第一篇：2014高教社杯數學建模A題解法
摘要
本文針對嫦娥三號軟著陸軌道設計與控制策略的實際問題，以理論力學（萬有引力、開普勒定律、萬能守恒定律等）和衛星力學知識為理論基礎，結合微分方程和微元法，借助MATLAB軟件解決了題目所要求解的問題。
針對問題（1），在合理的假設基礎上，利用物理理論知識、解析幾何知識和微元法，分析并求解出近月點和遠月點的位置，即139.1097。再運用能量守恒定律和相關數據，計算出速度v1（近月點的速度）=1750.78m/s,v2（遠月點的速度）=1669.77m/s，最后利用曲線的切線方程，代入點（近月點與遠月點）的坐標求值，計算出方向余弦即為相應的速度方向。針對問題（2）
關鍵詞：模糊評判，聚類分析，流體交通量，排隊論，多元非線性回歸
一、問題重述
嫦娥三號于2013年12月2日1時30分成功發射，12月6日抵達月球軌道。嫦娥三號在著陸準備軌道上的運行質量為2.4t，其安裝在下部的主減速發動機能夠產生1500N到7500N的可調節推力，其比沖（即單位質量的推進劑產生的推力）為2940m/s，可以滿足調整速度的控制要求。在四周安裝有姿態調整發動機，在給定主減速發動機的推力方向后，能夠自動通過多個發動機的脈沖組合實現各種姿態的調整控制。嫦娥三號的預定著陸點為19.51W，44.12N，海拔為-2641m（見附件1）。嫦娥三號在高速飛行的情況下，要保證準確地在月球預定區域內實現軟著陸，關鍵問題是著陸軌道與控制策略的設計。其著陸軌道設計的基本要求：著陸準備軌道為近月點15km，遠月點100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點至著陸點，其軟著陸過程共分為6個階段（見附2），要求滿足每個階段在關鍵點所處的狀態；盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。
根據上述的基本要求，請你們建立數學模型解決下面的問題：
（1）確定著陸準備軌道近月點和遠月點的位置，以及嫦娥三號相應速度的大小與方向。
（2）確定嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優控制策略。（3）對于你們設計的著陸軌道和控制策略做相應的誤差分析和敏感性分析。
二、問題分析
2.1問題（1）的分析 首先根據問題的假設、題目中所提供的數據及圖片分析，可以知道嫦娥三號繞月球的軌道是由圓形軌道變為橢圓形軌道，借助開普勒定律、能量守恒定律求解出近月點的速度。
為了確定近月點和元月點的精確位置及相應的速度方向，我們建立以赤道（月球的赤道）平面為xoy平面、月心為原點、月心與零度經線和零度緯線交線的交點的連線為坐標軸的坐標系和赤道（月球的赤道）平面為xoy平面，為極軸（月球的極軸）為z軸建立空間直角坐標系，x軸與極坐標系的軸相重合。
首先根據著陸點的經度、緯度及月球的半徑求解出著陸點和近月點（帶參數?)的空間直角坐標。其次利用兩點間的距離公式，并借助MATLAB軟件求解出近月點與著陸點最短距離。從而計算出?（近月點的經度）=。
最后利用衛星的軌跡是以月心為其中一個焦點，以近月點與遠月點的距離為長軸的橢圓，從而求解出衛星的軌跡方程，再運用隱函數求導的應用的知識，求解出在近月點和遠月點的方向導數，進而求解近月點和遠月點方向余即為近月點和遠月點的速度的方向。2.2問題（2）的分析
首先在根據題意，將嫦娥三號軟著陸問題，分為6個階段依次為主減速、快速調整、粗避障、精避障、緩慢下降、自由下降，我們先將6個階段分為4個階段，依次為第一階段（主減速和快速調整）、第二階段（粗避障）
第三階段(精避障),第四階段（緩慢下降和自由下降）。其次在第一階段
粗避障階段，嫦娥三號懸停在月球表面約2400米上方，對星下月表進行二維和三維成像，利用遺傳算法的思想，從圖像中先隨機選取部分點，能直接從三維圖像中得知該點的海拔高度，再分別掃描這些點附近的地貌，找出一些地勢平坦的區域，我們用區域內所有點與中心點海拔的均方差作為地勢判斷依據之一，保留這些坐標，并進行重新組合，并改變某些坐標以便能獲得其他新區域的坐標，再次搜索地勢平坦的區域，重復進行多次搜索，直到沒有出現崎嶇地勢的時候，我們將此時地勢最平坦的地方作為全局最優降落地點
三、模型假設
1、不考慮空間飛行器上各點因燃料消耗而產生的位移；
2、在對衛星和空間飛行器進行軌道估計時，認為作用于其上的所有外力都通過其質心；
3、衛星和空間飛行器的運動是在真空中進行的；
4、衛星只受重力影響，空間飛行器除自身推力外只受重力影響；
5、衛星的觀測圖片及數據精準；
6、四、變量與符號說明
C0 一條車道的基本通行能力 連續車流的車頭間距 n 條車道的基本通行能力 排隊長度 車流量
橫斷面通行能力系數車流量 持續時間 L C y x1 x2 x3
五、模型建立與求解
5.1 問題(1)的分析、模型建立與求解 5.1.1建模準備（1）開普勒定律
開普勒第一定律開普勒第一定律開普勒第一定律，也稱橢圓定律：每一個行星都沿各自的橢圓軌道環繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點中。開普勒第二定律開普勒定律開普勒第二定律，也稱面積定律：在相等時間內，太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。這一定律實際揭示了行星繞太陽公轉的角動量守恒。用公式表示為開普勒定律開普勒第
三定律開普勒定律開普勒第三定律，也稱調和定律：各個行星繞太陽公轉周期的平方和它們的橢圓軌道的半長軸的立方成正比。由這一定律不難導出：行星與太陽之間的引力與半徑的平方成反比。這是牛頓的萬有引力定
a3律的一個重要基礎。用公式表示為2?K開普勒定律 T 這里，是行星公轉軌道半長軸，是行星公轉周期，是常數。（2）萬有引力
萬有引力：任意兩個質點有通過連心線方向上的力相互吸引。該引力大小與它們質量的乘積成正比與它們距離的平方成反比，與兩物體的化學組成和其間介質種類無關。即： M1M2，r2 ?11 其中M1，M2為兩物體的質量，G?6.67?10Nm.2kg.2（牛頓每平方米二次方千F?G 克）
5.1.2 模型的建立
根據以上的分析，建立以月球赤道平面為xOy平面,月心為原點O、Ox為月心與零度經線和零度緯線交線的交點的連線，Oz為極軸（月球的極軸），Oy與Ox和Oz滿足右手標架，建立空間直角坐標系(如圖5-1所示）。圖5-1 衛星繞月軌跡及軟著陸軌跡
由于著陸點在球面上且近月點與遠月點是由月球的經度、緯度及高度唯一確定，在此為了便于計算 將極坐標轉化為空間直角坐標，并代數題中相關數據，反解出經度?。極坐標轉化為空間直角坐標 ?x?rsin?cos??即：?y?rsin?sin? ?z?rcos??（5.1.1）
x'?rsin(90-?）cos(-?)?'?y?rsin(90-?）cos(-?)（5.1.2）?z'?rcos(90-?）?
距離公式：
d?（5.1.3）其中：?為緯度；?為經度；r為嫦娥三號距月心的距離；d為嫦娥三號距著陸點的距離；根據能量守恒、開普勒第二定律（面積定律），建立以下模型 即： r1v1?r2v2?
?（5.1.4）?1122mv1?mgh?mv2?mgH??22 則近月點的速度，近月點的速度：
??v1?? ?（5.1.5）?v??2?
其中：m為衛星的質量，h1為海拔高度，h近月點距月球表面的距離； r1?h?r0?h1，r2?H?r0?h1，r0月球半徑，H遠月點距月球表面的距離，g月球重力加速度，v1近月點的速度，v2近月點的速度。5.1.3模型的求解
5.1.3.1近月點與遠月點的位置
根據題目所給數據以上分析，可知： ??0,h?15000m,r0?1737013m,h1??2641m 將以上數據代入（5.1.1）式可得，著陸點及近月點的空間直角坐標分別為：
?x0?r0sin(90??)cos?????r0sin(90?19.51)cos??44.12????y0?r0sin(90??)sin?????r0sin(90?19.51)sin??44.12?（5.1.6）?z?rcos(90??)?r0cos(90?19.51)??00 ?x'?rsin(90-?）cos(-?)=(r0?h)cos??'?y?rsin(90-?）sin(-?)=-(r0?h)sin? ?z'?rcos(90-?）=0?
（5.1.7）再將（5.1.6）式和（5.1.7）式代入（5.1.3）式可得關于?與d（近月點和著陸點距離）的函數，？利用Mathematica 5.0編程求解可得：??-139.107 5.1.3.2近月點與遠月點的速度大小及方向
近月點與遠月點的速度方向，即為相應速度在x軸與y軸方向上的投影（如圖5-2所示）
圖5-2近月點與遠月點的速度方向示意圖 由圖易知：
5.2 模型二的建立 5.2.1模型準備 5.2.1.1系統模型
1、著陸器的動力下降段一般從15km左右的軌道高度開始，下降到月球表面的時間比較短，在幾百秒范圍內，所以可以不考慮月球引力攝動。月球自轉速度比較小，也可忽略。因此，可以利用二體模型描述系統的運動。建立圖5-2所示的著陸坐標系，并假設著陸軌道在縱向平面內，令月心為坐標原點，Oy指向動力下降段的開始制動點，Ox 指向著陸器的開始運動方向。則著陸器的質心動力學方程可描述如下: ?r?v?v?(F/m)sin???/r2?r?2?????? ????[(F/m)cos??2v?]/r ⑴ ???m??F/ISP 式中:r,?,?和m分別為著陸器的月心距、極角、角速度和質量；v為著陸器沿r 方向上的速度；F為制動發動機的推力(固定的常值或0）；ISP為其比
?為月球引力常數；?為發動機推力與當地水平線的夾角即推力方向角。沖；
圖5-3 月球軟著陸坐標系
動力下降的初始條件由霍曼變軌后的橢圓軌道近月點確定，終端條件為著陸器在月面實現軟著陸。令初始時刻t0?0，終端時刻tf不定，則相應的
初始條件為 r0 終端約束為
rf?rL,vf?0,?f?0 ⑶ ?rL?h0,v0?0,?0??o ⑵
式中:rL為月球半徑；h0為初始軌道高度；?o為軌道角速度。月球軟著陸的最優軌道設計就是要在滿足上述初始條件和終端約束的前提下，調整推力大小和方向9使得著陸器實現燃料最優軟著陸，即要求以下性能指標達最大。J??mdt 0tf 5.2.1.2模型歸一化
在軌道優化過程中，由于各狀態變量的量級相差較大，尋優過程中可能會導致有效位數的丟失。通過歸一化處理可以克服這一缺點[9]，提高。計算精度。令rref?r0,mtef?
m0，則?r/rref,?v/vref,vref?ISp?I7 2?F/Fref,Fref?mrefvref/rref,?m/mref,??t/tref ,?rref/vref,??。那么，著陸器的動力學方程可改為： ??v?22?(F/m)sin???/
?? ? ???????[(F/)cos??2]/????F/ISP相應的初始條件和終端約束變
為：
?1,?0,?? 000/? f?r1/r0,vf?0,?f?0 性能指標改寫為：
第4期朱建豐等:基于自適應模擬退火遺傳算法的月球軟著陸軌道優
化 道優化問題轉化為多參數優化問題,再利用SQP 方法求解。雖然避開了沒有明確物理意義的參數 猜測,但是SQP的本質仍然會使該方法遇到病態 梯度、初始點敏感和局部收斂問題。曾國強[6]和徐 敏[7]分別用二進制和浮點數GA對著陸軌道進行 了優化,避免了初值猜測,得到的結果也比較滿意。但是,鑒于GA局部搜索能力較差的缺點,會使得 GA的優化精度不夠或優化效率不高。相對而言, 國外對月球軟著陸軌道的優化問題研究比較少。
GA最早是由Holland教授提出的[8],它是 一種隨機優化方法,具有不依賴問題模型、適用面 廣和魯棒性強的優點,并已應用在航天器的軌道 優化設計中[1]。然而,GA在實際應用中存在收 斂速度慢和早熟等問題,不具備“爬山”的能力。模擬退火算法(SAA)最早是由Kirkpatrick等提 出的,它是一種啟發式隨機搜索算法,具有很強的 局部搜索能力和“爬山”能力,但是SAA產生的 新解不及GA豐富,對全局的了解甚少,尋優過程 很慢。因此,可以將GA和SAA的優點結合起 來,揚長避短,構成高效、魯棒的新算法。本文將GA
和
SAA
有機地結合,形成自適應
模擬退火遺傳算法(ASAGA),并將其應用到月 球1軟著
陸的最系
優
軌統
道
設模計
中
。型
著陸器的動力下降段一般從15 km左右的軌 道高度開始,下降到月球表面的時間比較短,在幾 百秒范圍內,所以可以不考慮月球引力攝動。月 球自轉速度比較小,也可忽略。因此,可以利用二 體模型描述系統的運動。建立圖1所示的著陸坐 標系,并假設著陸軌道在縱向平面內,令月心O 為坐標原點,Oy指向動力下降段的開始制動點, Ox指向著陸器的開始運動方向。則著陸器的質 心動力
學
方
程
可
描
述
如
下
:
?r= v
?v=(F /m)sinψ-μ /r2+ rω 2
?θ= ω
?ω =-[(F /m)cosψ+ 2vω] /r
?m=-F /ISP(1)式中:r,θ,ω和m分別為著陸器的月心距、極角、角速度和質量;v為著陸器沿r方向上的速度;F 為制動發動機的推力(固定的常值或0);ISP為其 比沖;μ為月球引力常數;ψ為發動機推力與當地 水圖平1線 的月
夾球
角軟即著推
力陸
方極
向坐
角標
。系
Fig.1 Polar coordinate system of lunar soft landing 動力下降的初始條件由霍曼變軌后的橢圓軌 道近月點確定,終端條件為著陸器在月面實現軟 著陸。令初始時刻t0= 0,終端時刻tf不定,則相 應的初
始
條
件
為
r0= rL+ h0,v0= 0,ω0= ωo(2)
終端約束為 rf= rL,vf= 0,ωf= 0(3)式中:rL為月球半徑;h0為初始軌道高度;ωo為 軌道角速度。
月球軟著陸的最優軌道設計就是要在滿足上 述初始條件和終端約束的前提下,調整推力大小 和方向,使得著陸器實現燃料最優軟著陸,即要求 以下性
能
指
標
達
最
大。
J=∫tf0?mdt(4)2 歸一化
在軌道優化過程中,由于各狀態變量的量級 相差較大,尋優過程中可能會導致有效位數的丟 失。通過歸一化處理可以克服這一缺點[9],提高
計算精度。令rref= r0,mref= m0,則–r= r /rref, v= v /vref,vref= μ /rref, ISP= ISPrref/μ, F= F /Fref, Fref= mrefv2ref/rref, m= m /mref, ω=ω r3ref/μ,–t= t / tref,tref= rref/vref,–θ=θ。那么,著陸器的動力學方
程可改寫為
–r= v
v=(F / m)sinψ-1 /–r2+–r ω 2
–θ= ω
ω=-[(F / m)cosψ+ 2 v ω] /–r
m=l);%步長dx x1 = x + dx;%下一個估計點
x1 =(x1 < l).*l +(l <= x1).*(x1 <= u).*x1 +(u < x1).*u;%將x1限定在區間[l,u]上 fx1 = feval(f,x1);df = fx1-fx;
if df < 0|rand < exp(-Ti*df/(abs(fx)+ eps)/TolFun)%如果fx1 end if fx < fo xo = x;fo = fx1; end end %模擬退火法中的mu^（-1）定理 function x = Mu_Inv(y,mu) x =(((1+mu).^abs(y)-1)/mu).*sign(y); function [xo,fo] = genetic(f,x0,l,u,Np,Nb,Pc,Pm,eta,kmax)% 遺傳算法求f(x）最小值 s.t.l <= x <= u %f為待求函數,x0初值，l，u上下限，Np群體大小，Nb每一個變量的基因值（二進制數） %Pc交叉概率，Pm變異概率，eta學習率，kmax最大迭代次數 N = length(x0); %%%%%確定各變量缺省值 if nargin < 10 kmax = 100;%最大迭代次數缺省為100 end if nargin < 9|eta > 1|eta <= 0 eta = 1;%學習率eta,(0 < eta < 1)end if nargin < 8 Pm = 0.01;%變異概率缺省0.01 end if nargin < 7 Pc = 0.5;%交叉概率缺省0.5 end if nargin < 6 Nb = 8*ones(1,N);%每一變量的基因值（二進制數）end if nargin < 5 Np = 10;%群體大小（染色體數）end %%%%%生成初始群體 NNb = sum(Nb); xo = x0(:)';l = l(:)';u = u(:)';fo = feval(f,xo);X(1,:)= xo;for n = 2:Np X(n,:)= l + rand(size(x0)).*(ufX;%將函數值轉化為非負的適合度值 fXm = fX1(nb); if fXm < eps %如果所有的染色體值相同，終止程序 return; end %%%%%復制下一代 for n = 1:Np X(n,:)= X(n,:)+ eta*(fXmX(n,:));%復制準則 end P = gen_encode(X,Nb,l,u);%對下一代染色體編碼 %%%%%%隨機配對/交叉得新的染色體數組 is = shuffle([1:Np]); for n = 1:2:Np1; X(n,m)= bin2dec(P(n,b1:b2))*(u(m)1)+ l(m);%解碼方程 end end 【百納知識提供】B 題分析初稿，旨在交流，注意：這只是看了 3 篇文章，找到的思路，請大家多看文獻，思路會很多！我 們后續會整理更多的思路！ 關鍵詞： 1.評價指標體系，評價開放對周邊道路通行的效果。 2.車輛通行的數學模型，研究小區開放對周邊道路通行的影響。 3.小區開放產生的效果，可能會與小區結構及周邊道路結構、車流量有關。 請選取或構建不同類型的小區，應用你們建立的模型，定量比較各類型小區開放 前后對道路通行的影響。 4.根據你們的研究結果，從交通通行的角度，向城市規劃和交通管理部門 提出你們關于小區開放的合理化建議。相關資料整理： 1.評價指標體系，評價開放對周邊道路通行的效果。 用層次分析 AHP 進行了研究。 我們要做的可能是強調類似哪些指標是針對開放對周邊道路通行的效果，不 屬于這類的指標可以刪除。 2.車輛通行的數學模型，研究小區開放對周邊道路通行的影響。 是不是建模就是選取小區附件的某些范圍研究，這就是理論依據。 簡單的車輛模型，可以化個節點，圖，權重。分析流量 用其中的符號定義等，后面的應急什么別管，太復雜。利用這里模型分析第 一個問題中指標系統的指標。 3.小區開放產生的效果，可能會與小區結構及周邊道路結構、車流量有關。 請選取或構建不同類型的小區，應用你們建立的模型，定量比較各類型小區開放 前后對道路通行的影響。小區結構： 我們要定量分析幾類小區的開放效果，第 4 問寫建議時候，可能鴨血，那些小區 就不要開放了，那些很有必要，等等。 利用前兩個模型，對不同小區進行計算。要考慮小區結構及周邊道路結構、車流 量等的影響。就是調參數，算結果。 4.根據你們的研究結果，從交通通行的角度，向城市規劃和交通管理部門 提出你們關于小區開放的合理化建議。 寫建議，寫建議時候注意文章說了兩種觀點，除了開放小區可能引發的安保 等問題外，議論的焦點之一是：開放小區能否達到優化路網結構，提高道路通行 能力，改善交通狀況的目的，以及改善效果如何。一種觀點認為封閉式小區破壞 了城市路網結構，堵塞了城市“毛細血管”，容易造成交通阻塞。小區開放后，路網密度提高，道路面積增加，通行能力自然會有提升。也有人認為這與小區面 積、位置、外部及內部道路狀況等諸多因素有關，不能一概而論。還有人認為小 區開放后，雖然可通行道路增多了，相應地，小區周邊主路上進出小區的交叉路 口的車輛也會增多，也可能會影響主路的通行速度。 模型要做的是解答這些觀點，比如哪類小區結構，哪類周邊道路結構、車流 量等適合第一個觀點，那個是第二個，或者有新的觀點，等等。 可參考開放策略《基于城市道路網絡脆弱性的小區開放策略研究_詹斌》 其他： 大神可做更復雜的流量模型《城市混合交通流微觀仿真建模研究_鄺先驗》 可參考，元胞自動機模型。 2013高教社杯全國大學生數學建模競賽A題評閱要點 [說明]本要點僅供參考，各賽區評閱組應根據對題目的理解及學生的解答，自主地進行評閱。 本題的難點在于通過視頻資料獲得車流數據，并以此為基礎建立數學模型，分析部分車道被占用后，道路擁塞程度與上游來車量的關系。評閱時請關注如下方面：建模的準備工作（視頻中車流數據的提取，包括視頻缺失及錯誤的處理），模型的建立、求解和分析方法，結果的表述，模型的合理性分析及其模型的拓廣。問題1.1.1．道路被占用后，實際的通行能力需要通過視頻中的車流數據得到，不能僅由交通道路設計標準估計；1.2．應該根據視頻信息給出不同時段、不同情況下車流量的變化，需要給出通行能力的計算方法、理由的陳述或分析；1.3.在被占用道路沒有車輛排隊時，通行能力等同于單車道情形，但當被占用道路有車輛排隊時，由于被占用道路車輛的變道搶行，會使道路的通行能力下降，好的結果應該明確指出這一點。問題2.2.1.對于視頻2的分析同視頻1，需要通過視頻2與視頻1的數據對比給出通行能力的差異及原因分析；2.2．由于事故橫斷面下游交通流方向需求不同，會導致上游每條車道分配到的車輛數不同，使兩種情況事故所處道路橫斷面形成多車道排隊的機率不同，從而影響實際通行能力。如果在模型中注意到這一點則更好。問題3.3.1．建立數學模型，給出交通事故所引起的路段車輛排隊長度與事故橫斷面實際通行能力、事故持續時間、路段上游車流量間的關系；3.2.模型的形式可以多樣，但需要包含上述各種因素。關鍵考察模型假設的合理性、參數確定的原則、及模型的可計算性。問題 4.4.1．本問題是問題1及問題3的擴展，可利用問題1得到的通行能力及 問題3的模型計算結果；4.2．和問題1、3不同，當事故橫斷面離紅綠燈路口較近時，司機無充分時間調整車道，會增大多車道占用情形，影響通行能力，模型計算中應考慮這一點；4.3.附件中給出了上游路口信號燈的控制方案，會影響上游來車的流量分布，如果學生能夠利用附件給出上游路口信號燈配時方案和交通組織方案則更好。據得到，不能僅由交通道路設計標準估計；1.2．應該根據視頻信息給出不同時段、不同情況下車流量的變化，需要給出通行能力的計算方法、理由的陳述或分析；1.3.在被占用道路沒有車輛排隊時，通行能力等同于單車道情形，但當被占用道路有車輛排隊時，由于被占用道路車輛的變道搶行，會使道路的通行能力下降，好的結果應該明確指出這一點。問題2.2.1.對于視頻2的分析同視頻1，需要通過視頻2與視頻1的數據對比給出通行能力的差異及原因分析；2.2．由于事故橫斷面下游交通流方向需求不同，會導致上游每條車道分配到的車輛數不同，使兩種情況事故所處道路橫斷面形成多車道排隊的機率不同，從而影響實際通行能力。如果在模型中注意到這一點則更好。問題3.3.1 ．建立數學模型，給出交通事故所引起的路段車輛排隊長度與事故橫斷面實際通行能力、事故持續時間、路段上游車流量間的關系；3.2.模型的形式可以多樣，但需要包含上述各種因素。關鍵考察模型假設的合理性、參數確定的原則、及模型的可計算性。問題4.4.1．本問題是問題1及問題3的擴展，可利用問題1得到的通行能力及 問題3的模型計算結果；4.2．和問題1、3不同，當事故橫斷面離紅綠燈路口較近時，司機無充分時間調整車道，會增大多車道占用情形，影響通行能力，模型計算中應考慮這一點；4.3.附件中給出了上游路口信號燈的控制方案，會影響上游來車的流量分布，如果學生能夠利用附件給出上游路口信號燈配時方案和交通組織方案則更好。 2004高教社杯全國大學生數學建模競賽A題評閱要點 [說明] 根據各賽區的建議，從2004年起全國組委會不再提供賽題參考解答，只給評閱要點。本要點僅供參考，各賽區評閱組應根據對題目的理解及學生的解答，自主地進行評閱。 本題構思立足開放、科學和結合時事。設計原則力求“淺無邊，深無底”，可以使用各種不同層次的方法建模和求解，得到不同的結果。 1． 解題思路 按照題目的步驟可以分成4部分：從已給問卷調查數據尋找盡可能充分的能夠決定人流量的規律；依此計算出圖2中各個商區的人流量分布；從人流量分布，提出建立MS的簡化假設，形成數學模型并求解；評價自己的方法的科學性和結果貼近實際的水平，并進行修正。這4個部分應該完整地反映學生的建模構思素質和具體實現能力。 2．方法建議 1）從已經給出的1萬多條記錄的數據，找出盡可能多的出行、餐飲規律和購物欲規律，如不同性別和不同年齡段的人有怎樣不同的出行方式（公交、地鐵、出租車、私車）、餐飲方式（中、西餐、超市餐飲）和購物欲（用購物額反映）。可以用統計方法或數據挖掘等。要注意：找出的規律是否足夠全面，是否都與人流量形成有關。 2）將上面得到的規律用于2008年的情況時，可以作合理的修正，并可認為不同性別和不同年齡段的人均勻分布在與圖2中20個商區對應的20個看臺上，再根據題目給出的每人平均出行兩次且只走最短路線的條件，計算出20個商區的人流量分布。由于出行方式、餐飲方式和購物欲與人的性別和年齡有關，可以引入“標準人”（如某年齡段的男性，而將其他人群折合成標準人），以標準人為計算人流量的單位。 人流量分布是設計MS網點的數據基礎，不同方法得到的結果不同，主要是精細程度不同，1）得到的結果將直接影響分布。 3）提出合理的假設，并建立模型。這是題目開放性的主要體現。假設至少包括兩部分：第一是對商店類型的假設，一種類型或兩種類型，以及各種類型商店的成本（包括投資、運營等所有投入）、利潤率和可容納顧客的飽和值。第二是對商店分布的假設，要考慮“分布基本均衡”的要求，例如，不可能因為某區人流量大而安排大量的MS，不僅商區面積受限，而且整體不均衡，這種做法是由于沒有充分考慮“人是從高密度向低密度流動的”這個基本事實。 建模應該滿足三個基本要求，例如，可以以“滿足購物需求”和“分布基本均衡”為約束，以“商業上贏利”為目標，形成一個整數規劃。建模的關鍵是數學上恰當地描述“滿足需求”和“贏利”。 4）模型的自我評價與修正。基本原則是建模和解題的科學性，以及在滿足三個基本要求方面貼近實際的程度。 本題由多種數學方法組合而成，某一種方法不充分顯然會影響以后的結果，但是希望不過分影響對后續方法的水平的評價。 2011高教社杯全國大學生數學建模競賽題目 （請先閱讀“全國大學生數學建模競賽論文格式規范”） A題 城市表層土壤重金屬污染分析 隨著城市經濟的快速發展和城市人口的不斷增加，人類活動對城市環境質量的影響日顯突出。對城市土壤地質環境異常的查證，以及如何應用查證獲得的海量數據資料開展城市環境質量評價，研究人類活動影響下城市地質環境的演變模式，日益成為人們關注的焦點。 按照功能劃分，城區一般可分為生活區、工業區、山區、主干道路區及公園綠地區等，分別記為1類區、2類區、??、5類區，不同的區域環境受人類活動影響的程度不同。 現對某城市城區土壤地質環境進行調查。為此，將所考察的城區劃分為間距1公里左右的網格子區域，按照每平方公里1個采樣點對表層土（0~10 厘米深度）進行取樣、編號，并用GPS記錄采樣點的位置。應用專門儀器測試分析，獲得了每個樣本所含的多種化學元素的濃度數據。另一方面，按照2公里的間距在那些遠離人群及工業活動的自然區取樣，將其作為該城區表層土壤中元素的背景值。 附件1列出了采樣點的位置、海拔高度及其所屬功能區等信息，附件2列出了8種主要重金屬元素在采樣點處的濃度，附件3列出了8種主要重金屬元素的背景值。 現要求你們通過數學建模來完成以下任務： (1)給出8種主要重金屬元素在該城區的空間分布，并分析該城區內不同區域重金屬的污染程度。 (2)通過數據分析，說明重金屬污染的主要原因。 (3)分析重金屬污染物的傳播特征，由此建立模型，確定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的優缺點，為更好地研究城市地質環境的演變模式，還應收集什么信息？有了這些信息，如何建立模型解決問題？ 附件1：A區和全市六區交通網絡與平臺設置的示意圖。 B題 交巡警服務平臺的設置與調度 “有困難找警察”，是家喻戶曉的一句流行語。警察肩負著刑事執法、治安管理、交通管理、服務群眾四大職能。為了更有效地貫徹實施這些職能，需要在市區的一些交通要道和重要部位設置交巡警服務平臺。每個交巡警服務平臺的職能和警力配備基本相同。由于警務資源是有限的，如何根據城市的實際情況與需求合理地設置交巡警服務平臺、分配各平臺的管轄范圍、調度警務資源是警務部門面臨的一個實際課題。 試就某市設置交巡警服務平臺的相關情況，建立數學模型分析研究下面的問題： （1）附件1中的附圖1給出了該市中心城區A的交通網絡和現有的20個交巡警服務平臺的設置情況示意圖，相關的數據信息見附件2。請為各交巡警服務平臺分配管轄范圍，使其在所管轄的范圍內出現突發事件時，盡量能在3分鐘內有交巡警（警車的時速為60km/h）到達事發地。 對于重大突發事件，需要調度全區20個交巡警服務平臺的警力資源，對進出該區的13條交通要道實現快速全封鎖。實際中一個平臺的警力最多封鎖一個路口，請給出該區交巡警服務平臺警力合理的調度方案。 根據現有交巡警服務平臺的工作量不均衡和有些地方出警時間過長的實際情況，擬在該區內再增加2至5個平臺，請確定需要增加平臺的具體個數和位置。 （2）針對全市（主城六區A，B，C，D，E，F）的具體情況，按照設置交巡警服務平臺的原則和任務，分析研究該市現有交巡警服務平臺設置方案（參見附件）的合理性。如果有明顯不合理，請給出解決方案。 如果該市地點P（第32個節點）處發生了重大刑事案件，在案發3分鐘后接到報警，犯罪嫌疑人已駕車逃跑。為了快速搜捕嫌疑犯，請給出調度全市交巡警服務平臺警力資源的最佳圍堵方案。 附件2：全市六區交通網絡與平臺設置的相關數據表（共5個工作表）。 全市路口節點標號 路口的橫坐標X 路口的縱坐標Y 路口所屬區 域 發案率(次 數) 說明： 15 413 403 383.5 381 339 335 317 334.5 333 282 247 219 225 280 290 359 343 351 377.5 376 383 362 353.5 342 325 301 316 270 292 335 A A A A A A A A A A A A A A A 1.7 2.1 2.2 1.7 A列：是全市交通網絡中路口節點 B列：路口節點的橫坐標X，是在交D列：路口節點所屬的區 米 坐標的長度單位為毫米 C列：路口節點的縱坐標Y，是在交 2.1 2.5 2.4 2.4 2.1 1.6 2.6 2.4 2.2 2.5 2.1 E列：各路口節點的發案率是每個 地圖距離和實際距離的比例是1:1 337 17 415 18 432 19 418 20 444 21 251 22 234 23 225 24 212 25 227 26 256 27 250.5 28 243 29 246 30 314 31 315 32 326 33 327 34 328 35 336 36 336 37 331 38 371 39 371 40 388.5 41 411 42 419 43 411 44 394 45 342 46 342 47 325 48 315 49 342 50 345 51 348.5 52 351 53 348 54 370 55 371 56 354 57 363 58 357 59 351 328 A 335 A 371 A 374 A 394 A 277 A 271 A 265 A 290 A 300 A 301 A 306 A 328 A 337 A 367 A 351 A 355 A 350 A 342.5 A 339 A 334 A 335 A 330 A 333 A 330.5 A 327.5 A 344 A 343 A 346 A 342 A 348 A 372 A 374 A 372 A 382 A 380.5 A 377 A 369 A 363 A 353 A 374 A 382.5 A 387 A 382 A 2.6 2.5 1.9 1.8 1.9 1.4 1.4 2.4 1.1 1.6 1.2 0.8 1.3 1.4 2.1 1.6 1.5 案發地P點的標號：32 1.4 1.7 1.4 1.1 0.1 1.2 1.4 1.7 1.4 1.4 1.7 1.1 1.4 1.2 1.6 1.4 1.2 1.1 0.8 0.6 1.4 0.9 0.5 0.8 1.1 0.9 369 61 335 62 381 63 391 64 392 65 395 66 398 67 401 68 405 69 410 70 408 71 415 72 418 73 422 74 418.5 75 405.5 76 405 77 409 78 417 79 420 80 424 81 438 82 438.5 83 434 84 438 85 440 86 447 87 448 88 444.5 89 441 90 440.5 91 445 92 444 93 140 94 145 95 160 96 142.5 97 150 98 186 99 158 121 157 158 159 388 A 395 A 381 A 375 A 366 A 361 A 362 A 359 A 360 A 355 A 350 A 351 A 347 A 354 A 356 A 364.5 A 368 A 370 A 364 A 370 A 372 A 368 A 373 A 376 A 385 A 392 A 392 A 381 A 383 A 385 A 381.5 A 380 A 360 A 130 B 118 B 96 B 71 B 70 B 145 B 73.5 B 68 B 145 B 138.5 B 135 B 0.7 0.6 1.2 1.4 0.8 0.7 0.8 0.8 0.9 1.1 0.9 1.1 0.8 0.9 1.1 0.8 1.1 0.8 0.8 0.8 0.8 1.4 1.1 0.9 1.2 1.4 1.1 0.9 1.4 0.9 0.9 0.8 1.6 1.6 1.6 2.1 1.8 1.6 2.6 2.6 1.1 0.9 0.5 105 137.5 106 144 107 139 108 144.5 109 151 110 151.5 111 150 112 158 113 159 114 164 115 163 116 149 117 143 118 137 119 131 120 130 121 127 122 125 123 129 124 130 125 124 126 136 127 136 128 142 129 148 130 142 131 147 132 128 133 136.5 134 142 135 147 136 154 137 148.5 138 140 139 140 140 137.5 141 138 142 143 143 151 144 153 145 143 146 143 147 143 114 B 113 B 112 B 117 B 115 B 113 B 118 B 111 B 118 B 109 B B 105 B 99.5 B 102 B 103 B 103 B 100 B 102 B 98 B 96 B 90 B 90 B 96 B 90 B 96 B 96 B 91 B 91 B 71 B 76 B 79 B 81 B 86 B 74.5 B 70 B 63 B 63 B 59 B 63 B 69 B 63 B 60 B 57 B 51.5 B 0.7 0.4 0.8 0.2 0.8 0.6 0.9 0.8 1.1 0.8 0.4 0.7 1.2 0.8 0.9 0.5 0.6 0.6 0.8 0.9 0.4 0.7 1.1 0.8 0.8 0.7 0.6 0.7 1.2 0.8 1.1 0.8 0.9 1.1 0.6 0.7 0.8 0.4 1.1 0.8 1.1 0.7 0.6 0.8 108.5 148 160 149 162 150 141 151 143 152 151 153 150 154 164 155 171 156 165.5 157 181 158 176 159 170 160 168 161 166 162 176 163 180 164 183 165 202 166 137.5 167 167 168 376 169 210 170 263 171 284 172 278.5 173 295 174 299 175 362 176 410 177 395 178 277 179 235 180 200 181 167 182 225 183 400 184 414 185 424 186 411 187 420 188 403 189 376 190 380 191 377 65 B 59 B 49 B 40 B 44 B 33 B 124 B 125 B 139 B 131 B 141 B 140 B 145 B 150 B 145 B 149 B 145 B 131 B 462 C 399 C 400 C 390 C 445 C 409 C 425 C 382 C 444 C 443 C 408.5 C 520 C 496 C 465 C 466.5 C 462 C 443 C 447 C 422 C 400 C 396 C 401 C 404 C 406 C 404 C 424 C 1.1 0.6 0.4 0.8 0.5 0.1 0.6 0.7 1.1 1.4 1.6 0.8 0.6 0.8 0.6 0.7 1.1 1.1 2.6 2.2 1.4 2.6 2.2 1.9 2.2 2.6 2.2 2.1 2.2 1.7 2.2 1.9 2.4 2.4 1.2 1.4 1.2 1.4 0.8 1.2 0.9 0.8 0.8 192 374 193 370 194 368 195 374 196 365 197 356 198 358 199 354 200 357 201 359 202 347 203 261 204 270 205 313 206 324 207 333 208 334 209 323 210 312 211 317 212 316 213 315.5 214 316 215 318 216 291.5 217 284 218 281 219 299 220 302 221 305 222 281 223 274 224 273.5 225 267 226 270 227 275 228 276 229 270 230 276 231 288 232 293.5 233 296 234 303 235 298.5 424 C 423 C 427.5 C 431 C 448 C 450 C 459 C 495 C 513 C 528 C 553 C 537.5 C 514 C 511.5 C 511 C 511 C 497 C 497 C 498 C 451 C 448 C 444 C 434 C 412 C 415 C 425 C 421 C 434 C 451 C 457 C 458.5 C 448 C 444 C 446 C 440 C 422 C 419 C 415 C 405 C 403 C 392.5 C 387 C 386 C 378 C 0.8 0.4 0.9 1.2 1.4 1.4 1.2 1.1 1.2 0.4 0.5 0.8 1.4 0.4 0.8 0.7 0.8 0.7 1.1 1.1 0.8 0.7 0.9 1.2 1.4 1.4 1.6 1.4 1.4 1.2 1.1 0.8 0.9 1.1 0.9 1.1 1.2 0.8 1.4 1.4 1.4 1.1 1.4 1.6 236 293 237 296 238 276 239 250 240 247 241 262 242 269 243 276 244 282 245 282 246 273 247 276 248 138.5 249 155 250 163 251 173 252 183 253 238 254 213 255 189 256 210 257 201 258 150 259 135 260 143 261 142 262 140 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1.4 1.2 1.4 1.5 1.1 0.9 1.4 1.2 0.8 0.9 0.7 1.4 1.2 0.2 1.2 0.6 0.6 0.8 1.4 0.6 1.2 1.4 0.4第二篇：2016高教杯數學建模·b題分析
第三篇：2013高教社杯全國大學生數學建模競賽A題評閱要點
第四篇：2004高教社杯全國大學生數學建模競賽A題評閱要點
第五篇：2011高教社杯全國大學生數學建模競賽題目
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