xù)在內(nèi)至少存在一點，使得：，其中：

y

y

M

f(x)

C

f(x)

0

a

ξ

b

x

m

0

a

ξ1

ξ2

b

x

推論：

在上連續(xù)，且與異號在內(nèi)至少存在一點，使得：。

b)

初等函數(shù)的連續(xù)性：

初等函數(shù)在其定域區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。

第二章

一元函數(shù)微分學

§2.1

導數(shù)與微分

一、主要內(nèi)容

㈠導數(shù)的概念

1．導數(shù)：在的某個鄰域內(nèi)有定義，2．左導數(shù)：

右導數(shù)：

定理：在的左（或右）鄰域上連續(xù)在其內(nèi)可導，且極限存在；

則：

（或：）

3.函數(shù)可導的必要條件：

定理：在處可導在處連續(xù)

4.函數(shù)可導的充要條件：

定理：存在，且存在。

5.導函數(shù)：

在內(nèi)處處可導。

y

6.導數(shù)的幾何性質(zhì)：

是曲線上點

處切線的斜率。

o

x0

x

㈡求導法則

1.基本求導公式：

2.導數(shù)的四則運算：

1o

2o

3o

3.復合函數(shù)的導數(shù)：，或

☆注意與的區(qū)別：

表示復合函數(shù)對自變量求導；

表示復合函數(shù)對中間變量求導。

4.高階導數(shù)：

函數(shù)的n階導數(shù)等于其n-1導數(shù)的導數(shù)。

㈢微分的概念

1.微分：在的某個鄰域內(nèi)有定義，其中：與無關，是比較高

階的無窮小量，即：

則稱在處可微，記作：

2.導數(shù)與微分的等價關系：

定理：

在處可微在處可導，且：

3.微分形式不變性：

不論u是自變量，還是中間變量，函數(shù)的微分都具有相同的形式。

§2.2

中值定理及導數(shù)的應用

一、主要內(nèi)容

㈠中值定理

1.羅爾定理:

滿足條件:

y

a

o

ξ

b

x

a

o

ξ

b

x

2.拉格朗日定理：滿足條件:

㈡羅必塔法則：（型未定式）

定理：和滿足條件：

1o；

2o在點a的某個鄰域內(nèi)可導，且；

3o

則：

☆注意：1o法則的意義：把函數(shù)之比的極限化成了它們導數(shù)之比的極限。

2o若不滿足法則的條件，不能使用法則。

即不是型或型時，不可求導。

3o應用法則時，要分別對分子、分母

求導，而不是對整個分式求導。

4o若和還滿足法則的條件，可以繼續(xù)使用法則，即：

5o若函數(shù)是型可采用代數(shù)變

形，化成或型；若是型可

采用對數(shù)或指數(shù)變形，化成或型。

㈢導數(shù)的應用

1．切線方程和法線方程：

設：

切線方程：

法線方程：

2．曲線的單調(diào)性：

⑴

3.函數(shù)的極值：

⑴極值的定義：

設在內(nèi)有定義，是內(nèi)的一點；

若對于的某個鄰域內(nèi)的任意點，都有：

則稱是的一個極大值（或極小值），稱為的極大值點（或極小值點）。

⑵極值存在的必要條件：

定理：

稱為的駐點

⑶極值存在的充分條件：

定理一：

當漸增通過時，由（+）變（-）；

則為極大值；

當漸增通過時，由（-）變（+）；則為極小值。

定理二：

若，則為極大值；

若，則為極小值。

☆注意：駐點不一定是極值點，極值點也不一定是駐點。

4．曲線的凹向及拐點：

⑴若；則在內(nèi)是上凹的（或凹的），（∪）；

⑵

；則在內(nèi)是下凹的（或凸的），（∩）；

⑶

5。曲線的漸近線：

⑴水平漸近線：

⑵鉛直漸近線：

第三章

一元函數(shù)積分學

§3.1

不定積分

一、主要內(nèi)容

㈠重要的概念及性質(zhì)：

1．原函數(shù)：設：

若：

則稱是的一個原函數(shù)，并稱是的所有原函數(shù),其中C是任意常數(shù)。

2．不定積分：

函數(shù)的所有原函數(shù)的全體，稱為函數(shù)的不定積分；記作：

其中：稱為被積函數(shù)；

稱為被積表達式；

稱為積分變量。

3.不定積分的性質(zhì)：

⑴

或：

⑵

或：

⑶

—分項積分法

⑷

(k為非零常數(shù))

4.基本積分公式：

㈡換元積分法：

⒈第一換元法：（又稱“湊微元”法）

常用的湊微元函數(shù)有：

1o

2o

3o

4o

5o

6o

2.第二換元法：

第二換元法主要是針對含有根式的被積函數(shù)，其作用是將根式有理化。

一般有以下幾種代換：

1o

(當被積函數(shù)中有時)

2o

(當被積函數(shù)中有時)

3o

(當被積函數(shù)中有時)

4o

(當被積函數(shù)中有時)

㈢分部積分法：

1.分部積分公式：

2.分部積分法主要針對的類型：

⑴

⑵

⑷

⑷

⑸

其中：

（多項式）

3.選u規(guī)律：

⑴在三角函數(shù)乘多項式中，令，其余記作dv;簡稱“三多選多”。

⑵在指數(shù)函數(shù)乘多項式中，令，其余記作dv;簡稱“指多選多”。

⑶在多項式乘對數(shù)函數(shù)中，令，其余記作dv;簡稱“多對選對”。

⑷在多項式乘反三角函數(shù)中，選反三角函數(shù)

為u，其余記作dv;簡稱“多反選反”。

⑸在指數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)中，可任選一函數(shù)

為u，其余記作dv;簡稱“指三任選”。

㈣簡單有理函數(shù)積分：

1.有理函數(shù)：

其中是多項式。

2.簡單有理函數(shù)：

⑴

⑵

⑶

§3.2定積分

f(x)

一．

主要內(nèi)容

（一）.重要概念與性質(zhì)

1.定積分的定義：

O

a

x1

x2

xi-1

ξi

xi

xn-1

b

x

定積分含四步：分割、近似、求和、取極限。

定積分的幾何意義：是介于x軸，曲線y=f(x),直線x=a,x=b之間各部分面積的代數(shù)和。

x軸上方的面積取正號，y

x

軸下方的面積取負號。

+

+

a

0

b

x

2.定積分存在定理：

若：f(x)滿足下列條件之一:

若積分存在，則積分值與以下因素無關：

3.牛頓——萊布尼茲公式：

牛頓——萊布尼茲公式是積分學中的核心定理，其作用是將一個求曲邊面積值的問題轉(zhuǎn)化為尋找原函數(shù)及計算差量的問題。

4.原函數(shù)存在定理：

5.定積分的性質(zhì)：

y

y

y

f(x)

g(x)

f(x)

0

a

c

b

x

0

a

b

x

0

a

b

x

y

y

M

f(x)

f(x)

m

0

a

b

x

0

a

ξ

b

x

（二）定積分的計算：

1.換元積分

2.分部積分

3.廣義積分

4.定積分的導數(shù)公式

(三)定積分的應用

1.平面圖形的面積:

與x軸所圍成的圖形的面積

y

f(x)

①.求出曲線的交點，畫出草圖；

②.確定積分變量，由交點確定積分上下限；

③.應用公式寫出積分式，并進行計算。

2.旋轉(zhuǎn)體的體積

及x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積：

0

a

b

x

及y軸所圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積：

第四章

多元函數(shù)微積分初步

§4.1

偏導數(shù)與全微分

一.主要內(nèi)容：

㈠.多元函數(shù)的概念

c)

二元函數(shù)的定義：

d)

二元函數(shù)的幾何意義：

二元函數(shù)是一個空間曲面。（而一元函數(shù)是平面上的曲線）

㈡.二元函數(shù)的極限和連續(xù)：

1.極限定義：設z=f(x,y)滿足條件：

2.連續(xù)定義：設z=f(x,y)滿足條件：

㈢.偏導數(shù)：

㈣.全微分：

1.定義：z=f(x,y)

在點(x,y)處的全微分。

3.全微分與偏導數(shù)的關系

㈤.復全函數(shù)的偏導數(shù)：

1.2.㈥.隱含數(shù)的偏導數(shù)：

1.2.㈦.二階偏導數(shù)：

㈧.二元函數(shù)的無條件極值

1.二元函數(shù)極值定義：

極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點。

2.極值的必要條件：

兩個一階偏導數(shù)存在，則：

★

而非充分條件。

例：

∴駐點不一定是極值點。

e)

極值的充分條件：

求二元極值的方法：

極值點。

二倍角公式：(含萬能公式)

①

②

③

④

⑤

第五章排列與組合（1）加法原理：完成一件事情與分類有關，即每一類各自獨立完成，此事即可完成。

（2）乘法原理：完成一件事情與步驟有關，即一次完成每一步驟，此事才能完成。

排列：從n個不同元素里，任取個元素，按照一定的順序排列成一列，稱為從n個不同元素里取出m個元素的一個排列，計算公式：

組合：從n個不同元素里，任取個元素組成一組，叫做從n個不同元素里取出m個元素的一個組合，組合總數(shù)記為，計算公式：

第六章概率論

符號

概率論

集合論

樣本空間

全集

不可能事件

空集

基本事件

集合的元素

A

事件

子集

A的對立事件

A的余集

事件A發(fā)生導致

事件B發(fā)生

A是B的子集

A=B

A與B兩事件相等

集合A與B相等

事件A與事件B

至少有一個發(fā)生

A與B的并集

事件A與事件B同時發(fā)生

A與B的交集

A-B

事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生

A與B的差集

事件A與事件B互不相容

A與B沒有相同元素

由于隨機事件都可以用樣本空間中的某個集合來表示，于是事件間的關系和運算就可以用集合論的知識來討論和表示，為了直觀，可以用集合的韋恩圖來表示事件的各種關系和運算法則，一般用某個矩形區(qū)域表示樣本空間，該區(qū)域的一個子區(qū)域表示某個事件。于是各事件的關系運算如圖中的圖示所示。

各事件的關系運算如圖示：

9.完備事件組

n個事件，如果滿足下列條件：

（1）；

（2），則稱其為完備事件組。

顯然任何一個事件A與其對立事件構成完備事件組。

10.事件運算的運算規(guī)則：

（1）交換律

（2）結合律

（3）分配律

（4）對偶律

率的古典定義

定義：在古典概型中，若樣本空間所包含的基本事件總數(shù)為n，事件A包含的基本事件數(shù)為m，則事件A發(fā)生的概率為。

概率的基本性質(zhì)與運算法則

性質(zhì)1.0≤P(A)≤1

特別地，P(Φ)=0，P(Ω)=1

性質(zhì)2.若，則P(B-A)=P(B)-P(A)

性質(zhì)3.（加法公式）．對任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

推論1.若事件A，B互不相容（互斥），則P(A+B)=P(A)+P(B)

推論2.對任一事件A,有

推論3.對任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

條件概率、乘法公式、事件的獨立性

條件概率

定義1：設有事件A，B，且P(B)>0,稱

類似地，如果P(A)>0，則事件B對事件A的條件概率為

概率的乘法公式

乘法公式可推廣到有限多個事件的情況，例如對事件A,B,C,有

事件的獨立性

一般地說,P(A︱B)≠P(A)，即說明事件B的發(fā)生影響了事件A發(fā)生的概率。若P(A︱B)≠P(A)，則說明事件B的發(fā)生在概率意義下對事件A的發(fā)生無關,這時稱事件A，B相互獨立。

定義：對于事件A，B，若P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立。獨立試驗序列概型

在相同的條件下，獨立重復進行n次試驗，每次試驗中事件A可能發(fā)生或可能不發(fā)生，且事件A發(fā)生的概率為p，則在n次試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率為

一維隨機變量及其概率分布

（一）隨機變量

1.隨機變量

定義：設Ω為樣本空間，如果對每一個可能結果，變量X都有一個確定的實數(shù)值與之對應，則稱X為定義在Ω上的隨機變量，簡記作。

2.離散型隨機變量

定義：如果隨機變量X只能取有限個或無限可列個數(shù)值，則稱X為離散型隨機變量。

（二）分布函數(shù)與概率分布

1.分布函數(shù)

定義：設X是一個隨機變量，x是任意實數(shù)，則函數(shù)稱為隨機變量X的分布函數(shù)。

分布函數(shù)F(x)有以下性質(zhì)：

（2）F(x)是x的不減函數(shù)，即對任意

（4）F(x)是右連續(xù)的，即

（5）對任意實數(shù)a＜b,有P{a＜X≤b}=F(b)-F(a)

2.離散型隨機變量的概率分布

則稱上式為離散型隨機變量X的概率分布（或概率函數(shù)或分布列）。

離散型隨機變量X的概率分布也可以用下列列表形式來表示：

3.分布函數(shù)與概率分布之間的關系

若X為離散型隨機變量，則。

隨機變量的數(shù)字特征

1.數(shù)學期望

（1）數(shù)學期望的概念

定義：設X為離散型隨機變量，其概率函數(shù)為

若級數(shù)絕對收斂，則稱為X的數(shù)學期望，簡稱期望或均值，記作EX，即

（2）數(shù)學期望的性質(zhì)

①若C為常數(shù)，則E(C)=C

②若a為常數(shù)，則E(aX)=aE(X)

③若b為常數(shù)，則E(X+b)=E(X)+b

④若X,Y為隨機變量，則E(X+Y)=E(X)+E(Y)

2.方差

（1）方差的概念

定義：設X為隨機變量，如果存在，則稱為X的方差，記作DX，即

方差的算術平方根稱為均方差或標準差，對于離散型隨機變量X，如果X的概率函數(shù)為，則X的方差為

（2）方差的性質(zhì)

①若C為常數(shù)，則D(C)=0

②若a為常數(shù)，則

③若b為常數(shù)，則D(X+b)=D(X)

④

基本公式

由

（1）對數(shù)的性質(zhì)：

①負數(shù)和零沒有對數(shù)；②1的對數(shù)是零；③底數(shù)的對數(shù)等于1。

（2）對數(shù)的運算法則：

①

②

③

④

3、對數(shù)換底公式：

由換底公式推出一些常用的結論：

（1）

（2）

（3）

（4）

三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，的遞增區(qū)間是，1、數(shù)列極限的存在準則

定理1.3（兩面夾準則）若數(shù)列{xn},{yn},{zn}滿足以下條件：

（1），（2），則

定理1.4

若數(shù)列{xn}單調(diào)有界，則它必有極限。

2、數(shù)列極限的四則運算定理。

（1）

（2），（3）當時，3、當x→x0時，函數(shù)f（x）的極限等于A的必要充分條件是

這就是說：如果當x→x0時，函數(shù)f（x）的極限等于A，則必定有左、右極限都等于A。

反之，如果左、右極限都等于A，則必有。

4、函數(shù)極限的定理

定理1.7（惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。

定理1.8（兩面夾定理）設函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)（可除外）滿足條件：

（1），（2），則有。

推論

：（1）

（2），（3）

5、無窮小量的基本性質(zhì)

性質(zhì)1　有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；

性質(zhì)2　有界函數(shù)（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的乘積是無窮小量。

性質(zhì)3　有限個無窮小量的乘積是無窮小量。

性質(zhì)4　無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。

6、等價無窮小量代換定理：

如果當時，均為無窮小量，又有且存在，則。

7、重要極限Ⅰ

8、重要極限Ⅱ是指下面的公式：

9、（2）

（3）

（4）

10、函數(shù)在一點處連續(xù)的性質(zhì)

由于函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而由極限的運算法則，可以得到下列連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

定理1.12（四則運算）設函數(shù)f（x），g（x）在x0處均連續(xù)，則

（1）f（x）±g（x）

在x0處連續(xù)，（2）f（x）·g（x）在x0處連續(xù)

（3）若g（x0）≠0，則在x0處連續(xù)。

定理1.13（復合函數(shù)的連續(xù)性）設函數(shù)u=g（x）在x=

x0處連續(xù)，y=f（u）在u0=g（x0）處連續(xù)，則復合函數(shù)y=f[g（x）]在x=

x0處連續(xù)。

定理1.14（反函數(shù)的連續(xù)性）設函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴格單調(diào)增加（或嚴格單調(diào)減少），則它的反函數(shù)x=f-1（y）也在對應區(qū)間上連續(xù)，且嚴格單調(diào)增加（或嚴格單調(diào)減少）

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x），有以下幾個基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）

如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在這個區(qū)間上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和m，則對于介于m和M之間的任何實數(shù)C，在[a，b]上至少存在一個ξ，使得

f（ξ）=C11、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x），有以下幾個基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）

如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在這個區(qū)間上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和m，則對于介于m和M之間的任何實數(shù)C，在[a，b]上至少存在一個ξ，使得

f（ξ）=C12、推論（零點定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號，則在[a，b]內(nèi)至少存在一個點ξ，使得

f（ξ）=013、初等函數(shù)的連續(xù)性

定理1.18　初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)。

利用初等函數(shù)連續(xù)性的結論可知：如果f（x）是初等函數(shù)，且x0是定義區(qū)間內(nèi)的點，則

f（x）在x0處連續(xù)

也就是說，求初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)某點處的極限值，只要算出函數(shù)在該點的函數(shù)值即可。

14、可導與連續(xù)的關系

定理2.1　如果函數(shù)y=f（x）在點x0處可導，則它在x0處必定連續(xù)。

15、由這個定理可知：若函數(shù)f（x）在x0不連續(xù)，則f（x）在x0處必定不可導。

16、導數(shù)的計算

1.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

（1）（C）＇=0

（2）（xμ）＇=μxμ-1

（3）（4）

（5）（ax）＇=axlna（a＞0,a≠1）

（6）（ex）＇=ex

（7）（8）

（9）（sinx）＇=cosx

（10）（cosx）＇=

-sinx

（11）（12）

（13）（secx）＇=secx·tanx

（14）（cscx）＇=

-cscx·cotx

（15）（16）

（17）（18）

2.導數(shù)的四則運算法則

設u=u（x），v=v（x）均為x的可導函數(shù)，則有

（1）（u±v）＇=u＇±v＇

（2）（u·v）＇=u＇·v+u·v＇

（3）（cu）＇=c·u＇

（4）

（5）

（6）（u·v·w）＇=u＇·v·w+u·v＇·w+u·v·w＇

3.復合函數(shù)求導法則

如果u=φ（x）在點x處可導，而y=f（u）在相應的點u=φ（x）處可導，則復合函數(shù)y=f[φ（x）]在點x處可導，且其導數(shù)為

同理，如果y=f（u），u=φ（v），v=ψ（x），則復合函數(shù)y=f[φ（ψ（x））]的導數(shù)為

4.反函數(shù)求導法則

如果x=φ（y）為單調(diào)可導函數(shù)，則其反函數(shù)y=f（x）的導數(shù)

17、微分的計算

dy=f′(x)dx

求微分dy只要求出導數(shù)f′(x)再乘以dx，所以我們前面學過的求導基本公式與求導法則完全適用于微分的計算。于是有下列的微分公式及微分法則：

（1）d（c）=0（c為常數(shù)）

（2）（為任意實數(shù)）

（6）d（ex）=exdx

（7）d（sin

x）=cos

xdx

（8）d（cos

x）=-sin

xdx

（17）d（c·u）=cdu18、微分形式不變性

設函數(shù)y=f(u)，則不論u是自變量還是中間變量，函數(shù)的微分dy總可表示為

dy=f′(u)du19、常用的湊微分公式：

1）、②，③

④，⑤，⑥

①，②③，④，⑤

⑥　⑦

20、常用的換元類型有：

被積函數(shù)類型

所用代換

代換名稱

正弦代換

正切代換

根式代換

21、定積分的基本性質(zhì)

（1）。（k為常數(shù)）。

（2）。

（3）。

（4）如果f（x）在區(qū)間[a,b]上總有f（x）≤g（x），則。

（5）

（6）設M和m分別為f（x）在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值，則有

（7）積分中值定理　如果f（x）在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在區(qū)間[a,b]上至少存在一點，使得

22、變上限定積分求導定理

1.變上限定積分定義

定義

積分上限x為變量時的定積分稱為變上限定積分。變上限定積分是積分上限x的函數(shù)，記作，一般有

2.變上限定積分求導定理

定理

如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則有

推論　①，②

③

23、計算定積分

1.牛頓——萊布尼茨公式

如果f(x)在區(qū)間[a,b]上的連續(xù)，且，則有

推論：(1)若f(x)為奇函數(shù)，則

(2)若f(x)為偶函數(shù)，則

2、定積分的分部積分法

24、定積分的應用

1.計算平面圖形的面積

(1)X型：曲線y=f(x)，y=g(x)(f(x)≥g(x))和直線x=a,x=b(a≤b)所圍成的平面圖形的面積A為。

(2)Y型：曲線和直線y=c,y=d(c≤d)，所圍成的平面圖形的面積A為。

2.旋轉(zhuǎn)體的體積

(1)X型

由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)≥0)和直線x=a,x=b(a

(2)Y型

由連續(xù)曲線和直線y=c,y=d(c

25、全微分

26、二元隱函數(shù)

設三元方程F(x,y,z)=0確定隱函數(shù)z=z(x,y)，如果F(x,y,z)對x,y,z存在連續(xù)偏導數(shù)，且，則z對x、y的偏導數(shù)為。

27、概率的基本性質(zhì)與運算法則

性質(zhì)1.0≤P(A)≤1，特別地，P(Φ)=0，P(Ω)=1

性質(zhì)2.若，則P(B-A)=P(B)-P(A)

性質(zhì)3.（加法公式）．對任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

推論1.若事件A，B互不相容（互斥），則P(A+B)=P(A)+P(B)

推論2.對任一事件A,有

推論3.對任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

28、條件概率

定義1：設有事件A，B，且P(B)>0,稱

29、概率的乘法公式，30、（1）數(shù)學期望的性質(zhì)

①若C為常數(shù)，則E(C)=C，②若a為常數(shù)，則E(aX)=aE(X)

③若b為常數(shù)，則E(X+b)=E(X)+b　④若X,Y為隨機變量，則E(X+Y)=E(X)+E(Y)

（2）方差的性質(zhì)

①若C為常數(shù)，則D(C)=0；②若a為常數(shù)，則

③若b為常數(shù)，則D(X+b)=D(X)；

④

第四篇：2008年成人高考(專升本)高等數(shù)學二考試試題和參考答案

時代學習網(wǎng)——職業(yè)人士網(wǎng)上考試輔導學習的家園，資料由本站網(wǎng)上收集整理。

時代學習社區(qū)(http://bbs.nowxue.com/)是一個專門提供計算機類、外語類、資格類、學歷類，會計類、建筑類、醫(yī)學類等教育信息服務的教育學習交流社區(qū)。希望大家本著人人為我，我為人人的服務態(tài)度相互信任，相互支持，分享學習，共同成長，為廣大學者創(chuàng)造一個和諧干凈、積極向上和有素養(yǎng)的學習交流場所，時代學習社區(qū)會因為你們的到來更加精彩。

2008年成人高考（專升本）高等數(shù)學二考試試題和參考答案

時代學習網(wǎng)——職業(yè)人士網(wǎng)上考試輔導學習的家園，資料由本站網(wǎng)上收集整理。

時代學習網(wǎng)——職業(yè)人士網(wǎng)上考試輔導學習的家園，資料由本站網(wǎng)上收集整理。

時代學習網(wǎng)——職業(yè)人士網(wǎng)上考試輔導學習的家園，資料由本站網(wǎng)上收集整理。

時代學習網(wǎng)——職業(yè)人士網(wǎng)上考試輔導學習的家園，資料由本站網(wǎng)上收集整理。

時代學習網(wǎng)——職業(yè)人士網(wǎng)上考試輔導學習的家園，資料由本站網(wǎng)上收集整理。

時代學習網(wǎng)——職業(yè)人士網(wǎng)上考試輔導學習的家園，資料由本站網(wǎng)上收集整理。

第五篇：2012年成人高考專升本高等數(shù)學二考試真題及參考答案

2012年成人高考專升本高等數(shù)學二考試真題及參考答案

一、選擇題(1～10小題。每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中。只有一項是符合題目要求的)1．

【 】

【答案】B

2．【 】

【答案】C

3．【 】

【答案】A

4．【 】

【答案】A

5．【 】

【答案】C

6．【 】

【答案】D

7.【 】

【答案】B

8．【 】

【答案】C 【應試指導】由題意可知，所求面積S的圖形為

9．【 】

【答案】D

10．【 】

A．0．44 B．0．5 C．0．1 D．0．06 【答案】B

第Ⅱ卷(非選擇題，共ll0分)

二、填空題(11～20小題。每小題4分，共40分)11．

________.【答案】一2

12._______.13．

_________.【答案】1

14．_________.【答案】(0，0)

15.__________.16．

_________.【答案】1

(-1，0)處的切線斜率為1．

17．________.18．

_________.19．

________.【答案】l

20．________.三、解答題(21～28題，共70分．解答應寫出推理、演算步驟)21．

(本題滿分8分)

【答案】

22．(本題滿分8分)

【答案】

23．(本題滿分8分)

【答案】

24．(本題滿分8分)

【答案】

25．(本題滿分8分)已知某籃球運動員每次投籃投中的概率是0．9，記x為他兩次獨立投籃投中的次數(shù)．(1)求X的概率分布；

【答案】

26．(本題滿分l0分)

【答案】

27．(本題滿分l0分)

【答案】

28．(本題滿分l0分)

【答案】