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2.4《弦切角的性質(zhì)》(5篇范例)

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第一篇:2.4《弦切角的性質(zhì)》

弦切角的性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo):

1.理解弦切角的概念;

2.掌握弦切角定理及推論,并會運用它們解決有關(guān)問題; 3.理解化歸和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法以及完全歸納的證明方法.教學(xué)重點和難點

弦切角定理及其應(yīng)用是重點;

弦切角定理的證明是難點.教學(xué)過程:

一、創(chuàng)設(shè)情境,以舊探新 1.提問:什么樣的角是圓周角? 2.圓周角∠CAB,讓射線AC繞點A旋轉(zhuǎn),產(chǎn)生無數(shù)個圓周角,當(dāng)AC繞點A旋轉(zhuǎn)至與圓相切時,停止旋轉(zhuǎn),得∠BAE.(圖7-132)

思考:這時∠BAE還是圓周角嗎?為什么? 歸納總結(jié)出弦切角的特點:

(1)頂點在圓周上;(2)一邊與圓相交;(3)一邊與圓相切.3.弦切角定義:

頂點在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角.4.判斷下列各圖形中的角是不是弦切角,并說明理由:(圖7-133)

/ 5

由此發(fā)現(xiàn),弦切角可分為三類:

(1)圓心在角的外部;(2)圓心在角的一邊上;

(3)圓心在角的內(nèi)部.二、觀察聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1.當(dāng)弦切角一邊通過圓心時,(如圖7-135)(1)弦切角∠CAB是多少度?為什么?(2)∠CAB所夾弧所對的圓周角∠D是多少度?為什么?(3)此時,弦切角與它所夾弧所對的圓周角有什么關(guān)系? 觀察圖形,不難發(fā)現(xiàn),此時弦切角與其所夾弧所對的圓周角都是直角.2.以A為端點.旋轉(zhuǎn)AC邊,使弦切角增大或減小,觀察它與所夾弧所對圓周角之間的關(guān)系,猜想:弦切角是否等于它所夾的弧對的圓周角.(圖7-134)

三、類比聯(lián)想,嘗試論證

1.回憶聯(lián)想:

(1)圓周角定理的證明采用了什么方法?(2)既然弦切角可由圓周角演變而來,那么上述猜想是否可用類似的方法來證明呢? 2.前面證明了特殊情況,下面考慮圓心在弦切角的外部和內(nèi)部兩種情況.討論:怎樣將一般情況的證明轉(zhuǎn)化為特殊情況。如圖7-136(1),圓心O在∠CAB外,作⊙O的直徑AQ,連結(jié)PQ,則∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠APC.2 / 5

如圖7-136(2),圓心O在∠CAB內(nèi),作⊙O的直徑AQ,連結(jié)PQ,則∠BAC=∠QAB+∠1=∠QPA+∠2=∠APC.你能寫出完整的證明過程嗎?

弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧對的圓周角.3.看書并思考:課本上關(guān)于定理的證明與我們現(xiàn)在的證明方法有何異同?

四、鞏固知識、初步應(yīng)用

例1(課本p33)如圖7-139,已知AB是⊙O的直徑,AC是弦,直線CE和⊙O切于點C,AD⊥CE,垂足為D.求證:AC平分∠BAD.思路一:要證∠BAC=∠CAD,可證這兩角所在的直角三角形相似,于是連結(jié)BC,得Rt△ACB,只需證∠ACD=∠B.(圖7-139)證明:(學(xué)生自己完成證明)思路二:連結(jié)OC,由切線性質(zhì),可得OC∥AD,于是有∠1=∠3,又由于∠1=∠2,可證得結(jié)論.(圖7-140)

思路三:過C作CF⊥AB,交⊙O于F,連結(jié)AF.由垂徑定理可知∠1=∠3,又根據(jù)弦切角定理有∠2=∠1,于是∠2=∠3,進(jìn)而可證明結(jié)論成立.(圖7-141)[課堂練習(xí)]: 1.如圖7-142,AB為⊙O的直徑,直線EF切⊙O于C,若∠BAC=56°,則∠ECA=

度.(口答)2.AB切⊙O于A點,圓周被AC所分成的優(yōu)弧與劣弧之比為3∶1,則夾劣弧的弦切角∠BAC=

.3 / 5

3.已知:經(jīng)過⊙O上的點T的切線和弦AB的延長線相交于點C.求證:∠ATC=∠TBC.② CT2=CB?CA

五、歸納小結(jié)

① 在證明弦切角定理時,我們是從特殊情況入手,通過猜想、分析、證明和歸納,從

而證明了弦切角定理.通過弦切角概念的引入和定理的證明過程,逐步學(xué)會用運動變化的觀點觀察問題,進(jìn)而理解從一般到特殊,從特殊到一般的認(rèn)識規(guī)律.②學(xué)習(xí)了分類討論的思想和完全歸納的證明方法.在這里一定要注意為什么要對弦

切角進(jìn)行分類和如何進(jìn)行分類.③弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧對的圓周角.六.反饋練習(xí)

練習(xí)1 直線AB和圓相切于點P,PC,PD為弦,指出圖中所有的弦切角以及它們所夾的弧.(圖7-137)

/ 5

練習(xí)2 如圖7-138,DE切⊙O于A,AB,AC是⊙O的弦,若AB=AC,那么∠DAB和∠EAC是否相等?為什么? 分析,由于AB和AC分別是兩個弦切角∠DAB和∠EAC所夾的弧,而AB和AC.連結(jié)B,C,易證∠B=∠C.于是得到∠DAB=∠EAC.推論:若兩弦切角所夾的弧相等,則這兩個弦切角也相等.5 / 5

第二篇:弦切角的性質(zhì)學(xué)案

弦切角的性質(zhì)學(xué)案

班級姓名等級

學(xué)習(xí)目標(biāo):

1.理解弦切角的概念;

2.掌握弦切角定理及推論,并會運用它們解決有關(guān)問題;

3.理解化歸和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法以及完全歸納的證明方法.學(xué)習(xí)重點和難點

弦切角定理及其應(yīng)用是重點;弦切角定理的證明是難點.學(xué)習(xí)過程:

一、創(chuàng)設(shè)情境,以舊探新

1.提問:什么樣的角是圓周角?

2.圓周角∠CAB,讓射線AC繞點A旋轉(zhuǎn),產(chǎn)生無數(shù)個圓周角,當(dāng)AC繞點A旋轉(zhuǎn)至與圓相切時,停止旋轉(zhuǎn),得∠BAE.(圖7-132)

思考:這時∠BAE還是圓周角嗎?為什么?

歸納總結(jié)出弦切角的特點:(1);(2);(3).3.弦切角定義:

頂點在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角.4.判斷下列各圖形中的角是不是弦切角,并說明理由:(圖7-133)

由此發(fā)現(xiàn),弦切角可分為三類:

(1)圓心在角的外部;(2)圓心在角的一邊上;

(3)圓心在角的內(nèi)部.二、觀察聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1.當(dāng)弦切角一邊通過圓心時,(如圖7-135)。

(1)弦切角∠CAB是多少度?為什么?

(2)∠CAB所夾弧所對的圓周角是多少度?為什么?

(3)此時,弦切角與它所夾弧所對的圓周角有什么關(guān)系?

觀察圖形,不難發(fā)現(xiàn),此時弦切角與其所夾弧所對的圓周角都是直角.2.以A為端點.旋轉(zhuǎn)AC邊,使弦切角增大或減小,觀察它與所夾弧所對圓周角之間的關(guān)

系,猜想:弦切角是否等于它所夾的弧對的圓周角.(圖7-134)

讓學(xué)生完成弦切角為直角的證明過程

三、類比聯(lián)想,嘗試論證

1.回憶聯(lián)想:

(1)圓周角定理的證明采用了什么方法?

(2)既然弦切角可由圓周角演變而來,那么上述猜想是否可用類似的方法來證明呢?

2.前面證明了特殊情況,下面考慮圓心在弦切角的外部和內(nèi)部兩種情況.討論:

怎樣將一般情況的證明轉(zhuǎn)化為特殊情況。如圖7-136(1),圓

心O在∠CAB外,作⊙O的直徑AQ,連結(jié)PQ,則∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠APC.證明:

如圖7-136(2),圓心O在∠CAB內(nèi),作⊙O的直徑AQ,連結(jié)PQ,則∠BAC=∠QAB+∠1=∠QPA+∠2=∠APC.證明:

弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧對的圓周角.3.看書并思考:課本上關(guān)于定理的證明與我們現(xiàn)在的證明方

法有何異同?

四、鞏固知識、初步應(yīng)用

例1(課本p33)如圖7-139,已知AB是⊙O的直徑,AC是弦,直線CE和⊙O切于點C,AD⊥CE,垂足為D.求證:AC平分∠BAD.思路一:要證∠BAC=∠CAD,可證這兩角所在的直角三角形相

似,于是連結(jié)BC,得Rt△ACB,只需證∠ACD=∠B.(圖7-139)

證明:(學(xué)生自己完成證明)

思路二:連結(jié)OC,由切線性質(zhì),可得OC∥AD,于是有∠1=∠3,又由于∠1=∠2,可證

得結(jié)論.(圖

7-140)

思路三:過C作CF⊥AB,交⊙O于F,連結(jié)AF.由垂徑定理可知∠1=∠3,又根據(jù)弦切角定

理有∠2=∠1,于是∠2=∠3,進(jìn)而可證明結(jié)論成立.(圖7-141)

[課堂練習(xí)]:

1.如圖7-142,AB為⊙O的直徑,直線EF切⊙O于C,若∠BAC=56°,則∠ECA=度.(口答)

2.AB切⊙O于A點,圓周被AC所分成的優(yōu)弧與劣弧之比為3∶1,則夾劣弧的弦切角

∠BAC=.3.已知:經(jīng)過⊙O上的點T的切線和弦AB的延長線相交于點C.求證:∠ATC=∠TBC.② CT=CB?CA

五、歸納小結(jié)

① 在證明弦切角定理時,我們是從特殊情況入手,通過猜想、分析、證明和歸納,從

而證明了弦切角定理.通過弦切角概念的引入和定理的證明過程,逐步學(xué)會用運動變化的觀點觀察問題,進(jìn)而理解從一般到特殊,從特殊到一般的認(rèn)識規(guī)律.②學(xué)習(xí)了分類討論的思想和完全歸納的證明方法.在這里一定要注意為什么要對弦

切角進(jìn)行分類和如何進(jìn)行分類.③弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧對的圓周角.六:課后小結(jié)與反思:

預(yù)習(xí)提示:相交弦定理

割線定理

切割線定理及切線長定理

第三篇:2.4 弦切角的性質(zhì)

2.4、弦切角的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo):

1、使學(xué)生知道弦切角的定義,會在圖形中識別弦切角;

2、會敘述弦切角定理及其推論;

3、能運用弦切角定理及其推論證明有關(guān)幾何問題;

4、培養(yǎng)學(xué)生分類討論的思想方法和辯證唯物主義的觀點。教學(xué)的重點、難點:

教學(xué)重點:探索弦切角定理的證明方法;運用弦切角定理證明有關(guān)的幾何問題。

教學(xué)難點:用分類的思想方法證明弦切角定理。

教學(xué)方法

探究、討論、講授

教學(xué)準(zhǔn)備

課件多媒體

教學(xué)過程:

一、創(chuàng)設(shè)情境,以舊探新

1、復(fù)習(xí):什么樣的角是圓周角?

2、弦切角的概念:

圓周角∠CAB,讓射線AC繞點A旋轉(zhuǎn),產(chǎn)生無數(shù)個圓周角,當(dāng)AC繞點A 旋轉(zhuǎn)至與圓相切時,得∠BAE.提問:∠EAC有何特點?

C

B

A(B)

IE

I

弦切角的定義:頂點在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角.注意引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)弦切角的三個要點,使學(xué)生在形象、直觀的學(xué)習(xí)活動中掌握新的概念。

練習(xí)1右面各圖中,哪一個角是弦切角?

練習(xí)2:圖3中有幾個弦切角?()

二、觀察、猜想 觀察圖形,提問:

(1)、圖7(1)中,∠A與∠P有何關(guān)系?為什么?(2)、圖7(2)中,∠EAC與∠P有何共同點?

B

3分析比較:既然圖7(1)中∠A=∠P,那么圖7(2)中,∠EAC=∠P嗎?

B

E

A(B)

圖7

這一結(jié)論是否能成立呢?我們不妨從最特殊的情形考慮一下.圓心O在弦切角∠BAC的邊AC上,此時顯然有∠BAC=∠P=90°.由此我們完全有信心提出一個猜想:弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.三、類比聯(lián)想、論證

1、已經(jīng)證明了最特殊的情形,下面考慮圓心在角內(nèi)與角外兩種情形.2、圓心在角外,作⊙O的直徑AQ,連接PQ(如圖9),則∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠APC.3、圓心在角內(nèi),作⊙O的直徑AQ,連接PQ(如圖10),P

A

B

BB

圖9圖9

圖10

圖10

則∠BAC=∠BAQ+∠1=∠APQ+∠2=∠APC.4、回顧證明的方法:將情形(2)、(3)都?xì)w至情形(1),利用角的合成,對三種情形進(jìn)行完全歸納,從而證明了上述的猜想,我們把所證得的結(jié)果取名為

弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.【設(shè)計意圖】弦切角定理是這節(jié)課的重點也是難點,通過創(chuàng)設(shè)問題情境,引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中學(xué)習(xí)新的知識。利用問題激發(fā)學(xué)生探索弦切角定理證明的其他情況。學(xué)生進(jìn)行思考和探索,鍛煉學(xué)生的動手能力,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。在總結(jié)弦切角定理量要注意對“所夾”與“所對”兩個關(guān)鍵詞的理解。

三、例題分析

例1.如圖已知AB是⊙O的直徑,AC是弦,直線CE和⊙O切于點C,AD⊥CE,垂足為D.求證:AC平分∠BAD.證明:略

課堂練習(xí)課后小結(jié)

1、弦切角-------頂點在圓上,一邊與圓相交,另一邊與圓相切的角。

2、弦切角定理: 弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.作業(yè)布置

教科書習(xí)題2.4 第1、2題 課后反思

第四篇:弦切角學(xué)案

弦切角學(xué)習(xí)學(xué)案

教學(xué)目標(biāo):使學(xué)生了解弦切角的概念,掌握弦切角定理及其推理,進(jìn)一步使學(xué)生了解分情況證明數(shù)學(xué)命題的思想和方法

教學(xué)難點、重點:弦切角定理的證明 教學(xué)過程:

一、復(fù)習(xí)引入

1、前面學(xué)習(xí)過有關(guān)于圓的角度有__________、_____________。

2、當(dāng)圓周角的一邊BC繞著點B旋轉(zhuǎn),使得BC為圓O 的切線,這個時候就形成了一個新的角,我們稱之為弦切角。

BB

C

OO CAA

二、新知學(xué)習(xí)

1、弦切角定義:頂點在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角。

2、觀察下圖,你能發(fā)現(xiàn)弦切角和弦切角所夾的弧所對的圓周角的關(guān)系嗎?

C

O P ABE

猜想:______________________ 證明:

CPEOCOPABEAB

弦切角定理: 弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角

三、典型例題

例題1, 如圖,已知AB是圓O的直徑,AC是弦,直線CE和圓O切于點C,AD⊥CE,垂直為D,求證:AC平分∠BAD

B

O

A

CED

練習(xí)

1、如圖,AB是圓O的弦,CD是經(jīng)過圓O上一點M 的切線,求證:(!)AB∥CD時,AM=MB(2)AM=MB時,AB∥CD

練習(xí)

2、在△ABC中,∠A的平分線AD交BC于D,圓O過點A且和BC切于D,和AB、AC分別交于E、F,求證:EF∥BC

A

O

j EF

B C D

CMDAOB相交弦定理和切割線定理學(xué)案

教學(xué)目標(biāo):能結(jié)合具體圖形,準(zhǔn)確地表述相交弦定理、切割線定理及其推論。教學(xué)難點、重點:相交弦定理和切割線定理的證明 教學(xué)過程:

1、相交弦定理: 圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的積相等。

數(shù)學(xué)表達(dá)式:___________________________

A證明:

D

O P B

C

練習(xí):

已知圓中兩條弦相交,第一條弦被交點分為12和16兩段,第二條弦的長為32,求第二條弦被交點分成的兩段的長

2、切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這個點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。數(shù)學(xué)表達(dá)式: PT2=PA?PB

A證明:

B

O P

T3、切割線定理推論:從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。

C數(shù)學(xué)表達(dá)式:PA?PB=PC?PD

D

P BA

練習(xí)

1、如圖:圓O的割線PAB交圓O于點A和B。PA=6,AB=8,PO=10.9,求圓O的半徑

BAPCO

2、如圖:兩個以O(shè)為圓心的同心圓,AB切大圓于BAC切小圓與C,交大圓于D、E,AB=12,AO=15,AD=8。求兩圓的半徑

B

O

A

D

C

E

思考題:如圖,點I是三角形ABC的內(nèi)心,AI交邊BC于點D,交三角形ABC外接圓于點E,求證:IE2=AE*DE

A

IBEDC

第五篇:怎樣證明弦切角

怎樣證明弦切角

設(shè)圓心為O,連接OC,OB,OA。過點A作Tp的平行線交BC于D,則∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB(弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半)

∵∠BOC=2∠CAB

∴∠TCB=∠CAB(弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角)

2接OBOC過O做OE⊥BC

所以∠A=1/

2又因為∠OCT=90°

∠OEC=90°

所以∠EOC=∠TCB

所以∠TCB=∠A

3溫馨提示

設(shè)切點為A切線AB弦AC圓心為O過A作直徑AD連OC

角CAB等于90度減角DAC

因為OA等于OC所以角AOC等于180度減去二倍的角DAC

即可證明角AOC等于二倍的角CAB

參考資料:弦切角是這弦所對的圓心角的一半

4線段AD與線段EF互相垂直平分。

證明:設(shè)AD交EF于點G.因為Ap為切線,所以弦切角等于所對的圓周角,即∠pAC=∠B,又因為AD平分∠BAC,所以∠DAC=∠BAD,從而∠pAC+∠DAC=∠B+∠BAD,而∠pAC+∠DAC=∠pAD,∠B+∠BAD=∠pDA,所以

∠pAD=∠pDA,則△pAD為等腰三角形,因pM平分∠ApD,所以pM垂直平分AD,則EF垂直平分AD,從而AD垂直EF,則∠AGE=∠AGF=90°,再由∠GAF=∠GAE,得到

△EAG≌△FAG,從而EG=FG,從而AD也垂直平分EF。

5(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上

∵AC為直徑,AB切⊙O于A,∴弧CmA=弧CA

∵為半圓,∴∠CAB=90=弦CA所對的圓周角(2)圓心O在∠BAC的內(nèi)部.過A作直徑AD交⊙O于D,若在優(yōu)弧m所對的劣弧上有一點E

那么,連接EC、ED、EA

則有:∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴∠CEA=∠CAB

∴(弦切角定理)

(3)圓心O在∠BAC的外部,過A作直徑AD交⊙O于D

那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

∴(弦切角定理)

編輯本段弦切角推論

推論內(nèi)容

若兩弦切角所夾的弧相等,則這兩個弦切角也相等

應(yīng)用舉例

例1:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,以AB為弦的⊙O與AC相切于點A,∠CBA=60°,AB=a求BC長.解:連結(jié)OA,OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(RT△中30°角所對邊等于斜邊的一半)

例2:如圖,AD是ΔABC中∠BAC的平分線,經(jīng)過點A的⊙O與BC切于點D,與AB,AC分別相交于E,F(xiàn).求證:EF∥BC.證明:連DF.AD是∠BAC的平分線∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF∥BC

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