第一篇：希望杯數學競賽
第四屆“走進美妙的數學花園”四年級試題
第五屆“走進美妙的數學花園”四年級試題
年數學解題能力展示四年級試題 08年數學解題能力展示四年級答案
第二篇：希望杯三年級數學(上)競賽（精選）
小學三年級數學競賽訓練題
（三）一、直接寫出得數。（每小題0.5分，共6分）
400×2＝
10+30÷2＝
16×6＝
700÷5＝ 640÷8＝
33+27÷3＝
54+46＝
804÷2＝621×2＝
0÷500×4＝
120÷6＝
500×6＝
二、填空。（每空1分，共23分）
1、500×8的積末尾有（）個0 2、8000千克=（）噸
3、一個數的4倍是280，這個數是（）
4、48個月=（）年 5、1+2+3+4+……+100=（）
6、雞兔同籠，共100個頭，320只腳，那么，雞有（）只，兔有（）只。
7、小明今年2歲，媽媽26歲，那么（）年后媽媽的年齡是小明的3倍。
8、原雷鋒小組為學校搬夸，如果每人搬18塊，還剩2塊，如果每人搬20塊，就有一位同學沒磚可搬。共有（）塊磚。
9、○÷7=105……□，□里最大填（），○里最大填（）10、2007年2月有（）天，第一季度有（）天，全年有（）天。
11、從晚上9：30到第二天早上8：30，一共經過（）小時。
12、在（）里填 “＞”“＜”或“＝”
0÷68（）0×78 1噸50千克（）1500千克 180分（）3小時2分
13、半年=（）個月，5噸=（）千克
14、一個正方形的邊長擴大3倍，周長擴大（）倍。
15、佳佳的生日是一年中倒數第3個大月的倒數第5天，她的生日是（）月（）日。
三、判斷（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（每小題2分，共16分）
1、從10個綠球，1個白球的盒子里摸出一個球，可能是黃球。（）
2、太陽一定從西邊升起。（）
3、1900年是潤年（）
4、0除以任何數都得0（）
5、三位數除以一位數，商一定是三位數。（）
6、一袋洗衣粉重480千克（）
7、一天是12小時（）
8、2千克鐵比2千克紙重（）
四、推理題（7分）
有一個正方體，每個面上分別寫有數字1、2、3、4、5、6。三人從不同的角度觀察的結果如下圖表示，問這個正方體的每一個數字的對面各是什么數？
請你判斷1←→（）2←→（）3←→（）
五、列式計算。（每小題3分，共6分）
1、從300里連續減去多少個6，結果是0？
2、5個437減去891，差是多少？
六、脫式計算。（每小題2分，共6分）
（308-8）÷2
536÷（2000-1998）（48+152）÷5
七、走進生活，解決問題（1-6小題，每題5分，第7題6分，共36分）
1、學校開家長會，145把雙人椅，40把單人椅，這些椅子都坐滿了，一共來了多少位家長？
2、時鐘到幾點就敲幾下，如4點時敲4下，12秒鐘敲完，那么到了九點鐘，幾秒鐘敲完？
3、萬順廣場花圃中有180盆郁金香，比月季花盆數的3位少15盆，月季花有多少盆？
4、小猴上山摘桃子，它把摘到的桃子平均分成5堆，4堆送給它的好朋友，自己留下一堆，后來它又把留下的這一堆平均分成4堆，3堆送給了小山羊，一堆自己吃，自己吃的這一堆有6個桃子，小猴一共摘了多少個桃子？
5、一盞臺燈24元，買了3盞臺燈，付出售貨員100元錢，應找回多少錢？
6、在一條20米長的繩子上掛氣球，從一端起，每隔5米掛一個氣球，一共可以掛多少個氣球？
7、三
（一）班老師出了兩道數學題，做對第一題的有15人，做對第二題的有23人，兩道題都做對的有10人，這個班一共有多少人？
第三篇：歷屆1-15希望杯數學競賽初一試題匯總
希望杯第一屆（1990年）初中一年級第一試試題...........................................................1 希望杯第一屆（1990年）初中一年級第二試試題...........................................................8 希望杯第二屆（1991年）初中一年級第一試試題.........................................................15 希望杯第二屆（1991年）初中一年級第二試試題.........................................................21 希望杯第三屆（1992年）初中一年級第一試試題.........................................................27 希望杯第三屆（1992年）初中一年級第二試試題.........................................................31 希望杯第四屆（1993年）初中一年級第一試試題.........................................................42 希望杯第四屆（1993年）初中一年級第二試試題.........................................................49 希望杯第五屆（1994年）初中一年級第一試試題.........................................................57 希望杯第五屆（1994年）初中一年級第二試試題........................................................63 希望杯第六屆（1995年）初中一年級第一試試題.........................................................69 希望杯第六屆（1995年）初中一年級第二試試題.........................................................75 希望杯第七屆（1996年）初中一年級第一試試題.........................................................85 希望杯第七屆（1996年）初中一年級第二試試題.........................................................91 希望杯第八屆（1997年）初中一年級第一試試題.........................................................99 希望杯第八屆（1997年）初中一年級第二試試題.......................................................106 希望杯第九屆（1998年）初中一年級第一試試題........................................................115 希望杯第九屆（1998年）初中一年級第二試試題.......................................................123 希望杯第十屆（1999年）初中一年級第二試試題.......................................................131 希望杯第十屆（1999年）初中一年級第一試試題.......................................................138 希望杯第十一屆（2000年）初中一年級第一試試題...................................................142 希望杯第十一屆（2000年）初中一年級第二試試題...................................................148 希望杯第十二屆（2001年）初中一年級第一試試題...................................................151 希望杯第十二屆（2001年）初中一年級第二試試題...................................................154 希望杯第十三屆（2002年）初中一年級第一試試題...................................................158 希望杯第十三屆（2001年）初中一年級第二試試題...................................................161 希望杯第十四屆（2003年）初中一年級第一試試題...................................................166 希望杯第十四屆（2003年）初中一年級第二試試題...................................................169 希望杯第十五屆（2004年）初中一年級第一試試題...................................................173 希望杯第十五屆（2004年）初中一年級第二試試題...................................................176
希望杯第一屆（1990年）初中一年級第一試試題
一、選擇題（每題1分，共10分）1．如果a，b都代表有理數，并且a＋b=0，那么()
A．a，b都是0． B．a，b之一是0．C．a，b互為相反數．D．a，b互為倒數． 2．下面的說法中正確的是()
A．單項式與單項式的和是單項式．B．單項式與單項式的和是多項式． C．多項式與多項式的和是多項式．D．整式與整式的和是整式． 3．下面說法中不正確的是()
A.有最小的自然數．
B．沒有最小的正有理數． C．沒有最大的負整數．
D．沒有最大的非負數． 4．如果a，b代表有理數，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 A．a，b同號． B．a，b異號．C．a＞0． D．b＞0．
()
()
5．大于－π并且不是自然數的整數有 A．2個． B．3個．C．4個．
D．無數個．
6．有四種說法：
甲．正數的平方不一定大于它本身；乙．正數的立方不一定大于它本身； 丙．負數的平方不一定大于它本身；丁．負數的立方不一定大于它本身． 這四種說法中，不正確的說法的個數是（）A．0個． B．1個．C．2個．
D．3個．
7．a代表有理數，那么，a和－a的大小關系是()
A．a大于－a．B．a小于－a．C．a大于－a或a小于－a．D．a不一定大于－a． 8．在解方程的過程中，為了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的兩邊（）A．乘以同一個數．B．乘以同一個整式．C．加上同一個代數式．D．都加上1． 9．杯子中有大半杯水，第二天較第一天減少了10%，第三天又較第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量與第一天杯中的水量相比的結果是()
A．一樣多． B．多了．C．少了． D．多少都可能．
10．輪船往返于一條河的兩碼頭之間，如果船本身在靜水中的速度是固定的，那么，當這條河的水流速度增大時，船往返一次所用的時間將（）A．增多． B．減少．C．不變． D．增多、減少都有可能．
二、填空題（每題1分，共10分）1.0.0125?3111516??(?87.5)???(?22)?4? ______． 5716152．198919902－198919892=______．
(2?1)(22?1)(24?1)(28?1)(216?1)3.=________.322?14.關于x的方程1?xx?2??1的解是_________.485．1－2＋3－4+5－6+7－8+?+4999－5000=______．
24時,代數式(3x3－5x2+6x－1)－(x3－2x2+x－2)+(－2x3+3x2+1)的值是____． 125722711(a?b)?(b?a?0.16)?(a?b)的值是7．當a=－0.2，b=0.04時，代數式737246.當x=-______.8．含鹽30%的鹽水有60千克，放在秤上蒸發，當鹽水變為含鹽40%時，秤得鹽水的重是______克．
9.制造一批零件,按計劃18天可以完成它的.如果工作4天后,工作效率提高了,那么
3511完成這批零件的一半，一共需要______天．
10．現在4點5分，再過______分鐘，分針和時針第一次重合．
答案與提示
一、選擇題
1．C 2．D 3．C 4．D 5．C 6．B 7．D 8．D 9．C 10．A 提示：
1．令a=2，b=－2，滿足2+(－2)=0，由此
2．x，2x，x都是單項式．兩個單項式x，x之和為x+x是多項式，排除A．兩個單項式x，2x之和為3x是單項式，排除B．兩個多項式x+x與x－x之和為2x是個單項式，排22
232
3223
2除C，因此選D．
3．1是最小的自然數，A正確．可以找到正
所以C“沒有最大的負整數”的說法不正確．寫出擴大自然數列，0，1，2，3，?，n，?，易知無最大非負數，D正確．所以不正確的說法應選C．
5．在數軸上容易看出：在－π右邊0的左邊（包括0在內）的整數只有－3，－2，－1，0共4個．選C．
6．由1=1，1=1可知甲、乙兩種說法是正確的．由(－1)=－1，可知丁也是正確的說法．而負數的平方均為正數，即負數的平方一定大于它本身，所以“負數平方不一定大于它本身”的說法不正確．即丙不正確．在甲、乙、丙、丁四個說法中，只有丙1個說法不正確．所以選B．
7．令a=0，馬上可以排除A、B、C，應選D．
8．對方程同解變形，要求方程兩邊同乘不等于0的數．所以排除A．
我們考察方程x－2=0，易知其根為x=2．若該方程兩邊同乘以一個整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根為x=1及x=2，不與原方程同解，排除B．若在方程x－2=0兩邊加上同一個代數式
去了原方程x=2的根．所以應2
33排除C．事實上方程兩邊同時加上一個常數，新方程與原方程同解，對D，這里所加常數為1，因此選D．
9．設杯中原有水量為a，依題意可得，第二天杯中水量為a3(1－10%)=0.9a；
第三天杯中水量為(0.9a)3(1+10%)=0.931.13a； 第三天杯中水量與第一天杯中水量之比為
所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，選C．
10．設兩碼頭之間距離為s，船在靜水中速度為a，水速為v0，則往返一次所用時間為
設河水速度增大后為v，(v＞v0)則往返一次所用時間為
由于v－v0＞0，a+v0＞a－v0，a+v＞a－v 所以(a+v0)(a+v)＞(a－v0)(a－v)
∴t0－t＜0，即t0＜t．因此河水速增大所用時間將增多，選A．
二、填空題
提示：
2．19891990－19891989
=(19891990+19891989)3(19891990－19891989)=(19891990+19891989)31=39783979． 3．由于(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)=(2－1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)=(2－1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)=(2－1)(2+1)(2+1)(2+1)=(2－1)(2+1)(2+1)=(2－1)(2+1)=2－1． ***2248
162
481624
162
22(1+x)－(x－2)=8,2+2x－x+2=8解得；x=4 5．1－2+3－4+5－6+7－8+?+4999－5000 =(1－2)+(3－4)+(5－6)+(7－8)+?+(4999－5000)
=－2500．
6．(3x－5x+6x－1)－(x－2x+x－2)+(－2x+3x+1)=5x+2 32
323
7．注意到：
當a=－0.2，b=0.04時，a－b=(－0.2)－0.04=0，b+a+0.16=0.04－0.2+0.16=0． 2
8．食鹽30%的鹽水60千克中含鹽60330%（千克）設蒸發變成含鹽為40%的水重x克，即0.001x千克，此時，60330%=(0.001x)340% 解得：x=45000（克）．
10．在4時整，時針與分針針夾角為120°即
希望杯第一屆（1990年）初中一年級第二試試題
一、選擇題（每題1分，共5分）
以下每個題目里給出的A，B，C，D四個結論中有且僅有一個是正確的．請你在括號填上你認為是正確的那個結論的英文字母代號．
1．某工廠去年的生產總值比前年增長a%，則前年比去年少的百分數是()A．a%． B．(1+a)%． C.a?1a D.100a100?a2．甲杯中盛有2m毫升紅墨水，乙杯中盛有m毫升藍墨水，從甲杯倒出a毫升到乙杯里, 0＜a＜m，攪勻后，又從乙杯倒出a毫升到甲杯里，則這時()A．甲杯中混入的藍墨水比乙杯中混入的紅墨水少． B．甲杯中混入的藍墨水比乙杯中混入的紅墨水多． C．甲杯中混入的藍墨水和乙杯中混入的紅墨水相同． D．甲杯中混入的藍墨水與乙杯中混入的紅墨水多少關系不定． 3.已知數x=100,則()A．x是完全平方數．B．(x－50)是完全平方數． C．(x－25)是完全平方數．D．(x+50)是完全平方數． 4．觀察圖1中的數軸：用字母a，b，c依次表示點A，B，C對應的數,則大小關系是()
111，的abb?ac
A.111111111111??;B.<<;C.<<;D.<<.abb?accb?aabcabb?ab?aabc5．x=9，y=－4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一組整數解，這個方程的不同的整數解共有()A．2組． B．6組．C．12組． D．16組．
二、填空題（每題1分，共5分）
1．方程|1990x－1990|=1990的根是______．
2．對于任意有理數x，y，定義一種運算*，規定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知數，等式右邊是通常的加、減、乘運算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），則m的數值是______．
3．新上任的宿舍管理員拿到20把鑰匙去開20個房間的門，他知道每把鑰匙只能開其中的一個門，但不知道每把鑰匙是開哪一個門的鑰匙，現在要打開所有關閉著的20個房間，他最多要試開______次．
4．當m=______時，二元二次六項式6x+mxy－4y－x+17y－15可以分解為兩個關于x，y的二元一次三項式的乘積．
5．三個連續自然數的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某個自然數的平方．
三、解答題（寫出推理、運算的過程及最后結果．每題5分，共15分）
1．兩輛汽車從同一地點同時出發，沿同一方向同速直線行駛，每車最多只能帶24桶汽油，途中不能用別的油，每桶油可使一輛車前進60公里，兩車都必須返回出發地點，但是可以不同時返回，兩車相互可借用對方的油．為了使其中一輛車盡可能地遠離出發地點，另一輛車應當在離出發地點多少公里的地方返回？離出發地點最遠的那輛車一共行駛了
22多少公里？
2．如圖2，紙上畫了四個大小一樣的圓，圓心分別是A，B，C，D，直線m通過A，B，直線n通過C，D，用S表示一個圓的面積，如果四個圓在紙上蓋住的總面積是5(S－1)，直線m，n之間被圓蓋住的面積是8，陰影部分的面積S1，S2，S3滿足關系式S3=
11S1=S2,求S． 33
3.求方程1115???的正整數解.xyz6答案與提示
一、選擇題
1．D 2．C 3．C 4．C 5．D 提示：
1．設前年的生產總值是m，則去年的生產總值是
前年比去年少
這個產值差占去年的應選D．
2．從甲杯倒出a毫升紅墨水到乙杯中以后：
再從乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后： 乙杯中含有的紅墨水的數量是乙杯中減少的藍墨水的數量是∵①=②∴選C．
① ②
∴x－25=(10+5)可知應當選C．
4．由所給出的數軸表示（如圖3）： 可以看出
n+22
∴①＜②＜③，∴選C．
5．方程2x2+5xy+3y2=30可以變形為(2x+3y)(x+y)=1222325 ∵x，y是整數，∴2x+3y，x+y也是整數． 由下面的表
可以知道共有16個二元一次方程組，每組的解都是整數，所以有16組整數組，應選D．
二、填空題
提示：
1．原方程可以變形為|x－1|=1，即x-1=1或-1，∴x=2或0． 2．由題設的等式x*y=ax+by-cxy 及x*m=x(m≠0)得a20+bm-c202m=0，∴bm=0． ∵m≠0，∴b=0． ∴等式改為x*y=ax-cxy． ∵1*2=3，2*3=4，解得a=5，c=1．
∴題設的等式即x*y=5x-xy．
在這個等式中，令x=1，y=m，得5-m=1，∴m=4． 3．∵打開所有關閉著的20個房間，∴最多要試開
4．利用“十字相乘法”分解二次三項式的知識，可以判定給出的二元二次六項式 6x+mxy-4y-x+17y-15 22中劃波浪線的三項應當這樣分解： 3x-5 2x +3 現在要考慮y，只須先改寫作
然后根據-4y，17y這兩項式，即可斷定是：
由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x2+5xy-4y2-x+17y-15就是原六項式，所以m=5． 5．設三個連續自然數是a-1，a，a+1，則它們的平方和是(a-1)+a+(a+1)=3a+2，顯然，這個和被3除時必得余數2．
另一方面，自然數被3除時，余數只能是0或1或2，于是它們可以表示成 3b，3b+1，3b+2（b是自然數）中的一個，但是它們的平方(3b)=9b
(3b+1)=9b+6b+1，(3b+2)2=9b2+12b+4 =(9b+12b+3)+1 被3除時，余數要么是0，要么是1，不能是2，所以三個連續自然數平方和不是某個自然數的平方．
三、解答題
1．設兩輛汽車一為甲一為乙，并且甲用了x升汽油時即回返，留下返程需的x桶汽油，將多余的(24-2x)桶汽油給乙．讓乙繼續前行，這時，乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油，依題意，應當有48-3x≤24，∴x≥8．
甲、乙分手后，乙繼續前行的路程是
這個結果中的代數式30(48-4x)表明，當x的值愈小時，代數式的值愈大，因為x≥8，所以當x=8時，得最大值30(48-428)=480（公里），因此，乙車行駛的路程一共是2(6028+480)=1920（公里）． 2．由題設可得 2222
222
即2S-5S3=8??②
∴x，y，z都＞1，因此，當1＜x≤y≤z時，解
(x，y，z)共(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)四組． 由于x，y，z在方程中地位平等．所以可得如下表所列的15組解．
希望杯第二屆（1991年）初中一年級第一試試題
一、選擇題（每題1分，共15分）
以下每個題目的A，B，C，D四個結論中，僅有一個是正確的，請在括號內填上正確的那個結論的英文字母代號．
1．數1是()
D．最小有理數． A．最小整數． B．最小正數．C．最小自然數． 2．若a＞b，則()A.11?;B．-a＜-b．C．|a|＞|b|． abD．a＞b．
223．a為有理數，則一定成立的關系式是()A．7a＞a． B．7+a＞a．C．7+a＞7． D．|a|≥7． 4．圖中表示陰影部分面積的代數式是()A．ad+bc．B．c(b-d)+d(a-c)．C．ad+c(b-d)．D．ab-cd． 5．以下的運算的結果中，最大的一個數是()
1;246811C.(-13579)3;D.(-13579)÷
24682468A．(-13579)+0.2468;B.(-13579)+6．3.141637.5944+3.14163(-5.5944)的值是()A．6.1632． B．6.2832．C．6.5132． D．5.3692． 7.如果四個數的和的1是8,其中三個數分別是-6,11,12,則笫四個數是()4A．16． B．15． C．14． D．13． 11且小于-的是()3411436 A.-;B.-;C.-;D.-.2013161739.方程甲:(x-4)=3x與方程乙:x-4=4x同解,其根據是()48.下列分數中,大于-A.甲方程的兩邊都加上了同一個整式x．B.甲方程的兩邊都乘以C.甲方程的兩邊都乘以10．如圖: O是原點,則
4x;343;D.甲方程的兩邊都乘以.34，數軸上標出了有理數a，b，c的位置,其中111，的大小關系是()abc111111111111 A.??;B.>>;C.>>;D.>>.abcbcabaccabx5?11.方程的根是()22.23.7A．27． B．28． C．29． D．30． 12.當x=
4x?2y1,y=-2時,代數式的值是()
xy2A．-6． B．-2． C．2． D．6．
13．在-4，-1，-2.5，-0.01與-15這五個數中，最大的數與絕對值最大的那個數的乘積是()A．225． 14.不等式1?B．0.15．C．0.0001．
D．1．
xxxx????x的解集是()248161A．x＜16． B．x＞16．C．x＜1． D.x>-.1615．濃度為p%的鹽水m公斤與濃度為q%的鹽水n公斤混合后的溶液濃度是()
(mp?nq)p?q(mp?nq)%;D.(mp?nq)%%;B.%.A.;C.p?q2m?n
二、填空題（每題1分，共15分）
1． 計算：(-1)+(-1)-(-1)3(-1)÷(-1)=______． 1=_______.6(?63)?363． 計算：=__________.1622． 計算：-32÷634． 求值：(-1991)-|3-|-31||=______． 5． 計算:111111?????=_________.26122030426．n為正整數，1990n-1991的末四位數字由千位、百位、十位、個位、依次排列組成的四位數是8009．則n的最小值等于______．
7.計算：??8.計算：?191919??1919??????=_______.?919191??9191?1[(-1989)+(-1990)+(-1991)+(-1992)+(-1993)]=________.55?1?9.在(-2)5,(-3)5,????2??1?,???中,最大的那個數是________.?3?510．不超過(-1.7)2的最大整數是______． 11.解方程2x?110x?12x?1???1,x?_____.3124355?355??????113?113?12.求值:=_________.?355?????113?13．一個質數是兩位數，它的個位數字與十位數字的差是7，則這個質數是______． 14.一個數的相反數的負倒數是
1,則這個數是_______.1915．如圖11，a，b，c，d，e，f均為有理數．圖中各行，各列、兩條對角線上三個數之和都相等,則ab?cd?ef=____.a?b?c?d?e?f答案與提示
一、選擇題
1．C 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．C 10．B 11．D 12．A 13．B 1 4．A 15．D 提示：
1．整數無最小數，排除A；正數無最小數，排除B；有理數無最小數，排除D．1是最小自然數．選C．
有|2|＜|-3|，排除C；若2＞-3有2＜(-3)2，排除D；事實上，a＞b必有-a＜-b．選B．
3．若a=0，730=0排除A；7+0=7排除C|0|＜7排除D，事實上因為7＞0，必有7+a＞0+a=a．選B．
4．把圖形補成一個大矩形，則陰影部分面積等于ab-(a-c)(b-d)=ab-[ab-ad-c(b-d)]=ab-ab+ad+c(b-d)=ad+c(b-d)．選C．
5．運算結果對負數來說絕對值越小其值越大。
6．3.141637.5944+3.14163(-5.5944)=3.1416(7.5944-5.5944)=233.1416 =6.2832．選B．
為32．第四個數數=32-(-6+11+12)=15．選B．
2新方程x-4=4x與原方程同解．選C．
13．-4，-1，-2.5，-0.01與-15中最大的數是-0.01，絕對值最大的數是-15，(-0.01)3(-15)=0.15．選B．
15．設混合溶液濃度為x，則m3p%+n3q%=(m+n)x．
二、填空題 提示：
1．(-1)+(-1)-(-1)3(-1)÷(-1)=(-2)-(-1)=-1．
4．(-1991)-|3-|-31||=-1991-28=-2019．
6．1990的末四位數字應為1991+8009的末四位數字．即為0000，即1990末位至少要4個0，所以n的最小值為4． nn
(-1993)]=-1991．
10．(-1.7)2=2.89，不超過2.89的最大整數為2．
去分母得
4(2x-1)-(10x+1)=3(2x+1)-12． 8x-4-10x-1=6x+3-12． 8x-10x-6x=3-12+4+1．
13．十位數比個位數大7的兩位數有70，81，92，個位數比十位數大7的兩位數有18，29，其中只有29是質數．
b+d+7=-1+3+7=9，所以各行各列兩條對角線上三個數之和等于9．易求得a=4，e=1，c=5，f=0．
希望杯第二屆（1991年）初中一年級第二試試題
一、選擇題（每題1分，共10分）
1．設a，b為正整數（a＞b）．p是a，b的最大公約數，q是a，b的最小公倍數．則p，q，a，b的大小關系是()A．p≥q≥a＞b． B．q≥a＞b≥p． C．q≥p≥a＞b．
D．p≥a＞b≥q．
2．一個分數的分子與分母都是正整數，且分子比分母小1,若分子和分母都減去1,則所得分數為小于A．5個． 6的正數,則滿足上述條件的分數共有()7B．6個．
C．7個．
D．8個．
3.下列四個等式:()A．3個． a=0,ab=0,a2=0,a2+b2=0中，可以斷定a必等于0的式子共有bB．2個． C．1個． D．0個．
4．a為有理數．下列說法中正確的是()A．(a+1)2的值是正數．B．a2+1的值是正數．C．-(a+1)2的值是負數．D．-a2+1的值小于1．
5.如果1 甲：若a＞b，則ac2＞bc2．乙：若ac2＞bc2，則a＞b．兩個結論中，()A．甲、乙都真． B．甲真，乙不真．C．甲不真，乙真． D．甲、乙都不真． 7．有理數a，b，c在數軸上的位置如圖所示,式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化簡結果為()A．2a+3b-c． B．3b-c．C．b+c． D．c-b． 8．①若a=0，b≠0，方程ax=b無解．②若a=0，b≠0，不等式ax＞b無解．③若a≠0,則方程ax=b有唯一解x=bb;④若a≠0,則不等式ax>b的解為x>.則()aa A．①、②、③、④都正確．B．①、③正確，②、④不正確． C．①、③不正確，②、④正確．D．①、②、③、④都不正確． 9.若abc=1,則abc??的值是()ab?a?1bc?b?1ca?c?1A．1． B．0． C．-1． D．-2． 10．有一份選擇題試卷共六道小題．其得分標準是：一道小題答對得8分，答錯得0分，不答得2分．某同學共得了20分，則他()A．至多答對一道小題．B．至少答對三道小題． C．至少有三道小題沒答．D．答錯兩道小題． 二、填空題（每題1分，共10分） 1． 絕對值大于13并且小于15.9的所有整數的乘積等于______． mm?900?2132112． 單項式xyz與3xy2z7?17是同類項,則m=________.4190091=_________.199019912?19901989?19901991114． 現在弟弟的年齡是哥哥年齡的,而9年前弟弟的年齡只是哥哥的,則哥哥現在253． 化簡:的年趟齡是_____.5． 某同學上學時步行，放學回家乘車往返全程共用了1.5小時，若他上學、下學都乘車．則只需0.5小時．若他上學、下學都步行，則往返全程要用______小時． 6． 四個連續正整數的倒數之和是2 219,則這四個正整數兩兩乘積之和等于______． 20.7．1.2345+0.7655+2.46930.7655=______． 8.在計算一個正整數乘以3.57的運算時,某同學誤將3.57錯寫為3.57,結果與正確答案相差14,則正確的乘積是_______.9．某班學生人數不超過50人．元旦上午全班學生的.21去參加歌詠比賽, 全班學生的94去玩乒乓球,而其余學生都去看電影,則看電影的學生有________人.10．游泳者在河中逆流而上．于橋A下面將水壺遺失被水沖走．繼續前游20分鐘后他發現水壺遺失，于是立即返回追尋水壺．在橋A下游距橋A 2公里的橋B下面追到了水壺．那么該河水流的速度是每小時______公里． 三、解答題（每題5分，共10分，要求：寫出完整的推理、計算過程，語言力求簡明，字跡與繪圖力求清晰、工整） 1.有一百名小運動員所穿運動服的號碼恰是從1到100這一百個自然數，問從這100名運動員中至少要選出多少人，才能使在被選出的人中必有兩人，他們運動服的號碼數相差9？請說明你的理由． 2．少年科技組制成一臺單項功能計算器，對任意兩個整數只能完成求差后再取絕對值的運算，其運算過程是：輸入第一個整數x1，只顯示不運算，接著再輸入整數x2后則顯示|x1-x2|的結果，此后每輸入一個整數都是與前次顯示的結果進行求差取絕對值的運算，現小明將從1到1991這一千九百九十一個整數隨意地一個一個地輸入，全部輸入完畢之后顯示的最后結果設為p．試求出p的最大值，并說明理由． 答案與提示 一、選擇題 1．B 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．B 9．A 10．D 提示： 1．兩個自然數的最小公倍數一定不小于兩數中較大者．兩個自然數的最大公約數一定不大于兩數中較小者．所以q≥a＞b≥p．選B． ，也有a必為0．所以a必為0的式子共有3個． 選A． 4．a=-1時(a+1)2=0，A不真；a=-1時-(a+1)2=0，C也不真；a=0時-a2+1=1，D不真；只有對任意有理數a，a+1＞0成立．選B． 5．當1＜x＜2時，x＞0，x-1＞0，x-2＜0． ∴|x|=x，|x-1|=x-1，|x-2|=2-x． 2 =-1-(-1)+1=1．選B． 6．若c=0，甲不正確．對于乙，若ac＞bc，可推出c≠0，∴c＞0，進而推出a＞b，乙正確．選C． c-b>0，|b-c|=c-b．∴|a|+|b|+|a+b|+|b-c|=-a+b+a+b+c-b=b+c．選C． 8．若a=0，b=-1，0x＞-1，可見②無解不 9．abc=1，則a，b，c均不為0． 選A． 10．設選對x題，不選的有z題，選錯的有y題．依題意有x+y+z=6，8x+2z=20(x≥0，y≥0，z≥0，且都為整數）．解之得x=2，y=2，z=2，選D． 二、填空題 提示： 1．絕對值大于13而小于15.9的所有整數是-15，-14，14，15，其乘積為(-14)(-15)(14)(15)=44100． 3．令n=19901990，n-1=19901989，19901991=n+1． 則分母19901991-19901989319901991=(n+1)-(n-1)(n+1)=2(n+1)． 225．設步行速度為x，乘車速度為y，學校到家路程為s，則 6．設所求的四個連續整數分別為a，a+1，∴a=2不合題設條件． 和為334+335+336+435+436+536=119． 7．令x=1.2345，y=0.7655，則2xy=2.46930.7655，1.23452+0.76552+2.46930.7655=(x+y)=(1.2345+0.7655)=2=4 2 9．顯然全班人數被9整除，也被4整除，所以被4和9的最小公倍36整除，但全班人數小于50，可見全班總計36人，看電影的同學為36-8-9=19． 10．設該河水速每小時x公里．游泳者每小時 解得x=3．即該河水速每小時3公里． 三、解答題 1．若選出54個人，他們的號碼是1，2，?，8，9，19，20，?，26，27，37，38?，44，45，55，56，?，62，63，73，74，?，80，81，91，92?，98，99．的時候，任兩個人號碼數之差均不等于9． 可見，所選的人數必≥55才有可能． 我們證明，至少要選出55人時一定存在兩個運動員號碼之差恰是9． 被選出的55人有55個不同號碼數，由于55=639+1，所以其中必有7個號碼數被9除余數是相同的．但由1—100這一百個自然數中，被9除余數相同的數最多為12個數．因此7個數中一定有兩個是“大小相鄰”的，它們的差等于9． 所以至少要選出55名小運動員，才能使其中必有兩人運動服的號碼數相差9． 2．由于輸入的數都是非負數．當x1≥0，x2≥0時，|x1-x2|不超過x1，x2中最大的數．對x1≥0，x2≥0，x3≥0，則||x1-x2|-x3|不超過x1，x2，x3中最大的數．小明輸入這1991個數設次序是x1，x2，?，x1991，相當于計算：||?||x1-x2|-x3|??-x1990|-x1991|=P．因此P的值≤1991． 另外從運算奇偶性分析，x1，x2為整數． |x1-x2|與x1+x2奇偶性相同．因此P與x1+x2+?+x1991的奇偶性相同． 但x1+x2+?+x1991=1+2+?1991=偶數．于是斷定P≤1990．我們證明P可以取到1990． 對1，2，3，4，按如下次序|||1-3|-4|-2|=0． |||(4k+1)-(4k+3)|(4k+4)|-(4k+2)=|0，對k=0，1，2，?均成立．因此，1-1988可按上述辦法依次輸入最后顯示結果為0．而后||1989-1990|-1991|=1990． 所以P的最大值為1990． 希望杯第三屆（1992年）初中一年級第一試試題 一、選擇題（每題1分，共10分） 1.有理數-1a一定不是()A．正整數． B．負整數．C．負分數． D．0． 2．下面給出的四對單項式中，是同類項的一對是()A.121321xy與-3x2z;B.3.22m2n3與nm;C.0.2a2b與0.2ab2;D.11abc與ab.31119923．(x-1)-(1-x)+(x+1)等于()A．3x-3． B．x-1．C．3x-1． D．x-3． 4．兩個10次多項式的和是()A．20次多項式．B．10次多項式．C．100次多項式．D．不高于10次的多項式． 5．若a+1＜0，則在下列每組四個數中，按從小到大的順序排列的一組是()A．a，-1，1，-a．B．-a，-1，1，a．C．-1，-a，a，1．D．-1，a，1，-a． 6．a=-123.4-(-123.5)，b=123.4-123.5，c=123.4-(-123.5)，則()A．c＞b＞a． B．c＞a＞b．C．a＞b＞c． D．b＞c＞a． 7．若a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，那么下列式子中結果是正數的是()A．(a-b)(ab+a)． B．(a+b)(a-b)．C．(a+b)(ab+a)． D．(ab-b)(a+b)． 8．從2a+5b減去4a-4b的一半，應當得到()A．4a-b． B．b-a．C．a-9b． D．7b． 9．a，b，c，m都是有理數，并且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b與c()A．互為相反數． B．互為倒數． C．互為負倒數． D．相等． 10．張梅寫出了五個有理數，前三個有理數的平均值為15，后兩個有理數的平均值是10，那么張梅寫出的五個有理數的平均值是()A.5;B.811;C.12;D.13.32二、填空題（每題1分，共10分） 1． 2+(-3)+(-4)+5+6+(-7)+(-8)+9+10+(-11)+(-12)+13+14+15=______． 2．(?2)?5?(?8)?(?12)=_________________.(?3)?4?(?***.[(?1)?(?1)?(?1)?(?1)]=_________________.124.若P=a+3ab+b，Q=a-3ab+b，則代入到代數式P-[Q-2P-(-P-Q)]中，化簡后，是______． 5.1992-{1991-1992[1991-1990(1991-1992)1990]}=_______________.22222233a2b36.六個單項式15a,xy,ab,0.11m,-abc,-的數字系數之和等于342_____________.7．小華寫出四個有理數，其中每三數之和分別為2，17，-1，-3，那么小華寫出的四個有理數的乘積等于______． 8．一種小麥磨成面粉后，重量要減少15%，為了得到4250公斤面粉，至少需要______公斤的小麥． 9.滿足2?x2x?1?的x值中,絕對值不超過11的那些整數之和等于______． 23 10．在下圖所示的每個小方格中都填入一個整數： 并且任意三個相鄰格子中所填數之和都等于5,則 答案與提示 一、選擇題 x?y?z=__________.xyz1．D 2．B 3．C 4．D 5．A 6．B 7．A 8．D 9．A 10．D 提示： 故選D． 2．依同類項的定義，選B． 3．(x-1)-(1-x)+(x+1)=x-1-1+x+x+1=3x-1，選C． 4．多項式x10+x與-x10+x2之和為x2+x是個次數低于10次的多項式，因此排除了A、B、C，選D． 5．由a+1＜0，知a＜-1，所以-a＞1．于是由小到大的排列次序應是a＜-1＜1＜-a，選A． 6．易見a=-123.4+123.5=0.1，b=123.4-123.5＜0，c=123.4-(-123.5)＞123.4＞a，所以b＜a＜c，選B． 7．因為a＜0，b＞0．所以|a|=-a，|b|=b．由于|a|＜|b|得-a＜b，因此a+b＞0，a-b＜0．ab+a＜0，ab-b＜0．所以應有(a-b)(ab+a)＞0成立，選A． =2a+5b-2a+2b=7b，選D． 9．因為a+2b+3c=m=a+b+2c，所以b+c=0，即b，c互為相反數，選A． 10．前三個數之和=1533，后兩個數之和=1032． 所以五個有理數的平均數為 二、填空題 提示： 1．前12個數，每四個一組，每組之和都是0．所以總和為14+15=29． 4．因為P-[Q-2P-(-P-Q)] =P-Q+2P+(-P-Q)=P-Q+2P-P-Q =2P-2Q=2(P-Q)以P=a2+3ab+b2，Q=a2-3ab+b2代入，2222原式=2(P-Q)=2[(a+3ab+b)-(a-3ab+b)] =2(6ab)=12ab． 6．六個單項式的系數依次為： 7．小華寫四個有理數之和為 分別減去每三數之和后可得這四個有理數依次為3，-12，6，8．所以，這四個有理數的乘積=33(-12)3638=-1728． 8．設需要x公斤小麥，根據題意，得 解方程，得x=5000． 答：需要5000公斤小麥． 去分母，得3(2+x)≥2(2x-1)去括號，得6+3x≥4x-2 移項，得3x-4x≥-2-6 合并同類項-x≥-8 于是x≤8． 其中絕對值不超過11的整數之和為(-9)+(-10)+(-11)=-30． 10．容易斷定與x相鄰的兩個數分別為9與2，即 因為9+x+2=5，則x=-6，依任意三個相鄰格子中所填數之和都等于5，分別確定出每個格子中所填之數如下： 斷定y=-6，z=9．所以 希望杯第三屆（1992年）初中一年級第二試試題 一、選擇題（每題1分，共10分） 1．若8.047=521.077119823，則0.8047等于()A．0.521077119823．B．52.1077119823．C．571077.119823．D．0.00521077119823． 2．若一個數的立方小于這個數的相反數，那么這個數是()A．正數． B．負數．C．奇數． D．偶數． 333．若a＞0，b＜0且a＜|b|，則下列關系式中正確的是()A．-b＞a＞-a＞b． B．b＞a＞-b＞-a．C．-b＞a＞b＞-a． D．a＞b＞-a＞-b． 4．在1992個自然數：1，2，3，?，1991，1992的每一個數前面任意添上“+”號或“-”號，則其代數和一定是()A．奇數． B．偶數．C．負整數． D．非負整數． 5．某同學求出1991個有理數的平均數后，粗心地把這個平均數和原來的1991個有理數混在一起，成為1992個有理數，而忘掉哪個是平均數了．如果這1992個有理數的平均數恰為1992．則原來的1991個有理數的平均數是 ()A．1991.5． B．1991．C．1992． D．1992.5． 6．四個互不相等的正數a，b，c，d中，a最大,d最小,且,則a+d與b+c的大小關系是()A．a+d＜b+c． B．a+d＞b+c．C．a+d=b+c． D．不確定的． ?x?1992y?p7.已知p為偶數,q為奇數,方程組?的解是整數,那么() 1993x?3y?q?A.x是奇數，y是偶數．B．x是偶數，y是奇數． C．x是偶數，y是偶數．D．x是奇數，y是奇數． 8．若x-y=2，x+y=4，則xA．4． B．1992．C．2222199 2+y 1992的值是() 19921992 ． D．4． 9．如果x，y只能取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的數，并且3x-2y=1，那么代數式10x+y可以取到()不同的值． A．1個． B．2個．C．3個． D．多于3個的． 10．某中學科技樓窗戶設計如圖15所示．如果每個符號（窗戶形狀）代表一個阿拉伯數碼，每橫行三個符號自左至右看成一個三位數．這四層組成四個三位數，它們是837，571，206，439．則按照圖15中所示的規律寫出1992應是圖16中的() 二、填空題（每題1分，共10分） a1b1c1d1e11.a,b,c,d,e,f是六個有理數,關且?,?,?,?,?,則 b2c3d4e5f6f=_____.a2．若三個連續偶數的和等于1992．則這三個偶數中最大的一個與最小的一個的平方差等于______． 3．若x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，則(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=______． 4．三個互不相等的有理數，既可表示為1，a+b,a的形式,又可表示為0,則a199 2b,b, 的形式,a+b1993=________.5．海灘上有一堆核桃．第一天猴子吃掉了這堆核桃的個數的去,第二天吃掉的核桃數再加上3個就是第一天所剩核桃數的____個.2,又扔掉4個到大海中55,那么這堆核桃至少剩下86．已知不等式3x-a≤0的正整數解恰是1，2，3．那么a的取值范圍是______． 7．a，b，c是三個不同的自然數，兩兩互質．已知它們任意兩個之和都能被第三個整除．則a+b+c=______． 8．若a=1990，b=1991，c=1992，則a2+b2+c2-ab-bc-ca=______． 9．將2，3，4，5，6，7，8，9，10，11這個10個自然數填到圖17中10個格子里，每個格子中只填一個數，使得田字形的4個格子中所填數字之和都等于p．則p的最大值是______． 10．購買五種教學用具A1，A2，A3，A4，A5的件數和用錢總數列成下表： 33 3那么，購買每種教具各一件共需______元． 三、解答題（每題5分，共10分） 1．將分別寫有數碼1，2，3，4，5，6，7，8，9的九張正方形卡片排成一排，發現恰是一個能被11整除的最大的九位數．請你寫出這九張卡片的排列順序，并簡述推理過程． 2．一個自然數a，若將其數字重新排列可得一個新的自然數b．如果a恰是b的3倍，我們稱a是一個“希望數”． (1)請你舉例說明：“希望數”一定存在． (2)請你證明：如果a，b都是“希望數”，則ab一定是729的倍數． 答案與提示 一、選擇題 1．A 2．B 3．A 4．B 5．C 6．B 7．B 8．C 9．C 10．D 提示： 所以將8.047=512.077119823的小數點向前移三位得0.512077119823，即為0.8047的值，選A． 2．設該數為a，由題意-a為a的相反數，且有a＜-a，∴a3+a＜0，a(a2+1)＜0，因為a+1＞0，所以a＜0,即該數一定是負數，選B． 3．已知a＞0，b＜0，a＜|b|．在數軸上直觀表示出來，b到原點的距離大于a到原點的距離，如圖18所示．所以-b＞a＞-a＞b，選A． 334．由于兩個整數a，b前面任意添加“+”號或“-”號，其代數和的奇偶性不變．這個性質對n個整數也是正確的．因此，1，2，3?，1991，1992，的每一個數前面任意添上“+”號或“-”號，其代數和的奇偶性與(-1)+2-3+4-5+6-7+8-?-1991+1992=996的奇偶性相同，是偶數，所以選B． 5．原來1991個數的平均數為m，則這個1991個數總和為m31991．當m混入以后，那1992個數之和為m31991+m,其平均數是1992，∴m=1992，選C． 6．在四個互不相等的正數a，b，c，d中，a最大，d最小，因此有a＞b，a＞c，a＞d，b＞d，c＞d． 所以a+b＞b+c，成立，選B． 7．由方程組 以及p為偶數，q為奇數，其解x，y又是整數． 由①可知x為偶數，由②可知y是奇數，選B． 8．由x-y=2 ①平方得x-2xy+y=4 又已知x2+y2=4 ③ 所以x，y中至少有一個為0，但x+y=4．因此，x，y中只能有一個為0，另一個為2或-2．無論哪種情況，都有 x1992 2222② +y1992=01992+(±2)1992=21992，選C． 9．設10x+y=a，又3x-2y=1，代入前式得 由于x，y取0—9的整數，10x+y=a的a值取非負整數．由(*)式知，要a為非負整數，23x必為奇數，從而x必取奇數1，3，5，7，9． 三個奇數值，y相應地取1，4，7這三個值．這時，a=10x+y可以取到三個不同的值11，34和57，選C． 二、填空題 提示： 與666，所以最大的一個偶數與最小的一個偶數的平方差等于 6662-6622=(666+662)(666-662)=132834=5312． 3．由于x+y=1000，且xy-xy=-496，因此要把(x-y)+(4xy-2xy)-2(xy-y)分組、湊項表示為含x+y及xy-xy的形式，以便代入求值，為此有 (x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=x3+y3+2xy2-2x2y=(x3+y3)-2(x2y-xy2)=1000-2(-496)=1992． 4．由于三個互不相等的有理數，既可表示為1，33223 3223 下，只能是b=1．于是a=-1． 所以，a1992+b1993=(-1)1992+(1) 1993 =1+1=2． 5．設這堆核桃共x個．依題意 我們以m表示這堆核桃所剩的數目（正整數），即 目標是求m的最小正整數值． 可知，必須20|x即x=20，40，60，80，?? m為正整數，可見這堆核桃至少剩下6個． 由于x取整數解1、2、3，表明x不小于3，即9≤a＜12． 可被第三個整除，應有b|a+c． ∴b≥2，但b|2，只能是b=2． 于是c=1，a=3．因此a+b+c=3+2+1=27+8+1=36． 8．因為a=1990，b=1991，c=1992，所以 a+b+c-ab-bc-ca 2223 333 9．將2，3，4，5，6，7，8，9，10，11填入這10個格子中，按田字格4個數之和均等于p，其總和為3p，其中居中2個格子所填之數設為x與y，則x、y均被加了兩次，所以這3個田字形所填數的總和為 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y=65+x+y 于是得3p=65+x+y． 要p最大，必須x，y最大，由于x+y≤10+11=21． 所以3p=65+x+y≤65+21=86． 所以p取最大整數值應為28． 事實上，如圖19所示可以填入這10個數使得p=28成立． 所以p的最大值是28． 10．設A1，A2，A3，A4，A5的單價分別為x1，x2，x3，x4，x5元． 則依題意列得關系式如下： ③32-④式得 x1+x2+x3+x4+x5=231992-2984=1000． 所以購買每種教具各一件共需1000元． 三、解答題 1．解①（邏輯推理解） 我們知道，用1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的最大九位數是987654321．但這個數不是11倍的數，所以應適當調整，尋求能被11整除的最大的由這九個數碼組成的九位數． 設奇位數字之和為x，偶位數字之和為y． 則x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45． 由被11整除的判別法知 x-y=0，11，22，33或44． 但x+y與x-y奇偶性相同，而x+y=45是奇數，所以x-y也只能取奇數值11或33． 于是有 但所排九位數偶位數字和最小為1+2+3+4=10＞6．所以（Ⅱ）的解不合題意，應該排除，由此只能取x=28，y=17． 987654321的奇位數字和為25，偶位數字和為20，所以必須調整數字，使奇位和增3，偶位和減3才行。為此調整最后四位數碼，排成987652413即為所求． 解②（觀察計算法） 987654321被11除余5．因此，987654316是被11整除而最接近987654321的九位數．但987654316并不是由1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的，其中少數字2，多數字6．于是我們由987654316開始，每次減去11，直到遇到恰由1，2，3，4，5，6，7，8，9九個數字組成的九位數為止．其過程是 987654316→987654305→987654294→987654283 →987654272→987654261→987654250→987654239 →987654228→987654217→987654206→987654195 →987654184→??→987652435→987652424 →987652413． 這其間要減去173次11，最后得出一個恰由九個數碼組成的九位數987652413，為所求，其最大性是顯見的，這個方法雖然操作173次，但算量不繁，尚屬解決本題的一種可行途徑，有一位參賽學生用到了此法，所以我們整理出來供大家參考． 2．(1)答：由于428571=33142857，所以428571是一個“希望數”． 說明：一個自然數a，若將其數字重新排列可得一個新的自然數b．如果a恰是b的3倍，我們稱a是一個“希望數”．這實際上給出了“希望數”的定義。考察參賽學生閱讀理解定義的能力，并能舉例說明被定義的對象存在．在一位數、二位數、三位數中找不到“希望數”．而在四位數中很容易找到實例． 如：3105=331035，所以3105是個“希望數”； 或：7425=332475，所以7425是個“希望數”； 或：857142=33285714，所以857142是個“希望數”； 以下我們再列舉幾個同學們舉的例子供參考，如： 37124568=3312374856 43721586=3314573862 692307=33230769 461538=33153846 705213=33235071 8579142=332859714 594712368=33198237456 37421568=3312473856 341172=33113724． 可見37124568，43721586，592307，461538，705213，8579142，594712368，37421568，341172都是希望數，事實上用3105是希望數，可知31053105也是“希望數”，只要這樣排下去，可以排出無窮多個“希望數”．因此，“希望數”有無窮多個． (2)由a為“希望數”，依“希望數”定義知，存在一個由a的數字重新排列而成的自然數p，使得a=3p并且a的數字和等于p的數字和． 由a=3p和a為3的倍數． 因此a被9整除． 于是a是27的倍數． 這樣就證明了，“希望數”一定能被27整除． 現已知a，b都是“希望數”，所以a，b都是27的倍數． 即a=27n1，b=27n2（n1，n2為正整數）． 所以ab=(27n1)(27n2)=(27327)(n13n2)=729n1n2． 所以ab一定是729的倍數． 希望杯第四屆（1993年）初中一年級第一試試題 一、選擇題:（每題1分，共15分） 1．若a是有理數,則m?12345????一定不是()aaaaaA．正整數． B．負整數．C．負分數． D．零． 2.1993-{1993-[1993-(1992-1993)]}的值等于()A．-1995． B．1991．C．1995． D．1993． 3．若a＜b，則(a-b)|a-b|等于()A．(a-b)2． B．b2-a2．C．a2-b2． D．-(a-b)2． 4.若n是正整數,并且有理數a,b滿足a+ 1=0,則必有()b3n2n?1?1??1? A.an+??=0;B.a2n+???b??b?5.如果有理數a,b滿足2n2n?1?1??1?=0;C.a2n+??=0;D.a2n+1+???b??b?=0.11?=0,則下列說法中不正確的一個是()abA． a與b的和是0． B．a與b的差是正數． C．a與b的積是負數． D．a除以b，得到的商是-1． 6.甲的6張卡片上分別寫有-4,-1,-2.5,-0.01,-3-5,-1,0.1,-0.001,-8,-1 23,-15,乙的6張卡片上分別寫有41a,則乙的卡片上的最小數a與甲的卡片上的最大數b的 比2b的值等于()A．1250． B．0．C．0.1． D．800． 7．a是有理數，則在下列說法中正確的一個是 () D．(a-1993)+0.001是正數． 2A．-a是負數． B．a是正數．C．-|a|是負數． ***01900?? 的值等于()***09300191 A.-3;B.-;C.-1;.D.-.3138.-9．在下列條件中，能使ab＜b成立的是()A．b＞0，a＞0．B．b＜0，a＜0．C．b＞0，a＜0．D．b＜0，a=0． 10.若a=???3.14??2.14??1.14??3.12?2.12,b=,c=??????(?1.12),則a,b,c的大小3.13?2.131.13??????D．c＞b＞a． 關系是()A．a＞b＞c． B．a＞c＞b．C．b＞c＞a． 11．有理數a、b小于零，并且使(a-b)＜0，則 A.3()11?;B.-a<-b;C.丨a丨>丨b丨;D.a2>b4.ab12．M表示a與b的和的平方，N表示a與b的平方的和，則當a=7，b=-5時，M-N的值為()A．-28． B．70．C．42． D．0． 13.有理數111，8恰是下列三個方程的根: 252x?110x?12x?1???1,3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3),3124xz1?1?2z?(z?1)?(z?1),則?的值為()??yx2?2?3A.-***;B.-;C.;D..80554022014．圖22是中國古代著名的“楊輝三角形”的示意圖．圖中填入的所有數的總和等于()A．126． B．127．C．128． D．129． 15．在自然數：1，2，3，4，5，?中，前15個質數之和的負倒數等于()A.-1111;B.-;C.-;D.-.328329337340 二、填空題（每題1分，共15分） 1．若a＞0，在-a與a之間恰有1993個整數，則a的取值范圍是______． 2．如果相鄰的兩個正整數的平方差等于999，則這兩個正整數的積等于______． 3.(?1)(?2)?(?3)(?4)?(?5)(?6)?(?7)(?8)=_________.(?1)(?2)?(?2)(?3)?(?3)(?4)?(?4)(?5)4．一輛公共汽車由起點站到終點站（這兩站在內）共途經8個車站。已知前6個車站共上車100人，除終點站外前面各站共下車80人，則從前6站上車而在終點站下車的乘客共有______． 5．(32-22)2+(42-32)2+(52-42)2+(62-52)2=______． 6．在多項式1993umvn+3xmyn+u3mv2n-4xn-1y2m-4（其中m，n為正整數）中，恰有兩項是同類項，則m2n=______． 7．若a，b，c，d為整數，(a+b)(c+d)=1993，則a+b+c+d=______． 8.方程 21?1?1?1???x?1????1??1??1?1993的根是x=____________.2?2?22??????19??9393?9.(-1)÷???????=______.?93??1919?10．甲、乙兩個火車站相距189公里，一列快車和一列慢車分別從甲、乙兩個車站同時出發，相向而行，經過1.5小時，兩車相遇，又相距21公里，若快車比慢車每小時多行12公里，則慢車每小時行______公里． b211．在等式y=kx+b中，當x=0時，y=2；當x=3時,y=3,則=______.k12.滿足不等式2?x2x?1?的所有非負整數的乘積等于_______.2313.有理數a,b,c,d使abcdabcd =-1,則 aa?bb?cc?dd的最大值是_______.14．△ABC是等邊三角形，表示其邊長的代數式均已在 ?x2?y2圖23中標出,則?22?x?2y?27??1=_________.?4015．有人問一位老師：他教的班有多少學生．老師說：“一半學生在學數學，四分之一的學生在學音樂，七分之一的學生在念外語，還剩不足六位學生正在操場踢足球．”則這個“特長班”共有學生______人． 答案與提示 一、選擇題 1．D 2．C 3．D 4．D 5．B 6．A 7．D 8．B 9．C 10．A 11．C 12．A 13．B 1 4．B 15．A 提示： 若a=1，m=3排除A，若a=-1，m=-3排除B． = =1993-1992+[1993-(-1)]=1+1994=1995，選C． 3．因a＜b所以a-b＜0，此時|a-b|=b-a． 所以(a-b)|a-b|=(a-b)(b-a)=-(a-b)(a-b)=-(a-b)2，選D． 的是B． 7．當a=0，顯然A，B，C，均不正確，應排除，所以選D．事確上，對任意有理數a，都有(a-1993)≥0，所以(a-1993)+0.001＞0是正數． 229．b=1＞0，a=2＞0，ab=231=2＞1=b，排除A；a＜0，b＜0，ab＞0＞b，排除B；a=0，b＜0，ab=0＞b排除D，因此選擇C． 10．容易看出a，b，c均為負數，我們看|a|，11．由(a-b)＜0，得出a-b＜0．即a＜b． ∵a，b＜0，∴|a|＜|b|，選C． 12．M=(a+b)，N=a+b． M-N=(a+b)-(a+b)=a+2ab+b-a-b=a+2ab-a． 222 222 314．第1行只有1=2，第2行1+1=2=2，第3行1+2+1=4=2，第4行1+3+3+1=8=2，第5行1+4+6+4+1=16=24，2 301第6行1+5+10+10+5+1=32=25 第7行1+6+15+20+15+6+1=64=26． 圖中填入所有數之和為1+2+4+8+16+32+64=127，選B． 二、填空題 提示： 1．在-a與a之間的整數為2n+1個．所以由2n+1=1993知，n=996，即996≤a＜997． 2．相鄰的兩個正整數設為n與n+1，則由(n+1)-n=2n+1=999得n=499，n+1=500． 相鄰的兩個正整數的積為4993500=249500． 4．設第1站到第7站上車的乘客依次為a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7．第2站到第8站下車的乘客依次為b2，b3，b4，b5，b6，b7，b8顯然應有a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8． 已知a1+a2+a3+a4+a5+a6=100，b2+b3+b4+b5+b6+b7=80． 表明從前6站上車而在終點站下車的乘客共20人． 5．原式=5+7+9+11=276． 6．若1993uv與uv為同類項．只能m=0且n=0．與已知條件不合，所以只能3xy與-4xn-1y2m-4為同類項．于是得m=n-1，n=2m-4．解得m=5，n=6，所以mn=30． 7．由于1993是質數，a+b，c+d是1993的約數，只能a+b=1，c+d=1993，或a+b=1993，c+d=1，所以a+b+c+d=1+1993=1994． 2222222 222 2mn3m2n mn2222 所有非負整數解的積=0． 14．由2x-8=x+6，解得x=14．所以正三角形邊長為14+6=20． 由3y+2=20，解得y=6，所以 15．設這個班共有學生x人．在操場踢足球的學生共a人，依條件，x，a都是自然數，且1≤a＜6． 根據題意列方程如下：合并同類項，移項得因為a，x均為自然數，(3，28)=1所以3|a． 但a只能取1，2，3，4，5這五個數，所以a=3．因此x=28． 答：這個班共有28名學生． 希望杯第四屆（1993年）初中一年級第二試試題 一、1.選擇題:（每題1分，共10分） 1111???的值是()0.10.010.0010.0001A．-11110． B．-11101．C．-11090． D．-11909． 2．一滴墨水灑在一個數軸上，根據圖24中標出的數值，可以判定墨跡蓋住的整數個數是()A．285． B．286．C．287． 2D．288． 23．a，b都是有理數，代數式a+b，a-b，(a-b)，(a+b)，ab+1，ab+1，a+b+0.1，2a+3b+1中，其值為正的共有()A．3個． B．4個．C．5個． D．6個． 22232 44．a，b，c在數軸上的位置如圖25所示,則下列代數式中其值為正的一個是()A.?a???1??11?(a?c);B.????(c?a);C.(1-a)(c-b);D.ac(1-bc).b??bc? 5．19+93的末位數字是()A．2． B．4． C．6． D．8． 6．今天是4月18日，是星期日，從今天算起第1993天之后的那一天是 A．星期五． B．星期六．C．星期日． D．星期一． 7．n為正整數，302被n(n+1)除所得商數q及余數r都是正值．則r的最大值與最小值的和是()A．148． B．247．C．93． D．122． () 39319 ()8．絕對值小于100的所有被3除余1的整數之和等于 A．0． B．-32．C．33． D．-33． 9．x是正數， 10．如圖26是一個長為a，寬為b的矩形．兩個陰影圖形都是一對長為c的底邊在矩形對邊上的平行四邊形．則矩形中未涂陰影部分的面積為()A.ab-(a+b)c．B．ab-(a-b)c． C．(a-c)(b-c)．D．(a-c)(b+c)． 二、填空題（每題1分，共10分） 1．在1993.4與它的負倒數之間共有a個整數．在1993.4與它的相反數之間共有b個整數,在-1與它的絕對值之間共有c個整數,則a+b+c=_________.1993.42．設a=1÷2÷3÷4，b=1÷(2÷3÷4)，c=1÷(2÷3)÷4，d=1÷2÷(3÷4)，則(b÷a)÷(c÷d)=______． 3．兩個同樣的大小的正方體形狀的積木．每個正方形上相對的兩個面上寫的數之和都v 等于-1，現將兩個正方體并列放置．看得見的五個面上的數字如圖27所示，則看不見 希望杯數學競賽五年級組試題及答案 一、以下每題6分，共120分1、20140316÷5，余數是___。 2、用1，5，7組成各位數字不同的三位數，其中最小的質數是_______。 3、10個2014相乘，積的末位數是___________。 4、有一列數：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，......，每個數n都寫了n次。當寫到20的時候，數字“1”出現了____________次。 5、一個小數，若去掉小數點，則得到的整數與原小數的和是201.3，那么這個小數是______。 6、已知三位數abc與cba的差abc—cba=198，則abc最大是__________。 7、若將20表示成若干個互不相同的奇數的和，那么，不同的表示方法有___________種。（加數相同，相加的次序不同，算作同一種表示方法。如1+19與19+1算作同一種表示方法。） 8、A、B兩家面包店銷售的面包，售價相同。某天，A面包店的面包售價打八折，A面包店這天的營業額是B面包營業額的1.2倍，則A面包店售出的面包數量是B面包店的_________倍。 9、如圖，甲桶內有水4升，乙桶內有水13升，向兩個桶內加入同樣多的水后，乙桶內的水是甲桶內的水的3倍(水不溢出)，那么，向每個桶內加入的水是_________升。 10、如圖，一只螞蟻從墻根豎直向上爬到墻頭用了4分鐘，從墻頭沿原路返回到出發點用了3分鐘。若螞蟻第二分鐘比第一分鐘多爬1分米，第三分鐘比第二分鐘多爬1分米，…….整個過程中，每分鐘爬過的路程都比前一分鐘多1分米，則墻高________米。 11、如圖，五邊形ABCDE內有一點O，O點到五條邊的垂線段的長都是4厘米，五邊形的周長是30厘米，則五邊形ABCDE的面積是__________平方厘米。 12、一天，小華去一棟居民樓做社會調查，這棟樓有15層，每層有35個窗戶，每兩戶人家有5個窗戶。若每戶人家需要一份調查表，則小華至少應帶調查表__________份。 13、如圖，一個四邊形花園的四條邊長分別是63米，70米，84米，98米，規定：在花園的四角和邊上植樹，相鄰兩顆樹的間距是相等的整數（單位：米），則至少植樹__________棵。 14、小紅和小亮玩“石頭剪刀布”的游戲，約定：在每個回合中，如果贏了就得3分，輸了就扣2分，每個回合都分出勝負。游戲開始前，兩人各有20分，玩了10個回合后，小紅的得分就是40分，則小紅贏了_______個回合。 15、如圖，線段AB和CD垂直且相等，點E、F、G是線段AB的四等分點，點E、H是線段CD的三等分點，從A、B、C、D、E、F、G、H這8個點中任選3個作就頂點構成三角形，其中，面積與△CFE面積相等的三角形（不包括△CFE）有__________個。 16、一個長方體的長、寬、高都是兩位數（其中長的值最大），并且它們的和是偶數。若這個長方體的體積是2772，2380，3261，4145這四個數中的一個，則這個長方體的長是__________。 17、如圖，用若干個棱長為1的小正方體堆成一個大的幾何體，這個幾何體的表面積(含底面積)是_________。 18、若115，200，268被某個大于1的自然數除，得到的余數都相同，那么，用2014除以這個自然數，得到的余數是__________。 19、如圖，一輛汽車從甲地開往乙地，若每小時行45千米，則將比原計劃遲到1小時；若每小時行60千米，則將比原計劃甲到1小時。那么，甲、乙兩地的距離是_________千米。 答案：?1、12、1573、64、1575、18.36、9977、78、1.59、0.510、4.211、6012、21013、4514、815、1216、2117、9018、819、36020、102 點點文化 希望杯第一屆（1990年）初中一年級第一試試題...........................................................1 希望杯第一屆（1990年）初中一年級第二試試題...........................................................4 希望杯第二屆（1991年）初中一年級第一試試題..........................................................11 希望杯第二屆（1991年）初中一年級第二試試題.........................................................17 希望杯第三屆（1992年）初中一年級第一試試題.........................................................21 希望杯第三屆（1992年）初中一年級第二試試題.........................................................25 希望杯第四屆（1993年）初中一年級第一試試題.........................................................35 希望杯第四屆（1993年）初中一年級第二試試題.........................................................43 希望杯第五屆（1994年）初中一年級第一試試題.........................................................51 希望杯第五屆（1994年）初中一年級第二試試題........................................................57 希望杯第六屆（1995年）初中一年級第一試試題.........................................................61 希望杯第六屆（1995年）初中一年級第二試試題.........................................................67 希望杯第七屆（1996年）初中一年級第一試試題.........................................................77 希望杯第七屆（1996年）初中一年級第二試試題.........................................................83 希望杯第八屆（1997年）初中一年級第一試試題.........................................................84 希望杯第八屆（1997年）初中一年級第二試試題.........................................................91 希望杯第九屆（1998年）初中一年級第一試試題.........................................................98 希望杯第九屆（1998年）初中一年級第二試試題.......................................................107 希望杯第十屆（1999年）初中一年級第二試試題........................................................115 希望杯第十屆（1999年）初中一年級第一試試題.......................................................123 希望杯第十一屆（2000年）初中一年級第一試試題...................................................126 希望杯第十一屆（2000年）初中一年級第二試試題...................................................132 希望杯第十二屆（2001年）初中一年級第一試試題...................................................135 希望杯第十二屆（2001年）初中一年級第二試試題...................................................138 希望杯第十三屆（2002年）初中一年級第一試試題...................................................143 希望杯第十三屆（2001年）初中一年級第二試試題...................................................146 希望杯第十四屆（2003年）初中一年級第一試試題...................................................150 希望杯第十四屆（2003年）初中一年級第二試試題...................................................153 希望杯第十五屆（2004年）初中一年級第一試試題...................................................158 希望杯第十五屆（2004年）初中一年級第二試試題...................................................161 希望杯第十六屆（2005年）初中一年紀第一次試卷 希望杯第一屆（1990年）初中一年級第一試試題 二、填空題（每題1分，共10分） 點點文化 111516??(?22)?4? ______． 1.0.0125?3??(?87.5)?5716152．198919902－198919892=______． (2?1)(22?1)(24?1)(28?1)(216?1)3.=________.232?14.關于x的方程1?xx?2??1的解是_________.485．1－2＋3－4+5－6+7－8+?+4999－5000=______． 24時,代數式(3x3－5x2+6x－1)－(x3－2x2+x－2)+(－2x3+3x2+1)的值是____． 125722711(a?b)?(b?a?0.16)?(a?b)的值是7．當a=－0.2，b=0.04時，代數式737246.當x=-______.8．含鹽30%的鹽水有60千克，放在秤上蒸發，當鹽水變為含鹽40%時，秤得鹽水的重是______克． 10．現在4點5分，再過______分鐘，分針和時針第一次重合． 答案與提示 二、填空題 提示： 點點文化 2．19891990－19891989 =(19891990+19891989)3(19891990－19891989)=(19891990+19891989)31=39783979． 3．由于(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)=(2－1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)=(2－1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)=(2－1)(2+1)(2+1)(2+1)=(2－1)(2+1)(2+1)=(2－1)(2+1)=2－1． ***2248 162 481624 162 22(1+x)－(x－2)=8,2+2x－x+2=8解得；x=4 5．1－2+3－4+5－6+7－8+?+4999－5000 =(1－2)+(3－4)+(5－6)+(7－8)+?+(4999－5000) =－2500． 6．(3x－5x+6x－1)－(x－2x+x－2)+(－2x+3x+1)=5x+2 32 323 點點文化 7．注意到： 當a=－0.2，b=0.04時，a－b=(－0.2)－0.04=0，b+a+0.16=0.04－0.2+0.16=0． 2 8．食鹽30%的鹽水60千克中含鹽60330%（千克）設蒸發變成含鹽為40%的水重x克，即0.001x千克，此時，60330%=(0.001x)340% 解得：x=45000（克）． 分針針夾角為120°即 希望杯第一屆（1990年）初中一年級第二試試題 一、選擇題（每題1分，共5分） 以下每個題目里給出的A，B，C，D四個結論中有且僅有一個是正確的．請你在括號填 點點文化 上你認為是正確的那個結論的英文字母代號． 1．某工廠去年的生產總值比前年增長a%，則前年比去年少的百分數是()A．a%． B．(1+a)%． C.a?1a D.100a100?a2．甲杯中盛有2m毫升紅墨水，乙杯中盛有m毫升藍墨水，從甲杯倒出a毫升到乙杯里, 0＜a＜m，攪勻后，又從乙杯倒出a毫升到甲杯里，則這時()A．甲杯中混入的藍墨水比乙杯中混入的紅墨水少． B．甲杯中混入的藍墨水比乙杯中混入的紅墨水多． C．甲杯中混入的藍墨水和乙杯中混入的紅墨水相同． D．甲杯中混入的藍墨水與乙杯中混入的紅墨水多少關系不定． 3.已知數x=100,則()A．x是完全平方數．B．(x－50)是完全平方數． C．(x－25)是完全平方數．D．(x+50)是完全平方數． 4．觀察圖1中的數軸：用字母a，b，c依次表示點A，B，C對應的數,則大小關系是() 111，的abb?ac A.111111111111??;B.<<;C.<<;D.<<.abb?accb?aabcabb?ab?aabc5．x=9，y=－4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一組整數解，這個方程的不同的整數解共有()A．2組． B．6組．C．12組． D．16組． 二、填空題（每題1分，共5分） 1．方程|1990x－1990|=1990的根是______． 2．對于任意有理數x，y，定義一種運算*，規定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知數，等式右邊是通常的加、減、乘運算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），點點文化 則m的數值是______． 3．新上任的宿舍管理員拿到20把鑰匙去開20個房間的門，他知道每把鑰匙只能開其中的一個門，但不知道每把鑰匙是開哪一個門的鑰匙，現在要打開所有關閉著的20個房間，他最多要試開______次． 4．當m=______時，二元二次六項式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解為兩個關于x，y的二元一次三項式的乘積． 5．三個連續自然數的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某個自然數的平方． 三、解答題（寫出推理、運算的過程及最后結果．每題5分，共15分） 1．兩輛汽車從同一地點同時出發，沿同一方向同速直線行駛，每車最多只能帶24桶汽油，途中不能用別的油，每桶油可使一輛車前進60公里，兩車都必須返回出發地點，但是可以不同時返回，兩車相互可借用對方的油．為了使其中一輛車盡可能地遠離出發地點，另一輛車應當在離出發地點多少公里的地方返回？離出發地點最遠的那輛車一共行駛了多少公里？ 2．如圖2，紙上畫了四個大小一樣的圓，圓心分別是A，B，C，D，直線m通過A，B，直線n通過C，D，用S表示一個圓的面積，如果四個圓在紙上蓋住的總面積是5(S－1)，直線m，n之間被圓蓋住的面積是8，陰影部分的面積S1，S2，S3滿足關系式S3= 11S1=S2,求S． 33 11153.求方程???的正整數解.xyz6 點點文化 答案與提示 一、選擇題 1．D 2．C 3．C 4．C 5．D 提示： 1．設前年的生產總值是m，則去年的生產總值是 前年比去年少 這個產值差占去年的應選D． 2．從甲杯倒出a毫升紅墨水到乙杯中以后： 再從乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后： 乙杯中含有的紅墨水的數量是乙杯中減少的藍墨水的數量是∵①=②∴選C． ① ② ∴x－25=(10+5)可知應當選C． n+2 2點點文化 4．由所給出的數軸表示（如圖3）： 可以看出 ∴①＜②＜③，∴選C． 5．方程2x2+5xy+3y2=30可以變形為(2x+3y)(x+y)=1222325 ∵x，y是整數，∴2x+3y，x+y也是整數． 由下面的表 可以知道共有16個二元一次方程組，每組的解都是整數，所以有16組整數組，應選D． 二、填空題 提示： 1．原方程可以變形為|x－1|=1，即x-1=1或-1，∴x=2或0． 2．由題設的等式x*y=ax+by-cxy 及x*m=x(m≠0)得a20+bm-c202m=0，點點文化 ∴bm=0． ∵m≠0，∴b=0． ∴等式改為x*y=ax-cxy． ∵1*2=3，2*3=4，解得a=5，c=1． ∴題設的等式即x*y=5x-xy． 在這個等式中，令x=1，y=m，得5-m=1，∴m=4． 3．∵打開所有關閉著的20個房間，∴最多要試開 4．利用“十字相乘法”分解二次三項式的知識，可以判定給出的二元二次六項式 6x+mxy-4y-x+17y-15 中劃波浪線的三項應當這樣分解： 3x-5 2x +3 現在要考慮y，只須先改寫作 然后根據-4y2，17y這兩項式，即可斷定是： 由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x+5xy-4y-x+17y-15就是原六項式，所以m=5． 5．設三個連續自然數是a-1，a，a+1，則它們的平方和是(a-1)2+a2+(a+1)2=3a2+2，顯然，這個和被3除時必得余數2． 另一方面，自然數被3除時，余數只能是0或1或2，于是它們可以表示成 3b，3b+1，3b+2（b是自然數）中的一個，但是它們的平方(3b)=9b (3b+1)2=9b2+6b+1，(3b+2)=9b+12b+4 222 22222 點點文化 =(9b2+12b+3)+1 被3除時，余數要么是0，要么是1，不能是2，所以三個連續自然數平方和不是某個自然數的平方． 三、解答題 1．設兩輛汽車一為甲一為乙，并且甲用了x升汽油時即回返，留下返程需的x桶汽油，將多余的(24-2x)桶汽油給乙．讓乙繼續前行，這時，乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油，依題意，應當有48-3x≤24，∴x≥8． 甲、乙分手后，乙繼續前行的路程是 這個結果中的代數式30(48-4x)表明，當x的值愈小時，代數式的值愈大，因為x≥8，所以當x=8時，得最大值30(48-428)=480（公里），因此，乙車行駛的路程一共是2(6028+480)=1920（公里）． 2．由題設可得 即2S-5S3=8??② ∴x，y，z都＞1，點點文化 因此，當1＜x≤y≤z時，解 (x，y，z)共(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)四組． 由于x，y，z在方程中地位平等．所以可得如下表所列的15組解． 希望杯第二屆（1991年）初中一年級第一試試題 一、選擇題（每題1分，共15分） 以下每個題目的A，B，C，D四個結論中，僅有一個是正確的，請在括號內填上正確的那個結論的英文字母代號． 1．數1是() D．最小有理數． A．最小整數． B．最小正數．C．最小自然數． 點點文化 2．若a＞b，則()A.11?;B．-a＜-b．C．|a|＞|b|． abD．a＞b． 223．a為有理數，則一定成立的關系式是()A．7a＞a． B．7+a＞a．C．7+a＞7． D．|a|≥7． 4．圖中表示陰影部分面積的代數式是()A．ad+bc．B．c(b-d)+d(a-c)．C．ad+c(b-d)．D．ab-cd． 5．以下的運算的結果中，最大的一個數是() 1;246811C.(-13579)3;D.(-13579)÷ 24682468A．(-13579)+0.2468;B.(-13579)+6．3.141637.5944+3.14163(-5.5944)的值是()A．6.1632． B．6.2832．C．6.5132． D．5.3692． 7.如果四個數的和的1是8,其中三個數分別是-6,11,12,則笫四個數是()4A．16． B．15． C．14． D．13． 11且小于-的是()3411436 A.-;B.-;C.-;D.-.2013161739.方程甲:(x-4)=3x與方程乙:x-4=4x同解,其根據是()48.下列分數中,大于-A.甲方程的兩邊都加上了同一個整式x．B.甲方程的兩邊都乘以C.甲方程的兩邊都乘以10．如圖: O是原點,則 4x;343;D.甲方程的兩邊都乘以.34，數軸上標出了有理數a，b，c的位置,其中111，的大小關系是()abc111111111111 A.??;B.>>;C.>>;D.>>.abcbcabaccabx5?11.方程的根是()22.23.7 點點文化 A．27． B．28． C．29． D．30． 12.當x= 4x?2y1,y=-2時,代數式的值是() xy2A．-6． B．-2． C．2． D．6． 13．在-4，-1，-2.5，-0.01與-15這五個數中，最大的數與絕對值最大的那個數的乘積是()A．225． 14.不等式1?B．0.15．C．0.0001． D．1． xxxx????x的解集是()248161A．x＜16． B．x＞16．C．x＜1． D.x>-.1615．濃度為p%的鹽水m公斤與濃度為q%的鹽水n公斤混合后的溶液濃度是() (mp?nq)p?q(mp?nq)%;D.(mp?nq)%%;B.%.A.;C.p?q2m?n 二、填空題（每題1分，共15分） 1． 計算：(-1)+(-1)-(-1)3(-1)÷(-1)=______． 1=_______.6(?63)?363． 計算：=__________.1622． 計算：-3÷6324． 求值：(-1991)-|3-|-31||=______． 5． 計算:111111?????=_________.2612203042n6．n為正整數，1990-1991的末四位數字由千位、百位、十位、個位、依次排列組成的四位數是8009．則n的最小值等于______． 7.計算：??8.計算：?191919??1919??????=_______.9191919191????1[(-1989)+(-1990)+(-1991)+(-1992)+(-1993)]=________.5 點點文化 ?1?9.在(-2),(-3),????2?555?1?,???中,最大的那個數是________.?3?510．不超過(-1.7)2的最大整數是______． 11.解方程2x?110x?12x?1???1,x?_____.3124355?355??????113?113?12.求值:=_________.355??????113?13．一個質數是兩位數，它的個位數字與十位數字的差是7，則這個質數是______． 14.一個數的相反數的負倒數是 1,則這個數是_______.1915．如圖11，a，b，c，d，e，f均為有理數．圖中各行，各列、兩條對角線上三個數ab?cd?ef之和都相等,則=____.a?b?c?d?e?f答案與提示 一、選擇題 1．C 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．C 10．B 11．D 12．A 13．B 1 4．A 15．D 提示： 1．整數無最小數，排除A；正數無最小數，排除B；有理數無最小數，排除D．1是最小自然數．選C． 有|2|＜|-3|，排除C；若2＞-3有2＜(-3)，排除D；事實上，a＞b必有-a＜-b．選B． 3．若a=0，730=0排除A；7+0=7排除C|0|＜7排除D，事實上因為7＞0，必有7+a＞0+a=a．選B． 4．把圖形補成一個大矩形，則陰影部分面積等于ab-(a-c)(b-d)=ab-[ab-ad-c(b-d)]=ab-ab+ad+c(b-d)=ad+c(b-d)．選C． 22點點文化 5．運算結果對負數來說絕對值越小其值越大。 6．3.141637.5944+3.14163(-5.5944)=3.1416(7.5944-5.5944)=233.1416 =6.2832．選B． 為32．第四個數數=32-(-6+11+12)=15．選B． 新方程x-4=4x與原方程同解．選C． 13．-4，-1，-2.5，-0.01與-15中最大的數是-0.01，絕對值最大的數是-15，(-0.01)3(-15)=0.15．選B． 15．設混合溶液濃度為x，則m3p%+n3q%=(m+n)x． 二、填空題 提示： 1．(-1)+(-1)-(-1)3(-1)÷(-1)=(-2)-(-1)=-1． 點點文化 4．(-1991)-|3-|-31||=-1991-28=-2019． 6．1990n的末四位數字應為1991+8009的末四位數字．即為0000，即1990n末位至少要4個0，所以n的最小值為4． (-1993)]=-1991． 10．(-1.7)2=2.89，不超過2.89的最大整數為2． 去分母得 4(2x-1)-(10x+1)=3(2x+1)-12． 8x-4-10x-1=6x+3-12． 8x-10x-6x=3-12+4+1． 點點文化 13．十位數比個位數大7的兩位數有70，81，92，個位數比十位數大7的兩位數有18，29，其中只有29是質數． b+d+7=-1+3+7=9，所以各行各列兩條對角線上三個數之和等于9．易求得a=4，e=1，c=5，f=0． 希望杯第二屆（1991年）初中一年級第二試試題 二、填空題（每題1分，共10分） 1． 絕對值大于13并且小于15.9的所有整數的乘積等于______． mm?900?2132112． 單項式xyz與3xy2z7?17是同類項,則m=________.4190091=_________.199019912?19901989?19901991114． 現在弟弟的年齡是哥哥年齡的,而9年前弟弟的年齡只是哥哥的,則哥哥現在253． 化簡: 點點文化 的年趟齡是_____.5． 某同學上學時步行，放學回家乘車往返全程共用了1.5小時，若他上學、下學都乘車．則只需0.5小時．若他上學、下學都步行，則往返全程要用______小時． 6． 四個連續正整數的倒數之和是2 219,則這四個正整數兩兩乘積之和等于______． 20.7．1.2345+0.7655+2.46930.7655=______． 8.在計算一個正整數乘以3.57的運算時,某同學誤將3.57錯寫為3.57,結果與正確答案相差14,則正確的乘積是_______.9．某班學生人數不超過50人．元旦上午全班學生的.21去參加歌詠比賽, 全班學生的94去玩乒乓球,而其余學生都去看電影,則看電影的學生有________人.10．游泳者在河中逆流而上．于橋A下面將水壺遺失被水沖走．繼續前游20分鐘后他發現水壺遺失，于是立即返回追尋水壺．在橋A下游距橋A 2公里的橋B下面追到了水壺．那么該河水流的速度是每小時______公里． 三、解答題（每題5分，共10分，要求：寫出完整的推理、計算過程，語言力求簡明，字跡與繪圖力求清晰、工整） 1.有一百名小運動員所穿運動服的號碼恰是從1到100這一百個自然數，問從這100名運動員中至少要選出多少人，才能使在被選出的人中必有兩人，他們運動服的號碼數相差9？請說明你的理由． 2．少年科技組制成一臺單項功能計算器，對任意兩個整數只能完成求差后再取絕對值的運算，其運算過程是：輸入第一個整數x1，只顯示不運算，接著再輸入整數x2后則顯示|x1-x2|的結果，此后每輸入一個整數都是與前次顯示的結果進行求差取絕對值的運算，現小明將從1到1991這一千九百九十一個整數隨意地一個一個地輸入，全部輸入完畢之后顯示的最后結果設為p．試求出p的最大值，并說明理由． 二、填空題 提示： 點點文化 1．絕對值大于13而小于15.9的所有整數是-15，-14，14，15，其乘積為(-14)(-15)(14)(15)=44100． 3．令n=19901990，n-1=19901989，19901991=n+1． 則分母199019912-19901989319901991=(n+1)2-(n-1)(n+1)=2(n+1)． 5．設步行速度為x，乘車速度為y，學校到家路程為s，則 6．設所求的四個連續整數分別為a，a+1，∴a=2不合題設條件． 和為334+335+336+435+436+536=119． 7．令x=1.2345，y=0.7655，則2xy=2.46930.7655，1.23452+0.76552+2.4693 點點文化 0.7655=(x+y)2=(1.2345+0.7655)2=22=4 9．顯然全班人數被9整除，也被4整除，所以被4和9的最小公倍36整除，但全班人數小于50，可見全班總計36人，看電影的同學為36-8-9=19． 10．設該河水速每小時x公里．游泳者每小時 解得x=3．即該河水速每小時3公里． 三、解答題 1．若選出54個人，他們的號碼是1，2，?，8，9，19，20，?，26，27，37，38?，44，45，55，56，?，62，63，73，74，?，80，81，91，92?，98，99．的時候，任兩個人號碼數之差均不等于9． 可見，所選的人數必≥55才有可能． 我們證明，至少要選出55人時一定存在兩個運動員號碼之差恰是9． 被選出的55人有55個不同號碼數，由于55=639+1，所以其中必有7個號碼數被9除余數是相同的．但由1—100這一百個自然數中，被9除余數相同的數最多為12個數．因此7個數中一定有兩個是“大小相鄰”的，它們的差等于9． 點點文化 所以至少要選出55名小運動員，才能使其中必有兩人運動服的號碼數相差9． 2．由于輸入的數都是非負數．當x1≥0，x2≥0時，|x1-x2|不超過x1，x2中最大的數．對x1≥0，x2≥0，x3≥0，則||x1-x2|-x3|不超過x1，x2，x3中最大的數．小明輸入這1991個數設次序是x1，x2，?，x1991，相當于計算：||?||x1-x2|-x3|??-x1990|-x1991|=P．因此P的值≤1991． 另外從運算奇偶性分析，x1，x2為整數． |x1-x2|與x1+x2奇偶性相同．因此P與x1+x2+?+x1991的奇偶性相同． 但x1+x2+?+x1991=1+2+?1991=偶數．于是斷定P≤1990．我們證明P可以取到1990． 對1，2，3，4，按如下次序|||1-3|-4|-2|=0． |||(4k+1)-(4k+3)|(4k+4)|-(4k+2)=|0，對k=0，1，2，?均成立．因此，1-1988可按上述辦法依次輸入最后顯示結果為0．而后||1989-1990|-1991|=1990． 所以P的最大值為1990． 希望杯第三屆（1992年）初中一年級第一試試題 一、選擇題（每題1分，共10分） 1.有理數-1a一定不是()A．正整數． B．負整數．C．負分數． D．0． 2．下面給出的四對單項式中，是同類項的一對是()A.121321xy與-3x2z;B.3.22m2n3與nm;C.0.2a2b與0.2ab2;D.11abc與ab.31119923．(x-1)-(1-x)+(x+1)等于()A．3x-3． B．x-1．C．3x-1． D．x-3． 4．兩個10次多項式的和是()A．20次多項式．B．10次多項式．C．100次多項式．D．不高于10次的多項式． 5．若a+1＜0，則在下列每組四個數中，按從小到大的順序排列的一組是()A．a，-1，1，-a．B．-a，-1，1，a．C．-1，-a，a，1．D．-1，a，1，-a． 6．a=-123.4-(-123.5)，b=123.4-123.5，c=123.4-(-123.5)，則()A．c＞b＞a． B．c＞a＞b．C．a＞b＞c． D．b＞c＞a． 7．若a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，那么下列式子中結果是正數的是() 點點文化 A．(a-b)(ab+a)． B．(a+b)(a-b)．C．(a+b)(ab+a)． D．(ab-b)(a+b)． 8．從2a+5b減去4a-4b的一半，應當得到()A．4a-b． B．b-a．C．a-9b． D．7b． 9．a，b，c，m都是有理數，并且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b與c()A．互為相反數． B．互為倒數． C．互為負倒數． D．相等． 10．張梅寫出了五個有理數，前三個有理數的平均值為15，后兩個有理數的平均值是10，那么張梅寫出的五個有理數的平均值是()A.5;B.811;C.12;D.13.32二、填空題（每題1分，共10分） 1． 2+(-3)+(-4)+5+6+(-7)+(-8)+9+10+(-11)+(-12)+13+14+15=______． 2．(?2)?5?(?8)?(?12)=_________________.(?3)?4?(?***.[(?1)?(?1)?(?1)?(?1)]=_________________.124.若P=a+3ab+b，Q=a-3ab+b，則代入到代數式P-[Q-2P-(-P-Q)]中，化簡后，是______． 19905.1992-{1991-1992[1991-1990(1991-1992)]}=_______________.22222233a2b36.六個單項式15a,xy,ab,0.11m,-abc,-的數字系數之和等于342_____________.7．小華寫出四個有理數，其中每三數之和分別為2，17，-1，-3，那么小華寫出的四個有理數的乘積等于______． 8．一種小麥磨成面粉后，重量要減少15%，為了得到4250公斤面粉，至少需要______公斤的小麥． 9.滿足2?x2x?1?的x值中,絕對值不超過11的那些整數之和等于______． 23 10．在下圖所示的每個小方格中都填入一個整數： 并且任意三個相鄰格子中所填數之和都等于5,則 答案與提示 一、選擇題 x?y?z=__________.xyz1．D 2．B 3．C 4．D 5．A 6．B 7．A 8．D 9．A 10．D 提示： 點點文化 故選D． 2．依同類項的定義，選B． 3．(x-1)-(1-x)+(x+1)=x-1-1+x+x+1=3x-1，選C． 1010224．多項式x+x與-x+x之和為x+x是個次數低于10次的多項式，因此排除了A、B、C，選D． 5．由a+1＜0，知a＜-1，所以-a＞1．于是由小到大的排列次序應是a＜-1＜1＜-a，選A． 6．易見a=-123.4+123.5=0.1，b=123.4-123.5＜0，c=123.4-(-123.5)＞123.4＞a，所以b＜a＜c，選B． 7．因為a＜0，b＞0．所以|a|=-a，|b|=b．由于|a|＜|b|得-a＜b，因此a+b＞0，a-b＜0．ab+a＜0，ab-b＜0．所以應有(a-b)(ab+a)＞0成立，選A． =2a+5b-2a+2b=7b，選D． 9．因為a+2b+3c=m=a+b+2c，所以b+c=0，即b，c互為相反數，選A． 10．前三個數之和=1533，后兩個數之和=1032． 所以五個有理數的平均數為 二、填空題 提示： 1．前12個數，每四個一組，每組之和都是0．所以總和為14+15=29． 點點文化 4．因為P-[Q-2P-(-P-Q)] =P-Q+2P+(-P-Q)=P-Q+2P-P-Q =2P-2Q=2(P-Q)以P=a2+3ab+b2，Q=a2-3ab+b2代入，2222原式=2(P-Q)=2[(a+3ab+b)-(a-3ab+b)] =2(6ab)=12ab． 6．六個單項式的系數依次為： 7．小華寫四個有理數之和為 分別減去每三數之和后可得這四個有理數依次為3，-12，6，8．所以，這四個有理數的乘積=33(-12)3638=-1728． 8．設需要x公斤小麥，根據題意，得 解方程，得x=5000． 答：需要5000公斤小麥． 點點文化 去分母，得3(2+x)≥2(2x-1)去括號，得6+3x≥4x-2 移項，得3x-4x≥-2-6 合并同類項-x≥-8 于是x≤8． 其中絕對值不超過11的整數之和為(-9)+(-10)+(-11)=-30． 10．容易斷定與x相鄰的兩個數分別為9與2，即 因為9+x+2=5，則x=-6，依任意三個相鄰格子中所填數之和都等于5，分別確定出每個格子中所填之數如下： 斷定y=-6，z=9．所以 希望杯第三屆（1992年）初中一年級第二試試題 一、選擇題（每題1分，共10分） 1．若8.047=521.077119823，則0.8047等于()A．0.521077119823．B．52.1077119823．C．571077.119823．D．0.00521077119823． 2．若一個數的立方小于這個數的相反數，那么這個數是()A．正數． B．負數．C．奇數． D．偶數． 3．若a＞0，b＜0且a＜|b|，則下列關系式中正確的是()A．-b＞a＞-a＞b． B．b＞a＞-b＞-a．C．-b＞a＞b＞-a． D．a＞b＞-a＞-b． 4．在1992個自然數：1，2，3，?，1991，1992的每一個數前面任意添上“+”號或“-”號，則其代數和一定是()A．奇數． B．偶數．C．負整數． 33D．非負整數． 點點文化 5．某同學求出1991個有理數的平均數后，粗心地把這個平均數和原來的1991個有理數混在一起，成為1992個有理數，而忘掉哪個是平均數了．如果這1992個有理數的平均數恰為1992．則原來的1991個有理數的平均數是 ()A．1991.5． B．1991．C．1992． D．1992.5． 6．四個互不相等的正數a，b，c，d中，a最大,d最小,且,則a+d與b+c的大小關系是()A．a+d＜b+c． B．a+d＞b+c．C．a+d=b+c． D．不確定的． ?x?1992y?p7.已知p為偶數,q為奇數,方程組?的解是整數,那么() 1993x?3y?q?A.x是奇數，y是偶數．B．x是偶數，y是奇數． C．x是偶數，y是偶數．D．x是奇數，y是奇數． 8．若x-y=2，x2+y2=4，則x1992+y1992的值是()A．4． B．19922．C．21992． D．41992． 9．如果x，y只能取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的數，并且3x-2y=1，那么代數式10x+y可以取到()不同的值． A．1個． B．2個．C．3個． D．多于3個的． 10．某中學科技樓窗戶設計如圖15所示．如果每個符號（窗戶形狀）代表一個阿拉伯數碼，每橫行三個符號自左至右看成一個三位數．這四層組成四個三位數，它們是837，571，206，439．則按照圖15中所示的規律寫出1992應是圖16中的() 二、填空題（每題1分，共10分）1.a,b,c,d,e,f是六個有理數,關且 a1b1c1d1e1?,?,?,?,?,則b2c3d4e5f6f=_____.a 點點文化 2．若三個連續偶數的和等于1992．則這三個偶數中最大的一個與最小的一個的平方差等于______． 3．若x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，則(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=______． 4．三個互不相等的有理數，既可表示為1，a+b,a的形式,又可表示為0,則a199 2b,b, 的形式,a+b1993=________.5．海灘上有一堆核桃．第一天猴子吃掉了這堆核桃的個數的去,第二天吃掉的核桃數再加上3個就是第一天所剩核桃數的____個.2,又扔掉4個到大海中55,那么這堆核桃至少剩下86．已知不等式3x-a≤0的正整數解恰是1，2，3．那么a的取值范圍是______． 7．a，b，c是三個不同的自然數，兩兩互質．已知它們任意兩個之和都能被第三個整除．則a3+b3+c3=______． 8．若a=1990，b=1991，c=1992，則a2+b2+c2-ab-bc-ca=______． 9．將2，3，4，5，6，7，8，9，10，11這個10個自然數填到圖17中10個格子里，每個格子中只填一個數，使得田字形的4個格子中所填數字之和都等于p．則p的最大值是______． 10．購買五種教學用具A1，A2，A3，A4，A5的件數和用錢總數列成下表： 那么，購買每種教具各一件共需______元． 三、解答題（每題5分，共10分） 1．將分別寫有數碼1，2，3，4，5，6，7，8，9的九張正方形卡片排成一排，發現恰 點點文化 是一個能被11整除的最大的九位數．請你寫出這九張卡片的排列順序，并簡述推理過程． 2．一個自然數a，若將其數字重新排列可得一個新的自然數b．如果a恰是b的3倍，我們稱a是一個“希望數”． (1)請你舉例說明：“希望數”一定存在． (2)請你證明：如果a，b都是“希望數”，則ab一定是729的倍數． 答案與提示 一、選擇題 1．A 2．B 3．A 4．B 5．C 6．B 7．B 8．C 9．C 10．D 提示： 所以將8.047=512.077119823的小數點向前移三位得0.512077119823，即為0.8047的值，選A． 2．設該數為a，由題意-a為a的相反數，且有a＜-a，∴a3+a＜0，a(a2+1)＜0，因為a2+1＞0，所以a＜0,即該數一定是負數，選B． 3．已知a＞0，b＜0，a＜|b|．在數軸上直觀表示出來，b到原點的距離大于a到原點的距離，如圖18所示．所以-b＞a＞-a＞b，選A． 4．由于兩個整數a，b前面任意添加“+”號或“-”號，其代數和的奇偶性不變．這個性質對n個整數也是正確的．因此，1，2，3?，1991，1992，的每一個數前面任意添上“+”號或“-”號，其代數和的奇偶性與(-1)+2-3+4-5+6-7+8-?-1991+1992=996的奇偶性相同，是偶數，所以選B． 5．原來1991個數的平均數為m，則這個1991個數總和為m31991．當m混入以后，那1992個數之和為m31991+m,其平均數是1992，∴m=1992，選C． 33點點文化 6．在四個互不相等的正數a，b，c，d中，a最大，d最小，因此有a＞b，a＞c，a＞d，b＞d，c＞d． 所以a+b＞b+c，成立，選B． 7．由方程組 以及p為偶數，q為奇數，其解x，y又是整數． 由①可知x為偶數，由②可知y是奇數，選B． 8．由x-y=2 ①平方得x-2xy+y=4 又已知x2+y2=4 ③ 所以x，y中至少有一個為0，但x+y=4．因此，x，y中只能有一個為0，另一個為2或-2．無論哪種情況，都有 x199 22222② +y1992=01992+(±2)1992=21992，選C． 9．設10x+y=a，又3x-2y=1，代入前式得 由于x，y取0—9的整數，10x+y=a的a值取非負整數．由(*)式知，要a為非負整數，23x必為奇數，從而x必取奇數1，3，5，7，9． 三個奇數值，y相應地取1，4，7這三個值．這時，a=10x+y可以取到三個不同的值11，點點文化 34和57，選C． 二、填空題 提示： 與666，所以最大的一個偶數與最小的一個偶數的平方差等于 666-662=(666+662)(666-662)=132834=5312． 3．由于x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，因此要把(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)分組、湊項表示為含x3+y3及x2y-xy2的形式，以便代入求值，為此有 (x-y)+(4xy-2xy)-2(xy-y)=x+y+2xy-2xy=(x+y)-2(xy-xy)=1000-2(-496)=1992． 4．由于三個互不相等的有理數，既可表示為1，3322 222 點點文化 下，只能是b=1．于是a=-1． 所以，a1992+b1993=(-1)1992+(1) 1993 =1+1=2． 5．設這堆核桃共x個．依題意 我們以m表示這堆核桃所剩的數目（正整數），即 目標是求m的最小正整數值． 可知，必須20|x即x=20，40，60，80，?? m為正整數，可見這堆核桃至少剩下6個． 由于x取整數解1、2、3，表明x不小于3，即9≤a＜12． 可被第三個整除，應有b|a+c． ∴b≥2，但b|2，只能是b=2． 點點文化 于是c=1，a=3．因此a3+b3+c3=33+23+13=27+8+1=36． 8．因為a=1990，b=1991，c=1992，所以 a2+b2+c2-ab-bc-ca 9．將2，3，4，5，6，7，8，9，10，11填入這10個格子中，按田字格4個數之和均等于p，其總和為3p，其中居中2個格子所填之數設為x與y，則x、y均被加了兩次，所以這3個田字形所填數的總和為 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y=65+x+y 于是得3p=65+x+y． 要p最大，必須x，y最大，由于x+y≤10+11=21． 所以3p=65+x+y≤65+21=86． 所以p取最大整數值應為28． 事實上，如圖19所示可以填入這10個數使得p=28成立． 所以p的最大值是28． 10．設A1，A2，A3，A4，A5的單價分別為x1，x2，x3，x4，x5元． 則依題意列得關系式如下： ③32-④式得 x1+x2+x3+x4+x5=231992-2984=1000． 點點文化 所以購買每種教具各一件共需1000元． 三、解答題 1．解①（邏輯推理解） 我們知道，用1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的最大九位數是987654321．但這個數不是11倍的數，所以應適當調整，尋求能被11整除的最大的由這九個數碼組成的九位數． 設奇位數字之和為x，偶位數字之和為y． 則x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45． 由被11整除的判別法知 x-y=0，11，22，33或44． 但x+y與x-y奇偶性相同，而x+y=45是奇數，所以x-y也只能取奇數值11或33． 于是有 但所排九位數偶位數字和最小為1+2+3+4=10＞6．所以（Ⅱ）的解不合題意，應該排除，由此只能取x=28，y=17． 987654321的奇位數字和為25，偶位數字和為20，所以必須調整數字，使奇位和增3，偶位和減3才行。為此調整最后四位數碼，排成987652413即為所求． 解②（觀察計算法） 987654321被11除余5．因此，987654316是被11整除而最接近987654321的九位數．但987654316并不是由1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的，其中少數字2，多數字6．于是我們由987654316開始，每次減去11，直到遇到恰由1，2，3，4，5，6，7，8，9九個數字組成的九位數為止．其過程是 987654316→987654305→987654294→987654283 →987654272→987654261→987654250→987654239 →987654228→987654217→987654206→987654195 點點文化 →987654184→??→987652435→987652424 →987652413． 這其間要減去173次11，最后得出一個恰由九個數碼組成的九位數987652413，為所求，其最大性是顯見的，這個方法雖然操作173次，但算量不繁，尚屬解決本題的一種可行途徑，有一位參賽學生用到了此法，所以我們整理出來供大家參考． 2．(1)答：由于428571=33142857，所以428571是一個“希望數”． 說明：一個自然數a，若將其數字重新排列可得一個新的自然數b．如果a恰是b的3倍，我們稱a是一個“希望數”．這實際上給出了“希望數”的定義。考察參賽學生閱讀理解定義的能力，并能舉例說明被定義的對象存在．在一位數、二位數、三位數中找不到“希望數”．而在四位數中很容易找到實例． 如：3105=331035，所以3105是個“希望數”； 或：7425=332475，所以7425是個“希望數”； 或：857142=33285714，所以857142是個“希望數”； 以下我們再列舉幾個同學們舉的例子供參考，如： 37124568=3312374856 43721586=3314573862 692307=33230769 461538=33153846 705213=33235071 8579142=332859714 594712368=33198237456 37421568=3312473856 341172=33113724． 可見37124568，43721586，592307，461538，705213，8579142，594712368，37421568，341172都是希望數，事實上用3105是希望數，可知31053105也是“希望數”，只要這樣排下去，可以排出無窮多個“希望數”．因此，“希望數”有無窮多個． 點點文化 (2)由a為“希望數”，依“希望數”定義知，存在一個由a的數字重新排列而成的自然數p，使得a=3p并且a的數字和等于p的數字和． 由a=3p和a為3的倍數． 因此a被9整除． 于是a是27的倍數． 這樣就證明了，“希望數”一定能被27整除． 現已知a，b都是“希望數”，所以a，b都是27的倍數． 即a=27n1，b=27n2（n1，n2為正整數）． 所以ab=(27n1)(27n2)=(27327)(n13n2)=729n1n2． 所以ab一定是729的倍數． 希望杯第四屆（1993年）初中一年級第一試試題 一、選擇題:（每題1分，共15分） 1．若a是有理數,則m?12345????一定不是()aaaaaA．正整數． B．負整數．C．負分數． D．零． 2.1993-{1993-[1993-(1992-1993)]}的值等于()A．-1995． B．1991．C．1995． D．1993． 點點文化 3．若a＜b，則(a-b)|a-b|等于()A．(a-b)． B．b-a．C．a-b． D．-(a-b)． 4.若n是正整數,并且有理數a,b滿足a+22 222 1=0,則必有()b3n2n?12n?1??1? A.a+??=0;B.a2n+???b??b?n2n2n?1?1??1?=0;C.a+??=0;D.a2n+1+???b??b?=0.5.如果有理數a,b滿足11?=0,則下列說法中不正確的一個是()abA． a與b的和是0． B．a與b的差是正數． C．a與b的積是負數． D．a除以b，得到的商是-1． 6.甲的6張卡片上分別寫有-4,-1,-2.5,-0.01,-3-5,-1,0.1,-0.001,-8,-12 3,-15,乙的6張卡片上分別寫有41a,則乙的卡片上的最小數a與甲的卡片上的最大數b的 比2b的值等于()A．1250． B．0．C．0.1． D．800． 7．a是有理數，則在下列說法中正確的一個是 () D．(a-1993)+0.001是正數． 2A．-a是負數． B．a是正數．C．-|a|是負數． ***01900?? 的值等于()***09300191 A.-3;B.-;C.-1;.D.-.3138.-9．在下列條件中，能使ab＜b成立的是()A．b＞0，a＞0．B．b＜0，a＜0．C．b＞0，a＜0．D．b＜0，a=0． 10.若a=???3.14??2.14??1.14??3.12?2.12,b=,c=??????(?1.12),則a,b,c的大小3.13?2.131.13??????D．c＞b＞a． 關系是()A．a＞b＞c． B．a＞c＞b．C．b＞c＞a． 11．有理數a、b小于零，并且使(a-b)3＜0，則 A.()11?;B.-a<-b;C.丨a丨>丨b丨;D.a2>b4.ab12．M表示a與b的和的平方，N表示a與b的平方的和，則當a=7，b=-5時，M-N的值為()A．-28． B．70．C．42． D．0． 點點文化 13.有理數111，8恰是下列三個方程的根: 252x?110x?12x?1???1,3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3),3124xz1?1?2z?(z?1)?(z?1),則?的值為()??yx2?2?3A.-***;B.-;C.;D..80554022014．圖22是中國古代著名的“楊輝三角形”的示意圖．圖中填入的所有數的總和等于()A．126． B．127．C．128． D．129． 15．在自然數：1，2，3，4，5，?中，前15個質數之和的負倒數等于()A.-1111;B.-;C.-;D.-.328329337340 二、填空題（每題1分，共15分） 1．若a＞0，在-a與a之間恰有1993個整數，則a的取值范圍是______． 2．如果相鄰的兩個正整數的平方差等于999，則這兩個正整數的積等于______． 3.(?1)(?2)?(?3)(?4)?(?5)(?6)?(?7)(?8)=_________.(?1)(?2)?(?2)(?3)?(?3)(?4)?(?4)(?5)4．一輛公共汽車由起點站到終點站（這兩站在內）共途經8個車站。已知前6個車站共上車100人，除終點站外前面各站共下車80人，則從前6站上車而在終點站下車的乘客共有______． 5．(32-22)2+(42-32)2+(52-42)2+(62-52)2=______． 6．在多項式1993umvn+3xmyn+u3mv2n-4xn-1y2m-4（其中m，n為正整數）中，恰有兩項是同類項，則m2n=______． 7．若a，b，c，d為整數，(a+b)(c+d)=1993，則a+b+c+d=______． 21?1?1?1???8.方程???x?1??1??1??1?1993的根是x=____________.2?2?2?2??? 點點文化 9.(-1)÷???19??9393??????=______.931919????10．甲、乙兩個火車站相距189公里，一列快車和一列慢車分別從甲、乙兩個車站同時出發，相向而行，經過1.5小時，兩車相遇，又相距21公里，若快車比慢車每小時多行12公里，則慢車每小時行______公里． b211．在等式y=kx+b中，當x=0時，y=2；當x=3時,y=3,則=______.k12.滿足不等式2?x2x?1?的所有非負整數的乘積等于_______.2313.有理數a,b,c,d使abcdabcd =-1,則 aa?bb?cc?dd的最大值是_______.14．△ABC是等邊三角形，表示其邊長的代數式均已在 ?x2?y2圖23中標出,則?22?x?2y?27??1=_________.?4015．有人問一位老師：他教的班有多少學生．老師說：“一半學生在學數學，四分之一的學生在學音樂，七分之一的學生在念外語，還剩不足六位學生正在操場踢足球．”則這個“特長班”共有學生______人． 答案與提示 一、選擇題 1．D 2．C 3．D 4．D 5．B 6．A 7．D 8．B 9．C 10．A 11．C 12．A 13．B 1 4．B 15．A 提示： 若a=1，m=3排除A，若a=-1，m=-3排除B． 點點文化 = =1993-1992+[1993-(-1)]=1+1994=1995，選C． 3．因a＜b所以a-b＜0，此時|a-b|=b-a． 所以(a-b)|a-b|=(a-b)(b-a)=-(a-b)(a-b)=-(a-b)2，選D． 的是B． 7．當a=0，顯然A，B，C，均不正確，應排除，所以選D．事確上，對任意有理數a，都有(a-1993)≥0，所以(a-1993)+0.001＞0是正數． 229．b=1＞0，a=2＞0，ab=231=2＞1=b，排除A；a＜0，b＜0，ab＞0＞b，排除B；a=0，b＜0，ab=0＞b排除D，因此選擇C． 10．容易看出a，b，c均為負數，我們看|a|，點點文化 11．由(a-b)3＜0，得出a-b＜0．即a＜b． ∵a，b＜0，∴|a|＜|b|，選C． 12．M=(a+b)2，N=a+b2． M-N=(a+b)2-(a+b2)=a2+2ab+b2-a-b2=a2+2ab-a． 14．第1行只有1=20，第2行1+1=2=21，第3行1+2+1=4=2，第4行1+3+3+1=8=2，第5行1+4+6+4+1=16=24，第6行1+5+10+10+5+1=32=25 第7行1+6+15+20+15+6+1=64=2． 圖中填入所有數之和為1+2+4+8+16+32+64=127，選B． 二、填空題 23點點文化 提示： 1．在-a與a之間的整數為2n+1個．所以由2n+1=1993知，n=996，即996≤a＜997． 2．相鄰的兩個正整數設為n與n+1，則由(n+1)2-n2=2n+1=999得n=499，n+1=500． 相鄰的兩個正整數的積為4993500=249500． 4．設第1站到第7站上車的乘客依次為a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7．第2站到第8站下車的乘客依次為b2，b3，b4，b5，b6，b7，b8顯然應有a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8． 已知a1+a2+a3+a4+a5+a6=100，b2+b3+b4+b5+b6+b7=80． 表明從前6站上車而在終點站下車的乘客共20人． 5．原式=52+72+92+112=276． 6．若1993uv與uv為同類項．只能m=0且n=0．與已知條件不合，所以只能3xy與-4xn-1y2m-4為同類項．于是得m=n-1，n=2m-4．解得m=5，n=6，所以mn=30． 7．由于1993是質數，a2+b2，c2+d2是1993的約數，只能a2+b2=1，c2+d2=1993，或a2+b2=1993，c+d=1，所以a+b+c+d=1+1993=1994． 222222mn3m2n mn 點點文化 所有非負整數解的積=0． 14．由2x-8=x+6，解得x=14．所以正三角形邊長為14+6=20． 由3y+2=20，解得y=6，所以 15．設這個班共有學生x人．在操場踢足球的學生共a人，依條件，x，a都是自然數，且1≤a＜6． 根據題意列方程如下：合并同類項，移項得因為a，x均為自然數，(3，28)=1所以3|a． 但a只能取1，2，3，4，5這五個數，所以a=3．因此x=28． 點點文化 答：這個班共有28名學生． 希望杯第四屆（1993年）初中一年級第二試試題 一、1.選擇題:（每題1分，共10分） 1111???的值是()0.10.010.0010.0001A．-11110． B．-11101．C．-11090． D．-11909． 2．一滴墨水灑在一個數軸上，根據圖24中標出的數值，可以判定墨跡蓋住的整數個數是()A．285． B．286．C．287． 2D．288． 23．a，b都是有理數，代數式a+b，a-b，(a-b)，(a+b)2，a2b2+1，a3b+1，a2+b2+0.1，2a2+3b4+1中，其值為正的共有()A．3個． B．4個．C．5個． D．6個． 4．a，b，c在數軸上的位置如圖25所示,則下列代數式中其值為正的一個是()1???11?a?(a?c)A.?;B.???(c?a);C.(1-a)(c-b);D.ac(1-bc).?b???bc? 5．1993+9319的末位數字是()A．2． B．4． C．6． D．8． 6．今天是4月18日，是星期日，從今天算起第19933天之后的那一天是 A．星期五． B．星期六．C．星期日． D．星期一． 7．n為正整數，302被n(n+1)除所得商數q及余數r都是正值．則r的最大值與最小值的和是 ()()A．148． B．247．C．93． D．122． 點點文化 8．絕對值小于100的所有被3除余1的整數之和等于 A．0． B．-32．C．33． D．-33． 9．x是正數， 10．如圖26是一個長為a，寬為b的矩形．兩個陰影圖形都是一對長為c的底邊在矩形對邊上的平行四邊形．則矩形中未涂陰影部分的面積為()A.ab-(a+b)c．B．ab-(a-b)c． C．(a-c)(b-c)．D．(a-c)(b+c)． 二、填空題（每題1分，共10分） 1．在1993.4與它的負倒數之間共有a個整數．在1993.4與它的相反數之間共有b個整數,在-()1與它的絕對值之間共有c個整數,則a+b+c=_________.1993.42．設a=1÷2÷3÷4，b=1÷(2÷3÷4)，c=1÷(2÷3)÷4，d=1÷2÷(3÷4)，則(b÷a)÷(c÷d)=______． 3．兩個同樣的大小的正方體形狀的積木．每個正方形上相對的兩個面上寫的數之和都v 等于-1，現將兩個正方體并列放置．看得見的五個面上的數字如圖27所示，則看不見的七個面上的數的和等于______． ?7??7??7??7??7??7??7??7??7??1???1???1???1???1???1???1???1???1???1??2??3??4??5??6???7??8??9?4．計算: ?9??9??9??9??9??9??9??1???1???1???1???1???1???1???1??2??3??4??5??6??7? =__________.5.abcde是一個五位自然數,其中a,b,c,d，e為阿拉伯數碼，且a＜b＜c＜d，則|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|的最大值是______． 點點文化 6．連續的1993個自然數之和恰是一個完全平方數．則這1993個連續自然數中最大的那個數的最小值是______． 7．某次競賽滿分為100分，有六個學生的得分彼此不等，依次按高分到低分排列名次．他們六個人的平均分為91分，第六名的得分是65分．則第三名的得分至少是______分． 1993199228.計算:=________.2219931991?19931993?29．若a，b，c，d為非負整數．且(a+b)(c+d)=1993．則a+b+c+d=______． 10．有甲、乙、丙、丁四位同學去林中采蘑菇．平均每個采得蘑菇的個數約是一個十位數字為3的兩位數,又知甲采的數量是乙的蘑菇,則丁采蘑菇______ 個.三、解答題（在試卷背面寫出推理、運算的過程及最后結果．每題5分，共10分）1． 如圖28，十三個邊長為正整數的正方形紙片恰好拼成一個大矩形（其中有三個小正方形的邊長已標出字母x，y，z）．試求滿足上述條件的矩形的面積最小值． 2．你能找到三個整數a，b，c，使得關系式(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(b+c-a)=3388成立嗎？如果能找到，請舉一例，如果找不到，請說明理由． 答案與提示 一、選擇題 1．C 2．C 3．A 4．A 5．C 6．B 7．A 8．D 9．B 10．C 提示： =10-100-1000-10000=-11090．選C． 2．在-109.2與-11.9之間最小整數是-109，最大整數是-12．共計包含(-12)-(-109)+1=98個整數．在10.5與199.5之間包含最小整數是11，最大整數是199．共計包含199-11+1=189個整數．因此墨水共蓋住98+189=287個整數．選C． 43,乙采的數量是丙的倍,丁比甲多采了3個52點點文化 3．當a=b=0時，a2+b2，a2-b2，(a-b)2，(a+b)2取值為0，而當a=-1，b=1時a3b+1=0．因此對任意有理數a，b其值為正的只有ab+1，a+b+0.1，2a+3b+1，共3個選A． ac(1-bc)＜0，所以選A． 5．19=19934323+ 122 4，93=9319434+ 3所以1993與191的末位數相同是9、9319與933末位數字相同是7．因此1993+9310末位數字是9+7=16的末位數字6，選C． 6．19933=(28437+5)3=(28437)3+33(28737)235+3(28737)352+125． 所以19933被7除的余數與125被7除的余數相同，125=737+6．所以19933被7除余數為6．從4月18日星期日數起，每到第十天就是星期六，如4月24日是星期六，因此19933-6恰是星期六，再往后數6天，19933天是星期五．而19933天之后的那一天應是星期六，選B． 7．n(n+1)為偶數．設302被n(n+1)除商q余r，則302=n(n+1)q+r知，r為偶數．顯然B、C均應排除．由除數n(n+1)只能取6，12，20，30，42，56，72，90，110，132，156，182，210，240，272這些值，計算得相應的余數中最小的正值為2，最大正值為146．所以r的正的最小值與最大值的和是148．選A． 8．即求-100與100之間被3除余1的整數之和，在0到100之間被3除余1的整數是1，4，7，?91，94，97共計33個．在-100到0之間被3除余1的整數是-98，-95，-92，-89，?-8，-5，-2．共33個其總和為-33．選D． 9．<19>為不超過19的質數，有2，3，5，7，11，13，17，19共8個．<93>為不超過93的質數，共24個，易知<1>=0．所以<<19>+<93>+<4>3<1>3<8>>=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11，選B． 10．解①大矩形面積為ab，兩個陰影平行四邊形面積分別為ac與bc．重疊部分面積為c2，所以未涂陰影部分面積為ab-ac-bc+c2=(a-c)(b-c)，選C． 解②將陰影部分等積變形如圖29，兩個陰影平行四邊形面積及二者重疊部分面積(c) 2點點文化 均未改變．易見，未涂陰影部分面積為空白矩形的面積，是(a-c)(b-c)，選C． 二、填空題 提示： 1994個整數，a=1994。在1993.4與它的相反數-1993.4之間有231993+1=3987個整數，3987=1=5982． 3．由于正方體上相對兩個面上寫的數之和都等于-1．所以每個正方體六個面上寫的數之和等于-3．兩個正方體共十二面上寫的數之總和等于-6．而五個看得見的面上的數之和是1+2+3+4+5=15．因此，看不見的七個面上所寫數的和等于 (-6)-15=-21． 點點文化 5．若a＜b＜c＜d≤e時 |a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(e-d)=e-a．當e=9，a=1時取最大值為8． 若a＜b＜c＜d，且d＞e時． |a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(d-e)=2d-a-e．當d=9，a=1，e=0時，取最大值17．所以|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|的最大值是17． 6．設這連續的1993個自然數為 x-996，x-995，?，x-1，x，x+1，x+2，?，x+995，x+996．顯然．x-996≥1，即x≥997．這1993個連續自然數之和設為σ． 則σ=1993x，要求σ為完全平方數，而1993又是質數，x的最小值為1993．此時，1993個連續自然數中最大的那個數x+996=1993+996=2989，即當σ為完全平方數時，1993個連續自然數中最大的那個數的最小值是2989． 7．設六個人的成績依次為x1，x2，x3，x4，x5，x6．則65=x6＜x5＜x4＜x3＜x2＜x1≤100． ∴x1+x2+x3+x4+x5=546-65=481． 要使x3最小，必須x1，x2盡可能大，x4，x5盡可能接近x3，所以當x1=100，x2=99，x4=x3-1，x5=x3-2時，x3取最小值，即100+99+x3+(x3-1)+(x3-2)=481． 3x3=481-100-99+3=285．x3=95． 答：第三名的得分至少是95分． 9．因為1993是質數，a2+b2與c2+d2都是正整數，所以a2+b2與c2+d2分別取值1與1993（參 點點文化 見第一試填空第7題解答）．為確定起見；，不妨設a2+b2=1，c2+d2=1993． (1)a+b=1．推知a＝0，b=1或a=1，b=0，因此a+b=1．(2)c2+d2=1993． 若c≤31，d≤31，則c2+d2≤23312=23961=1922＜1993．所以c，d中至少有一個大于31．又由于442=1936＜1993，故設c為c，d中較大的一個，則32≤c≤44． 我們依次取c=44，43，42，41，?，33，32試算如下： 2 2其中1933-c2的結果中，只有144=122為完全平方數，即432+122=1993，所以c=43，d=12或c=12，d=43．因此，c+d=55． 所以a+b+c+d=1+55=66． 一個近似為首位的是3的兩位整數．因此，由近似數的表示有 23.5?≤x≤31.5? 點點文化 因x是整數，x只能從24，25，26，27，28，29，30，31中選取． 因此只能有x=30，即丙采30個蘑菇． 此時，乙采45個蘑菇，甲采36個蘑菇，因此丁采39個蘑菇． 舍五入，約為38是個十位數是3的兩位數． 三、解答題 1．如圖30已有三個小正方形的邊長為x，y，z，我們通過x，y，z表示其余正方形的邊長依次填在每個正方形中，它們是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x，及5x-2y+z．因矩形對邊相等。所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z 化簡上述的兩個方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y．消去z得18x=49y． 因為18與49互質，所以x、y的最小自然數解是x=49，y=18，此時z=38． 以x=49，y=18，z=38代入矩形長、寬的表達式11x+3y及8x+8y-3z，得長、寬分別為593和422．此時得最小面積值是5933422=250246． 2．答：找不到滿足條件的三個整數理由如下： 如果存在整數a，b，c，使(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立． 因為3388是偶數，則左邊四個因子中至少有一個是偶數． 不妨設a+b+c為偶數,則a-b+c=(a+b+c)-2b為偶數． 同理a+b-c=(a+b+c)-2c為偶數．b+c-a=(a+b+c)-2a為偶數． 因此(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)能被16整除，而3388不能被16整除，得出矛盾． 故不存在三個整數a，b，c滿足關系式(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388．第四篇：最新希望杯數學競賽五年級組試題及答案
第五篇：歷屆1-16希望杯數學競賽初一及詳細答案~~
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