第一篇：弦切角的逆定理的證明

弦切角逆定理證明

已知角CAE=角ABC，求證AE是圓O的切線

證明：連接AO并延長交圓O于D，連接CD，則角ADC=角ABC=角CAE

而AD是直徑，因此角ACD=90度，所以角DAC=90度-角ADC=90度-角CAE

所以角DAE=角DAC+角CAE=90度

故AE為切線

第二篇：怎樣證明弦切角

怎樣證明弦切角

設圓心為O，連接OC，OB，OA。過點A作Tp的平行線交BC于D，則∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB(弦切角的度數等于它所夾的弧的圓心角的度數的一半)

∵∠BOC=2∠CAB

∴∠TCB=∠CAB(弦切角的度數等于它所夾的弧的圓周角)

2接OBOC過O做OE⊥BC

所以∠A=1/

2又因為∠OCT=90°

∠OEC=90°

所以∠EOC=∠TCB

所以∠TCB=∠A

3溫馨提示

設切點為A切線AB弦AC圓心為O過A作直徑AD連OC

角CAB等于90度減角DAC

因為OA等于OC所以角AOC等于180度減去二倍的角DAC

即可證明角AOC等于二倍的角CAB

參考資料：弦切角是這弦所對的圓心角的一半

4線段AD與線段EF互相垂直平分。

證明:設AD交EF于點G.因為Ap為切線，所以弦切角等于所對的圓周角，即∠pAC=∠B，又因為AD平分∠BAC，所以∠DAC=∠BAD，從而∠pAC+∠DAC=∠B+∠BAD,而∠pAC+∠DAC=∠pAD，∠B+∠BAD=∠pDA，所以

∠pAD=∠pDA，則△pAD為等腰三角形，因pM平分∠ApD，所以pM垂直平分AD，則EF垂直平分AD，從而AD垂直EF，則∠AGE=∠AGF=90°，再由∠GAF=∠GAE，得到

△EAG≌△FAG，從而EG=FG，從而AD也垂直平分EF。

5(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上

∵AC為直徑，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA

∵為半圓,∴∠CAB=90=弦CA所對的圓周角(2)圓心O在∠BAC的內部.過A作直徑AD交⊙O于D,若在優弧m所對的劣弧上有一點E

那么，連接EC、ED、EA

則有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴∠CEA=∠CAB

∴(弦切角定理)

(3)圓心O在∠BAC的外部,過A作直徑AD交⊙O于D

那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

∴(弦切角定理)

編輯本段弦切角推論

推論內容

若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等

應用舉例

例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB為弦的⊙O與AC相切于點A，∠CBA=60°,AB=a求BC長.解：連結OA，OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(RT△中30°角所對邊等于斜邊的一半)

例2：如圖，AD是ΔABC中∠BAC的平分線，經過點A的⊙O與BC切于點D，與AB，AC分別相交于E，F.求證：EF∥BC.證明：連DF.AD是∠BAC的平分線∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF∥BC

第三篇：弦切角定理證明方法

弦切角定理證明方法

(1)連OC、OA，則有OC⊥CD于點C。得OC‖AD，知∠OCA=∠CAD。

而∠OCA=∠OAC，得∠CAD=∠OAC。進而有∠OAC=∠BAC。

由此可知，0A與AB重合，即AB為⊙O的直徑。

(2)連接BC，且作CE⊥AB于點E。立即可得△ABC為Rt△，且∠ACB=Rt∠。

由射影定理有AC2=AE*AB。又∠CAD=∠CAE，AC公用，∠CDA=∠CEA，得△CEA≌△CDA，有AD=AE，所以，AC2=AB*AD。

第一題重新證明如下：

首先證明弦切角定理，即有∠ACD=∠CBA。

連接OA、OC、BC，則有

∠ACD+∠ACO=90°

=(1/2)(∠ACO+∠CAO+∠AOC)

=(1/2)(2∠ACO+∠AOC)

=∠ACO+(1/2)∠AOC,所以∠ACD=(1/2)∠AOC，而∠CBA=(1/2)∠AOC(同弧上的圓周角等于圓心角的一半)，得∠ACD=∠CBA。

另外，∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD=∠CAB，所以有∠CAB+∠CBA=90°，得∠BCA=90°，進而AB為⊙O的直徑。

2證明一：設圓心為O，連接OC，OB,。

∵∠TCB=90-∠OCB

∵∠BOC=180-2∠OCB

∴,∠BOC=2∠TCB(定理：弦切角的度數等于它所夾的弧所對的圓心角的度數的一半)

∵∠BOC=2∠CAB(圓心角等于圓周角的兩倍)

∴∠TCB=∠CAB(定理：弦切角的度數等于它所夾的弧的圓周角)

證明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切線，A為切點，弧是弦切角∠BAC所夾的弧.求證：(弦切角定理)

證明：分三種情況：

(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上

∵AC為直徑，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA

∵為半圓,∴∠CAB=90=弦CA所對的圓周角(2)圓心O在∠BAC的內部.過A作直徑AD交⊙O于D,若在優弧m所對的劣弧上有一點E

那么，連接EC、ED、EA

則有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴∠CEA=∠CAB

∴(弦切角定理)

(3)圓心O在∠BAC的外部,過A作直徑AD交⊙O于D

那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

∴(弦切角定理)

編輯本段弦切角推論

推論內容

若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等

應用舉例

例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB為弦的⊙O與AC相切于點A，∠CBA=60°,AB=a求BC長.解：連結OA，OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(RT△中30°角所對邊等于斜邊的一半)

例2：如圖，AD是ΔABC中∠BAC的平分線，經過點A的⊙O與BC切于點D，與AB，AC分別相交于E，F.求證：EF∥BC.證明：連DF.AD是∠BAC的平分線∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF∥BC

例3：如圖，ΔABC內接于⊙O，AB是⊙O直徑，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求證：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.證明：∵AB是⊙O直徑

∴∠ACB=90

∵CD⊥AB

∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C

∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.

第四篇：勾股定理的逆定理的證明

用“勾股定理”證明“勾股定理的逆定理”——反證法

湛江市愛周中學伍彩梅

八年級數學學習的勾股定理，是幾何學中幾個最重要的定理之一，它揭示了一個直角三角形三邊之間的數量關系，內容是：“如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c，那么a?b?c”。

勾股定理的逆定理給出了一個用代數運算判定一個三角形是直角三角形的方法，內容是：“如果三角形的三邊長a、b、c滿足a?b?c，那么這個三角形是直角三角形”。

這兩大定理都來源于實踐，并在實踐中得到廣泛的應用。

定理的證明，有助于加深對定理得理解，有助于實現從感性認識到理性認識的飛躍。教材中，勾股定理的證明采用了多種方法，學生容易理解。而

課本里用三角形全等證明了該定理。勾股定理的逆定理，只用“三角形全等”來證明，這種方法學生一時不易理解。實際上，我們也可以用“勾股定理”來證明“勾股定理的逆定理”——反證法。表述如下：

已知△ABC的三邊長a、b、c滿足a?b?c，求證：△ABC是直角三角形。用反證法證明如下：

由a?b?c，可知c邊最大，即∠ACB最大。只要證明了∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形。

分兩種情況進行。

（一）假設△ABC不是直角三角形而是鈍角三角形，則∠C＞90°。如圖（1）222222222222

B

圖（1）

過B作BD垂直于AC的延長線于D，垂足為D。如圖（2）

圖（2）

在圖（2）中，△ABD與△CBD都是直角三角形，根據勾股定理有：

a1?(b?b1)2?c2（1）

a1?b1?a2（2）

22由（1）得a1?b1?2bb1?b?c（3）22222

把（2）代入（3）得a2?b2?2bb1?c2（4）

對比已知條件a?b?c

可得b1?0

把b1?0代入（2）得a1?a2，則a1?a

因此點C與點D重合，∠ACB=∠ADB=90°，結論與假設矛盾，所以△ABC是直角三角形。

（二）假設△ABC不是直角三角形而是銳角三角形，則∠C＜90°。如圖(3)2222

B

c a

A

b

圖（3）C

過B作BD垂直于AC于D，垂足為D。如圖（4）

B

c a

a1

Ab

b D C b2

圖（4）

其中BD=a1，AD=b1，DC=b2，b1?b2?b

在圖（4）中，△ABD與△CBD都是直角三角形，根據勾股定理有：

22a1?b1?c2（5）

a1?b2?a2（6）

把（5）-（6）得

2222c2?a2?b1?b2?(b1?b2)(b1?b2)?b(b?2b2)?b2?2bb2

整理得

c2?a2?b2?2bb2（7）

對比已知條件a?b?c

得b2?0

所以b1?b

則點C與點D重合，∠ACB=∠ADB=90°，結論與假設矛盾，所以△ABC是直角三角形。

因此，勾股定理的逆定理得到證明。

2007-3-12 222

第五篇：弦切角定理的證明

弦切角定理的證明

弦切角定理：定義弦切角定理：弦切角的度數等于它所夾的弧的圓心角的度數的一半.(弦切角就是切線與弦所夾的角)弦切角定理證明

證明：設圓心為O，連接OC，OB，OA。過點A作Tp的平行線交BC于D，則∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB

證明：分三種情況：

(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上

∵AC為直徑，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA

∵為半圓,(2)圓心O在∠BAC的內部.過A作直徑AD交⊙O于D,那么

.(3)圓心O在∠BAC的外部,過A作直徑AD交⊙O于D

那么

2連接并延長TO交圓O于點D，連接BD因為TD為切線，所以TD垂直TC，所以角BTC+角DTB=90因為TD為直徑，所以角BDT+角DTB=90所以角BTC=角BDT=角A

3編輯本段弦切角定義頂點在圓上，一邊和圓相交，另圖示一邊和圓相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切線與弦所夾的角）如右圖所示，直線pT切圓O于點C，BC、AC為圓O的弦，∠TCB，∠TCA，∠pCA，∠pCB都為弦切角。編輯本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度數等于它所夾的弧的圓心角的度數的一半.弦切角定理證明：證明一：設圓心為O，連接OC，OB,。∵∠TCB=90-∠OCB∵∠BOC=180-2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度數等于它所夾的弧所對的圓心角的度數的一半）∵∠BOC=2∠CAB(圓心角等于圓周角的兩倍)∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度數等于它所夾的弧的圓周角）證明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切線，A為切點，弧是弦切角∠BAC所夾的弧.求證：(弦切角定理)證明：分三種情況：(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上∵AC為直徑，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵為半圓,∴∠CAB=90=弦CA所對的圓周角B點應在A點左側(2)圓心O在∠BAC的內部.過A作直徑AD交⊙O于D,若在優弧m所對的劣弧上有一點E那么，連接EC、ED、EA則有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴∠CEA=∠CAB∴(弦切角定理)(3)圓心O在∠BAC的外部,過A作直徑AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90∴∠CDA=∠CAB∴(弦切角定理)編輯本段弦切角推論推論內容若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等應用舉例例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB為弦的⊙O與AC相切于點A，∠CBA=60°,AB=a求BC長.解：連結OA，OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90∴∠BAC=30°∴BC=1/2a(RT△中30°角所對邊等于斜邊的一半)例2：如圖，AD是ΔABC中∠BAC的平分線，經過點A的⊙O與BC切于點D，與AB，AC分別相交于E，F.求證：EF∥BC.證明：連DF.AD是∠BAC的平分線∠BAD=∠DAC∠EFD=∠BAD∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC∠EFD=∠FDCEF∥BC例3：如圖，ΔABC內接于⊙O，AB是⊙O直徑，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求證：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.證明：∵AB是⊙O直徑∴∠ACB=90∵CD⊥AB∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.