第一篇：第七課《筆畫的組合--橫,豎的組合變化》

橫豎的組合變化（二課時(shí)）（講1+練1）

教學(xué)目標(biāo)：了解橫豎字的結(jié)構(gòu)規(guī)律掌握幾個(gè)常是橫豎字的準(zhǔn)確寫法。

教學(xué)重點(diǎn)：代表性字的結(jié)構(gòu)及寫法。教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)生在實(shí)踐中運(yùn)用。教學(xué)過程：

一、引入

常是多點(diǎn)字：言，問，非，申，博，推，青，神，春，曹，建

二、授新

同一筆畫在一個(gè)字中重復(fù)出現(xiàn)的時(shí)候，要有長短，正側(cè)，平斜，俯仰，向背，舒斂等變化

言：五橫組合在一起，它的粗細(xì)長短，俯仰都不同。問：兩個(gè)長豎的粗細(xì)，向背都不同。顏體兩字成向勢，柳體成背勢。

非：字中各個(gè)短橫的平斜要有變化。申：主筆中的豎要寫的勁健厚實(shí)。博：字里的豎，正側(cè)變化。推：字的各豎有長短變化。

第二篇：第七課 鋼筆字組合筆畫的寫法 教學(xué)設(shè)計(jì)

第七課 鋼筆字組合筆畫的寫法

——鉤畫（上）

設(shè)計(jì)意圖：

多年來我們的教學(xué)對漢字的書寫是不夠重視的，忽視了寫字姿勢的矯正、忽視了寫字基本功的教學(xué)、忽視了寫字基本方法的訓(xùn)練。只管字寫得對不對，不問寫字姿勢的正確與否，也不問或少問字寫得好不好。因此不少青少年學(xué)生中出現(xiàn)了兩個(gè)“不堪入目”——寫字的坐姿和執(zhí)筆運(yùn)筆的姿勢不堪入目，頭歪、身扭、肩斜、足曲筆桿外傾、手指離筆尖不過三分，寫的字不堪入目歪歪斜斜、松松散散。久而久之眼睛近視了脊椎骨扭了不良的寫字習(xí)慣成自然了更甚者不良的學(xué)習(xí)習(xí)慣也就隨之自然而然地形成了讀書、做作業(yè)以至于做什么事都馬馬虎虎、草率了事。因此這堂課教學(xué)時(shí)要遵從孩子們的學(xué)習(xí)意愿，即要讓學(xué)生從興趣出發(fā)始終融入到寫字的樂趣中，又要讓學(xué)生自主地在學(xué)習(xí)過程中感悟?qū)懽謳Ыo我們的樂趣，幫他們掌握寫字技巧，把所欣賞到的好作品通過臨摹表現(xiàn)出來讓學(xué)生在情感體驗(yàn)中感受到學(xué)習(xí)的樂趣和成就感。教學(xué)目標(biāo)：

一、導(dǎo)入

同學(xué)們，漢字是我們中國的文字，是我們學(xué)習(xí)交流的工具，我們每個(gè)中國人都應(yīng)該把漢字寫正確、寫美觀。今天老師給同學(xué)們帶來兩幅作品（課件出示）。學(xué)生欣賞作品，你們有什么感受，想不想和他們一樣把字寫得那么漂亮？那要寫好字，首先要保證正確的姿勢。你準(zhǔn)備好了嗎？

回顧上幾節(jié)課我們學(xué)習(xí)了鋼筆字組合筆畫的折畫，今天我們繼續(xù)學(xué)習(xí)鋼筆字組合筆畫中的鉤畫，在你的平日寫字中，遇到鉤畫時(shí)，你都會(huì)怎么寫呢？

生：我在寫字時(shí)遇到鉤了，很隨意的就寫上去了。有的時(shí)候甚至還忘了寫。師：你這種習(xí)慣可不好啊！

生：我在寫豎鉤的時(shí)候，豎寫得直，鉤向左上方寫。

生：我在寫鉤的時(shí)候，把鉤寫得短點(diǎn)，不要寫得過長，那樣就美觀了。

師：嗯！同學(xué)們說的可真好，（屏幕出示：鉤，像個(gè)三角形，書寫時(shí)，注意鉤的方向準(zhǔn)確，不可過長。）接下來我們就具體學(xué)習(xí)幾個(gè)與鉤組合的筆畫吧！

二、新授

（一）橫構(gòu)

1.出示帶有“橫構(gòu)”的例字。

師：首先來看看橫與鉤組合的筆畫，我們觀察一下這橫構(gòu)的特點(diǎn)。生：橫構(gòu)中的鉤向左下方向?qū)懀^不要長。生：橫與鉤組合處，就像一個(gè)小三角形。2.強(qiáng)調(diào)“橫構(gòu)”的寫法。

師：是啊，（邊齊讀大屏的要點(diǎn)邊書空）3.師范寫兩個(gè)，指導(dǎo)：右下方向點(diǎn)一點(diǎn)，再寫橫，鉤前記得按一按，再回一點(diǎn)向右下鉤，鉤畫短，尖又尖。生臨摹

4.觀察例字，強(qiáng)調(diào)特點(diǎn)。

師：我們再回過頭來看看帶有橫構(gòu)的字，你有什么要提示大家的？

生：“寓”的寶字蓋的點(diǎn)要寫在豎中線上，“禺”字中間的豎也要寫在豎中線上，生：“窮”字中的力寫在田字格的下半部分，而穴字頭在橫中線的上半部分 生：我發(fā)現(xiàn)寶字蓋中橫構(gòu)的鉤寫的時(shí)候要向點(diǎn)處鉤。5.師：你們觀察的可真仔細(xì)。師范寫，生臨摹。

（二）豎鉤

1.出示帶有“豎鉤”的例字。

師：接下來，我們再看看豎與鉤組合的字，我們觀察一下這豎鉤的特點(diǎn)。生：豎鉤的鉤和橫構(gòu)一樣，也要寫的短點(diǎn)，生：豎鉤的鉤要往左上方寫。

師：那在運(yùn)筆的時(shí)候應(yīng)該注意什么呢？ 2.強(qiáng)調(diào)“豎鉤”的寫法。邊齊讀要點(diǎn)，邊書空。

3.師范寫兩個(gè)，指導(dǎo)：右下方向點(diǎn)一點(diǎn)，均勻向下豎，鉤前左下按一按，回一點(diǎn)向左上鉤，鉤畫短，又尖尖。生臨摹

4.觀察例字，強(qiáng)調(diào)特點(diǎn)。

師：我們再回過頭來看看帶有豎構(gòu)的字，你有什么要提示大家的？ 生：“赤”字的土長橫要寫在橫中線上，豎要寫在豎中線上，生：我來補(bǔ)充，這些豎鉤都要寫得挺直，這樣字才能寫得正。生：我發(fā)現(xiàn)這些字的豎鉤都挺拔有力，這樣字才能寫得大氣。5.師范寫，生臨摹

師：比如說“制”的豎鉤要寫的長，挺直。

（三）彎鉤

1.出示帶有“彎鉤”的例字。

師：接下來我們寫稍有難度的彎鉤，2.觀察彎鉤的寫法，生上前范寫給同學(xué)看，并強(qiáng)調(diào)“彎鉤”的寫法（彎鉤上下要對正，彎度要自然點(diǎn)）。

師：你觀察的可真仔細(xì)，那我們再來寫一寫吧。右下方向輕一點(diǎn)彎鉤背部要彎，鉤前左下按一按，回一點(diǎn)向左上鉤，鉤花短，尖尖。

3.生臨摹。

4.觀察例字，強(qiáng)調(diào)特點(diǎn)。

師：我們再回過頭來看看帶有彎構(gòu)的字，你有什么要提示大家的？ 生：“享”中的子要從橫中線起筆，生：“緣分”的“緣”字右半部分寫在豎中線上，生：“禮貌”的“貌”字中的彎鉤不能超過上部撇的起筆點(diǎn)，鉤處也不能超過長撇的尾部。

5.師范寫，生臨摹 三.討論交流

1.同桌互評，每個(gè)字再臨摹兩個(gè)。2.全班展示，互評改正過后的優(yōu)缺點(diǎn)。3.欣賞《乞巧》，臨寫。4.全班交流，互評。

總結(jié)

1.同學(xué)們寫的字可真有進(jìn)步啊，看來你們這節(jié)課的收獲肯定不小，那么這節(jié)課你有什么收獲？ 2.書法是我們老祖宗留下來的最為寶貴的優(yōu)秀遺產(chǎn)。它是一門藝術(shù)，具有非凡的魅力。人們常說“字如其人”。希望同學(xué)們無論何時(shí)都要做到寫字即是練字，努力寫好每個(gè)漢字。做到：堂堂正正做人，規(guī)規(guī)矩矩寫字。

課后反思：

一、興趣是學(xué)習(xí)的第一要素。本節(jié)課我很重視對學(xué)生寫字興趣的培養(yǎng)。課始的多媒體課件呈現(xiàn)的書法精品的目的既是為了讓學(xué)生獲得美感享受，又是為了激發(fā)學(xué)生的寫字興趣。

二、本節(jié)課比較重視對學(xué)生寫字姿勢的教育。

三、培養(yǎng)學(xué)生對精品書法作品的感受能力。

問題：

訓(xùn)練的量太小。

寫字課應(yīng)該將主要精力用于寫字，學(xué)生只有在寫字練習(xí)中才能學(xué)會(huì)寫字。但本節(jié)課學(xué)生用于寫字的時(shí)間還嫌過少了，客觀上影響力寫字課教學(xué)的效率。

第三篇：第八課《筆畫的組合--撇,捺的組合變化》

撇捺的組合變化（二課時(shí)）（講1+練1）

教學(xué)目標(biāo)：了解撇捺字的結(jié)構(gòu)規(guī)律掌握幾個(gè)常是撇捺字的準(zhǔn)確寫法。

教學(xué)重點(diǎn)：代表性字的結(jié)構(gòu)及寫法。教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)生在實(shí)踐中運(yùn)用。教學(xué)過程：

一、引入

常是多點(diǎn)字：行，皮，府，食，太，史，金，政，務(wù)，朱

二、授新

同一個(gè)字中出現(xiàn)相同筆畫，要防止雷同。撇捺兩分的字，不管是在上部、中部還是在下部 一般應(yīng)作主筆，要寫得舒展大方 行：字中，雙人旁的兩撇長短不同。皮：字中，兩個(gè)撇畫的形態(tài)與走向都不同。府：字中，兩撇有長和短、斜和直的不同。食：為了避免雷同，兩撇要有區(qū)別。

太：撇捺組合交接，一般是撇細(xì)捺粗，柳體中的捺的起筆應(yīng)放在撇上。

史：撇捺組合，柳體字多事撇低捺高。

第四篇：基本筆畫橫、豎教案（精選）

《橫和豎的寫法》的寫字教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目的：

1．使學(xué)生掌握橫和豎這兩種基本筆畫的書寫方法，包括起筆、收筆。

2．寫好帶有這兩種基本筆畫的字“十”、“三”、“工”等，注意生字中橫、豎的寫法。

3．培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察的品質(zhì)，規(guī)范書寫的習(xí)慣，先讀帖，再臨帖，后評品。在習(xí)字過程中滲透審美教育。

4．繼續(xù)培養(yǎng)良好的鉛筆寫字姿勢和執(zhí)筆方法。教學(xué)重難點(diǎn);學(xué)生能掌握好橫和豎這兩種基本筆畫的書寫方法 教學(xué)過程：

一、導(dǎo)入新課

1．今天老師請了兩位嘉賓，看哪位同學(xué)能認(rèn)出他們？ 2．師范寫：—、︱。

3．學(xué)生評議，起筆、收筆的輕重。4．思考：橫、豎的書寫有什么特點(diǎn)。

5．揭題，板書課題 第二課 橫和豎的寫法（全班齊讀課題）

二、指導(dǎo)書寫長橫、短橫。

1．師范寫，生觀察結(jié)構(gòu)，琢磨如何寫重筆。

2．指名寫，評議指出臨帖要領(lǐng)，橫的行筆方向稍向上行。3．全班練習(xí)寫三個(gè)“—”字。

注意：長橫起筆、收筆較重。短橫起筆較輕。

4、指名板演：評議

5．全班練習(xí)長橫、短橫各寫三個(gè)。

三、指導(dǎo)書寫帶有橫的字。1．指名讀：一、二、三。2．引導(dǎo)觀察占格。

3．生仿例寫字，同桌評議。

四、指導(dǎo)書寫“︱ ”。

（一）指導(dǎo)書寫重筆

1．師范寫，生觀察結(jié)構(gòu)，琢磨如何寫重筆。

2．指名寫，評議指出臨帖要領(lǐng)，豎的行筆方向稍向下。3．全班練習(xí)寫三個(gè)“︱ ”字。

（二）指導(dǎo)書寫垂露豎、懸針豎。

注意：垂露豎起筆、收筆較重。懸針豎起筆較重、收筆較輕。1．指名板演：評議

2．全班練習(xí)垂露豎、懸針豎各寫三個(gè)。

五、指導(dǎo)書寫帶有豎的字。

1．指名讀：

十、土、士、干、上、王、工、止、正。2．引導(dǎo)觀察占格。

3．師范寫，學(xué)生仿寫，展示評議。

八、教師總結(jié) 同學(xué)們，學(xué)完了這課后，我們要懂得寫漢字時(shí)是有筆順規(guī)則的，如寫：“

一、”是從左到右去寫；寫 “

十、土、士、干 ”是先橫后豎去寫；寫 “

二、三、王、工”時(shí)是從上到下去寫。然后，老師出示漢字的筆順規(guī)則小黑板，教學(xué)生讀。告訴學(xué)生，以后我們還要寫很多的漢字都要根據(jù)漢字的筆順規(guī)則去寫的。

第五篇：組合數(shù)學(xué)論文

生活中的組合數(shù)學(xué)

摘 要:組合數(shù)學(xué)在基礎(chǔ)理論方面和生活應(yīng)用方面都發(fā)揮著越來越重要的作用, 組合數(shù)學(xué)不僅在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究中具有極其重要的地位，在其他的學(xué)科中也有重要的應(yīng)用，如在計(jì)算機(jī)科學(xué)、編碼和密碼學(xué)、物理、化學(xué)、生物等學(xué)科中均有重要應(yīng)用。如果說微積分和近代數(shù)學(xué)的發(fā)展為近代的工業(yè)革命奠定了基礎(chǔ)，那么組合數(shù)學(xué)的發(fā)展則是奠定了21世紀(jì)計(jì)算機(jī)革命的基礎(chǔ)。因此隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)和其它許多新興應(yīng)用學(xué)科的發(fā)展,組合數(shù)學(xué)在基礎(chǔ)理論方面和生活應(yīng)用方面都發(fā)揮著越來越重要的作用,進(jìn)而需要我們對其進(jìn)行更加深層次的研究.關(guān)鍵詞:組合數(shù)學(xué);鴿巢原理;數(shù)學(xué)游戲

引言

隨著計(jì)算機(jī)的普及推廣,組合數(shù)學(xué)這門古老的學(xué)科煥發(fā)出蓬勃的生機(jī).組合數(shù)學(xué)是一門研究內(nèi)容豐富、應(yīng)用廣泛的學(xué)科,同時(shí)它也是一門講究方法,講究技巧的學(xué)科.組合數(shù)學(xué)的魅力在于找到巧妙的解法來完善的解決一個(gè)組合數(shù)學(xué)問題,計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的計(jì)算能力為尋求組合數(shù)學(xué)問題的巧妙解法提供了無限的可能,同時(shí)組合數(shù)學(xué)也反過來有效地推動(dòng)了計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展.組合數(shù)學(xué)在國外已有較快發(fā)展,在很多大學(xué)已設(shè)立組合數(shù)學(xué)與優(yōu)化理論專業(yè)來培養(yǎng)專門人才.我國對組合數(shù)學(xué)的研究具有一定的基礎(chǔ),特別是圖論研究和區(qū)組設(shè)計(jì)等方面已取得一定的成果.組合數(shù)學(xué)的發(fā)展顯然已經(jīng)改變了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中分析和代數(shù)占統(tǒng)治地位的局面,奠定了本世紀(jì)的計(jì)算機(jī)革命的基礎(chǔ).因此需要對其進(jìn)行更加深入的理論探討和實(shí)踐.本文正是基于這種思想,希望借以簡單的闡述引起人們對組合數(shù)學(xué)的更深層次的理解,并能夠?qū)⑵潇`活應(yīng)用于生活中.所以我想通過一些實(shí)例和數(shù)學(xué)史上的一些故事和難題,介紹了組合數(shù)學(xué)是如何在生活中應(yīng)用的.在研究了一些典型的例子和趣味性的故事的基礎(chǔ)上,系統(tǒng)的查閱了相關(guān)文獻(xiàn)，并結(jié)合生活中涉及組合數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行闡述,具體說明了組合數(shù)學(xué)的基本方法及其在生活中的應(yīng)用.這樣就使得晦澀的組合數(shù)學(xué)顯得更加形象,也使抽象的理論概念變得淺顯具體,更易被初學(xué)者理解和接受,以至于可以激發(fā)人們在生活中應(yīng)用組合數(shù)學(xué)的意識(shí).1.組合數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容

1.1概念

伴隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的高速發(fā)展,近年來,組合數(shù)學(xué)已漸漸成為一門新興起來的邊緣性、綜合性學(xué)科.關(guān)于組合數(shù)學(xué)到底是什么,數(shù)學(xué)界有許多種的看法.Richard A.Brualdi在其所著的《Introductory Combinatorics》一書中提到組合數(shù)學(xué)研究的是事物按照一定的規(guī)則安排,其中包括:對已知安排問題的研究，計(jì)數(shù)性問題,存在性問題.在《Basic Techniques of Combinatorial Theory》中有如此描述: 組合數(shù)學(xué)即為對已給定描述事物的研究有多少種或者是對某事物發(fā)生的途徑有多少種.綜上所述,組合數(shù)學(xué)主要研究的就是事物安排中所涉及的有關(guān)數(shù)學(xué)問題?1?.組合數(shù)學(xué)是研究任意一組離散性事物按照一定規(guī)則安排或配置的數(shù)學(xué).特別是當(dāng)指定的規(guī)則較簡單時(shí),計(jì)算一切可能的安排或配置的方法數(shù),就成為它研究的主要問題.現(xiàn)代組合數(shù)學(xué)有兩個(gè)主要特點(diǎn):其一,它大量應(yīng)用了抽象代數(shù)學(xué)工具和矩陣工具促使問題的提法和處理方法表現(xiàn)出極大的普遍性;其二,為了適應(yīng)計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展,它很注重對方法的能行性和程序化問題進(jìn)行研究.這樣,它又派生出算法組合學(xué)和組合算法等新的亞分支學(xué)科.1.2主要內(nèi)容

組合數(shù)學(xué)最早是同數(shù)論和概率論交叉在一起的.本世紀(jì)五十年代以來,特別是由于計(jì)算機(jī)科學(xué)的巨大發(fā)展,促使組合數(shù)學(xué)成為一支富有生命力的新興數(shù)學(xué)分支.與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程相比,組合數(shù)學(xué)研究的主要是一些離散事物之間所存在的某些數(shù)學(xué)關(guān)系,包括計(jì)數(shù)性問題、存在性問題、最優(yōu)化問題以及構(gòu)造性問題等,其內(nèi)容主要是枚舉和計(jì)數(shù).組合學(xué)中研究最多的主要是計(jì)數(shù)問題,該問題通常出現(xiàn)在所有的數(shù)學(xué)分支之中.計(jì)算機(jī)科學(xué)通常需要研究有關(guān)算法的內(nèi)容,就必須估計(jì)出算法所需的存儲(chǔ)單元和運(yùn)算量,即分析算法的空間復(fù)雜性和時(shí)間復(fù)雜性?2?.綜上,組合數(shù)學(xué)主要研究:排列組合、遞推關(guān)系和生成函數(shù)、鴿巢原理和容斥原理、貝恩賽特引理與波利亞定理以及區(qū)組設(shè)計(jì)與編碼等等.2.組合數(shù)學(xué)的基本解題方法

組合數(shù)學(xué)是離散數(shù)學(xué)的一個(gè)分支,其內(nèi)容零散,思想方法繁多,對于長期接受

連續(xù)性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的我們來說,通常感到很難抓住其要領(lǐng),無從下手,尤其是對新穎繁多的各種組合方法感到有些茫然.組合數(shù)學(xué)的方法很多,如加乘法則,抽屜法則,母函數(shù)法,逐步淘汰法等等,了解這些方法有助于培養(yǎng)我們學(xué)生的組合思維。

3.組合數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用舉例

組合數(shù)學(xué)是十分貼近于人們的生活的，因此組合問題在生活中非常常見。例如，求n個(gè)球隊(duì)參加比賽，每隊(duì)只和其他隊(duì)比賽一次的總比賽場數(shù)。例如，在紙上畫一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，用鉛筆沿著網(wǎng)絡(luò)的線路揍，在筆不離開紙面而且不重復(fù)線路的條件下，一筆畫出網(wǎng)絡(luò)圖。又例如這樣一個(gè)簡單的組合數(shù)學(xué)問題：一個(gè)船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜運(yùn)過河。而當(dāng)人不在場時(shí)，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能運(yùn)其中的一個(gè)，問人怎樣才能把三者都運(yùn)過河。下面介紹幾種組合數(shù)學(xué)中的著名問題。

1.地圖著色為題：對世界地圖著色，每一個(gè)國家使用一種顏色。如果要求相鄰國家的顏色相異，是否總共只需四種顏色？四色定理是一個(gè)著名的數(shù)學(xué)定理。它指出，如果將平面分成一些鄰接的區(qū)域，那么可以用不多于四種顏色來給這些區(qū)域染色，使得每兩個(gè)鄰接區(qū)域染的顏色都不一樣。另一個(gè)通俗的說法是：每個(gè)（無飛地的）地圖都可以用不多于四種顏色來染色，而且沒有兩個(gè)鄰接的區(qū)域顏色相同。被稱為鄰接的兩個(gè)區(qū)域是指它們有一段公共的邊界，而不僅僅是一個(gè)公共的交點(diǎn)。例如右圖左下角的四色圓盤中，紅色部分和綠色部分是鄰接的區(qū)域，而黃色部分和紅色部分則不是臨界區(qū)域。

盡管四色定理最初提出是和地圖染色工作有關(guān)，但四色定理本身對地圖著色工作并沒有特別的意義。據(jù)凱尼斯·梅在一篇文章中所言：“（實(shí)際中）用四種顏色著色的地圖是不多見的，而且這些地圖往往最少只需要三種顏色來染色。制圖學(xué)和地圖制圖史相關(guān)的書籍也沒有四色定理的記載。”

一些簡單的地圖只需要三種顏色就夠了，但有時(shí)候第四種顏色也是必須的。比如說當(dāng)一個(gè)區(qū)域被三個(gè)區(qū)域包圍，而這三個(gè)區(qū)域又兩兩相鄰時(shí)，就得用四種顏色才行了。“是否只用四種顏色就能為所有地圖染色”的問題最早是由一位英國制圖員在1852年提出的，被稱為“四色問題”。人們發(fā)現(xiàn)，要證明寬松一點(diǎn)的“五定理”（即“只用五種顏色就能為所有地圖染色”）很容易，但四色問題卻出人意料地異常困難。曾經(jīng)有許多人發(fā)表了四色問題的證明或反例，但都被證實(shí)是錯(cuò)誤的。

1977年，數(shù)學(xué)家凱尼斯·阿佩爾（英語：Kenneth Appl）和沃夫?qū)す希ㄓ⒄Z：Wolfgang Haken）借助電子計(jì)算機(jī)首次得到了一個(gè)完全的證明，四色問題也終于成為了四色定理。這是首個(gè)主要由計(jì)算機(jī)證明的定理。這個(gè)證明一開始并不為許多數(shù)學(xué)家接受，因?yàn)椴簧偃苏J(rèn)為這個(gè)證明無法用人手直接驗(yàn)證。盡管隨著計(jì)算機(jī)的普及，數(shù)學(xué)界對計(jì)算機(jī)輔助證明更能接受，但仍有數(shù)學(xué)家對四色定理的證明存疑。

船夫過河問題：船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜運(yùn)過河。只要船夫不在場，羊就會(huì)吃白菜、狼就會(huì)吃羊。船夫的船每次只能運(yùn)送一種東西。怎樣把所有東西都運(yùn)過河？這是線性規(guī)劃的問題。

中國郵差問題：由中國組合數(shù)學(xué)家管梅谷教授提出。郵遞員要穿過城市的每一條路至少一次，怎樣行走走過的路程最短？這不是一個(gè)NP完全問題，存在多項(xiàng)式復(fù)雜度算法：先求出度為奇數(shù)的點(diǎn)，用匹配算法算出這些點(diǎn)間的連接方式，然后再用歐拉路徑算法求解。

河洛圖：我國古代的河洛圖上記載了三階幻方，即把從一到九這九個(gè)數(shù)按三行三列的隊(duì)行排列，使得每行，每列，以及兩條對角線上的三個(gè)數(shù)之和都是一十五。組合數(shù)學(xué)中有許多象幻方這樣精巧的結(jié)構(gòu)。1977年美國旅行者1號、2號宇宙飛船就帶上了幻方以作為人類智慧的信號。

裝箱問題：當(dāng)你裝一個(gè)箱子時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)要使箱子盡可能裝滿不是一件很容易的事，你往往需要做些調(diào)整。從理論上講，裝箱問題是一個(gè)很難的組合數(shù)學(xué)問題，即使用計(jì)算機(jī)也是不容易解決的。

是否存在穩(wěn)定婚姻的問題：假如能找到兩對夫婦（如張（男）--李（女）和趙（男）--王（女）），如果張（男）更喜歡王（女），而王（女）也更喜歡張（男），那么這樣就可能有潛在的不穩(wěn)定性。組合數(shù)學(xué)的方法可以找到一種婚姻的安排方法，使得沒有上述的不穩(wěn)定情況出現(xiàn)（當(dāng)然這只是理論上的結(jié)論）。這種組合數(shù)學(xué)的方法卻有 一個(gè)實(shí)際的用途：美國的醫(yī)院在確定錄取住院醫(yī)生時(shí)，他們將考慮申請者的志愿的先后次序，同時(shí)也給申請排序。按這樣的 次序考慮出的總的方案將沒有醫(yī)院和申請者兩者同時(shí)后悔的情況。實(shí)際上，高考學(xué)生的最后錄取方案也可以用這種方法。

管理調(diào)度問題：我們還會(huì)遇到更復(fù)雜的調(diào)度和安排問題。例如，在生產(chǎn)原子彈的曼哈頓計(jì)劃中，涉及到很多工序，許多人員的安排，很多元件的生產(chǎn)，怎樣安排各種人員的工作，以及各種工序間的銜接，從而使整個(gè)工期的時(shí)間盡可能短？這些都是組合數(shù)學(xué)典型例子。又比如，假日飯店的管理中，也嚴(yán)格規(guī)定了有關(guān)的工序，如清潔工的第一步是換什么，清洗什么，第二步又做什么，總之，他進(jìn)出房間的次數(shù)應(yīng)該最少。既然，這樣一個(gè)簡單的工作都需要講究工序，那么一個(gè)復(fù)雜的工程就更不用說了。

鋪地磚問題：我們知道，用形狀相同的方型磚塊可以把一個(gè)地面鋪滿（不考慮邊緣的情況），但是如果用不同形狀，而又非方型的磚塊來鋪一個(gè)地面，能否鋪滿呢？這不僅是一個(gè)與實(shí)際相關(guān)的問題，也涉及到很深的組合數(shù)學(xué)問題。

組合數(shù)學(xué)還可用于金融分析：組合數(shù)學(xué)還可用于金融分析，投資方案的確定，怎樣找出好的投資組合以降低投資風(fēng)險(xiǎn)。南開大學(xué)組合數(shù)學(xué)研究中心開發(fā)出了“

金沙股市風(fēng)險(xiǎn)分析系統(tǒng)”現(xiàn)已投放市場，為短線投資者提供了有效的風(fēng)險(xiǎn)防范工具。

總之，組合數(shù)學(xué)無處不在，它的主要應(yīng)用就是在各種復(fù)雜關(guān)系中找出最優(yōu)的方案。所以組合數(shù)學(xué)完全可以看成是一門量化的關(guān)系學(xué)，一門量化了的運(yùn)籌學(xué)，一門量化了的管理學(xué)。

3.1 乘法原則與加法原則的應(yīng)用舉例

下面看看組合數(shù)學(xué)在生活中的實(shí)際應(yīng)用.（以下假設(shè)A和B是兩類互不關(guān)聯(lián)、互不相同的事件.）組合數(shù)學(xué)問題在生活中非常常見。例如，求n個(gè)球隊(duì)參加比賽，每隊(duì)只和其他隊(duì)比賽一次的總比賽場數(shù)。例如，在紙上畫一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，用鉛筆沿著網(wǎng)絡(luò)的線路揍，在筆不離開紙面而且不重復(fù)線路的條件下，一筆畫出網(wǎng)絡(luò)圖。又例如這樣一個(gè)簡單的組合數(shù)學(xué)問題：一個(gè)船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜運(yùn)過河。而當(dāng)人不在場時(shí)，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能運(yùn)其中的一個(gè)，問人怎樣才能把三者都運(yùn)過河。

加法原則可定義為:設(shè)事件A有m種選擇方式,事件B有n種選擇方式,則選A或B共有m?n種方式.例如,大于1小于9的的奇數(shù)有3個(gè),分別為3,5,7,9;大于1小于9的偶數(shù)有4個(gè),分別為2,4,6,8.則大于1小于9的整數(shù)有7個(gè),即2,3,4,5,6,7,8.這里事件A為大于1小于9的奇數(shù),事件B為大于1小于9的偶數(shù).而大于1小于9的整數(shù)即是屬于A或者屬于B.乘法原則可以定義為:設(shè)事件A有m種選取方式,事件B有n種選取方式,那么選取A以后再選取B共有m?n種方式.例如,從3個(gè)黑人、5個(gè)白人、9個(gè)黃種人中各選出1位的方式有3?5?9?135種方式.而從中共選出一人的方式有3?5?9?17種方式.下面再用一個(gè)實(shí)例看看這兩個(gè)法則是如何應(yīng)用的.例5 某旅行社開辟了從北京去長白山和天山2條旅游線路,稱為北線；從北京去西湖、黃山、峨眉山3條旅游線路,稱為南線.問該社共有多少條不同的線路？如某人選定了從北京去四川,先要在西安中轉(zhuǎn),北京到西安有3種航班可選,西安到四川又有2種航班可選,問共有多少種不同的航班配置方式？

分析

由所學(xué)的概率知識(shí)可知,互不相容事件A1、A2,則其和的概率等于各自

概率之和,即P(A1?A2)?P?A1??P?A2?;同理,二個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率P?A1?A2??P?A1??P?A2?.解

由加法原理可知,該社共有的線路條數(shù)P1?2?3?5條.由乘法原理可知,共有的航班配置方式P2?3?2?6種.3.2 Ramsey定理的應(yīng)用舉例

首先是抽屜原理,大家也許早就聽說過這樣的智力問題“:從10雙鞋子中隨便拿幾只能保證有一雙相配的鞋?”答案顯然是至少3只.大家不難根據(jù)同樣的原理編造出許多新問題.這個(gè)原理本身可以很形象的表述為:“把多于n個(gè)東西任意放進(jìn)n個(gè)抽屜,那么一定有一個(gè)抽屜放進(jìn)了不止一個(gè)東西”.因?yàn)?9世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家狄利克雷曾用這個(gè)原理證明過數(shù)學(xué)命題,所以把它叫做狄氏抽屜原理,或簡稱抽屜原理.它雖然簡單,但利用它可以證明不少并不簡單的結(jié)論.其次是鴿巢原理.鴿巢原理是組合數(shù)學(xué)中最簡單最基本的原理,和抽屜原理其實(shí)是異曲同工.鴿巢原理可簡單的描述為:“若有n個(gè)鴿巢,而鴿子多余n只,若每只鴿子必須進(jìn)巢,則至少有一個(gè)鴿巢內(nèi)的鴿子多于一只.”

下面簡要舉一個(gè)用鴿巢原理解決實(shí)際問題的例子.例6

一間屋內(nèi)有10個(gè)人,他們當(dāng)中沒有人超過60歲（年齡只以整數(shù)給出）但又至少不低于1歲.試證明:總能找出兩組人（兩組不含相同的人）,各組的年齡和是相同的.解

設(shè)Y??y1,y2,???,y10?為屋內(nèi)10個(gè)人的年齡構(gòu)成的集合,集合Y的所有k個(gè)

121010k?C10?????C10?2?1種,不同元素之和共有C10,則所有可能的不同元素之和有C10記這些和為S??s1,s2,???,s1023?,由題設(shè)條件可知:

1?si?60,i?1,2,???,1023.因此,由鴿巢原理原理可知S中至少有兩個(gè)元素是相同的,設(shè)為si?sj.如果年齡和si和sj的人中有相同的人,則把這些相同的人去掉,即為要找的兩組年齡和相同的人.最后就是集會(huì)問題.這也是一個(gè)廣為流傳的趣味數(shù)學(xué)問題:“證明在至少有6個(gè)人參加的集會(huì)上,與會(huì)者中或者有3個(gè)人以前互相認(rèn)識(shí),或者有3個(gè)人以前彼此都不認(rèn)識(shí).”因?yàn)?人集會(huì)中成員間的情況共有215?32728種.下面就針對這個(gè)問題給予簡單證明.例7?7?

試證明6個(gè)人中一定有3個(gè)人相互認(rèn)識(shí)或相互不認(rèn)識(shí).證明

先考慮6個(gè)人中的任意一個(gè)人,不妨把這個(gè)人稱作p.則其他的5個(gè)人可以分為下面的兩個(gè)集合F和S.其中F表示與p相識(shí)的人的集合,S表示與p不相識(shí)的人的集合.由鴿巢原理知,這兩個(gè)集合中至少有一個(gè)集合包含有3個(gè)人.若F包含有3個(gè)人,則這3個(gè)人或者彼此不相識(shí),或者有兩個(gè)人彼此相識(shí).如果F中有3個(gè)人彼此不相識(shí),則結(jié)論成立.如果F中有2人相識(shí),則由于這兩個(gè)人都與p相識(shí),因此有3人彼此相識(shí),故定理結(jié)論成立.類似的,如果S包含3個(gè)人,則這3個(gè)人或者彼此相識(shí),或者有兩個(gè)人彼此不相識(shí).如果這3個(gè)人彼此相識(shí),則結(jié)論成立.如果有兩個(gè)人彼此不相識(shí),則由于這兩個(gè)人都與p也不相識(shí),因此有3個(gè)人彼此不相識(shí),故定理結(jié)論成立.3.3 線性規(guī)劃法的應(yīng)用實(shí)例

線性規(guī)劃是最簡單,應(yīng)用最廣泛的一種數(shù)學(xué)規(guī)劃方法,也是使用最早的一種 優(yōu)化方法.在組合數(shù)學(xué)中,線性規(guī)劃問題可以歸結(jié)為一類條件極值問題.例8 某電視機(jī)廠有100臺(tái)彩電的訂單要在三周內(nèi)交貨,在第一,第一和第三周生產(chǎn)x臺(tái)彩電的費(fèi)用分別是120x,1.2x2,1.5x2.求每周生產(chǎn)彩電的數(shù)目的最優(yōu)策略.解

假設(shè)xi?i?1,2,3?表示在第i周生產(chǎn)的彩電數(shù),fi?xi?表示第i周生產(chǎn)xi臺(tái)彩電的費(fèi)用,則此問題的數(shù)學(xué)模型為

min y?f1?x1??f2?x2??f3?x3??120x1?1.2x22?1.5x32，s.t.x1?x2?x3?100，xi?0,i?1,2,3.假設(shè)Fk?x?表示在前k周生產(chǎn)x臺(tái)彩電所得到的最小費(fèi)用,則由最優(yōu)原理可得出如下的遞歸方程

F1?x??f1?x?，F(xiàn)k?x??min0?xk?x?fk?xk??Fk?1?x?xk??,k0?x?100.?2,3, 原問題的解就是F.（100）3由上式可知

F1?x??f1?x?=120x，F(xiàn)2?x??min0?x2?x?f2?x2??F1?x?x2??, ?f3?x3??F?x?x3??.F3?x??min0?x3?x解上面的遞歸方程,可得當(dāng)x1?10,x2?50,x3?40時(shí)有最小值

F3?100??6600.即第一周生產(chǎn)10臺(tái)彩電,第二周生產(chǎn)50臺(tái)彩電,第三周生產(chǎn)40臺(tái)彩電,可獲得最小費(fèi)用6600.3.4 游戲中的組合數(shù)學(xué) 3.4.1哥尼斯堡七橋問題

18世紀(jì)初在東普魯土有這樣一個(gè)問題:某條河上有兩個(gè)島嶼,城市中的四部分可以由七個(gè)橋來連接起來．那么可否經(jīng)過每個(gè)橋并且每個(gè)橋只能走一次？（如圖1上圖所示）．

圖1 在18世紀(jì)中期,歐拉成功論證了該問題,也即是合適的方案并沒有,不可能每座橋走過且僅走過一次．歐拉把該實(shí)際問題形象地簡化成同一平面上線與點(diǎn)的組合問題,將每一座橋看成一條線,每座橋所連接的地方看作點(diǎn).因此,從某一點(diǎn)出發(fā)再回

到這一點(diǎn)的問題,可轉(zhuǎn)化成一個(gè)一筆畫的問題?8?.歐拉采用概念映像法來解決該類問題,亦即抽象分析法.將七橋問題中的橋與陸地之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)用S表示,用x表示一次可否同時(shí)走過此七座橋的問題.歐拉使用了一種方法,即用概念映像?將橋視為幾何線,將連接的地點(diǎn)視為幾何點(diǎn),則在?映像下可得到(S;x)→(Sn;xn).如此,Sn則可表示如圖1下圖的點(diǎn)線圖.之前的問題x便對應(yīng)變成能否一筆畫出如圖1下圖所示的平面圖問題xn.也即xn就是關(guān)于上述點(diǎn)線圖的一筆畫問題.歐拉的這種方法就是組合數(shù)學(xué)中后來的關(guān)系映像反演方法的最早體現(xiàn)．

3.4.2“三同六變”的問題

中國的王文紊在其所著的《算學(xué)寶鑒》一書中詳細(xì)記載了一個(gè)名為“三同六變”的題目:

“假令二十四老人,長者壽高一百,次者遞減一歲,止于七十七．共積總壽二千一百二十有四．卜(疑為‘赴’)會(huì)三社,八老相會(huì),七百八歲,蓋因人情逸順,散而復(fù)會(huì),共換六次,其積(即和)仍均七百有八,屯(疑為‘求’)見連用之道．”?8?

它的意思也即是說:有24位老人,每8人一起,分三處赴會(huì),每處年齡之和均為708歲,并且年齡從100歲到77歲,依次遞減1歲．那么如何分配,分配方法有多少種?

在該書當(dāng)中共列出了6種解答,并且作了注釋,“其變尤多,不及備述”．

對這個(gè)問題加以推廣,便可得到一類 “n同k聚”的問題:在自然數(shù)集合N內(nèi),任意選取nk(k=2,3,4, ?)個(gè)連續(xù)自然數(shù)作為集合M,將M任意劃分為n個(gè)互不相交子集M1,M2,M3,?,Mn,而每個(gè)子集均有k個(gè)元素,并且各個(gè)子集元素之和相等,求M1,M2,M3,?,Mn．這個(gè)問題為中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的渾圓圖給出了另一解釋.結(jié)束語

這篇論文只是介紹了組合數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用的一小部分,希望借此論文可以激起我們對組合數(shù)學(xué)的關(guān)注,學(xué)會(huì)在生活中運(yùn)用組合數(shù)學(xué)來解決具體的問題.組合數(shù)學(xué)這個(gè)富有生命力的數(shù)學(xué)分支,涉及生活中的各個(gè)領(lǐng)域, 作為計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生，我們必須把組合數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)放在一個(gè)重要的位置上來，掌握基本的組合數(shù)學(xué)原理，培養(yǎng)專業(yè)的數(shù)學(xué)思維，這樣才能在以后的工作學(xué)習(xí)中掌握主動(dòng)和先機(jī)。才能在將來為中國的計(jì)算機(jī)軟件事業(yè)做出自己的貢獻(xiàn)。

參考資料

百度知道：http://zhidao.baidu.com 百度百科：http://baike.baidu.com/view/44868.htm http://zhidao.baidu.com/question/33561976.html 百度文庫；http://wenku.baidu.com/view/b7d3f019f18583d0496459e9.html http://wenku.baidu.com/view/41879a15cc7931b764ce1507.html http://wenku.baidu.com/view/d0bc7b1dc281e53a5802ffeb.html http://wenku.baidu.com/view/a42acc270722192e4536f63b.html http://wenku.baidu.com/view/9bacf1f9f705cc1755270986.html http://wenku.baidu.com/view/33e0ad3143323968011c9213.html 維基百科：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6