第一篇:2.4《弦切角的性質》
弦切角的性質
學習目標:
1.理解弦切角的概念;
2.掌握弦切角定理及推論,并會運用它們解決有關問題; 3.理解化歸和分類討論的數學思想方法以及完全歸納的證明方法.教學重點和難點
弦切角定理及其應用是重點;
弦切角定理的證明是難點.教學過程:
一、創設情境,以舊探新 1.提問:什么樣的角是圓周角? 2.圓周角∠CAB,讓射線AC繞點A旋轉,產生無數個圓周角,當AC繞點A旋轉至與圓相切時,停止旋轉,得∠BAE.(圖7-132)
思考:這時∠BAE還是圓周角嗎?為什么? 歸納總結出弦切角的特點:
(1)頂點在圓周上;(2)一邊與圓相交;(3)一邊與圓相切.3.弦切角定義:
頂點在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角.4.判斷下列各圖形中的角是不是弦切角,并說明理由:(圖7-133)
/ 5
由此發現,弦切角可分為三類:
(1)圓心在角的外部;(2)圓心在角的一邊上;
(3)圓心在角的內部.二、觀察聯想、發現規律
1.當弦切角一邊通過圓心時,(如圖7-135)(1)弦切角∠CAB是多少度?為什么?(2)∠CAB所夾弧所對的圓周角∠D是多少度?為什么?(3)此時,弦切角與它所夾弧所對的圓周角有什么關系? 觀察圖形,不難發現,此時弦切角與其所夾弧所對的圓周角都是直角.2.以A為端點.旋轉AC邊,使弦切角增大或減小,觀察它與所夾弧所對圓周角之間的關系,猜想:弦切角是否等于它所夾的弧對的圓周角.(圖7-134)
三、類比聯想,嘗試論證
1.回憶聯想:
(1)圓周角定理的證明采用了什么方法?(2)既然弦切角可由圓周角演變而來,那么上述猜想是否可用類似的方法來證明呢? 2.前面證明了特殊情況,下面考慮圓心在弦切角的外部和內部兩種情況.討論:怎樣將一般情況的證明轉化為特殊情況。如圖7-136(1),圓心O在∠CAB外,作⊙O的直徑AQ,連結PQ,則∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠APC.2 / 5
如圖7-136(2),圓心O在∠CAB內,作⊙O的直徑AQ,連結PQ,則∠BAC=∠QAB+∠1=∠QPA+∠2=∠APC.你能寫出完整的證明過程嗎?
弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧對的圓周角.3.看書并思考:課本上關于定理的證明與我們現在的證明方法有何異同?
四、鞏固知識、初步應用
例1(課本p33)如圖7-139,已知AB是⊙O的直徑,AC是弦,直線CE和⊙O切于點C,AD⊥CE,垂足為D.求證:AC平分∠BAD.思路一:要證∠BAC=∠CAD,可證這兩角所在的直角三角形相似,于是連結BC,得Rt△ACB,只需證∠ACD=∠B.(圖7-139)證明:(學生自己完成證明)思路二:連結OC,由切線性質,可得OC∥AD,于是有∠1=∠3,又由于∠1=∠2,可證得結論.(圖7-140)
思路三:過C作CF⊥AB,交⊙O于F,連結AF.由垂徑定理可知∠1=∠3,又根據弦切角定理有∠2=∠1,于是∠2=∠3,進而可證明結論成立.(圖7-141)[課堂練習]: 1.如圖7-142,AB為⊙O的直徑,直線EF切⊙O于C,若∠BAC=56°,則∠ECA=
度.(口答)2.AB切⊙O于A點,圓周被AC所分成的優弧與劣弧之比為3∶1,則夾劣弧的弦切角∠BAC=
.3 / 5
3.已知:經過⊙O上的點T的切線和弦AB的延長線相交于點C.求證:∠ATC=∠TBC.② CT2=CB?CA
五、歸納小結
① 在證明弦切角定理時,我們是從特殊情況入手,通過猜想、分析、證明和歸納,從
而證明了弦切角定理.通過弦切角概念的引入和定理的證明過程,逐步學會用運動變化的觀點觀察問題,進而理解從一般到特殊,從特殊到一般的認識規律.②學習了分類討論的思想和完全歸納的證明方法.在這里一定要注意為什么要對弦
切角進行分類和如何進行分類.③弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧對的圓周角.六.反饋練習
練習1 直線AB和圓相切于點P,PC,PD為弦,指出圖中所有的弦切角以及它們所夾的弧.(圖7-137)
/ 5
練習2 如圖7-138,DE切⊙O于A,AB,AC是⊙O的弦,若AB=AC,那么∠DAB和∠EAC是否相等?為什么? 分析,由于AB和AC分別是兩個弦切角∠DAB和∠EAC所夾的弧,而AB和AC.連結B,C,易證∠B=∠C.于是得到∠DAB=∠EAC.推論:若兩弦切角所夾的弧相等,則這兩個弦切角也相等.5 / 5
第二篇:弦切角的性質學案
弦切角的性質學案
班級姓名等級
學習目標:
1.理解弦切角的概念;
2.掌握弦切角定理及推論,并會運用它們解決有關問題;
3.理解化歸和分類討論的數學思想方法以及完全歸納的證明方法.學習重點和難點
弦切角定理及其應用是重點;弦切角定理的證明是難點.學習過程:
一、創設情境,以舊探新
1.提問:什么樣的角是圓周角?
2.圓周角∠CAB,讓射線AC繞點A旋轉,產生無數個圓周角,當AC繞點A旋轉至與圓相切時,停止旋轉,得∠BAE.(圖7-132)
思考:這時∠BAE還是圓周角嗎?為什么?
歸納總結出弦切角的特點:(1);(2);(3).3.弦切角定義:
頂點在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角.4.判斷下列各圖形中的角是不是弦切角,并說明理由:(圖7-133)
由此發現,弦切角可分為三類:
(1)圓心在角的外部;(2)圓心在角的一邊上;
(3)圓心在角的內部.二、觀察聯想、發現規律
1.當弦切角一邊通過圓心時,(如圖7-135)。
(1)弦切角∠CAB是多少度?為什么?
(2)∠CAB所夾弧所對的圓周角是多少度?為什么?
(3)此時,弦切角與它所夾弧所對的圓周角有什么關系?
觀察圖形,不難發現,此時弦切角與其所夾弧所對的圓周角都是直角.2.以A為端點.旋轉AC邊,使弦切角增大或減小,觀察它與所夾弧所對圓周角之間的關
系,猜想:弦切角是否等于它所夾的弧對的圓周角.(圖7-134)
讓學生完成弦切角為直角的證明過程
三、類比聯想,嘗試論證
1.回憶聯想:
(1)圓周角定理的證明采用了什么方法?
(2)既然弦切角可由圓周角演變而來,那么上述猜想是否可用類似的方法來證明呢?
2.前面證明了特殊情況,下面考慮圓心在弦切角的外部和內部兩種情況.討論:
怎樣將一般情況的證明轉化為特殊情況。如圖7-136(1),圓
心O在∠CAB外,作⊙O的直徑AQ,連結PQ,則∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠APC.證明:
如圖7-136(2),圓心O在∠CAB內,作⊙O的直徑AQ,連結PQ,則∠BAC=∠QAB+∠1=∠QPA+∠2=∠APC.證明:
弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧對的圓周角.3.看書并思考:課本上關于定理的證明與我們現在的證明方
法有何異同?
四、鞏固知識、初步應用
例1(課本p33)如圖7-139,已知AB是⊙O的直徑,AC是弦,直線CE和⊙O切于點C,AD⊥CE,垂足為D.求證:AC平分∠BAD.思路一:要證∠BAC=∠CAD,可證這兩角所在的直角三角形相
似,于是連結BC,得Rt△ACB,只需證∠ACD=∠B.(圖7-139)
證明:(學生自己完成證明)
思路二:連結OC,由切線性質,可得OC∥AD,于是有∠1=∠3,又由于∠1=∠2,可證
得結論.(圖
7-140)
思路三:過C作CF⊥AB,交⊙O于F,連結AF.由垂徑定理可知∠1=∠3,又根據弦切角定
理有∠2=∠1,于是∠2=∠3,進而可證明結論成立.(圖7-141)
[課堂練習]:
1.如圖7-142,AB為⊙O的直徑,直線EF切⊙O于C,若∠BAC=56°,則∠ECA=度.(口答)
2.AB切⊙O于A點,圓周被AC所分成的優弧與劣弧之比為3∶1,則夾劣弧的弦切角
∠BAC=.3.已知:經過⊙O上的點T的切線和弦AB的延長線相交于點C.求證:∠ATC=∠TBC.② CT=CB?CA
五、歸納小結
① 在證明弦切角定理時,我們是從特殊情況入手,通過猜想、分析、證明和歸納,從
而證明了弦切角定理.通過弦切角概念的引入和定理的證明過程,逐步學會用運動變化的觀點觀察問題,進而理解從一般到特殊,從特殊到一般的認識規律.②學習了分類討論的思想和完全歸納的證明方法.在這里一定要注意為什么要對弦
切角進行分類和如何進行分類.③弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧對的圓周角.六:課后小結與反思:
預習提示:相交弦定理
割線定理
切割線定理及切線長定理
第三篇:2.4 弦切角的性質
2.4、弦切角的性質
教學目標:
1、使學生知道弦切角的定義,會在圖形中識別弦切角;
2、會敘述弦切角定理及其推論;
3、能運用弦切角定理及其推論證明有關幾何問題;
4、培養學生分類討論的思想方法和辯證唯物主義的觀點。教學的重點、難點:
教學重點:探索弦切角定理的證明方法;運用弦切角定理證明有關的幾何問題。
教學難點:用分類的思想方法證明弦切角定理。
教學方法
探究、討論、講授
教學準備
課件多媒體
教學過程:
一、創設情境,以舊探新
1、復習:什么樣的角是圓周角?
2、弦切角的概念:
圓周角∠CAB,讓射線AC繞點A旋轉,產生無數個圓周角,當AC繞點A 旋轉至與圓相切時,得∠BAE.提問:∠EAC有何特點?
C
B
A(B)
IE
I
弦切角的定義:頂點在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角.注意引導學生發現弦切角的三個要點,使學生在形象、直觀的學習活動中掌握新的概念。
練習1右面各圖中,哪一個角是弦切角?
練習2:圖3中有幾個弦切角?()
二、觀察、猜想 觀察圖形,提問:
(1)、圖7(1)中,∠A與∠P有何關系?為什么?(2)、圖7(2)中,∠EAC與∠P有何共同點?
B
圖
3分析比較:既然圖7(1)中∠A=∠P,那么圖7(2)中,∠EAC=∠P嗎?
B
E
A(B)
圖7
這一結論是否能成立呢?我們不妨從最特殊的情形考慮一下.圓心O在弦切角∠BAC的邊AC上,此時顯然有∠BAC=∠P=90°.由此我們完全有信心提出一個猜想:弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.三、類比聯想、論證
1、已經證明了最特殊的情形,下面考慮圓心在角內與角外兩種情形.2、圓心在角外,作⊙O的直徑AQ,連接PQ(如圖9),則∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠APC.3、圓心在角內,作⊙O的直徑AQ,連接PQ(如圖10),P
A
B
BB
圖9圖9
圖10
圖10
則∠BAC=∠BAQ+∠1=∠APQ+∠2=∠APC.4、回顧證明的方法:將情形(2)、(3)都歸至情形(1),利用角的合成,對三種情形進行完全歸納,從而證明了上述的猜想,我們把所證得的結果取名為
弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.【設計意圖】弦切角定理是這節課的重點也是難點,通過創設問題情境,引導學生在解決問題的過程中學習新的知識。利用問題激發學生探索弦切角定理證明的其他情況。學生進行思考和探索,鍛煉學生的動手能力,激發學生學習的積極性。在總結弦切角定理量要注意對“所夾”與“所對”兩個關鍵詞的理解。
三、例題分析
例1.如圖已知AB是⊙O的直徑,AC是弦,直線CE和⊙O切于點C,AD⊥CE,垂足為D.求證:AC平分∠BAD.證明:略
課堂練習課后小結
1、弦切角-------頂點在圓上,一邊與圓相交,另一邊與圓相切的角。
2、弦切角定理: 弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.作業布置
教科書習題2.4 第1、2題 課后反思
第四篇:弦切角學案
弦切角學習學案
教學目標:使學生了解弦切角的概念,掌握弦切角定理及其推理,進一步使學生了解分情況證明數學命題的思想和方法
教學難點、重點:弦切角定理的證明 教學過程:
一、復習引入
1、前面學習過有關于圓的角度有__________、_____________。
2、當圓周角的一邊BC繞著點B旋轉,使得BC為圓O 的切線,這個時候就形成了一個新的角,我們稱之為弦切角。
BB
C
OO CAA
二、新知學習
1、弦切角定義:頂點在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角。
2、觀察下圖,你能發現弦切角和弦切角所夾的弧所對的圓周角的關系嗎?
C
O P ABE
猜想:______________________ 證明:
CPEOCOPABEAB
弦切角定理: 弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角
三、典型例題
例題1, 如圖,已知AB是圓O的直徑,AC是弦,直線CE和圓O切于點C,AD⊥CE,垂直為D,求證:AC平分∠BAD
B
O
A
CED
練習
1、如圖,AB是圓O的弦,CD是經過圓O上一點M 的切線,求證:(!)AB∥CD時,AM=MB(2)AM=MB時,AB∥CD
練習
2、在△ABC中,∠A的平分線AD交BC于D,圓O過點A且和BC切于D,和AB、AC分別交于E、F,求證:EF∥BC
A
O
j EF
B C D
CMDAOB相交弦定理和切割線定理學案
教學目標:能結合具體圖形,準確地表述相交弦定理、切割線定理及其推論。教學難點、重點:相交弦定理和切割線定理的證明 教學過程:
1、相交弦定理: 圓內的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的積相等。
數學表達式:___________________________
A證明:
D
O P B
C
練習:
已知圓中兩條弦相交,第一條弦被交點分為12和16兩段,第二條弦的長為32,求第二條弦被交點分成的兩段的長
2、切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這個點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。數學表達式: PT2=PA?PB
A證明:
B
O P
T3、切割線定理推論:從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。
C數學表達式:PA?PB=PC?PD
D
P BA
練習
1、如圖:圓O的割線PAB交圓O于點A和B。PA=6,AB=8,PO=10.9,求圓O的半徑
BAPCO
2、如圖:兩個以O為圓心的同心圓,AB切大圓于BAC切小圓與C,交大圓于D、E,AB=12,AO=15,AD=8。求兩圓的半徑
B
O
A
D
C
E
思考題:如圖,點I是三角形ABC的內心,AI交邊BC于點D,交三角形ABC外接圓于點E,求證:IE2=AE*DE
A
IBEDC
第五篇:怎樣證明弦切角
怎樣證明弦切角
設圓心為O,連接OC,OB,OA。過點A作Tp的平行線交BC于D,則∠TCB=∠CDA
∵∠TCB=90-∠OCD
∵∠BOC=180-2∠OCD
∴,∠BOC=2∠TCB(弦切角的度數等于它所夾的弧的圓心角的度數的一半)
∵∠BOC=2∠CAB
∴∠TCB=∠CAB(弦切角的度數等于它所夾的弧的圓周角)
2接OBOC過O做OE⊥BC
所以∠A=1/
2又因為∠OCT=90°
∠OEC=90°
所以∠EOC=∠TCB
所以∠TCB=∠A
3溫馨提示
設切點為A切線AB弦AC圓心為O過A作直徑AD連OC
角CAB等于90度減角DAC
因為OA等于OC所以角AOC等于180度減去二倍的角DAC
即可證明角AOC等于二倍的角CAB
參考資料:弦切角是這弦所對的圓心角的一半
4線段AD與線段EF互相垂直平分。
證明:設AD交EF于點G.因為Ap為切線,所以弦切角等于所對的圓周角,即∠pAC=∠B,又因為AD平分∠BAC,所以∠DAC=∠BAD,從而∠pAC+∠DAC=∠B+∠BAD,而∠pAC+∠DAC=∠pAD,∠B+∠BAD=∠pDA,所以
∠pAD=∠pDA,則△pAD為等腰三角形,因pM平分∠ApD,所以pM垂直平分AD,則EF垂直平分AD,從而AD垂直EF,則∠AGE=∠AGF=90°,再由∠GAF=∠GAE,得到
△EAG≌△FAG,從而EG=FG,從而AD也垂直平分EF。
5(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上
∵AC為直徑,AB切⊙O于A,∴弧CmA=弧CA
∵為半圓,∴∠CAB=90=弦CA所對的圓周角(2)圓心O在∠BAC的內部.過A作直徑AD交⊙O于D,若在優弧m所對的劣弧上有一點E
那么,連接EC、ED、EA
則有:∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB
∴∠CEA=∠CAB
∴(弦切角定理)
(3)圓心O在∠BAC的外部,過A作直徑AD交⊙O于D
那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90
∴∠CDA=∠CAB
∴(弦切角定理)
編輯本段弦切角推論
推論內容
若兩弦切角所夾的弧相等,則這兩個弦切角也相等
應用舉例
例1:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,以AB為弦的⊙O與AC相切于點A,∠CBA=60°,AB=a求BC長.解:連結OA,OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90
∴∠BAC=30°
∴BC=1/2a(RT△中30°角所對邊等于斜邊的一半)
例2:如圖,AD是ΔABC中∠BAC的平分線,經過點A的⊙O與BC切于點D,與AB,AC分別相交于E,F.求證:EF∥BC.證明:連DF.AD是∠BAC的平分線∠BAD=∠DAC
∠EFD=∠BAD
∠EFD=∠DAC
⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC
∠EFD=∠FDC
EF∥BC