第一篇：高中物理競(jìng)賽講座講稿：靜力學(xué),力和運(yùn)動(dòng)

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高中物理競(jìng)賽輔導(dǎo)（2）

南京師范大學(xué)物理系列化 陳烈佐

靜力學(xué) 力和運(yùn)動(dòng)

共點(diǎn)力的平衡

n個(gè)力為共點(diǎn)力，如圖1所示。

作用在剛體上的力可沿作用線前、后滑移而不改變其力學(xué)效應(yīng)。當(dāng)剛體受共點(diǎn)力作用時(shí)，可把這些力沿各自的作用線滑移，使都交于一點(diǎn)，于是剛體在共點(diǎn)力作用下處于平衡狀態(tài)的條件是：合力為零。

同時(shí)作用在物體上，若各力的作用線相交于一點(diǎn)，則稱

（1）

用分量式表示：

（2）

[例1]半徑為R的剛性球固定在水平桌面上，有一質(zhì)量為M的圓環(huán)狀均勻彈性細(xì)繩圈，原長(zhǎng)為，繩圈的彈性系數(shù)為k。將圈從球的正上方輕放到球上，并用手扶著繩圈使其保持水平，最后停留在平衡位置。考慮重力，不計(jì)摩擦。①設(shè)平衡時(shí)繩圈長(zhǎng)，求k值。②若求繩圈的平衡位置。，www.tmdps.cn

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2高考資源網(wǎng)（ks5u.com）

您身邊的高考專家 的支力，上球的壓力，這四個(gè)力都通過(guò)該球球心，并位于同一平面內(nèi)，如圖3(b)所示。

解：以A球?yàn)楦綦x體，把它所受的力分解為水平分量和垂直分量。

以上球?yàn)楦綦x體

聯(lián)立以上三式解出：。

當(dāng)下面四球之間的相互作用為零，即N=0，得。如時(shí)，下面四球?qū)⒒ハ喾蛛x。又

由圖形（b）看出。

代入（2-4）式得。

此時(shí)下面的四個(gè)球互相分離，2.共面力的平衡。

作用在剛體上的所有力都位于同一平面，這些力就叫做共面力。設(shè)共面力所在的平面是xy平面，剛體在平面力作用下平衡的條件是：合力為零和對(duì)任一點(diǎn)所有力矩之和為零，即

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鐵絲上相對(duì)靜止時(shí)，末個(gè)鏈環(huán)與鉛垂線交角為，分析：如圖5（a）所示，由于對(duì)稱性，鎖鏈兩端與鐵絲接觸點(diǎn)0，O'的垂直作用力N=nmg，m是每個(gè)鏈環(huán)的質(zhì)量。鐵絲對(duì)鎖鏈端點(diǎn)的摩擦力。

解：設(shè)鏈環(huán)的長(zhǎng)為l，重心在其中心，取右端第一個(gè)鏈環(huán)為隔離體，當(dāng)它平衡時(shí)對(duì)通過(guò)A點(diǎn)垂直于紙面的軸的合力矩為零，以N、f之值代入，即可解得：

3、物體平衡的種類。

下面討論物體在重力和支力作用下所處的各種平衡狀態(tài)，圖6表示放在凹

面底端、凸面頂端和平面上的小球，它們所受的重力和支力等值反向，都處在平衡位置。

由于某種因素，小球稍稍偏離平衡位置，在凹面底部的小球重心升高，重力勢(shì)能增大，重力mg和支力N不再保持平衡，合力指向原來(lái)的平衡位置，小球會(huì)恢復(fù)平衡，這種平衡叫做穩(wěn)定平衡。位于凸面端的小球稍微偏離平衡位置后，重心降低，重力勢(shì)能減少，重力和支力也不再平衡，合力指向遠(yuǎn)離原來(lái)平衡位置的方向，這種平衡叫做不穩(wěn)定平衡。平面上的小球偏離原來(lái)位置后，重心的高度和重力勢(shì)能不變，小球仍保持平衡，這種平衡叫做隨遇平衡。

[例5]任意橫截面的柱體A靜止在固定柱體A'上面，如圖7（a）所示。G是A的重心，G到接觸點(diǎn)的距離是h，D、D'是這兩個(gè)截面接觸點(diǎn)的曲率中心；P、P'是相應(yīng)的曲率半徑，求：h、p、p'滿足什么關(guān)系時(shí)，A處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)？并加以討論。

分析：當(dāng)A稍微偏離平衡位置，接觸點(diǎn)相對(duì)于D'轉(zhuǎn)過(guò)角度，而DG與DD'相交θ角，如圖7(b)所示，和θ都是很小的角度，顯然PQ=P'Q'。設(shè)A的質(zhì)量為m，由圖7(b)知質(zhì)心G到D'的垂直距離H=(P+P')COS-(p-h)=COS(θ+)。若以D'為零勢(shì)能的參考點(diǎn)，則當(dāng)A稍微偏離平衡位置時(shí)，其重力勢(shì)能為

（5-2）

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應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律解決具體問(wèn)題時(shí)，首先要明確討論的是哪一個(gè)（或哪一些）物體的運(yùn)動(dòng)，畫出隔離體力圖。其次要討論物體的運(yùn)動(dòng)情況特別要注意加速度，因?yàn)樗鹬鴮⑦\(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)聯(lián)結(jié)起來(lái)的作用。對(duì)隔離體分析了受力情況和運(yùn)動(dòng)情況后，就可列出矢量式，但要求出結(jié)果還必須建立坐標(biāo)系，寫出運(yùn)動(dòng)方程的分量式。

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題大致分成兩類：（1）已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，求其它物體施于該質(zhì)點(diǎn)的作用力；（2）已知其它物體施于質(zhì)點(diǎn)的作用力，求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況。[例6]圖8（a）所示。兩個(gè)木塊A和B，質(zhì)量分別為，緊挨著并排放在水平桌面上，A、B間的接觸面垂直于紙面且與水平成θ角，A、B間接觸面是光滑的，但它們與桌面存在摩擦，靜摩擦系數(shù)和滑動(dòng)摩擦系數(shù)均為μ，開(kāi)始時(shí)A、B都靜止，現(xiàn)施一水平推力F于A，要使A、B向右加速運(yùn)動(dòng)且A、B之間不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。則（1）μ的數(shù)值應(yīng)滿足什么條件？（2）推力F的最大值不能超過(guò)多少？（只考慮平動(dòng)）？

分析：A、B的受力圖如圖8(b)所示。由于A、B間接觸面是光滑的，它們之間相互作用力N垂直于接觸面。

解：（1）若A、B之間不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，則A在豎直方向的加速度為零，即。（6-1）

B以加速度a>0向右運(yùn)動(dòng)

聯(lián)立以上三式，解出：

（2）在已滿足（6-4）式的情況下，A、B的水平加速度均為a，于是

由A：

由B：

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滑塊B的絕對(duì)加速度的兩個(gè)分量：

解：對(duì)于A、B、C組成的系統(tǒng)，在x方向受到外力是推力F和摩擦力f。于是：

將有關(guān)數(shù)據(jù)代入，解出f=10牛。

系統(tǒng)在y方向受到的外力是：桌面作用于C的支持力N，方向+y；A、B、C所受的重力為，方向-y，所以

將有關(guān)數(shù)據(jù)代入，得N=93牛。

最后得摩擦系數(shù)習(xí)題。

1．質(zhì)量為m，半徑為R的球放在豎直墻和板AB之間。A端用絞鏈固定在墻上，B端用水平細(xì)繩拉住，如圖10所示。板長(zhǎng)l，和墻夾角a。不計(jì)摩擦及板的質(zhì)量。求：（1）繩的拉力T；（2）角a為何值時(shí)，T有最小值。

2．用一個(gè)水平放置的半徑為R的圓柱形光滑槽面，其軸線通過(guò)O點(diǎn)，槽內(nèi)放著兩個(gè)半徑均為r的光滑圓柱體A、B，如圖11所示。質(zhì)量分別為，且r=R/3，求：圓柱體A、B平衡時(shí)，OA線與豎直線間的夾角a是多少？

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一個(gè)質(zhì)量為m，半徑為r的光滑球放置其間。由圖16所示。試證：平衡的必要條件是：。

8．一個(gè)熟雞蛋的圓、尖兩端的曲率半徑分別為a、b，且長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度為c，證明：蛋尖的一端可以在不光滑的水平面上穩(wěn)定直立。如圖17所示。并求碗的半徑r。

9．A、B、C三物體，質(zhì)量分別為，A、B疊放在光滑的水平桌面上（如圖18），A、B之間的靜摩擦系數(shù)為μ，不計(jì)繩與滑輪之間的摩擦及質(zhì)量。整個(gè)系統(tǒng)由靜止釋放。討論：A與B不發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的條件。

10．如圖19所示，在水平光滑的平面上，質(zhì)量分別為的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，用輕質(zhì)彈簧聯(lián)在一起，并以長(zhǎng)為的細(xì)線拴在軸O上，均以角速度ω繞軸O作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。兩球間的距離。如將線燒斷。求：在線剛燒斷的瞬間，的加速度。

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第二篇：高中物理知識(shí)點(diǎn)：運(yùn)動(dòng)和力公式總結(jié)

高中物理知識(shí)點(diǎn)：運(yùn)動(dòng)和力公式總結(jié)

南通仁德教育朱老師總結(jié)了高中知識(shí)點(diǎn)：運(yùn)動(dòng)和力公式總結(jié)，僅供同學(xué)們參考；

1.牛頓第一運(yùn)動(dòng)定律(慣性定律)：物體具有慣性，總保持勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或靜止?fàn)顟B(tài),直到有外力迫使它改變這種狀態(tài)為止

2.牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律：F合=ma或a=F合/ma{由合外力決定,與合外力方向一致}

3.牛頓第三運(yùn)動(dòng)定律：F=-F′{負(fù)號(hào)表示方向相反,F、F′各自作用在對(duì)方，平衡力與作用力反作用力區(qū)別，實(shí)際應(yīng)用：反沖運(yùn)動(dòng)}

4.共點(diǎn)力的平衡F合=0，推廣 {正交分解法、三力匯交原理｝

5.超重：FN>G，失重：FN

6.牛頓運(yùn)動(dòng)定律的適用條件：適用于解決低速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，適用于宏觀物體，不適用于處理高速問(wèn)題，不適用于微觀粒子〔見(jiàn)第一冊(cè)P67〕

注:

平衡狀態(tài)是指物體處于靜止或勻速直線狀態(tài),或者是勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。

第三篇：高中物理競(jìng)賽講座講稿：第二部分《牛頓運(yùn)動(dòng)定律》

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第二部分 牛頓運(yùn)動(dòng)定律

第一講 牛頓三定律

一、牛頓第一定律

1、定律。慣性的量度

2、觀念意義，突破“初態(tài)困惑”

二、牛頓第二定律

1、定律

2、理解要點(diǎn)

a、矢量性

b、獨(dú)立作用性：ΣF → a，ΣFx → ax ?

c、瞬時(shí)性。合力可突變，故加速度可突變（與之對(duì)比：速度和位移不可突變）；牛頓第二定律展示了加速度的決定式（加速度的定義式僅僅展示了加速度的“測(cè)量手段”）。

3、適用條件

a、宏觀、低速 b、慣性系

對(duì)于非慣性系的定律修正——引入慣性力、參與受力分析

三、牛頓第三定律

1、定律

2、理解要點(diǎn)

a、同性質(zhì)（但不同物體）b、等時(shí)效（同增同減）

c、無(wú)條件（與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、空間選擇無(wú)關(guān)）

第二講 牛頓定律的應(yīng)用

一、牛頓第一、第二定律的應(yīng)用

單獨(dú)應(yīng)用牛頓第一定律的物理問(wèn)題比較少，一般是需要用其解決物理問(wèn)題中的某一個(gè)環(huán)節(jié)。

應(yīng)用要點(diǎn)：合力為零時(shí)，物體靠慣性維持原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；只有物體有加速度時(shí)才需要合力。有質(zhì)量的物體才有慣性。a可以突變而v、s不可突變。

1、如圖1所示，在馬達(dá)的驅(qū)動(dòng)下，皮帶運(yùn)輸機(jī)上方的皮帶以恒定的速度向右運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)將一工件（大小不計(jì)）在皮帶左端A點(diǎn)輕輕放下，則在此后的過(guò)程中（）A、一段時(shí)間內(nèi)，工件將在滑動(dòng)摩擦力作用下，對(duì)地做加速運(yùn)動(dòng)

B、當(dāng)工件的速度等于v時(shí)，它與皮帶之間的摩擦力變?yōu)殪o摩擦力

C、當(dāng)工件相對(duì)皮帶靜止時(shí)，它位于皮帶上A點(diǎn)右側(cè)的某一點(diǎn)

D、工件在皮帶上有可能不存在與皮www.tmdps.cn

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2v22?g時(shí)（其中μ為工件與皮帶之間的動(dòng)摩擦因素），才有相對(duì)靜止的過(guò)程，高考資源網(wǎng)（ks5u.com）

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進(jìn)階練習(xí)1：在一向右運(yùn)動(dòng)的車廂中，用細(xì)繩懸掛的小球呈現(xiàn)如圖3所示的穩(wěn)定狀態(tài)，試求車廂的加速度。（和“思考”題同理，答：gtgθ。）

進(jìn)階練習(xí)

2、如圖4所示，小車在傾角為α的斜面上勻加速運(yùn)動(dòng)，車廂頂用細(xì)繩懸掛一小球，發(fā)現(xiàn)懸繩與豎直方向形成一個(gè)穩(wěn)定的夾角β。試求小車的加速度。

解：繼續(xù)貫徹“矢量性”的應(yīng)用，但數(shù)學(xué)處理復(fù)雜了一些（正弦定理解三角形）。分析小球受力后，根據(jù)“矢量性”我們可以做如圖5所示的平行四邊形，并找到相應(yīng)的夾角。設(shè)張力T與斜面方向的夾角為θ，則

θ=（90°+ α）-β= 90°-（β-α）（1）對(duì)灰色三角形用正弦定理，有 ?Fsin? = Gsin?（2）

解（1）（2）兩式得：ΣF =

mg?sin?cos(???)

最后運(yùn)用牛頓第二定律即可求小球加速度（即小車加速度）答：sin?cos(???)g。

2、如圖6所示，光滑斜面傾角為θ，在水平地面上加速運(yùn)動(dòng)。斜面上用一條與斜面平行的細(xì)繩系一質(zhì)量為m的小球，當(dāng)斜面加速度為a時(shí)（a＜ctgθ），小球能夠保持相對(duì)斜面靜止。試求此時(shí)繩子的張力T。

解說(shuō)：當(dāng)力的個(gè)數(shù)較多，不能直接用平行四邊形尋求合力時(shí)，宜用正交分解處理受力，在對(duì)應(yīng)牛頓第二定律的“獨(dú)立作用性”列方程。

正交坐標(biāo)的選擇，視解題方便程度而定。解法一：先介紹一般的思路。沿加速度a方向建x軸，與a垂直的方向上建y軸，如圖7所示（N為斜面支持力）。于是可得兩方程

ΣFx = ma，即Tx － Nx = ma ΣFy = 0，即Ty + Ny = mg 代入方位角θ，以上兩式成為

T cosθ－N sinθ = ma

（1）T sinθ + Ncosθ = mg

（2）這是一個(gè)關(guān)于T和N的方程組，解（1）（2）兩式得：T = mgsinθ + ma cosθ

解法二：下面嘗試一下能否獨(dú)立地解張力T。將正交分解的坐標(biāo)選擇為：x——斜面方向，y——和斜面垂直的方向。這時(shí)，在分解受力時(shí)，只分解重力G就行了，但值得注意，加速度a不在任何一個(gè)坐標(biāo)軸上，是需要分解的。矢量分解后，如圖8所示。

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答：2g ；0。

三、牛頓第二、第三定律的應(yīng)用

要點(diǎn)：在動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中，如果遇到幾個(gè)研究對(duì)象時(shí)，就會(huì)面臨如何處理對(duì)象之間的力和對(duì)象與外界之間的力問(wèn)題，這時(shí)有必要引進(jìn)“系統(tǒng)”、“內(nèi)力”和“外力”等概念，并適時(shí)地運(yùn)用牛頓第三定律。

在方法的選擇方面，則有“隔離法”和“整體法”。前者是根本，后者有局限，也有難度，但常常使解題過(guò)程簡(jiǎn)化，使過(guò)程的物理意義更加明晰。

對(duì)N個(gè)對(duì)象，有N個(gè)隔離方程和一個(gè)（可能的）整體方程，這（N + 1）個(gè)方程中必有一個(gè)是通解方程，如何取舍，視解題方便程度而定。

補(bǔ)充：當(dāng)多個(gè)對(duì)象不具有共同的加速度時(shí)，一般來(lái)講，整體法不可用，但也有一種特殊的“整體方程”，可以不受這個(gè)局限（可以介紹推導(dǎo)過(guò)程）——

?????ΣF外= m1a1 + m2a2 + m3a3 + ? + mnan

?F其中Σ外只能是系統(tǒng)外力的矢量和，等式右邊也是矢量相加。

1、如圖12所示，光滑水平面上放著一個(gè)長(zhǎng)為L(zhǎng)的均質(zhì)直棒，現(xiàn)給棒一個(gè)沿棒方向的、大小為F的水平恒力作用，則棒中各部位的張力T隨圖中x的關(guān)系怎樣？

解說(shuō)：截取隔離對(duì)象，列整體方程和隔離方程（隔離右段較好）。

答案：N = FLx。

思考：如果水平面粗糙，結(jié)論又如何？

解：分兩種情況，（1）能拉動(dòng)；（2）不能拉動(dòng)。

第（1）情況的計(jì)算和原題基本相同，只是多了一個(gè)摩擦力的處理，結(jié)論的化簡(jiǎn)也麻煩一些。

第（2）情況可設(shè)棒的總質(zhì)量為M，和水平面的摩擦因素為μ，而F = μl＜L，則x＜(L-l)的右段沒(méi)有張力，x＞(L-l)的左端才有張力。

答：若棒仍能被拉動(dòng)，結(jié)論不變。

若棒不能被拉動(dòng)，且F = μ

lLlLMg，其中

Mg時(shí)（μ為棒與平面的摩擦因素，l為小于L的某一值，F(xiàn)lM為棒的總質(zhì)量），當(dāng)x＜(L-l)，N≡0 ；當(dāng)x＞(L-l)，N = ?x-?L-l??。

應(yīng)用：如圖13所示，在傾角為θ的固定斜面上，疊放著兩個(gè)長(zhǎng)方體滑塊，它們的質(zhì)量分別為m1和m2，它們之間的摩擦因素、和斜面的摩擦因素分別為μ1和μ2，系統(tǒng)釋放后能夠一起加速下滑，則它們之間的摩擦力大小為：

A、μ1 m1gcosθ ； B、μ2 m1gcosθ ； C、μ1 m2gcosθ ； D、μ1 m2gcosθ ； 解：略。答：B。（方向沿斜面向上。）

思考：（1）如果兩滑塊不是下滑，而是以初速度v0一起上沖，以上結(jié)論會(huì)變嗎？（2）如果斜面光滑，兩滑塊之間有沒(méi)有摩擦力？（3）如果將下面的滑塊換成如圖14所示的盒子，上面的滑塊換www.tmdps.cn

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四、特殊的連接體

當(dāng)系統(tǒng)中各個(gè)體的加速度不相等時(shí)，經(jīng)典的整體法不可用。如果各個(gè)體的加速度不在一條直線上，“新整體法”也將有一定的困難（矢量求和不易）。此時(shí)，我們回到隔離法，且要更加注意找各參量之間的聯(lián)系。

解題思想：抓某個(gè)方向上加速度關(guān)系。方法：“微元法”先看位移關(guān)系，再推加速度關(guān)系。、1、如圖18所示，一質(zhì)量為M、傾角為θ的光滑斜面，放置在光滑的水平面上，另一個(gè)質(zhì)量為m的滑塊從斜面頂端釋放，試求斜面的加速度。

解說(shuō)：本題涉及兩個(gè)物體，它們的加速度關(guān)系復(fù)雜，但在垂直斜面方向上，大小是相等的。對(duì)兩者列隔離方程時(shí)，務(wù)必在這個(gè)方向上進(jìn)行突破。

（學(xué)生活動(dòng)）定型判斷斜面的運(yùn)動(dòng)情況、滑塊的運(yùn)動(dòng)情況。位移矢量示意圖如圖19所示。根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，加速度矢量a1和a2也具有這樣的關(guān)系。

（學(xué)生活動(dòng)）這兩個(gè)加速度矢量有什么關(guān)系？

沿斜面方向、垂直斜面方向建x、y坐標(biāo)，可得： a1y = a2y ① 且：a1y = a2sinθ ② 隔離滑塊和斜面，受力圖如圖20所示。

對(duì)滑塊，列y方向隔離方程，有：

mgcosθ-N = ma1y ③ 對(duì)斜面，仍沿合加速度a2方向列方程，有：

Nsinθ= Ma2 ④

解①②③④式即可得a2。答案：a2 = msin?cos?M?msin2?g。

（學(xué)生活動(dòng)）思考：如何求a1的值？

解：a1y已可以通過(guò)解上面的方程組求出；a1x只要看滑塊的受力圖，列x方向的隔離方程即可，顯然有mgsinθ= ma1x，得:a1x = gsinθ。最后據(jù)a1 = a1x?a1y求a1。

答：a1 = gsin?M?msin222?M2?m(m?2M)sin2?。

2、如圖21所示，與水平面成θ角的AB棒上有一滑套C，可以無(wú)摩擦地在棒上滑動(dòng)，開(kāi)始時(shí)與棒的A端相距b，相對(duì)棒靜止。當(dāng)棒保持傾角θ不變地沿水平面勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為a（且a＞gtgθ）時(shí)，求滑套C從棒的A端滑出所經(jīng)歷的時(shí)間。

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例題選講針對(duì)“教材”第三章的部分例題和習(xí)題。

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第四篇：高中物理競(jìng)賽講座講稿：第三部分《曲線運(yùn)動(dòng) 萬(wàn)有引力》

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第三部分 曲線運(yùn)動(dòng) 萬(wàn)有引力

第一講 基本知識(shí)介紹

一、曲線運(yùn)動(dòng)

1、概念、性質(zhì)

2、參量特征

二、曲線運(yùn)動(dòng)的研究方法——運(yùn)動(dòng)的分解與合成

1、法則與對(duì)象

2、兩種分解的思路

a、固定坐標(biāo)分解（適用于勻變速曲線運(yùn)動(dòng)）

建立坐標(biāo)的一般模式——沿加速度方向和垂直加速度方向建直角坐標(biāo)；提高思想——根據(jù)解題需要建直角坐標(biāo)或非直角坐標(biāo)。

b、自然坐標(biāo)分解（適用于變加速曲線運(yùn)動(dòng)）

基本常識(shí)：在考查點(diǎn)沿軌跡建立切向τ、法向n坐標(biāo)，所有運(yùn)動(dòng)學(xué)矢量均沿這兩個(gè)方向分解。

??F??ma動(dòng)力學(xué)方程???Fn?ma?n，其中a?改變速度的大小（速率），an改變速度的方向。且an= mv2?，其中ρ表示軌跡在考查點(diǎn)的曲率半徑。定量解題一般只涉及法向動(dòng)力學(xué)方程。

三、兩種典型的曲線運(yùn)動(dòng)

1、拋體運(yùn)動(dòng)（類拋體運(yùn)動(dòng)）

關(guān)于拋體運(yùn)動(dòng)的分析，和新課教材“平跑運(yùn)動(dòng)”的分析基本相同。在坐標(biāo)的選擇方面，有靈活處理的余地。

2、圓周運(yùn)動(dòng)

勻速圓周運(yùn)動(dòng)的處理：運(yùn)動(dòng)學(xué)參量v、ω、n、a、f、T之間的關(guān)系，向心力的尋求于合成；臨界問(wèn)題的理解。

變速圓周運(yùn)動(dòng)：使用自然坐標(biāo)分析法，一般只考查法向方程。

四、萬(wàn)有引力定律

1、定律內(nèi)容

2、條件

a、基本條件

b、拓展條件：球體（密度呈球?qū)ΨQ分布）外部空間的拓展；球體（密度呈球?qū)ΨQ分布）內(nèi)部空間的拓展——“剝皮法則”

c、不規(guī)則物體間的萬(wàn)有引力計(jì)算——分割與矢量疊加

五、開(kāi)普勒三定律

天體運(yùn)動(dòng)的本來(lái)模式與近似模式的差距，近似處理的依據(jù)。

六、宇宙速度、天體運(yùn)動(dòng)

1、第一宇宙速度的常規(guī)求法

2、從能量角度求第二、第三宇宙速度

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v1x

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v1x）

Syvy =（v2 – v1cosθ）

dv1sin?

為求極值，令cosθ= p，則sinθ= 22222221?p22，再將上式兩邊平方、整理，得到

v1(Sx?d)p?2v1v2dp?dv2?Sxv1?0

2這是一個(gè)關(guān)于p的一元二次方程，要p有解，須滿足Δ≥0，即

4v1v2d≥4v1(Sx?d)(dv2?Sxv1)2242222222整理得 Sxv1≥d(v2?v1)所以，Sxmin=dv1222222v2?v1，代入Sx（θ）函數(shù)可知，此時(shí)cosθ= 22v1v2

最后，Smin= Sxmin?Sy=

2v2v1d 此過(guò)程仍然比較繁復(fù)，且數(shù)學(xué)味太濃。結(jié)論得出后，我們還不難發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題：當(dāng)v2＜v1時(shí)，Smin＜d，這顯然與事實(shí)不符。（造成這個(gè)局面的原因是：在以上的運(yùn)算過(guò)程中，方程兩邊的平方和開(kāi)方過(guò)程中必然出現(xiàn)了增根或遺根的現(xiàn)象）所以，此法給人一種玄乎的感覺(jué)。解法二：純物理解——矢量三角形的動(dòng)態(tài)分析

從圖2可知，Sy恒定，Sx越小，必有S合矢量與下游河岸的夾角越大，亦即v合矢量與下游河岸的夾角越大（但不得大于90°）。

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成與分解的問(wèn)題。

（學(xué)生活動(dòng)）如果v1恒定不變，v2會(huì)恒定嗎？若恒定，說(shuō)明理由；若變化，定性判斷變化趨勢(shì)。

結(jié)合學(xué)生的想法，介紹極限外推的思想：當(dāng)船離岸無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，繩與水的夾角趨于零，v2→v1。當(dāng)船比較靠岸時(shí)，可作圖比較船的移動(dòng)距離、繩子的縮短長(zhǎng)度，得到v2＞v1。故“船速增大”才是正確結(jié)論。

故只能引入瞬時(shí)方位角θ，看v1和v2的瞬時(shí)關(guān)系。

（學(xué)生活動(dòng)）v1和v2定量關(guān)系若何？是否可以考慮用運(yùn)動(dòng)的分解與合成的知識(shí)解答？ 針對(duì)如圖6所示的兩種典型方案，初步評(píng)說(shuō)——甲圖中v2 = v1cosθ，船越靠岸，θ越大，v2越小，和前面的定性結(jié)論沖突，必然是錯(cuò)誤的。

錯(cuò)誤的根源分析：和試驗(yàn)修訂本教材中“飛機(jī)起飛”的運(yùn)動(dòng)分析進(jìn)行了不恰當(dāng)?shù)芈?lián)系。仔細(xì)比較這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的差別，并聯(lián)系“小船渡河”的運(yùn)動(dòng)合成等事例，總結(jié)出這樣的規(guī)律—— 合運(yùn)動(dòng)是顯性的、軌跡實(shí)在的運(yùn)動(dòng)，分運(yùn)動(dòng)是隱性的、需要分析而具有人為特征（無(wú)唯一性）的運(yùn)動(dòng)。

解法一：在圖6（乙）中，當(dāng)我們挖掘、分析了滑輪繩子端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)后，不難得出：船的沿水面運(yùn)動(dòng)是v2合運(yùn)動(dòng)，端點(diǎn)參與繩子的縮短運(yùn)動(dòng)v1和隨繩子的轉(zhuǎn)動(dòng)v轉(zhuǎn)，從而肯定乙方案是正確的。

即：v2 = v1 / cosθ

解法二：微元法。從考查位置開(kāi)始取一個(gè)極短過(guò)程，將繩的運(yùn)動(dòng)和船的運(yùn)動(dòng)在圖7（甲）中標(biāo)示出來(lái)，AB是繩的初識(shí)位置，AC是繩的末位置，在AB上取AD=AC得D點(diǎn)，并連接CD。顯然，圖中BC是船的位移大小，DB是繩子的縮短長(zhǎng)度。由于過(guò)程極短，等腰三角形ACD的頂角∠A→0，則底角∠ACD→90°，△CDB趨于直角三角形。將此三角放大成圖7（乙），得出：S2 = S1 / cosθ。

鑒于過(guò)程極短，繩的縮短運(yùn)動(dòng)和船的運(yùn)動(dòng)都可以認(rèn)為是勻速的，即：S2 = v2 t，S1 = v1 t。

所以：v2 = v1 / cosθ

三、斜拋運(yùn)動(dòng)的最大射程

物理情形：不計(jì)空氣阻力，將小球斜向上拋出，初速度大小恒為v0，方向可以選擇，試求小球落回原高度的最大水平位移（射程）。

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下面先解脫離點(diǎn)的具體位置。設(shè)脫離點(diǎn)為D，對(duì)應(yīng)方位角為θ，如圖8所示。由于在D點(diǎn)之后繩子就要彎曲，則此時(shí)繩子的張力T為零，而此時(shí)仍然在作圓周運(yùn)動(dòng)，故動(dòng)力學(xué)方程仍滿足

Gn = Gsinθ= mv2r

①

在再針對(duì)A→D過(guò)程，小球機(jī)械能守恒，即（選A所在的平面為參考平面）：

122mv0+ 0 = mg(L + Lsinθ)+

12mv

2② D23代入v0值解①、②兩式得：θ= arcsin，（同時(shí)得到：vD =

23gL）小球脫離D點(diǎn)后將以vD為初速度作斜向上拋運(yùn)動(dòng)。它所能到達(dá)的最高點(diǎn)（相對(duì)A）可以用兩種方法求得。解法一：運(yùn)動(dòng)學(xué)途徑。

先求小球斜拋的最大高度，hm =

527(vDcos?)2g2 =

vD(1?sin2g22?)

代入θ和vD的值得：hm = L

5027小球相對(duì)A的總高度：Hm = L + Lsinθ+ hm = 解法二：能量途徑

L 小球在斜拋的最高點(diǎn)仍具有vD的水平分量，即vDsinθ= 程用機(jī)械能守恒定律（設(shè)A所在的平面為參考平面），有

122323gL。對(duì)A→最高點(diǎn)的過(guò)mv0+ 0 = 212m（vDsin?)+ mg Hm 50272容易得到：Hm = L

五、萬(wàn)有引力的計(jì)算

物理情形：如圖9所示，半徑為R的均質(zhì)球質(zhì)量為M，球心在O點(diǎn)，現(xiàn)在被內(nèi)切的挖去了一個(gè)半徑為R/2的球形空腔（球心在O′）。在O、O′的連線上距離O點(diǎn)為d的地方放有一個(gè)很小的、質(zhì)量為m的物體，試求這兩個(gè)物體之間的萬(wàn)有引力。

模型分析：無(wú)論是“基本條件”還是“拓展條件”，本模型都很難直接符合，因此必須使用一些特殊的處理方法。本模型除了照應(yīng)萬(wàn)有引力的拓展條件之外，著重www.tmdps.cn

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解以上三式可得：vA =

a?a?bb22GMa，vB =

a?a?bb22GMa

再針對(duì)地球從A到C的過(guò)程，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，有

12mv2+（－GAMma?c）=

122mvC+（－GMma）

代入vA值可解得：vC =

GMa

為求A、C兩點(diǎn)的曲率半徑，在A、C兩點(diǎn)建自然坐標(biāo)，然后應(yīng)用動(dòng)力學(xué)（法向）方程。在A點(diǎn)，F(xiàn)萬(wàn) = ΣFn = m an，設(shè)軌跡在A點(diǎn)的曲率半徑為ρA，即：G

Mm(a?c)2= m

vA?A2

代入vA值可解得：ρA =

b2a

在C點(diǎn)，方程復(fù)雜一些，須將萬(wàn)有引力在τ、n方向分解，如圖12所示。

然后，F(xiàn)萬(wàn)n =ΣFn = m an，即：F萬(wàn)cosθ= m

2vC?C2

即：GMma2·ba = m

vC?C

代入vC值可解得：ρC =

a2b

值得注意的是，如果針對(duì)A、C兩點(diǎn)用開(kāi)普勒第二定律，由于C點(diǎn)處的矢徑r和瞬時(shí)速度vC不垂直，方程不能寫作vA（a－c）= vC a。

正確的做法是：將vC分解出垂直于矢徑的分量（分解方式可參看圖12，但分解的平行四邊形未畫出）vC cosθ，再用vA（a－c）=（vC cosθ）a，化簡(jiǎn)之后的形式成為

vA（a－c）= vC b 要理解這個(gè)關(guān)系，有一定的難度，所以建議最好不要對(duì)A、C兩點(diǎn)用開(kāi)普勒第二定律

第三講 典型例題解析

教材范本：龔霞玲主編《奧林匹克物理思維訓(xùn)練教材》，知識(shí)出版社，2002年8月第一版。例題選講針對(duì)“教材”第五、第六章的部分例題和習(xí)題。

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第五篇：高中物理競(jìng)賽講座講稿：第五部分《振動(dòng)和波》

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第五部分 振動(dòng)和波

第一講 基本知識(shí)介紹

《振動(dòng)和波》的競(jìng)賽考綱和高考要求有很大的不同，必須做一些相對(duì)詳細(xì)的補(bǔ)充。

一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

1、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)定義：?F= －kx

①

凡是所受合力和位移滿足①式的質(zhì)點(diǎn)，均可稱之為諧振子，如彈簧振子、小角度單擺等。諧振子的加速度：a= －

2、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方程

回避高等數(shù)學(xué)工具，我們可以將簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)在某一條直線上的投影運(yùn)動(dòng)（以下均看在x方向的投影），圓周運(yùn)動(dòng)的半徑即為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅A。

依據(jù)：?Fx = －mωAcosθ= －mωx

對(duì)于一個(gè)給定的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，m、ω是恒定不變的，可以令：

mω = k

這樣，以上兩式就符合了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義式①。所以，x方向的位移、速度、加速度就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相關(guān)規(guī)律。從圖1不難得出——

?位移方程：x = Acos(ωt + φ)

②

速度方程：v = －ωAsin(ωt +φ)

③

?加速度方程：a= －ω2A cos(ωt +φ)

④ 相關(guān)名詞：(ωt +φ)稱相位，φ稱初相。

?2?運(yùn)動(dòng)學(xué)參量的相互關(guān)系：a= －ωx

A =

x0?(2???k?xm

?2

2?2?v0?)2

tgφ= －

v0?x0

3、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成

a、同方向、同頻率振動(dòng)合成。兩個(gè)振動(dòng)x1 = A1cos(ωt +φ1)和x2 = A2cos(ωt +φ2)合成，可令合振動(dòng)x = Acos(ωt +φ)，由于x = x1 + x2，解得

A = A1?A2?2A1A2cos(?2??1)22，φ= arctg

A1sin?1?A2sin?2A1cos?1?A2cos?2

顯然，當(dāng)φ2－φ1 = 2kπ時(shí)（k = 0，±1，±2，?），合振幅A最大，當(dāng)φ2－φ1 =（2k + 1）π時(shí)（k = 0，±1，±2，?），合振幅最小。b、方向垂直、同頻率振動(dòng)合成。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)垂直的振動(dòng)x = A1cos(ωt + φ1)和y = A2cos(ωt + φ2)時(shí)，這兩個(gè)振動(dòng)方程事實(shí)上已經(jīng)構(gòu)成了質(zhì)點(diǎn)在二維空間運(yùn)動(dòng)的軌跡參數(shù)方程，消去參數(shù)t后，得一般形式的軌跡方程為

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x?22π〕= Acos〔ω（t方程。

3、波的干涉

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值即可。如果v1的方向不是正對(duì)S，只要將v1出正對(duì)的分量即可。

b、只有波源相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)（如圖4所示）設(shè)波源以速度v2正對(duì)靜止的接收者運(yùn)動(dòng)。

如果波源S不動(dòng)，在單位時(shí)間內(nèi)，接收者在A點(diǎn)應(yīng)接收f(shuō)個(gè)波，故S到A的距離：SA= fλ

在單位時(shí)間內(nèi)，S運(yùn)動(dòng)至S′，即SS?= v2。由于波源的運(yùn)動(dòng)，事實(shí)造成了S到A的f個(gè)波被壓縮在了S′到A的空間里，波長(zhǎng)將變短，新的波長(zhǎng)

λ′= S?AfSA?SS?f= =

f??v2f=

v?v2f

而每個(gè)波在介質(zhì)中的傳播速度仍為v，故“被壓縮”的波（A接收到的波）的頻率變?yōu)?/p>

f2 = v??vv?v2= f

當(dāng)v2背離接收者，或有一定夾角的討論，類似a情形。

c、當(dāng)接收者和波源均相對(duì)傳播介質(zhì)運(yùn)動(dòng)

當(dāng)接收者正對(duì)波源以速度v1（相對(duì)介質(zhì)速度）運(yùn)動(dòng)，波源也正對(duì)接收者以速度v2（相對(duì)介質(zhì)速度）運(yùn)動(dòng)，我們的討論可以在b情形的過(guò)程上延續(xù)?

f3 = v?v1v f2 = v?v1v?v2f

關(guān)于速度方向改變的問(wèn)題，討論類似a情形。

6、聲波

a、樂(lè)音和噪音

b、聲音的三要素：音調(diào)、響度和音品 c、聲音的共鳴

第二講 重要模型與專題

一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的證明與周期計(jì)算

物理情形：如圖5所示，將一粗細(xì)均勻、兩邊開(kāi)口的U型管固定，其中裝有一定量的水銀，汞柱總長(zhǎng)為L(zhǎng)。當(dāng)水銀受到一個(gè)初始的擾動(dòng)后，開(kāi)始在管中振動(dòng)。忽略管壁對(duì)汞的阻力，試證明汞柱做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并求其周期。

模型分析：對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的證明，只要以汞柱為對(duì)象，看它的回復(fù)力與位移關(guān)系是否滿足定義式①，值得注意的是，回復(fù)力?F系指振動(dòng)方向上的合力（而非整體合力）。當(dāng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)被證明后，回復(fù)力系數(shù)k就有了，求周期就是順理成章的事。

本題中，可設(shè)汞柱兩端偏離平衡位置的瞬時(shí)位移為x、水銀密度為ρ、U型管橫截面積為S，則次瞬時(shí)的回復(fù)力

ΣF = ρg2xS = 2mgL?x

2mgL由于L、m為固定值，可令：諧運(yùn)動(dòng)。

= k，而且ΣF與x的方向相反，故汞柱做簡(jiǎn)www.tmdps.cn

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如，我們可以求出松鼠的運(yùn)動(dòng)周期為：T = 2π

二、典型的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

1、彈簧振子

mk = 2π

3L2g = 2.64s。

物理情形：如圖8所示，用彈性系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連著一個(gè)質(zhì)量為m的小球，置于傾角為θ的光滑斜面上。證明：小球在彈簧方向的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并求其周期T。

學(xué)生自己證明…。周期T = 2π

mk

模型分析：這個(gè)結(jié)論表明，彈簧振子完全可以突破放置的方向而伸展為一個(gè)廣義的概念，且伸展后不會(huì)改變運(yùn)動(dòng)的實(shí)質(zhì)。其次，我們還可以這樣拓展：把上面的下滑力換程任何一個(gè)恒力（如電場(chǎng)力），它的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)仍然不會(huì)改變。

當(dāng)然，這里的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)不變并不是所有運(yùn)動(dòng)參量均不改變。譬如，振子的平衡位置、振動(dòng)方程還是會(huì)改變的。下面我們看另一類型的拓展——

物理情形：如圖9所示，兩根相同的彈性系數(shù)分別為k1和k2的輕質(zhì)彈簧，連接一個(gè)質(zhì)量為m的滑塊，可以在光滑的水平面上滑動(dòng)。試求這個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)周期T。

解說(shuō)：這里涉及的是彈簧的串、并聯(lián)知識(shí)綜合。根據(jù)彈性系數(shù)的定義，不難推導(dǎo)出幾個(gè)彈性系數(shù)分別為k1、k2、?、kn的彈簧串、并聯(lián)后的彈性系數(shù)定式（設(shè)新彈簧系統(tǒng)的彈性系數(shù)為k）——

串聯(lián)：1k = ?i?1nn1kii

并聯(lián)：k = ?k

i?1在圖9所示的情形中，同學(xué)們不難得出：T = 2π

m(k1?k2)k1k2

當(dāng)情形變成圖10時(shí)，會(huì)不會(huì)和圖9一樣呢？詳細(xì)分析形變量和受力的關(guān)系，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，事實(shí)上，這時(shí)已經(jīng)變成了彈簧的并聯(lián)。

答案：T = 2πmk1?k2。

思考：如果兩個(gè)彈簧通過(guò)一個(gè)動(dòng)滑輪（不計(jì)質(zhì)量）再與質(zhì)量為m的鉤碼相連，如圖11所示，鉤碼在豎直方向上的振動(dòng)周期又是多少？

解：這是一個(gè)極容易出錯(cuò)的變換——因?yàn)閳D形的外表形狀很象“并聯(lián)”。但經(jīng)過(guò)仔細(xì)分析后，會(huì)發(fā)現(xiàn)，動(dòng)滑輪在這個(gè)物理情形中起到了重要的作用——致使這個(gè)變換的結(jié)果既不是串聯(lián)、也不是并聯(lián)。

★而且，我們前面已經(jīng)證明過(guò)，重力的存在并不會(huì)改變彈簧振子的振動(dòng)方程，所以為了方便起見(jiàn)，這里（包括后面一個(gè)“在思考”題）的受力分析沒(méi)有考慮重力。

具體分析如下：

設(shè)右邊彈簧的形變量為x2、滑輪（相對(duì)彈簧自由長(zhǎng)度時(shí)）的位移為x、鉤子上的拉力為www.tmdps.cn

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位置做最大擺角為θ的單擺運(yùn)動(dòng)，如果θ≤5°，則小球的擺動(dòng)周期為T = 2π

2Lg?a

22物理情形2：某秋千兩邊繩子不等長(zhǎng)，且懸點(diǎn)不等高，相關(guān)數(shù)據(jù)如圖14所示，且有a + b = L + L，試求它的周期（認(rèn)為人的體積足夠小）。2212模型分析：用C球替代人，它實(shí)際上是在繞AB軸擺動(dòng)，類似將單擺放置在光滑斜面上的情形。故視重加速度g視 = gcosθ= g

a2a?b2，等效擺長(zhǎng)l = CD，如圖15所示。

由于a + b = L + L可知，AC⊥CB，因此不難求出 221222CD= L1L2L1?L222，最后應(yīng)用單擺周期公式即可。

答案：T = 2πL1L2ag。

相關(guān)變換1：如圖16所示，質(zhì)量為M的車廂中用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩懸掛著一個(gè)質(zhì)量為m的小球，車輪與水平地面間的摩擦不計(jì)，試求這個(gè)系統(tǒng)做微小振動(dòng)的周期。

分析：我們知道，證明小角度單擺作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)用到了近似處理。在本題，也必須充分理解“小角度”的含義，大膽地應(yīng)用近似處理方法。

解法一：以車為參照，小球?qū)⑾鄬?duì)一個(gè)非慣性系作單擺運(yùn)動(dòng)，在一般方位角θ的受力如圖17所示，其中慣性力F = ma，且a為車子的加速度。由于球在垂直T方向振動(dòng)，故回復(fù)力

F回 = Gsinθ+ Fcosθ= mgsinθ+ macosθ ① *由于球作“微小”擺動(dòng)，其圓周運(yùn)動(dòng)效應(yīng)可以忽略，故有 T + Fsinθ≈ mgcosθ ② 再隔離車，有 Tsinθ= Ma ③ 解①②③式得 F回 =

m(m?M)gsin?M?msin2?

m(m?M)gsin?M*再由于球作“微小”擺動(dòng)，sinθ→0，所以 F回 = 令擺球的振動(dòng)位移為x，常規(guī)處理 sinθ≈解④⑤即得 F回 = 顯然，m(m?M)gMLm(m?M)gMLxL2

④

⑤

x = k是恒定的，所以小球作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。最后求周期用公式即可。

解法二：由于車和球的系統(tǒng)不受合外力，故系統(tǒng)質(zhì)心無(wú)加速度。小球可以看成是繞此質(zhì)心作單擺運(yùn)動(dòng)，而新擺長(zhǎng)L′會(huì)小于L。由于質(zhì)心是慣性參照系，故小球的受力、回復(fù)力的合成就很常規(guī)了。

若繩子在車內(nèi)的懸掛點(diǎn)在正中央，則質(zhì)心在水平方向上應(yīng)與小球相距x =

Mm?MLsinθ，www.tmdps.cn

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法。設(shè)相對(duì)振動(dòng)為y，有

y = y1 ? y2 = Acos(ωt + φ1)? Acos(ωt + φ2)

= ?2Asin?1??22?1??22sin(?t?)解說(shuō)：（1）光斑相對(duì)屏幕靜止不動(dòng)，即y = 0，得 φ1 = φ

2（2）要振幅為2A，必須sin答案：初位相相同；初位相相反。

相關(guān)變換：一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)垂直的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其表達(dá)式分別為x = 2cos(2ωt +2φ)，y = sinωt。（1）設(shè)φ =

?2?1??22 = 1，得φ1 ? φ2 = ±π

，求質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程，并在xOy平面繪出其曲線；（2）設(shè)φ = π，軌跡曲線又怎樣？

解：兩個(gè)振動(dòng)方程事實(shí)已經(jīng)構(gòu)成了質(zhì)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，我們所要做的，只不過(guò)是消掉參數(shù)，并尋求在兩個(gè)具體φ值下的特解。在實(shí)際操作時(shí)，將這兩項(xiàng)工作的次序顛倒會(huì)方便一些。

（1）當(dāng)φ = ?2時(shí)，x = ?2(1 ? 2sinωt)，即 x = 4y ? 2

22描圖時(shí)應(yīng)注意，振動(dòng)的物理意義體現(xiàn)在：函數(shù)的定義域 ?1 ≤ y ≤ 1(這事實(shí)上已經(jīng)決定了值域 ?2 ≤ x ≤ 2)（2）當(dāng)φ =π時(shí)，同理 x = 2(1 ? 2sinωt)= 2 ? 4y

答：軌跡方程分別為x = 4y2 ? 2和x = 2 ? 4y2，曲線分別如圖21的（a）（b）所示——

四、簡(jiǎn)諧波的基本計(jì)算 物理情形：一平面簡(jiǎn)諧波向?x方向傳播，振幅A = 6cm，圓頻率ω= 6πrad/s，當(dāng)t = 2.0s時(shí)，距原點(diǎn)O為12cm處的P點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)為yP = 3cm，且vP ＞ 0 ,而距原點(diǎn)22cm處的Q點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)為yQ = 0，且vQ ＜ 0。設(shè)波長(zhǎng)λ＞10cm，求振動(dòng)方程，并畫出t = 0時(shí)的波形圖。

解說(shuō)：這是一個(gè)對(duì)波動(dòng)方程進(jìn)行了解的基本訓(xùn)練題。簡(jiǎn)諧波方程的一般形式已經(jīng)總結(jié)得出，在知道A、ω的前提下，加上本題給出的兩個(gè)特解，應(yīng)該足以解出v和φ值。

由一般的波動(dòng)方程y = Acos〔ω（t高考資源網(wǎng)（ks5u.com）

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參照簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移方程和速度方程的關(guān)系，可以得出上面波動(dòng)方程所對(duì)應(yīng)質(zhì)點(diǎn)的速度（復(fù)變函數(shù)）

v = ?ωAsin〔ω（t即 6π（2

?312v）+ φ〕＞ 0）+ φ = 2k1π即 6π（2

?222v）+ φ〕＜ 0）+ φ = 2k2π + ②

又由于 AB = 22 ? 12 = 10 ＜λ，故k1 = k2。解①②兩式易得 v = ?72cm/s，φ=

2?3（或?

4?3）

x72所以波動(dòng)方程為：y = 6cos〔6π（t + 當(dāng)t = 0時(shí)，y = 6cos（?12）+

2?3〕，且波長(zhǎng)λ= v

2?? = 24cm。

x + 2?3），可以描出y-x圖象為——

答案：波動(dòng)方程為y = 6cos〔6π（t + x72）+ 2?3〕，t = 0時(shí)的波形圖如圖22所示。

相關(guān)變換：同一媒質(zhì)中有甲、乙兩列平面簡(jiǎn)諧波，波源作同頻率、同方向、同振幅的振動(dòng)。兩波相向傳播，波長(zhǎng)為8m，波傳播方向上A、B兩點(diǎn)相距20m，甲波在A處為波峰時(shí)，乙波在B處位相為?因干涉而靜止的各點(diǎn)的位置。

解：因?yàn)椴恢兰住⒁覂刹ㄔ吹奈恢茫O(shè)它們分別在S1和S2兩點(diǎn)，距A、B分別為a和b，如圖23所示。

它們?cè)贏、B之間P點(diǎn)（坐標(biāo)為x）形成的振動(dòng)分別為——

y甲 = Acosω（t高考資源網(wǎng)（ks5u.com）

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當(dāng)甲波在A處（x = 0）為波峰時(shí)，有 ωt = 此時(shí)，乙波在B處（x = 20）的位相為?結(jié)合①②兩式，得到 b ? a = 2 所以，甲波在任意坐標(biāo)x處的位相 θ乙波則為θ = ωt ?

?4甲

a?4 ①

b?4?2，有 ωt ? = ?

?2 ②

= ωt ?

?4（a + x）

乙

（22 + a ? x）

甲兩列波因干涉而靜止點(diǎn)，必然滿足θ ?θ

乙

=（2k