第一篇：2014高教社杯全國大學生數學建模競賽(A)題目
2014高教社杯全國大學生數學建模競賽題目
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A題
嫦娥三號軟著陸軌道設計與控制策略
嫦娥三號于2013年12月2日1時30分成功發射，12月6日抵達月球軌道。嫦娥三號在著陸準備軌道上的運行質量為2.4t，其安裝在下部的主減速發動機能夠產生1500N到7500N的可調節推力，其比沖（即單位質量的推進劑產生的推力）為2940m/s，可以滿足調整速度的控制要求。在四周安裝有姿態調整發動機，在給定主減速發動機的推力方向后，能夠自動通過多個發動機的脈沖組合實現各種姿態的調整控制。嫦娥三號的預定著陸點為19.51W，44.12N，海拔為-2641m（見附件1）。
嫦娥三號在高速飛行的情況下，要保證準確地在月球預定區域內實現軟著陸，關鍵問題是著陸軌道與控制策略的設計。其著陸軌道設計的基本要求：著陸準備軌道為近月點15km，遠月點100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點至著陸點，其軟著陸過程共分為6個階段（見附件2），要求滿足每個階段在關鍵點所處的狀態；盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。
根據上述的基本要求，請你們建立數學模型解決下面的問題：
（1）確定著陸準備軌道近月點和遠月點的位置，以及嫦娥三號相應速度的大小與方向。（2）確定嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優控制策略。
（3）對于你們設計的著陸軌道和控制策略做相應的誤差分析和敏感性分析。
附件1： 問題的背景與參考資料；
附件2： 嫦娥三號著陸過程的六個階段及其狀態要求； 附件3：距月面2400m處的數字高程圖； 附件4：距月面100m處的數字高程圖。
附件1：問題A的背景與參考資料
1．中新網12月12日電(記者 姚培碩)根據計劃，嫦娥三號將在北京時間12月14號在月球表面實施軟著陸。嫦娥三號如何實現軟著陸以及能否成功成為外界關注焦點。目前，全球僅有美國、前蘇聯成功實施了13次無人月球表面軟著陸。
北京時間12月10日晚，嫦娥三號已經成功降軌進入預定的月面著陸準備軌道，這是嫦娥三號“落月”前最后一次軌道調整。在實施軟著陸之前，嫦娥三號還將在這條近月點高度約15公里、遠月點高度約100公里的橢圓軌道上繼續飛行。期間，將穩定飛行姿態，對著陸敏感器、著陸數據等再次確認，并對軟著陸的起始高度、速度、時間點做最后準備。
“發射、近月制動、變軌和月面降落比較起來，后者更為關鍵。這對我們來說是一個全新的，也是一個最重要的考驗。”中國探月工程總設計師吳偉仁表示。
嫦娥三號著陸地點選在較為平坦的虹灣區。但由于月球地形的不確定性，最終“落月”地點的選擇仍存在一定難度。據悉，嫦娥三號將在近月點15公里處以拋物線下降，相對速度從每秒1.7公里逐漸降為零。整個過程大概需要十幾分鐘的時間。探測器系統副總指揮譚梅將其稱為“黑色750秒”。
由于月球上沒有大氣，嫦娥三號無法依靠降落傘著陸，只能靠變推力發動機，才能完成中途修正、近月制動、動力下降、懸停段等軟著陸任務。據了解，嫦娥三號主發動機是目前中國航天器上最大推力的發動機，能夠產生從1500牛到7500牛的可調節推力，進而對嫦娥三號實現精準控制。
在整個“落月”過程中，“動力下降”被業內形容為最驚心動魄的環節。在這個階段，嫦娥三號要完全依靠自主導航控制，完成降低高度、確定著陸點、實施軟著陸等一系列關鍵動作，人工干預的可能性幾乎為零。“在這個時間段內測控都跟不上了，判斷然后上去執行根本來不及，只能事先把程序都設定好。”譚梅表示。
在距月面100米處時，嫦娥三號要進行短暫的懸停，掃描月面地形，避開障礙物，尋找著陸點。“如果下面有個大坑，需要挪個地方，它就會自己平移，等照相機告訴它地面平了，才會降落”。中國繞月探測工程首任首席科學家、中國科學院院士歐陽自遠介紹。
之后，嫦娥三號在反推火箭的作用下繼續慢慢下降，直到離月面4米高時再度懸停。此時，關掉反沖發動機，探測器自由下落。由于探測器具備著陸緩沖機構，幾個腿都有彈性，落地時不至于摔壞。
安全降落以后，嫦娥三號將打開太陽能電池板接收能量，攜帶的儀器經過測試、調試后開始工作。隨后，“玉兔號”月球車將駛離著陸器，在月面進行3個月的科學勘測，著陸器則在著陸地點進行原地探測。這將是中國航天器首次在地外天體的軟著陸和巡視勘探，同時也是1976年后人類探測器首次的落月探測。
（http://www.tmdps.cn/wiki/Orbital_elements.2014.1.17 [2]維基百科，比沖.http://en.wikipedia.org/wiki/Specific_impulse.2014.1.17 附件2： 嫦娥三號軟著陸過程的六個階段及其狀態要求
1.嫦娥三號軟著陸過程示意圖
附圖4嫦娥三號軟著陸過程示意圖
2.嫦娥三號軟著陸過程分為6個階段的要求
（1）著陸準備軌道：著陸準備軌道的近月點是15KM，遠月點是100KM。近月點在月心坐標系的位置和軟著陸軌道形態共同決定了著陸點的位置。
（2）主減速段：主減速段的區間是距離月面15km到3km。該階段的主要是減速，實現到距離月面3公里處嫦娥三號的速度降到57m/s。
（3）快速調整段：快速調整段的主要是調整探測器姿態，需要從距離月面3km到 2.4km處將水平速度減為0m/s，即使主減速發動機的推力豎直向下，之后進入粗避障階段。
（4）粗避障段：粗避障段的范圍是距離月面2.4km到100m區間，其主要是要求避開大的隕石坑，實現在設計著陸點上方100m處懸停，并初步確定落月地點。
嫦娥三號在距離月面2.4km處對正下方月面錯誤！未找到引用源。×2300m的范圍進行拍照，獲得數字高程如附圖5所示（相關數據文件見附件3），并嫦娥三號在月面的垂直投影位于預定著陸區域的中心位置。
附圖5： 距月面2400m處的數字高程圖
該高程圖的水平分辨率是1m/像素，其數值的單位是1m。例如數字高程圖中第1行第1列的數值是102，則表示著陸區域最左上角的高程是錯誤！未找到引用源。米。（5）精避障段：精細避障段的區間是距離月面100m到30m。要求嫦娥三號懸停在距離月面100m處，對著陸點附近區域100m范圍內拍攝圖像，并獲得三維數字高程圖。分析三維數字高程圖，避開較大的隕石坑，確定最佳著陸地點，實現在著陸點上方30m處水平方向速度為0m/s。附圖6是在距離月面100m處懸停拍攝到的數字高程圖（相關數據文件見附件4）。
附圖6： 距離月面100m處的數字高程圖
該數字高程的水平分辨率為0.1m/像素，高度數值的單位是0.1m。
（6）緩速下降階段：緩速下降階段的區間是距離月面30m到4m。該階段的主要任務控制著陸器在距離月面4m處的速度為0m/s，即實現在距離月面4m處相對月面靜止，之后關閉發動機，使嫦娥三號自由落體到精確有落月點。
注：附件3和附件4中數字高程圖對應的*.tif文件可以使用Matlab的“imread”命令打開，“imread”的具體使用方法見Matlab相關幫助。
第二篇：2011高教社杯全國大學生數學建模競賽題目
2011高教社杯全國大學生數學建模競賽題目
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A題
城市表層土壤重金屬污染分析
隨著城市經濟的快速發展和城市人口的不斷增加，人類活動對城市環境質量的影響日顯突出。對城市土壤地質環境異常的查證，以及如何應用查證獲得的海量數據資料開展城市環境質量評價，研究人類活動影響下城市地質環境的演變模式，日益成為人們關注的焦點。
按照功能劃分，城區一般可分為生活區、工業區、山區、主干道路區及公園綠地區等，分別記為1類區、2類區、??、5類區，不同的區域環境受人類活動影響的程度不同。
現對某城市城區土壤地質環境進行調查。為此，將所考察的城區劃分為間距1公里左右的網格子區域，按照每平方公里1個采樣點對表層土（0~10 厘米深度）進行取樣、編號，并用GPS記錄采樣點的位置。應用專門儀器測試分析，獲得了每個樣本所含的多種化學元素的濃度數據。另一方面，按照2公里的間距在那些遠離人群及工業活動的自然區取樣，將其作為該城區表層土壤中元素的背景值。
附件1列出了采樣點的位置、海拔高度及其所屬功能區等信息，附件2列出了8種主要重金屬元素在采樣點處的濃度，附件3列出了8種主要重金屬元素的背景值。
現要求你們通過數學建模來完成以下任務：
(1)給出8種主要重金屬元素在該城區的空間分布，并分析該城區內不同區域重金屬的污染程度。
(2)通過數據分析，說明重金屬污染的主要原因。
(3)分析重金屬污染物的傳播特征，由此建立模型，確定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的優缺點，為更好地研究城市地質環境的演變模式，還應收集什么信息？有了這些信息，如何建立模型解決問題？
附件1：A區和全市六區交通網絡與平臺設置的示意圖。
B題
交巡警服務平臺的設置與調度
“有困難找警察”，是家喻戶曉的一句流行語。警察肩負著刑事執法、治安管理、交通管理、服務群眾四大職能。為了更有效地貫徹實施這些職能，需要在市區的一些交通要道和重要部位設置交巡警服務平臺。每個交巡警服務平臺的職能和警力配備基本相同。由于警務資源是有限的，如何根據城市的實際情況與需求合理地設置交巡警服務平臺、分配各平臺的管轄范圍、調度警務資源是警務部門面臨的一個實際課題。
試就某市設置交巡警服務平臺的相關情況，建立數學模型分析研究下面的問題：
（1）附件1中的附圖1給出了該市中心城區A的交通網絡和現有的20個交巡警服務平臺的設置情況示意圖，相關的數據信息見附件2。請為各交巡警服務平臺分配管轄范圍，使其在所管轄的范圍內出現突發事件時，盡量能在3分鐘內有交巡警（警車的時速為60km/h）到達事發地。
對于重大突發事件，需要調度全區20個交巡警服務平臺的警力資源，對進出該區的13條交通要道實現快速全封鎖。實際中一個平臺的警力最多封鎖一個路口，請給出該區交巡警服務平臺警力合理的調度方案。
根據現有交巡警服務平臺的工作量不均衡和有些地方出警時間過長的實際情況，擬在該區內再增加2至5個平臺，請確定需要增加平臺的具體個數和位置。
（2）針對全市（主城六區A，B，C，D，E，F）的具體情況，按照設置交巡警服務平臺的原則和任務，分析研究該市現有交巡警服務平臺設置方案（參見附件）的合理性。如果有明顯不合理，請給出解決方案。
如果該市地點P（第32個節點）處發生了重大刑事案件，在案發3分鐘后接到報警，犯罪嫌疑人已駕車逃跑。為了快速搜捕嫌疑犯，請給出調度全市交巡警服務平臺警力資源的最佳圍堵方案。
附件2：全市六區交通網絡與平臺設置的相關數據表（共5個工作表）。
全市路口節點標號 路口的橫坐標X
路口的縱坐標Y
路口所屬區
域
發案率(次
數)
說明：
15
413 403 383.5 381 339 335 317 334.5 333 282 247 219 225 280 290
359 343 351 377.5 376 383 362 353.5 342 325 301 316 270 292 335
A A A A A A A A A A A A A A A
1.7 2.1 2.2 1.7
A列：是全市交通網絡中路口節點
B列：路口節點的橫坐標X，是在交D列：路口節點所屬的區
米
坐標的長度單位為毫米
C列：路口節點的縱坐標Y，是在交
2.1 2.5
2.4 2.4 2.1 1.6 2.6 2.4 2.2 2.5 2.1
E列：各路口節點的發案率是每個
地圖距離和實際距離的比例是1:1
337 17 415 18 432 19 418 20 444 21 251 22 234 23 225 24 212 25 227 26 256 27 250.5 28 243 29 246 30 314 31 315 32 326 33 327 34 328 35 336 36 336 37 331 38 371 39 371 40 388.5 41 411 42 419 43 411 44 394 45 342 46 342 47 325 48 315 49 342 50 345 51 348.5 52 351 53 348 54 370 55 371 56 354 57 363 58 357 59 351 328 A 335 A 371 A 374 A 394 A 277 A 271 A 265 A 290 A 300 A 301 A 306 A 328 A 337 A 367 A 351 A 355 A 350 A 342.5 A 339 A 334 A 335 A 330 A 333 A 330.5 A 327.5 A 344 A 343 A 346 A 342 A 348 A 372 A 374 A 372 A 382 A 380.5 A 377 A 369 A 363 A 353 A 374 A 382.5 A 387 A 382 A 2.6
2.5
1.9
1.8
1.9
1.4
1.4
2.4
1.1
1.6
1.2
0.8
1.3
1.4
2.1
1.6
1.5 案發地P點的標號：32 1.4
1.7
1.4
1.1
0.1
1.2
1.4
1.7
1.4
1.4
1.7
1.1
1.4
1.2
1.6
1.4
1.2
1.1
0.8
0.6
1.4
0.9
0.5
0.8
1.1
0.9
369 61 335 62 381 63 391 64 392 65 395 66 398 67 401 68 405 69 410 70 408 71 415 72 418 73 422 74 418.5 75 405.5 76 405 77 409 78 417 79 420 80 424 81 438 82 438.5 83 434 84 438 85 440 86 447 87 448 88 444.5 89 441 90 440.5 91 445 92 444 93 140 94 145 95 160 96 142.5 97 150 98 186 99 158 121 157 158 159 388 A 395 A 381 A 375 A 366 A 361 A 362 A 359 A 360 A 355 A 350 A 351 A 347 A 354 A 356 A 364.5 A 368 A 370 A 364 A 370 A 372 A 368 A 373 A 376 A 385 A 392 A 392 A 381 A 383 A 385 A 381.5 A 380 A 360 A 130 B 118 B 96 B 71 B 70 B 145 B 73.5 B 68 B 145 B 138.5 B 135 B 0.7
0.6
1.2
1.4
0.8
0.7
0.8
0.8
0.9
1.1
0.9
1.1
0.8
0.9
1.1
0.8
1.1
0.8
0.8
0.8
0.8
1.4
1.1
0.9
1.2
1.4
1.1
0.9
1.4
0.9
0.9
0.8
1.6
1.6
1.6
2.1
1.8
1.6
2.6
2.6
1.1
0.9
0.5
105 137.5 106 144 107 139 108 144.5 109 151 110 151.5 111 150 112 158 113 159 114 164 115 163 116 149 117 143 118 137 119 131 120 130 121 127 122 125 123 129 124 130 125 124 126 136 127 136 128 142 129 148 130 142 131 147 132 128 133 136.5 134 142 135 147 136 154 137 148.5 138 140 139 140 140 137.5 141 138 142 143 143 151 144 153 145 143 146 143 147 143 114 B 113 B 112 B 117 B 115 B 113 B 118 B 111 B 118 B 109 B B 105 B 99.5 B 102 B 103 B 103 B 100 B 102 B 98 B 96 B 90 B 90 B 96 B 90 B 96 B 96 B 91 B 91 B 71 B 76 B 79 B 81 B 86 B 74.5 B 70 B 63 B 63 B 59 B 63 B 69 B 63 B 60 B 57 B 51.5 B 0.7
0.4
0.8
0.2
0.8
0.6
0.9
0.8
1.1
0.8
0.4
0.7
1.2
0.8
0.9
0.5
0.6
0.6
0.8
0.9
0.4
0.7
1.1
0.8
0.8
0.7
0.6
0.7
1.2
0.8
1.1
0.8
0.9
1.1
0.6
0.7
0.8
0.4
1.1
0.8
1.1
0.7
0.6
0.8
108.5 148 160 149 162 150 141 151 143 152 151 153 150 154 164 155 171 156 165.5 157 181 158 176 159 170 160 168 161 166 162 176 163 180 164 183 165 202 166 137.5 167 167 168 376 169 210 170 263 171 284 172 278.5 173 295 174 299 175 362 176 410 177 395 178 277 179 235 180 200 181 167 182 225 183 400 184 414 185 424 186 411 187 420 188 403 189 376 190 380 191 377 65 B 59 B 49 B 40 B 44 B 33 B 124 B 125 B 139 B 131 B 141 B 140 B 145 B 150 B 145 B 149 B 145 B 131 B 462 C 399 C 400 C 390 C 445 C 409 C 425 C 382 C 444 C 443 C 408.5 C 520 C 496 C 465 C 466.5 C 462 C 443 C 447 C 422 C 400 C 396 C 401 C 404 C 406 C 404 C 424 C 1.1
0.6
0.4
0.8
0.5
0.1
0.6
0.7
1.1
1.4
1.6
0.8
0.6
0.8
0.6
0.7
1.1
1.1
2.6
2.2
1.4
2.6
2.2
1.9
2.2
2.6
2.2
2.1
2.2
1.7
2.2
1.9
2.4
2.4
1.2
1.4
1.2
1.4
0.8
1.2
0.9
0.8
0.8
192 374 193 370 194 368 195 374 196 365 197 356 198 358 199 354 200 357 201 359 202 347 203 261 204 270 205 313 206 324 207 333 208 334 209 323 210 312 211 317 212 316 213 315.5 214 316 215 318 216 291.5 217 284 218 281 219 299 220 302 221 305 222 281 223 274 224 273.5 225 267 226 270 227 275 228 276 229 270 230 276 231 288 232 293.5 233 296 234 303 235 298.5 424 C 423 C 427.5 C 431 C 448 C 450 C 459 C 495 C 513 C 528 C 553 C 537.5 C 514 C 511.5 C 511 C 511 C 497 C 497 C 498 C 451 C 448 C 444 C 434 C 412 C 415 C 425 C 421 C 434 C 451 C 457 C 458.5 C 448 C 444 C 446 C 440 C 422 C 419 C 415 C 405 C 403 C 392.5 C 387 C 386 C 378 C 0.8
0.4
0.9
1.2
1.4
1.4
1.2
1.1
1.2
0.4
0.5
0.8
1.4
0.4
0.8
0.7
0.8
0.7
1.1
1.1
0.8
0.7
0.9
1.2
1.4
1.4
1.6
1.4
1.4
1.2
1.1
0.8
0.9
1.1
0.9
1.1
1.2
0.8
1.4
1.4
1.4
1.1
1.4
1.6
236 293 237 296 238 276 239 250 240 247 241 262 242 269 243 276 244 282 245 282 246 273 247 276 248 138.5 249 155 250 163 251 173 252 183 253 238 254 213 255 189 256 210 257 201 258 150 259 135 260 143 261 142 262 140 263 121 264 109 265 138.5 266 167 267 168 268 184 269 194 270 200 271 212 272 220 273 246 274 246 275 252 276 257 277 255.5 278 249 279 247 376 C 372 C 352 C 350 C 384 C 399 C 397 C 402 C 398.5 C 386.5 C 389 C 361 C 378 C 396 C 390 C 364 C 370 C 382 C 412 C 413 C 433 C 434 C 400 C 395 C 407 C 414 C 430 C 432 C 441 C 442 C 442 C 435 C 440 C 442 C 442 C 443 C 443 C 444 C 455 C 458 C 460.5 C 466 C 464 C 469 C 1.2
1.7
1.4
1.2
1.4
1.2
1.3
1.2
1.1
1.2
1.1
0.8
1.2
1.5
1.2
1.2
0.7
0.8
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0.9
0.9
1.2
1.2
1.1
0.8
1.1
0.9
0.5
1.2
1.6
1.4
1.2
0.9
1.4
1.6
1.7
2.1
1.4
1.2
1.5
1.2
1.1
0.8
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1.1
0.8
0.4
1.4
1.4
0.8
0.7
0.7
0.8
0.8
1.2
1.4
1.6
1.4
1.2
1.6
1.4
1.2
0.8
1.2
0.7
1.2
1.3
1.4
1.4
1.4
1.5
0.8
0.7
0.9
0.6
0.8
0.7
0.9
0.8
0.6
1.1
1.4
2.4
1.7
2.5
2.4
324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 56 424 20 442 74 326 76 302 15 240 28 161 34.5 164.5 30 181 27 206 42 242 30 246 31 254 39 254 50 289 72 288 60 246 95 299 81 297 80 287 67 314 21 330 36 360 76 344 97 339 103 337 104 341 97 345 89 345 81 344.5 81 350 89 350 92.5 351.5 88 353 81.5 353 87 359 84 361 76 355 58.5 370 34 306 38 418.5 61 425 57 429 60 433 85 369 D 2.1
D 2.2
D 2.6
D 2.1
D 2.6
D 0.4
D 0.1
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D 0.2
D 1.4
D 1.6
D 1.1
D 1.2
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D 1.1
D 0.7
D 1.4
D 1.6
D 1.4
D 1.7
D 1.1
D 1.2
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D 2.4
D 1.2
D 1.1
D 1.6
D 0.8
D 0.8
D 0.4
D 0.7
D 1.1
D 1.4
D 0.9
D 1.1
D 0.9
D 0.8
D 0.6
D 0.1
D 1.4
D 1.4
D 1.6
D 1.4
D 1.9
368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 107.5 362 131 366.5 170 342 174 340 232.5 264 202 223 241 210 235 197.5 228 173 214 164 278 196 267 168 90 167 123 177.5 143 153 192 264 145 285 133 255 90 198 21 15 60 68 70 84 27 149 62 143 58 176 58 160 72 163 70 176.5 90 178 115 168 115 177.5 123 168 123 164 123 155 143 164 144 168 149 177 128 178 128 188 164 194 156 177 168 177 156 169 167 168 D 1.4
D 1.2
D 1.2
D 1.5
E 2.4
E 1.9
E 2.4
E 2.6
E 2.6
E 2.6
E 2.6
E 2.4
E 1
E 1.1
E 1.9
E 2.6
E 2.4
E 2.4
E 1.7
E 1.1
E 0.8
E 0.2
E 1.6
E 0.9
E 1.4
E 0.6
E 0.7
E 0.7
E 0.8
E 0.6
E 0.8
E 0.7
E 0.6
E 0.7
E 0.9
E 1.2
E 0.9
E 0.9
E 1.5
E 1.7
E 0.8
E 1.1
E 0.8
E 0.8
412 172 413 167 414 160 415 163 416 186 417 269 418 295 419 302 420 316 421 278 422 284 423 257.5 424 239 425 241 426 246 427 246.5 428 240 429 236 430 231 431 232 432 239.5 433 242 434 235 435 237.5 436 246 437 200 438 170 439 59 440 72 441 90 442 74 443 60 444 90 445 151 446 160 447 90 448 129 449 142 450 152 451 155 452 163 453 171 454 171 455 171 167 E 164 E 164 E 153.5 E 168 E 133 E 112 E 112 E 141 E 143 E 173 E 170 E 198 E 198 E 199 E 202 E 202 E 201 E 199 E 206.5 E 207.5 E 206 E 209.5 E 212 E 208 E 194 E 222 E 189 E 189 E 187.5 E 198 E 196 E 211 E 236 E 244 E 222 E 248 E 265 E 255.5 E 258 E 258 E 258 E 252.5 E 247 E 0.9
0.2
0.7
1.2
1.6
1.6
1.1
1.4
1.6
1.7
1.4
1.9
0.4
0.3
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0.4
0.4
1.1
0.1
0.6
0.5
0.2
0.4
0.1
0.4
1.1
1.6
0.8
0.9
0.6
0.7
0.4
1.6
1.4
1.5
0.8
1.7
2.1
1.1
0.6
0.8
1.1
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1.1
1.1
1.1
1.4
1.2
1.1
0.8
0.9
0.7
0.4
1.5
1.5
0.7
1.4
1.6
1.8
1.8
1.6
2.4
1.9
0.8
2.3
1.7
1.5
1.9
1.7
2.1
2.4
1.9
1.4
1.1
1.5
1.2
0.8
1.4
0.9
0.6
0.2
0.3
0.5
0.7
0.6
0.4
500 329 501 332 502 334 503 346 504 342 505 356 506 358 507 345 508 348 509 357.5 510 359 511 404 512 403 513 379 514 386 515 373 516 363 517 362 518 354 519 348 520 349 521 353 522 371 523 371 524 375 525 388.5 526 405 527 389 528 388 529 353 530 334 531 336 532 352 533 353 534 362.5 535 370 536 388 537 395.5 538 395 539 408.5 540 430 541 450 542 394 543 387 212 F 226 F 210.5 F 209 F 200 F 202 F 195 F 194 F 188 F 188 F 159 F 161 F 202 F 202 F 213 F 213 F 212 F 218 F 216.5 F 215 F 222 F 223 F 224 F 218.5 F 219 F 218 F 213.5 F 224.5 F 233 F 229.5 F 232 F 239 F 247 F 236 F 236 F 236 F 237 F 237.5 F 233 F 227 F 237 F 268 F 254 F 250 F 0.7
0.7
0.6
0.7
0.8
0.7
0.6
0.4
0.4
0.6
1.1
1.2
0.8
0.7
0.8
0.6
0.4
0.8
0.6
0.9
0.7
0.8
0.8
0.6
0.4
1.1
0.8
0.9
0.6
0.8
0.7
1.1
1.2
0.6
0.8
1.1
1.2
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1.1
1.5
1.4
0.1
1.4
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0.7
0.8
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1.1
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1.1
1.7
1.4
1.2
1.1
1.4
1.2
1.4
1.5
1.1
0.9
1.4
1.2
0.8
0.9
0.7
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1.2
0.2
1.2
0.6
0.6
0.8
1.4
0.6
1.2
1.4
0.4
第三篇：2014高教社杯全國大學生數學建模競賽題目
2014高教社杯全國大學生數學建模競賽題目（請先閱讀“全國大學生數學建模競賽論文格式規范”）
A題
嫦娥三號軟著陸軌道設計與控制策略
嫦娥三號于2013年12月2日1時30分成功發射，12月6日抵達月球軌道。嫦娥三號在著陸準備軌道上的運行質量為2.4t，其安裝在下部的主減速發動機能夠產生1500N到7500N的可調節推力，其比沖（即單位質量的推進劑產生的推力）為2940m/s，可以滿足調整速度的控制要求。在四周安裝有姿態調整發動機，在給定主減速發動機的推力方向后，能夠自動通過多個發動機的脈沖組合實現各種姿態的調整控制。嫦娥三號的預定著陸點為19.51W，44.12N，海拔為-2641m。
嫦娥三號在高速飛行的情況下，要保證準確地在月球預定區域內實現軟著陸，關鍵問題是著陸軌道與控制策略的設計。其著陸軌道設計的基本要求：著陸準備軌道為近月點15km，遠月點100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點至著陸點，其軟著陸過程共分為6個階段，要求滿足每個階段在關鍵點所處的狀態；盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。
根據上述的基本要求，請你們建立數學模型解決下面的問題：
（1）確定著陸準備軌道近月點和遠月點的位置，以及嫦娥三號相應速度的大小與方向。
（2）確定嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優控制策略。
（3）對于你們設計的著陸軌道和控制策略做相應的誤差分析和敏感性分析。
根據計劃，嫦娥三號將在北京時間12月14號在月球表面實施軟著陸。嫦娥三號如何實現軟著陸以及能否成功成為外界關注焦點。目前，全球僅有美國、前蘇聯成功實施了13次無人月球表面軟著陸。
北京時間12月10日晚，嫦娥三號已經成功降軌進入預定的月面著陸準備軌道，這是嫦娥三號“落月”前最后一次軌道調整。在實施軟著陸之前，嫦娥三號還將在這條近月點高度約15公里、遠月點高度約100公里的橢圓軌道上繼續飛行。期間，將穩定飛行姿態，對著陸敏感器、著陸數據等再次確認，并對軟著陸的起始高度、速度、時間點做最后準備。
“發射、近月制動、變軌和月面降落比較起來，后者更為關鍵。這對我們來說是一個全新的，也是一個最重要的考驗。”中國探月工程總設計師吳偉仁表示。
嫦娥三號著陸地點選在較為平坦的虹灣區。但由于月球地形的不確定性，最終“落月”地點的選擇仍存在一定難度。據悉，嫦娥三號將在近月點15公里處以拋物線下降，相對速度從每秒1.7公里逐漸降為零。整個過程大概需要十幾分鐘的時間。探測器系統副總指揮譚梅將其稱為“黑色750秒”。
由于月球上沒有大氣，嫦娥三號無法依靠降落傘著陸，只能靠變推力發動機，才能完成中途修正、近月制動、動力下降、懸停段等軟著陸任務。據了解，嫦娥三號主發動機是目前中國航天器上最大推力的發動機，能夠產生從1500牛到7500牛的可調節推力，進而對嫦娥三號實現精準控制。
在整個“落月”過程中，“動力下降”被業內形容為最驚心動魄的環節。在這個階段，嫦娥三號要完全依靠自主導航控制，完成降低高度、確定著陸點、實施軟著陸等一系列關鍵動作，人工干預的可能性幾乎為零。“在這個時間段內測控都跟不上了，判斷然后上去執行根本來不及，只能事先把程序都設定好。”譚梅表示。
在距月面100米處時，嫦娥三號要進行短暫的懸停，掃描月面地形，避開障礙物，尋找著陸點。“如果下面有個大坑，需要挪個地方，它就會自己平移，等照相機告訴它地面平了，才會降落”。中國繞月探測工程首任首席科學家、中國科學院院士歐陽自遠介紹。
之后，嫦娥三號在反推火箭的作用下繼續慢慢下降，直到離月面4米高時再度懸停。此時，關掉反沖發動機，探測器自由下落。由于探測器具備著陸緩沖機構，幾個腿都有彈性，落地時不至于摔壞。
安全降落以后，嫦娥三號將打開太陽能電池板接收能量，攜帶的儀器經過測試、調試后開始工作。隨后，“玉兔號”月球車將駛離著陸器，在月面進行3個月的科學勘測，著陸器則在著陸地點進行原地探測。這將是中國航天器首次在地外天體的軟著陸和巡視勘探，同時也是1976年后人類探測器首次的落月探測。
關于比沖
比沖或比沖量是對一個推進系統的燃燒效率的描述。比沖的定義為：火箭發動機單位質量推進劑產生的沖量，或單位流量的推進劑產生的推力。比沖的單位為米/秒（m/s），并滿足下列關系式：
Fthrust?vem，其中
Fthrust是發動機的推力，單位是牛頓； ve是以米/秒為單位的比沖；
?是單位時間燃料消耗的公斤數。m關于月球參數
月球平均半徑、赤道平均半徑和極區半徑分別為1737.013km、1737.646km和1735.843km，月球的形狀扁率為1/963.7256，月球質量是7.3477×10kg。月球與地球距離最遠（遠地點）：406610km，最近（近地點）：356330km，平均距離為384400km。
NASA月球勘測軌道飛行器使用的月面海拔零點，是月球的平均半徑所在的高度。所以，嫦娥三號著陸點的海拔為-2640m，即該點到月球中心的距離要比月球的平均半徑少2640m。
22嫦娥三號軟著陸過程分為6個階段的要求
（1）著陸準備軌道：著陸準備軌道的近月點是15KM，遠月點是100KM。近月點在月心坐標系的位置和軟著陸軌道形態共同決定了著陸點的位置。
（2）主減速段：主減速段的區間是距離月面15km到3km。該階段的主要是減速，實現到距離月面3公里處嫦娥三號的速度降到57m/s。
（3）快速調整段：快速調整段的主要是調整探測器姿態，需要從距離月面3km到 2.4km處將水平速度減為0m/s，即使主減速發動機的推力豎直向下，之后進入粗避障階段。
（4）粗避障段：粗避障段的范圍是距離月面2.4km到100m區間，其主要是要求避開大的隕石坑，實現在設計著陸點上方100m處懸停，并初步確定落月地點。
嫦娥三號在距離月面2.4km處對正下方月面錯誤！未找到引用源。×2300m的范圍進行拍照，獲得數字高程如附圖5所示（相關數據文件見附件3），并嫦娥三號在月面的垂直投影位于預定著陸區域的中心位置。
（5）精避障段：精細避障段的區間是距離月面100m到30m。要求嫦娥三號懸停在距離月面100m處，對著陸點附近區域100m范圍內拍攝圖像，并獲得三維數字高程圖。分析三維數字高程圖，避開較大的隕石坑，確定最佳著陸地點，實現在著陸點上方30m處水平方向速度為0m/s。附圖6是在距離月面100m處懸停拍攝到的數字高程圖（相關數據文件見附件4）。（6）緩速下降階段：緩速下降階段的區間是距離月面30m到4m。該階段的主要任務控制著陸器在距離月面4m處的速度為0m/s，即實現在距離月面4m處相對月面靜止，之后關閉發動機，使嫦娥三號自由落體到精確有落月點。
嫦娥三號軟著陸過程示意圖
嫦娥三號近月軌道示意圖
嫦娥三號著陸區域和著陸點示意圖
嫦娥三號安裝有大推力主減速發動機一臺，位于正下方。小型姿態調整發動機16臺，分布在相對前、后、左、右四個側面，如附圖3是一個側面的分布情況。
嫦娥三號主發減速動機與姿態調整發動機的分布圖
全國大學生數學建模競賽論文格式規范
A、B題中任選一題，專科組參賽隊從C、D題中任選一題。（全國評獎時，每個組別一、二等獎的總名額按每道題參賽隊數的比例分配；但全國一等獎名額的一半將平均分配給本組別的每道題，另一半按每題論文數的比例分配。）
A4紙打印(單面、雙面打印均可)；上下左右各留出至少2.5厘米的頁邊距；從左側裝訂。
式見本規范第三頁。
目、摘要和關鍵詞寫在論文第三頁上（無需譯成英文），并從此頁開始編寫頁碼；頁碼必須位于每頁頁腳中部，用阿拉伯數字從“1”開始連續編號。注意：摘要應該是一份簡明扼要的詳細摘要，請認真書寫（但篇幅不能超過一頁）。
和所在學校等的信息。
20頁以內，附錄頁數不限）。
(包括網上查到的資料)必須按照規定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中均明確列出。正文引用處用方括號標示參考文獻的編號，如[1][3]等；引用書籍還必須指出頁碼。參考文獻按正文中的引用次序列出，其中書籍的表述方式為：
[編號] 作者，書名，出版地：出版社，出版年。參考文獻中期刊雜志論文的表述方式為：
[編號] 作者，論文名，雜志名，卷期號：起止頁碼，出版年。參考文獻中網上資源的表述方式為：
[編號] 作者，資源標題，網址，訪問時間（年月日）。
源程序（若有的話）。同時，所有源程序文件必須放入論文電子版中備查。論文及源程序電子版壓縮在一個文件中，一般不要超過20MB，且應與紙質版同時提交。（如果發現程序不能運行，或者運行結果與論文中報告的不一致，該論文可能會被認定為弄虛作假而被取消評獎資格。）
由賽區自行決定。
頁前增加其他頁和其他信息，或在論文的最后增加空白頁等）。
模競賽組委會。
[注] 賽區評閱前將論文第一頁取下保存，同時在第一頁和第二頁建立“賽區評閱編號”（由各賽區規定編號方式），“賽區評閱紀錄”表格可供賽區評閱時使用（各賽區自行決定是否在評閱時使用該表格）。評閱后，賽區對送全國評閱的論文在第二頁建立“全國統一編號”（編號方式由全國組委會規定，與去年格式相同），然后送全國評閱。論文第二頁（編號頁）由全國組委會評閱前取下保存，同時在第二頁建立“全國評閱編號”。
全國大學生數學建模競賽組委會
2014年8月26日修訂
關于論文的提交
1.在競賽結束（周一上午8：00）前，各參賽隊必須將電子版論文嚴格按要求（具體要求見下）以電子郵件附件的方式發送到全國組委會指定的論文收集郵箱（以本隊論文編號作為郵件主題）：
cumcm.solutions@vip.163.com 同時，按所在賽區的要求提交給賽區組委會作為備份，以備核查。
2.在競賽結束（周一上午8：00）前，各參賽隊打印紙質版論文（內容應與電子版完全一致）；注意連同附件中的程序（賽題中的原始數據除外）一并打印。隨后將紙質版論文盡快提交給所在學校，并由學校統一匯總核對后送交賽區組委會（賽區組委會接收紙質版論文的方式及截止時間由賽區組委會決定）。賽區組委會另有要求的（如部分賽區組委會可能不要求提交紙質版論文，而由賽區組委會代為打印），按賽區組委會要求執行。
具體要求：
1.電子版論文正文可以用PDF或WORD格式提交（最好用PDF格式）。
2.將與競賽相關的所有文件（包括論文正文、程序、數據（賽題中的原始數據除外）和結果等）放在以論文編號作為名稱的同一文件夾中，并壓縮打包成一個文件，以論文編號作為壓縮文件的文件名。例如：參賽隊01010021壓縮文件為”A01010021_張三_李四_王五.RAR”，如圖3所示。
注意壓縮工具務必使用通用的WinRAR，不要使用其他不通用的壓縮工具。
3.將壓縮文件作為電子郵件附件發送到全國組委會指定郵箱時，請特別注意以下幾點：（1）郵件附件不得使用部分郵件服務商提供的“云附件”或“超大附件”等臨時存儲的功能，在發送郵件時注意正確選擇操作，否則全國組委會可能無法收到你們的論文。
（2）郵件附件總容量不得超過20M。
（3）務必認真核對郵件主題、論文編號等關鍵信息，確保準確無誤。否則，將無法識別你們的論文，可能會被認定為不成功參賽。
（4）每個參賽隊只能發送一封郵件，不得重復發送。建議各參賽隊指定負責人發送。（5）每封郵件中只包含一個隊的參賽論文，不要將多個隊的論文壓縮到一個文件中或放在一封郵件中發送。
（6）建議使用國內比較穩定的郵件服務商的郵箱發送（如網易、QQ等）。
（7）電子版論文除發送給全國組委會外，還應按照所在賽區組委會的要求提交給賽區組委會備份，以備核查。
第四篇：2010高教社杯全國大學生數學建模競賽題目（定稿）
2010高教社杯全國大學生數學建模競賽題目
（請先閱讀“全國大學生數學建模競賽論文格式規范”）
B題 2010年上海世博會影響力的定量評估
2010年上海世博會是首次在中國舉辦的世界博覽會。從1851年倫敦的“萬國工業博覽會”開始，世博會正日益成為各國人民交流歷史文化、展示科技成果、體現合作精神、展望未來發展等的重要舞臺。請你們選擇感興趣的某個側面，建立數學模型，利用互聯網數據，定量評估2010年上海世博會的影響力。
第五篇：2005高教社杯全國大學生數學建模競賽題目
2005高教社杯全國大學生數學建模競賽題目
（請先閱讀 “對論文格式的統一要求”）
C題雨量預報方法的評價
雨量預報對農業生產和城市工作和生活有重要作用，但準確、及時地對雨量作出預報是一個十分困難的問題，廣受世界各國關注。我國某地氣象臺和氣象研究所正在研究6小時雨量預報方法，即每天晚上20點預報從21點開始的4個時段（21點至次日3點，次日3點至9點，9點至15點，15點至21點）在某些位置的雨量，這些位置位于東經120度、北緯32度附近的53×47的等距網格點上。同時設立91個觀測站點實測這些時段的實際雨量，由于各種條件的限制，站點的設置是不均勻的。
氣象部門希望建立一種科學評價預報方法好壞的數學模型與方法。氣象部門提供了41天的用兩種不同方法的預報數據和相應的實測數據。預報數據在文件夾FORECAST中，實測數據在文件夾MEASURING中，其中的文件都可以用Windows系統的“寫字板”程序打開閱讀。
FORECAST中的文件lon.dat和lat.dat分別包含網格點的經緯度，其余文件名為
MEASURING中包含了41個名為<日期>.SIX的文件，如020618.SIX表示2002年6月18日晚上21點開始的連續4個時段各站點的實測數據（雨量），這些文件的數據格式是： 站號緯度經度第1段第2段第3段第4段5813832.9833118.51670.00000.200010.10003.1000 5813933.3000118.85000.00000.00004.60007.4000 5814133.6667119.26670.00000.00001.10001.4000 5814333.8000119.80000.00000.00000.00001.8000 5814633.4833119.81670.00000.00001.50001.9000 ……
雨量用毫米做單位，小于0.1毫米視為無雨。
(1)請建立數學模型來評價兩種6小時雨量預報方法的準確性；
(2)氣象部門將6小時降雨量分為6等：0.1—2.5毫米為小雨，2.6—6毫米為中雨，6.1—12毫米為大雨，12.1—25毫米為暴雨，25.1—60毫米為大暴雨，大于60.1毫米為特大暴雨。若按此分級向公眾預報，如何在評價方法中考慮公眾的感受？
（注：本題數據位于壓縮文件C2005Data.rar中, 可從http://mcm.edu.cn/mcm05/problems2005c.asp下載）
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