第一篇：高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))教案17 不定積分的概念和性質(zhì)

第4章 不定積分

不定積分的概念和性質(zhì)

【教學(xué)目的】：

1.理解原函數(shù)的概念；

2.理解不定積分的定義，及幾何意義； 3.掌握不定積分的基本公式和性質(zhì)； 4.會(huì)用直接積分法計(jì)算不定積分。

【教學(xué)重點(diǎn)】： 1.原函數(shù)的概念；

2.不定積分的概念及幾何意義； 3.不定積分的基本公式和性質(zhì)。

【教學(xué)難點(diǎn)】： 1.基本積分公式；

2.用直接積分法計(jì)算不定積分。

【教學(xué)時(shí)數(shù)】：2學(xué)時(shí) 【教學(xué)過程】：

4.1.1原函數(shù)與不定積分

定義1 如果在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)，即F'(x)?f(x)或dF(x)?f(x)dx（x?I），那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù)．

如果f(x)有一個(gè)原函數(shù)，那么f(x)就有無窮多個(gè)原函數(shù)．

設(shè)?(x)是f(x)的另一個(gè)原函數(shù)，則任意的x?I，有??(x)?f(x)．于是

??(x)?F(x)?????(x)?F?(x)?f(x)?f(x)?0所以?(x)?F(x)?C0(C0為某個(gè)常數(shù))這表明?(x)與F(x)只差一個(gè)常數(shù)．因此當(dāng)C為任意常數(shù)時(shí)，表達(dá)式F(x)?C 就可以表示f(x)的全體原函數(shù)，也就是說，f(x)的全體原函數(shù)所組成的集合，即函數(shù)族?F(x)?C|C?R?．

定義2 如果F(x)是f(x)在某區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，那么F(x)?C（C為任意常數(shù)）稱為f(x)在該區(qū)間上的不定積分．即?f(x)dx=F(x)?C．其中符號(hào)?稱為積分號(hào)，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量． 由上面的討論可知，若F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，那么?f(x)dx=F(x)?C（C為任意常數(shù)）．因此，求函數(shù)f(x)的不定積分，只需求出被積函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)再加上積分常數(shù)C，求不定積分的方法稱為積分法．

從不定積分的定義，即可知不定積分與微分(求導(dǎo))互為逆運(yùn)算：

由于?f(x)dx是f(x)的原函數(shù)，所以[?f(x)dx]'?f(x)或d?f(x)dx?f(x)dx． 又由于F(x)是F'(x)的原函數(shù)，所以?F'(x)dx?F(x)?C或?dF(x)?F(x)?C．

由此可見微分運(yùn)算(以記號(hào)d表示)與求不定積分的運(yùn)算(簡(jiǎn)稱積分運(yùn)算以記號(hào)?表示)是互逆的，記號(hào)?與d一起時(shí)或者抵消，或者抵消后差一常數(shù)．

1例3 求?dx．

x解 當(dāng)x?0時(shí)，由于(lnx)'?11，所以lnx是在(0,??)內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，xx1因此在(0,??)內(nèi)，有 ?dx?lnx?C．

x111?(?1)?，所以ln(?x)是在(??,0)內(nèi)的一當(dāng)x?0時(shí)，由于[ln(?x)]'?x?xx1個(gè)原函數(shù)，因此在(??,0)內(nèi) ?dx?ln(?x)?C．

x1把以上結(jié)果綜合起來，得 ?dx?ln|x|?C．

x4.1.2不定積分的幾何意義

因?yàn)椴欢ǚe分?f(x)dx=F(x)?C是f(x)的原函數(shù)的一般表達(dá)式，所以它對(duì)應(yīng)的圖形是一族積分曲線，稱它為積分曲線族．

積分曲線族F(x)?C有如下特點(diǎn)：

（1）積分曲線族中任意一條積分曲線都可以由曲線y?F(x)沿y軸方向上、下平移得到；

（2）由于[F(x)?C]??F?(x)?f(x)，即橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處，所有曲線的切線都是互相平行的．

4.1.3基本積分公式表

（1）?kdx?kx?C（k為常數(shù)）；（2）?xdx??1x??1?C； ??111xa?C，?exdx?ex?C；（3）?dx?ln|x|?C；（4）?axdx?xlna（5）?cosxdx?sinx?C；（6）?sinxdx??cosx?C；（7）?112dx??csc2xdx??cotx?C；dx?secxdx?tanx?C；（8）22??sinxcosx（9）?11?x2dx?arcsinx?C；（10）?1dx?arctanx?C； 21?x（11）?cscxcotxdx??cscx?C；（12）?secxtanxdx?secx?C．

4.1.4不定積分的性質(zhì)

性質(zhì)1 設(shè)函數(shù)f(x)及g(x)的原函數(shù)存在，則

?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx．

性質(zhì)

2設(shè)函數(shù)f(x)的原函數(shù)存在，k為非零常數(shù)，則?kf(x)dx?k?f(x)dx．

例6 求?(x3?3x?ex?e3)dx．

解 ?(x3?3x?ex?e3)dx??x3dx??3xdx??exdx??e3dx ?141xx?3?ex?e3x?C． 4ln3注意到被積函數(shù)中x3是冪函數(shù)，3x和ex是指數(shù)函數(shù)，而e3是常數(shù)，它們的積分公式是不同的．

【教學(xué)小節(jié)】：

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，理解原函數(shù)、不定積分的概念及幾何意義，熟記基本積分公式，掌握不定積分性質(zhì)并學(xué)會(huì)使用直接積分法計(jì)算不定積分。

【課后作業(yè)】：

無

第二篇：不定積分教案

高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

教學(xué)目的：

第四章

不定積分

1、理解原函數(shù)概念、不定積分的概念。

2、掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的性質(zhì)，掌握換元積分法（第一，第二）與分部積分法。

3、會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分。教學(xué)重點(diǎn)：

1、不定積分的概念；

2、不定積分的性質(zhì)及基本公式；

3、換元積分法與分部積分法。教學(xué)難點(diǎn)：

1、換元積分法；

2、分部積分法；

3、三角函數(shù)有理式的積分。§4? 1 不定積分的概念與性質(zhì)

一、原函數(shù)與不定積分的概念

定義

1如果在區(qū)間I上? 可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)? 即對(duì)任一x?I? 都有

F ?(x)?f(x)或dF(x)?f(x)dx?

那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù)?

例如 因?yàn)?sin x)??cos x ? 所以sin x 是cos x 的原函數(shù)?

又如當(dāng)x ?(1? ??)時(shí)?

因?yàn)?x)??1? 所以x是1的原函數(shù)?

2x2x

提問:

cos x和1還有其它原函數(shù)嗎？

2x

原函數(shù)存在定理

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)? 那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)? 使對(duì)任一x ?I 都有

F ?(x)?f(x)?

簡(jiǎn)單地說就是? 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)?

兩點(diǎn)說明?

第一? 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)F(x)? 那么f(x)就有無限多個(gè)原函數(shù)? F(x)?C都是f(x)的原函數(shù)? 其中C是任意常數(shù)?

第二? f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)之間只差一個(gè)常數(shù)? 即如果?(x)和F(x)都是f(x)的原函數(shù)? 則 ?(x)?F(x)?C

(C為某個(gè)常數(shù))?

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組1 高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

定義2 在區(qū)間I上? 函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的不定積分? 記作

?f(x)dx?

其中記號(hào)?稱為積分號(hào)? f(x)稱為被積函數(shù)? f(x)dx稱為被積表達(dá)式? x 稱為積分變量?

根據(jù)定義? 如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)? 那么F(x)?C就是f(x)的不定積分? 即

?f(x)dx?F(x)?C?

因而不定積分?f(x)dx可以表示f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)?

例1??因?yàn)閟in x 是cos x 的原函數(shù)???所以

?cosxdx?sinx?C?

因?yàn)閤是1的原函數(shù)???所以

2x

例2.求函數(shù)f(x)?1的不定積分?

x 解：當(dāng)x>0時(shí)???(ln x)??1??

x

?1 dx?lnx?C(x>0)??

x

當(dāng)x<0時(shí)???[ln(?x)]??1?(?1)?1??

?xx

?1 dx?ln(?x)?C(x<0)??

x 合并上面兩式???得到

?1 dx?ln|x|?C(x?0)??

x

例3 設(shè)曲線通過點(diǎn)(1? 2)? 且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍? 求此曲線的方程?

解 設(shè)所求的曲線方程為y?f(x)? 按題設(shè)? 曲線上任一點(diǎn)(x? y)處的切線斜率為y??f ?(x)?2x, ，即f(x)是2x 的一個(gè)原函數(shù)?

因?yàn)?/p>

?2xdx?x2?C?

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組2 ?21dx?x?C? x高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

故必有某個(gè)常數(shù)C使f(x)?x 2?C? 即曲線方程為y?x 2?C?

因所求曲線通過點(diǎn)(1? 2)? 故

2?1?C?

C?1?

于是所求曲線方程為y?x2?1?

積分曲線? 函數(shù)f(x)的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線?

從不定積分的定義? 即可知下述關(guān)系?

d[?f(x)dx]?f(x)?

dx或

d[?f(x)dx]?f(x)dx?

又由于F(x)是F ?(x)的原函數(shù)? 所以

?F?(x)dx?F(x)?C?

或記作

?dF(x)?F(x)?C?

由此可見? 微分運(yùn)算（以記號(hào)d表示）與求不定積分的運(yùn)算（簡(jiǎn)稱積分運(yùn)算? 以記號(hào)?表示）是互逆的? 當(dāng)記號(hào)?與d 連在一起時(shí)? 或者抵消? 或者抵消后差一個(gè)常數(shù)?

二、基本積分表(1)?kdx?kx?C(k是常數(shù))?

(2)?x?dx?1x??1?C?

??1(3)?1dx?ln|x|?C?

x(4)?exdx?ex?C?

x(5)?axdx?a?C?

lna(6)?cosxdx?sinx?C?

(7)?sinxdx??cosx?C?

(8)?(9)?1dx?sec2xdx?tanx?C? ?cos2x1dx?csc2xdx??cotx?C?

?sin2x高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組3 高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

(10)?12dx?arctanx?C?

1?x(11)?1dx?arcsinx?C?

1?x2(12)?secxtanxdx?secx?C?

(13)?cscxcotdx??cscx?C?

(14)?sh x dx?ch x?C?

(15)?ch x dx?sh x?C?

例4

例5 ?x3dx??x?3dx??3?1x?3?1?C??2x2?C?

?x2111xdx??5x2dx7?1122?x?C?x2?C?2x3x?C? 5?17725??

例6 ?dxx3x?4x3dx??4?1x3?4?13?C?1??3x3?C??33?C?

x

三、不定積分的性質(zhì)

性質(zhì)1 函數(shù)的和的不定積分等各個(gè)函數(shù)的不定積分的和? 即

?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx?

這是因?yàn)? [?f(x)dx??g(x)dx]??[?f(x)dx]??[?g(x)dx]??f(x)?g(x).性質(zhì)2 求不定積分時(shí)? 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來? 即

?kf(x)dx?k?f(x)dx(k是常數(shù)? k ?0)?

例7.?x(x?5)dx??5x2dx?725(x21?5x2)dx 5x2dx?51x2dx ???15x2dx3???22 ?x2?5?x2?C?

7332(x?1)3x?3x?3x?1dx?(x?3?3?1)dx 例8 ?dx???22xx2xx ??xdx?3?dx?3?1dx??12dx?1x2?3x?3ln|x|?1?C?

x2xx高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組4 高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

例9 ?(ex?3cosx)dx??exdx?3?cosxdx?ex?3sinx?C?

xx(2e)x?C?2e?C?

例10 ?2edx??(2e)dx?ln(2e)1?ln2xxx1?x?x2dx?x?(1?x2)dx?(1?1)dx 例11 ??x(1?x2)?1?x2x

x(1?x2)??12dx??1dx?arctanx?ln|x|?C?

x1?x44(x2?1)(x2?1)?1xx?1?1 例12 ?dx??dx??dx

1?x21?x21?x2 ??(x2?1?12)dx??x2dx??dx??12dx

1?x1?x ?1x3?x?arctanx?C? 例13 ?tan2xdx??(sec2x?1)dx??sec2xdx??dx

? tan x ? x ? C ?

例14 ?sin2x dx??1?cosxdx?1?(1?cosx)dx

222 ? 例15 1(x?sinx)?C?

2?1dx?4?12dx??4cotx?C?

sinxsin2xcos2x22

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組5 高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

§4? 2 換元積分法

一、第一類換元法

設(shè)f(u)有原函數(shù)F(u)?

u??(x)? 且?(x)可微? 那么? 根據(jù)復(fù)合函數(shù)微分法? 有 d F[?(x)]?d F(u)?F ?(u)d u? F? [?(x)] d?(x)? F ?[?(x)]??(x)d x ? 所以

F ?[?(x)]??(x)dx? F ?[?(x)] d?(x)? F ?(u)d u? d F(u)?d F[?(x)]?

因此

?F?[?(x)]??(x)dx??F?[?(x)]d?(x)

??F?(u)du??dF(u)??dF[?(x)]?F[?(x)]?C? 即

?f[?(x)]??(x)dx??f[?(x)]d?(x)?[?f(u)du]u??(x)

?[F(u)?C] u ? ?(x)? F[?(x)]?C?

定理

1設(shè)f(u)具有原函數(shù)? u??(x)可導(dǎo)? 則有換元公式

?f[?(x)]??(x)dx??f[?(x)]d?(x)??f(u)du?F(u)?C?F[?(x)]?C ?

被積表達(dá)式中的dx 可當(dāng)作變量x的微分來對(duì)待? 從而微分等式??(x)dx ?du可以應(yīng)用到被積表達(dá)式中?

在求積分?g(x)dx時(shí)? 如果函數(shù)g(x)可以化為g(x)? f[?(x)]??(x)的形式? 那么

?g(x)dx??f[?(x)]??(x)dx?[?f(u)du]u??(x)?

例1.?2cos2xdx??cos2x?(2x)?dx??cos2xd(2x)

??cosudu?sinu?C?sin 2x?C ?

例2.?3?2xdx?2?3?2x(3?2x)?dx?2?3?2xd(3?2x)11111

?1?1dx?1ln|u|?C?1ln|3?2x|?C?

2u22 例3.?2xexdx??ex(x2)?dx??exd(x2)??eudu

?eu?C?ex?C?

例4.?x1?x2dx?1?1?x2(x2)?dx?1?1?x2dx2 2??1?1?x2d(1?x2)??1?u2du??1u2?C

22??1(1?x2)2?C?

3高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組6 3132222高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

例5.?tanxdx??sinxdx???1dcosx

cosxcosx

???1du??ln|u|?C u

??????ln|cos x|?C ?

即

?tanxdx??ln|coxs|?C?

類似地可得?cotxdx?ln|sinx|?C?

熟練之后? 變量代換就不必再寫出了?

例6.?a2?x2dx?a2?111dx

1?(x)2a

?1?1dx?1arctanx?C?

a1?(x)2aaaa 即 n?C? ?a2?x2dx?aarctaa11x 例7.?chxdx?a?chxdx?a shx?C?

aaaa 例8.當(dāng)a?0時(shí)，1dx?111xndx??dx?arcsi?C?

?aaaxxa2?x2221?()1?()aa?

即 ?xn1dx?arcsi?C?

22aa?x 例9.?x2?a2dx?2a?(x?a?x?a)dx?2a[?x?adx??x?adx] 1111111

?1[?1d(x?a)??1d(x?a)]

2ax?ax?a

?1[ln|x?a|?ln|x?a|]?C?1ln|x?a|?C?

2a2ax?a 即 ?x2?a2dx?2aln|x?a|?C? 11x?a 例10.?x(1?2lnx)??1?2lnx?2?dxdlnx1d(1?2lnx)

1?2lnx

?1ln|1?2lnx|?C?

2高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組7 高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

3x 例11.?edx?2?e3xdx?2?e3xd3x

3x

?2e3x?C?

3含三角函數(shù)的積分?

例12.?sin3xdx??sin2x?sinxdx???(1?cos2x)dcosx

???dcosx??cos2xdcosx??cosx?1cos3x?C? 例13.?sin2xcos5xdx??sin2xcos4xdsinx

??sin2x(1?sin2x)2dsinx

??(sin2x?2sin4x?sin6x)dsinx

?1sin3x?2sin5x?1sin7x?C???357 例14.?cos2xdx??1?cos2xdx?1(?dx??cos2xdx)

?1?dx?1?cos2xd2x?1x?1sin2x?C?

2424 例15.?cos4xdx??(cos2x)2dx??[1(1?cos2x)]2dx ?1?(1?2cos2x?cos22x)dx ?1?(3?2cos2x?1cos4x)dx

422

?1(3x?sin2x?1sin4x)?C 428

?3x?1sin2x?1sin4x?C?

8432 例16.?cos3xcos2xdx?1?(cosx?cos5x)dx

?1sinx?1sin5x?C?

2101 例17.?cscxdx??1dx??dx

xxsinx2sincos22高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組8 高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

dxdtanx22?ln|tanx|?C?ln |csc x ?cot x |?C ?

??

??2tanxcos2xtanx222 即

?csc?ln |csc x ?cot x |?C ? xdx 例18.?secxdx??csc(x??)dx?ln|csc(x? ?)?cot(x? ?)|?C

222

?ln |sec x ? tan x | ? C?

即

?sec?ln |sec x ? tan x | ? C? xdx

二、第二類換元法

定理2 設(shè)x ??(t)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)? 并且??(t)?0? 又設(shè)f [?(t)]??(t)具有原函數(shù)F(t)? 則有換元公式

?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt?F(t)?F[??1(x)]?C?

其中t????(x)是x??(t)的反函數(shù)?

這是因?yàn)?/p>

{F[??1(x)]}??F?(t)dt?f[?(t)]??(t)1?f[?(t)]?f(x)?

dxdxdt 例19.求?a2?x2dx(a>0)?

解: 設(shè)x?a sin t ? ? ??t? ?? 那么a2?x2?a2?a2sin2t?acost?

22dx ?a cos t d t ? 于是

?a2?x2dx??acost?acostdt

?a2?cos2tdt?a2(1t?1sin2t)?C?

2422x因?yàn)閠?arcsin, sin2t?2sintcost?2x?a?x? 所以

aaa?2a11a?xdx?a(t?sin2t)?C?arcsinx?1xa2?x2?C?

242a2222

解: 設(shè)x?a sin t ? ? ??t? ?? 那么

22高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組9 高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

?a2?x2dx??acost?acostdt ?a2?cos2tdt?a2(1t?1sin2t)?C?aarcsinx?1xa2?x2?C?

242a2提示:a2?x2?a2?a2sin2t?acost? dx?acos tdt ?

22提示: t?arcsinx, sin2t?2sintcost?2x?a?x?

aaa

例20.求?dx(a>0)?

x2?a

2解法一? 設(shè)x?a tan t? ? ??t? ?? 那么

22x2?a2?a2?a2tan2t?a1?tan2t?a sec t ? dx?a sec 2t d t ? 于是

?2asectdt?sectdt? ln |sec t ? tan t |?C ?

dx???asectx2?a222因?yàn)閟ect?x?a? tant?x? 所以

aa?dx? ln |sec t ? tan t |?C?ln(x?x2?a2)?C?ln(x?x2?a2)?C?

1aax2?a2其中C 1?C?ln a ?

解法一? 設(shè)x?a tan t? ? ??t? ?? 那么

?dx?asec2tdt?sectdt?ln|sect?tant|?C

?asect?x2?a222xx?a

?ln(?)?C?ln(x?x2?a2)?C1?

aa其中C 1?C?ln a ?

提示:x2?a2?a2?a2tan2t?asect ? dx?a sec 2t dt ?

22提示:sect?x?a? tant?x?

aa

解法二: 設(shè)x?a sh t ? 那么

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組10 高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

?dx??ach tdt??dt?t?C?arshx?C

ach tax2?a2??

?ln?x?(x)2?1??C?ln(x?x2?a2)?C1?

a?a?其中C 1?C?ln a ?

提示: x2?a2?a2sh2t?a2?a ch t ? dx ?a ch t d t ?

例23.求?dx(a>0)?

x2?a2

解: 當(dāng)x>a 時(shí)? 設(shè)x?a sec t(0?t? ?)? 那么

2x2?a2?a2sec2t?a2?asec2t?1?a tan t ?

于是

?dx??asecttantdt??sectdt? ln |sec t ? tan t |?C ?

atantx2?a222因?yàn)閠ant?x?a? sect?x? 所以

aa?dx? ln |sec t ? tan t |?C ?ln|x?x2?a2|?C?ln(x?x2?a2)?C?

1aax2?a2其中C 1?C?ln a ?

當(dāng)xa? 于是

?dx???du??ln(u?u2?a2)?C x2?a2u2?a2

??ln(?x?x2?a2)?C?ln(?x?x2?a2)?C1?

22?x?x?a?ln?C?ln(?x?x2?a2)?C1?

2a其中C 1?C?2ln a ?

綜合起來有

?

dx?ln|x?x2?a2|?C? 22x?a

解: 當(dāng)x>a 時(shí)? 設(shè)x?a sec t(0?t? ?)? 那么

2高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組11 高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

?dx??asecttantdt??sectd t 22atantx?a22

?ln|setc?tant|?C?lnx(?x?a)?C

aa

?lnx(?x2?a2)?C?

其中C 1?C?ln a ?

當(dāng)xa? 于是

?dx???du??ln(u?u2?a2)?C x2?a2u2?a22222?x?x?a

??ln(?x?x?a)?C?ln?C

a2

?ln(?x?x2?a2)?C1?

其中C 1?C?2ln a ?

提示:x2?a2?a2sec2t?a2?asec2t?1?atant ?

22xx?a提示:tant?? sect??

aa

綜合起來有

dx?ln|x?x2?a2|?C? x2?a2

補(bǔ)充公式?

?(16)?tanxdx??ln|cosx|?C? ?????cotxdx?ln|sinx|?C?(18)?secxdx?ln|secx?tanx|?C?(19)?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C?(20)?(21)?(22)?(23)?1dx?1arctanx?C?

aaa?x221dx?1ln|x?a|?C?2ax?ax?a221dx?arcsinx?C?

aa2?x2

dx?ln(x?x2?a2)?C?

x2?a2高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組12 高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

(24)? dx?ln|x?x2?a2|?C?

x2?a2

§4? 3 分部積分法

設(shè)函數(shù)u?u(x)及v?v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 那么? 兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為

(uv)??u?v?uv??

移項(xiàng)得

uv??(uv)??u?v?

對(duì)這個(gè)等式兩邊求不定積分? 得

?uv?dx?uv??u?vdx??或?udv?uv??vdu? 這個(gè)公式稱為分部積分公式?

分部積分過程: ?uv?dx??udv?uv??vdu?uv??u?vdx? ? ? ??

例1 ?xcosxdx??xdsinx?xsinx??sinxdx?x sin x?cos x?C ?

例2 ?xexdx??xdex?xex??exdx?xex?ex?C?

例3 ?x2exdx??x2dex?x2ex??exdx2

?x2ex?2?xexdx?x2ex?2?xdex?x2ex?2xex?2?exdx

?x2ex?2xex?2ex?C ?ex(x2?2x?2)?C?

例4 ?xlnxdx?1?lnxdx2?1x2lnx?1?x2?1dx

222x??????????????????????????1x2lnx?1?xdx?1x2lnx?1x2?C?

2224 例5 ?arccosxdx?xarccosx??xdarccosx

?xarccosx??x1dx

1?x21?

?xarccosx?1?(1?x2)2d(1?x2)?xarccosx?1?x2?C? 例6 ?xarctanxdx?1?arctanxdx2?1x2arctanx?1?x2?12dx

2221?x

?1x2arctanx?1?(1?12)dx

221?x高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組13 高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

?1x2arctanx?1x?1arctanx?C?

222 例7 求?exsinxdx?

解 因?yàn)?exsinxdx??sinxdex?exsinx??exdsinx

?exsinx??excosxdx?exsinx??cosxdex

?exsinx?excosx??exdcosx

?exsinx?excosx??exdcosx

?exsinx?excosx??exsinxdx?

所以

?exsinxdx?1ex(sinx?cosx)?C?

例8 求?sec3xdx?

解 因?yàn)?/p>

?sec3xdx??secx?sec2xdx??secxdtanx

?secxtanx??secxtan2xdx

?secxtanx??secx(sec2x?1)dx

?secxtanx??sec3xdx??secxdx

?secxtanx?ln|secx?tanx|??sec3xdx?

所以

?se3cxdx?1(secxtanx?ln|secx?tanx|)?C? 例9 求In??dx? 其中n為正整數(shù)?(x2?a2)n 解 I1??2dx2?1arctanx?C?

ax?aa

當(dāng)n?1時(shí)，用分部積分法? 有

dxxx2dx ??2(n?1)?(x2?a2)n?1(x2?a2)n?1?(x2?a2)n高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組14 高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

x1a2]dx? ?2(n?1)[??(x2?a2)n?1(x2?a2)n(x2?a2)n?1x即 In?1?2?2(n?1)(In?1?a2In)? 2n?1(x?a)

?于是?? In?1[2x2n?1?(2n?3)In?1]? 2a(n?1)(x?a)2以此作為遞推公式? 并由I1? 例10 求?exdx? 1xarctan?C即可得In? aa 解 令x ?t 2 ? 則 ? dx?2tdt? 于

?exdx?2?tetdt?2et(t?1)?C?2ex(x?1)?C?

?exdx??exd(x)2?2?xexdx

?2?xdex?2xex?2?exdx

?2xex?2ex?C?2ex(x?1)?C??

第一換元法與分部積分法的比較: 共同點(diǎn)是第一步都是湊微分

?f[?(x)]??(x)dx??f[?(x)]d?(x)令?(x)?u?f(u)du?

?u(x)v?(x)dx??u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(x)du(x)? 哪些積分可以用分部積分法？

?xcosxdx???xexdx???x2exdx? ?xlnxdx? ?arccosxdx? ?xarctanxdx? ?exsinxdx? ?sec3xdx?

?2xexdx??exdx2??eudu? ? ? ? ???x2exdx??x2dex?x2ex??exdx2? ? ? ? ?

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組15 22高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

§4? 幾種特殊類型函數(shù)的積分

一、有理函數(shù)的積分

有理函數(shù)的形式?

有理函數(shù)是指由兩個(gè)多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù)? 即具有如下形式的函數(shù):

P(x)a0xn?a1xn?1?????an?1x?an?

? Q(x)b0xm?b1xm?1?????bm?1x?bm其中m和n都是非負(fù)整數(shù)??a0? a1? a2? ? ? ? ? an及b0? b1? b2? ? ? ? ? bm都是實(shí)數(shù)?

并且a0?0? b0?0? 當(dāng)n?m時(shí)? 稱這有理函數(shù)是真分式? 而當(dāng)n?m時(shí)? 稱這有理函數(shù)是假分式?

假分式總可以化成一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分式之和的形式? 例如

x3?x?1?x(x2?1)?1?x?1?

x2?1x2?1x2?

1真分式的不定積分?

求真分式的不定積分時(shí)? 如果分母可因式分解? 則先因式分解? 然后化成部分分式再積分?

例1 求? 解 x?3dx?

x2?5x?6?x2?5x?6dx??(x?2)(x?3)dx??(x?3?x?2)dx x?3x?36 ??6dx??5dx?6ln|x?3|?5ln|x?2|?C?

x?3x?2提示?(A?B)x?(?2A?3B)x?3?

?A?B?(x?2)(x?3)x?3x?2(x?2)(x?3)A?B?1? ?3A?2B?3? A?6? B??5?

分母是二次質(zhì)因式的真分式的不定積分?

例2 求? 解 x?2dx?

x?2x?32?x2?2x?3dx??(2x2?2x?3?3x2?2x?3)dx x?212x?21dx

?1?22x?2dx?3?212x?2x?3x?2x?3d(x2?2x?3)d(x?1)1?3?

??2 2x?2x?3(x?1)2?(2)?1ln(x2?2x?3)?3arctanx?1?C?

2221(2x?2)?3提示? 2x?2?22?

?1?2x?2?3?21x?2x?3x?2x?32x?2x?3x?2x?3 例3 求?1dx?

x(x?1)2高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組16 高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

解 ?x(x?1)2dx??[x?x?1?(x?1)2]dx 1111

??1dx??1dx??12dx?ln|x|?ln|x?1|?1?C?

x?1xx?1(x?1)

提示? 1?1?x?x??1?1

x(x?1)(x?1)2x(x?1)2x(x?1)2??1?x?x?12?1?1?12?

x(x?1)(x?1)xx?1(x?1)

二、三角函數(shù)有理式的積分

三角函數(shù)有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù)? 其特點(diǎn)是分子分母都包含三角函數(shù)的和差和乘積運(yùn)算? 由于各種三角函數(shù)都可以用sin x 及cos x 的有理式表示?

故三角函數(shù)有理式也就是sin x、cos x 的有理式?

用于三角函數(shù)有理式積分的變換:

把sin x、cos x表成tanx的函數(shù)? 然后作變換u?tanx?

222tanx2tanxxx2?2?2u?

sinx?2sincos?22sec2x1?tan2x1?u2221?tan2xxx2?1?u2?

cosx?cos2?sin2?22sec2x1?u22變換后原積分變成了有理函數(shù)的積分?

例4 求?1?sinxdx?

sinx(1?cosx)2x2u2du?

1?u 解 令u?tan? 則sinx?? cosx?? x?2arctan u ? dx?2221?u1?u21?u(1?2u2)2du?1(u?2?1)du 1?u于是 ?1?sinxdx??22?usinx(1?cosx)2u(1?1?u)1?u21?u21?u221u

?(?2u?ln|u|)?C?1tan2x?tanx?1ln|tanx|?C?

4222222 解 令u?tanx? 則

2高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組17 高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

(1?2u2)1?u

?1?sinxdx???22du 2sinx(1?cosx)2u(1?1?u)1?u1?u21?u2 ?1(u?2u?ln|u|)?C?1?(u?2?1)du

222u

?1tan2x?tanx?1ln|tanx|?C?

42222

說明: 并非所有的三角函數(shù)有理式的積分都要通過變換化為有理函數(shù)的積分???例如?

三、簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分

無理函數(shù)的積分一般要采用第二換元法把根號(hào)消去?

例5 求?x?1dx?

x 解 設(shè)x?1?u? 即x?u2?1? 則

cosx1?1?sinxdx??1?sinxd(1?sinx)?ln(1?sinx)?C?

?x?1dx?u?2udu?2u2du ?u2?1?u2?1x

?2?(1?12)du?2(u?arctanu)?C 1?u

?2(x?1?arctanx?1)?C?

例6 求?dx?

1?x?23 解 設(shè)3x?2?u? 即x?u3?2? 則

dx?1?3u2du?3u2?1?1du ?1?3x?2?1?u?1?u ?3?(u?1?1)du?3(u?u?ln|1?u|)?C

1?u2

?33(x?2)2?33x?2?ln|1?3x?2|?C?例7 求?dx?

(1?3x)x 解 設(shè)x?t 6? 于是dx ?6t 5d t ?

從而

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組18 高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

dx6t5dt?6t2dt1??(1?3x)x?(1?t2)t3?1?t2?6?(1?1?t2)dt?6(t?arctant)?C

?6(6x?arctan6x)?C?

例8 求?11?xdx?

xx 解 設(shè)1?x?t? 即x?21? 于是

t?1x

?x11?xdx?(t2?1)t??2tdt ?x(t2?1)22

??2?2tdt??2?(1?21)dt

t?1t? ??2t?ln|t?1|?C

t?11?x?ln1?x?x?C

??2?

x1?x?x

練習(xí)

1?

求?dx?

2?cosx1?t2x2

解?

作變換t?tan?

則有dx??

dt? cosx?21?t21?t22dt221tdx1??1?t2?2?

? ?ddt?2t1?t2?cosx3?t31?()232?1?t23?23arctant3?C?23arctan(1xtan)?C?

23sin5xdx?

4cosx4(1?co2sx)2sin5xsinx

解? ?dx???dcosx???dcosx

cos4xco4sxco4sx21

???(1??)dcosx

cos2xcos4x

2?

求?

??cosx?

3?

求?21??C?

3cosx3cosx3x?1dx?

x2?3x?2高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組19 高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

解? ?3x?13x?174??dx??(dx?)dx(x?2)(x?1)x2?3x?2x?2x?111dx?4?dx x?2x?1

?7ln|x?2|?4ln|x?1|?C?

§4.5積分表的使用

積分的計(jì)算要比導(dǎo)數(shù)的計(jì)算來得靈活、復(fù)雜??為了實(shí)用的方便??往往把常用的積分公式匯集成表??這種表叫做積分表??求積分時(shí)??可根據(jù)被積函數(shù)的類型直接地或經(jīng)過簡(jiǎn)單變形后??在表內(nèi)查得所需的結(jié)果?? 積分表

一、含有ax?b的積分

?7?1．?dx?1ln|ax?b|?C

ax?ba2．?(ax?b)?dx?3．?1(ax?b)??1?C(???1)a(??1)xdx?1(ax?b?bln|ax?b|)?C ax?ba224．?xdx?13?1(ax?b)2?2b(ax?b)?b2ln|ax?b|??C

ax?ba25．?6．?7．?8．?9．?dx??1lnax?b?C x(ax?b)bxdx1?alnax?b?C ??x2(ax?b)bxb2xx1?ln|ax?b|?b??C dx?(ax?b)2a2ax?bx2dx?1?ax?b?2bln|ax?b|?b2??C(ax?b)2a3ax?bdx11lnax?b?C ??x(ax?b)2b(ax?b)b2xxdx??(3x?4)2例1求?解??這是含有3x?4的積分??在積分表中查得公式

x1b?(ax?b)2dx?a2?ln|ax?b|?ax?b??C??

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組20 高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

現(xiàn)在a?

3、b?4??于是

x14?(3x?4)2dx?9?ln|3x?4|?3x?4??C?

二、含有ax?b的積分 1．?ax?bdx?2(ax?b)3?C

3a2．?xax?bdx?22(3ax?2b)(ax?b)3?C

15a3．?x2ax?bdx?4．?5．?2(15a2x2?12abx?8b2)(ax?b)3?C 105a3xdx?2(ax?2b)ax?b?C

3a2ax?bx2dx?2(3a2x2?4abx?8b2)ax?b?C 15a3ax?b??6．?dx??xax?b??7．?1lnax?b?b?C(b?0)bax?b?b 2arctanax?b?C(b?0)?b?bdx??ax?b?a?dx

bx2bxax?bx2ax?b8．?ax?bdx?2ax?b?b?dx

xxax?b9．?ax2?bdx??ax?b?a?dx xx2xax?b

三、含x2?a2的積分 1．?2．?3．?x2?a2dx?1arctanx?C

aadx?x2n?3dx ??(x2?a2)n2(n?1)a2(x2?a2)n?12(n?1)a2(x2?a2)n?1dx?1lnx?a?C

x2?a22ax?a

四、含有ax2?b(a?0)的積分

?1?abarctandx1．?2??ax?b?1ln?2?ab2．?ax?C(b?0)b ax??b?C(b?0)ax??bxdx?1ln|ax2?b|?C ax2?b2a高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組21 高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

3．?4．?5．?6．?7．?x2dx?x?bdx ?2ax?baaax2?bdx1lnx2?C ?x(ax2?b)2b|ax2?b|dxx2(ax2?b)1dx ??1?a?2bxbax?bdxaln|ax2?b|?1?C ?x3(ax2?b)2b2x22bx2dx?x11dx ??(ax2?b)22b(ax2?b)2bax2?b

五、含有ax2?bx?c(a?0)的積分

六、含有x2?a2(a?0)的積分 1．?2．?3．?4．?5．?6．?7．?8．?dx?arshx?C?ln(x?x2?a2)?C

a1x2?a2dxx?C

(x2?a2)3a2x2?a2xdx?x2?a2?C x2?a2x1dx???C(x2?a2)3x2?a2x2dx?xx2?a2?a2ln(x?x2?a2)?C

22x2?a2x2xdx???ln(x?x2?a2)?C

22322(x?a)x?a22dx?1lnx?a?a?C

|x|xx2?a2ax22?a2dx??x2?C axx2?a229．?x2?a2dx?xx2?a2?aln(x?x2?a2)?C 22例3求?dx??

x4x2?9dxdx?1????x4x2?92xx2?(3)22解??因?yàn)?所以這是含有x2?a2的積分??這里a?3??在積分表中查得公式

2高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組22 高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

dx1lnx2?a2?a?C??? ?xx2?a2a|x|x2?(3)2?3dx22?C?1ln4x2?9?3?C?? ?1?2ln于是 ?|x|32|x|x4x2?92

3七、含有x2?a2(a?0)的積分 1．?2．?3．?4．?5．?6．?7．?8．?dx?xarch|x|?C?ln|x?x2?a2|?C 1ax2?a2|x|dxx???C

(x2?a2)3a2x2?a2xdx?x2?a2?C 22x?ax1dx???C(x2?a2)3x2?a2x2dx?xx2?a2?a2ln|x?x2?a2|?C

22x2?a2x2xdx???ln|x?x2?a2|?C

(x2?a2)3x2?a2dx?1arccosa?C

|x|xx2?a2ax22?a2dx?x2?C axx2?a229．?x2?a2dx?xx2?a2?aln|x?x2?a2|?C 2

2八、含有a2?x2(a?0)的積分 1．?2．?3．?4．?5．?6．?dx?arcsinx?C

aa2?x2dxx???C

(a2?x2)3a2a2?x2xdx??a2?x2?C 22a?xx1dx??C(a2?x2)3a2?x2x2dx??xa2?x2?a2arcsinx?C

22aa2?x2x2xdx??arcsinx?C

a(a2?x2)3a2?x2高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組23 高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

7．?8．?22dx?1lna?a?x?C |x|xa2?x2ax222dx??a2?x?C axa2?x229．?a2?x2dx?xa2?x2?aarcsinx?C

22a

九、含有?ax2?bx?c(a?0)的積分

十、含有?x?a或(x?a)(x?b)的積分 x?b

十一、含有三角函數(shù)的積分 1．?secxdx?ln|secx?tanx|?C 2．?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C 3．?secxtanxdx?secx?C 4．?cscxcotxdx??cscx?C 5．?sin2xdx?x?1sin2x?C

246．?cos2xdx?x?1sin2x?C

247．?sinnxdx??1sinn?1xcosx?n?1?sinn?2xdx

nn8．?cosnxdx?1cosn?1xsinx?n?1?cosn?2xdx nn9．?sinaxcosbxdx??1cos(a?b)x?1cos(a?b)x?C

2(a?b)2(a?b)1sin(a?b)x?1sin(a?b)x?C 2(a?b)2(a?b)10．?sinaxsinbxdx??11．?cosaxcosbxdx?1sin(a?b)x?1sin(a?b)x?C 2(a?b)2(a?b)atanx?bdx?22?C(a2?b2)12．?arctana?bsinxa2?b2a2?b2高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組24 高等數(shù)學(xué)教案

第四章

不定積分

atanx?b?b2?a2dx?22ln?C(a2?b2)13．?22a?bsinxb?aatanx?b?b2?a2214．?dx?2a?barctan?a?btanx??C(a2?b2)a?bcosxa?ba?ba?b2a?bb?a?C(a2?b2)a?bb?atanx?dxa?bln214．??2a?bcosxa?bb?atanx?2例2求?dx?? 5?4cosx解??這是含三角函數(shù)的積分?? 在積分表中查得公式

a?barct?x??C(a2?b2)?? ana?btana?ba?b2這里a?

5、b??4??a 2?b2??于是

??a?bcoxsa?bdx2dx2

??5?4coxs5?(?4)5?(?4)5?(?4)x??C arct?antan

5?(?4)5?(?4)2

?2arctan?3tanx??C??

32例??求?sin4xdx??

解??這是含三角函數(shù)的積分?? 在積分表中查得公式

?sinnxdx??1sinn?1xcosx?n?1?sinn?2xdx???sin2xdx?x?1sin2x?C?

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高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組25

第三篇：旅游的概念,性質(zhì)教案[范文模版]

第一節(jié) 旅游的概念、性質(zhì)及特征

測(cè)試：判斷下列活動(dòng)哪些是旅游？ 學(xué)生異地讀書 農(nóng)民異地打工 學(xué)者外地參加學(xué)術(shù)會(huì)議 三峽大移民

海外華僑、港澳臺(tái)同胞回大陸定居 外籍教師來教育學(xué)院任教 留學(xué)生到外國(guó)留學(xué) 來到某國(guó)家擔(dān)任外交人員 外國(guó)高層政府代表團(tuán)來華訪問 ?? ??

判斷的標(biāo)準(zhǔn)：旅游的本質(zhì)特征（主要目的是追求愉悅）和外部基本特征（異地性、暫時(shí)性）和國(guó)家相關(guān)的規(guī)定。辨別詞義：

旅游：“旅”，旅行、離家出行（反義詞：居家）。“游”，游覽、游玩。

二者關(guān)系：離家出行不一定是旅游；反過來，要去游覽、游玩必須要離家出行。

遷徙：由此地到彼地定居，主要目的是求生存，不再回來。旅行：travel 由此地到彼地，主要目的不是游玩，且一定時(shí)間內(nèi)要返回來。旅游：tour或tourism由此地到彼地，主要目的是游玩，且一定時(shí)間內(nèi)要返回來。

一、旅游的定義

迄今為止，關(guān)于旅游的定義眾多（高教版9種、田里編著南開高職版8種、李天元編著南開版7種、魏向東林業(yè)版列出國(guó)際11種、國(guó)內(nèi)7種），還從來沒有一個(gè)統(tǒng)一的為大家所采用的定義，不同的國(guó)家甚至同一國(guó)家如美國(guó)各州之間對(duì)旅游的定義都有不同。

對(duì)旅游的定義大體可以劃分為兩類：理論性定義（或概念性定義）和技術(shù)性定義（或?qū)嵺`性定義）。

兩者的區(qū)別在于側(cè)重點(diǎn)不同：概念性定義旨在提供一個(gè)理論框架，用以確定旅游的基本特點(diǎn)，以將它與其他活動(dòng)區(qū)別開來，側(cè)重于對(duì)旅游活動(dòng)的定義；技術(shù)性定義主要為了旅游統(tǒng)計(jì)、收集數(shù)據(jù)的需要，以便為決策立法提供旅游信息，所以側(cè)重于對(duì)旅游者的定義及劃分方法。

人們對(duì)旅游的定義之所以會(huì)這樣多，與人們對(duì)旅游的認(rèn)識(shí)有關(guān)。因?yàn)槁糜位顒?dòng)從產(chǎn)生以后，它的旅游實(shí)踐和內(nèi)容就在不斷豐富變化，所以人們對(duì)旅游定義的認(rèn)識(shí)也在不斷發(fā)展完善。

例1：在中外的一般性語言詞典中，對(duì)旅游一詞的解釋是指人們因消遣性原因或目的而離家外出旅行的活動(dòng)。強(qiáng)調(diào)其目的的消遣性。（李天元主編南開版教材46頁(yè)）

例2： “艾斯特”定義（1942年瑞士圣加侖大學(xué)教授亨澤克爾和伯爾尼大學(xué)教授克雷夫兩位學(xué)者提出，70年代被“旅游科學(xué)專家國(guó)際聯(lián)合會(huì)”采用，該組織英文縮寫為AIEST）：

旅游是非定居者的旅行和暫時(shí)逗留而引起的現(xiàn)象和關(guān)系的總和。這些人不會(huì)導(dǎo)致長(zhǎng)期定居，并且不會(huì)牽涉任何賺錢的活動(dòng)。（李天元主編南開版教材42頁(yè)）

例3：世界旅游組織（World Tourism Organization 簡(jiǎn)稱WTO）1991年6月加拿大渥太華會(huì)議對(duì)旅游的定義：

旅游是人們?yōu)榱诵蓍e、商務(wù)或其他目的離開他們慣常環(huán)境，到某些地方停留在那里，但連續(xù)不超過一年的活動(dòng)。（旅游教育出版社陶漢軍《新編旅游學(xué)概論》第2頁(yè)、中國(guó)旅游出版社（美）威廉.瑟厄波德《全球旅游新論》13頁(yè)）

例4：旅游是人們以前往異地尋求愉悅為主要目的而度過的一種具有社會(huì)、休閑和消費(fèi)屬性的短暫經(jīng)歷。（謝彥君《基礎(chǔ)旅游學(xué)》，中國(guó)旅游出版社2004年第2版）

按照這樣的定義，今天數(shù)量眾多商務(wù)、公務(wù)、會(huì)議及事務(wù)性外出訪問旅游都沒有包括在內(nèi)。而現(xiàn)代旅游實(shí)踐和旅游統(tǒng)計(jì)中卻是包含了上述活動(dòng)的。（分析見教材46頁(yè)）

綜合定義：

◎旅游是人們出于移民和就業(yè)任職以外的其他原因離開長(zhǎng)住地前往異地的旅行和暫時(shí)逗留活動(dòng)，以及由此所引起的各種現(xiàn)象和關(guān)系的總和。（李天元主編南開版教材47頁(yè)）◎旅游是人們離開常住地到異國(guó)他鄉(xiāng)訪問的旅行和暫時(shí)停留所引起的各種現(xiàn)象和關(guān)系的總和。（袁國(guó)宏、張?jiān)路肌堵糜喂芾碇R(shí)題解》，中國(guó)旅游出版社2003年第1版。F5/283）

二、旅游活動(dòng)的基本特征（從橫向比較角度）

異地性：旅游一定要離開日常居住地到另一個(gè)地方，要有空間位置的移動(dòng)，即旅行。

暫時(shí)性：或流動(dòng)性。旅游是流動(dòng)的，在異地停留時(shí)間是暫時(shí)的（國(guó)際上一般規(guī)定不超過1年），最終必須返回原住地。所以，移民不是旅游。

綜合性：旅游是人們的旅行和暫時(shí)居留而引起的各種現(xiàn)象和關(guān)系的總和。這一點(diǎn)反映了旅游活動(dòng)的綜合性。

在對(duì)旅游的定義中，以上三個(gè)方面已經(jīng)基本取得了共識(shí)。審美性：或娛樂性。即旅游的主要目的是去尋找并感受美、奇特、快樂的活動(dòng)。人們之所以到某地去旅游，或者是因?yàn)槟抢锖苊馈⑵嫣兀蛘呤侨ド⑿摹？傊糜蔚哪康目梢允切蓍e、商務(wù)、公務(wù)、會(huì)議、探親等，一定不是移民就業(yè)。

其他：◎李天元主編南開版P56：普及性、持續(xù)性、地理集中性、季節(jié)性

◎田里主編南開高職版16頁(yè)：異地性、審美性、流動(dòng)性（暫時(shí)性）、綜合性

◎高教版：娛樂性、異地流動(dòng)性、大眾普及性、季節(jié)變動(dòng)性、地理變動(dòng)性

三、旅游的本質(zhì)和屬性

（一）旅游的屬性

旅游是人類在基本生存需要得到滿足后產(chǎn)生的一種精神文化追求，包括休閑、追求新奇、追求體驗(yàn)感受等，所以主要是人類社會(huì)的一種文化現(xiàn)象。但與經(jīng)濟(jì)、政治聯(lián)系緊密。

與經(jīng)濟(jì)聯(lián)系緊密：經(jīng)濟(jì)是前提（旅游活動(dòng)產(chǎn)生本身就是經(jīng)濟(jì)發(fā)展的產(chǎn)物）、旅游業(yè)的興起緣于經(jīng)濟(jì)。

旅游與政治關(guān)系密切。表現(xiàn)為：（1）國(guó)與國(guó)之間的關(guān)系是出境旅游實(shí)現(xiàn)的前提；（2）穩(wěn)定的政治環(huán)境是發(fā)展旅游的又一前提。（3）旅游作為交往活動(dòng)，可以改善國(guó)家的政治關(guān)系，經(jīng)濟(jì)上還可以平衡進(jìn)出口貿(mào)易。

（二）本質(zhì)屬性（學(xué)術(shù)界有爭(zhēng)議）

◎旅游屬于社會(huì)文化活動(dòng)。如田里主編南開高職版：旅游是人類在基本生存的物質(zhì)需要得到滿足后產(chǎn)生的一種高層次的精神文化追求活動(dòng)，本質(zhì)屬性是文化屬性。

◎旅游活動(dòng)是多種現(xiàn)象的綜合體現(xiàn)。如李天元主編南開版（P55）：旅游是涉及經(jīng)濟(jì)和政治等許多方面的社會(huì)文化活動(dòng)。

◎又如高教版：旅游的屬性應(yīng)該是一種以文化為主，帶有經(jīng)濟(jì)屬性和政治色彩的綜合社會(huì)現(xiàn)象。

討論：你認(rèn)為旅游最本質(zhì)的屬性是什么？為什么？

分析：

從旅游活動(dòng)產(chǎn)生的原因看，旅游活動(dòng)是人類在基本生存需要得到滿足后產(chǎn)生的一種精神文化需求，本質(zhì)屬性是文化屬性。（旅游者角度）

從旅游業(yè)興起的原因看，人們之所以會(huì)經(jīng)營(yíng)發(fā)展旅游，是因?yàn)榻?jīng)濟(jì)利益的驅(qū)動(dòng)，旅游可以產(chǎn)生巨大經(jīng)濟(jì)效益，所以從這個(gè)意義上說旅游是一種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，本質(zhì)屬性是經(jīng)濟(jì)性。（旅游經(jīng)營(yíng)者角度）

第四篇：不定積分 教案示例

不定積分·教案示例

目的要求

1．理解原函數(shù)的定義，知道原函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的原函數(shù)．

2．理解不定積分的概念，掌握不定積分的線性性質(zhì)，會(huì)用定義求簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分．

內(nèi)容分析

1．不定積分是一元函數(shù)微積分學(xué)的基本內(nèi)容，本章教材是在學(xué)生已掌握求導(dǎo)數(shù)方法的基礎(chǔ)上，研究求原函數(shù)或不定積分的．故學(xué)好“導(dǎo)數(shù)與微分”是學(xué)好不定積分的前提，教學(xué)時(shí)，要與“導(dǎo)數(shù)與微分”一章的有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行對(duì)照．

2．本節(jié)教學(xué)重點(diǎn)是原函數(shù)和不定積分的概念教學(xué)，難點(diǎn)是原函數(shù)的求法．突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是緊緊扣住原函數(shù)的定義，逆用求導(dǎo)公式，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的理順．由于逆運(yùn)算概念學(xué)生并不陌生，因此教學(xué)中要充分利用思維定勢(shì)的積極因素并引入教學(xué)．另外，本節(jié)切勿提高教學(xué)難度，因?yàn)殡S著后續(xù)學(xué)習(xí)的深入，積分方法多，無需直接用定義求不定積分．

3．本節(jié)教學(xué)要始終抓住一條主線：“求導(dǎo)數(shù)與求原函數(shù)或不定積分(在不計(jì)所加任意常數(shù)時(shí))互為逆運(yùn)算”．強(qiáng)調(diào)求不定積分時(shí)，不要漏寫任意常數(shù)C；另外，要向?qū)W生說明：求一個(gè)函數(shù)的不定積分，允許結(jié)果在形式上不同，但結(jié)果的導(dǎo)數(shù)應(yīng)相等．指出這點(diǎn)是有益的，一方面使學(xué)生會(huì)檢查得到的不定積分是否正確，另一方面消除學(xué)生由于所得不定積分形式的不同而產(chǎn)生的疑問．

4．根據(jù)本節(jié)知識(shí)的抽象性，教學(xué)中應(yīng)充分安排學(xué)生進(jìn)行觀察、聯(lián)想、類比、討論等課堂活動(dòng)，使之參與到概念的發(fā)現(xiàn)過程，體會(huì)知識(shí)的形成過程．本著這一原則，本節(jié)課宜采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法進(jìn)行教學(xué)．

教學(xué)過程

1．創(chuàng)設(shè)情境，引入新課(1)引例(見解本章頭)．

用多媒體顯示引例圖象，提出問題，激起學(xué)生求知欲望，揭示并板書課題．(2)介紹微積分產(chǎn)生的時(shí)代背景，弘揚(yáng)科學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度和鉆研精神． 2．嘗試探索，建立新知

(1)提出問題：已知某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如何求這個(gè)函數(shù)？(2)嘗試練習(xí)：求滿足下列條件的函數(shù)F(x)． ①F′(x)＝3x2 ②F′(x)＝x3

(3)解決問題：上述練習(xí)是完成與求導(dǎo)數(shù)相反的逆運(yùn)算．因此，解決問題的方法仍為求導(dǎo)數(shù)．

(4)形成定義：詳見課本“原函數(shù)”的定義． 對(duì)于原函數(shù)的定義，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)下列三點(diǎn)：

第一，F(xiàn)(x)與f(x)是定義在同一區(qū)間I上，這里的區(qū)間I可以是閉區(qū)間或半閉區(qū)間或開區(qū)間．

第二，F(xiàn)(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，不是所有的原函數(shù)．

第三，求原函數(shù)(在不計(jì)所加常數(shù)C的情況下)與求導(dǎo)數(shù)互為逆運(yùn)算．(5)簡(jiǎn)單應(yīng)用：

例1 求下列函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)． ①f(x)＝3x2 ②f(x)＝x3

小結(jié)解法：根據(jù)定義，求函數(shù)f(x)的原函數(shù)，就是要求一個(gè)函數(shù)F(x)，使它的導(dǎo)數(shù)F′(x)等于f(x)．

(6)討論問題：已知函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)，那么函數(shù)f(x)是否還有其他原函數(shù)？舉例說明．(略)(7)歸納性質(zhì)：

一般地，原函數(shù)有下面的性質(zhì)：

設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，對(duì)于任意常數(shù)C，F(xiàn)(x)＋C也是f(x)的原函數(shù)，并且f(x)在區(qū)間I上任何一個(gè)原函數(shù)都可以表示成F(x)＋C的形式．

教師強(qiáng)調(diào)：一個(gè)函數(shù)雖然有無窮多個(gè)原函數(shù)，但是我們只要求出其中的一個(gè)就行，其他的原函數(shù)都可以由這個(gè)原函數(shù)再加上一個(gè)常數(shù)得到．這樣就給出了求已知函數(shù)的所有原函數(shù)的方法．

3．類比分析，拓廣知識(shí)

根據(jù)原函數(shù)的性質(zhì)，類比引入不定積分的概念．

(1)講解不定積分的有關(guān)概念：不定積分、積分號(hào)、被積函數(shù)、積分變量、被積式、積分常數(shù)等(詳見課本)．

對(duì)于不定積分的定義，教師說明如下：

第一，函數(shù)f(x)的不定積分?f(x)dx等于函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x)

＋C．常數(shù)C不要漏寫，F(xiàn)(x)只能表示一個(gè)原函數(shù)，這也正是原函數(shù)和

不定積分的區(qū)別；不定積分記號(hào)?f(x)dx由積分記號(hào)“?”和被積式

“f(x)dx”構(gòu)成，書寫時(shí)不要漏掉dx．

第二，在不定積分?f(x)dx中，積分變量是x；在不定積分?uxdx中，積分變量是x，被積分函數(shù)u是關(guān)于x的指數(shù)函數(shù)；在?udu中，xx

積分變量是u，被積函數(shù)ux是關(guān)于u的冪函數(shù)．

(2)推導(dǎo)不定積分的性質(zhì)．

性質(zhì)1：(?f(x)dx)?＝f(x)

證明：設(shè)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為F(x)，即F′(x)＝f(x)．

由不定積分的定義得?f(x)dx＝F(x)＋C．∴(?f(x)dx)′＝(F(x)＋C)′＝F′(x)＝f(x)∴(?f(x)dx)′＝f(x)性質(zhì)2：?F′(x)dx＝F(x)＋C

證明(略)上述兩個(gè)性質(zhì)表明：求導(dǎo)數(shù)與求不定積分(在不計(jì)所加的任意常數(shù)時(shí))互為逆運(yùn)算．因此，求不定積分時(shí)，常常利用導(dǎo)數(shù)與不定積分的這種互逆關(guān)系，驗(yàn)證所求的不定積分是否正確．

4．例題評(píng)價(jià)，反饋訓(xùn)練

例2 如果在區(qū)間(a，b)內(nèi)，恒有f′(x)＝g′(x)，則一定有

[B]

A．f(x)＝g(x)B．f(x)＝g(x)＋C C．[?f(x)dx]?＝[?g(x)dx]?

D．f(x)＝Cg(x)例3 求下列不定積分．

(1)?xdx(2)?cosxdx

小結(jié)解法：

(1)求不定積分時(shí)，都要在結(jié)果上寫上任意常數(shù)C．本章凡是沒有特別說明時(shí)，所加的C均表示任意常數(shù)．

(2)求一個(gè)函數(shù)的不定積分，由于方法不同，它的結(jié)果在形式上往往也不同．這種形式上不同的結(jié)果，可以用求它們的導(dǎo)數(shù)的方法，看其導(dǎo)數(shù)是否相同，如果導(dǎo)數(shù)相同，就說明結(jié)果是正確的．

課堂練習(xí)：教科書練習(xí)第1、3、4題．

例4 已知f(x)是二次函數(shù)，且?f(x)dx＝2x3－x2＋9x＋C，求f(x)的解析式．

解：由不定積分的性質(zhì)得

f(x)＝(2x3－x2＋9x＋C)′＝6x2－2x＋9 5．歸納總結(jié)，鞏固提高

(1)一條主線：求導(dǎo)數(shù)與求不定積分(在不計(jì)所加任意常數(shù)時(shí))互為逆運(yùn)算．(2)二組概念：原函數(shù)的定義和性質(zhì)，不定積分的定義和性質(zhì)．

(3)三個(gè)注意：一是注意一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)有無窮多個(gè)，它們之間僅相差一個(gè)常數(shù)；二是注意求不定積分時(shí)，不要漏寫任意常數(shù)C；三是注意求一個(gè)函數(shù)的不定積分，允許結(jié)果在形式上不同，但其結(jié)果的導(dǎo)數(shù)應(yīng)相等．

布置作業(yè)

1．課本習(xí)題4．1第3、4題．

2．設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象為a，且在曲線a上任一點(diǎn)M(x，y)處的切線的斜率k(x)＝x3＋1，并且曲線過點(diǎn)P(1，2)，求函數(shù)y＝f(x)的解析式．

13(答案：f(x)＝x4＋x＋．)

443．已知函數(shù)f(x)＝?(2ax＋b)dx，且f(0)＝f(2)＝0，方程f(x)＝x

有兩個(gè)相等實(shí)根．

(1)求f(x)的解析式．

(2)是否存在實(shí)數(shù)m、n(m＜n)，使f(x)的定義域和值域分別是[m，n]和[2m，2n]．

1(答案：(1)f(x)＝－x2＋x；(2)存在m＝－2，n＝0．)

第五篇：高等數(shù)學(xué)上冊(cè)

《高等數(shù)學(xué)》上冊(cè)

一、函數(shù)與極限

1.函數(shù)基本概念—了解

1． 集合及集合的運(yùn)算

2． 數(shù)軸、無窮大和無窮小的幾何表示、區(qū)間 3． 常量和變量

4． 函數(shù)的定義和函數(shù)的表達(dá)方式 5． 函數(shù)的定義域和函數(shù)的計(jì)算 6． 基本初等函數(shù)

7． 復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù) 8． 分段函數(shù)

2.函數(shù)的極限及運(yùn)算法則—理解極限的含義，會(huì)計(jì)算求極限的題目；涉及范圍較廣，高等數(shù)學(xué)上冊(cè)下冊(cè)均有求極限的題目，極限的方法是研究函數(shù)的工具。（不會(huì)涉及證明用極限定義證明極限的題目）

1． 數(shù)列及數(shù)列極限 2． 函數(shù)的極限

3． 無窮大和無窮小的極限表示

4． 無窮大和無窮小的關(guān)系及無窮小的性質(zhì)（運(yùn)算注意前提條件有限個(gè)和無限個(gè)的區(qū)別）5． 極限的有界性定理及應(yīng)用

6． 復(fù)合函數(shù)求極限（變量代換的方法）

3.兩個(gè)重要極限（兩個(gè)極限的運(yùn)算法則的條件、推廣和應(yīng)用）

1． 第一個(gè)重要極限

2． 第一個(gè)重要極限的應(yīng)用 3． 第二個(gè)重要極限

4． 第二個(gè)重要極限的應(yīng)用（注意：?jiǎn)握{(diào) 且有界是證明題的關(guān)鍵部分）4.無窮小的比較

等價(jià)無窮小及其應(yīng)用

重要部分！5.函數(shù)的連續(xù)性和間斷點(diǎn)

1． 增量

2． 函數(shù)連續(xù)的兩個(gè)定義 3． 左連續(xù)和右連續(xù)

4． 函數(shù)的間斷點(diǎn)分類（重要，出小題）

5． 連續(xù)函數(shù)四則運(yùn)算的連續(xù)性（運(yùn)算法則的條件、推廣和應(yīng)用）6． 反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

7． 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，重要，但一般不單獨(dú)出題）一致連續(xù)性不用看 練習(xí)題一

2.導(dǎo)數(shù)與微分（重要,小題必考章節(jié)！）1.導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則

1． 導(dǎo)數(shù)的定義（重要），2． 導(dǎo)數(shù)的幾何意義（理解；其中數(shù)一數(shù)二導(dǎo)數(shù)的物理意義；數(shù)三，經(jīng)濟(jì)意義、邊際函數(shù)、彈性函數(shù)）

3． 函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系（必需的！）4． 求導(dǎo)公式表（必需的，熟悉到1+1=2！）

5． 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算（必需的，熟悉到1+1=2！）2.不同類型函數(shù)的求導(dǎo)法則及高階導(dǎo)數(shù)

1． 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（必需的，熟悉到1+1=2！）2． 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則（必需的，熟悉到1+1=2！）

3． 參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則（小題，理解！多元隱函數(shù)的求導(dǎo)）4． 高階導(dǎo)數(shù)（重要）

3.函數(shù)的微分及應(yīng)用（理解，重要同導(dǎo)數(shù)必考，小題）

1． 微分的定義

2． 微分的幾何意義

3． 微分的基本公式和運(yùn)算法則 4． 復(fù)合函數(shù)的微分公式

5． 利用微分進(jìn)行近似計(jì)算（除去不用看）練習(xí)題二

3.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（考大題 難題，重要章節(jié)！）

1.中值定理和洛必達(dá)法則（中值定理包括費(fèi)馬定理的應(yīng)用及相關(guān)的證明題，必須會(huì)做證明題！）

1． 羅爾定理及幾何意義

2． 拉格郎日中值定理及幾何意義

3． 利用拉格郎日中值定理證明不等式

4． 洛必達(dá)法則（必考;泰勒公式及其應(yīng)用，參照張宇的老師的導(dǎo)學(xué)或視頻）2.函數(shù)的極值和最值（考小題，單調(diào)性及極值點(diǎn)、最大值最小值）

1． 函數(shù)的單調(diào)性及判斷 2． 函數(shù)的極值 3． 函數(shù)的最值

3.曲線的凸凹性，拐點(diǎn)及函數(shù)作圖（考小題，單調(diào)性及極值點(diǎn)、凹凸性及拐點(diǎn)、漸近線的定義理解）

1． 曲線的凸凹性及判斷 2． 曲線的拐點(diǎn) 3.曲線的漸近線

4.函數(shù)作圖（會(huì)大致描繪圖形幫助做題）5.曲率

（了解即可）練習(xí)題三

4.不定積分（重要！運(yùn)算的基礎(chǔ)知識(shí)。與數(shù)

一、數(shù)三相比，數(shù)二有可能大題。）

1.不定積分的概念和基本公式

1． 原函數(shù)與不定積分（理解原函數(shù)）

2． 不定積分的定義（必需的，熟悉到1+1=2！）3． 不定積分的性質(zhì)（必需的，熟悉到1+1=2！）4． 基本積分表（必需的，熟悉到1+1=2！）5． 直接積分法（必需的，熟悉到1+1=2！）2.換元積分法

1． 換元積分法的引入

2． 第一類換元法（必需的，熟悉到1+1=2！）

3． 第一類換元法的應(yīng)用（必需的，熟悉到1+1=2！）4． 第二類換元法（必需的，熟悉到1+1=2！）

5． 第二類換元法的應(yīng)用（必需的，熟悉到1+1=2！）3.分部積分法和不定積分技巧的綜合應(yīng)用

1． 分部積分法（必需的，熟悉到1+1=2！）

2． 被積函數(shù)和積分變量的選取（必需的，熟悉到1+1=2！）

3.有理函數(shù)的積分（重要，常見的一些題型，基本的運(yùn)算方法的綜合利用）4.綜合題舉例（積分表不必看）

5.定積分（重要！非常重要，是多元函數(shù)的二重積分，三重積分，線面積分的基礎(chǔ)）1.定積分的定義和基本運(yùn)算

1． 定積分的定義（理解！）

2． 定積分的性質(zhì)

3． 變上限的積分函數(shù)（理解！）

4． 牛頓—萊布尼茲公式 各種題型的必需的，熟悉到1+1=2！

2.定積分的換元法和分部積分法

若不定積分學(xué)好，這一部分涉及的計(jì)算應(yīng)該1． 定積分的換元法 很簡(jiǎn)單！2． 定積分的分部積分法

3． 利用方程和數(shù)列求定積分

常見的各種類型的題目一定要熟悉，再熟悉，3.廣義積分（理解！考小題）再再熟悉，怎么熟悉都不為過！

1． 積分區(qū)間為無窮區(qū)間的廣義積分 一元函數(shù)的極限，導(dǎo)數(shù)，微分，不定積分，定2． 被積函數(shù)有無窮間斷點(diǎn)的廣義積分（Г積分這是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，根本所在；然后多函數(shù)不用看）元函數(shù)（二元函數(shù)）的類似運(yùn)算，只要把定義4.定積分的運(yùn)用（會(huì)應(yīng)用）相關(guān)推理過程理解了，則 自然會(huì)有 水到渠成1． 定積分的元素法 效果，難點(diǎn)不再難點(diǎn)！2． 利用定積分求平面圖形面積

3． 利用定積分求體積（數(shù)三只看旋轉(zhuǎn)體 體積）

4.曲線的弧長(zhǎng)（數(shù)

一、數(shù)二公式記住，數(shù) 三不考）