第一篇：AG不等式的證明及其推廣

平均不等式

AG不等式：

1.中學里面我們稱之為基本不等式：

（1）ab?

（2）a?b（a,b?0）2ab??0（a,b同號）ba

2（3）a+b2?2ab（a,b為實數）

1n2.推廣：設a=(a1,…，an)，ak?0，1?k?n，則An(a)=?ak稱為a1，…，an的算術

nk?1平均值，Gn(a)=na1a2??an稱為a1,…，an的幾何平均值

Gn(a)?An(a)，即na1a2??an?a1?a2????an

n

稱為AG不等式，當且僅當a1=a1=…=an時等號成立.AG不等式是最重要的基本不等式，利用這個不等式，可將和的形式縮小為積的形式，或者將積的形式放大為和的形式，因而這可以敘述成兩個等價的共軛命題：

（1）其和為S的n個正數之積，在這些數都相等的時候最大，最大值為(S/n)n.（2）其積為?的n個正數之和，在這些數都相等的時候最小，最小值為n?2.因此AG不等式有許多獨特的應用價值，例如在幾何學中求最大最小問題時，給定表面積的所有長方體中，正方體具有最大的體積；而給定體積的所有長方體中，正方體具有最小的表面積等.3.加權形式的AG不等式：

nnGn(a,q)?An(a,q)，式中Gn(a,q)=?（ak）^qk，An(a,q)=?qkak，qk?0，?qk?1，k?1k?1k?1n通過對數變換可以將這兩種平均聯系起來，記lna=(lna1,…，lnan)，則lnGn(a,q)?lnAn(a,q)，即正數a1，…，an的加權幾何平均Gn(a,q)的對數等于a1，…，an的對數lna1,…，lnan的加權算術平均.同時，對于加權形式的AG不等式的進一步推廣是：設ajk>0，qk>0，且mnnm?qk?1nk?1，則

?(?(aij)^qk)??(?ajk)^qk，當且僅當j?1k?1k?1j?1aj1mj1j?1=

aj2mj2j?1=…=

ajn?a?a?aj?1m，（j=1,…，m）

jn時等號成立.4.關于AG不等式的證明：

這里面介紹的是幾個典型的、簡潔的和新的精彩的證明方法，為了敘述方便，下面將a1?a2????an記為Gn(a)?An(a)，并設a1，…，an是不全相等的正

na1?a2????an數（因為a1=a1=…=an時，等號成立），與na1a2??an?等價的是：

nna1a2??an?

若?ak?1nnk?1，則?ak?n;

k?1nn

若?ak?1，則?ak?(k?1k?11n).na1?a2????an成立，容易推出n=2k的n+1821年Cauchy用反向數學歸納法給出了一個精彩的證明：

第一步：假設n=k時，na1a2??an?時候該式也成立：

a1??a2k2k=12（a1?a2????akkak?1?ak?2????a2kk）

?12[(a1?ak)1/k+(ak?1?a2k)1/k]?(a1?akak?1?a2k)1/2k

由此推出n=2時，na1a2??an?mm

a1?a2????an成立.nm第二步：設n?2，則比存在r?N，使得n+r=2.An?(n?r)An(a1??an)?(An???An)??[a1?an?An?An]1/(n+r)（有r個An連n?rn?r乘）=[?Gn?^n??An?^r]1/(n+r).即?An?n+r??Gn?n??An?r.從而An?Gn.另外一種思路是從An?1?Gn?1推出An?Gn成立，事實上

nAn?Ana1???an?An???a1a2?anAn?1/(n+1)，即?An?n+1?a1?anAn，從而n?1n?1?An?n?a1?an=?Gn?n，即An?Gn.An?

同時也可以用數學歸納法來證明下式的成立

?ak?1nk?1，則?ak?n

k?1n證明如下：n=1時，命題顯然為真.假設n?1時，命題為真，當?n?1?時，若所有的xk?1，則其和等于?n?1?，不然不妨設x1?1,xn?1?1（對若干個xi進行一個排列，把最小的重新定為x1，最大的定為xn?1），我們記y?x1xn?1，這時便有x2x3?xny?1，由于歸納假設

x2?x3???xn?y?n ①

另外，x1?xn?1?y?x1?xn?1?x1xn?1?(1?x1)?1?xn?1??1

②

①+②得，x1??xn?1?n?1，因而對?n?1?的情況也成立，證畢！(Ehlers,1954)

教材大多采用的是利用函數的凹凸性去證明，這里我們直接證明加權平均不等式，AG不等式只是其中的一種特殊情形。下證明：Gn(a,q)?An(a,q)，式中

Gn(a,q)=?（ak）^qk，An(a,q)=?qkak，qk?0，k?1k?1nn?qk?1nk?1，證明：注意到如果ak中有等于0時，不等式自然成立，現在只需要考慮ak都是正數的情況.因為指數函數e^x?exp(x)為嚴格的上凸函數，所以我們有：

n?n?n(ak)^qk=exp???klnak????kexp[ln?ak?]???kak，當且僅當ak都相等?k?1k?1?k?1?k?1n的時候成立。

這時候我們再令?k?1,k?1,2??,n時，該式子就是非負的幾何平均數不大于n算術平均數（AG不等式）

還可以利用Young不等式：a1/p

b1/q??1/p?a??1/q?b，1/p?1/q?1,1?p??，得到

?an?1?1/n·?An?1?(1-1/n)?1?1???1??An?1 nan?1?n?1?1???1??An?1.nan?1?n?1/2n記G??an?1?1/n·?An?1?(1-1/n)，A?則An?1?An?A?AnA?GnG???Gn?1?^(n?1)??An?1?^(n?1)?2，即An?1?Gn?1.證畢！（Diananda）

補充說明的是young不等式的證明： Young不等式（p-q不等式）：設p,q?0,11??1，則當1?p??時，成立 pq11p?|ab|?|a|q|b|q；當0?p?1的時候，不等式反向，當且僅當|b|?|a|p-1的時候p等號成立.證明這個不等式的方法有許多，這里只給出四種證明的方法：

①代數方法：利用Bernoulli不等式：x?0,0???1.(x)^??1???x?1?.再取??q

1,x?bq/ap.(Bernoulli不等式的證明很容易，只需要用數學歸納法即可證明，這里不再去證明)

②微分法：固定x?0,求一元函數

??y??1?x?^p?1?y?^q?xy在[0,?)上的極值，?在pq1）時取到最小值.即??y????y0??0.q?1y0??x0?^?（式中??

③積分法：設y???x?是[0,a]上嚴格遞增的連續函數，比較面積得 ab?，???x?dx????y?dy,a,b?0（這里的?和?函數互為反函數）

00ab然后我們取??x??xp-1即可證得！

④考慮二元函數

f(x,y)? xy??x1/py1/q 在凸域D?{?x,y?:x,y?0}上的凸性.pqLagrange乘數法：求f?x??nx1?xn在條件x1???xn?a下的最大值，作輔助函數F?x???x1?xn?1/n+?(x1????xn?a).F對xk求偏導數F'xk?0，得出

f?x???nkxk,k?1,??,n.即

對k求和，得到nf?x???n??x1????xn???n?a.即

f(x)???a.由以上兩個式子，我們可以得到

xk?aa??a.于是f在?,?,?點取得最大值nn??nna1?a??a?a即nx1?xn???x1???xn?.??????，nn?n??n?n

再補充利用四個個不等式去證明的方法： 利用不等式exp?x??1?x，得出

nnakak?ak??Gn?1?exp(0)?exp{?n}??exp{?1}???????n.?An?An?k?1Ank?1k?1?An?n利用不等式exp(x)?xe?x?e?，即x?elnx.于是

ak?elnak,k?1,?,n.我們可以選擇權系數q?(q1,?,qn),qk?0,且

?qk?1nk?1,使得

Gn(a,q)??(ak)^qk?e.k?1n于是從ak?elnak,k?1,?,n.式子對k求和，得到

n?n?qkak?e?qklnak?eln?????ak?^qk???e???ak?^qk，這就是加權平均不等式.k?1k?1k?1?k?1?nn

利用不等式lnx?x?1?x?0?,得到log?akAkak?1,對k求和得到，Ak?n???ak?n??Gn???nak?Gnakk?1??即log?log^n?nlog()?0.從而我們log()??n?0,??????????AnAnAnk?1?k?1An???An??得到

利用不等式 x[n?(x)^(n?1)]?n?1,x?0.logGnGn?0,即?1.證畢！AnAn?a2???an?a11/(n-1)n?a1??n-1，取x?()，則從不等式上方的不等式得到?An?n?1??An對上式逐次使用不等式得到：?An?（Akerberg,B.1963）

n

?a3??an??a1a2??n-2???a1a2?an?(Gn)n.證畢！

?n?2?

5.深度的推廣

我們通過加權平均不等式來證明：設aik?0,k?1,??n,?i?0,i?1,??,m,m???1.ii?1?m?m?n?則有不等式????aik?^?i?????aik?^?i

k?1?i?1?i?1?k?1?n證明：當上述右邊等于0時，顯然左邊也等于0.我們考慮右邊不為0的情況，利用加權平均不等式，得：

?m??????n??aik?^?iaik??????m????nn?nmmaikaikk?1?i?1????^?i?????i?k?1???i?1?i????nnm??????n???n?k?1i?1k?1i?1i?1i?1aik?aik?aik?aik^?i????????????k?1??k?1??k?1?i?1?k?1n

當且僅當m個向量?ai1,??,ain?，i?1,??,m.成比例時成立.證畢！特殊的情況：

當m?2,a1k??xk?p，a2k?(yk)q，?1?11,?2?,?1??2?1時，這就是 H?lder不等式，pq ?n?1/p?n?1/q

+xkyk?????xk^pyk^q???????k?1?k?1??k?1?n上式中當且僅當向量?(x1)^p,??,(xn)^p?與向量?(y1)^q,??,(yn)^q?成比例時等號成立.再對上式中取n?2,p?q?2時就得到Cauchy不等式.當且僅當?x1,??,xn?和向量?y1,??,yn?成比例時等號成立.當然還能推導得到Minkowski不等式，這里由于篇幅有限，不再敘述，請感興趣的讀者參考其他書籍！

第二篇：一道不等式的幾種證明和推廣

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一道不等式的幾種證明和推廣

作者：陳兵兵 魏春強

來源：《學園》2013年第30期

【摘 要】本文對一道不等式給出了幾種證明并對其進行了推廣，以期能給大家以參考。

【關鍵詞】不等式 證明 推廣

【中圖分類號】O178 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2013）30-0076-01

第三篇：兩個常見不等式的證明及推廣

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兩個常見不等式的證明及推廣

作者：姬婷 魏春強

來源：《學園》2013年第13期

【摘 要】本文根據兩個常見不等式的證明和分析，引發聯想，進而推廣，得到命題1和命題2。

【關鍵詞】平均值不等式 冪平均不等式 推廣

【中圖分類號】O12 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2013）13-0016-01參考文獻

[1]陳傳理、張同君.競賽數學教程[M].北京：高等教育出版社，2004

〔責任編輯：龐遠燕〕

第四篇：不等式證明

不等式證明

不等式是數學的基本內容之一，它是研究許多數學分支的重要工具，在數學中有重要的地位，也是高中數學的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學生數學基礎知識的掌握程度，而且是衡量學生數學水平的一個重要標志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因導果。

2.分析法：執果索因。基本步驟：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據：尋找結論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元。

6.構造法：通過構造函數、方程、數列、向量或不等式來證明不等式。

證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數學歸納法仍是證明不等式的最基本方法。

7.數學歸納法：數學歸納法證明不等式在數學歸納法中專門研究。

8.幾何法：用數形結合來研究問題是數學中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構造相關幾何圖形來完成，若運用得好，有時則有神奇的功效。

9.函數法：引入一個適當的函數，利用函數的性質達到證明不等式的目的。

10.判別式法：利用二次函數的判別式的特點來證明一些不等式的方法。當a>0時，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。當a<0時，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數學中應用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結構，便于進行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。

注意：在不等式的證明中運用換元法，能把高次變為低次，分式變為整式，無理式變為有理式，能簡化證明過程。尤其對含有若干個變元的齊次輪換式或輪換對稱式的不等式，通過換元變換形式以揭示內容的實質，可收到事半功倍之效。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數列不等式，關鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個恰到好處進行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當的數學思維能力和一定的解題智慧。

3.幾何法

數形結合來研究問題是數學中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構造相關幾何圖形來完成，若運用得好，有時則有神奇的功效。

第五篇：不等式證明

不等式的證明

比較法證明不等式

a2?b2a?b?1.設a?b?0，求證：2.a?b2a?b

2.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講

（1）已知x、y都是正實數，求證：x3?y3?x2y?xy2；

（2?對滿足x?y?z?1的一切正實數 x,y,z恒成立，求實數a的取值范圍

.??,1?綜合法證明不等式（利用均值不等式）3.已知a?b?c, 求證：??1??? ??114??.a?bb?ca?c

4.設a，b，c均為正數，且a+b+c=1，證明：

1（Ⅰ）ab+bc+ac?3；

a2b2c2

???1ca（Ⅱ）b

5.（1）求不等式x?3?2x???1的解集;

121225（a?)?(b?)??a,b?R,a?b?1ab2.（2）已知，求證：

6.若a、b、c是不全相等的正數，求證：

分析法證明不等式

7.某同學在證明命題“7??要證明7?3??2”時作了如下分析，請你補充完整.6?2，只需證明________________,只需證明___________,＋2?9?2，展開得9即?,只需證明14?18,________________,所以原不等式:??6?2成立.22?2?6?3,(7?2)?(6?3)，因為14?18成立。

a?b?c8.已知a,b,c?R。?3?

9.(本題滿分10分)已知函數f(x)?|x?1|。

(Ⅰ)解不等式f(x)?f(x?4)?8；{x|x≤－5，或x≥3}(Ⅱ)若|a|?1,|b|?1，且a?0，求證：f(ab)?|a|f().10.（本小題滿分10分）當a,b?M??x|?2?x?2?時,證明:2|a+b|＜|4+ab|.反證法證明不等式

11.已知a，b，c均為實數，且a=x?2y+2baπππ22，b=y?2z+，c=z?2x+，236

求證：a，b，c中至少有一個大于0.12.（12分）若x,y?R,x?0,y?0,且x?y?2。求證：1?x和1?y中至少有一個小于2.yx

放縮法證明不等式

13.證明不等式：?111??11?21?2?3?1

1?2?3??n?2

214.設各項均為正數的數列?an?的前n項和為Sn，滿足4Sn?ann?N?,且

?1?4n?1,a2,a5,a14構成等比數列．

(1)證明：a2?

(2)求數列?an?的通項公式；an?2n?1

(3)證明：對一切正整數n，有11??a1a2a2a3?11?． anan?12

15.設數列?an?的前n項和為Sn.已知a1?1,2Sn12?an?1?n2?n?,n?N*.n33

(Ⅰ)求a2的值；a2?4(Ⅱ)求數列?an?的通項公式；an?n2(Ⅲ)證明:對一切正整數n,有數學歸納法證明不等式

16.(本小題滿分12分)若不等式11??

n?1n?2?1a對一切正整數n都成立，求正?3n?12411??a1a2?17?.an4

整數a的最大值，并證明結論．25

17.用數學歸納法證明不等式：

．