第一篇：余弦定理新的證明探討

余弦定理新的證明探討

摘 要

余弦定理是揭示三角形邊角關系的重要定理，是解決數(shù)理學科和前沿科學領域中相關問題的一種有效的重要方法。它是代數(shù)學中的重點和難點，在解決三角問題、函數(shù)問題等方面發(fā)揮了重要的作用。國內(nèi)外有關余弦定理證明的探討和應用及其推廣的研究非常多，涉及范圍很廣，說明了其重要性和應用的廣泛性。國外對余弦定理的證明與應用的研究主要是由于前沿科學領域及實際生活發(fā)展的需要，在教學中尋求新的證明探討涉及甚少，而國內(nèi)在尋求其新的證明探討與應用方面的研究甚為廣泛。但余弦定理新的證明方法及推廣與應用仍有值得研究的問題。比如：余弦定理通常用于求解三角函數(shù)問題，而其用途不僅僅限于此，如：余弦定理證明在數(shù)學教學、數(shù)學分析、立體幾何中的應用等。但是針對余弦定理在應用中存在的局限性，是否能探究其新的證明方法，并將其做相應的推廣來解決相關問題，擴寬其應用的范圍，使得在運用余弦定理解決代數(shù)問題和幾何問題方面更加實用方便，這就是文章探討的問題所在，這樣的研究在國內(nèi)外相對較少。基于已有的余弦定理若干要點的探討和應用，本文在前人研究的基礎上，漫談了余弦定理的思想史略，探究余弦定理在代數(shù)與幾何中的新的證明，分別給出了不同形式的余弦定理新的證明方法，并對其做出了相應的推廣，體現(xiàn)了其不同證明方法的新穎性和優(yōu)越性.關鍵詞：余弦定理；勾股定理；證明；定理；推論

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目 錄 引言···········································································································································1 2 文獻綜述···································································································································1 2.1國外研究現(xiàn)狀·························································································································1 2.2國內(nèi)研究現(xiàn)狀·························································································································1 2.3國內(nèi)外研究現(xiàn)狀評價·············································································································1 2.4提出的問題·····························································································································2 3 余弦定理的數(shù)學思想史略·······································································································2 3.1三角學的確立與發(fā)展狀況·····································································································2 3.2余弦定理的由來·····················································································································2 4 余弦定理及其新的證明···········································································································3 4.1關于余弦定理的注記·············································································································3 4.2余弦定理新的證明·················································································································5 4.2.1從幾何角度直觀證明余弦定理 ··································································································5 4.2.2角余弦定理的證明與應用 ·········································································································7 4.2.3證明余弦定理又一方法······································································································9 4.2.4立體幾何的余弦定理及其證明························································································10 4.2.5 n維余弦定理的新證明·····································································································13 5 總結 ········································································································································15 5.1 主要發(fā)現(xiàn) ·····························································································································15 5.2 啟示 ·····································································································································15 5.3 局限性 ·································································································································16 5.4 努力方向 ·····························································································································16 6 參考文獻·································································································································16

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1引言

余弦定理的證明及推廣應用的發(fā)展歷程在三角函數(shù)、立體幾何等數(shù)學領域已經(jīng)凸顯出巨大的潛在價值，關于它的研究，已有許多獨特而新穎的碩果。余弦定理通常應用于三角問題、函數(shù)問題、幾何問題及數(shù)理天文學問題等方面的求解，國內(nèi)和國外的研究各有其獨到之處。現(xiàn)有對余弦定理的證明方法的探討及推廣應用，體現(xiàn)了其重要性和應用的廣泛性，如：余弦定理證明在中學數(shù)學教學、數(shù)學分析、立體幾何中的應用等等。但是針對余弦定理在應用中存在的局限性，是否能探究余弦定理的新的證明方法，并將其做相應的推廣應用來解決相關問題，這樣的研究值得深入探究.基于對已有的余弦定理若干要點的探討和應用，本文在前人研究的基礎上，漫談了余弦定理的思想史略，探究余弦定理在代數(shù)與幾何中的新的證明，分別給出了不同形式的余弦定理新的證明方法，并對其做出了相應的推廣應用，體現(xiàn)了其證明與應用的新穎性和優(yōu)越性.2 文獻綜述

2.1國外研究現(xiàn)狀

國外對余弦定理的研究主要是應用于解決數(shù)理天文學和其他學科如測量學與地理學方面的問題，而在教學上探討新的證明則很少涉及.天文學家阿爾.巴塔尼的《天文論著》（又名《星的科學》）被普拉托譯成拉丁文后，在歐洲廣為流傳，哥白尼、第谷、開普勒、伽利略等人都利用和參考了它的成果.在該書中阿爾.巴塔尼創(chuàng)立了系統(tǒng)的三角學術語，如正弦、余弦、正切、余切[1]；發(fā)現(xiàn)球面三角形余弦定理cos??cosbcosc?sinbsinccosA，繼而為平面三角形的重要定理—— 正弦定理和余弦定理的發(fā)現(xiàn)奠定了基礎，其證明的思想方法具有一定新穎性,值得借鑒.2.2國內(nèi)研究現(xiàn)狀

國內(nèi)有關余弦定理的理論從國外引進，在立體幾何、雙曲平面上以及現(xiàn)實生活中發(fā)揮了重要的作用，國內(nèi)余弦定理很少談及學科領域的相關證明問題，但相關的應用有一定發(fā)展。如：王書在其編寫的數(shù)學解題方法與技能中較詳細地闡述了利用三角法進行復數(shù)的乘方計算，先把復數(shù)寫成三角函數(shù)式后，角按公式[r(cos??sin?)]n?rn(cosn??sinn?)（n是正整數(shù)）計算比較容易；劉鴻坤、曾容、李大元等編著的中、美歷屆數(shù)學競賽試題精編第三十二屆美國中學數(shù)學競賽試題（1981年）中的第24題的應用，將超越方程利用三角函數(shù)式轉化為復數(shù)形式求解，說明了余弦定理在數(shù)理學科領域的重要性.2.3國內(nèi)外研究現(xiàn)狀的評價

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上述文獻中已給出了余弦定理相關的探討和應用，說明了余弦定理的重要性和應用的廣泛性，但其還有值得研究的空間和余地.在余弦定理證明與應用方面的研究國內(nèi)相對于國外的研究較廣泛,而且很多研究問題及結論有很好的借鑒價值,可以作為研究的理論基礎；而國外,更多的研究主要在于將余弦定理應用于解決前沿學科（如數(shù)理天文學、歷法、航海等）的問題.但在學科領域的不同方面能否得到余弦定理的不同的新的證明方法，從而提高余弦定理在理論研究中的有效性，這方面的研究較少.2.4提出問題

鑒于國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀，一般的余弦定理的證明不僅只能解決前沿學科中的數(shù)理問題，而且該定理在證明運用中有一定的局限性，那么能否弱化余弦定理的局限性，拓寬余弦定理的證明方法的范圍，或者將余弦定理新的證明進行推廣對教學方法的啟示，從而體現(xiàn)余弦定理新的證明的優(yōu)越性和應用的廣泛性，本文針對此類問題作詳細探討.3 余弦定理的數(shù)學思想史略

3.1三角學的確立和發(fā)展概況

“三角學”原意是三角形測量,也就是解三角形，這是三角學的基本問題之一.后來范圍逐漸擴大, 發(fā)展為研究三角函數(shù)及其應用的一個數(shù)學科目.[2]三角學的發(fā)展和天文學、幾何學有著不可分割的關系，國外對三角學的研究的起源是計算數(shù)理天文學方面的精確問題。而正、余弦定理是三角學建立的基礎，三角學的確立是以正、余弦定理為標志，因為三角學是尋求邊與角的關系來解決三角問題, 正、余弦定理正是把邊與角建立起聯(lián)系.三角學的發(fā)展經(jīng)歷從脫離天文學而獨立，到以歐拉的《無窮小分析引論》為代表的過程，標志著三角學從研究三角形解法進一步轉變?yōu)檠芯咳呛瘮?shù)及其應用的一個分析學的分支。

希臘三角學起源于天文學的定量研究,由于球面幾何方面的研究的需要，從而球面三角學便開始萌芽。隨著生產(chǎn)不斷進步,為了修訂歷法、航海和研究地理, 需要建立定量的天文學, 便產(chǎn)生了三角學的雛形.其代表人物有希帕克、托勒密和梅內(nèi)勞斯, 在梅內(nèi)勞斯時期達到頂峰.由于數(shù)理天文學的需要，阿拉伯人繼承并推進了希臘的三角術，其學術主要來源于印度的《蘇利耶歷數(shù)全書》等天文歷表，以及希臘希臘托勒玫的《大成》、梅內(nèi)勞斯的《球面學》等古典著作。阿拉伯三角學是在印度天文名著的基礎上發(fā)展的, 揭示了三角量的性質(zhì)及其關系, 給出了平面三角形和球面三角形的全部解法, 并制造了一系列的三角函數(shù)表.三角學通過阿拉伯學家的工作逐漸從天文學中分化出來發(fā)展成為一門獨立的學科。其主要的代表人物有阿爾.哈巴士、阿爾.巴塔尼、阿布爾.威發(fā)、阿爾.畢魯尼和納速.拉丁

歐洲三角學是在阿拉伯數(shù)學家納速.拉丁《論四邊形》著作的基礎上研究的, 將平面三角、球面幾何和球面三角有機地結合起來, 制定更精確的三角函數(shù)表,以至于我們現(xiàn)今仍在使用, 使三角學進一步系統(tǒng)化, 成為一個獨立的數(shù)學分支, 從而確立了三角學.由此, 三角學在天文學及其他學科如測量學方面得到廣泛的應用.其代表人物有雷基奧蒙坦、雷提卡斯、韋達.3.2 余弦定理的由來

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平面三角的余弦定理是在歐幾里得的《原本》中間接地提出來,平面三角的余弦定理的確立和運用是隨航海學和地理學的發(fā)展, 而平面三角學是在球面三角學的研究的基礎上提出的。隨著測量耕種土地的面積、測量長度與測量方位及歷法和航海發(fā)展等實際的需要，希臘三角學（球面三角學）中包括平面三角的基礎內(nèi)容,平面三角的重要定理——正弦定理和余弦定理在此條件下產(chǎn)生.其數(shù)學思想方法和思路如下:

圖 1 分析：如圖1，△ABC三邊CB、CA、AB長度為a、b、c，首先將斜三角形分割成兩個直角三角形,再由勾股定理即可證得余弦定理.證明：在Rt?BCD和Rt?ABD中，根據(jù)勾股定理

222 ? p2?a2?d2，p?c?(b?d)22222p?a?d?c?(b?d)?

即c2?a2?b2?2bd(1)在Rt?BCD中，?d?acos?C(2)將（2）帶入（1）中，?c2?a2?b2?2abcos?C.阿拉伯數(shù)學家阿爾.巴塔尼在進行球面三角研究過程中, 利用平面三角的知識來證明球面余弦定理, 他的方法是通過作出斜三角形某一個邊上的高之后, 將問題轉化為求直角三角形的解,他研究出余弦定理的結果應用到證明球面三角邊的余弦定理.十五世紀前葉，阿拉伯數(shù)學家阿爾.卡西給出了平面三角的余弦定2222理的下述形式:a?(b?ccosA)?csinA..韋達在1593年給出了平面三角的余弦定理2ab1?2220的下述形式:a?b?csin(90?C).期內(nèi)爾在1627年給出了平面三角的余弦定理的2ab1?.22下述形式:c?(a?b)1?cosC[3]

4余弦定理及其新的證明

4.1關于余弦定理的注記

余弦定理的證明是運用“向量相乘”的方法進行的，其可化復雜為簡便，其是向量式與數(shù)量式之間相互轉化的常用方法。余弦定理的結論及其證明如下：

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在△ABC中，AB、BC、CA的長為c、a、b，第一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去另外兩邊的2倍乘第一邊對角的余弦.如c2?a2?b2?2abcos?C.圖

分析：因為AC?CB?AB,所以可從以下兩方向入手，證明余弦定理并得其推論.定理：(AC?CB).(AC?CB)?AB.AB，由此可推出余弦定理，三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積得兩倍。即

?a2?b2?c2?2bccos?A[4]?222b?a?c?2accos?B.??c2?a2?b2?2abcos?C?證明：

?(AC?CB)(AC?CB)?AB.AB，且AB?c、AC?b、CB?a?AC.AC?CB.CB?2AC.CB?AB.AB即AC?CB?2AC.CBcos(???C)?AB?b2?a2?2bacos?C?c2即c2?a2?b2?2abcos?C.222

推論:(AC?CB).AB?AB.AB,可推出平面三角的射影定理，即

?a?bcosC?ccosB[5]? 射影定理?b?ccosA?acosC.?c?acosB?bcosA? 證明：

?(AC?CB).AB?AB.AB,AB?c、CB?a、AC?b.?AC.AB?CB.AB?AB.AB?AC.ABcos?A?CB.ABcos?B?AB即bccos?A?accos?B?c2?bcos?A?acos?B?c即c?acos?B?bcos?A.2

余弦定理可解決以下兩類有關三角形的問題：一類是已知兩邊和它們的夾角，求解三角形；另一類是已知三邊，求解三角形。已知三角形的兩邊和其中一

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邊的對角，因為它不滿足三角形全等的條件，故可能有兩解、一解、甚至無解，用正弦定理求解心里不踏實；用余弦定理求解則只要看相應的一元二次方程是否有兩正數(shù)解、一正數(shù)解或無正數(shù)解即可。

4.2余弦定理新的證明

余弦定理可以用于求值、求角或角的范圍、用于化簡、判斷三角形的形狀、用于證明三角不等式、用于研究函數(shù)的性質(zhì)或用于研究函數(shù)的最值等等。

4.2.1從幾何角度直觀證明余弦定理

在平面三角形中, 對于余弦定理這樣的基本結果, 我們總是能夠從不同的角度來理解它, 下面我們從幾何的角度給出該定理的幾個直觀證明.方法一：應用勾股定理證明.圖

圖

分析： 此證明方法直接由坐標法的證明演化而來.證明一： 在Rt?ACD中,AC=b、AB=c、BC=a(圖 3).?AD?bsinC,CD?bcosC,BC?a,AD?BC

?BD?BC?CD,即BD?a?bcosC

在Rt?ABD中,根據(jù)勾股定理，?AB2?AD2?BD2,即c2?(bsinC)2?(a?bcosC)2 整理得c2?a2?b2?2abcosC.證明二：在Rt?ACD中，AC=b,?ACD????C(圖 4).?CD?bcos?ACD,AD?bcos?ACD,即CD?bcos(???C),AD?bsin(???C)?CD??bcos?C,AD?bsin?C

在Rt?ABD中，根據(jù)勾股定理，?BD?BC?CD,AB2?AD2?BD2 ?c2?(bsin?C)2?(a?bcos?C)2 整理得c2?a2?b2?2abcosC.第 7 頁

方法二：應用Ptolemy定理證明.分析：圓內(nèi)接四邊形的兩組對邊乘積之和等于兩對角線的乘積, 這就是有名的Ptolemy定理，即AB'.CB?AC.B'B?B'C.AB.以下用Ptolemy定理來證明余弦定理.圖

證明：在△ABC的外接圓里,取AB'?CB,且BC?a，?AB?CB'?a

??ABC??CB'A，則BC?BA?c

'又?BB'?b?2acos(??C),根據(jù)Ptolemy定理

2??C)?a2?b2?2abcosC ? c?c.c?a.a?b.b?2acos(即c2?a2?b2?2abcosC

方法三：應用圓冪定理證明.圖 6

圖 7

分析：如圖6和圖7,以B為圓心,以a為半徑畫圓,則有AD.AE?AF.AC..其中圓的半徑為a，AB=c，AC=b.證明一：在圖6里, ?AB?c,BD?BC?BE?a,AD?AB?BD,CF?2acosC

?AD=a+c,AE=a-c,AF=CF-CA=2acosC-b，根據(jù)AD.AE?AF.AC.?(a?c)(a?c)?(2acosC?b).b,即c?a?b?2abcosC.222 證明二：在圖7里, ?AB?c,BD?BC?BE?BF?a,AD?AB?BD,AF?AC?CF

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??BCF是等腰三角形，有CF?2cos(??C),AD=c+a,AE=c-a AF?AC?CF?b?2acos(??C)?b?2acosC.根據(jù)AD.AE?AF.AC.222(c?a)(c?a)?(b?2acosC).b,即c?a?b?2abcosC.?4.2.2角余弦定理的證明與應用

角勾股定理與角余弦定理是勾股定理和余弦定理與之相對應的角形式，它們有著廣泛的應用，現(xiàn)給出如下證明與應用舉例：

定理1：若A、B、C構成一個三角形的三個內(nèi)角，則

sin2A?sin2B?sin2C?2sinBsinCcosAsin2B?sin2A?sin2C?2sinAsinCcosBsin2C?sin2A?sin2B?2sinAsinBcosC（4）

證明：在?ABC中,設?A、?B、?C所對的邊為a、b、c.222 ?余弦定理為a?b?c?2bccosA(5)根據(jù)“正弦定理”，有a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(6)(6)分別代入5），即(2RsinA)2?(2RsinB)2?(2RsinC)2?2(2RsinB)(2RsinC)cosA

?sin2A?sin2B?sin2C?2sinBsinCcosA，證畢.（4）的其余二式同理可證.引伸：當上述公式中的A、B、C為任意角時, 應用誘導公式化為銳角?、?和?的三角函數(shù),若滿足條件:??????1800，定理仍成立。由定理2和引伸,我們又有如下的推論: ? 推論1：若??????，則sin2??cos2??sin2??2cos?sin?cos?.2?證明：已知??????，sin2??cos2??sin2??2cos?sin?cos?

2??只需證明sin2??sin2(??)?sin2??2sin(??)sin?cos?即可

22???????? 2??????(??)????????(??)????

222???、(??)、?能構成三角形的三個角, 由定理2和引伸知推論1 成立.2推論2：若?????，則sin2??cos2??cos2??2cos?cos?cos? 證明：已知?????，sin2??cos2??cos2??2cos?cos?cos?

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只需證明sin2??cos2(???)?cos2??2cos(???)cos?cos?

??????

???(???)?(??)?????(???)????

(???)、??能構成三角形的三個角, 推論2成立.??、??例 1，化簡cos2A?cos2(?A)?cos2(?A)

3解：由推論2，得 原式=

??2?2?cos(?A)?cos(2???2??A)?2cos(?A)cos(?A)cos?2cos(?A)cos(?A)cos?cos2A333333332?12?3113?sin2?(cos?cos2A)?cos2A???(2cos2A?1)?cos2A?3234422

定理2： 若A、B、C構成三角形的三內(nèi)角，則：

sin2A?cos2B?cos2C?2cosBcosCcosA（7）sin2B?cos2A?cos2C?2cosAcosCcosB sin2C?cos2A?cos2B?2cosAcosBcosC.222 證明：設M=sinB?sinC?2sinBsinCcosA?sinA 222 N=cosB?cosC?2cosBcosCcosA?sinA

22?2cosAcos(B?C)?2sinA 易得：M+N=22 2?2cosA?2sinA?0

M-N= cos2B?cos2C?2cosAcos(B?C)?2cos(B?C)cos(B?C)?2cosAcos(B?C)??2cosAcos(B?C)?2cosAcos(B?C)?0 ?M?N?0222即sinA?cosB?cosC?2cosBcosCcosA

定理2的其余二式同理可證明.例 2，在銳角△ABC中,sinA?3cosBcosC,求A角的范圍.2 解：?sinA?3cosBcosC

第 10 頁 ?cosA?1?3cosBcosC

根據(jù)定理2，?sin2A?cos2B?cos2C?2cosBcosCcosA，得

1?2cosAcosBcosC?cos2A?cos2B?cos2C?cos2A?2cosBcosC?1?cosBcosC 即1?2cosAcosBcosC?1?cosBcosC ?2cosAcosBcosC??cosBcosC

1?cosBcosC?0,?cosA?2，故A的范圍是0?A??.6222 例 3，在△ABC中，cosA?cosb?cosC?1,判斷△ABC的形狀 222 解：根據(jù)定理2，有sinC?cosA?cosB?2cosAcosBcosC

又?cos2A?cos2B?cos2C?1

?1?2cosAcosBcosC?1 ?cosAcosBcosC?0

?cosA?0或cosB?0或cosC?0?A?900或B?900或C?900

?△ABC是直角三角形.小結：上述所選的問題, 若用常規(guī)解法需要用到和角公式, 倍角公式和和差化積或積化和差公式以及復雜的恒等變形才能完成, 顯然利用“ 角勾股定理和角余弦定理”對這類較難的間題迎刃而解, 真是柳暗花明又一村。

4.2.3證明余弦定理又一方法

利用向量統(tǒng)一證明正、余弦定理的方法如下：

圖 8

分析：如圖8, 在?ABC中, a, b, c 分別是?A、?B、?C所對的邊, 以三角形外接圓的圓心O為原點,半徑OA所在的直線為x軸建立直角坐標系,設外接圓的半徑長為R,于是A點坐標為(R,0).由三角函數(shù)的定義得B點坐標是(Rco?sAO,BRsin?AO)B,而?AOB?2?C，故B點坐標為(Rcos?2C,Rsin?2C).同理C點坐標為(Rcos?AOC,Rsin?AOC)；而?AOC??2?B,故C點坐標為(Rcos?2B,?Rsin?2B).第 11 頁

正弦定理的證明：

?AB?(Rcos2C?R,Rsin2C),?1AB1??R又(Rcos2C?R)2?(Rsin2C)22?2cos2C?2RsinC.AB?c

?c?2RsinC.同理可得a?2RsinA，b?2RsinB ?abc???2R sinAsinBsinC 余弦定理的證明：

?AC?(Rcos2B?R,?Rsin2B),?AB.AC?(Rcos2C?R)(Rcos2B?R)?R2sin2Csin2B?R2cos2Ccos2B?R2cos2C?R2cos2B?R2?R2sin2Csin2B?R2?R2cos2C?R2cos2B?R2cos(2C?2B)?R2?R2cos2C?R2cos2B?R2cos2A.c2Rcos2C?R(1?2sinC)?R?2RsinC?R?.2而 2222222

b2Rcos2B?R?2 同理可得22a2b2?c2?a2Rcos2A?R??AB.AC?.2 2 22又由數(shù)量積的定義可知: AB.AC?bccosA,b2?c2?a2?bccosA?.2即a2?b2?c2?2bccosA.同理b2?a2?c2?2accosB.222 c?a?b?2abcosC.小結：此法不但體現(xiàn)了正弦定理的比值常數(shù), 而且反映了正弦定理與余弦定理的相互依存性.正弦定理與余弦定理之間的聯(lián)系真是千絲萬縷!4.2.4立體幾何的余弦定理及其證明

設D-ABC是一個任意的四面體(圖9),不失一般性,取四面體的底面△ABC 為空間坐標的XOY平面,取過頂點D的高OD為Z軸.取OA為X軸.這樣一來,可以設四個

第 12 頁

頂點的坐標分別為A(a,0,0)、B(b1,b2,0)、C(c1,c2,c3)、D(0,0,d).圖 9 分析：用Sd表示與頂點D相對的側面△ABC及其面積;同理,其它的三個側面及其面積用Sa、Sb、Sc來表示.由向量的向量乘積的性質(zhì)可知,向量AB.AC?Sd.將AB.AC稱為Sd 的法向量,記作nd.因為AB?(b1?a,b2,0),AC?(c1?a,c2,0),所以有

ijnd?AB.AC?b1?ab2c1?ac20?0b1c2?c1b2?a(b2?c2)k0?[(b1?a)c2?(c1?a)b2]k0（1）

由向量乘積定義可知: sd?1nd.2（2）

同理可計算Sa面的法向量na , 因為BD?(b1,b2,?d);DC?(c1,c2?d), 所以由BD.DC可得：

第 13 頁

ina?b1c1jb2c2k?d?(c2?b2)di?(b1?c1)dj?(b1c2?b2c1)k?d?(c2?b2)d?????(b1?c2)d??bc?bc?21??12（3）

s1a?2na 因為DC?(c1,c2,?d);DA?(a,0,?d), 所以有sb的法向量為：

ijknb?DC.DA?c1c2?d??c2di?(c1?a)dj?ac2ka0?d????c2d??(c?1?a)d?,??ab2?? s1b?2nb 因為DA?(a,0,?d);DB?(b1,b1,?d)，所以有sc的法向量為

ijknc?DA.DB?a0?d?b2di?(a?b1)dj?ab2kb1b2?d(7)??b2d???(a?b?1)d?,???ab2??s1c?2nc.(8)由向量的數(shù)量乘積的定義，第 14 頁

（4）（5）

（6）

na.nb?na.nbcos???na.nbcos???na.nbcos?a|b???4sasbcos?a|b?.其中?a|b?表示側面sa和sb形成的二面角.因此有：

?SaSbcos?a|b??0.25na.nb,（9）

?SbSccos?b|c??0.25nb.nc,（10）?ScSacos?c|a??0.25nc.na（11）

立體幾何的余弦定理：對任意的四面體D-ABC,有2222sd?sa?sb?sc?2sasbcos?a|b??2sbsccos?b|c??2scsacos?c|a?.[6]

（12）

證明：利用關系式(4)、(6)和(8)~(11),有

222sa?sb?sc?2sasbcos?a|b??2sbsccos?b|c??2scsacos?c|a?12122?(na?nb?nc?2na.nb?2nb.nc?2nc.na)?(na?nb?nc)244??(c2?b2)d???c2d??b2d??0????????????12112???(b1?c1)d???(c1?a)d???(a?b1)d????0??nd?sd.4??4???ca??ab???4??b1c2?b2c1??bc?bc?(b?c)a22122122?????????

當四面體的四個側面中,有三個側面(如Sa,Sb,Sc)兩兩互相垂直時, 稱這樣的四面體為直角四面體.在直角四面體中,那個不與其它側面垂直的側面(Sd)稱為斜側面.由于直角四面體中有三個二面角為90, 所以cos = cos = cos = 0.0 4.2.5 n維余弦定理的新證明

設V是n維向量空間,對V中任意k個有序向量

?1,?2,...,?k,它們的外積記為?1??2?...??k,稱之為k重向量。所有k重向量在形式上作線性擴張所得到的空kk0C?(?)?(?)?n間記為，是一個維向量空間。設(?)表示實數(shù)系, 記

kG(?)??(?)Y?(?)Y...?n(?),則G(V)是一個2n維的向量空間。G(V)連同G(V)01''上的外積“?”運算稱為V上的Grassmann代數(shù)。

第 15 頁

定義1：兩個k重向量a =?1??2?...??k與b=b?b12?...?bn的內(nèi)積定義為:(a,b)?(a1?a2...?ak,b1?b2...?bk)a1.b1a.b?21...ak.b1...............a1.bk...a2.bk.........ak.bk(1)k重向量α=?1??2?...??k的模定義為

a?a1?a2?...?ak?(a1?a2?...?ak,a1?a2?...?ak)

定義2：由兩個k重向量a?a1?...?ak,b?b1?...?bk所確定的兩個k維超平面之間的夾角?(ab)為:cos?(ab)?(a1?...?ak,b1?...?bk).(2)

a1?...?ak.b1?...?bk 引理1: 設pop1...pk是n維歐氏空間En中的k維單形, 記向量

2popi?ai(i?1,2,..k.)， 則有:a1?...?ak?k!V(K)??(3)

2其中V(k)1...pk的k維體積。是單形pop 下面應用上述Grassmann代數(shù)基本知識可簡捷地證得n維余弦定理,即: 1...pk是E的中的n維單形。頂點p所對側面Fi的面積為Vi, 定理1:設popin任意兩側面Fi 與Vi??Vi2?22i?0i?lnFj所成內(nèi)二面角為?ij , 則有

ij0?i?j?ni,j?l?VVcos?ij(l?0,1,...,n)

[7]（4）

證明：不失一般性,不妨設l=0記 p0pi?ai(i?1,2,...,n)n-1維單形p1p2...pn過頂點p1的諸棱所成的向量為: p1pi?ai?al(i?2,3,...,n)由引理1，有：

12(a?a)?(a?a)?...?(a?a)?(a?a)2131n?11n1(n?1)!2(5)12?a?a...?a?a?a...?a?...?a?a...?a?a?a?a?a...?a?a23n13n23n?21n23n?11(n?1)!2V02?記n-1重向量

第 16 頁

a2?a3?...?an??1,?a1?a3?...?an??2,?a2?a1?a4?...?an??3,...,?a2?a3?...?an?2?a1?an??n?k,a2?a3?...?an?1?a1??n，則：（6）?(?i?j)????ij(1?i?j?n)

由引理1及定義2,有:

?i?1Vi(i?2,3,...,n)(n?1)!（7）

(?i?j)??i.?jcos?(?i?j)1??ViVjcos?ij2(n?1)!（8）

由(5)、(7)、(8)三式得:

?n1V??i2??(n?1)!?i?1202?2?(??)?ij?1?i?j?n???Vi2?2i?1n

1?i?j?n?VVijcos?j故公式(4)對l=0成立,同理可證(4)式對l= 1,2,...,n皆成立。定理1證畢。

5總結

5.1 主要發(fā)現(xiàn)

本文從不同角度探究、驗證了余弦定理的不同證明方法，列舉了其運用在化簡求值、證明三角不等式、研究函數(shù)的性質(zhì)或用于研究函數(shù)的最值等方面的簡潔美，弱化原有余弦定理證明方法的局限性，給出了其相應的推廣及定理，拓寬了余弦定理的運用范圍，使得在處理三角、函數(shù)等問題時更加方便實用，從而體現(xiàn)余弦定理無論在證明上還是在化簡求值等方面都有其新穎性和優(yōu)越性.5.2 啟示

通過探討余弦定理及其推廣，體現(xiàn)了一定的優(yōu)越性和實用性。問題是若能將余弦定理引到其它數(shù)學分支中做應用，如：針對運籌學中的最優(yōu)線性模型的相關問題、數(shù)學模型中規(guī)劃模型的相關問題、復變函數(shù)中的相關問題等，將更好地體現(xiàn)余弦定理證明及其應用的廣泛性，這是一類值得深討的問題.第 17 頁

5.3 局限性

對于余弦定理的相關定理及其推廣與應用，針對余弦定理的論證性較強，在運用中存在一定的局限性，相應的弱化了余弦定理的效能，使局限性弱化后的余弦定理在處理三角、函數(shù)等有關問題時，更加方便實用.但沒有得到更好的應用，若能進一步將弱化后的余弦定理引到其他數(shù)學分支中做應用，如：數(shù)學模型中規(guī)劃模型的相關問題、復變函數(shù)中的相關問題等，將更好地體現(xiàn)其研究意義和廣泛應用性，對于此問題，限于本人的知識水平有限，未作探討.5.4 努力方向

在已有知識水平及查閱相關資料的基礎上，本文對余弦定理及其推廣應用的問題作了一定的探討，并通過實例，體現(xiàn)了余弦定理在 的問題方面的實用性和優(yōu)越性.然而，余弦定理的推廣應用有一定局限，今后若能針對不同學科知識和相關性質(zhì)，對余弦定理的局限性進一步弱化，進行合理推廣應用，將能更好的促進其應用的深入研究，這些問題，有待今后不斷的學習和探討.參考文獻

[1] 李文林．數(shù)學史教程[M]．北京：高等教育出版社，2002：119．

[2] 梁宗臣.世界數(shù)學史簡編［M］．沈陽：遼寧人民教育出版社，1980：175．

[3] 陳克剩．“余弦定理和正弦定理”的數(shù)學思想史略[J]．湖北：數(shù)學通訊學報，2004：47． [4] 趙冬梅.正弦定理、余弦定理的證明方法探究[J]．西北成人教育學報，2002:137． [5] 陳諶本，廖志堅，施永紅.歐式空間三角理論的進展（I）[J]．廣州師院學報（自然科學版），1996:85．

[6] 李慧．立體幾何的余弦定理和勾股定理[J]．遼寧：鞍山師范學院學報，2003：36． [7] 楊世國．n維正弦定理和余弦定理的新證明[J]．安徽：太原科技大學學報，2005：144—145．

第 18 頁

第二篇：怎么證明余弦定理

怎么證明余弦定理

證明余弦定理：

因為過C作CD垂直于AB，AD=bcosA;所以(c-bcosA)^2+(bsinA)^2=a^2。

又因為b^2-(bcosA)^2=(bsinA)^2，所以(c-x)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2，所以c^2-2cbcosA+(bcosA)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2，所以c^2-2cbcosA+b^2=a^2，所以c^2+b^2-a^2=2cbcosA，所以cosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

同理cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

2在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對邊為c，∠B對邊為b，∠A對邊為a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB

b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

所以，cosB=(c2+a2-b2)/2ac

2如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.以A為原點，AC所在的直線為x軸建立直角坐標系，于是C點坐標是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點坐標是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點為原點A，則AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點坐標是(acos(π-C)，asin(π-C))即D點坐標是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

第三篇：余弦定理證明

余弦定理證明

在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對邊為c，∠B對邊為b，∠A對邊為a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB

b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

所以，cosB=(c2+a2-b2)/2ac

2如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.以A為原點，AC所在的直線為x軸建立直角坐標系，于是C點坐標是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點坐標是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點為原點A，則AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點坐標是(acos(π-C)，asin(π-C))即D點坐標是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

第四篇：余弦定理證明過程

在△ABC中，設BC＝a，AC＝b，AB＝c，試根據(jù)b，c，A來表示a。 分析：由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應添加輔助線構造直角三角形，在直角三角形內(nèi)通過邊角關系作進一步的轉化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，邊a可利用勾股定理用CＤ、ＤB表示，而CD可在Rt△AＤC中利用邊角關系表示，DB可利用AB－AD轉化為AD，進而在Rt△AＤC內(nèi)求解。

解：過C作CD⊥AB，垂足為D，則在Rt△CＤB中，根據(jù)勾股定理可得： a2＝CＤ2＋BＤ2

∵在Rt△AＤC中，CＤ2＝b2－AＤ2



又∵BＤ2＝（c－AＤ）2＝c2－2c·AＤ＋AＤ2

∴a2＝b2－AＤ2＋c2－2c·AＤ＋AＤ2＝b2＋c2

－2c·AＤ 又∵在Rt△AＤC中，AD＝b·cosA ∴a2＝b2＋c2－2bccosA類似地可以證明b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC

第五篇：余弦定理證明過程

余弦定理證明過程

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

2在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對邊為c，∠B對邊為b，∠A對邊為a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB

b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

所以，cosB=(c2+a2-b2)/2ac

2如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.以A為原點，AC所在的直線為x軸建立直角坐標系，于是C點坐標是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點坐標是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點為原點A，則AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點坐標是(acos(π-C)，asin(π-C))即D點坐標是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。