第一篇：全國大學生數學建模夏令營簡介

全國大學生數學建模夏令營簡介

全國大學生數學建模夏令營是全國大學生數學建模競賽活動的延伸，由全國大學生數學建模競賽組委會組織。

至今，全國大學生數學建模夏令營已經舉辦過兩次。第一屆夏令營于2001年8月8日至15日在宜昌市三峽壩區“全國大學生教學實習和社會實踐基地”舉行，題目分別為：三峽工程陡高邊坡開挖優化設計，城市交通擁阻的分析與治理，乳房癌的診斷；第二屆夏令營于2006年8月6日至10日在北京化工大學舉行，題目分別為：教材出版業的市場調查、評估和預測方法，鐵路大提速下的京滬線列車調度，旅游需求的預測預報。

第三屆夏令營將于2011年7月25日至29日在深圳舉行，相關通知參見http://。夏令營活動不同于競賽，其題目的規模和難度都比較大，但提供的解答時間也比較長，而且允許參賽同學自由地和老師、甚至專家一起研討。在比較長的時間里通過刻苦鉆研、團隊合作、充分研究，以論文的形式表達自己的研究成果。和競賽相比，夏令營活是志同道合的同學和老師自愿結合去研究某些實際問題，沒有那么多的功利性。在這樣的活動中，參賽同學能夠進一步領會用數學建模的方法去解決實際問題的關鍵和難點，即：怎樣做到合理的簡化假設，用什么樣的好的、有效的數學方法去解決建模中提出的數學和計算問題，怎樣驗證所得結果的合理性和正確性，特別是怎樣轉化自己的成果成為能夠取得一定的經濟或社會效益的技術。同時，同學們也能更加具體地體會到用數學建模的方法去解決實際問題的艱難性、長期性以及數學的關鍵作用。

在夏令營期間，將組織參加夏令營的同學們和老師們圍繞相關題目進行充分的交流和討論，并召開座談會請大家就這些方面的問題以及怎樣進一步搞好建模競賽發表你們的意見和建議，還將邀請部分中科院或工程院院士以及國內外著名專家學者作專題講座，使參加活動的同學“有備而來，豐收而歸”。

第二篇：2001年全國大學生數學建模夏令營

2001年全國大學生數學建模夏令營

數學建模題目（C）

題目C：乳房癌的診斷

乳房腫瘤通過穿刺采樣進行分析可以確定其為良性（benign）的或為惡性（malignant）的。附圖分別給出了從患者乳房穿刺得到的病灶組織為良性和惡性的細胞核顯微圖像。

醫學研究發現乳房腫瘤病灶組織的細胞核顯微圖像的10個量化特征：細胞核直徑,質地,周長,面積,光滑度,緊密度,凹陷度,凹陷點數,對稱度,斷裂度與該腫瘤的性質有密切的關系?，F試圖根據已獲得的實驗數據建立起一種診斷乳房腫瘤是良性還是惡性的方法。數據來自已經確診的500個病例，每個病例的一組數據包括采樣組織中各細胞核的這10個特征量的平均值,標準差和“最壞值”(各特征的三個最大數據的平均值)共30個數據.（見磁盤文件cancerdata.txt中的前500組數據），并將你的方法用于另外69名已做穿刺采樣分析的患者（文件cancerdata.txt中的最后69組數據）。

若為節省費用，還想發展一種只用此30個特征數據中的部分特征來區分乳房腫瘤是良性還是惡性的方法，你是否可找到一個特征數少而區分又很好的方法？

附圖：左邊為惡性，右邊為良性。

注：數據文件中每組數據共分32個字段,第一字段為病例編號,第二字段為確診結果,B為良性M為惡性,X為待定,余下30個字段的前10個是該病例腫瘤病灶組織的各細胞核顯微圖像的10個量化特征的平均值,第二個10個是相應的標準差,第三個10個是相應的“最壞值”。文件可以到http://csiam.edu.cn/mcm/下載。

第三篇：全國大學生數學建模競賽簡介

全國的大學生數學建模競賽簡介

中國大學生數學建模競賽是全國高校規模最大的課外科技活動之一。該競賽每年9月(一般在中旬某個周末的星期五至下周星期一共3天，72小時）舉行，競賽面向全國大專院校的學生，不分專業（但競賽分本科、專科兩組，本科組競賽所有大學生均可參加，?？平M競賽只有?？粕òǜ呗?、高專生）可以參加）。

第一條 總則

全國大學生數學建模競賽（以下簡稱競賽）是教育部高等教育司和中國工業與應用數學學會共同主辦的面向全國大學生的群眾性科技活動，目的在于激勵學生學習數學的積極性，提高學生建立數學模型和運用計算機技術解決實際問題的綜合能力，鼓勵廣大學生踴躍參加課外科技活動，開拓知識面，培養創造精神及合作意識，推動大學數學教學體系、教學內容和方法的改革。

第二條 競賽內容

競賽題目一般來源于工程技術和管理科學等方面經過適當簡化加工的實際問題，不要求參賽者預先掌握深入的專門知識，只需要學過高等學校的數學課程。題目有較大的靈活性供參賽者發揮其創造能力。參賽者應根據題目要求，完成一篇包括模型的假設、建立和求解、計算方法的設計和計算機實現、結果的分析和檢驗、模型的改進等方面的論文（即答卷）。競賽評獎以假設的合理性、建模的創造性、結果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標準。

第三條 競賽形式、規則和紀律

1．全國統一競賽題目，采取通訊競賽方式，以相對集中的形式進行。2．競賽每年舉辦一次，一般在某個周末前后的三天內舉行。3．大學生以隊為單位參賽，每隊3人（須屬于同一所學校），專業不限。競賽分本科、?？苾山M進行，本科生參加本科組競賽，?？粕鷧⒓訉？平M競賽（也可參加本科組競賽），研究生不得參加。每隊可設一名指導教師（或教師組），從事賽前輔導和參賽的組織工作，但在競賽期間必須回避參賽隊員，不得進行指導或參與討論，否則按違反紀律處理。4．競賽期間參賽隊員可以使用各種圖書資料、計算機和軟件，在國際互聯網上瀏覽，但不得與隊外任何人（包括在網上）討論。5．競賽開始后，賽題將公布在指定的網址供參賽隊下載，參賽隊在規定時間內完成答卷，并準時交卷。6．參賽院校應責成有關職能部門負責競賽的組織和紀律監督工作，保證本校競賽的規范性和公正性。

第四條 評獎辦法

1．各賽區組委會聘請專家組成評閱委員會，評選本賽區的一等、二等、三等獎，獲獎比例一般不超過三分之一，其余凡完成合格答卷者可獲得成功參賽獎。2．各賽區組委會按全國組委會規定的數量將本賽區的優秀答卷送全國組委會。全國組委會聘請專家組成全國評閱委員會，按統一標準從各賽區送交的優秀答卷中評選出全國一等、二等獎。3．全國與各賽區的一、二、三等獎均頒發獲獎證書。

校區獲獎情況：我校區剛成立數學建模協會不久，在劉誠老師的指導下，共參加兩次全國大學生數學建模競賽，共獲得2次四川省三等獎，為校區贏得榮譽，凡是參賽同學感觸都非常之深，學習了很多有用知識。

第四篇：2014全國大學生數學建模競賽

嫦娥三號軟著陸軌道設計與控制策略

摘要

隨著月球探測任務的發展,未來月球探測考察目標將主要是 復雜地形特性的高科學價值區域。為了能夠安全地在這些遍布巖石、的區域內完成高精度軟著陸，這就要求導航和控制系統具有較強的自主性和實時性。本文針對最終著陸段安全、精確的需求，對月球軟著陸導航與控制方法進行較深入研究，主要內容包括：

首先，提出一種基于單幀圖像信息的障礙檢測方法。該方法根據著陸區內障礙成像的特點，通過匹配相應的陰影區與光照區完成對巖石、彈坑的檢測，利用圖像灰度方差對粗糙區域進行提取：在檢測出故障信息的基礎上，選取安全著陸點以保證軟著陸任務的成功。

其次，給出一種基于矢量觀測信息的自主光學導航方法。該方法利用光學相機和激光測距儀測量值構建著陸點相對著陸器的矢量信息，結合著陸器的姿態信息確定著陸器的位置。為了消除測量噪聲帶來的干擾，利用擴展Kalman濾波理論設計了導航濾波器。

再次，提出一種李雅普諾夫函數障礙規避制導方法。該方法通過對狀態函數、危險地形勢函數的設計，以滿足平移過程中減低障礙威脅與精確定點著陸器，設計PWPF（調頻調寬）調節器實現定推理等效變推力控制效果。

最后，針對采用變推力主發動機的月球著陸器，提出一種垂直軟著陸控制方法。該方法采用標稱控制與閉環控制相結合的方式，規劃標稱軌跡以保證著陸器到達著陸點時其下降速度、加速度亦為零，設計閉環控制器產生附加控制量消除初始偏差、著陸器質量變化的干擾，以保證著陸器沿標稱軌跡到達著陸點。

本文分別對所提出的最終著陸段導航與控制方法進行數學仿真以驗證個方法的可行性。仿真結果表明，本文多給出導航方法能夠達到較高的性能指標，滿足在危險區域實現高精度軟著陸的需要。

關鍵詞： 月球軟著陸；自主導航與控制；障礙檢測；規避制導；適量測量

一、問題重述

嫦娥三號于2013年12月2日1時30分成功發射，12月6日抵達月球軌道。根據計劃，嫦娥三號將在北京時間12月14號在月球表面實施軟著陸。嫦娥三號如何實現軟著陸以及能否成功成為外界關注焦點。嫦娥三號在著陸準備軌道上的運行質量為2.4t，其安裝在下部的主減速發動機是目前中國航天器上最大推力的發動機，能夠產生1500N到7500N的可調節推力，進而對嫦娥三號實現精準控制。其比沖（即單位質量的推進劑產生的推力）為2940m/s，可以滿足調整速度的控制要求。在四周安裝有姿態調整發動機，在給定主減速發動機的推力方向后，能夠自動通過多個發動機的脈沖組合實現各種姿態的調整控制。嫦娥三號的預定著陸點為19.51W，44.12N，海拔為-2641m。嫦娥三號將在近月點15公里處以拋物線下降，相對速度從每秒1.7公里逐漸降為零。整個過程大概需要十幾分鐘的時間。在距月面100米處時，嫦娥三號要進行短暫的懸停，掃描月面地形，避開障礙物，尋找著陸點。之后，嫦娥三號在反推火箭的作用下繼續慢慢下降，直到離月面4米高時再度懸停。此時，關掉反沖發動機，探測器自由下落。

嫦娥三號在高速飛行的情況下，要保證準確地在月球預定區域內實現軟著陸，關鍵問題是著陸軌道與控制策略的設計。其著陸軌道設計的基本要求：著陸準備軌道為近月點15km，遠月點100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點至著陸點，其軟著陸過程共分為6個階段，分別為著陸準備軌道、主減速段、快速調整段、粗避障段、精避障段、緩速下降階段，要求滿足每個階段在關鍵點所處的狀態；盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。

根據上述的基本要求，請你們建立數學模型解決下面的問題：

（1）確定著陸準備軌道近月點和遠月點的位置，以及嫦娥三號相應速度的大小與方向。（2）確定嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優控制策略。

（3）對于你們設計的著陸軌道和控制策略做相應的誤差分析和敏感性分析。

二、問題分析

對于問題一：

嫦娥三號從15公里左右的高度下降到月球表面，在這一過程中不考慮月球表面太陽風的影響，忽略月球的自轉速度引起的科氏力的影響，由于下降時間比較短也不考慮太陽、地球對嫦娥三號的攝動影響，嫦娥三號水平速度要從1.692km/s降為0m/s由于3000m處時嫦娥三號已經基本位于著陸點上方，所以此時假設在3000m處的速度只存在豎直向下的速度而不存在水平分速度，因為降落減速時間比較短只有垂直于月面的方向運動才能實現，所以在確定著陸點位置和著陸軌跡時應當考慮燃料最優情況下推力最大，方向自由的方法即取F?7500N建立主減速段動力學模型。

三、符號說明

四、模型假設

對于問題一：

忽略月球的自傳和太陽、地球對嫦娥三號衛星的引力攝動 月球近似為一個質量均勻的標準球體 將嫦娥三號是為一個質點

主減速忽略動作調整所產生的燃料消耗段不考慮太陽風的影響

五、模型建立與求解

5.1問題一的建模與求解 解法一： 假設嫦娥三號在t時刻在遠月點開始緩慢下降，在n時刻到達近月點，整個過程遵循開普勒第三定律，即

v0?0

在t時刻有：v1?2??R1????? ??R0?R0?R1?r0 R0?r1?r2 其中v1：遠月點速度

v2：近月點速度

R0：遠月點月心距

R1：近月點月心距（已知月球的半徑為1738千米）

R0?1738?100?1838km

R1?1738?15?1753km 在t1時刻處v2? k?2??R1??? ?R0?R0?R1??R0?0.512k?0.488 R0?R1利用能量平衡式求得近地點速度為

2?0.512?49012（）?1.692km/s（沿切線方向）v2?，比當地的環境速度17531.672km/s大?vk?0.0196km/s，徑向速度vk?0。

1同理解得v1?1.6139km/s（沿切線方向）

vri?0

解得主減速段動力學模型的建立：

根據題意，在橫向飛行的水平距離遠遠小于月球半徑的平均值，所以可以將整個減速段過程簡化為水平和豎直方向運動方程，根據牛頓第二定律、速度計算公式有：

ax?Tx may?tTymTxt?a

?1.692km/s ?m?0?Qdt0??Ty???a?dt?57m/s t?0??m??Qdt?0??t?T22x?Ty2??7500N

v2?2at?S

運用matlab編程解得S?451810.4m； 其中 ax：水平方向加速度

ay：豎直方面加速度

a：月球表面重力加速度a? Tx：推力的水平方向分力

Ty：推力的豎直方向分力

t:主減速段時間

S:嫦娥三號主減速段水平位移

Q:嫦娥三號發動機燃料秒消耗率

根據已知資料得到嫦娥三號著陸過程中緯度改變，經度基本不變，月球赤緯和地球緯度一樣也分為南北各90個分度,又因為月球極區半徑為1735.843km，所以每一個緯度的豎直高度差為19.2871

4g 6千米。即近月點位置坐標為?19.0464W,28.9989N?海拔15km,遠月點位置坐標為?160.9536E,28.9989S?海拔100km。

解法2:軌跡方程法。

眾所周知,太陽系中的八大行星都在按照各自的橢圓軌道繞太陽進行公轉,太陽位于橢圓的一個焦點上,行星的運動遵循開普勒三定律,筆者發現,在各類物理競賽中,常會涉及到天體運動速度的計算,本文擬從能量和行星運動的軌跡方程兩個不同的角度來探索行星在近日點和遠日點的速度。

該解法的指導思想是對橢圓的軌跡方程求導,并結合一般曲線的曲率半徑通式求出近日點和遠日點的曲率半徑表達式,然后利用萬有引力提供向心力列方程求解。如圖1所示,橢圓的軌跡方程為

x2y2?2?1 ?5? 2ba將?5?式變形為

a2x2?b2y2?a2b2 ?6?

根據隱函數的求導法則將?6?式對x求導有

2a2x?2b2yy??0 ?7? 即

a2xy???2 ?8?

by將?7?式再次對x求導得

2a2?2b2(y?y??yy??)?0 ?9? 將?8?、?9?兩式聯立得

a2b2y2?a4x2 ?10? y???-43by根據曲率半徑公式有 r?(1?y?)?11? ??y122 將?8?、?10?、?11?式聯立并將A點坐標A(0，a)代入可得A點的曲率半徑為

b2RA? ?12?

a根據橢圓的對稱性,遠日點B的曲率半徑為

b2RB?RA? ?13?

a 由于在A、B兩點行星運行速度方向與萬有引力方向垂直,萬有引力只改變速度方向,并不改變速度大小,故分別根據萬有引力提供向心力得

GMmmvA ?14? ?(a?c)2RAGMmmvB ?15? ?2(a?c)RB將?13?至?15?式聯立可得 22vA?bGMbGM，vB? ??a?caa?ca

5.2問題二的建模與求解 模型一：動力學模型

典型的月球軟著陸任務中,探測器一般首先發射到100km的環月停泊軌道,然后根據所選定的著陸位置,在合適的時間給著陸器一個有限脈沖,使得著陸器轉入近月點(在著落位置附近)為15km,遠月點為100km的月球橢圓軌道,這一階段稱為霍曼轉移段。當著陸器運行到近月點時,制動發動機開始工作,其主要任務是抵消著陸器的初始動能和勢能,使著陸器接觸地面時,相對月面速度為零,即實現所謂的軟著陸,這一階段稱為動力下降段。著陸器的大部分燃料都是消耗在此階段,所以月球軟著陸軌跡優化主要是針對動力下降段這一階段。由于月球表面附近沒有大氣,所以在飛行器的動力學模型中沒有大氣阻力項。而且從15km左右的軌道高度軟著陸到月球表面的時間比較短,一般在幾百秒的范圍內,所以諸如月球引力非球項、日月引力攝動等影響因素均可忽略不計,所以這一過程可以在二體模型下描述。其示意圖如圖1所示,其中o為月球質心,x軸方向為由月心指向著陸器的初始位置,y軸方向為初始位置著陸器速度方向。

圖 1 月球軟著陸極坐標系

其動力學方程如下: r??v ????

v??(F/m)sin???/r?r

2?2 ????((F/m)cos??2v?)/r

m???F/ISP

在上式中r為著陸器與月心距離,v為著陸器徑向速度,?為著陸器極角,?為著陸器極角角速度,?為月球引力常數,F著陸器制動發動機推力,m為著陸器質量,?為制動發動機推力方向角,其定義為F與當地水平方向夾角,ISP為制動發動機比沖。根據動力下降段的起點位置可以確定動力學方程初始條件,由于起點處于霍曼轉移軌道的近地點,故其初始條件為: r0?rp

?0?0

v0?0 ?0?1rp?rp(2ra)ra?rp其中rp和ra分別為霍曼轉移段的近地點半徑和遠地點半徑。

終端條件為實現軟著陸, 即

rf?R

vf?0

?f?0

其中R為月球半徑,終端條件中對終端極角?f及終端時間tf無約束。

優化變量為制動發動機推力方向角?(t)。

優化的性能指標為在滿足上述初始條件和終端條件的前提下, 使著陸過程中燃料消耗最少,即

J??m(t)dt

t0f設計主減速段制導控制律 2動力下降段燃料最優精確著陸問題描述 2.1 燃料最優精確著陸問題

著陸器運動方程：考慮采用變推力發動機情況，有

r?v

.v?g?a

(1)

a?Tmm??aT..其中r?[rhrxry]T，v?[vhvxvy]T分別表示著陸器相對期望著陸點的位置和速度矢量；T為推力器提供的推力矢量，幅值為 T，對應控制加速度矢量 a；g為火星的重力加速度矢量，此處認為是常值；m為著陸器質量，對應推力器質量排除系數?。指標函數：考慮燃料消耗

min(m0?mf)???min?0fTdt

(2)邊界條件：即初始條件和終端條件

r(0)?r0,v(0)?v0,m(0)?m0,r(tf)?v(tf)?[000]

(3)控制約束：考慮發動機一旦啟動不能關閉，存在最大和最小推力約束

0?T1?T?T

2(4)狀態約束：為避免在著陸前撞擊到火星地表，需確保整個下降段位于火星地平面以上，即

rh?0

（5）進一步地，若著陸區域附近表面崎嶇不平，僅僅確保地表約束不能滿足需求時，可以考慮下降傾角約束，即將著陸器下降軌線約束到以著陸點為頂點的圓錐體內

2.2 等效后燃料最優精確著陸問題 定義等效變換變量

Ttrx2?ry2rh?tan?alt

（6）

u?a?T

?m

（7）

??Tmz?lnm??等效著陸器運動方程： ?.??r??0I3.?.??

y??v??00??.??00?z????其中p?[u?T0??r??0?v???I0?????30??z????0?7*7?0??u?g??0????Acy?Bc(p?g4)

（8）????????],g4?[gTT?0]T

t指標函數：

min?0f?(t)dt

（9）

邊界條件：同式(3)。

控制約束：由文獻[10]可知，控制約束(4)可等效表示為

u??1T1e?z0[1?(z?z0)?(z?z0)2]???T2e?z0[1?(z?z0)]

（10）（11）

2狀態約束：地表約束同式(5)，傾角約束(6)可等效表示為

T

Sy?cy?0

（12）

其中

?0100000?S???

0010000??c???tan?alt

T000000?

3.燃料最優精確著陸問題的離散化及變換 3.1 等效燃料最優精確著陸問題的離散化

首先將整個飛行時間均分成 n 段（對應 n +1 個點），每段步長為?t，離散化后的著陸器運動方程為：yk?1?Ayk?B(pk?g4)

其中A?R7?7,B?R7?4分別為離散系統的系統矩陣和輸入矩陣

12A?e?tAc?I3??tAc??tAc??

2?t?t112B??e??t?s?AcBcds??esAcds?Bc??tBc??tBc??t2Bc??

0026其中I3為三階單位陣。

有系統性質可知，整個控制時域內系統狀態滿足 y3?Ay2?B?p2?g4??A3y0?A2B?p0?g4??AB?p1?g4??B?p2?g4??yn?Ayn?1?B?pn?1?g4??Any0?An?1B?p0?g4????AB?pn?2?g4??B?pn?1?g4?y1?Ay0?B?p0?g4?y2?Ay1?B?p1?g4??A2y0?AB?p0?g4??B?pn?2?g4??B?p1?g4?

為表達方便，令

?y0??p0???0??A0??y??p?????1??1??1??1??A? ,p??p2?，????2???A2? Y??y2?????????????????????n?????yn??7?n?1??1?pn??4?n?1??1??n????A?7?n?1??7??0??0????B?1??????AB???2???2??3??AB????????n?1?A??n????則(15)可等價于

0???0??0?????B?0?1???????2??AB?B?B000???????2? ?ABB00???3??A?AB?B??????????0????n?1???A???AB?B?A2BABB????n????7?n?1??4?n?1???000000Y??y0??p??g4

分別定義如下常值矩陣：

最終可得離散化后的燃料最優化問題如下： 指標函數：式(9)可表示為

邊界條件：式(3)可表示為

控制約束：式(10)和式(11)分別可表示為

狀態約束：式(5)和式(12)分別可表示為

含有 p個線性約束和 q個二階錐約束的最優化問題的標準形式為 指標函數

min(?Tx)滿足約束

DTx?f?0Ax?ci?b?dinTiTi

（k=1,?，n）

n*pp其中x?R為待優化向量，??R，線性約束參數D?R,f?R，二階錐約束參數維數n(Ai,bi,ci,di)由相應約束確定

則式(17)～式(23)可最終轉換為如下最優化問題： 指標函數：min(vpp)滿足：

初值約束:MxΨ0p?Mx(Ψ0y0)?A0g4?r0末值約束:MxΨ0p?Mx(Ψ0y0)?A0g4控制約束:Murkp?v?rkp 控制上限:?(vzΨk?TT?TTv0?T?0

?0

T1vr)p?1?vTz(Φky0?Akg4)?z0,z?0 ?z0?kT2e 控制下限：

4數值仿真結果與分析本節以某火星著陸器為例，計算了典型初始條件下滿足各種約束的燃料最優精確著陸軌跡。其中探測器各參數分別取為：m0?2000kg,g?[?3.711400]ms2,c?2kms,T1?1.3kN,T2?13kN.。著陸器初始位置矢量r0= [1500,-600, 800] m，初始速度矢量v0= [-30, 10, 40]m/s，傾角?alt=86°。二階錐優化問題可以通過大量免費的優化工具求解，如 CSDP、DSDP、OpenOpt、SeDuMi、SDPA、SDPLR等。本文選用 SDPT3 進行計算，通過執行線性搜索確定燃料最優下降時間tf為 43s，圖 1 給出了相應的最優著陸軌跡、下降速度、加速度、控制推力、推力幅值以及探測器質量變化曲線。

由優化結果可以看出，探測器在給定時間飛行并軟著陸到指定位置，且在整個下降過程始終與火星地表保持一定的安全距離，驗證了下降傾角約束的有效性。其推力幅值曲線呈現“最大-最小-最大”的最優控制形式，不過為了保持發動機始終處于點火狀態，在中間段對應最小推力約束，這與文獻中的分析結論一致。此外，通過利用如 TOMLAB 等商業最優控制軟件進行復核計算，也驗證了此計算結果的燃料最優性能。

*

圖 1 給定初始條件下火星著陸器動力下降段燃料最優計算結果

需要注意到，此燃料最優軌跡的獲取對著陸器的實時在線計算性能提出了較高的要求，經測試，無論使用何種優化工具，計算給定飛行任務時間的最優軌跡均需數秒，而全局最優則需要數十秒甚至更長，這在實際任務中是不允許的。因此，可行的方案是通過在地面計算大量的燃料最優軌跡，并尋找規律，選取關鍵路徑點狀態存儲到著陸器計算機中，通過在線查表或者在利用對計算量要求較小的反饋制導律完成安全著陸任務。

因此，為了研究探測器燃料最優軌跡特性，選取相同的探測器參數，暫不考慮推力器最小幅值約束和傾斜角約束（但考慮地表約束），固定初始高度為 1500m，初始位置水平方向從-8000m 到 8000m 內取值，分別選取各種不同的初始速度，可得燃料最優精確著陸軌跡簇如圖 2 所示。

圖 2 各種不同初始速度對應的火星著陸器動力下降段燃料最優軌跡簇

1)對任意探測器初始位置，特定初始速度對應的燃料最優著陸軌跡在末端必然收斂到一個固定的近似圓錐體內。

2)取決于探測器初始位置和速度的關系，燃料最優軌跡有兩種形式：S 型和 C 型，其中 S 型主要對應于期望著陸點位置水平距離較大情況。3)當探測器初始水平速度為零時，圓錐體軸線垂直于火星地表，所有最優軌線關于該軸線中心對稱。4)初始速度的大小也直接影響到任務的可靠性，因此需要在超聲速進入段和降落傘減速段將著陸器速度下降到合理范圍內。

上述結論對上注探測器關鍵點的選取有著較強的指導意義，比如基于最優軌線的斜率對路徑點合并、基于最優軌線簇的對稱性對上注軌線進行等效延伸、或者嘗試僅將 S 型和 C 型的轉折點作為路徑點等，這樣可以大大降低探測器自主存儲與計算需求，進而有效提升任務的可靠性。重力轉彎軟著陸過程

對于最終著陸點，假設探測器的下降軌跡在一平面內，且月球引力場為垂直于月面XY的均勻引力場，引力加速度g沿-Z，如圖1所示，制動推力方向沿探測器的本體軸z。重力轉彎軟著陸過程中探測器質心動力學方程可表示為

上式中各變量的物理意義如圖1中所示，其中m>0為探測器質量；k>0為制動發動機比沖；u表示制動發動機的秒耗量

可通過一定的機構加以調節，故作為軟著陸問題的控制變量。假定制動發動機的最大推力與初始質量比大于月面引力加速度，并且制動推進系統能夠在一定的初始條件下將探測器停止月面上。

重力轉彎過程中，探測器的高度、速度和姿態角度可由雷達高度表、多普勒雷達及慣性儀表測得。令軟著陸初始條件探測器到達月面時速度減小到給定的值，故終端條件自由。軟著陸燃耗最優問題的描述 對于最終著陸段，可假設

為一小角度。由此可將系統方程（1）化簡為

要設計制導律實現軟著陸，就是使

著陸時間

對于月球軟著陸的燃耗最優控制問題，其性能指標可表示為

對于系統（2）的軟著陸過程，燃耗最優問題等價于著陸時間最優問題，性能指標為

在月球重力轉彎軟著陸過程中，如果存在一個推力控制程序將探測器從初始條件轉移到終端條件，并使性能指標（3）或（4）式最大，則稱這個推力程序為軟著陸燃耗最優或時間最優制導律。根據pontryagin極大值原理，系統的哈密頓函數及其對u的偏導數為

使哈密頓函數（5）式達到極大地控制輸入u就是最優控制，科表示為。

如果存在一個有限區間

則最優控制u（t）取值不能由哈密頓函數確定。此時如果最優解存在，則稱為奇異解，（8）式稱為奇異條件。

最優制導問題的性質：1）對于自治系統（2）的時間最優控制問題，沿最優軌跡其哈密頓函數滿足

將其對時間求導并將（2c）和（6c）式代入，得

另外，由于自由，根據橫截條件有3）根據（6a）式。又由（9）式可得T（t）=0，4）根據極大值原理，系統的狀態變量和共軛變量都是時間的連續可微函數，將切換函數對時間求導，利用（2），（6）式和性質2）得 軟著陸最優控制中奇異條件的分析

對于月球重力轉彎軟著陸問題，最優制導律具有兩個很好的性質。

定理一。月球重力轉彎軟著陸系統（2）的燃耗最優制導或時間最優制導問題不存在奇異條件。證明。用反證法，假設存在奇異條件，則在某個閉區間設，并由（5）式得

。根據反正假將（10）式兩邊對時間求導，并將（2）和（6）式代入化簡得性質2），并考慮到或者情形1.得

下面證明這兩種情形均與反證假設矛盾。根據式

及性質2）可知，由性質3）必有

根據

是時間t的斜率非零的線性函數，m和情形2.1）若定，根據橫截條件有在區間內為常數。這與反證假設矛盾。

。下面再分三種情況進行分析。

又因為

不與此時由（6b）式有反證假設矛盾。2）若盾。3），與反證假設矛又

因

為

因此有成立，這與

此時（10）式在上根據定理一，重力轉彎軟著陸的最優制導律是一種開關（Bang-Bang）控制，只須控制發動機開關，不需要調節推力的大小。

定理2.對于月球重力轉彎軟著陸過程，其開關控制器的最優推力程序（7）最多進行一次切換。

證明。只要證明最多只在一個時間點成立即可。軟著陸系統（2）在最優推力控制程序（7）的作用下，按最后軌跡降落。由性質3）知，為常數。根據性質4），若嚴格單調，因而在上至多有一個零點，即至多進行一次切換；若，則上為常數。由定理1，5 軟著陸最優開關制導律

不可能在任何區間上成立，故必有既沒有切換點。

對于最優推力控制程序（7），其切換函數中含有共軛變量，它是一個關于狀態變量的穩式表達式。為實現實時制導，需求出關于狀態變量的切換函數來。

根據定理一和定理二，重力轉彎軟著陸最優控制程序沒有奇異值狀態，并且在著陸過程中最多切換一次，其工作方式有4種：1）全開；2）全關；3）先開有關；4）先關后開。對于方式1）軟著陸起始點即是開機點；方式2），3）不能實現軟著陸；最后一種是通常情況下的最優著陸方式，即探測器先做無制動下降，然后打開發動機軟著陸到月面。設開機時刻為到發動機工作時間為

式，在區間

內積分，并考慮

將（11）式中的對數按泰勒展開，忽略

并令

消掉T得到切換函數為

由切換函數（12）式可以看出，速度、位置的誤差和制動發動機推動的將直接影響著陸的效果。一種方法是將終端高度從到達月面時實現軟著陸設置為離月面還有幾米時實現軟著陸。另一種方法是考慮制動過程由一個主發動機和一組小推力發動機共同完成，通過調整開啟的小發動機的數量，來實現變推力降落。具體地，令切換函數為

式中各符號的含義如圖2所示

關機點可取為2m,可取為20m，可取為1m/s。為實現著陸的最優性，減速度

取為

其中T如（12）式中所示，m0為探測器的初始質量。

圖三為最優著陸過程與其改進方法按圖2降落的次優著陸過程的對比圖。由此圖中可看出，改進方法提高了著陸的安全性，當探測器的初始質量mo=350kg，發動機著陸過程多消耗燃料2.2kg。

時，改進方法比最優

（a）

（b）

問題三 協方差分析方法的基本原理 對于如下非線性函數關系

y?f?x1,x2??xn?（1）

可以使用一階泰勒級數展開對其進行線性化，有

y??y?f??f?f?x1????xn???x1?xn?（2）?x1?xn其中，??x1??xn?為x1??xn的高階項。從而得到線性化方程

?y???f?xi（3）i?1?xin或表示為

?Y?P?X(4)

這里 P 是偏導數矩陣: Pi??f（5）?xi若自變量?x1???xn是隨機變量，則線性化方程的函數?y的協方差矩陣為：

E?Y??YT?EP?X?XTPT?PE?X?XTPT(6)即 ??????Cy?PCXPT(7)式中Cx是自變量的協方差矩陣；Cy是函數?Y的協方差矩陣。

協方差矩陣中對角線元素是方差，非對角線元素為協方差。顯然，只要求出傳遞矩陣 P ,便可確定源誤差與欲求量誤差之間的關系。若給定各種源誤差，如發動機安裝誤差、敏感器測量誤差或發動機推力和點火時間等誤差時，便可以分析其對目標軌道誤差的影響以及對控制系統精度的影響，進一步對各系統及元部件提出適當的精度要求。計算向月飛行軌道誤差的協方差迭代方程

考慮到軌道參數的誤差之相對于軌道參數的標稱值是小量，因此可以將軌道運動方程進行線性化，從而得到能夠反映軌道參數偏差量的傳播關系的誤差方程。在應用雙二體模型且在地球影響球范圍內時，對軌道運動產生攝動影響的各項，如月球引力攝動、太陽引力攝動、大氣阻力攝動和太陽光壓攝動等對誤差方程的影響很小，因此在誤差方程中將它們忽略掉。反映軌道位置和速度誤差的線性化方程如下：

?????v??r???g??（8）??v????r??rT?u???r，其中u?為地球引力常數。式中 g?r????3rr?rx2?ry2?rz2（9）

寫成狀態方程形式：

?????0I???r??r???????????(10)??v??G0???v??????????g式中 G??T

?r??0I???r?令F?????G0??,X????v?（11）

????則式（9）變為

??F?X(12)X下面推導矩陣 F 的表達式：

??g??u??G??T??T??3r??r?r?r?????u???u???r?r?T?3????3??T?r?r??r??r????u????u????u????u???r???3???3???3????3I3??rr?rr?r?y??z?r?????x???r（13）

式中 r x，r y 和 r z 是探測器在地心慣性坐標系里的軌道位置坐標。則G??u?3??T(I?rr)(14)332rr?rx2rxry?rx????T??2rr??ry??rxryrz???ryrxry??r??rzrxrzry?z??rxrz??ryrz?（15）2?rz??

將式（15）、（14）代入（10），得： ?0?0??02?-u?rx(1?32)F??r3r??3u?rxry?r5v??3u?rxrz?r5?

積分式（11），得到： 0003u?rxryr520003u?rxrzr53u?rzryr5210000ry-u?(1?3)32rr3u?rzryr5-u?rz(1?3)0r3r200?10??01??00?（16）

??00??00???

X??t??eF?tX?0?

（17）式中

(F?t)2(F?t)3(F?t)4(F?t)ne?I?F?t??????2!3!4!n!

（18）iN?t??Fi.()i!i?0F?t取前 6 階截斷，即：

eF?t??ti???F??i!??

（19）i?0??6i

得到計算誤差方程的迭代方程：

X?ti??t??eF?tX?ti?

（20）

eF?t相當于式（4）中的 P 陣，由于誤差方程是時變方程，因此每一步迭代都需要重新計算 P 陣，計算 P 陣需要利用標稱軌道參數數據。

進一步根據式（7），得到協方差矩陣的迭代方程：

T

Ci?1?PCPiii

（21）向月飛行軌道誤差的協方差分析

引起軌道誤差的誤差源主要是導航誤差，包括位 置 誤 差 和 速 度 誤 差。其 中 ： 位 置 誤 差 ：?r??rx,?ry,?rz,?rx,?ry,?rz分別為在地心慣性坐標系中 X 軸、Y 軸、Z 軸的分量。速度誤差：?v??vx,?vy,?vz,?vx,?vy,?vz分別是在地心慣性坐標系 X 軸、Y 軸、Z 軸的分量。向月飛行軌道的初始軌道位置和速度誤差由運載火箭的發射入軌精度決定，若探測器在飛行途中進行軌道修正，則經過軌道修正以后的軌道位置誤差將由導航誤差決定，速度誤差將由姿態誤差和制導誤差決定。

上述誤差決定了軌道誤差協方差分析的計算初始條件，表 1 給出了在不進行中途軌道修正情況????下，在地心慣性坐標系里，初始軌道位置誤差和初始速度誤差對軌道終點的位置和速度誤差的影響。圖 1 和圖 2 給出了在算例三中探測器從近地軌道入軌點開始至進入月球軌道為止軌道位置的相應的軌道位置和速度總誤差（3σ）的時間歷程。

表 1 初始軌道位置和速度誤差

對軌道終點誤差的影響

圖 1 軌道位置總誤差時間歷程（3σ）

圖 2 速度總誤差時間歷程（3σ）基于敏感系數矩陣的制導誤差分析

在月球軟著陸主制動段，影響制導精度的誤差源主要有偏離標準飛行軌跡的初始條件誤差和導航與控制傳感器誤差。初始條件誤差由主制動段以前的任務決定，傳感器誤差則由導航系統和傳感器本身決定。此外，影響制導精度的因素還包括月球自轉、月球不規則攝動等誤差，對它們的研究可單獨進行，這里暫不做介紹。2.1 誤差模型建立

2.1.1 初始狀態誤差模型

記著陸器的實際初始狀態為Xi，標準初始狀態為Xn,則定義初始狀態偏差xi為

xi?Xi?Xn

(7)對于主制動段這一特定的飛行過程，這些偏差都是確定的；而針對整個月球探測任務，這些偏差就變得具有隨機性。在本文中，假定xi 的所有元素均服從零均值高斯分布，相互不獨立，其相關性取決于前一階段任務的特性。2.1.2 傳感器誤差模型

由于只研究誤差對制導律的影響，所以這里假設需要測量的量均可由導航系統直接測得，誤差大小

???????均考慮為典型誤差值。由上一目設計的制導律可以看出，需要由導航與控制傳感器測量的量主要為著陸器相對于著陸場坐標系的位置、速度和加速度。定義待測量量Q為

?Q??X其估計值記為Q，則傳感器誤差定義為 ???YZUVWA?

T

q?Q?Q

(8)那么，單個測量量的估計誤差模型可用誤差向量 q的第j(j =1，2?7)個元素qj 來表示。由參考文獻[5]可知，第 j個觀測量的總估計誤差qj 由以下四部分組成

~?~???-?~qjbsqjn?st???????qt?q?Qt?qt?Qj?t?

(9)jjbcjnc

j100100~~~~~針對主制動這一特定操作階段，上述四部分誤差具有如下特性：

qjbc—第 j 個觀測量的測量誤差，恒為常值，其分布服從零均值高斯分布； qjbs—第 j 個觀測量的刻度因素誤差系數，恒為常值，其分布服從零均值高斯分布； qjnc—第 j 個觀測量的隨機誤差，其為一高斯白噪聲；

qjns

—第 j 個觀測量的刻度因素隨機誤差系數，其為一高斯白噪聲。

2.2 制導誤差分析

由于采用閉環制導，制導控制系統對隨機誤差具有一定魯棒性，所以本文將著重對初始偏差和類似于qjbc和qjbs這樣的傳感器常值誤差進行仿真研究，分析它們對制導精度的影響。2.2.1 誤差分析系統建立

誤差分析系統框圖如圖 1 所示，下面將對其結構進行分析。~~~~~~

圖 1 誤差分析系統結構圖

圖中所示初始狀態偏差實際上是加在相應積分器中。

由前面的分析可知，觀測量的實際輸出值受到初始狀態偏差、傳感器測量誤差以及傳感器刻度因素誤差的影響，故誤差分析系統模擬程序的實際輸入應包含以下幾部分(以 X通道為例)：

X?X?xi?xbc???~xbsX

(10)100~~

其中，X為觀測量的實際輸出值，X 為標準值，xi 為初始狀態偏差(只在初始時刻存在)，xbc 為傳感器測量偏差，xbs為傳感器刻度因素誤差系數。由圖 1 可以看出，為了更準確地表示傳感器誤差模型，這里考慮了傳感器的動態性能，其傳遞函數設為一階慣性環節1?1?Ts?，其中，T 為傳感器時間常數，因傳感器的不同而取不同值。

由誤差分析系統結構框圖可以看出，其輸入量主要包括：標準初始狀態向量、初始狀態偏差、傳感器測量誤差、傳感器刻度因素誤差系數、傳感器時間常數、期望終端狀態；輸出量為加入誤差前后的仿真終端狀態向量。2.2.2 誤差敏感系數矩陣求取

在有形如(7)式誤差輸入的情況下，首先根據圖 1 生成一個模擬整個閉環制導控制系統的數字仿真程序，然后運行該程序，對比程序輸出即可得到誤差敏感系數矩陣。具體運行過程如下：

第一步：將傳感器誤差設置為零，初始狀態設置為標準值，運行模擬程序。這一步稱為標準運行。第二步： 將其中一個傳感器誤差設置為非零輸入或者設置一個非標準初始狀態，然后進行一系列運行。

第三步： 將第二步運行的系統輸出和標準運行的系統輸出進行比較即可確定各誤差源的影響。如X 通道標準初始偏差為xi，輸入該誤差前后，X 通道終端狀態分別為X0 和X1，則 X 通道對標準初始偏差xi的敏感性可用(X1?X0)/xi來反映。

通過這種方法，可得到一組反映月球軟著陸主制動段終端總誤差向量pf和兩個傳感器誤差向量~??~~qbc、qbs以及初始狀態偏差向量pi之間關系的誤差敏感系數矩陣。由參考文獻[6]可知，其相互關系可表示為

??~~pf?S1pi?S2qbc?S3qbs（11）

其中，S1、S2和S3分別表示相對于pi、qbc和qbs的誤差敏感系數矩陣。

終端誤差向量能用這種形式表示的假設條件是動力學的線性化必須在標準軌跡區域內。驗證該假設條件的方法有兩種： 擴大輸入誤差仿真法和復合仿真法，這里略去其驗證過程。2.2.3 誤差分析

假設導航系統采用常規慣性測量單元，表 1 列出了其典型誤差值，其中，位置誤差能保持在10數量級，速度在10數量級，加速度為 10g 數量級。1-52?~~

運用上述方法得到的敏感系數矩陣給出如下：

?5.502?10-3?-4-3.850?10??1.692?10-3S1??-3?8.362?10?-5.860?10-4?-3?-2.575?10?-2.080?10-4-1.050?10-31.418?10-11.401?10-57.301?10-5-1.001?10-26.411?10-53.240?10-4-4.407?10-2-2.570?10-4-1.862?10-3-5.580?10-11.410?10-57.902?10-51.312?10-55.710?10-4-1.157?10-38.100?10-53.936?10-21.732?10-2-2.743?1017.746?10-1-4.024?10-2-8.939?10-2??3.210?10-34.030?10-3?1.239?10-21.833?10-2?-2-1?8.742?101.414?10?-1.196?10-2-9.901?10-3??-2-2-2.690?10-4.577?10??-6.812?10-1-8.695?10-2-5.203?1002.110?10-14.235?10-16.170?10-3-3.281?1008.202?10-2-5.760?10-35.633?10-1-3.489?102??2.443?101?4.401?102??-9.833?102?6.864?101??23.020?10???-9.859?10-1-1.154?10-3?-40?-3.130?10-1.000?10?-1.379?10-33.560?10-4S2??-2-3?-5.402?101.540?10?1.045?10-31.864?10-3?-34.770?10-4??4.598?109.999?10-13.408?100-7.210?10-43.504?1005.000?10-55.643?10-3-1.527?10-19.368?10-1-6.721?10-1-1.306?10-1?-5.6314?100?-28.479?10??3.730?10-1S3??0?-8.924?10?4.619?10-1?0??2.033?10-5.494?10-1-3.533?10-1-2.810?1001.600?10-31.692?10-16.755?10-18.996?10-1-2095?10-12.473?10-21.664?10-1-1.027?1007.165?10-23.344?100-1.112?1008.613?10-17.852?1003.246?100-1.618?1003.540?10-14.982?10-17.670?10-1-1.122?100-2.397?100-2.380?10-1-3.650?100-2.563?100??2.556?10-1-4.291?10-2?3.401?100-1.888?10-1??-5.103?100-3.230?10-1?3.566?10-12.256?10-1??0-1-7.005?109.930?10??A1、A3:?1??2.759?2,3?0.1297?j2.1329 A2:?1?1.552?2,3??0.6761?j1.8978

由于數值仿真的起始點選為(1，0，-1)，靠近平衡點(1.5，0，-1.05)，仿真實驗中混沌系統的基頻w0=2.1329，基周期為為T0?2??0?2.9443S。由前面的數值仿真實驗知要使 Chua’s混沌系統保持其類隨機性，仿真步長選在(0.0001，0.7)較為合適，用基周期來表達即為?129940T015T0? ,15T0?內，綜觀三個連續混沌系統仿真步長的理論計算，我們可以統一選取?15000T0這樣即可以提高仿真運算速度，又可以使混沌吸引子的形狀和類隨機性不發生變化，這個選擇范圍也與通常連續混沌系統數值仿真步長的經驗取值相吻合六、模型結果及分析

七、結果分析

八、模型評價與改進方向

九、參考文獻

第五篇：全國大學生數學建模感想

數學建模有感

這一暑假，參加學校組織的學習了 “數學建?！薄＿@門課程，數學建模這門課程與其它的數學課程有一個很大的區別，數學建模是把現實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性．并用該數學模型所提供的解答來解釋現實問題，它是一門將數學綜合應用到實際中解決實際問題的學科。建立模型就是對于現實中的原型．為了某個特定目的，作出一些必要的簡化和假設。運后適當的數學工具得到一個數學結構、它或者能解釋特定現象的現實狀態，或者能預測到對象的未來狀況，或者能提供處理對象的最優決策或控制，而現實生活中很多的問題都可以通過建立數學模型來解決，所以學習數學建模，徹底讓我體會到了數學在生活中的重要之處。

一次建模，終生受益，這話一點也不假。在沒有接觸過數學建模這門學科之前，我一直認為數學是一門純理論的學科，但是數學建模卻能把它應用到實際中去，并用它去解決很多來自日常生活及經濟、工程、理、化、生、醫等學科中的問題。

我覺得數學建模能為學生提供自主學習、自主探索、自主提出問題、自主解決問題的機會，培養學生的數學觀念、科學態度和合作精神，激發學生的學習興趣，培養學生認真求實、崇尚真理、追求完美、講究效益、聯系實際的學習態度和學習習慣。它能提高學生應用所學的數學知識解決實際問題的能力，從過去強調數學知識的“有用、可用”，到使學生所學知識的“想用、能用和會用”，讓學生更多自主的實踐，把學習知識、應用知識、探索發現、使用計算機、培養良好的科學態度與思維品質更好地結合起來，使學生在問題解決的過程中得到學數學、用數學的實際體驗，加深對數學的理解。綜合上述可見，開展數學建?；顒邮欠浅Ｓ斜匾?。應該在學校大力推廣，讓更多同學在參與中受益。

通過這次數學建模學到了很多東西，首先，是從現實生活中發現問題，這就需要我們用心觀察；然后就是解決問題的方法，由于我們不可能在課堂上學到所有知識，很多東西是要我們自學的，這就培養了我們自學能力，還有自己解決問題的能力：最后，因為模型要建立在真實數據上，就要求我們要有實事求是的態度了。數學建模雖然就告一段落了，學到的方法知識卻伴隨著我們以后的學習工作。“數學建?！闭n已使“數學建?！钡暮诵乃枷肷钌钤谖乙庾R中扎根，使我在今后學習中越來越善于發現問題并用數學知識創造性的去分析解決問題。數學建模課對學生思維能力的訓練和思維方法上的引導，這就是它的主要魅力所在。一年一度的全國數學建模大賽在在9 月13 日上午8 點拉開戰幕，各隊 將在3 天72 小時內對一個現實中的實際問題進行模型建立，求解和分析，確定

題目后，我們隊三人分頭行動，一人去圖書館查閱資料，一人在網上搜索相關信 息，一人建立模型，通過三人的努力，在前兩天中建立出兩個模型并編程求解，經過艱苦的奮斗，終于在第三天完成了論文的寫作，在這三天里我感觸很深，現 將心得體會寫出，希望與大家交流。1.團隊精神：

團隊精神是數學建模是否取得好成績的最重要的因素，一隊三個人要相互支 持，相互鼓勵。切勿自己只管自己的一部分（數學好的只管建模，計算機好的只 管編程，寫作好的只管論文寫作），很多時候，一個人的思考是不全面的，只有

大家一起討論才有可能把問題搞清楚，因此無論做任何板塊，三個人要一起齊心 才行，只靠一個人的力量，要在三天之內寫出一篇高水平的文章幾乎是不可能的。2.有影響力的leader：

在比賽中，leader 是很重要的，他的作用就相當與計算機中的CPU，是全隊 的核心，如果一個隊的leader 不得力，往往影響一個隊的正常發揮，就拿選題來說，有人想做A 題，有人想做B 題，如果爭論一天都未確定方案的話，可能就沒有足夠時間完成一篇論文了，又比如，當隊中有人信心動搖時（特別是第三天，人可能已經心力交瘁了），leader 應發揮其作用，讓整個隊伍重整信心，否則可能導致隊伍的前功盡棄。3.合理的時間安排：

做任何事情，合理的時間安排非常重要，建模也是一樣，事先要做好一個規 劃，建模一共分十個板塊（摘要，問題提出，模型假設，問題分析，模型假設，模型建立，模型求解，結果分析，模型的評價與推廣，參考文獻，附錄）。你每 天要做完哪幾個板塊事先要確定好，這樣做才會使自己游刃有余，保證在規定時 間內完成論文，以避免由于時間上的不妥，以致于最后無法完成論文。4.正確的論文格式：

論文屬于科學性的文章，它有嚴格的書寫格式規范，因此一篇好的論文一定 要有正確的格式，就拿摘要來說吧，它要包括6 要素（問題,方法,模型,算法,結論,特色），它是一篇論文的概括，摘要的好壞將決定你的論文是否吸引評委的目光，但聽閱卷老師 說，這次有些論文的摘要里出現了大量的圖表和程序，這都是不符合論文格式的，這種論

文也不會取得好成績，因此我們寫論文時要端正態度，注意書寫格式。5.論文的寫作：

我個人認為論文的寫作是至關重要的，其實大家最后的模型和結果都差不

多，為什么有些隊可以送全國，有些隊可以拿省獎，而有些隊卻什么都拿不到，這關鍵在于論文的寫作上面。一篇好的論文首先讀上去便使人感到邏輯清晰，有 條例性，能打動評委；其次，論文在語言上的表述也很重要，要注意用詞的準確 性；另外，一篇好的論文應有閃光點，有自己的特色，有自己的想法和思考在里 面，總之，論文寫作的好壞將直接影響到成績的優劣。

6.算法的設計：算法的設計的好壞將直接影響運算速度的快慢，建議大家多用數學軟件（Mathematice,Matlab,Maple, Mathcad,Lindo,Lingo,SAS 等），這里提供十種數學以上便是我這次參加這次數學建模競賽的一點心得體會，只當貽笑大方，不過就數學建模本身而言，它是魅力無窮的，它能夠鍛煉和考查一個人的綜合素質，也希望廣大同學能夠積極參與到這項活動當中來。