第一篇：【初中數(shù)學(xué)】復(fù)習(xí)資料--因式分解常用技巧總結(jié)

因式分解常用技巧總結(jié)

基本的四種技巧：

一．提取公因式法：ma?mb?mc?m(a?b?c)；

例：6xy2?9x2y?y3?

二．公式法：a2?b2?(a?b)(a?b),a2?2ab?b2?(a?b)2

推廣：a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)；

an?bn?(a?b)(an?1?an?2b?an?3b???abn?2?bn?1)

an?bn?(a?b)(an?1?an?2b?an?3b???abn?2?bn?1)

（n為奇數(shù)）

例：8x?3127y3?

變式1：x8?x6?x4?x2?1?

答案：(x4?x3?x2?x?1)(x4?x3?x2?x?1)

三．十字相乘法：x?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)

推廣：a1a2x?(a1c2?a2c1)x?c1c2?(a1x?c1)(a2x?c2)，（a1a2≠０）

xy?ax?by?ab?(x?b)(y?a)

22例：6m?7mn?20n?

變式1：x?xy?6y?x?13y?6?

四．分組分解法：分組以后能提公因式或利用公式分解，從而把原多項(xiàng)式因式分解

例：9a?6a?2b?b?

25?4x?8xy?4y22222222?

推廣：（1）拆項(xiàng)法：把多項(xiàng)式里的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使其能進(jìn)行分組分解

例：x4?7x2?1? 答案：(x2?3x?1)(x2?3x?1)（2）添項(xiàng)法：在多項(xiàng)式中適當(dāng)?shù)靥砩弦恍╉?xiàng)，使其能轉(zhuǎn)化為可進(jìn)行分組分解 例：3x6?x12?1? 答案：(x3?x6?1)(x3?x6?1)變式1：x3?9x?8? 變式2：x4?4?

其他重要的因式分解技巧：

1．換元法：換元法是在分解因式時(shí)，通過(guò)將原式的代數(shù)式用字母代替后，達(dá)到簡(jiǎn)化原式結(jié)構(gòu)的目的

例1：(x?1)(x?2)(x?3)(x?6)?x2?

提示：令 m?x2?6，原式=(x2?6x?6)2 例2：xy(xy?1)?(xy?3)?2(x?y?答案：(x?1)(y?1)(x?1)(y?1)

變式1：(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?24? 變式2：(x?4x?1)(x?3x?1)?10x?

2．主元法：主元法就是將多元（多個(gè)字母）中某個(gè)元作為主要字母，視其他元為常數(shù)，重新按主元排列多項(xiàng)式，排除非主元字母的干擾，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題。例： 2x?xz?4xy?2xyz?2xy32224242412)?(x?y?1)

2?yz?

2提示：按y為主元重新排列，答案：(2x?z)(x?y)

變式1：x?2xy?xy?2x?y?2xy?2y?1?

變式2：20y3+6ax2-8axy-15xy2

（以a為主元）

變式3：a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?（以a為主元）33344422222

3．待定系數(shù)法：待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)常用方法，用途十分廣泛。在因式分解中，就是首先設(shè)出幾個(gè)含有待定系數(shù)的因式，然后根據(jù)多項(xiàng)式恒等和方程（組）來(lái)確定待定系數(shù)，從而分解因式。例：若x3?ax2?bx?8有兩個(gè)因式x+1和x+2, 求（a+b）的值

4．配方法：配方法是把一個(gè)式子的一部分配成完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和（差）的形式，在此基礎(chǔ)上分解因式

例：x4?x2?2ax?1?a2?（提示：x2?2x2?x2）

變式：4x2?4x?y2?4y?3?

5．綜合法：在分解因式的過(guò)程中，往往要將幾個(gè)分解因式的方法結(jié)合起來(lái)才能解決一個(gè)因式分解的問(wèn)題，對(duì)上述方法要靈活的運(yùn)用。

例：(x?2)3?(y?2)3?(x?y)3?

提示：令m=x-2,n=y-2，m-n=x-y，在換元的基礎(chǔ)上，通過(guò)分組、公式、提公因式等多種方法來(lái)完成分解因式，答案：3(x-2)(y-2)(x-y)

【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1．將x(x-y)-y(y-x)因式分解的結(jié)果是（）

(A)(x-y)2(x2+y2)

(B)(x-y)2(x2-y2)(C)(x-y)2(x-y)(x+y)(D)(x-y)3(x+y)2．下列多項(xiàng)式中能運(yùn)用公式法因式分解的是（）(A)–a3-b

3(B)a2-ab+b(C)a2+b2

(D)–a-b 3．用分組分解法把多項(xiàng)式ab-c+b-ac分解因式，分組的方法有（）(A)4種

（B）3種

（C）2種（D）1種

4．用分組分解法分解多項(xiàng)式a2-b2-c2+2bc時(shí)，分組正確的是()

(A)(a-c)+(2bc-b)

(B)(a-b-c)+2bc

(C)(a-b)-(c-2bc)

(D)a+(2bc-b-c）5．已知多項(xiàng)式2x3-x2-13x+m有一個(gè)因式是2x+1，則m的值是()

（A）0

（B）6

（C）-1

（D）-6 6．下列多項(xiàng)式按下面的分組不能分解的是（）

（A）(2ax-10ay)+(5by-bx)

(B)(5by-10ay)+(2ax-bx)(C)(x2-y2)+(ax+ay)

(D)(x2+ax)-(y2-ay)

二、填空題 22

222

2222

27．利用公式填空（1）14m2?2mn?()=()

4422

366(2)多項(xiàng)式x-y, x+2xy+y, xy+xy, x+y的公因式是————（3）9x2+（）+16y2=（）2

(4)將-m+mn因式分解的結(jié)果是___________(5)分解因式8x3-12x2y+6xy2-y3適當(dāng)分組的方法是_________ 8．在下列多項(xiàng)式a-4b-a+2b, ab-4ab+4-c, 4a-9b+24bc-16c, a-4b+4b-1, 2216a-16b+8a+1中用分組分解法時(shí)，能夠分成三項(xiàng)一組和一項(xiàng)一組的多項(xiàng)式有_____個(gè)。

三、解答題

9．把xy-xy分解因式

10．把16(x+y)-24(x+y)+9分解因式 11．把(x+y)-4xy分解因式 12．x6n+2+2x3n+2+x2

13．9(a+1)2(a-1)2-6(a2-1)(b2-1)+(b+1)2(b-1)2 14．14?2a 342

***222215．把16x2-8x-y2+2y分解因式 16．把x3+2x2-4x-8因式分解

17．把下列各式分解因式

（1）x2-y2-z2-2yz

(2)a3+a2+b3+b2+2ab

(3)16-x2n-100y2+20xny(4)ab(c-d)-cd(a-b)(5)x-x-x-y+y+y

(6)4x+1 18．使多項(xiàng)式2x3-x2-2x+1的值等于0的x值為_(kāi)______ 19．已知x+y=1,求x3+3xy+y3的值

【參考答案】

一、1．D；2．A； 3．C； 4．D； 5．D；6．D

二、7．（1）2n、222

412m?2n

（2）(x+y)

(3)(3x+4y)

2222

(4)–m(m+n)(m-n)

(5)(8x-y)-(12xy-6xy)

8．3

三、解答題

9．xy(x+y)(x-y)

10．(4x+4y-3)2

11．(x-y)2(x+y)2

12．x2(xn+1)2(x2n-xn+1)2 13．(3a2-b2-2)2

14．(1?2a)(1?2a?4a)

15．(4x-y)(4x+y-2)16．(x+2)2(x-2)

21417．(1)(x+y+z)(x-y-z);

(2)(a+b)(a2-ab+b2+a+b)

(3)(4+xn-10y)(4-xn+10y)

(4)(ac+bd)(bc-ad)

(5)(x-y)(x+xy+y-x-y-1)

(6)(2x+2x+1)(2x-2x+1)18．12, 1,-1 提示：將2x-x-2x+1因式分解

219． 1

提示：將x3+y2因式分解，再將已知條件中代入

第二篇：初中數(shù)學(xué)因式分解練習(xí)題

1．（2014?黔南州）下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（）A．a(chǎn)?a2=a3 C．2m+3n=5mn

A．a(chǎn)2+4a-21=a（a+4）-21 C．（a-3）（a+7）=a2+4a-21 A．a(chǎn)2+1 A．-3

B．a(chǎn)2-6a+9 B．-1

B．a(chǎn)2b-ab2=ab（a-b）D．（x2）3=x6

B．a(chǎn)2+4a-21=（a-3）（a+7）D．a(chǎn)2+4a-21=（a+2）2-25 C．x2+5y C．1

D．x2-5y D．3

16．（2014?攀枝花）因式分解a2b-b的正確結(jié)果是（）A．b（a+1）（a-1）A．x（x2-9）A．a(chǎn)（x-6）（x+2）A．x2+y2

A．（x+y）2=x2+y2 C．x2y+xy2=（xy）3 A．（a2+1）2 A．（x+2）（x-2）A．（x-2）2 A．m2+n2=（m+n）2

D．（a-2）（a+1）

C．（a-b）2=a2-2ab+b2 A．（x2）3=x6 C．x2-2xy+y2=（x-y）2 A．x2+2x-1=（x-1）2 C．（x+1）2=x2+2x+1 A．x2-xy A．x（x2-4）A．y（x-y）2 A．a(chǎn)2（a-2）+a

D．y（x+y）（x-y）D．2（x+9）（x-9）

A．x2+2x-1=（x-1）2 C．x3-4x=x（x+2）（x-2）

B．x2+xy

B．x（x+4）（x-4）B．y（x+y）（x-y）B．a(chǎn)（a2-2a）B．（a2-1）2 B．（x+2）2 B．x2

B．a(chǎn)（b+1）（b-1）B．x（x-3）2 B．a(chǎn)（x-3）（x+4）B．x2-y

C．b（a2-1）C．x（x+3）2 C．a(chǎn)（x2-4x-12）C．x2+x+1 B．x2y2=（xy）4 D．x4÷x2=x2 C．a(chǎn)2（a2-2）C．（x-4）2 C．（x-1）2

D．（a+1）2（a-1）2 D．（x-2）2 D．x（x-2）D．b（a-1）2 D．x（x+3）（x-3）D．a(chǎn)（x+6）（x-2）D．x2-2x+1

17．（2014?廣東）把x3-9x分解因式，結(jié)果正確的是（）18．（2014?懷化）多項(xiàng)式ax2-4ax-12a因式分解正確的是（）19．（2014?玉林）下面的多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能因式分解的是（）21．（2014?官渡區(qū)一模）下列運(yùn)算正確的是（）

2．（2014?海南）下列式子從左到右變形是因式分解的是（）

3．（2014?安徽）下列四個(gè)多項(xiàng)式中，能因式分解的是（）

4．（2014?臺(tái)灣）若x2-4x+3與x2+2x-3的公因式為x-c，則c之值為何？（）

5．（2014?臺(tái)灣）（3x+2）（-x6+3x5）+（3x+2）（-2x6+x5）+（x+1）（3x6-4x5）與下列哪一個(gè)式子相同？（）A．（3x-4x）（2x+1）C．-（3x6-4x5）（2x+1）A．x2-1 A．-1 A．a(chǎn)（a-1）

22．（2014?下城區(qū)一模）分解因式a4-2a2+1的結(jié)果是（）

23．（2014?衡陽(yáng)二模）把代數(shù)式x2-4x+4分解因式，下列結(jié)果中正確的是（）24．（2014?濱湖區(qū)二模）分解因式（x-1）2-1的結(jié)果是（）25．（2014?上城區(qū)二模）下列因式分解正確的是（）

B．m2-4n2=（m-2n）（m+2n）D．a(chǎn)2-3a+1=a（a-3）+1 B．x2?x3=x5 D．3x-2x=1

B．-x2+（-2）2=（x-2）（x+2）D．x2-4x=x（x+2）（x-2）C．x2+y2

C．x（x+2）（x-2）C．y（x+y）2 C．a(chǎn)（a-1）2

D．x2-y2

D．（x+2）（x-2）D．y（x2-2xy+y2）D．a(chǎn)（a+1）（a-1）

B．（3x-4x）（2x+3）D．-（3x6-4x5）（2x+3）C．x2-2x+1 C．1

C．（a-2）（a-1）B．（x-4）x=x-4x D．m2-2mn+n2=（m+n）2

6．（2014?威海）將下列多項(xiàng)式分解因式，結(jié)果中不含因式x-1的是（）

B．x（x-2）+（2-x）B．0 B．a(chǎn)（a-2）

D．x2+2x+1 D．2

7．（2014?漳州）若代數(shù)式x2+ax可以分解因式，則常數(shù)a不可以?。ǎ?．（2014?仙桃）將（a-1）2-1分解因式，結(jié)果正確的是（）9．（2014?常德）下面分解因式正確的是（）A．x+2x+1=x（x+2）+1 C．a(chǎn)x+bx=（a+b）x

10．（2014?河北）計(jì)算：852-152=（）A．70

A．x2-y2=（x-y）2 C．xy-x=x（y-1）

B．700

C．4900

B．a(chǎn)2+a+1=（a+1）2 D．2x+y=2（x+y）

D．7000

11．（2014?岳陽(yáng)）下列因式分解正確的是（）

26．（2014?郯城縣模擬）下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）

27．（2014?路北區(qū)二模）下列各因式分解正確的是（）

29．（2014?長(zhǎng)清區(qū)一模）下列多項(xiàng)式中，能運(yùn)用公式法因式分解的是（）30．（2014?天橋區(qū)二模）把多項(xiàng)式x3-4x分解因式所得的結(jié)果是（）

31．（2014?朝陽(yáng)區(qū)一模）把多項(xiàng)式x2y-2xy2+y3分解因式，正確的結(jié)果是（）32．（2014?邢臺(tái)一模）分解因式：a3-2a2+a=（）33．（2014?南充模擬）下列各因式分解正確的是（）

12．（2014?衡陽(yáng)）下列因式分解中，正確的個(gè)數(shù)為（）

①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③-x2+y2=（x+y）（x-y）A．3個(gè)

B．2個(gè)

C．1個(gè)

B．x2+2x-1=（x-1）2 D．x-x+2=x（x-1）+2

B．y（x-y）B．2（x-3）2

D．0個(gè)

13．（2014?畢節(jié)地區(qū)）下列因式分解正確的是（）A．2x2-2=2（x+1）（x-1）C．x+1=（x+1）A．y（x+y）A．2（x2-9）

14．（2014?泉州）分解因式x2y-y3結(jié)果正確的是（）

C．y（x-y）C．2（x+3）（x-3）

B．-x2+（-2）2=（x-2）（x+2）D．（x+1）2=x2+2x+1

15．（2014?義烏市）把代數(shù)式2x2-18分解因式，結(jié)果正確的是（）

第三篇：初中數(shù)學(xué)因式分解(練習(xí)題)

初中因式分解的常用方法

例

1、分解因式：am?an?bm?bn

例

2、分解因式：2ax?10ay?5by?bx

練習(xí)：分解因式

1、a2?ab?ac?bc2、xy?x?y?1例

3、分解因式：x2?y2?ax?ay

例

4、分解因式：a2?2ab?b2?c2

練習(xí)：分解因式

3、x2?x?9y2?3y4、x2?y2?z2?2yz綜合練習(xí)：（1）x3?x2y?xy2?y3（2）ax2?bx2?bx?ax?a?b

（3）x2?6xy?9y2?16a2?8a?1（4）a2?6ab?12b?9b2?4a

（5）a4?2a3?a2?9（6）4a2x?4a2y?b2x?b2y

（7）x2?2xy?xz?yz?y2（8）a2?2a?b2?2b?2ab?1

（9）y(y?2)?(m?1)(m?1)（10）(a?c)(a?c)?b(b?2a)

（11）a2(b?c)?b2(a?c)?c2(a?b)?2abc（12）a3?b3?c3?3abc例

5、分解因式：x2?5x?6

例

6、分解因式：x2?7x?6

練習(xí)

5、分解因式(1)x2?14x?24(2)a2?15a?36(3)x2?4x?5練習(xí)

6、分解因式(1)x2?x?2(2)y2?2y?15(3)x2?10x?24

例

7、分解因式：3x2?11x?10

練習(xí)

7、分解因式：（1）5x2?7x?6（2）3x2?7x?2

（3）10x2?17x?3（4）?6y2?11y?10

例

8、分解因式：a2?8ab?128b2

練習(xí)

8、分解因式(1)x2?3xy?2y2(2)m2?6mn?8n2(3)a2?ab?6b2

例9、2x2?7xy?6y2例

10、x2y2?3xy?2

練習(xí)

9、分解因式：（1）15x2?7xy?4y2（2）a2x2?6ax?8綜合練習(xí)

10、（1）8x6?7x3?1（2）12x2?11xy?15y2

（3）(x?y)2?3(x?y)?10（4）(a?b)2?4a?4b?3

（5）x2y2?5x2y?6x2（6）m2?4mn?4n2?3m?6n?2

（7）x2?4xy?4y2?2x?4y?3（8）5(a?b)2?23(a2?b2)?10(a?b)2

（9）4x2?4xy?6x?3y?y2?10（10）12(x?y)2?11(x2?y2)?2(x?y)2思考：分解因式：abcx2?(a2b2?c2)x?abc

例

11、分解因式：x2?3xy?10y2?x?9y?2

練習(xí)

11、分解因式(1)x2?y2?4x?6y?5(2)x2?xy?2y2?x?7y?6

(3)x2?xy?6y2?x?13y?6(4)a2?ab?6b2?5a?35b?36例

12、分解因式（1）x2?3xy?10y2?x?9y?2

（2）x2?xy?6y2?x?13y?6

練習(xí)

12、分解因式（1）x2?xy?2y2?x?7y?6（2）6x2?7xy?3y2?xz?7yz?2z2

第四篇：初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料

中考數(shù)學(xué)常用公式定理

1、整數(shù)(包括：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù))和分?jǐn)?shù)(包括：有限小數(shù)和無(wú)限環(huán)循小數(shù))都是有理數(shù)．如：

－3，0.231，0.737373…，．無(wú)限不環(huán)循小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)．如：π，－

0.1010010001…(兩個(gè)1之間依次多1個(gè)0)．有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)．，2、絕對(duì)值：a≥0

丨a丨＝a；a≤0

丨a丨＝－a．如：丨－

丨＝

；丨3.14－π丨＝

π－3.14．

3、一個(gè)近似數(shù)，從左邊笫一個(gè)不是0的數(shù)字起，到最末一個(gè)數(shù)字止，所有的數(shù)字，都叫做這

個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字．如：0.05972精確到0.001得0.060，結(jié)果有兩個(gè)有效數(shù)字6，0．

4、把一個(gè)數(shù)寫(xiě)成±a×10

n的形式(其中1≤a＜10，n是整數(shù))，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．如：

－40700＝－4.07×105、乘法公式(反過(guò)來(lái)就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a

＋b

．③(a＋b)(a

－ab＋b)＝a

＋b

．④(a－b)(a

＋ab＋b)＝a

2ab，(a－b)

＝(a＋b)

－4ab．

5，0.000043＝4.3×10－5

．

－b

．②(a±b)

＝a

±2ab

－b

；a

＋b

＝(a＋b)

－

26、冪的運(yùn)算性質(zhì)：①a

m×a

n

＝am＋n．②a

m÷a

n

＝am－n．③(a

m)

n

＝amn．④(ab)

n

＝a

n

b

n

．⑤（）

n

＝n．

⑥a－n＝，特別

：（）－n＝（）

n

．⑦a

0

＝1(a≠0)．如

：a

×a

＝a

5，a

÷a

＝a

4，(a

3)

＝a，6

a

n

(3a

3)

＝27a

9，(－3)－1＝－，5－2

＝

＝，（）－2＝（）

＝，(－3.14)o＝1，（－)

0

＝1．

7、二次根式：①（b≥0)．如：①(3)

＝a(a≥0)，②

＝丨a丨，③

＝6．③a＜0時(shí)，＝

×，④

．④

＝

(a＞0，的平方根)

＝45．②

＝－a

＝4的平方根＝±2．（平方根、立方根、算術(shù)平方根的概念）

8、一元二次方程：對(duì)于方程：ax

＋bx＋c＝0：

-b

±

b

4ac，其中△＝b2－4ac叫做根的判別式．

①求根公式是x＝

2a

當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

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中考押題群你懂得

當(dāng)△＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．注意：當(dāng)△≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根．

②若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x

和x，并且二次三項(xiàng)式ax

＋bx＋c可分解為a(x－x)(x－x)．

③以a和b為根的一元二次方程是x

－(a＋b)x＋ab＝0．

9、一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象是一條直線(b是直線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即一次函數(shù)在y軸上的截距)．當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大(直線從左向右上升)；當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大

而減小(直線從左向右下降)．特別：當(dāng)b＝0時(shí)，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函數(shù)(y與x成正比

例)，圖象必過(guò)原點(diǎn)．

10、反比例函數(shù)y＝

(k≠0)的圖象叫做雙曲線．當(dāng)k＞0時(shí)，雙曲線在一、三象限(在每一象

限內(nèi)，從左向右降)；當(dāng)k＜0時(shí)，雙曲線在二、四象限(在每一象限內(nèi)，從左向右上升)．因

此，它的增減性與一次函數(shù)相反．

11、統(tǒng)計(jì)初步：（1）概念：①所要考察的對(duì)象的全體叫做總體，其中每一個(gè)考察對(duì)象叫做

個(gè)體．從總體中抽取的一部份個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量．②

在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)(有時(shí)不止一個(gè))，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．③將一組數(shù)據(jù)按

大小順序排列，把處在最中間的一個(gè)數(shù)(或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．

（2）公式：設(shè)有

n

個(gè)數(shù)

x，x，…，x，那么：

n

x

+

x

+

......+

x

①平均數(shù)為：

x

=

n；

n

②極差：

用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來(lái)反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法得到的差

稱為極差，即：極差=最大值-最小值；

③方差：

x1、x2

……,xn

+

.....+

x

x的方

差

為

s

2，則

則

數(shù)

據(jù)

輊

犏（2)

（2)

2)

x1

x

+

x

x

（s

=

n

n

臌

標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算術(shù)平方根.數(shù)

據(jù)

x1、x2

……,xn的標(biāo)

準(zhǔn)

差

s

輊

2)

2)

犏（）

（（s

=

x1

x

+

x

x

+

.....+

x

x

n

n

臌

一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定。

12、頻率與概率：

（1）頻率=

頻數(shù)，各小組的頻數(shù)之和等于總數(shù)，各小組的頻率之和等于

1，頻率分布直方

總數(shù)

圖中各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為各組頻率。

（2）概率

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①如果用

P

表示一個(gè)事件

A

發(fā)生的概率，則

0≤P（A）≤1；

P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；

②在具體情境中了解概率的意義，運(yùn)用列舉法（包括列表、畫(huà)樹(shù)狀圖）計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率。

③大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)頻率可視為事件發(fā)生概率的估計(jì)值；

13、銳角三角函數(shù)：

①設(shè)∠A是Rt△ABC的任一銳角，則∠A的正弦：sinA＝，∠A的余弦：cosA＝，∠A的正切：tanA＝

．并且sin

A＋cos

A＝1．

0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越?。?/p>

②余角公式：sin(90o－A)＝cosA，cos(90o－A)＝sinA．

③特殊角的三角函數(shù)值：sin30o＝cos60o＝，sin45o＝cos45o＝，sin60o＝cos30o＝，tan30o＝，tan45o＝1，tan60o＝

．

h

α

鉛垂高度

④斜坡的坡度：i＝

＝

．設(shè)坡角為α，則i＝tanα＝

．

l

水平寬度

14、平面直角坐標(biāo)系中的有關(guān)知識(shí)：

（1）對(duì)稱性：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)

P（a，b），則

P

關(guān)于

x

軸對(duì)稱的點(diǎn)為

P

（a，－b），P

關(guān)于

y

軸對(duì)稱的點(diǎn)為

P

（－a，b），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為

P

（－a，－b）.2

（2）坐標(biāo)平移：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)

P（a，b）向左平移

h

個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)?/p>

P（a－h(huán)，b），向右平移

h

個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)?/p>

P（a＋h，b）；向上平移

h

個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)?/p>

P（a，b＋h），向下平移

h

個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)?/p>

P（a，b－h(huán)）.如：點(diǎn)

A（2，－1）向上平移

個(gè)單位，再向

右平移

個(gè)單位，則坐標(biāo)變?yōu)?/p>

A（7，1）.15、二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)：

1.定義：一般地，如果

y

ax

=

+

bx

c(a,b,c

是常數(shù)，a

1

0)，那么

y

叫做

x的二次函數(shù).+

2.拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).①

a的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)

a

0

時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)

a

0時(shí)，開(kāi)口向下；

a

相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同.②平行于

y

軸（或重合）的直線記作

x

=

h

.特別地，y

軸記作直線

x

=

0.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：

函數(shù)解析式

開(kāi)口方向

對(duì)稱軸

頂點(diǎn)坐標(biāo)

（0,0）

y

=

ax

y

=

ax

x

=

0（y

軸）

當(dāng)

a

0

時(shí)

(0,k)

+

k

x

=

0（y

軸）

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x

=

h

開(kāi)口向上

當(dāng)

a

0時(shí)

開(kāi)口向下

（h,0)

y

=

a(x

h)

x

=

h

（h,k)

y

=

a(x

h)

+

k

x

=

b

2a

y

=

ax

+

bx

+

c

b

4ac

b

（-，)

2a

4a

4.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法

b

?2

4ac

b

b

4ac

b

?

（1）公式法：y

ax

=

+

bx

c

a?

x

+

=

+

÷

+，∴頂點(diǎn)是（-，），è

2a

?

4a

2a

4a

對(duì)稱軸是直線

x

=

b

.2a

（2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為

y

=

a(x

h)

+

k的形式，得到頂

點(diǎn)為（h,k)，對(duì)稱軸是直線

x

=

h

.（3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn)。

若已知拋物線上兩點(diǎn)

(x,y)、(x,y)

（及

y

值相同），則對(duì)稱軸方程可以表示為：

x1

+

x

x

=

9.拋物線

y

=

ax

+

bx

+

c

中，2

a,b,c的作用

（1）

a

決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與

y

=

ax

中的a

完全一樣.（2）b

和

a

共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線

y

=

ax

+

bx

+

c的對(duì)稱軸是直線

x

=

b，故：①b

=

0

時(shí)，對(duì)稱軸為

y

軸；②

0

（即

a、b

同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸

b

2a

a

b

在y

軸左側(cè)；③

0（即

a、b

異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在y

軸右側(cè).a

（3）

c的大小決定拋物線

y

=

ax

+

bx

+

c

與

軸交點(diǎn)的位置.2

y

當(dāng)

x

=

0時(shí)，y

=

c，∴拋物線

y

=

ax

+

bx

+

c

與

軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）：

y

c

①

c

=

0，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn);

②

c

0,與

y

軸交于正半軸；③

c

0,與

y

軸交于負(fù)半

軸.b

以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在y

軸右側(cè)，則

11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

0.a

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（1）一般式：

y

=

ax

+

bx

+

c

.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式.2

x

y

y

=

a(x

h)

+

k

.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.2

（2）頂點(diǎn)式：

（3）交點(diǎn)式：已知圖像與

x

軸的交點(diǎn)坐標(biāo)

x、x，通常選用交點(diǎn)式：y

=

a(x

x)(x

x).1

12.直線與拋物線的交點(diǎn)

（1）

y

軸與拋物線

y

=

ax

+

bx

+

c

得交點(diǎn)為(0,2

c).（2）拋物線與

x

軸的交點(diǎn)

二次函數(shù)

y

=

ax

+

bx

+

c的圖像與

軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

x

x

1、x，是對(duì)應(yīng)一元二次

方程

ax

+

bx

+

c

=

0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與

x

軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個(gè)交點(diǎn)

?

（D

0)

?

拋物線與

x

軸相交；

②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x

軸上）

?

（D

=

0)

?

拋物線與

x

軸相切；

③沒(méi)有交點(diǎn)

?

（D

0)

?

拋物線與

x

軸相離.（3）平行于

x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

同（2）一樣可能有

0

個(gè)交點(diǎn)、1

個(gè)交點(diǎn)、2

個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有

個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)

相等，設(shè)縱坐

標(biāo)為

k，則橫坐標(biāo)是

ax

+

bx

+

c

=

k的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.2

（4）一次函數(shù)

y

=

kx

+

n(k

1

0)的圖像l

與二次函數(shù)

y

=

ax

+

bx

+

c

a

1

（0)的圖像G的2

y

=

kx

+

n

交點(diǎn)，由方程組的解的數(shù)目來(lái)確定：①方程組有兩組不同的解時(shí)

y

=

ax

+bx

+

c

?

l

與G

有兩個(gè)交點(diǎn);

②方

程組只有一組解時(shí)

?

l

與G

只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無(wú)解時(shí)

?

l

與G

沒(méi)有交點(diǎn).（5）拋物線與

x

軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線

y

=

ax

+

bx

+

c

與

x

軸兩交點(diǎn)為

A(x，0)，B(x，0)，則

AB

=

x

x

21、多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)180o（n≥3，n是正整數(shù)），外角和等于

360o

2、平行線分線段成比例定理：

（1）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

如圖：a∥b∥c，直線

l

與

l

分別與直線

a、b、c

相交與點(diǎn)

A、B、C

AB

=

DE

AB

DE

BC

=

EF

D、E、F，則有,=,BC

EF

AC

DF

AC

DF

（2）推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

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中考押題群你懂得

如

圖

：

△

ABC

中，DE

∥

BC，DE

與

AB、AC

相

交

與

點(diǎn)

D、E，則

有

：

AD

=

AE

AD

AE

=

DE

DB

=

EC

l

1,=,A

E

D

l

DB

EC

AB

AC

BC

AB

AC

A

D

a

b

A

D

E

B

E

c

C

F

B

B

C

C

＊3、直角三角形中的射影定理：如圖：Rt△ABC

中，∠ACB＝90

o，CD⊥AB

于

D，則有：

C

D

（1）CD

=

AD×BD

（2）

AC

=

AD×

AB

（3）

BC

=

BD×

AB24、圓的有關(guān)性質(zhì)：

A

B

（1）垂徑定理：如果一條直線具備以下五個(gè)性質(zhì)中的任意兩個(gè)性質(zhì)：①經(jīng)過(guò)圓心；②垂直

弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的劣??；⑤平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，那么這條直線就具有另外三個(gè)

性質(zhì)．注：具備①，③時(shí)，弦不能是直徑．（2）兩條平行弦所夾的弧相等．（3）圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)．（4）一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．（5）

圓周角等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半．（6）同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等．（7）在同圓或

等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等．（8）90o的圓周角所對(duì)的弦是直徑，反之，直徑所對(duì)的圓周角是90o，直徑是最長(zhǎng)的弦．（9）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．

5、三角形的內(nèi)心與外心：三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心．三角形的內(nèi)心就是三

內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三邊中

垂線的交點(diǎn)．

常見(jiàn)結(jié)論：（1）Rt△ABC的三條邊分別為：a、b、c（c

為斜邊），則它的內(nèi)切圓的半徑

a

+b

-c

r

=；

（2）△ABC的周長(zhǎng)為l，面積為

S，其內(nèi)切圓的半徑為

r，則

S

=

lr

＊6、弦切角定理及其推論：

（1）弦切角：頂點(diǎn)在圓上，并且一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。如圖：

∠PAC

為弦切角。

（2）弦切角定理：弦切角度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。

B

?

如果

AC

是⊙O的弦，PA

是⊙O的切線，A

為切點(diǎn)，則

DPAC

=

AC

=

DAOC

A

P

O

推論：弦切角等于所夾弧所對(duì)的圓周角（作用證明角相等）

如果

AC

是⊙O的弦，PA

是⊙O的切線，A

為切點(diǎn)，則

DPAC

=

DABC

C

＊7、相交弦定理、割線定理、切割線定理：

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中考押題群你懂得

相交弦定理：圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。

如圖①，即：PA·PB

=

PC·PD

割線定理

：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這點(diǎn)到每條割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。

如圖②，即：PA·PB

=

PC·PD

切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的2

比例中項(xiàng)。如圖③，即：PC

=

PA·PB

C

C

C

D

O

P

B

O

O

P

P

D

B

B

A

A

A

①

②

③

8、面積公式：

①S

＝

×(邊長(zhǎng))

．

正△

②S平行四邊形＝底×高．

③S

＝底×高＝

×(對(duì)角線的積)，菱形

S梯形

=

(上底+

下底)′高=

中位線′

高

④S

＝πR

．

圓

⑤l圓周長(zhǎng)＝2πR．

⑥弧長(zhǎng)L＝

．

S扇形

=

npr

=

lr

⑦

360

⑧S圓柱側(cè)＝底面周長(zhǎng)×高＝2πrh，S全面積＝S

＋S

＝2πrh＋2πr

側(cè)

底

⑨S圓錐側(cè)＝

×底面周長(zhǎng)×母線＝πrb，S全面積＝S

＋S

＝πrb＋πr

側(cè)

底

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第五篇：初中數(shù)學(xué)因式分解(含答案)競(jìng)賽題精選1

初中數(shù)學(xué)因式分解(一)

因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具．是掌握因式分解對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生解題技能，思維能力，有獨(dú)特作用．

1．運(yùn)用公式法

整式乘法公式，反向使用，即為因式分解

(1)a-b=(a+b)(a-b)；

(2)a±2ab+b=(a±b)；

(3)a+b=(a+b)(a-ab+b)；

(4)a-b=(a-b)(a+ab+b)．

幾個(gè)常用的公式：

(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b)其中n為正整數(shù)；

(8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b)，其中n為偶數(shù)；

(9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b)，其中n為奇數(shù)．

分解因式，根據(jù)多項(xiàng)式字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式．

例1 分解因式：

(1)-2x

(3)a+b+c-2bc+2ca-2ab；(4)a-ab+ab-b．

2752

575n-1nnnn-1n-2n-32

n-2

n-1nnn-1n-2n-32

n-2

n-1nnn-1n-2n-32

n-2

n-133322

2222

23322332222222y+4x3n-1n+2y-2xy；(2)x-8y-z-6xyz； n-1n+4333

333例2 分解因式：a+b+c-3abc．

例3 分解因式：x+x+x+…+x+x+1．

1514132

2．拆項(xiàng)、添項(xiàng)法

因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算．在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類(lèi)項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類(lèi)項(xiàng)相互抵消為零．在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng)．拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解．

例4 分解因式：x-9x+8．

例5 分解因式：

(1)x+x+x-3；(2)(m-1)(n-1)+4mn；

(3)(x+1)+(x-1)+(x-1)；(4)ab-ab+a+b+1．

422

322963223

3．換元法

換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來(lái)運(yùn)算，從而使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)明清晰．

例6 分解因式：(x+x+1)(x+x+2)-12．

例7 分解因式：(x+3x+2)(4x+8x+3)-90．

例8 分解因式：(x+4x+8)2+3x(x+4x+8)+2x．

22222

例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．

例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2

+y2)．

1．分解因式：

(2)x10+x5-2；

(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．

練習(xí)一

2．分解因式：

(1)x+3x-4；

(2)x-11xy+y；

(3)x+9x+26x+24；

(4)x-12x+323．

3．分解因式：

(1)(2x-3x+1)-22x+33x-1；(2)x+7x+14x+7x+1；

(3)(x+y)+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x-1)(x+5)-20． 3

2222

232432422

2初中數(shù)學(xué)因式分解(一)答案

多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用．初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法．本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對(duì)因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹．

1．運(yùn)用公式法

在整式的乘、除中，我們學(xué)過(guò)若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：

(1)a-b=(a+b)(a-b)；

(2)a±2ab+b=(a±b)；

(3)a+b=(a+b)(a-ab+b)；

(4)a-b=(a-b)(a+ab+b)．

下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式：

(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b)其中n為正整數(shù)；

(8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b)，其中n為偶數(shù)；

(9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b)，其中n為奇數(shù)．

運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式．

例1 分解因式：

(1)-2xy+4x3335n-1n3n-1nnn-1n-

2n-

32n-2

n-1nnn-1n-2

n-3

n-2

n-1nnn-1n-2

n-3

n-2

n-1333

2222

23322332222222y-2xy； n+2n-1n+

4(2)x-8y-z-6xyz；

(3)a+b+c-2bc+2ca-2ab；

(4)a-ab+ab-b．

解(1)原式=-2xy(xn-2xny+y)

=-2xy[(xn)-2xny+(y)]

=-2xy(xn-y)

=-2xy(x-y)(x+y)．

(2)原式=x+(-2y)+(-z)-3x(-2y)(-Z)

=(x-2y-z)(x+4y+z+2xy+xz-2yz)．

(3)原式=(a-2ab+b)+(-2bc+2ca)+c

＝(a-b)+2c(a-b)+c

=(a-b+c)．

本小題可以稍加變形，直接使用公式(5)，解法如下：

原式=a+(-b)+c+2(-b)c+2ca+2a(-b)22222

222

2333n-1nn

n

2n-1n2

22n-1n2

22n-1n4

4752257222

=(a-b+c)

(4)原式=(a-ab)+(ab-b)

=a(a-b)+b(a-b)

=(a-b)(a+b)

=(a+b)(a-b)(a+b)(a-ab+ab-ab+b)

=(a+b)(a-b)(a-ab+ab-ab+b)

例2 分解因式：a+b+c-3abc．

本題實(shí)際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6)．

分析我們已經(jīng)知道公式

(a+b)=a+3ab+3ab+b 的正確性，現(xiàn)將此公式變形為

a+b=(a+b)-3ab(a+b)．

這個(gè)式也是一個(gè)常用的公式，本題就借助于它來(lái)推導(dǎo)．

333

324

4225552252

27522

572

解原式=(a+b)-3ab(a+b)+c-3abc

=［(a+b)3+c］-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)［(a+b)-c(a+b)+c]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)．

說(shuō)明公式(6)是一個(gè)應(yīng)用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結(jié)論，例如：我們將公式(6)變形為

a+b+c-3abc 33322

顯然，當(dāng)a+b+c=0時(shí)，則a+b+c=3abc；當(dāng)a+b+c＞0時(shí)，則a+b+c-3abc≥0，即a+b+c≥3abc，而且，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立．

如果令x=a≥0，y=b≥0，z=c≥0，則有 33

等號(hào)成立的充要條件是x=y=z．這也是一個(gè)常用的結(jié)論．

例3 分解因式：x+x+x+…+x+x+1．

分析這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)是：有16項(xiàng)，從最高次項(xiàng)x開(kāi)始，x的次數(shù)順次遞減至0，由此想到應(yīng)用公式a-b來(lái)分解．

解因?yàn)?/p>

x-1=(x-1)(x+x+x+…x+x+1)，所以 16151413

2nn

151514

說(shuō)明在本題的分解過(guò)程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用．

2．拆項(xiàng)、添項(xiàng)法

因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算．在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類(lèi)項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類(lèi)項(xiàng)相互抵消為零．在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng)．拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解．

例4 分解因式：x-9x+8．

分析本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解的幾種解法，注意一下拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的與技巧．

解法1 將常數(shù)項(xiàng)8拆成-1+9．

原式=x-9x-1+9

=(x-1)-9x+9

=(x-1)(x+x+1)-9(x-1)

=(x-1)(x+x-8)．

解法2 將一次項(xiàng)-9x拆成-x-8x．

原式=x-x-8x+8

=(x-x)+(-8x+8)

=x(x+1)(x-1)-8(x-1)

=(x-1)(x+x-8)．

解法3 將三次項(xiàng)x拆成9x-8x．

原式=9x-8x-9x+8

=(9x-9x)+(-8x+8)

=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x+x+1)

=(x-1)(x+x-8)．

解法4 添加兩項(xiàng)-x+x．

原式=x-9x+8

=x-x+x-9x+8

=x(x-1)+(x-8)(x-1)

=(x-1)(x+x-8)．

說(shuō)明由此題可以看出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無(wú)一定之規(guī)，主要的是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種． 22322322

223333

33323322333

例5 分解因式：

(1)x+x+x-3；

(2)(m-1)(n-1)+4mn；

(3)(x+1)+(x-1)+(x-1)；

(4)ab-ab+a+b+1．

解(1)將-3拆成-1-1-1．

原式=x+x+x-1-1-1

=(x-1)+(x-1)+(x-1)

=(x-1)(x+x+1)+(x-1)(x+1)+(x-1)

=(x-1)(x6+2x3+3)

=(x-1)(x+x+1)(x+2x+3)．

(2)將4mn拆成2mn+2mn．

原式=(m-1)(n-1)+2mn+2mn

=mn-m-n+1+2mn+2mn

=(mn+2mn+1)-(m-2mn+n)

=(mn+1)-(m-n)

=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．

(3)將(x-1)拆成2(x-1)-(x-1)．

原式=(x+1)+2(x-1)-(x-1)+(x-1)

=［(x+1)+2(x+1)(x-1)+(x-1)]-(x-1)

=［(x+1)+(x-1)]-(x-1)

=(2x+2)-(x-1)=(3x+1)(x+3)．

(4)添加兩項(xiàng)+ab-ab．

原式=ab-ab+a+b+1+ab-ab

=(ab-ab)+(a-ab)+(ab+b+1)

=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b+1)

=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b+1)

=[a(a-b)+1](ab+b+1)

=(a-ab+1)(b+ab+1)．

說(shuō)明(4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加項(xiàng)后分成的三項(xiàng)組又無(wú)公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式．這道題目使我們體會(huì)到拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的極強(qiáng)技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn)．

3．換元法 222

2332

233222222

2222

242

2422

4222

222222

222222226

33363

39639633322422

422963

換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來(lái)運(yùn)算，從而使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)明清晰．

例6 分解因式：(x+x+1)(x+x+2)-12．

分析將原式展開(kāi)，是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式，分解因式較困難．我們不妨將x+x看作一個(gè)整體，并用字母y來(lái)替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項(xiàng)式的因式分解問(wèn)題了．

解設(shè)x+x=y，則

原式=(y+1)(y+2)-12=y+3y-10

=(y-2)(y+5)=(x+x-2)(x+x+5)

=(x-1)(x+2)(x+x+5)．

說(shuō)明本題也可將x+x+1看作一個(gè)整體，比如今x+x+1=u，一樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學(xué)不妨試一試．

例7 分解因式：

(x+3x+2)(4x+8x+3)-90．

分析先將兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式分解因式，然后再重新組合．

解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90

=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90

=(2x+5x+3)(2x+5x+2)-90．

令y=2x+5x+2，則

原式=y(y+1)-90=y+y-90

=(y+10)(y-9)

=(2x+5x+12)(2x+5x-7)

=(2x+5x+12)(2x+7)(x-1)．

說(shuō)明對(duì)多項(xiàng)式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)的基礎(chǔ)．

例8 分解因式：

(x+4x+8)2+3x(x+4x+8)+2x．

解設(shè)x+4x+8=y，則

原式=y+3xy+2x=(y+2x)(y+x)

=(x+6x+8)(x+5x+8)

=(x+2)(x+4)(x+5x+8)．

說(shuō)明由本題可知，用換元法分解因式時(shí)，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變?cè)托伦冊(cè)梢砸黄鹱冃?，換元法的本質(zhì)是簡(jiǎn)化多項(xiàng)式．

例9分解因式：6x+7x-36x-7x+6．

解法1 原式=6(x+1)＋7x(x-1)-36x

=6［(x-2x+1)+2x］+7x(x-1)-36x 42

243

2222222

2222222

222

222

=6[(x-1)2+2x]+7x(x-1)-36x

=6(x-1)+7x(x-1)-24x

=[2(x-1)-3x］［3(x-1)+8x]

=(2x-3x-2)(3x+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．

說(shuō)明本解法實(shí)際上是將x-1看作一個(gè)整體，但并沒(méi)有設(shè)立新元來(lái)代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設(shè)置新元來(lái)代替整體．

解法2

222

22222

原式=x[6(t+2)+7t-36]

=x(6t+7t-24)=x(2t-3)(3t+8)

=x[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]

=(2x-3x-2)(3x+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)． 22222222

例10 分解因式：(x+xy+y)-4xy(x+y)．

分析本題含有兩個(gè)字母，且當(dāng)互換這兩個(gè)字母的位置時(shí)，多項(xiàng)式保持不變，這樣的多項(xiàng)式叫作二元對(duì)稱式．對(duì)于較難分解的二元對(duì)稱式，經(jīng)常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式．

解原式=[(x+y)-xy]-4xy[(x+y)-2xy]．令x+y=u，xy=v，則

原式=(u-v)-4v(u-2v)

=u-6uv+9v

=(u-3v)

=(x+2xy+y-3xy)

=(x-xy+y)．

***2

22222