第一篇：三角形內心的向量表示形式

三角形內心的向量表示形式

有這樣一個高考題：

已知O，N，P在?ABC所在平面內，且OA?OB?OC,NA?NB?NC?0，且PA?PB?P?BP?C，則點P?CPAO，N，P依次是?ABC的（）

（A）重心 外心 垂心

（B）重心 外心 內心

（C）外心 重心 垂心

（D）外心 重心 內心

答案為C，即分別為外心、重心、垂心，通過此題我們可以發現三角形的這三個“心”的向量表示形式非常和諧美觀。而三角形的“心”常見的有四個，我們不僅會想三角形內心的向量表示形式是什么呢？

內心的向量表示有三種常見的形式，網絡以及資料上面，對于它們的證明往往不完整，下面我把內心的向量表示形式及其驗證的完整過程給讀者介紹一下．

（１）點I是?ABC所在平面內一點，I是?ABC內心的充要條件是

??????????????CACB??????BI????????????CI?0

??CACB????????????????????ABAC分析：此條件直觀意義較強，如?????????即分別為與AB、AC同

ABAC???????????AI??????????????ABAC?????????ABAC????????BCBA?????????BCBA??????????????向的單位向量AM、AN的差向量MN，由條件可得MN與AI垂直，而MN為等腰?AMN的底邊，故AI為?A的角平分線，同理可得BI、CI亦為角平分線，即I是?ABC內心．

上面的條件直觀意義較易發現，然而形式較為復雜，下面介紹一個較為簡單的充要條件，你能做出證明嗎？

（2）如圖，?ABC的邊長分別為a、b、c,點I是?ABC所在平面內一

??????????點，I是?ABC內心的充要條件是aIA?bIB?cIC?0

證明：已知點I為?ABC的內心，延長AI交BC于點D，則BDcBDcac?，所以?，BD? DCbBCb?cb?cAIABAIb?ccb?c??? ?，所以

acIDBDADa?b?cab?c連接BI,則有??????????b?c????b?c???b?c???c???AD=(AB?BD)?(AB?BC)因此，AI?a?b?ca?b?ca?b?cb?c???b?c???c???????b?cb???c?????(AB?(AC?AB))?(AB?AC)a?b?cb?ca?b?cb?cb?c?????????bcb?c?b???c?????AB?AC ?AB?AC???a?b?ca?b?ca?b?c?b?cb?c?????????????(a?b?c)AI?bAB?cAC

????????????????????????aAI?(bAB?bAI)?(cAC?cAI)?bIB?cIC

???????????aIA?bIB?cIC?0

??????????反之，當aIA?bIB?cIC?0時，可得點I為?ABC的角平分線的交點，即為三角形的內心．

此題的證明需要利用角平分線的性質定理與比例的性質，在化簡變形的過程中要特別注意．（２）若0為平面內任一點，則點I為?ABC的內心的充要條件為????????????abcOA?OB?OC

a?b?ca?b?ca?b?c??????????證明：由（1）知aIA?bIB?cIC?0 ???OI??????????????????????? ?a(OI?OA)?b(OI?OB)?c(OI?OC)?0 ??????????????? ?(a?b?c)OI?aOA?bOB?cOC

??? 從而有OI?????????????abcOA?OB?OC

a?b?ca?b?ca?b?c上面我們提到的三角形的四個“心”非常奇妙，這一點從它們的向量表示形式上也能夠體現出來，在平時的學習中要注意體會；同時向量法是研究幾何圖形性質的重要方法，而上面的證明過程也告訴我們把幾何圖形中的幾何量用向量表示出來后，靈活運用平面幾何中的比例關系及比例的性質是再進行向量運算的“先行軍”．

第二篇：三角形四心的向量表示

從動和靜兩個角度看三角形中四“心”的向量表示

平面幾何中中三角形的四“心”,即三角形的內心、外心、重心、垂心。在引入向量這個工具后，我們可以從動和靜兩個角度看三角形中的四“心”的向量表示，其一可以使我們對三角形中的四“心”有全新的認識；其二使我們對向量形式的多樣性和向量運算的靈活性有更清楚的認識。

一．從靜止的角度看向量的四“心”

?????????????1．已知點O是三角形ABC所在平面上一點，若OA?OB?OC?0，則O是三角形ABC的（）

（A）內心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

?????????????????????????????????分析：若OA?OB?OC?0，則OA?OB??OC，設以OA、OB為鄰邊的平行四邊形為OAC?B,OC與??????????????????????AB交于點D,則D為AB的中點,由OA?OB?OC?得,OC??OC?,即C、O、D、C?四點共線,故CD為?ABC的中線,所以O在邊AB的中線上,同理可證, O在邊AC的中線上, O在邊BC的中線上所以O是三角形ABC的重心.???????????????????????? 2.已知點O是三角形所在平面上一點，若OA?OB?OB?OC?OC?OA,則O是三角形ABC的（）

（A）內心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

????????????????????????????????????分析:由OA?OB?OB?OC得,OB?(OA?OC)?0,即OB?CA?0,所以OB?C,A同理可證:OC?AB,OA?BC,所以O是?ABC的垂心.????????????3.已知點O是三角形所在平面上一點，若aOA?bOB?cOC?0,則O是三角形ABC的（）

（A）內心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

????????????????????????????????????????????????分析::若aOA?bOB?cOC?0,又因為OB?OA?AB,OC?OA?AC,則(a?b?c)OA?bAB?cAC?0.所????以AO???????????????????????????bcABACABAC???????,因為????與????分別表示AB和AC方向上的單位向量,設????a?b?c?|AB||AC|?|AB||AC|????????????????????????????????ABAC?+????,則AP平分?BAC.又AO、AP????AP共線，BO平分?BAC，知AO平分?BAC。同理可證，|AB||AC|????CO平分?BAC。從而O是?ABC的內心。

????2????2????24．已知點O是三角形所在平面上一點，若OA?OB?OC，則O是三角形ABC的（）

（A）內心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

????????????????2????2????2????2????2????2分析：因為OA?OB?OC，所以OA?OB?OC，即OA?OB?OC，所以O是?ABC的外心。

二．從運動的角度看三角形的四“心”

1．已知點O是平面上一個定點，A、B、C是平面內不共線三點，動點P滿足????????????????OP?OA??(AB?AC),??R，則動點P一定通過?ABC的（）

（A）內心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心 ????????????????????????????????????????????解:OP?OA??(AB?AC),可得AP??(AB?AC),由于AB?AC表示以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的對角線,所以點P在邊BC的中線所在直線上，故動點P的軌跡一定通過?ABC的重心.2．已知點O是平面上一個定點，A、B、C是平面內不共線三點，動點P滿足?????????????????ABAC??+???? OP?OA???????,??R，則動點P一定通過?ABC的（）?|AB||AC|?（A）內心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

?????????????????????????????????????AB?????ABACACABAC?+???? ?得，AP???????+???? ?。由于?????+???? ?表分析：由OP?OA???????|AB||AC|??|AB||AC|??|AB||AC|?示?BAC的平分線所在的方向向量。故當??R時，動點則動點P一定通過?ABC的內心。

3已知點O是平面上一個定點，A、B、C是平面內不共線三點，動點P滿足??????????????????ABAC????????+ ? ,??R，則動點P一定通過?ABC的（）OP?OA???|AB|cosB|AC|coCs??（A）內心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

????????????????????????????????ABACABAC??+???? ?得，AP??????+???? ?。分析: 由OP?OA???????|AB|cosB|AC|cosC??|AB|cosB|AC|cosC??????????????????????????????????ABAC??ABB?CA?C???BC?????????+???? ?B C????B?C?B,C0由于????所以?cosAB|B|coAsC|C|cos?|AB|coBsA|C?|C????????。即點P的軌跡是過點A且垂直于BC的直線，故動點P的軌跡一定通過?ABC的垂心。AP?B?0C4.已知O平面上一個定點，A、B、C是平面內不共線三點，動點P滿足????????????OB?OCOP???2??????????ABAC????????+ ,??R，則動點P一定通過?ABC的（）??sA|C|coC?|AB|coB?s（A）內心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

??????????ABAC????????+ ??|AB|cosB|AC|cosC??????????????????????????ABACABAC??+???? ?,當??R時, ?????+???? ?表示垂直于可得DP???????|AB|cosB|AC|cosC??|AB|cosB|AC|cosC?????????????????????????OB?OCOB?OC分析:設BC的中點為為D,則???OD,所以由OP?22????BC的向量,所以DP為線段BC的垂直平分線,故動點P的軌跡一定通過?ABC的外心.上面通過動和靜兩個角度看三角形的四”心”的向量表示,得出了椒優美的結論,使我們對向量的四心有了新的認識,更好的體會到辯證的和諧的統一.

第三篇：三角形“五心”的充要條件的向量表示

三角形“五心”的充要條件的向量表示

江蘇省姜堰中學

張圣官（225500）

讓我們先來賞析一道頗有趣的向量題：

命題1：在ΔABC內任取一點O，證明：SA?OA?SB?OB?SC?OC?0 ?①（其中SA、SB、SC分別表示ΔBOC、ΔCOA、ΔAOB的面積）。

解：記OA,OB,OC方向上的單位向量依次為e1,e2,e3，并記∠BOC、∠COA、∠AOB依次為α

1、α

2、α3，則

SA? SB? SC?121212|OB|?|OC|sin?1，|OC|?|OA|sin?2，（圖1）|OA|?|OB|sin?3。

所以，①式等價于e1sin?1?e2sin?2?e3sin?3?0 ?②

如圖1，在OA上取點D，使OD?e1sin?1，過D作DE∥OB交CO延長線于E，則 在ΔODE中，DE?sin?2,OE?sin?3，∴DE?e2sin?2,EO?e3sin?3，于是，e1sin?

1、e2sin?

2、e3sin?3恰好構成一個三角形，它們的和為零向量。故命題得證。

評注：如果把②式放到力學背景中，將e1,e2,e3看作是大小為1個單位的力，那么②式正好等價于三個共點力e1sin?

1、e2sin?

2、e3sin?3平衡，我們還可以從物理學的角度給出其證明。根據圖2可知，e1sin?

1、e2sin?2在e3sin?3 反方向上的分量分別為sin?1cos(180??2)??sin?1cos?2和

（圖2）

0sin?2cos(1800??1)??sin?2cos?1；在垂直于e3sin?3方向上的分量分別為

由于?1??2??3?2?，故?ssin?1sin?2和sin?2sin?1。in?1cos?2?sin?2cos?1

??sin(?1??2)?sin?3，而sin?1sin?2=sin?2sin?1顯然成立，因此三個共點的力確實平衡，這樣從物理學的角度知命題獲證。

這真是一道向量題橫跨數理天地！然而且慢，該題另有玄機！聯系到不少刊物上紛紛將三角形“五心”用各種形式的向量來表示，其實由以上結論出發倒可以很簡便地得到三角形“五心”的一種向量表示。真是“踏破鐵鞋無覓處，得來全不費功夫”啊！命題1中的點O是ΔABC所在平面內一點，并且在ΔABC內部，其實，若O在ΔABC的周界上時結論也成立。當點O在ΔABC形外時，類似地還可以得到：

命題2：若點O是ΔABC的形外一點且與點A位于直線BC的兩側，則有結論?SA?OA?SB?OB?SC?OC?0 ?②（其中SA、SB、SC分別表示ΔBOC、ΔCOA、ΔAOB的面積）。（證明略）

只要將以上兩個結論中的點O逐一看作為ΔABC的“五心”，就可以得到三角形“五心”充要條件的向量表示。

命題3：設O是ΔABC所在平面內一點，則

（Ⅰ）O是ΔABC的重心?OA?OB?OC?0 ；

（Ⅱ）O是ΔABC的外心?sin2A?OA?sin2B?OB?sin2C?OC?0 ；（Ⅲ）O是ΔABC的內心?sinA?OA?sinB?OB?sinC?OC?0 ；（Ⅳ）O是斜ΔABC的垂心?tanA?OA?tanB?OB?tanC?OC?0 ；（Ⅴ）O是ΔABC的旁心??sinA?OA?sinB?OB?siCn?OC?0或sinA?OA?sinB?OB?sinC?OC?0或sinA?OA?sinB?OB?sinC?OC?0。

利用三角形面積公式和等式①、②，容易證明上面五個結論成立。由于ΔABC的外心可以在三角形內部，也可以在外部或一邊上，情形較多，以下就選結論（Ⅱ）給出其證明，其余幾個結論請讀者自證。

證明：設O是ΔABC的外心，先證必要性，對ΔABC分兩類情形討論。

（1）若ΔABC是銳角三角形或直角三角形，則外心O在形內或周界上，此時，222，SB?1，SC?1，根據命題1中的等式①易得結SA?12Rsin2A2Rsin2B2Rsin2C論sin2A?OA?sin2B?OB?sin2C?OC?0成立；

（2）若ΔABC是鈍角三角形，不妨設A>900，則外心O在ΔABC形外且與A位于

2221直線BC的兩側，此時，SA?1，SB?1，2Rsin2(??A)??2Rsin2A2Rsin2B2，代入命題2中的②得sin2A?OA?sin2B?OB?sin2C?OC?0成立。SC?12Rsin2C現在再來證明充分性。若ΔABC

所在平面內一點O?滿足si2nA?O?A?si2nB?O?B?si2nC?O?C?0，則由以上證明知，ΔABC的外心O一定滿足等式si2An?OA?si2Bn?OB?si2Cn?OC?0，而

在。兩式相減，Δ

ABC

中

得，(sin2A?sin2B?sin2C)?O?O?0s2Ai?sn2Bi?sn2Ci?2snAsiBsniCni?0，故nO?O?0，即點O?與外心O重合，也就是說，點O?即為ΔABC的外心。從而，O是ΔABC的外心的充要條件是sin2A?OA?sin2B?OB?sin2C?OC?0。

第四篇：三角形的四心的向量表示

????2????2????2（1）O為?ABC的外心?OA?OB?OC.外心（三條邊垂直平分線交點）?????????????（2）O為?ABC的重心?OA?OB?OC?0.重心（三條邊中線交點）????????????????????????（3）O為?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA.垂心（高線交點）?????????????（4）O為?ABC的內心?aOA?bOB?cOC?0.內心（角平分線交點）

方向上的單位分別為證明：前三個心的性質都好證明，下面給出問題（4）的證明：?cb

?向量，?平分?BAC, cb

?)，???(c???b?????????BCBA同理：BO?u(?)a???c??????????????????????????u?????ABACBCBA?11???AB?AO?OB??(?)?u(?)?[?(?)u]AB?(?)AC cbaccacab

??11?(?)u?1?a?11bc?cacu???(?)u?1??得代入解得，?bcaca?b?c?u???0??ab三角形的四心的向量表示 設O為?ABC所在平面上一點，角A,B,C所對邊長分別為a,b,c，則

bc???（）a?b?ccb

化簡得(a?b?c)?b?c?，?a?b?c?

第五篇：三角形外心、重心、垂心的向量形式

三角形外心、重心、垂心的向量形式

已知△ABC，P為平面上的點，則

(1)P為外心

(2)P為重心

(3)P為垂心

證明(1)如P為△ABC的外心(圖1)，則 PA=PB=PC，(2)如P為△ABC的重心，如圖2，延長AP至D，使PD=PA，設AD與BC相交于E點．

由重心性質

∴ 四邊形PBDC為平行四邊形．

BC和PD之中點．

心．

(3)如圖3，P為△ABC的垂心

同理PA⊥AC，故P為△ABC之垂心．

由上不難得出這三個結論之間的相互關系：

∴ △ABC為正三角形．

∴ △ABC為正三角形，且O為其中心．