第一篇：93-15年全國數(shù)學(xué)建模試題解法歸納

93-15年全國數(shù)學(xué)建模試題解法歸納

賽題

解法

93A非線性交調(diào)的頻率設(shè)計

擬合、規(guī)劃

93B足球隊排名

圖論、層次分析、整數(shù)規(guī)劃

94A逢山開路

圖論、插值、動態(tài)規(guī)劃

94B鎖具裝箱問題

圖論、組合數(shù)學(xué)

95A飛行管理問題

非線性規(guī)劃、線性規(guī)劃

95B天車與冶煉爐的作業(yè)調(diào)度

動態(tài)規(guī)劃、排隊論、圖論

96A最優(yōu)捕魚策略

微分方程、優(yōu)化

96B節(jié)水洗衣機

非線性規(guī)劃

97A零件的參數(shù)設(shè)計

非線性規(guī)劃

97B截斷切割的最優(yōu)排列

隨機模擬、圖論

98A一類投資組合問題

多目標優(yōu)化、非線性規(guī)劃

98B災(zāi)情巡視的最佳路線

圖論、組合優(yōu)化

99A自動化車床管理

隨機優(yōu)化、計算機模擬

99B鉆井布局

0-1規(guī)劃、圖論

00A DNA序列分類

模式識別、Fisher判別、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 00B鋼管訂購和運輸

組合優(yōu)化、運輸問題 01A血管三維重建

曲線擬合、曲面重建

01B公交車調(diào)度問題

多目標規(guī)劃

02A車燈線光源的優(yōu)化

非線性規(guī)劃

02B彩票問題

單目標決策

03A SARS的傳播

微分方程、差分方程

03B 露天礦生產(chǎn)的車輛安排

整數(shù)規(guī)劃、運輸問題

04A奧運會臨時超市網(wǎng)點設(shè)計

統(tǒng)計分析、數(shù)據(jù)處理、優(yōu)化 04B電力市場的輸電阻塞管理

數(shù)據(jù)擬合、優(yōu)化

05A長江水質(zhì)的評價和預(yù)測

預(yù)測評價、數(shù)據(jù)處理

05B DVD在線租賃

隨機規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃

06A出版社書號問題 整數(shù)規(guī)劃、數(shù)據(jù)處理、優(yōu)化

06B Hiv病毒問題 線性規(guī)劃、回歸分析

07A 人口問題 微分方程、數(shù)據(jù)處理、優(yōu)化

07B 公交車問題 多目標規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、圖論、0-1規(guī)劃 08A 照相機問題 非線性方程組、優(yōu)化

08B 大學(xué)學(xué)費問題 數(shù)據(jù)收集和處理、統(tǒng)計分析、回歸分析 09A 機械制動問題 物理模擬、綜合評價

09B 病床分配問題 排隊論、擬合、預(yù)測、綜合評價 10A 儲油罐問題 數(shù)值方法、工程方法或幾何方法等近似方法 10B 世博會影響力問題 層次分析法、模糊綜合評判

11A 城市表層土壤重金屬污染分析 插值擬合方法、聚類分析、特征線法 11B 交巡警服務(wù)平臺的設(shè)置與調(diào)度 0-1整數(shù)規(guī)劃、多目標規(guī)劃、最短路覆蓋 12A葡萄酒的評價 數(shù)據(jù)收集和處理、相關(guān)系數(shù)法、聚類分析 12B 太陽能小屋的設(shè)計 多目標優(yōu)化模型、數(shù)據(jù)處理 13A 車道被占用對城市道路通行能力的影響 多元回歸，元胞自動機，數(shù)據(jù)統(tǒng)計 13B 碎紙片的拼接復(fù)原 TSP，誤差評估匹配，基線誤差，模擬退火，圖論 14A 嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計與控制策略 微分方程、最優(yōu)控制策略 14B 創(chuàng)意平板折疊桌 多目標優(yōu)化，參數(shù)方程，直紋曲面 15A 太陽影子定位 灰色預(yù)測，遺傳算法，優(yōu)化模型

15B “互聯(lián)網(wǎng)+”時代的出租車資源配置 聚類分析，數(shù)據(jù)擬合，計算機仿真

第二篇：歷年全國數(shù)學(xué)建模試題及解法歸納(2015)

歷年全國數(shù)學(xué)建模試題及解法歸納

賽題

解法

93A非線性交調(diào)的頻率設(shè)計

擬合、規(guī)劃

93B足球隊排名

94A逢山開路

94B鎖具裝箱問題

95A飛行管理問題

95B天車與冶煉爐的作業(yè)調(diào)度

96A最優(yōu)捕魚策略

96B節(jié)水洗衣機

97A零件的參數(shù)設(shè)計

97B截斷切割的最優(yōu)排列

98A一類投資組合問題

98B災(zāi)情巡視的最佳路線

99A自動化車床管理

99B鉆井布局

00A DNA序列分類

00B鋼管訂購和運輸

01A血管三維重建

圖論、層次分析、整數(shù)規(guī)劃 圖論、插值、動態(tài)規(guī)劃

圖論、組合數(shù)學(xué)

非線性規(guī)劃、線性規(guī)劃

動態(tài)規(guī)劃、排隊論、圖論

微分方程、優(yōu)化

非線性規(guī)劃

非線性規(guī)劃

隨機模擬、圖論

多目標優(yōu)化、非線性規(guī)劃

圖論、組合優(yōu)化

隨機優(yōu)化、計算機模擬

0-1規(guī)劃、圖論

模式識別、Fisher判別、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

組合優(yōu)化、運輸問題

曲線擬合、曲面重建

賽題

解法

01B 公交車調(diào)度問題

多目標規(guī)劃

02A車燈線光源的優(yōu)化

非線性規(guī)劃

02B彩票問題

單目標決策

03A SARS的傳播

微分方程、差分方程

03B 露天礦生產(chǎn)的車輛安排

04A奧運會臨時超市網(wǎng)點設(shè)計

04B電力市場的輸電阻塞管理

05A長江水質(zhì)的評價和預(yù)測

05B DVD在線租賃

06A出版社書號問題

06B Hiv病毒問題

07A 人口問題

07B 最佳交通線路查詢

08A 照相機問題

08B 大學(xué)學(xué)費問題

09A制動器試驗臺的控制方法分析

09B 眼科病房的合理安排

10A儲油罐的變位識別與罐容標定

10B 2010上海世博會影響力的評價

11A城市表層重金屬污染分析

整數(shù)規(guī)劃、運輸問題

統(tǒng)計分析、數(shù)據(jù)處理、優(yōu)化

數(shù)據(jù)擬合、優(yōu)化

預(yù)測評價、數(shù)據(jù)處理

隨機規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃

整數(shù)規(guī)劃、數(shù)據(jù)處理、優(yōu)化

線性規(guī)劃、回歸分析 微分方程、數(shù)據(jù)處理、優(yōu)化多目標規(guī)劃、圖論

非線性方程組、優(yōu)化

數(shù)據(jù)收集和處理、統(tǒng)計分

析、回歸分析

物理模型，計算機仿真

綜合評價，決策與預(yù)測

微積分理論，數(shù)值計算

綜合評價，統(tǒng)計分析

綜合評價，統(tǒng)計分析

11B交巡警服務(wù)平臺的設(shè)置與調(diào)度

圖論，動態(tài)規(guī)劃 12A葡萄酒的評價

綜合評價，統(tǒng)計分析 12B太陽能小屋的設(shè)計

多目標規(guī)劃

13A車道被占用對城市道路通行能力的影響

交通流理論，排隊論 13B碎紙片的拼接復(fù)原

算法

14A嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計與控制策略

微分方程，最優(yōu)化問題 14B創(chuàng)意平板折疊桌

微積分，幾何

賽題發(fā)展的特點：

1.對選手的計算機能力提出了更高的要求：賽題的解決依賴計算機，題目的數(shù)據(jù)較多，手工計算不能完成，需要使用計算機軟件。問題的數(shù)據(jù)讀取需要計算機技術(shù)，如00A（大數(shù)據(jù)），01A，13B（圖象數(shù)據(jù)，圖象處理的方法獲得），04A，07B（數(shù)據(jù)庫數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)庫方法，統(tǒng)計軟件包）。計算機模擬和以算法形式給出最終結(jié)果。

2.賽題的開放性增大 解法的多樣性，一道賽題可用多種解法。開放性還表現(xiàn)在對模型假設(shè)和對數(shù)據(jù)處理上。10B 3.試題向大規(guī)模數(shù)據(jù)處理方向發(fā)展

4.求解算法和各類現(xiàn)代算法的融合13B 14B

第三篇：數(shù)學(xué)建模試題

數(shù)學(xué)建模夏令營

A題

深圳是我國經(jīng)濟發(fā)展最快的城市之一，30多年來，衛(wèi)生事業(yè)取得了長足發(fā)展，形成了市、區(qū)及社區(qū)醫(yī)療服務(wù)系統(tǒng)，較好地解決了現(xiàn)有人口的就醫(yī)問題。

從結(jié)構(gòu)來看，深圳人口的顯著特點是流動人口遠遠超過戶籍人口，且年輕人口占絕對優(yōu)勢。深圳流動人口主要是從事第二、三產(chǎn)業(yè)的企業(yè)一線工人和商業(yè)服務(wù)業(yè)人員。年輕人身體強壯，發(fā)病較少，因此深圳目前人均醫(yī)療設(shè)施雖然低于全國類似城市平均水平，但仍能滿足現(xiàn)有人口的就醫(yī)需求。然而，隨著時間推移和政策的調(diào)整，深圳老年人口比例會逐漸增加，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)的變化也會影響外來務(wù)工人員的數(shù)量。這些都可能導(dǎo)致深圳市未來的醫(yī)療需求與現(xiàn)在有較大的差異。

未來的醫(yī)療需求與人口結(jié)構(gòu)、數(shù)量和經(jīng)濟發(fā)展等因素相關(guān)，合理預(yù)測能使醫(yī)療設(shè)施建設(shè)正確匹配未來人口健康保障需求，是保證深圳社會經(jīng)濟可持續(xù)發(fā)展的重要條件。然而，現(xiàn)有人口社會發(fā)展模型在面對深圳情況時，卻難以滿足人口和醫(yī)療預(yù)測的要求。為了解決此問題，請根據(jù)深圳人口發(fā)展變化態(tài)勢以及全社會醫(yī)療衛(wèi)生資源投入情況（醫(yī)療設(shè)施、醫(yī)護人員結(jié)構(gòu)等方面）收集數(shù)據(jù)、建立針對深圳具體情況的數(shù)學(xué)模型，預(yù)測深圳未來的人口增長和醫(yī)療需求，解決下面幾個問題：

1.分析深圳近十年常住人口、非常住人口變化特征，預(yù)測未來十年深圳市人口數(shù)量和結(jié)構(gòu)的發(fā)展趨勢，以此為基礎(chǔ)預(yù)測未來全市和各區(qū)醫(yī)療床位需求； 2.根據(jù)深圳市人口的年齡結(jié)構(gòu)和患病情況及所收集的數(shù)據(jù)，選擇預(yù)測幾種病（如：肺癌及其他惡性腫瘤、心肌梗塞、腦血管病、高血壓、糖尿病、小兒肺炎、分娩等）在不同類型的醫(yī)療機構(gòu)就醫(yī)的床位需求。

注：附件1-4中有一些人口信息供參考，從深圳統(tǒng)計年鑒等可得到更多的數(shù)據(jù)；

從http://www.tmdps.cn/view?fid=view&id=1&oid=menunews&ntyp=A10B032 可獲得一些醫(yī)學(xué)數(shù)據(jù)。

第四篇：2014高教社杯數(shù)學(xué)建模A題解法

摘要

本文針對嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計與控制策略的實際問題，以理論力學(xué)（萬有引力、開普勒定律、萬能守恒定律等）和衛(wèi)星力學(xué)知識為理論基礎(chǔ)，結(jié)合微分方程和微元法，借助MATLAB軟件解決了題目所要求解的問題。

針對問題（1），在合理的假設(shè)基礎(chǔ)上，利用物理理論知識、解析幾何知識和微元法，分析并求解出近月點和遠月點的位置，即139.1097。再運用能量守恒定律和相關(guān)數(shù)據(jù)，計算出速度v1（近月點的速度）=1750.78m/s,v2（遠月點的速度）=1669.77m/s，最后利用曲線的切線方程，代入點（近月點與遠月點）的坐標求值，計算出方向余弦即為相應(yīng)的速度方向。針對問題（2）

關(guān)鍵詞：模糊評判，聚類分析，流體交通量，排隊論，多元非線性回歸

一、問題重述

嫦娥三號于2013年12月2日1時30分成功發(fā)射，12月6日抵達月球軌道。嫦娥三號在著陸準備軌道上的運行質(zhì)量為2.4t，其安裝在下部的主減速發(fā)動機能夠產(chǎn)生1500N到7500N的可調(diào)節(jié)推力，其比沖（即單位質(zhì)量的推進劑產(chǎn)生的推力）為2940m/s，可以滿足調(diào)整速度的控制要求。在四周安裝有姿態(tài)調(diào)整發(fā)動機，在給定主減速發(fā)動機的推力方向后，能夠自動通過多個發(fā)動機的脈沖組合實現(xiàn)各種姿態(tài)的調(diào)整控制。嫦娥三號的預(yù)定著陸點為19.51W，44.12N，海拔為-2641m（見附件1）。嫦娥三號在高速飛行的情況下，要保證準確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實現(xiàn)軟著陸，關(guān)鍵問題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計。其著陸軌道設(shè)計的基本要求：著陸準備軌道為近月點15km，遠月點100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點至著陸點，其軟著陸過程共分為6個階段（見附2），要求滿足每個階段在關(guān)鍵點所處的狀態(tài)；盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。

根據(jù)上述的基本要求，請你們建立數(shù)學(xué)模型解決下面的問題：

（1）確定著陸準備軌道近月點和遠月點的位置，以及嫦娥三號相應(yīng)速度的大小與方向。

（2）確定嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優(yōu)控制策略。（3）對于你們設(shè)計的著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。

二、問題分析

2.1問題（1）的分析 首先根據(jù)問題的假設(shè)、題目中所提供的數(shù)據(jù)及圖片分析，可以知道嫦娥三號繞月球的軌道是由圓形軌道變?yōu)闄E圓形軌道，借助開普勒定律、能量守恒定律求解出近月點的速度。

為了確定近月點和元月點的精確位置及相應(yīng)的速度方向，我們建立以赤道（月球的赤道）平面為xoy平面、月心為原點、月心與零度經(jīng)線和零度緯線交線的交點的連線為坐標軸的坐標系和赤道（月球的赤道）平面為xoy平面，為極軸（月球的極軸）為z軸建立空間直角坐標系，x軸與極坐標系的軸相重合。

首先根據(jù)著陸點的經(jīng)度、緯度及月球的半徑求解出著陸點和近月點（帶參數(shù)?)的空間直角坐標。其次利用兩點間的距離公式，并借助MATLAB軟件求解出近月點與著陸點最短距離。從而計算出?（近月點的經(jīng)度）=。

最后利用衛(wèi)星的軌跡是以月心為其中一個焦點，以近月點與遠月點的距離為長軸的橢圓，從而求解出衛(wèi)星的軌跡方程，再運用隱函數(shù)求導(dǎo)的應(yīng)用的知識，求解出在近月點和遠月點的方向?qū)?shù)，進而求解近月點和遠月點方向余即為近月點和遠月點的速度的方向。2.2問題（2）的分析

首先在根據(jù)題意，將嫦娥三號軟著陸問題，分為6個階段依次為主減速、快速調(diào)整、粗避障、精避障、緩慢下降、自由下降，我們先將6個階段分為4個階段，依次為第一階段（主減速和快速調(diào)整）、第二階段（粗避障）

第三階段(精避障),第四階段（緩慢下降和自由下降）。其次在第一階段

粗避障階段，嫦娥三號懸停在月球表面約2400米上方，對星下月表進行二維和三維成像，利用遺傳算法的思想，從圖像中先隨機選取部分點，能直接從三維圖像中得知該點的海拔高度，再分別掃描這些點附近的地貌，找出一些地勢平坦的區(qū)域，我們用區(qū)域內(nèi)所有點與中心點海拔的均方差作為地勢判斷依據(jù)之一，保留這些坐標，并進行重新組合，并改變某些坐標以便能獲得其他新區(qū)域的坐標，再次搜索地勢平坦的區(qū)域，重復(fù)進行多次搜索，直到?jīng)]有出現(xiàn)崎嶇地勢的時候，我們將此時地勢最平坦的地方作為全局最優(yōu)降落地點

三、模型假設(shè)

1、不考慮空間飛行器上各點因燃料消耗而產(chǎn)生的位移；

2、在對衛(wèi)星和空間飛行器進行軌道估計時，認為作用于其上的所有外力都通過其質(zhì)心；

3、衛(wèi)星和空間飛行器的運動是在真空中進行的；

4、衛(wèi)星只受重力影響，空間飛行器除自身推力外只受重力影響；

5、衛(wèi)星的觀測圖片及數(shù)據(jù)精準；

6、四、變量與符號說明

C0 一條車道的基本通行能力 連續(xù)車流的車頭間距 n 條車道的基本通行能力 排隊長度 車流量

橫斷面通行能力系數(shù)車流量 持續(xù)時間 L C y x1 x2 x3

五、模型建立與求解

5.1 問題(1)的分析、模型建立與求解 5.1.1建模準備（1）開普勒定律

開普勒第一定律開普勒第一定律開普勒第一定律，也稱橢圓定律：每一個行星都沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點中。開普勒第二定律開普勒定律開普勒第二定律，也稱面積定律：在相等時間內(nèi)，太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。這一定律實際揭示了行星繞太陽公轉(zhuǎn)的角動量守恒。用公式表示為開普勒定律開普勒第

三定律開普勒定律開普勒第三定律，也稱調(diào)和定律：各個行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方和它們的橢圓軌道的半長軸的立方成正比。由這一定律不難導(dǎo)出：行星與太陽之間的引力與半徑的平方成反比。這是牛頓的萬有引力定

a3律的一個重要基礎(chǔ)。用公式表示為2?K開普勒定律 T 這里，是行星公轉(zhuǎn)軌道半長軸，是行星公轉(zhuǎn)周期，是常數(shù)。（2）萬有引力

萬有引力：任意兩個質(zhì)點有通過連心線方向上的力相互吸引。該引力大小與它們質(zhì)量的乘積成正比與它們距離的平方成反比，與兩物體的化學(xué)組成和其間介質(zhì)種類無關(guān)。即： M1M2，r2 ?11 其中M1，M2為兩物體的質(zhì)量，G?6.67?10Nm.2kg.2（牛頓每平方米二次方千F?G 克）

5.1.2 模型的建立

根據(jù)以上的分析，建立以月球赤道平面為xOy平面,月心為原點O、Ox為月心與零度經(jīng)線和零度緯線交線的交點的連線，Oz為極軸（月球的極軸），Oy與Ox和Oz滿足右手標架，建立空間直角坐標系(如圖5-1所示）。圖5-1 衛(wèi)星繞月軌跡及軟著陸軌跡

由于著陸點在球面上且近月點與遠月點是由月球的經(jīng)度、緯度及高度唯一確定，在此為了便于計算 將極坐標轉(zhuǎn)化為空間直角坐標，并代數(shù)題中相關(guān)數(shù)據(jù)，反解出經(jīng)度?。極坐標轉(zhuǎn)化為空間直角坐標 ?x?rsin?cos??即：?y?rsin?sin? ?z?rcos??（5.1.1）

x'?rsin(90-?）cos(-?)?'?y?rsin(90-?）cos(-?)（5.1.2）?z'?rcos(90-?）?

距離公式：

d?（5.1.3）其中：?為緯度；?為經(jīng)度；r為嫦娥三號距月心的距離；d為嫦娥三號距著陸點的距離；根據(jù)能量守恒、開普勒第二定律（面積定律），建立以下模型 即： r1v1?r2v2?

?（5.1.4）?1122mv1?mgh?mv2?mgH??22 則近月點的速度，近月點的速度：

??v1?? ?（5.1.5）?v??2?

其中：m為衛(wèi)星的質(zhì)量，h1為海拔高度，h近月點距月球表面的距離； r1?h?r0?h1，r2?H?r0?h1，r0月球半徑，H遠月點距月球表面的距離，g月球重力加速度，v1近月點的速度，v2近月點的速度。5.1.3模型的求解

5.1.3.1近月點與遠月點的位置

根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)以上分析，可知： ??0,h?15000m,r0?1737013m,h1??2641m 將以上數(shù)據(jù)代入（5.1.1）式可得，著陸點及近月點的空間直角坐標分別為：

?x0?r0sin(90??)cos?????r0sin(90?19.51)cos??44.12????y0?r0sin(90??)sin?????r0sin(90?19.51)sin??44.12?（5.1.6）?z?rcos(90??)?r0cos(90?19.51)??00 ?x'?rsin(90-?）cos(-?)=(r0?h)cos??'?y?rsin(90-?）sin(-?)=-(r0?h)sin? ?z'?rcos(90-?）=0?

（5.1.7）再將（5.1.6）式和（5.1.7）式代入（5.1.3）式可得關(guān)于?與d（近月點和著陸點距離）的函數(shù)，？利用Mathematica 5.0編程求解可得：??-139.107 5.1.3.2近月點與遠月點的速度大小及方向

近月點與遠月點的速度方向，即為相應(yīng)速度在x軸與y軸方向上的投影（如圖5-2所示）

圖5-2近月點與遠月點的速度方向示意圖 由圖易知：

5.2 模型二的建立 5.2.1模型準備 5.2.1.1系統(tǒng)模型

1、著陸器的動力下降段一般從15km左右的軌道高度開始，下降到月球表面的時間比較短，在幾百秒范圍內(nèi)，所以可以不考慮月球引力攝動。月球自轉(zhuǎn)速度比較小，也可忽略。因此，可以利用二體模型描述系統(tǒng)的運動。建立圖5-2所示的著陸坐標系，并假設(shè)著陸軌道在縱向平面內(nèi)，令月心為坐標原點，Oy指向動力下降段的開始制動點，Ox 指向著陸器的開始運動方向。則著陸器的質(zhì)心動力學(xué)方程可描述如下: ?r?v?v?(F/m)sin???/r2?r?2?????? ????[(F/m)cos??2v?]/r ⑴ ???m??F/ISP 式中:r,?,?和m分別為著陸器的月心距、極角、角速度和質(zhì)量；v為著陸器沿r 方向上的速度；F為制動發(fā)動機的推力(固定的常值或0）；ISP為其比

?為月球引力常數(shù)；?為發(fā)動機推力與當?shù)厮骄€的夾角即推力方向角。沖；

圖5-3 月球軟著陸坐標系

動力下降的初始條件由霍曼變軌后的橢圓軌道近月點確定，終端條件為著陸器在月面實現(xiàn)軟著陸。令初始時刻t0?0，終端時刻tf不定，則相應(yīng)的

初始條件為 r0 終端約束為

rf?rL,vf?0,?f?0 ⑶ ?rL?h0,v0?0,?0??o ⑵

式中:rL為月球半徑；h0為初始軌道高度；?o為軌道角速度。月球軟著陸的最優(yōu)軌道設(shè)計就是要在滿足上述初始條件和終端約束的前提下，調(diào)整推力大小和方向9使得著陸器實現(xiàn)燃料最優(yōu)軟著陸，即要求以下性能指標達最大。J??mdt 0tf 5.2.1.2模型歸一化

在軌道優(yōu)化過程中，由于各狀態(tài)變量的量級相差較大，尋優(yōu)過程中可能會導(dǎo)致有效位數(shù)的丟失。通過歸一化處理可以克服這一缺點[9]，提高。計算精度。令rref?r0,mtef?

m0，則?r/rref,?v/vref,vref?ISp?I7 2?F/Fref,Fref?mrefvref/rref,?m/mref,??t/tref ,?rref/vref,??。那么，著陸器的動力學(xué)方程可改為： ??v?22?(F/m)sin???/

?? ? ???????[(F/)cos??2]/????F/ISP相應(yīng)的初始條件和終端約束變

為：

?1,?0,?? 000/? f?r1/r0,vf?0,?f?0 性能指標改寫為：

第4期朱建豐等:基于自適應(yīng)模擬退火遺傳算法的月球軟著陸軌道優(yōu)

化 道優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為多參數(shù)優(yōu)化問題,再利用SQP 方法求解。雖然避開了沒有明確物理意義的參數(shù) 猜測,但是SQP的本質(zhì)仍然會使該方法遇到病態(tài) 梯度、初始點敏感和局部收斂問題。曾國強[6]和徐 敏[7]分別用二進制和浮點數(shù)GA對著陸軌道進行 了優(yōu)化,避免了初值猜測,得到的結(jié)果也比較滿意。但是,鑒于GA局部搜索能力較差的缺點,會使得 GA的優(yōu)化精度不夠或優(yōu)化效率不高。相對而言, 國外對月球軟著陸軌道的優(yōu)化問題研究比較少。

GA最早是由Holland教授提出的[8],它是 一種隨機優(yōu)化方法,具有不依賴問題模型、適用面 廣和魯棒性強的優(yōu)點,并已應(yīng)用在航天器的軌道 優(yōu)化設(shè)計中[1]。然而,GA在實際應(yīng)用中存在收 斂速度慢和早熟等問題,不具備“爬山”的能力。模擬退火算法(SAA)最早是由Kirkpatrick等提 出的,它是一種啟發(fā)式隨機搜索算法,具有很強的 局部搜索能力和“爬山”能力,但是SAA產(chǎn)生的 新解不及GA豐富,對全局的了解甚少,尋優(yōu)過程 很慢。因此,可以將GA和SAA的優(yōu)點結(jié)合起 來,揚長避短,構(gòu)成高效、魯棒的新算法。本文將GA

和

SAA

有機地結(jié)合,形成自適應(yīng)

模擬退火遺傳算法(ASAGA),并將其應(yīng)用到月 球1軟著

陸的最系

優(yōu)

軌統(tǒng)

道

設(shè)模計

中

。型

著陸器的動力下降段一般從15 km左右的軌 道高度開始,下降到月球表面的時間比較短,在幾 百秒范圍內(nèi),所以可以不考慮月球引力攝動。月 球自轉(zhuǎn)速度比較小,也可忽略。因此,可以利用二 體模型描述系統(tǒng)的運動。建立圖1所示的著陸坐 標系,并假設(shè)著陸軌道在縱向平面內(nèi),令月心O 為坐標原點,Oy指向動力下降段的開始制動點, Ox指向著陸器的開始運動方向。則著陸器的質(zhì) 心動力

學(xué)

方

程

可

描

述

如

下

:

?r= v

?v=(F /m)sinψ-μ /r2+ rω 2

?θ= ω

?ω =-[(F /m)cosψ+ 2vω] /r

?m=-F /ISP(1)式中:r,θ,ω和m分別為著陸器的月心距、極角、角速度和質(zhì)量;v為著陸器沿r方向上的速度;F 為制動發(fā)動機的推力(固定的常值或0);ISP為其 比沖;μ為月球引力常數(shù);ψ為發(fā)動機推力與當?shù)?水圖平1線 的月

夾球

角軟即著推

力陸

方極

向坐

角標

。系

Fig.1 Polar coordinate system of lunar soft landing 動力下降的初始條件由霍曼變軌后的橢圓軌 道近月點確定,終端條件為著陸器在月面實現(xiàn)軟 著陸。令初始時刻t0= 0,終端時刻tf不定,則相 應(yīng)的初

始

條

件

為

r0= rL+ h0,v0= 0,ω0= ωo(2)

終端約束為 rf= rL,vf= 0,ωf= 0(3)式中:rL為月球半徑;h0為初始軌道高度;ωo為 軌道角速度。

月球軟著陸的最優(yōu)軌道設(shè)計就是要在滿足上 述初始條件和終端約束的前提下,調(diào)整推力大小 和方向,使得著陸器實現(xiàn)燃料最優(yōu)軟著陸,即要求 以下性

能

指

標

達

最

大。

J=∫tf0?mdt(4)2 歸一化

在軌道優(yōu)化過程中,由于各狀態(tài)變量的量級 相差較大,尋優(yōu)過程中可能會導(dǎo)致有效位數(shù)的丟 失。通過歸一化處理可以克服這一缺點[9],提高

計算精度。令rref= r0,mref= m0,則–r= r /rref, v= v /vref,vref= μ /rref, ISP= ISPrref/μ, F= F /Fref, Fref= mrefv2ref/rref, m= m /mref, ω=ω r3ref/μ,–t= t / tref,tref= rref/vref,–θ=θ。那么,著陸器的動力學(xué)方

程可改寫為

–r= v

v=(F / m)sinψ-1 /–r2+–r ω 2

–θ= ω

ω=-[(F / m)cosψ+ 2 v ω] /–r

m=l);%步長dx x1 = x + dx;%下一個估計點

x1 =(x1 < l).*l +(l <= x1).*(x1 <= u).*x1 +(u < x1).*u;%將x1限定在區(qū)間[l,u]上 fx1 = feval(f,x1);df = fx1-fx;

if df < 0|rand < exp(-Ti*df/(abs(fx)+ eps)/TolFun)%如果fx1

end

if fx < fo xo = x;fo = fx1;

end end

%模擬退火法中的mu^（-1）定理 function x = Mu_Inv(y,mu)

x =(((1+mu).^abs(y)-1)/mu).*sign(y);

function [xo,fo] = genetic(f,x0,l,u,Np,Nb,Pc,Pm,eta,kmax)% 遺傳算法求f(x）最小值 s.t.l <= x <= u

%f為待求函數(shù),x0初值，l，u上下限，Np群體大小，Nb每一個變量的基因值（二進制數(shù)）

%Pc交叉概率，Pm變異概率，eta學(xué)習(xí)率，kmax最大迭代次數(shù) N = length(x0);

%%%%%確定各變量缺省值 if nargin < 10

kmax = 100;%最大迭代次數(shù)缺省為100 end

if nargin < 9|eta > 1|eta <= 0

eta = 1;%學(xué)習(xí)率eta,(0 < eta < 1)end

if nargin < 8

Pm = 0.01;%變異概率缺省0.01 end

if nargin < 7

Pc = 0.5;%交叉概率缺省0.5 end

if nargin < 6

Nb = 8*ones(1,N);%每一變量的基因值（二進制數(shù)）end

if nargin < 5

Np = 10;%群體大小（染色體數(shù)）end

%%%%%生成初始群體 NNb = sum(Nb);

xo = x0(:)';l = l(:)';u = u(:)';fo = feval(f,xo);X(1,:)= xo;for n = 2:Np

X(n,:)= l + rand(size(x0)).*(ufX;%將函數(shù)值轉(zhuǎn)化為非負的適合度值 fXm = fX1(nb);

if fXm < eps %如果所有的染色體值相同，終止程序

return;

end

%%%%%復(fù)制下一代

for n = 1:Np

X(n,:)= X(n,:)+ eta*(fXmX(n,:));%復(fù)制準則

end

P = gen_encode(X,Nb,l,u);%對下一代染色體編碼

%%%%%%隨機配對/交叉得新的染色體數(shù)組 is = shuffle([1:Np]);

for n = 1:2:Np1;

X(n,m)= bin2dec(P(n,b1:b2))*(u(m)1)+ l(m);%解碼方程

end end

第五篇：數(shù)學(xué)建模2010-2015試題

2015年 A: 太陽影子定位

如何確定視頻的拍攝地點和拍攝日期是視頻數(shù)據(jù)分析的重要方面，太陽影子定位技術(shù)就是通過分析視頻中物體的太陽影子變化，確定視頻拍攝的地點和日期的一種方法。

1.建立影子長度變化的數(shù)學(xué)模型，分析影子長度關(guān)于各個參數(shù)的變化規(guī)律，并應(yīng)用你們建立的模型畫出2015年10月22日北京時間9:00-15:00之間天安門廣場（北緯39度54分26秒,東經(jīng)116度23分29秒）3米高的直桿的太陽影子長度的變化曲線。

2.根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點坐標數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點。將你們的模型應(yīng)用于附件1的影子頂點坐標數(shù)據(jù)，給出若干個可能的地點。

3.根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點坐標數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點和日期。將你們的模型分別應(yīng)用于附件2和附件3的影子頂點坐標數(shù)據(jù)，給出若干個可能的地點與日期。

4．附件4為一根直桿在太陽下的影子變化的視頻，并且已通過某種方式估計出直桿的高度為2米。請建立確定視頻拍攝地點的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用你們的模型給出若干個可能的拍攝地點。

如果拍攝日期未知，你能否根據(jù)視頻確定出拍攝地點與日期？

B：“互聯(lián)網(wǎng)+”時代的出租車資源配置

出租車是市民出行的重要交通工具之一，“打車難”是人們關(guān)注的一個社會熱點問題。隨著“互聯(lián)網(wǎng)+”時代的到來，有多家公司依托移動互聯(lián)網(wǎng)建立了打車軟件服務(wù)平臺，實現(xiàn)了乘客與出租車司機之間的信息互通，同時推出了多種出租車的補貼方案。

請你們搜集相關(guān)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型研究如下問題：

(1)試建立合理的指標，并分析不同時空出租車資源的“供求匹配”程度。(2)分析各公司的出租車補貼方案是否對“緩解打車難”有幫助？

(3)如果要創(chuàng)建一個新的打車軟件服務(wù)平臺，你們將設(shè)計什么樣的補貼方案，并論證其合理性。2014年 A:嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計與控制策略

嫦娥三號于2013年12月2日1時30分成功發(fā)射，12月6日抵達月球軌道。嫦娥三號在著陸準備軌道上的運行質(zhì)量為2.4t，其安裝在下部的主減速發(fā)動機能夠產(chǎn)生1500N到7500N的可調(diào)節(jié)推力，其比沖（即單位質(zhì)量的推進劑產(chǎn)生的推力）為2940m/s，可以滿足調(diào)整速度的控制要求。在四周安裝有姿態(tài)調(diào)整發(fā)動機，在給定主減速發(fā)動機的推力方向后，能夠自動通過多個發(fā)動機的脈沖組合實現(xiàn)各種姿態(tài)的調(diào)整控制。嫦娥三號的預(yù)定著陸點為19.51W，44.12N，海拔為-2641m（見附件1）。

嫦娥三號在高速飛行的情況下，要保證準確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實現(xiàn)軟著陸，關(guān)鍵問題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計。其著陸軌道設(shè)計的基本要求：著陸準備軌道為近月點15km，遠月點100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點至著陸點，其軟著陸過程共分為6個階段（見附件2），要求滿足每個階段在關(guān)鍵點所處的狀態(tài)；盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。

根據(jù)上述的基本要求，請你們建立數(shù)學(xué)模型解決下面的問題：

（1）確定著陸準備軌道近月點和遠月點的位置，以及嫦娥三號相應(yīng)速度的大小與方向。

（2）確定嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優(yōu)控制策略。

（3）對于你們設(shè)計的著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。

B: 創(chuàng)意平板折疊桌

某公司生產(chǎn)一種可折疊的桌子，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板（如圖1-2所示）。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動的自由度（見圖3）。桌子外形由直紋曲面構(gòu)成，造型美觀。附件視頻展示了折疊桌的動態(tài)變化過程。

試建立數(shù)學(xué)模型討論下列問題：

1.給定長方形平板尺寸為120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木條寬2.5 cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53 cm。試建立模型描述此折疊桌的動態(tài)變化過程，在此基礎(chǔ)上給出此折疊桌的設(shè)計加工參數(shù)（例如，桌腿木條開槽的長度等）和桌腳邊緣線（圖4中紅色曲線）的數(shù)學(xué)描述。

2.折疊桌的設(shè)計應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計要求，討論長方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)，例如，平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度等。對于桌高70 cm，桌面直徑80 cm的情形，確定最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)。

3.公司計劃開發(fā)一種折疊桌設(shè)計軟件，根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實可行的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。你們團隊的任務(wù)是幫助給出這一軟件設(shè)計的數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)所建立的模型給出幾個你們自己設(shè)計的創(chuàng)意平板折疊桌。要求給出相應(yīng)的設(shè)計加工參數(shù)，畫出至少8張動態(tài)變化過程的示意圖。

2013年 A:車道被占用對城市道路通行能力的影響

車道被占用是指因交通事故、路邊停車、占道施工等因素，導(dǎo)致車道或道路橫斷面通行能力在單位時間內(nèi)降低的現(xiàn)象。由于城市道路具有交通流密度大、連續(xù)性強等特點，一條車道被占用，也可能降低路段所有車道的通行能力，即使時間短，也可能引起車輛排隊，出現(xiàn)交通阻塞。如處理不當，甚至出現(xiàn)區(qū)域性擁堵。

車道被占用的情況種類繁多、復(fù)雜，正確估算車道被占用對城市道路通行能力的影響程度，將為交通管理部門正確引導(dǎo)車輛行駛、審批占道施工、設(shè)計道路渠化方案、設(shè)置路邊停車位和設(shè)置非港灣式公交車站等提供理論依據(jù)。視頻1（附件1）和視頻2（附件2）中的兩個交通事故處于同一路段的同一橫斷面，且完全占用兩條車道。請研究以下問題：

1.根據(jù)視頻1（附件1），描述視頻中交通事故發(fā)生至撤離期間,事故所處橫斷面實際通行能力的變化過程。

2.根據(jù)問題1所得結(jié)論，結(jié)合視頻2（附件2），分析說明同一橫斷面交通事故所占車道不同對該橫斷面實際通行能力影響的差異。

3.構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，分析視頻1（附件1）中交通事故所影響的路段車輛排隊長度與事故橫斷面實際通行能力、事故持續(xù)時間、路段上游車流量間的關(guān)系。

4.假如視頻1（附件1）中的交通事故所處橫斷面距離上游路口變?yōu)?40米，路段下游方向需求不變，路段上游車流量為1500pcu/h,事故發(fā)生時車輛初始排隊長度為零，且事故持續(xù)不撤離。請估算，從事故發(fā)生開始，經(jīng)過多長時間，車輛排隊長度將到達上游路口。

注：只考慮四輪及以上機動車、電瓶車的交通流量，且換算成標準車當量數(shù)。

B:碎紙片的拼接復(fù)原

破碎文件的拼接在司法物證復(fù)原、歷史文獻修復(fù)以及軍事情報獲取等領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用。傳統(tǒng)上，拼接復(fù)原工作需由人工完成，準確率較高，但效率很低。特別是當碎片數(shù)量巨大，人工拼接很難在短時間內(nèi)完成任務(wù)。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，人們試圖開發(fā)碎紙片的自動拼接技術(shù)，以提高拼接復(fù)原效率。請討論以下問題： 1.對于給定的來自同一頁印刷文字文件的碎紙機破碎紙片（僅縱切），建立碎紙片拼接復(fù)原模型和算法，并針對附件

1、附件2給出的中、英文各一頁文件的碎片數(shù)據(jù)進行拼接復(fù)原。如果復(fù)原過程需要人工干預(yù)，請寫出干預(yù)方式及干預(yù)的時間節(jié)點。復(fù)原結(jié)果以圖片形式及表格形式表達（見【結(jié)果表達格式說明】）。

2.對于碎紙機既縱切又橫切的情形，請設(shè)計碎紙片拼接復(fù)原模型和算法，并針對附件

3、附件4給出的中、英文各一頁文件的碎片數(shù)據(jù)進行拼接復(fù)原。如果復(fù)原過程需要人工干預(yù)，請寫出干預(yù)方式及干預(yù)的時間節(jié)點。復(fù)原結(jié)果表達要求同上。

3.上述所給碎片數(shù)據(jù)均為單面打印文件，從現(xiàn)實情形出發(fā)，還可能有雙面打印文件的碎紙片拼接復(fù)原問題需要解決。附件5給出的是一頁英文印刷文字雙面打印文件的碎片數(shù)據(jù)。請嘗試設(shè)計相應(yīng)的碎紙片拼接復(fù)原模型與算法，并就附件5的碎片數(shù)據(jù)給出拼接復(fù)原結(jié)果，結(jié)果表達要求同上。【數(shù)據(jù)文件說明】

(1)每一附件為同一頁紙的碎片數(shù)據(jù)。

(2)附件

1、附件2為縱切碎片數(shù)據(jù)，每頁紙被切為19條碎片。(3)附件

3、附件4為縱橫切碎片數(shù)據(jù)，每頁紙被切為11×19個碎片。(4)附件5為縱橫切碎片數(shù)據(jù)，每頁紙被切為11×19個碎片，每個碎片有正反兩面。該附件中每一碎片對應(yīng)兩個文件，共有2×11×19個文件，例如，第一個碎片的兩面分別對應(yīng)文件000a、000b。【結(jié)果表達格式說明】

復(fù)原圖片放入附錄中，表格表達格式如下：

(1)附件

1、附件2的結(jié)果：將碎片序號按復(fù)原后順序填入1×19的表格；(2)附件

3、附件4的結(jié)果：將碎片序號按復(fù)原后順序填入11×19的表格；(3)附件5的結(jié)果：將碎片序號按復(fù)原后順序填入兩個11×19的表格；(4)不能確定復(fù)原位置的碎片，可不填入上述表格，單獨列表。

2012年 A:葡萄酒的評價

確定葡萄酒質(zhì)量時一般是通過聘請一批有資質(zhì)的評酒員進行品評。每個評酒員在對葡萄酒進行品嘗后對其分類指標打分，然后求和得到其總分，從而確定葡萄酒的質(zhì)量。釀酒葡萄的好壞與所釀葡萄酒的質(zhì)量有直接的關(guān)系，葡萄酒和釀酒葡萄檢測的理化指標會在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的質(zhì)量。附件1給出了某一年份一些葡萄酒的評價結(jié)果，附件2和附件3分別給出了該年份這些葡萄酒的和釀酒葡萄的成分數(shù)據(jù)。請嘗試建立數(shù)學(xué)模型討論下列問題：

1.分析附件1中兩組評酒員的評價結(jié)果有無顯著性差異，哪一組結(jié)果更可信？

2.根據(jù)釀酒葡萄的理化指標和葡萄酒的質(zhì)量對這些釀酒葡萄進行分級。3.分析釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標之間的聯(lián)系。

4．分析釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標對葡萄酒質(zhì)量的影響，并論證能否用葡萄和葡萄酒的理化指標來評價葡萄酒的質(zhì)量？

B:太陽能小屋的設(shè)計

在設(shè)計太陽能小屋時，需在建筑物外表面（屋頂及外墻）鋪設(shè)光伏電池，光伏電池組件所產(chǎn)生的直流電需要經(jīng)過逆變器轉(zhuǎn)換成220V交流電才能供家庭使用，并將剩余電量輸入電網(wǎng)。不同種類的光伏電池每峰瓦的價格差別很大，且每峰瓦的實際發(fā)電效率或發(fā)電量還受諸多因素的影響，如太陽輻射強度、光線入射角、環(huán)境、建筑物所處的地理緯度、地區(qū)的氣候與氣象條件、安裝部位及方式（貼附或架空）等。因此，在太陽能小屋的設(shè)計中，研究光伏電池在小屋外表面的優(yōu)化鋪設(shè)是很重要的問題。

附件1-7提供了相關(guān)信息。請參考附件提供的數(shù)據(jù)，對下列三個問題，分別給出小屋外表面光伏電池的鋪設(shè)方案，使小屋的全年太陽能光伏發(fā)電總量盡可能大，而單位發(fā)電量的費用盡可能小，并計算出小屋光伏電池35年壽命期內(nèi)的發(fā)電總量、經(jīng)濟效益（當前民用電價按0.5元/kWh計算）及投資的回收年限。

在求解每個問題時，都要求配有圖示，給出小屋各外表面電池組件鋪設(shè)分組陣列圖形及組件連接方式（串、并聯(lián)）示意圖，也要給出電池組件分組陣列容量及選配逆變器規(guī)格列表。

在同一表面采用兩種或兩種以上類型的光伏電池組件時，同一型號的電池板可串聯(lián)，而不同型號的電池板不可串聯(lián)。在不同表面上，即使是相同型號的電池也不能進行串、并聯(lián)連接。應(yīng)注意分組連接方式及逆變器的選配。

問題1：請根據(jù)山西省大同市的氣象數(shù)據(jù)，僅考慮貼附安裝方式，選定光伏電池組件，對小屋（見附件2）的部分外表面進行鋪設(shè)，并根據(jù)電池組件分組數(shù)量和容量，選配相應(yīng)的逆變器的容量和數(shù)量。

問題2：電池板的朝向與傾角均會影響到光伏電池的工作效率，請選擇架空方式安裝光伏電池，重新考慮問題1。

問題3：根據(jù)附件7給出的小屋建筑要求，請為大同市重新設(shè)計一個小屋，要求畫出小屋的外形圖，并對所設(shè)計小屋的外表面優(yōu)化鋪設(shè)光伏電池，給出鋪設(shè)及分組連接方式，選配逆變器，計算相應(yīng)結(jié)果。

2011年 A: 城市表層土壤重金屬污染分析

隨著城市經(jīng)濟的快速發(fā)展和城市人口的不斷增加，人類活動對城市環(huán)境質(zhì)量的影響日顯突出。對城市土壤地質(zhì)環(huán)境異常的查證，以及如何應(yīng)用查證獲得的海量數(shù)據(jù)資料開展城市環(huán)境質(zhì)量評價，研究人類活動影響下城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，日益成為人們關(guān)注的焦點。

按照功能劃分，城區(qū)一般可分為生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、主干道路區(qū)及公園綠地區(qū)等，分別記為1類區(qū)、2類區(qū)、??、5類區(qū)，不同的區(qū)域環(huán)境受人類活動影響的程度不同。

現(xiàn)對某城市城區(qū)土壤地質(zhì)環(huán)境進行調(diào)查。為此，將所考察的城區(qū)劃分為間距1公里左右的網(wǎng)格子區(qū)域，按照每平方公里1個采樣點對表層土（0~10 厘米深度）進行取樣、編號，并用GPS記錄采樣點的位置。應(yīng)用專門儀器測試分析，獲得了每個樣本所含的多種化學(xué)元素的濃度數(shù)據(jù)。另一方面，按照2公里的間距在那些遠離人群及工業(yè)活動的自然區(qū)取樣，將其作為該城區(qū)表層土壤中元素的背景值。

附件1列出了采樣點的位置、海拔高度及其所屬功能區(qū)等信息，附件2列出了8種主要重金屬元素在采樣點處的濃度，附件3列出了8種主要重金屬元素的背景值。

現(xiàn)要求你們通過數(shù)學(xué)建模來完成以下任務(wù)：

(1)給出8種主要重金屬元素在該城區(qū)的空間分布，并分析該城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬的污染程度。

(2)通過數(shù)據(jù)分析，說明重金屬污染的主要原因。

(3)分析重金屬污染物的傳播特征，由此建立模型，確定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的優(yōu)缺點，為更好地研究城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，還應(yīng)收集什么信息？有了這些信息，如何建立模型解決問題？

B:交巡警服務(wù)平臺的設(shè)置與調(diào)度

“有困難找警察”，是家喻戶曉的一句流行語。警察肩負著刑事執(zhí)法、治安管理、交通管理、服務(wù)群眾四大職能。為了更有效地貫徹實施這些職能，需要在市區(qū)的一些交通要道和重要部位設(shè)置交巡警服務(wù)平臺。每個交巡警服務(wù)平臺的職能和警力配備基本相同。由于警務(wù)資源是有限的，如何根據(jù)城市的實際情況與需求合理地設(shè)置交巡警服務(wù)平臺、分配各平臺的管轄范圍、調(diào)度警務(wù)資源是警務(wù)部門面臨的一個實際課題。

試就某市設(shè)置交巡警服務(wù)平臺的相關(guān)情況，建立數(shù)學(xué)模型分析研究下面的問題：

（1）附件1中的附圖1給出了該市中心城區(qū)A的交通網(wǎng)絡(luò)和現(xiàn)有的20個交巡警服務(wù)平臺的設(shè)置情況示意圖，相關(guān)的數(shù)據(jù)信息見附件2。請為各交巡警服務(wù)平臺分配管轄范圍，使其在所管轄的范圍內(nèi)出現(xiàn)突發(fā)事件時，盡量能在3分鐘內(nèi)有交巡警（警車的時速為60km/h）到達事發(fā)地。

對于重大突發(fā)事件，需要調(diào)度全區(qū)20個交巡警服務(wù)平臺的警力資源，對進出該區(qū)的13條交通要道實現(xiàn)快速全封鎖。實際中一個平臺的警力最多封鎖一個路口，請給出該區(qū)交巡警服務(wù)平臺警力合理的調(diào)度方案。

根據(jù)現(xiàn)有交巡警服務(wù)平臺的工作量不均衡和有些地方出警時間過長的實際情況，擬在該區(qū)內(nèi)再增加2至5個平臺，請確定需要增加平臺的具體個數(shù)和位置。

（2）針對全市（主城六區(qū)A，B，C，D，E，F(xiàn)）的具體情況，按照設(shè)置交巡警服務(wù)平臺的原則和任務(wù)，分析研究該市現(xiàn)有交巡警服務(wù)平臺設(shè)置方案（參見附件）的合理性。如果有明顯不合理，請給出解決方案。

如果該市地點P（第32個節(jié)點）處發(fā)生了重大刑事案件，在案發(fā)3分鐘后接到報警，犯罪嫌疑人已駕車逃跑。為了快速搜捕嫌疑犯，請給出調(diào)度全市交巡警服務(wù)平臺警力資源的最佳圍堵方案。2010年 A：儲油罐的變位識別與罐容表標定

通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)”，采用流量計和油位計來測量進/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預(yù)先標定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應(yīng)關(guān)系）進行實時計算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況。

許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對罐容表進行重新標定。圖1是一種典型的儲油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。圖2是其罐體縱向傾斜變位的示意圖，圖3是罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖。

請你們用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標定的問題。（1）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為?=4.10的縱向變位兩種情況做了實驗，實驗數(shù)據(jù)如附件1所示。請建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。

（2）對于圖1所示的實際儲油罐，試建立罐體變位后標定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度?和橫向偏轉(zhuǎn)角度?）之間的一般關(guān)系。請利用罐體變位后在進/出油過程中的實際檢測數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值。進一步利用附件2中的實際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性

B:2010年上海世博會影響力的定量評估

2010年上海世博會是首次在中國舉辦的世界博覽會。從1851年倫敦的“萬國工業(yè)博覽會”開始，世博會正日益成為各國人民交流歷史文化、展示科技成果、體現(xiàn)合作精神、展望未來發(fā)展等的重要舞臺。請你們選擇感興趣的某個側(cè)面，建立數(shù)學(xué)模型，利用互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)，定量評估2010年上海世博會的影響力。